FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE BRAŞOV CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE TEMA MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Conf. univ. dr. Nicole BÂRSAN-PIPU Fcultte de Finnţe, Bănci şi Contbilitte Brşov Universitte Creştină Dimitrie Cntemir. DEFINIREA PROBLEMEI DE DECIZIE.. Contextul problemei de decizie În ctivitte de mngement din cele mi diverse domenii de ctivitte (cum r fi cele politice, economice, militre, tehnologice su dministrtive) unul din elementele de bză îl reprezintă rezolvre problemelor de lure deciziilor. Importnţ deciziilor ce trebuie doptte, dr şi complexitte şi dificultte legerii cestor, impun o bordre coerentă problemelor de decizie. Teori deciziei reprezintă în esenţă titudine ştiinţifică fţă de procesul de doptre deciziilor. Componentele de bză le cestui proces pot fi nlizte în mod sistemtic pentru evidenţi legităţile cestui proces. Ignorre su încălcre cestor legităţi rezultte din nliz spectelor concrete l problemelor de decizie pote gener doptre unor decizii empirice, incorecte su nedecvte. Teori mtemtică deciziei, le cărei principle noţiuni le vom prezent în cdrul cestui cpitol, se bzeză pe conceptele din teori probbilităţilor şi din sttistic mtemtică, complette de o disciplină mi nouă, respectiv teori utilităţii. Abordre problemticii riscului într-o mnieră rigurosă implică şi rezolvre unor probleme de decizie cre să conducă l minimizre riscului şi pierderilor de orice ntură socite diferitelor decizii doptte şi cţiunilor plicte. Într-o problemă de decizie, un decident individul (de obicei un mnger) su colectiv (un comitet su un bord de conducere) trebuie să legă din mi multe lterntive, în funcţie de numite criterii su reguli de decizie, stfel încât decizi lesă să fie din numite puncte de vedere ce mi bună. Alterntivele pe cre le re decidentul sunt constituite dintr-un spţiu de cţiune, cre conţine tote cţiunile posibile pe cre decidentul le re l dispoziţie.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE În generl, în moritte problemelor de decizie, spţiul de cţiune este o mulţime finită, dr există şi probleme de decizie cu spţiul de cţiune infinit. Un lt element cre defineşte o problemă de decizie îl constituie spţiul de prmetri, su spţiul stărilor nturii, cre reprezintă stre devărtă lumii rele. Consecinţele fiecărei cţiuni depind de evenimente incerte, reprezentte de stre nturii. Într-o problemă de decizie, decidentul pote să ibă, su nu, l dispoziţie informţii privind incertitudinile ce crcterizeză problem de decizie. Aceste informţii suplimentre rezultă de obicei pe bz efectuării unor experimente, înţelegând prin cest sensul cel mi lrg de definire experimentelor de ntură sttistică, respectiv, ctivităţile de culegere şi prelucrre informţiei referitore l un numit fpt. Dcă decidentul nu foloseşte informţii din experimente pentru doptre deciziei, spunem că vem o problemă de decizie fără experimentre. Dcă însă în procesul de doptre deciziei sunt utilizte informţiile provenite din experimente, spunem că vem o problemă de decizie cu experimentre. Informţi este de cele mi multe ori de ntură sttistică, furnizând modelul probbilistic tşt problemei de decizie. Informţiile din experimente se referă l vribilele letore cre definesc spţiul de eşntionre l problemei de decizie. Deciziile în cre probbilitte de priţie fiecărei stări nturii este cunoscută (su pote fi estimtă) sunt definite c fiind decizii lute în condiţii de incertitudine su de risc. În semene situţii, decidentul pote evlu grdul de risc în termenii unei distribuţii de probbilitte. Astfel, probbilităţile în doptre deciziei pot fi văzute c un miloc de exprim convingere decidentului supr evenimentelor viitore, cre sunt însă incerte. Probbilităţile cre evlueză stările nturii sunt obiective şi subiective. Probbilităţile obiective pot fi determinte pe bz dtelor istorice su c urmre experimentelor şi trebuie să fie ctule, numărbile su observbile. Probbilităţile subiective măsoră grdul de convingere în verosimilitte priţiei viitore unui numit rezultt şi se utilizeză tunci când probbilităţile obiective nu sunt ccesibile su nu pot fi utilizte. Pentru fiecre problemă de decizie se defineşte o funcţie de pierdere, cre cuntifică pierdere socită fiecărei consecinţe cţiunilor doptte, pentru fiecre stre nturii. Pierdere este cel mi dese exprimtă în termeni monetri, dr pot fi şi lte modlităţi de măsurre pierderii. Pe bz funcţiei de pierdere, se pote determin funcţi de risc, c fiind vlore medie su vlore ştepttă pierderii, definiţie ce implică utilizre probbilităţilor. Criteriile su regulile de decizie se împrt în două ctegorii. Este vorb despre criteriul minimx şi despre criteriul Byes. Criteriul minimx se plică mi les deciziilor fără experimentre, în cre se evlueză pierderile mxime dtorte cţiunilor doptte şi poi se lege decizi cre re o pierdere minimă. Acest criteriu de decizie este unul conservtor, pesimist, cre ne sigură protecţi supr unor vriţii crescute le riscului, respectiv minimizeză riscul mxim. Criteriul de decizie Byes i în considerre şi lte informţii de cre dispune decidentul în legătură cu stările nturii cre este posibil să pră. În ceste situţii, decidentul ţine sem de convingerile sle privind stre nturii, reprezentte sub form unei distribuţii de probbilitte, respectiv ş-numit distribuţie convingerii. Funcţi de risc de tip Byes
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE exprimă pierdere medie pentru decizi considertă, condiţiontă de devărt stre nturii, clcultă în funcţie de densitte de probbilitte convingerii. Procedur de decizie Byes indică decidentului legere cţiunii cre minimizeză pierdere medie, pierdere evlută în funcţie de vlorile distribuţiei de probbilitte iniţile considerte pentru tote stările posibile le nturii. Acestă legere se pote fce fără utilizre unor informţii suplimentre rezultte c urmre experimentării. Dcă însă decidentul pote dispune de ceste informţii suplimentre, tunci ele trebuie plicte pentru doptre deciziei. În cdrul experimentării, decidentul nlizeză vribilele letore cre conţin vlorile spţiului de eşntionre. El v stbili o procedură de decizie su o strtegie, cre să-i indice cţiunile pe cre trebuie să le plice pentru fiecre vlore vribilei letore, urmărind legere funcţiei de decizie optimle. Funcţi de risc, clcultă cu utorul probbilităţilor iniţile oferă un miloc de defini optimlitte, respectiv minimizre riscului pentru fiecre stre nturii. Dr în moritte czurilor, cestă funcţie optimlă nu există şi tunci v trebui să găsim o modlitte de găsire deciziei optimle cu utorul probbilităţilor posteriore, cre însemnă de fpt încorporre în modelul de decizie tuturor informţiilor disponibile despre stre nturii. Îninte de proced l utilizre experimentelor sttistice, cre de cele mi multe ori u costuri semnifictive, este necesr însă să evluăm vlore potenţilă pe cre o duc ceste experimente. Pentru cest vom evlu mi întâi vlore informţiei perfecte experimentului, respectiv vlore pe cre decidentul este dispus să o plătescă pentru cestă informţie perfectă. Abordările minimx şi Byes conduc, în generl, l rezultte diferite privind legere deciziei optimle, cu tote că numite legeri le distribuţiei convingerii pote conduce l soluţii similre le problemei de decizie. Un lt element importnt într-o problemă de decizie o constituie problem sumării riscului, respectiv titudinii fţă de risc decidentului. Acest însemnă decizi de rămâne într-o stre neschimbtă (sttus-quo) su decizi de intr într-o situţie de incertitudine, cre pote duce l câştig su l pierdere. O bordre cestei probleme este dtă de funcţi de utilitte, cre pote fi văzută c o pierdere negtivă, urmărindu-se mximizre utilităţii printr-o decizie optimlă. Dcă funcţi de utilitte mrginlă este descrescătore, tunci decidentul re versiune l risc, ir tunci când funcţi de utilitte este crescătore, suntem în czul unui decident cre îşi sumă riscul. În fine, o problemă de decizie secvenţilă cu stdii multiple pote fi nliztă şi cu utorul rborilor de decizie, metodă cre re vntul de furniz o reprezentre grfică clră lterntivelor şi cronologiei evenimentelor problemei de decizie. Un rbore de decizie este lcătuit din noduri şi din rmuri. Există două tipuri de noduri, respectiv noduri de decizie (reprezentte printr-un pătrt) şi noduri de incertitudine (reprezentte printr-un cerc). Rmurilor de incertitudine li se tşeză probbilităţi, în funcţie de condiţionările pentru fiecre rmură rborelui de decizie. Cele două metode de rezolvre problemei de decizie, ce nlitică şi ce grfică u fiecre vnte şi cel mi bine se utilizeză împreună pentru determinre soluţiei optimle problemei de decizie.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE.. Scurt istoric l teoriei deciziei Încercând o scurtă schiţă istorică evoluţiei conceptelor din teori deciziei, cre re de fpt o istorie recentă de circ 5 de ni, să remrcăm fptul că teori probbilităţilor, sttistic, teori utilităţii şi teori ocurilor sunt principlele domenii le mtemticii cre se utilizeză pentru rezolvre problemelor de decizie. Primele idei de teori probbilităţilor se consideră că u fost introduse de Crdno, în nul 55, în lucrre Liber de Ludo Alee (Crte supr ocurilor de noroc). Tot de ocurile de noroc şi de numele lui Pscl şi Fermt se legă principiile de bză le teoriei probbilităţilor, conţinute într-un schimb de scrisori între cei doi în nul 654, c rezolvre unei probleme din ocul de zruri. Omul de ştiinţă olndez Christin Huygens, pe bz conceptelor lui Pscl şi Fermt, publict în nul 657 prim crte de teori probbilităţilor, intitultă De Rtiociniis in Ludo Alee (Asupr rţionmentelor în ocurile de noroc). În secolul l VIII-le, teori probbilităţilor devine din ce în ce mi populră, contribuţii importnte vând Jcob Bernoulli ( Ars Conectndi 7) şi Abrhm de Moivre ( Doctrine of Chnces 7). Bernoulli este primul cre demonstreză prim teoremă limită probbilităţilor, respectiv lege numerelor mri. Secolul l I-le constituie începutul bordării moderne în teori probbilităţilor şi în sttistic mtemtică. Crl Friederich Guss rtă, în nul 89, că reprtiţi normlă (celebrul clopot l lui Guss) reprezintă un model mtemtic decvt pentru distribuţi erorilor de măsurre. În nul 8, Pierre de Lplce în lucrre Théorie Anlytique des Probbilités dezvoltă noi idei şi noi domenii de plicre probbilităţilor în fr ocurilor de noroc, cum sunt teori erorilor (l cre contribuţii importnte dus şi Guss), mtemticile cturile, mecnic sttistică ş.. În dou umătte secolului I, se pot consemn numele lui Chebyshev şi Mrov în domeniul probbilităţilor şi le lui Glton şi Person în sttistic mtemtică. C şi în lte domenii le mtemticii, dezvoltre teoriei probbilităţilor fost stimultă de diversitte plicţiilor sle. Sttistic mtemtică este unul din cele importnte domenii plicre probbilităţilor. Sttistic er l începuturile sle o ştiinţă politică cu originile în Germni şi este destul de dificil de precit când termenul fost utilizt în sens mtemtic pur. De l primele sle obiective, de sistemtiz informţiile despre stre societăţii (deci o mtemtică sttului ), sttistic şi- dovedit în ultimele două secole plicţiile sle în tote domeniile ştiinţifice şi socile. Ultimul secol consemnt dezvoltările teoretice importnte le lui von Mises, Keynes, de Finetti, Borel şi Kolmogorov, ultimul vând o contribuţie remrcbilă în xiomtizre modernă teoriei probbilităţilor. Evident că list celor cre şi-u dus portul l dezvoltre teoriei probbilităţilor este deprte de fi completă şi conţine numi o prte din mrile nume în domeniu. Şi în sttistic mtemtică pot fi menţionte, cum r fi cele duse de Fisher, Person, Neymnn etc. În ultimele decenii, teori probbilităţilor fost integrtă într-o disciplină mi generlă şi nume în teori măsurii. Şi şcol românescă de teori probbilităţilor şi sttistică mtemtică re în ultim umătte de secol rezultte teoretice şi 4
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE prctice importnte, dtorte îndeosebi cdemicienilor Octv Onicescu, Gheorghe Mihoc şi Mrius Iosifescu. Teori probbilităţilor şi sttistic mtemtică se studiză sistemtic în tote fcultăţile de mtemtică din ţră. Conceptele de teori utilităţii u fost introduse iniţil de von Neumnn şi Morgerstern în lucrre Theory of Gmes nd Economic Behviour (947). Contribuţi principlă l construire unei devărte teorii deciziei este dusă de Abrhm Wld prin lucrre fundmentlă Sttisticl Decision Functions (95). Wld bordeză problemele fundmentle le sttisticii mtemtice c fiind probleme de decizie. Generlizând problemele de estimţie şi de verificre ipotezelor sttistice, Wld formult modelul generl l problemei de decizie. În nii 6 7, contribuţii semnifictive l dezvoltre teoriei deciziei u dus L. J. Svge, D. Luce, H. Rif, K. Arrow şi lţii. Eforturile s-u concentrt pe rezolvre unor probleme de decizie complexe le societăţii contemporne, cu o mre cntitte de informţie, pe cre numi clcultorele electronice cre u cunoscut şi ele o dezvoltre explozivă în cestă periodă o pot prelucr pe bz lgoritmilor şi modelelor dezvoltte în teori deciziei. În litertur de specilitte din ţr nostră, direcţiile de cercetre în domeniul teoriei deciziei s-u concentrt supr bordării probbiliste şi sttistice dtortă profesorilor M. Mliţ şi C. Zidăroiu (bordre de tipul celei prezentte în cdrul cestui cpitol), dr şi specte de decizie din teori ocurilor (bordre pe cre nu o vom discut ici). Nu vom discut, de semene, în cdrul cestui cpitol, nici procesele de decizie stocstice cre implică utilizre lnţurilor Mrov şi cre necesită un prt probbilistic mi vnst. 5
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE DECIZIE.. Elementele generle le modelului Elementele de bză le modelului generl l unei probleme de decizie pot fi formlizte mtemtic stfel: Definim o mulţime A, denumită spţiu de cţiune, lcătuită din tote cţiunile posibile Α de cre dispune decidentul; Definim o mulţime, denumită spţiu de prmetri, lcătuită din tote stările nturii posibile. O singură stre nturii şi numi un v păre, dr stre devărtă nu este cunoscută de decident în momentul în cre el lege o cţiune; Definim o funcţie L, denumită funcţie de pierdere, cu domeniul Α şi cu vlori în mulţime R (mulţime numerelor rele). L este constituită din perechile ordonte,,,, denumite consecinţe (le legerii cţiunii, tunci când stre Α devărtă nturii este ); Considerăm vribil letore, cre re vlorile posibile x, denumit spţiu de eşntionre. Vribil letore re funcţi de densitte de probbilitte în fmili f x; ; Definim mulţime D, denumită spţiu de decizie, lcătuită din tote plicţiile d din în A. Interpretre modelului de mi sus este următore. În momentul în cre decidentul îşi lege cţiune, el nu cunoşte devărt stre nturii şi deci nu cunoşte consecinţ ctulă cţiunii sle (dcă el lege A, este, tunci consecinţ ctulă necunoscută, deorece stre este necunoscută). Decidentul ştie totuşi pierdere cre r rezult pentru fiecre din consecinţele posibile,, corespunzătore cu legere cţiunii A şi stre nturii. Desigur, pierdere pote fi şi câştig, cz în cre vlore lui L, v fi negtivă. C lterntivă l funcţi de pierdere, putem să lucrăm cu o funcţie de câştig su o funcţie de utilitte. Pentru reduce incertitudine supr stării, decidentul culege informţie sub form observării unei vribile letore, cărui distribuţie de probbilitte depinde de prmetrul. Ştiind că x şi ştiind form lui f x, decidentul pote extrge informţie despre prmetrul, cre să îl ute în legere unei strtegii generle, cre defineşte, pentru fiecre x, legere cţiunii. Sintetizând modelul generl l problemei de decizie, decidentul lege o cţiune A, pe bz observţiilor supr vlorilor vribilei letore x. Alegere unei strtegii generle, cre defineşte pentru fiecre x, legere lui, este echivlentă cu legere funcţiei de decizie d D. După ce fost lesă, funcţi de decizie d specifică cţiunile cre trebuie să fie plicte pentru tote vlorile posibile x. Teori deciziei pote fi văzută c fiind studiul selectării deciziei d din mulţime D. 6
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Acest implică două tipuri diferite de probleme. Prim, de ntură filosofică, este problem criteriului utilizt pentru comprre elementelor din D; dou, de ntură tehnică, priveşte modul de determinre unei decizii optime, pe bz criteriului les. O problemă de decizie pote fi văzută şi c fiind un oc împotriv nturii. Acest însemnă că ntur lege un element şi poi decidentul, fără cunoşte stre lesă de ntură, lege, l rândul lui, un element A. Rezulttul cestor două legeri este L,, pierdere cre pote fi măsurtă într-o unitte pierdere de către decident cntităţii de măsură decvtă (nu nepărt în bni). Posibilitte observării unei vribile letore, f x, furnizeză decidentului o informţie limittă despre cu densitte de probbilitte legere nturii. Alegere funcţiei de decizie pote fi văzută însă c o strtegie de oc. Să notăm, de semene, că două din domeniile more le sttisticii inferenţile respectiv estimre şi testre ipotezelor sunt mbele czuri specile le modelului generl de decizie prezentt mi sus. Vom detli ceste czuri în cursul cestui cpitol... Regulile de decizie minimx şi Byes L prim impresie, s-r pute crede că legere funcţiei de decizie optime este reltiv simplă, deorece vom lege o funcţie d D stfel încât pierdere să fie minimiztă, indiferent de stre nturii cre pre. Totuşi, cest lucru nu este posibil dcă nu ştim devărt stre nturii, cz în cre nu suntem de fpt în fţ unei probleme de decizie. Pentru ilustr cest lucru, să presupunem că dorim estimre unui prmetru necunoscut rel, cu o funcţie de pierdere pătrtică de form L,. Să presupunem că m observt vribil letore x şi că dx este estimre lui specifictă de d. Dcă vlore devărtă prmetrului este, vom ve o pierdere dx. Dcă, în fpt, dcă însă pute select, v trebui să luăm x d pentru minimiz pierdere;, v trebui să luăm d x. Dr deorece nu ştim vlore lui, nu vom d x pentru minimizre pierderii. Din punct de vedere mtemtic, problem nu este bine definită. O metodă posibilă pentru legere unei funcţii de decizie d cât mi bune, în termenii unei cntităţi cre să potă fi clcultă, este găsire unei măsuri cre să evlueze în medie strtegi de decizie lesă. Fie funcţi R, definită pe D cu vlori rele, definită prin şi R, d L, dx f x dx ( continuă) (.) f x R, d L, dx ( discretă). (.) x Funcţi R se numeşte funcţi de risc lui d, evlută pentru. R, d măsoră deci vlore medie pierderii (su vlore ştepttă Riscul 7
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE pierderii), utilizând funcţi de decizie d, dcă stre devărtă nturii este şi în rport cu distribuţi specifictă f x. Notând opertorul pentru vlore medie cu M, putem scrie R, d M L, dx. (.) Opertorul rport cu există, stfel încât M pote fi plict pentru orice funcţie g x, cărei vlore medie în M gx, gx, f x dx Putem utiliz de semene şi opertorul pentru vrinţă V. (.4) V, definit c gx, M gx, M gx. (.5), Exemplul. Să nlizăm problem estimării prmetrului, utilizând funcţi de pierdere pătrtică L şi un eşntion letor,,, n btere stndrd, N,. Considerăm următorele reguli de decizie:,, (.6) dintr-o distribuţie normlă cu medi şi d,,, n n, n (.7) d,,, n medin,,, n, (.8) d,,,. (.9) n Conform relţiilor de mi sus, d este medi eşntionului, d este medin eşntionului, ir d este o regulă de decizie cre sttueză că se ignoră orice vlore eşntionului şi întotdeun se estimeză c fiind. Clculând funcţiile de risc pentru ceste decizii obţinem R, d M V. (.) n (în cest cz re o distribuţie normlă N, n. Ţinând cont că medin re o distribuţie normlă N n, obţinem, 57 R, d M medin,, n. (.) n n Pentru d obţinem d M M R,. (.) 8
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Funcţiile de risc pentru d, d şi d sunt reprezentte în Figur. R, d d,57 n d n d Figur. Funcţiile de risc pentru deciziile d, d şi d În condiţiile problemei nostre (distribuţie normlă şi funcţie de pierdere pătrtică), se observă că medin nu este un estimtor cceptbil, vând în vedere că funcţi de risc mediei re tote vlorile mi mici decât le medinei, pentru orice. În celşi timp, medi nu este în mod necesr un estimtor mi bun decât d, ţinând cont că în vecinătte lui, funcţi de risc lui d re vlorile de risc cele mi mici. Din cest exemplu observăm că funcţiile de risc în sine nu ne furnizeză un criteriu de legere între d şi d. Exemplul următor ilustreză tocmi dificultte legerii regulilor de decizie.,,, un eşntion letor din distribuţi normlă n Exemplul. Fie N,, cu, dică o distribuţie normlă vând medi şi dispersi egle cu. Vom estim prmetrul utilizând ceeşi funcţie de pierdere pătrtică L,. şi şi Considerăm funcţiile de decizie d,,, n n, (.) n d,, (.4) n n,, n i Clculând funcţiile de risc, obţinem R, d M V, (.5) n dr deorece d M R i d M d V d,, (.6), obţinem R, d. (.7) n 9
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE n n Rezultă că R, d R, d dcă şi R, d R, d dcă, n n n eglitte vând loc dcă. Grficele funcţiilor de risc corespunzătore deciziilor d n şi d pentru n sunt reprezentte în Figur.. R, d d d /8 /4 Figur. Funcţiile de risc pentru deciziile d, şi d Anlizând figur de mi sus, observăm că dcă ştim că 4, tunci decizi d este optimă, dr dcă ştim că 4 tunci decizi este d optimă. Problem este că nu ştim vlore lui şi stfel trebuie să găsim şi lte criterii cre să ne ute să legem. În generl, o problemă de decizie conduce l un mre număr de funcţii de decizie posibile (mulţime D re un număr forte mre de elemente) şi modelele grfice prezentte nterior nu mi pot fi plicte. De cee, v trebui să căutăm criterii generle, cre să ne permită selecţi regulilor optimle din spţiul de decizie D. Prin termenul optiml vom înţelege în continure ce mi bună soluţie pe cre o legem într-un context dt. Vom nliz în cele ce urmeză două stfel de criterii, cunoscute sub denumire de criteriul (regul) minimx şi criteriul Byes. Pentru detli ceste concepte, să considerăm două funcţii de risc ipotetice corespunzătore regulilor de decizie d şi d pentru o problemă de decizie cu spţiul de prmetri, reprezentte în Figur.. R, d d d Figur. Două funcţiile de risc ipotetice
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Pentru moritte vlorilor lui, d re un risc mi mic decât d, dr există vlori le lui pentru cre d re un risc considerbil mi mre. Ce se pote fce în semene situţii? Sunt posibile două bordări le cestei probleme: ) Alegere lui d, cre ne proteeză supr unor vriţii crescute le riscului, respectiv minimizeză riscul mxim; b) Considerre şi ltor informţii de cre dispunem şi nlizre vlorilor lui cre este probbil să pră. Dcă suntem convinşi că vlorile lui vor fi în intervlul în cre d re riscul mxim, tunci vom lege d. Dcă, pe de ltă prte, vem convingere că este puţin probbil c vlorile lui să fie în intervlul de risc mxim, tunci vom lege d. În mbele czuri, în nliză m introdus convingerile nostre privind vlorile lui. Aceste exemple intuitive ne conduc l următore formlizre. Pentru ), vom lege decizi d * stfel încât sup R, d * inf sup R, d. (.8) dd Cu lte cuvinte, vom lege funcţi de decizie l cărui risc mxim este cel mi mic, dintre tote vlorile posibile de riscuri mxime corespunzătore deciziilor d din D. d * se numeşte funcţie de decizie minimx. Pentru b), presupunem că convingerile nostre referitore l pot fi reprezentte sub form unei funcţii de densitte de probbilitte p cu domeniul. De exemplu, în Figur.4 sunt reprezentte două distribuţii posibile p şi p pentru distribuţi convingerii (în engleză belief distribution) p pe cre le sumăm pentru. Am văzut că funcţi de risc R, d condiţiontă de fptul că este devărt stre nturii. Considerând R, d exprimă pierdere medie pentru decizi d, o funcţie de, pentru d fixt, putem să clculăm vlore s medie în rport cu distribuţi convingerii p. su Definim riscul Byes B d pentru o funcţie de decizie d c fiind d R d p d B,, ( continuă) (.9) d R d p B,, ( discretă) (.)
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE R, d p p Figur.4 Forme posibile le distribuţiei convingerii Este nturl să căutăm cum o funcţie de decizie cre minimizeză pierdere totlă, dică B d M M L, d x. (.) d * este, prin definiţie, o funcţie de decizie Byes dcă B d * inf B d. (.) Să remrcăm că, dtă fiind o problemă de decizie, d * nu este unică deorece e depinde de legere lui p. Spunem că d * este o funcţie de decizie Byes în rport cu p. dd Exemplul următor ilustreză bordările minimx şi Byes. Exemplul. Pentru problem de decizie din Exemplul. vem sup R d, n (.), 57 sup R, d, n (.4) sup R,, (.5) Să presupunem cum că suntem siguri că vriză în intervlul, şi în cest intervl vem convingere că nu există vlori le lui cre să fie mi pluzibile decât ltele. Convenim deci să reprezentăm cestă convingere printr-o distribuţie uniformă pe intervlul, şi vem p 5. (.6) d
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Atunci funcţiile de risc Byes sunt R, d B d B d 5d, (.7) n n, 57 n, 57 5d, (.8) n B d 5d, (.9) Rezultă că dcă n, funcţi de decizie Byes este d, dcă n tunci d şi d u celşi risc Byes, ir dcă n tunci d este decizi cu riscul Byes cel mi mic. Totuşi, dcă convingere nostră stbilită priori r fi fost diferită, de exemplu o distribuţie uniformă pe intervlul,, urmând ceeşi procedură c mi sus, cele trei vlori le riscului Byes r fi fost, 57 Bd, Bd, B d, (.) n n şi deci pentru n, d este decizi prefertă din punct de vedere Byes. Am nlizt până cum două bordări posibile pentru legere regulilor de decizie, respectiv bordre minimx şi bordre Byes. Din exemplele nteriore, rezultt că ceste bordări conduc, în generl, l răspunsuri diferite privind legere funcţiei de decizie optimle (deşi pentru numite legeri priori le distribuţiilor de probbilitte le convingerii privind stre nturii, cele două bordări pot conduce l celşi rezultt)... Decizii dmisibile Să considerăm funcţiile de risc din Figur.5. Este clr că funcţiile d şi d vor fi eliminte de l început din nliză. Funcţiile d şi d 4 u un risc reltiv similr şi rămâne să legem între ele. d d d d 4 Figur.5 Funcţiile de risc pentru diferite funcţii de decizie
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE Fiind dtă o funcţie de decizie d D, dcă există o ltă funcţie d D cre stisfce proprietăţile R, d R, d pentru orice vlori, (.) şi R, d R, d pentru numite vlori, (.) tunci decizi d este domintă de decizi d su d domină d. O funcţie de decizie cre este domintă de o ltă funcţie de decizie se numeşte indmisibilă. În cz contrr, decizi se numeşte dmisibilă. În Figur.5 considerând spţiul de decizie D d, d, d, d 4, rezultă că d şi d sunt dominte de d şi d 4 şi deci sunt indmisibile, ir d şi d 4 sunt dmisibile deorece nici un nu o domină pe celltă. Utilitte conceptului de dmisibilitte este nturlă, deorece ne permite eliminre deciziilor indmisibile şi concentrre eforturilor pentru legere deciziilor celor mi bune dintre cele dmisibile...4 Interpretre geometrică Pentru reprezentre şi interpretre geometrică problemei de decizie, vom consider czul,,,. Fie o problemă de pentru spţiul de prmetri -dimensionl decizie cu spţiul de cţiune A,,, cu spţiul prmetrilor, funcţi de pierdere definită în Tbelul.: Tbelul. Funcţi de pierdere tbelră 4 4 şi cu L prim vedere cţiune este preferbilă, deorece dcă este devărtă, tunci este preferbilă lui, ir dcă este devărtă, tunci este preferbilă lui. Să considerăm cum o cţiune letore corespunzătore runcării unei monede, respectiv legere lui dcă pre cpul şi lui dcă pre pur. Atunci, pentru cestă cţiune letore, dcă este devărtă, pierdere medie este dtă de 5 L, L, 4, (.) şi dcă este devărtă, de 5 L, L, 4, (.4) 5 Deorece, în mbele czuri cţiune letore este preferbilă lui. 4
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Exemplul de mi sus sugereză fptul că procedeul letor se pote plic şi regulilor de decizie d D şi vom scrie d d,, (.5) pentru indic o decizie letore cre lege d cu probbilitte şi d cu probbilitte. Vom defini riscul pentru decizi letore c fiind R, R, d R, d. (.6),,,, cu m,, putem m Mi generl, dcă i defini decizi letore d d md m, (.7) c fiind o combinţie letore elementelor lui D. Corespunzător, riscul v fi R, R, dr, d mr, d m. (.8) Considerând combinţiile letore le tuturor elementelor lui D, obţinem mulţime tuturor regulilor de decizie letore D *. Avem evident D D* şi notăm cu un element generl l lui D *.,,, c fiind Definim mulţime de risc S pentru czul S y,, y, stfelîncât y R,, R,, pentru D*. (.9) R reprezintă mulţime -uplurilor ordonte Spţiul -dimensionl y y,, de numere rele. S este o submulţime lui R lcătuită din punctele le căror coordonte sunt componentele R,, corespunzătore deciziei letore. Să remrcăm le riscului fptul că S este o mulţime convexă, dică orice dreptă cre uneşte două puncte din S nu iese în fr lui S. Acestă propriette este ilustrtă şi în Figur.6, pentru. Tote punctele de pe drept cre uneşte punctele de risc pentru d şi d, corespund punctului de risc pentru combinţi letore lui d şi d. Tote punctele cu cestă propriette prţin lui S şi S este convexă. R, S Punctul de risc pentru d Punctele de risc pentru combinţi letore deciziilor d şi d Punctul de risc pentru d R, Figur.6 Form generlă convexă mulţimii de risc S 5
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE Vom folosi cestă propriette pentru d o interpretre geometrică bordărilor minimx şi Byes. Abordre minimx. Pentru D*, cntitte sup R, stărilor,,, corespunzător lui., chir y mx, unde y y, devine, pentru mulţime, y este punctul de risc Abordre minimx compră regulile de decizie în termenii mx y, stfel încât tote regulile de decizie cre conduc spre ceeşi vlore sunt egle din punct de vedere l criteriului minimx. În două dimensiuni, locul geometric l punctelor y, y cu propriette mx y, y const. (o numită vlore specifictă) re form unui echer. Deorece mx, regul de decizie minimx este, bordre minimx urmăreşte minimizre vlorii din punct de vedere geometric, punctul (su punctele) în cre echerul de 9 tinge mrgine inferioră (limit inferioră de sud-vest, nottă S-E) lui S. Acestă propriette este ilustrtă în Figur.7. Să notăm şi fptul că regul minimx pote să nu fie unică, e depinzând de form lui S, cre l rândul ei depinde de problem de decizie. R, y S Punctul de risc pentru decizi minimx R, Figur.7 Interpretre geometrică bordării minimx Abordre Byes. Pentru,,, priori) convingerii dtă de p p, p,, să considerăm distribuţi iniţilă (, stfel încât p i, i,, şi p p p. Riscul Byes pentru regul de decizie letore este dt de p p R B, p y. (.4) Acest defineşte un hiperpln în spţiul -dimensionl. Pentru simplificre, dcă, tote punctele y y, y cre du ceeşi vlore de risc Byes, prţin unei drepte de form p y p y const. (.4) 6
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Deorece p, p şi p p, cestă dreptă v ve o orientre NV SE. Dr bordre Byes urmăreşte minimizre p y p y ; rezultă că regul de decizie Byes re punctul de risc în punctul în cre drept p y p y inf B este tngentă l mrgine inferioră lui S, ş cum se pote observ în Figur.8. R, =y S Figur.8 Interpretre geometrică bordării Byes Exemplul.4 Presupunem că pentru o problemă de decizie cu spţiul stărilor, spţiul de decizie D d, d, d, d, R,, funcţi de risc Cele 5 puncte de risc corespunzătore elementelor lui D şi mulţime S sunt reprezentte în Figur.9. S este lcătuită din tote punctele de risc cre pot fi obţinute din combinre letore celor 5 puncte de risc iniţile. R, Punctul de risc pentru decizi Byes 4 d 5 p y p y inf B i d din Tbelul., după cum urmeză: Tbelul. Funcţi de risc pentru Exemplul.4 d d d d 4 d 5 4 5 4 5 4 R, =y şi este definită de vlorile =y d d d 5 S d 4 d R, Figur.9 Mulţime S corespunzătore funcţiei de risc din =y Tbelul.4 7
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE Regulile de decizie dmisibile corespund punctelor din S cre nu u puncte situte l S E de ele; cest însemnă că nu putem să găsim un cre să reducă o componentă de risc fără o creşte pe celltă. În czul nostru, mulţime regulilor dmisibile corespunde punctelor situte între d şi d 4, cât şi d 4 şi d. Cu lte cuvinte, e este lcătuită din combinre letore d şi d 4 su d 4 şi d. Rezultă că regul minimx este d 4, deorece echerul de 9 intersecteză S în mod unic în punctul d 4. Regul Byes depinde de legere perechii p, p. Plecând de l verticlă ( p ) şi vriind vlorile lui p până l orizontlă ( p ), obţinem deciziile Byes din Tbelul.. Anlizând rezulttele din tbelul menţiont, observăm că vem situţii în cre regulile de decizie nu sunt unice. Tbelul. Regulile de decizie Byes pentru Exemplul.4 p p 4 d (unică) Decizi Byes p 4 Orice combinţie letore lui d şi d 4 4 p 4 d (unică) p Orice combinţie letore lui d 4 şi d p d (unică)..5 Câtev teoreme de bză Rezulttele cre urmeză stbilesc relţiile între conceptele de dmisibilitte şi regulile de decizie minimx şi Byes. Să remrcăm mi întâi că este posibil să vem două funcţii de decizie, D* stfel încât, dr R, R,. În cest cz spunem că şi sunt egle până l echivlenţă. Teorem. Pentru o problemă de decizie cu, A, L rbitrre şi spţiul de eşntionre l vribilei letore continue, dcă o funcţie de decizie Byes * cu o distribuţie iniţilă p este unică până l echivlenţă, tunci * este dmisibilă. Demonstrţie. Presupunem că * este indmisibilă. Atunci există D* stfel încât R, R, *, pentru tote vlorile, (.4) şi,, * R R, pentru vlore, (.4) Pentru czul continuu şi densitte de probbilitte p rezultă B R, p d R, * p d B *. (.44) 8
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Dr relţi nu pote fi < deorece r contrzice fptul că * este Byes, ir relţi nu pote fi deorece r contrzice fptul că * este unică până l echivlenţă. Avem o contrdicţie şi deci * este dmisibilă Czul discretă se demonstreză similr. Următore teoremă se referă l propriette că pentru o decizie Byes cu finită şi probbilităţile iniţile p rezultă că decizi este dmisibilă. Teorem. Dcă,,, p, p,, p,,, p, unde i şi * D* este decizi Byes pentru, tunci * este dmisibilă. Demonstrţie. Să presupunem mi întâi că * nu este dmisibilă. Atunci există D* stfel încât: R, R, *, pentru tote vlorile,,, (.45) şi (dică există cre domină * B, R, * R, pentru vlore i, (.46) i ). Rezultă i R, p R, p B * ineglitte strictă fiind dtortă fptului că p, pentru tote vlorile lui. Dr deci vem o contrdicţie şi rezultă că * este dmisibilă, (.47) B * inf B, (.48) Pentru problemele cu finită, cls deciziilor dmisibile este o submulţime clsei deciziilor Byes, propriette ilustrtă de teorem următore. Teorem. Dcă,,, este finită şi * D* p p, p,,, unde, şi p p p decizie Byes în rport cu p. p este dmisibilă, tunci există p, stfel încât * este o Demonstrţie (czul ). Fie x punctul de risc corespunzător lui * şi fie Q x mulţime punctelor din plnul situt l S V de x. Fie Q Q x. Deorece * este dmisibilă, nu există puncte le lui S l S V de x. Atunci S şi Q x sunt mulţimi disuncte, ele fiind şi convexe. O propriette cunoscută (ce hiperplnurilor de seprţie) rtă că există drept p y p y const. cu p, p şi p p. Acestă dreptă este tngentă l S şi * p, este o decizie Byes în rport cu p Teoremele nteriore ne-u prezentt o imgine tipului de legătură cre există între deciziile dmisibile şi deciziile Byes. Următorele teoreme ne vor răt conexiunile dintre deciziile dmisibile şi deciziile minimx. x x 9
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE Teorem.4 Dcă pentru o problemă de decizie dtă * este unic decizie minimx, tunci * este dmisibilă. Demonstrţie. Să presupunem că * nu este dmisibilă. Atunci există D* stfel încât R, R, *, pentru tote vlorile, (.49) şi În continure vem,, * R R, pentru vlore. (.5) sup R, sup R, *. (.5) Ineglitte strictă r contrzice fptul că * este minimx; eglitte r contrzice fptul că * este unică. Rezultă că ipotez iniţilă indmisibilităţii este flsă şi teorem este demonstrtă Teorem.5 Dcă pentru o problemă de decizie dtă * este dmisibilă şi R, * const pentru orice, tunci * este minimx.. Demonstrţie. Presupunem contrriul. Atunci există că D* stfel încât sup R, sup R, *. (.5) Dr dcă R, * const., tunci R, R, *, pentru tote vlorile. Acest contrzice fptul că * este dmisibilă şi teorem este demonstrtă Teorem nterioră ne sugereză o strtegie pentru determinre funcţiilor de decizie minimx: mi întâi se identifică o regulă dmisibilă şi poi se verifică dcă e re riscul constnt. Ce mi importntă teoremă de clsificre din teori deciziei rtă că, în generl, pentru fi dmisibilă, o regulă de decizie trebuie să fie Byes. Acest motiveză căutre unei metode mi simple de clcul regulilor de decizie Byes, în loc de căut direct minimizre pierderii medii posteriore inf M M L, d x, (.5) pentru orice x. D Teorem.6 Funcţi Byes de decizie * determintă de * x *, unde * şi corespunzătore convingerii iniţile minimizeză p x p este L, d, (.54) f x p p x. (.55) f x p d
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Demonstrţie. Scriind expresi riscului Byes rezultă B R, p d, (.56) L, x f x dxp d de unde, schimbând ordine de integrre, obţinem B L, xp xd f xdx, (.57) ştiind că din definiţi funcţiei de densitte de probbilitte condiţionte vem f x p p xf x. (.58) Determinre unei vlori * cre să minimizeze B este echivlentă cu minimizre integrlei din enunţul teoremei Din teorem cărei demonstrţie m schiţt-o mi sus, rezultă că determinre deciziilor Byes se pote reliz în două etpe: în prim, se determină probbilitte p x utilizând teorem lui Byes; în dou etpă, se minimizeză pierdere condiţiontă medie posterioră. Modelul sttistico-mtemtic l problemei de decizie nlizt în cestă secţiune pus în evidenţă două stdii în utilizre informţiei sttistice pentru decizie. Primul stdiu este decizi fără experimentre, respectiv decizi în cre decidentul nu utilizeză nici un fel de informţii rezultte din efecture unor experimente sttistice supr condiţiilor problemei sle. Abordre minimx su bordre Byes numi cu probbilităţi iniţile pentru distribuţi convingerii sunt exemple de decizie fără experimentre. Al doile stdiu îl reprezintă decizi cu experimentre, respectiv decizi în cre decidentul utilizeză probbilităţi condiţionte posteriore pentru modelul de decizie. Procedurile Byes sunt exemple de decizie cu experimentre Aceste două stdii de decizie fără su cu informţie rezulttă din experimente sttistice legte de problem de decizie, evidenţiză legătur directă între teori deciziei şi sttistică, elemente pe cre le vom detli în secţiunile următore.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE. TEORIA DECIZIEI ŞI STATISTICA.. Estimre Aş cum m rătt nterior, problem estimării unui prmetru necunoscut pote fi văzută c un cz specil l unei probleme generle de decizie în cre A, dică cţiune necesră este legere unui element din spţiul de prmetri. De ltfel, dcă este vorb de funcţii de decizie Byes, Teorem.6 din secţiune nterioră stbileşte că o stfel de funcţie de decizie,, este definită prin legere, pentru fiecre x x cre minimizeză pierdere medie posterioră xp xd, cţiunii L,. (.59) Următore teoremă stbileşte form generlă estimării Byes pentru diferite forme L,. le funcţiei de pierdere Teorem.7 Dcă L, denumită funcţi de pierdere pătrtică, estimre Byes este dtă de medi distribuţiei posteriore. Demonstrţie. Trebuie să legem x pentru minimiz p x Diferenţiind în rport cu şi eglând cu, obţinem deorece Teorem.8 Dcă L d. (.6) p x d p x d, (.6) p x d este dtă de medin distribuţiei posteriore. xd p (.6), denumită funcţi de pierdere bsolută, estimre Byes Demonstrţie. Considerăm czul R. Trebuie să legem pentru minimiz pierdere medie posterioră xd p xd p x p d. (.6) Diferenţiind în rport cu şi eglând cu şi ţinând cont că obţinem d d d gxdx g şi gxdx g d, (.64)
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE p xd p xd, (.65) (deorece sum celor două integrle este ). Rezultă deci că este medin distribuţiei posteriore.. Verificre ipotezelor sttistice Să nlizăm problem de decizie reprezenttă de verificre ipotezelor sttistice. Dcă H : este ipotez nulă şi H : este ipotez lterntivă, tunci spţiul,, ir spţiul de cţiune v ve, de semene, A,, cu următore semnificţie: reprezintă respingere ipotezei H, ir reprezintă respingere ipotezei H. Considerăm funcţi de pierdere definită de Tbelul.4 şi vlorile vribilei letore, f x. Tbelul.4 Funcţi de pierdere prmetrilor v ve două elemente două elemente cu densitte L L Vom nliz mi întâi form deciziei Byes, fiind dte probbilităţile iniţile cu p, p,. Conform Teoremei.6, pentru vlorile x, decizi Byes pote fi determintă legând cţiune cre minimizeză pierdere x este condiţiile medie posterioră. Pierdere medie posterioră dcă doptăm L f x p x L p x f x f x ir dcă doptăm x vem L, (.66) x p x p L f x x f x, (.67) f În relţiile de mi sus m folosit teorem lui Byes pentru funcţiile scrie p x p x. Atunci x v fi decizi cre r trebui să fie lesă dcă f x L f x şi L, (.68) dică dcă f x L. f x L (.69) Relţi de mi sus re următore semnificţie: respingem H dcă rportul de verosimilitte l lui şi este mi mic decât o numită vlore.
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE.. Lem Neymn - Person Considerând L pentru, şi Atunci L, clculăm mi întâi riscul R, R x pentru, i,, L, x i f i, unde este definită x. (.7) f x ~ x dx Prob dx, (.7) cre este, dică probbilitte de respinge H când de fpt H este devărtă. Se ştie că este probbilitte erorii de tipul I. De semene, R, L, x f f x ~ x dx Prob dx, (.7) cre este, dică probbilitte de ccept H când de fpt H este flsă. Se ştie că este probbilitte erorii de tipul II. Punctele de risc de coordonte, şi, le mulţimii S sunt tinse de testele cre întotdeun cceptă su resping H, independent de x ; ceste puncte prţin lui S. Având în vedere simetri şi convexitte lui S, reprezentre geometrică lui pentru cestă problemă de testre ipotezelor sttistice este redtă în Figur.. Testele dmisibile sunt dte de punctele de risc situte pe mrgine inferioră (SV) lui S. Dr ceste puncte sunt crcterizte de bordre Neymn Person: Lem Neymn Person. Cu o funcţie de pierdere, testele dmisibile pentru ipotez H : fţă de H : sunt definite de f x D*; x dcă, pentru R f x. (.7) S Figur. Mulţime de risc pentru H fţă de H 4
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE.4 ATITUDINI FAŢĂ DE RISC ŞI TEORIA UTILITĂŢII.4. Aversiune l risc Vom nliz în continure din punct de vedere mtemtic problem sumării riscului. Acest însemnă problem deciziei de rămâne într-o stre neschimbtă (sttus quo) su de intr într-o situţie de incertitudine, cre pote să ducă l câştig su l pierdere. Principlele exemple prctice de semene probleme sunt cele din sigurări (primele de sigurre conduc l câştig, dr plt despăgubirilor pentru ccidente su dezstre pote conduce l pierdere); din gricultură (plt pentru recoltă pote duce l câştig, dr secet, bolile su lte dezstre nturle pot duce l pierdere) su de l ocurile de noroc (o sumă iniţilă este plătită de ucător şi rezulttul ocului pote fi câştig su pierdere, în funcţie de tipul de oc şi de regulile cestui: curse, oc de cărţi, oc de zruri, ruletă ş..). În Figur. este prezenttă în mod schemtic o problemă de decizie simplă, cre sintetizeză elementele unei probleme de sumre riscului. Este vorb de problem unui oc de noroc, în cre fără incertitudine implică menţinere stării de sttus quo (ucătorul nu ocă), ir celltă conduce l o situţie de incertitudine prin fptul că ucătorul prticipă l oc cu o A, este lcătuit din cţiunile: sumă iniţilă. Cu notţiile nteriore, spţiul de cţiune : ucătorul nu ocă, : ucătorul ocă,,, este constituit din stările: spţiul prmetrilor : : : sttus quo, câştig, pierdere, ir consecinţele sunt:, : sum ucătorului rămâne neschimbtă,,, : sum ucătorului creşte cu vlore premiului, : sum ucătorului descreşte cu sum uctă. Să remrcăm fptul că, în numite situţii, chir dcă se obţine câştig, cest pote fi mi mic decât sum uctă, dr nu vom consider cest cz în problem nostră. Vom detli cestă problemă din perspectiv bordării Byes luării deciziilor. Pentru cest v trebui să specificăm mi întâi probbilităţile pentru,,, fiind dte su şi poi determinre vlorii consecinţelor. Am definit nterior funcţi de pierdere stfel încât L, L : A R, tribuind vlori consecinţelor, i este pierdere pentru cţiune lesă, dcă rezulttul r fi i. Introducem cum funcţi de utilitte U : A R, în cre U, pozitivă su utilitte obţinută pentru o consecinţă lcătuită din cţiune este vlore i şi rezulttul 5
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE i. Putem consider utilitte c o pierdere negtivă. Într-o serie de probleme de decizie o semene bordre este nturlă, vând în vedere că urmărim mximizre utilităţii printr-o decizie optimlă. Acţiuni Rezultte posibile Consecinţe Nici o schimbre Sttus quo Nu ocă, Recuperre sumei Câştig ucte plus Jocă sum câştigtă, Pierdere Pierdere sumei ucte, Figur. Schem unei probleme simple de sumre riscului Pentru problem de oc considertă nterior, să notăm cu C sum curentă de cre dispune ucătorul, cu S sum uctă şi cu P sum netă câştigtă su premiul câştigt. Să presupunem, de semene că, dtă fiind, p (cee ce însemnă că dcă ucătorul nu ocă, în mod sigur nu v pierde şi v rămâne în sttus quo), ir dtă fiind, tunci p p (respectiv dcă ucătorul ocă, probbilităţile de câştig su de pierdere le putem consider l fel de probbile). În termeni monetri, consecinţele sunt, C,, C P,, C S, (.74) şi rezultă că utilităţile sunt determinte pentru orice vlori C, P şi S, prin definire unei funcţii de utilitte U : R, unde conţine tote consecinţele cre pot păre din problem de oc. Atunci utilităţile medii le celor două cţiuni sunt dte de relţiile de mi os, în cre m utilizt vlorile probbilităţilor de câştig su de pierdere definite nterior pentru cţiunile (ucătorul nu ocă) şi respectiv (ucătorul ocă): Acţiune Utilitte medie U C C P U C S U 6
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE Pentru mximiz utilitte medie, cţiune optimlă este definită de următore schemă: Jocă ( ) Indiferent Nu ocă ( ) dcă UC UC P UC S Acestă schemă este ilustrtă în Figur., în cre m considert S, P S. Să considerăm cum czul specil P S, respectiv în termeni monetri, un oc echilibrt. Avem C C S C S. (.75) Ne punem problem să vedem în ce circumstnţe decidentul v lege su nu cţiune (să oce). Observăm că v fi lesă dcă U C S U C U C U C S, (.76) ir v fi lesă dcă UC SUC UCUC S eglitte însemnând indiferenţ de uc su nu. U(x ), (.77) U(C ) pentru U(C ) U(C+P ) U(C-S ) U(C ) pentru C-S C C+P x Figur. Utilitte medie pentru cţiunile şi Să considerăm cum form continuă funcţiei de utilitte, stfel încât pentru orice vlori le lui C şi S, decidentul lege fie, fie, fie este indiferent, ş cum este reprezenttă în Figur.4 (), (b) şi (c). Form funcţiei de utilitte din Figur.4() reprezintă utilitte mrginlă descrescătore, cee ce însemnă că l creştere cu o cntitte fixă ( lui C, de exemplu) produce o utilitte diţionlă din ce în ce mi mică, dcă se dugă l o sumă iniţilă din ce în ce mi mre (de exemplu de l C S l C vom ve o utilitte diţionlă mi mre decât de l C l C S ). O semene formă funcţiei de utilitte determină decidentul să legă întotdeun C în loc de C S su C S. Un decident cre re o semene funcţie de utilitte se spune că re versiune l risc, dică stre de sttus quo este prefertă unei situţii 7
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE de incertitudine, l cărei rezultt şteptt este egl cu situţi de sttus quo. Pentru c un oc cu C S su C S să fie prefert lui C de un decident cu versiune l risc, probbilitte rezulttului pentru C S trebuie să fie mărită. Dcă notăm cestă probbilitte cu, decidentul v prefer să oce dcă U C U C S U C S, (.78) su cu lte cuvinte dcă UC UC S UC SUC. (.79) Ineglitte de mi sus reflectă fptul că decidentul cu versiune l risc v prefer un rport superior în fvore s şi depăşire creşterii rportului de utilitte. Form funcţiei de utilitte din Figur.4(b) reprezintă utilitte mrginlă crescătore, cee ce însemnă că l creştere cu o cntitte fixă ( lui S, de exemplu) produce o utilitte diţionlă din ce în ce mi mre, dcă se dugă l o sumă iniţilă din ce în ce mi mre (de exemplu de l C l C S produce o utilitte diţionlă mi mre decât de l C S l C). O semene formă funcţiei de utilitte determină decidentul să legă întotdeun să oce, în loc să rămână în C pentru sigurnţă. Un stfel de decident se spune că îşi sumă riscul. Se observă că decidentul cre îşi sumă riscul v uc dcă U C U C S U C S, (.8) cee ce implică numi UCUC S, (.8) UC SUC şi din Figur.4(b) se observă că membrul drept l ineglităţii este mi mic decât. Acest implică existenţ vlorilor pentru cre decidentul preferă să oce decât să rămână în sttus quo. Situţi descrisă în Figur.4(c) implică indiferenţ de uc su nu. Să remrcăm fptul că pentru vlori le lui S suficient de mici în rport cu C, curbele din Figur.4() şi (b) vor ve proximtiv form din Figur.4(c), respectiv curbele vor fi suficient de bine proximte printr-o dreptă. Acest explică de ce un decident cu versiune l risc preferă să nu oce dcă sum uctă (şi câştigul) sunt suficient de mici. U(x ) U(C+S ) U(C ) ( ) U(C) U (C-S ) C-S C C+S x 8
TEMA : MODELE DE DECIZIE APLICATE ÎN ECONOMIE U(x ) (b ) U(C+S ) U(C ) U(C) U (C-S ) C-S C C+S x U(x ) (c ) U(C+S ) U(C ) U(C) U (C-S ) C-S C C+S Figur.4 Forme le funcţiei de utilitte: () nu ocă; (b) ocă; (c) indiferent x.4. Proprietăţile funcţiilor de utilitte Vom detli în continure proprietăţile funcţiilor de utilitte prezentte nterior, considerând, pentru exemplificre, czul utilităţii mrginle descrescătore. Presupunând continuitte funcţiei de utilitte şi ţinând cont de relţi UC UC S UC S, (.8) rezultă că există cntitte, S, stfel încât C C UC C UC S UC S, (.8) propriette ilustrtă în Figur.5. 9
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE U(x ) U(C c ) U(C ) U(C+S ) U(C S ) C S C c C C+S x Figur.5 Definiţi lui C Numărul C pote fi interprett c o primă de sigurre pe cre decidentul trebuie să o plătescă în scopul de evit schimbre stării de sttus quo C pentru un oc echilibrt între C S şi C S. Să considerăm funcţi de utilitte mrginlă descrescătore pentru orice oc cre implică deplsre de l C l C, unde este o vribilă letore cu medi (în czurile nteriore m vut S cu probbilităţile egle cu ). Prim de sigurre este definită de ecuţi unde vlore medie Pentru înţelege ntur lui UC C MU C, (.84) M este considertă în rport cu distribuţi de probbilitte lui. C, cre el însuşi furnizeză o măsură versiunii l risc, să presupunem că dispersi lui, pe cre o notăm, este suficient de mică, stfel încât trnzcţiile u loc într-o vecinătte lui C (implicând de semene că l rândul său este suficient de mic). Dcă dezvoltăm în serie Tylor mbii termeni i eglităţii (.84) obţinem: U C U C U C, (.85) C MU C M UC U C U C UC U C C C, (.86) unde în relţi (.85) m ignort termenii în C şi următorii, ir în relţi (.86) termenii cre conţin M şi următorii. Eglând cele două expresii, obţinem: Cntitte C U C UC U C d logu C U C dc. (.87) defineşte deci o măsură (loclă) versiunii l risc. Cu cât cestă cntitte este mi mre, cu tât prim C pe cre decidentul o re de plătit creşte (indicând nivelul înlt de versiune l risc). Form lui C ne pote ut să determinăm expresi