Ioan ROŞCA CALCUL NUMERIC. Elemente de teoria aproximarii

Ion ROŞCA CALCUL NUMERIC Elemente de teori proximrii

P R E F A T A In ultimul timp, u pǎrut nevoi enorme de modele mtemtice tot mi sofisticte şi simulǎri pe clcultor tot mi vste şi complexe. In cest mod, douǎ ctivitǎţi nedespǎrţite modelre mtemticǎ şi simulre pe clcultor u cîştigt un rol mjor în tote rmurile ştiinţei, tehnologiei şi industriei. Pentru c ceste douǎ ctivitǎţi sǎ fie sttornicite pe un teren cît mi solid, rigore mtemticǎ este indispensbilǎ. Din cest motiv douǎ ştiinţe înrudite nliz numericǎ şi softul ştiinţific pr etpe esenţile în vlidre modelelor mtemtice şi simulǎrile pe clcultor ce sînt bzte pe ceste. Prezentele note se dresez@ studen@tilor de l cursul de Clcul Numeric. Prin conţinut, ceste note reflectǎ nu tît preferinţele utorului, ci mi les opţiunile sle privitore l temtic unui curs de clcul numeric pentru studenţii Fculttii de mtemtic si informtic. Crte pote fi utiliztǎ de un cerc lrg de cititori, fiind cesibilǎ celor cre posedǎ cunoştinţe fundmentle de mtemticǎ ( nlizǎ, lgebrǎ, geometrie, etc. ). In idee de fce ceste note de sine stttore fost introdus in finl un cpitol de nexe. Acestǎ crte fost procestǎ de utor folosind progrmul L A TEX bine dptt pentru prelucrre textelor mtemtice. Bucureşti 2011 Autorul

Cuprins 1 Clse de funcţii în teori proximǎrii 9 1 Cls funcţiilor polinomile................... 10 1.1 Polinome lgebrice................... 10 1.2 Polinome ortogonle.................. 15 1.3 Polinome trigonometrice................ 23 2 Cls funcţiilor spline...................... 28 2.1 Funcţii polinomile pe porţiuni............. 28 2.2 Funcţii spline polinomile................ 30 2.3 Funcţii spline generlizte............... 56 2 Metode de interpolre 79 3 Probleme de interpolre..................... 79 3.1 Exemple simple de interpolre............. 79 3.2 O schem de interpolre bstrctǎ........... 80 4 Interpolre prin polinome.................... 83 4.1 Interpolre prin polinome lgebrice......... 83 4.2 Interpolre prin polinome trigonometrice...... 101 5 Interpolre cu funcţii spline................... 109 5.1 Interpolre funcţiilor continue cu funcţii spline polinomile de ordinul întîi........... 109 5.2 Interpolre cu funcţii polinomile de grdul trei pe porţiuni...................... 115 5

6 CUPRINS 5.3 Interpolre prin funcţii spline cubice......... 118 6 Interpolre in R n......................... 128 6.1 P - unisolvenţ..................... 129 6.2 Interpolre prin polinome.............. 131 3 Ce mi bun proximre 139 7 Ce mi bun proximre in spţii normte.......... 140 7.1 Crcterizre elementelor de ce mi bunǎ proximre 143 7.2 Existenţ elementelor de ce mi bunǎ proximre........................ 150 7.3 Unicitte elementelor de ce mi bunǎ proximre........................ 154 8 Ce mi bun proximre functiilor continue........ 161 8.1 Ce mi bunǎ proximre prin funcţii spline...... 168 4 Integrre şi derivre numericǎ 173 9 Construcţi formulelor de proximre............. 173 9.1 Scheme bstrcte..................... 173 9.2 Metode compozite de integrre numericǎ........ 176 9.3 Construcţi generlǎ formulelor de cudrturǎ compuse.......................... 178 9.4 Metode de integrre numericǎ de tip Guss...... 181 10 Evlure erorii in formulele de proximre.......... 185 10.1 Form integrlǎ restului................ 185 10.2 Evlure restului.................... 187 11 Formule de cudrtură optimle................ 194 11.1 Formule optimle în sensul lui Srd.......... 194 11.2 Optimlitte în sens Golomb - Weinberger...... 197 11.3 Formule optimle pe spţii bstrcte.......... 200 12 Convergenţ formulelor de cudrturǎ............. 204 12.1 Imposibilitte convergenţei tri............ 205

CUPRINS 7 12.2 Convergenţ punctulǎ................. 207 12.3 Convergenţ formulelor de cudrturǎ compuse.... 209 13 Formule de cubtură....................... 210 13.1 Construcţi formulelor de cubturǎ.......... 210 5 ANEXE 221 14 Opertori liniri continui.................... 221 14.1 Spţiul opertorilor liniri şi continui.......... 221 14.2 Conjugtul unui opertor................ 222 15 Puncte extremle......................... 225 15.1 Submulţimi extremle le unei mulţimi........ 225 15.2 Puncte extremle le unei mulţimi........... 226

8 CUPRINS

Cpitolul 1 Clse de funcţii In proiectre şi nlizre diferiţilor lgoritmi din nliz numericǎ intervin diferite clse de funcţii. Pentru fi de mximǎ utilitte, o clsǎ B trebuie sǎ posede cel puţin urmǎtorele proprietǎţi de bzǎ. 1) Funcţiile din B trebuie sǎ fie reltiv netede; 2) Funcţiile din B trebuie sǎ fie uşor de memort (stoct) şi mnevrt pe un clcultor. 3) Funcţiile din B trebuie sǎ fie uşor de evlut pe un clcultor împreunǎ cu derivtele şi integrlele lor. 4) Cls B trebuie sǎ fie suficient de lrgǎ stfel c funcţiile netede sǎ potǎ fi bine proximte cu elemente din B. Cerem propriette 1) deorece funcţiile ce pr din procesele fizice sînt în mod obişnuit netede. Proprietǎţile 2) si 3) sînt importnte deorece cele mi multe probleme nu pot fi rezolvte fǎrǎ jutorul clcultorului. In finl, propriette 4) este esenţilǎ dcǎ vrem sǎ obţinem o bunǎ proximre. Vom indic în cele ce urmezǎ semene clse de funcţii. 9

10 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii 1 Cls funcţiilor polinomile Vom începe sǎ nlizǎm clsele de funcţii cre intervin în teori proximǎrii prin cls funcţiilor polinomile. Polinomele u juct un rol centrl în teori proximǎrii şi-n nliz numericǎ. Pentru vede de ce polinomele se bucurǎ de ş o trecere în teori proximǎrii le vom d cîtev proprietǎţi de bzǎ. 1.1 Polinome lgebrice In continure vom fi interesţi de spţiul m P m = {p(x) = c i x i, c 0, c 1,..., c m R} i=0 funcţiilor polinomile de ordin m cu coeficienţi reli. Incepem prin rt cǎ P m este un spţiu finit dimensionl cu o bzǎ convenbilǎ. Propoziţi 1.1 Spţiul P m este un subspţiu din C (R). Mi mult, pentru orice numǎr rel, funcţiile 1, x,....(x ) m formezǎ o bzǎ pentru P m. Demonstrţie. Este clr, din definiţie, cǎ orice p P m este infinit derivbil pe R. Deorece αp + βq P m pentru orice p, q P m şi orice α, β R, rezultǎ cǎ P m un subspţiu vectoril din C (R). Deorece, fiecre funcţie, 1, (x ),..., (x ) m este, clr, din P m, rt cǎ formezǎ o bzǎ este nevoie, numi, sǎ rǎtǎm cǎ sînt linir independente. Presupunem p(x) = mi=0 c i (x ) i 0. Atunci pentru orice b, tote derivtele lui p trebuie sǎ se nuleze în b; dicǎ, p(b) p (b). p (m) (b) 1 b (b ) 2 (b ) m 0 1 2(b ) m(b ) m 1.... 0 0 0 m! c 0 c 1. c m = Acest este un sistem omogen de (m + 1) ecuţii cu (m + 1)- necunoscute cǎrei mtrice socitǎ este nesingulrǎ, şi prin urmre c 0 = c 1 =... = c m = 0. 0 0. 0

1. Cls funcţiilor polinomile 11 Semnificţi prcticǎ Propozitiei 1.1 constǎ în fptul cǎ vînd lesǎ o bzǎ pentru P m, fiecre polinom v ve un set unic de coeficienţi sociţi. Acest stbileşte forml fptul cǎ polinomele pot fi memorte pe un clcultor. Urmǎtorul, binecunoscut, lgoritm rtǎ cǎ orice polinom pote uşor fi evlut, şi deci cǎ P m stisfce proprietǎţile (3) şi (4) cerute pentru clculbilitte pe un clcultor. Pentru clculul p(x) = m i=0 c i (x ) i se foloseşte urmǎtorul lgoritm. Algoritm (Schem lui Horner ). 1. u x 2. p c m 3. Pentru i m 1 cu psul 1 clculezǎ p u p + c i Fptul cǎ vlore finlǎ lui p v fi p(x) rezultǎ din observţi cǎ p(x) pote fi scris şi în formǎ p(x) = c 0 + u{c 1 + u[c 2 + + u(c m )]} Este clr cǎ lgoritmul necesitǎ dor m înmulţiri şi (m + 1) dunǎri şi/su scǎderi. Rezultǎ, din definiţie, cǎ derivtele şi primitivele unui polinom sînt din nou un polinom. In prticulr, dcǎ tunci în timp ce Dp(x) = p (x) = m p(x) = c i (x ) i, i=0 m 1 i=0 x m+1 D 1 p(x) = p(x)dt = (i + 1)c i+1 (x ) i c i 1 (x ) i i Coeficienţii lui Dp şi D 1 p sînt uşor de clcult din coeficienţii lui p. Odtǎ ceşti coeficienţi obţinuţi putem evlu Dp şi D 1 p în orice punct dt x prin schem lui Horner.

12 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Putere de proximre polinomelor In ciud simlitǎtii lor, folosind polinomele lgebrice putem obţine o bunǎ proximre funcţiilor continue pe un compct. Teorem 1.1 (Weierstrss). Pentru orice funcţie f continuǎ pe [, b] şi pentru orice ε > 0 existǎ un polinom p stfel c f(x) p(x) < ε x [, b] Cu lte cuvinte mulţime polinomelor cu coeficienţi reli, P, este densǎ în spţiul C([, b]) cu norm uniformǎ. Demonstrţie. Deorece de l intervlul [, b] se pote trece l intervlul [0, 1] prin trnsformre t = x b şi deorece prin cestǎ trnsformre clitte de polinom se pǎstrezǎ, rezultǎ cǎ este suficient sǎ demonstrǎm teorem pentru intervlul [0, 1]. Notǎm cu B n polinomul Bernstein socit funcţiei f prin B n (x) = f(m/n)cn m x m (1 x) n m. m=0 Pentru orice ε > 0, deorece f este uniform continuǎ, existǎ δ > 0 stfel c f(x ) f(x ) < ε/2 cînd x x < δ. Dr, pentru orice n nturl vem evlure B n (x) f(x) f(k/n) f(x) Cnx k k (1 x) n k = S 1 + S 2 k=0 unde în S 1 m les termeni din sum din drept pentru cre x k/n < δ ir în S 2 termenii din ceişi sumǎ pentru cre x k/n δ. Ţinînd sem cǎ 1 = n k=0 C k nx k (1 x) n k, din cele de mi sus, obţinem S 1 ε/2 şi = 2M δ 2 [ x 2 2x n (x k/n) 2 S 2 2M δ 2 Cnx k k (1 x) n k = k=0 kcnx k k (1 x) n k + 1 n n 2 k 2 Cnx k k (1 x) n k] k=0 k=0

1. Cls funcţiilor polinomile 13 unde M = sup y [0,1] f(y). Pentru evlu sumele rǎmse considerǎm expresi evidentǎ (x + y) n = Cnx k k y n k (1.1) k=0 pe cre o derivǎm în rport cu x, înmulţim cu x şi obţinem nx(x + y) n 1 = Repetînd operţi în (1.2) rezultǎ kcnx k k y n k (1.2) k=0 n(n 1)x 2 (x + y) n 2 + nx(x + y) n 1 = k 2 Cnx k k y n k (1.3) Luînd y = 1 x în (1.1), (1.2) şi (1.3) şi înlocuind sumele obţinute în evlure lui S 2 rezultǎ k=0 S 2 2M [ δ 2 x 2 2x 2 + n(n 1)x2 + nx] Mx(1 x) n 2 = 2nδ 2 M 2nδ 2 deorece x(1 x) 1/4 cînd x [0, 1]. Pentru n > M εδ 2 obţinem sup f(x) B n (x) ε x [0,1] 2 + M δ 2 2M εδ2 = ε şi cu cest teorem este demonstrtǎ. Comentrii bibliogrfice. Existǎ numerose demonstrţii le teoremei de mi sus. Weierstrss demonstrezǎ teorem în 1885 fǎcînd pel l teori funcţiilor nlitice. Demonstrţiile lui E. Picrd 1891, V. Volterr 1897, M. Lerch, 1903, fc pel l dezvoltǎri în serie Fourier. Alte demonstrţii cu crcter elementr u fost dte de C. Runge 1885, H. Lebesque 1898, G. Mittg-Leffler 1900, H. Kuhn 1964. Demonstrţi pe cre u expus-o mi sus este dtǎ de Bernstein 1912. In [17] se gǎsesc demonstrţiile lui H. Lebesgue, Lndu, ir în [66] se gǎseşte dtǎ demonstrţi lui Kuhn. Teorem lui Weierstrss revine l spune cǎ sistemul (f n ) n N definit prin f n (x) = x n este fundmentl în C([, b]), în sensul cǎ orice element

14 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii f C([, b]) pote fi proximt suficient de bine cu o combinţie linirǎ finitǎ de f n. Teorem urmǎtore dtortǎ lui Muntz [1914] precizezǎ, puţin, cestǎ propriette. Teorem 1.2 O condiţie necesrǎ şi suficientǎ pentru c sistemul f n (x) = x λn, ( unde {λ n } este un şir crescǎtor de numere rele pozitive ), sǎ fie fundmentl în C([0, 1]) este c (i) λ 0 = 0 (ii) seri λ 1 i sǎ fie divergentǎ. O ltǎ generlizre, forte importntǎ, teoremei lui Weierstrss fost obţinutǎ de M. H. Stone [1948]. Teorem 1.3 (Stone-Weierstrss) Dcǎ S este un spţiu topologic compct, A C(S) o sublgebrǎ de funcţii continue cre seprǎ punctele lui S (dicǎ pentru orice cuplu s 1, s 2 S, s 1 s 2 existǎ A stfel c (s 1 ) (s 2 )) tunci A ( derenţ lui A în C((S)) este fie C(S), fie mulţime funcţiilor continue cre se nulezǎ într-un punct determinnt din S. Dcǎ A conţine funcţiile constnte tunci A = C(S). Din teorem Stone - Weierstrss putem deduce diverse rezultte importnte şi în primul rînd teorem Weierstrss su generlizre s în R n. Teorem 1.4 Fie S o mulţime compctǎ din R n şi P mulţime polinomelor în (x 1,, x n ). ( P este formt din mulţime combinţiilor linire finite de form x α (x α = x α 1 1 xα n n ) unde α i sînt întregi nenegtivi ). Atunci P este un subspţiu dens în C(S). Demonstrţie. Mulţime P formezǎ o sublgebrǎ de funcţii continue pe S. Este evident cǎ P seprǎ punctele lui S : dcǎ s 1 = (x 1,1,..., x 1,n ) şi s 2 = (x 2,1,..., x 2,n ), s 1 s 2, vem, pentru cel puţin un indice i 0 : x 1,i0 x 2,i0. Luǎm tunci p P stfel c p(s) = x i0 (pentru s = (x 1,, x n ). Este suficient cum sǎ plicǎm teorem Stone-Weierstrss. Dǎm încǎ un exemplu de plicre teoremei lui Stone.

1. Cls funcţiilor polinomile 15 Propoziţi 1.2 Fie ϕ o funcţie continuǎ strict crescǎtore pe [0, 1]. Notǎm cu ϕ i funcţi definitǎ prin ϕ i (x) = (ϕ(x)) i şi cu Φ mulţime polinomelor p de form p(x) = α i ϕ i (x) cu n întreg orecre (ne fixt ). Atunci Φ este densǎ în C([0, 1]). i=0 Demonstrţie. Mulţime Φ formezǎ o sublgebrǎ lui C[0, 1]). Pentru x 1, x 2 [0, 1], x 1 x 2 vem ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ). Cum ϕ 0 1, plicînd teorem Stone-Weirstrss obţinem Φ = C([0, 1]). 1.2 Polinome ortogonle In teori proximǎrii funcţiilor de o vribilă relǎ su complexǎ se folosesc bze de polinome ortogonle. O funcţi w, definitǎ, continuǎ şi strict pozitivǎ pe un intervl (, b) R vînd propriette cǎ x n w L 1 (, b) pentru orice n N se numeşte funcţie pondere pe intervlul (, b). Dcǎ w este o funcţie pondere pe (, b) tunci spţiul E = L 1 w(, b) = {f : (, b) R; f w L 2 (, b)} înzestrt cu produsul sclr (, ) definit prin (f, g) = b w(x)f(x)g(x)dx şi cu norm genertǎ de (, ) este un spţiu hilbertin. Teorem 1.5 Dcǎ w este o funcţie pondere pe (, b) tunci: 1) Existǎ un şir (p n ) n 0 de polinome şi numi unul ş încît pentru orice n N polinomul p n re grdul n, coeficientul lui x n este 1 şi (p n, q) = 0 pentru orice polinom de grd n 1. 2) Polinomele şirului (p n ) verificǎ urmǎtore relţie de recurenţǎ p n (x) = (x λ n )p n 1 (x) µ n p n 2 (x) (1.4) unde µ n = p n 1 2 / p n 2 2 şi λ n = (xp n 1, p n 1 )/ p n 1 2

16 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Demonstrţie. Utilizînd procedeul de ortogonlizre Grm-Schmidt pentru bz cnonicǎ {1, x, x 2,, x n, } de polinome cu o vribilǎ obţinem p 0 (x) = 1, p 1 (x) = x (p 0, x)/(p 0, p 0 ) cu λ i,n = (x n, p i )/(p i, p i ). p n (x) = x n. n 1 i=0 λ i,n p i (x) Polinomele p 0, p 1,, p n formezǎ o bzǎ pentru P n, spţiul polinomelor vînd grdul n, ele sînt ortogonle douǎ cîte douǎ. Este uşor de vǎzut cǎ polinomele definite mi sus verificǎ (p n, q) = 0 q P n 1 şi cǎ şirul de polinome vînd propriette de mi sus este unic. 2) Polinomul p n xp n 1 prţine spţiului P n 1 şi se scrie sub form p n xp n 1 = n 1 i=0 α i p i. Luînd produsul sclr l cestei eglitǎţi cu p i obţinem pentru i = 0, 1,, (n 1) relţiile α i (p i, p i ) = (xp n 1, p i ) = (p n 1, xp i ). Polinomul xp i vînd grdul i + 1 obţinem α i (p i, p i ) = 0 dcǎ i n 3; α n 1 (p n 1, p n 1 ) = (xp n 1, p n 1 ), de unde α n 1 = λ n ; α n 2 (p n 2, p n 2 ) = (p n 1, xp n 2 ) = = ( p n 1, p n 1 ) + (p n 1, p n 1 xp n 2 ) = (p n 1, p n 1 ) deorece xp n 2 p n 1 P n 2, deci α n 2 = µ n Dcǎ p n = p n / p n tunci şirul p 0, p 1, p 2,..., p n,... formezǎ o bzǎ ortonormtǎ spţiului (E, ). Polinomele p n (resp. p n ) se numesc polinome ortogonle (resp. polinome ortonormte ) pe (, b) cu funcţi pondere w.

1. Cls funcţiilor polinomile 17 Remrc 1.1 Dcǎ {p n } n 0 este un şir de polinome ortogonle ir { n } n 0 este un şir de numere rele nenule tunci şi { n p n } n 0 este un şir de polinome ortogonle. Dcǎ {q n } n 0 este un şir de polinome ortogonle tunci existǎ un şir de numere rele nenule stfel c { n q n } n 0 este identic cu şirul obţinut în Teorem 1.5 Teorem 1.6 Dcǎ n 1 polinomul p n, din şirul {p 0, p 1,...}, re n rǎdǎcini rele şi distincte în intervlul (, b). Demonstrţie. Notǎm prin x 1, x 2,... x k rǎdǎcinile rele de multiplicitte imprǎ prţinînd intervlului (, b) pentru polinomul p n. Dcǎ k = n teorem este demonstrtǎ. Presupunem în continure k < n şi luǎm q(x) = 1 dcǎ k = 0 şi q(x) = (x x 1 ) (x x k ) ltfel. Din propriette de ortogonlitte lui p n pe P n 1 obţinem b p n (x)q(x)w(x)dx = 0. Dr polinomul p n q vînd rǎdǎcini de multiplicitte prǎ pǎstrez un semn constnt pe (, b). Cum w(x) > 0 pe (, b) deducem p n (x)q(x) = 0 pentru orice x (, b), de unde p n (x) = 0, cee ce este în contrdicţie cu fptul cǎ grdul polinomului p n este n. Teorem 1.7 Dcǎ pondere w verificǎ relţiile: w /w = α/β, (wβ)() = (wβ)(b) = 0 (1.5) unde α şi β sînt polinome cu coeficienţi reli de grd cel mult unu, respectiv doi, dr nu vem simultn grdul lui α mi mic c unu şi grdul lui β mi mic c doi, tunci: existǎ o constntǎ n stfel c p n = n w 1 (wβ n ) (n) (formul lui Rodriques), (1.6) polinomul p n verificǎ ecuţi βy + (α + β )y n (α + n + 1 β ) y = 0 (1.7) 2

18 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Demonstrţie. 1) Printr-o derivre se obţine (wβ n ) (n) = (w β n + nwβ n 1 β ) (n 1) = (wβ n 1 R n,1 ) (n 1) unde R n,1 = α + nβ şi m folosit fptul cǎ w β = αw. Prin inducţie se pote demonstr relţi (wβ n ) (n) = (wβ n k R n,k ) (n k) (1.8) unde R n,k este un polinom vînd grdul k şi în plus R n,k = [α + (n k + 1)β ]R n,k 1 + βr n,k 1 Din relţi (1.8) se obţine (wβ n ) (n) = w R n,n cee ce rtǎ cǎ w 1 (wβ n ) (n) este un polinom vînd grdul n. Pentru rǎt cǎ cest polinom este linir dependent de p n vom rǎt cǎ (x k, w 1 (wβ n ) (n) ) w = 0, k = 0, 1,, n 1 şi vom folosi Teorem 1.5. Dr (x k, w 1 (wβ n ) (n) ) = b = (wβ n ) (n 1) x k b k deci p n = n w 1 (wβ n ) (n). b x k (wβ n ) (n) dx = x k 1 (wβ n ) (n 1) dx = = b = ( 1) k k! (wβ n ) (n k) dx = 0, 2) Notînd u n = wβ n, deorece u n = wβ n 1 (α + nβ ) v rezult eglitte βu n = (α + nβ )u n cre derivtǎ de n + 1 ori conduce l identitte Intr-devǎr, β(u (n) n ) + (β α)(u (n) ) 1 2 (n + 1)(2α nβ )u (n) n = 0. (βu n) (n+1) = βu (n+2) n n + (n + 1)β u (n+1) n + ((α + nβ )u n ) (n+1) = (α + nβ )u (n+1) n şi notînd V = u (n) n, rezultǎ cǎ V verificǎ ecuţi n(n + 1) β u (n) 2 + (n + 1)(α + nβ )u (n) n βv + (β α)v (n + 1)(α + n 2 β )V = 0

1. Cls funcţiilor polinomile 19 Impǎrţind relţi de mi sus cu w şi grupînd termenii, obţinem ( β w V ) (n + 1)(α + n 2 β ) V w = 0 Inlocuind w 1 V, prin y ir w 1 βv prin y β + αy obţinem deci Dr y β + (α + β )y + α y nα y α y deci p n verificǎ ecuţi (1.7). n(n + 1) β y = 0 2 βy + (β + α)y n(α + n + 1 β )y = 0 2 y = w 1 V = w 1 u (n) n = w 1 (wβ n ) (n), Teorem 1.8 Dcǎ intervlul (, b) este finit su dcǎ nu este finit dr existǎ M şi β > 0 ş încît w(x) M exp( β x ) pentru orice x (, b) tunci şirul (p n ) n 0 este ortogonl şi complet în (E, ). Demonstrţie. Cum mulţime C([, b]) E este densǎ în (E, ) este suficient sǎ demonstrǎm teorem, de mi sus, pentru funcţii continue din E. 1) Pentru orice f E funcţie continuǎ pe [, b] şi pentru orice ɛ > 0, conform teoremei lui Weierstrss, existǎ un polinom R n de grd n stfel încît deci ( b f(x) R n (x) ɛ ) 1 w(t)dt 2, x (, b), b f R n 2 w = w(x) f(x) R n (x) 2 dx < ɛ 2( b ) 1 b w(t)dt w(x)dx = ɛ 2 de unde f R n w < ɛ. Cum R n este un polinom de grdul n existǎ α 0, α 1,..., α n stfel c R n = α 0 p 0 + α n p n deci α 0 p 0 + + α n p n f w < ɛ. 2) Funcţi h : R R definitǎ prin { w(x) x (, b) h(x) = 0 x (, b)

20 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii este mǎsurbilǎ pe R şi existǎ M > 0 şi β > 0 stfel c h(x) Me β x x R. Cum h este nenulǎ.p.t. în (, b) rezultǎ, folosind un rezultt stndrd de nlizǎ mtemticǎ, cǎ şirul (hx n ) este complet în L 2 (, b), deci şirul ( wx n ) n 0 este complet în L 2 (, b), de unde rezultǎ cǎ şirul ( wx n ) este totl în L 2 (, b). Sǎ demonstrǎm cum cǎ şirul (p n ) este totl în (E, ). Pentru f din E, vem b w(x) f(x) 2 dx < +, deci funcţi g = w f este în L 2 (, b) şi folosind rezulttul ce tocmi fost demonstrt, rezultǎ cǎ existǎ 1, 2,..., n in R stfel c g j wx j 2 < ɛ de unde obţinem j=0 deci b b f j x j 2 w = w(x)(f(x) j x j ) 2 dx = j=0 j=0 ( w(x)f(x) j w(x) x j ) 2 dx = g j wx j 2 2 < ɛ 2 j=0 j=0 f j x j w < ɛ j=0 Cum P = n j=0 j x j este un polinom vînd grdul n, existǎ β 0, β 1,..., β n stfel c P = n i=0 β i p i, deci f β j p j < ɛ j=0 cee ce demonstrezǎ cǎ şirul {p j } j N construit în Teorem 1.5 este complet în (E, ). Teorem 1.9 (propriette de minim polinomelor ortogonle) Dintre tote polinomele vînd grdul n de form p(x) = x n + α n 1 x n 1 + + α 0

1. Cls funcţiilor polinomile 21 cel cre relizezǎ minimul funcţionlei F definitǎ prin F(p) = b p(x) 2 w(x)dx este polinomul p n din şirul ortogonl {p 0, p 1,...} în rport cu pondere w. Demonstrţie. Cum {p 0,..., p n } este o bzǎ pentru P n rezultǎ cǎ pentru orice polinom de form p(x) = x n + α n 1 x n 1 + + α 0 existǎ constntele c 0,..., c n 1 stfel c p = p n + c n 1 p n 1 + + c 0 p 0. Ţinînd sem de fptul cǎ F(q) = q 2 şi cǎ (p i, p j ) = 0 dcǎ i j, luînd c n = 1 obţinem = ( F(p) = p 2 n ) = (p, p) = c i p i, c j p j = i=0 j=0 i,j=0 c i c j (p i, p j ) = i=0 n 1 c 2 i (p i, p i ) = F(p n ) + c 2 i F(p i ) de unde rezultǎ cǎ F(p n ) F(p) pentru orice polinom vînd grdul n şi coeficientul lui x n egl cu 1. i=0 Exemple de polinome ortogonle Cîtev clse de polinome ortogonle, mi des utilizte, vor fi listte în cele ce urmezǎ. Polinomele Legendre Pentru (, b) = ( 1, 1) şi w(x) = 1 se obţin polinomele ortogonle {p n } ce sînt de form p n (x) = n! (2n)! [(x2 1) n ] (n). Şirul {P n } cu P n = A n p n unde A n = 1/p n (1) formezǎ şirul polinomelor Legendre. Polinomul P n verificǎ ecuţi diferenţilǎ (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1)y = 0.

22 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Şirul polinomelor Legendre (P n ) n 0 este complet în L 2 ( 1, 1). Polinomelor Legendre le tşǎm funcţiile Legendre (P n,m ) definite prin P n,m (x) = (1 x 2 ) m/2 (P n (x)) (m). Observǎm cǎ dcǎ m > n tunci funcţiile Legendre socite sînt identic nule. Funcţiile Legendre socite (P n,m ) verificǎ pe ( 1, 1) ecuţi ( ) (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1) m2 1 x 2 y = 0 Pentru orice m Z şirul (P n,m ) n 1 este ortogonl şi complet în L 2 ( 1, 1). Polinomele Cebîşev Dcǎ pe ( 1, 1) considerm pondere w(x) = 1/ 1 x 2 se obţin polinomele Cebîsev de prim speţǎ ir dcǎ w(x) = 1 x 2 se obţin polinomele Cebîsev de speţ dou. Uşor se rtǎ cǎ şi verificǎ ecuţi diferenţilǎ p n (x) = 2 1 n cos(n rccos x) y + ny = 0. Şirul polinomelor Cebîşev este complet în L 2 w( 1, 1). Considerînd funcţionl F (p) = mx 1 x 1 p(x) tunci dintre tote polinomele de grd n cre u coeficientul lui x n egl cu unitte polinomele Cebîşev sînt cele cre relizezǎ minimul funcţionlei F. Polinomele Lguerre Pentru (, b) = (0, ) şi w(x) = e x x λ polinomele ortogonle p n notte (L λ n) n 0 se numesc polinome Lguerre. Polinomele Lguerre intervin în studiul multor probleme le fizicii mtemtice, de exemplu în integrre ecuţiei lui Helmholtz în coordonte prbolice, în teori propgǎrii oscilţiilor electromgnetice în lungul liniilor de trnsmisie, etc... Lunînd α(x) = λ x, β(x) = x, cînd λ > 1 funcţi pondere w verificǎ ecuţi (1.5). Polinomul Lquerre L λ n de grdul n re form L λ n(x) = ( 1) n e x x λ (e x x n+λ ) (n)

1. Cls funcţiilor polinomile 23 verificǎ ecuţi diferenţilǎ xy + (λ + 1 x)y + ny = 0. Şirul polinomelor Lguerre este complet in E = L 2 w(0, ). Funcţiile ϕ λ n(x) = x λ 2 e x 2 L λ n (x), n 0, λ 0 sînt funcţiile Lguerre socite polinomelor Lguerre. Aceste funcţii u unele proprietǎţi importnte c de exemplu: sînt finite în origine şi nule l + ; formezǎ un şir ortogonl şi complet în L 2 (0, ). Polinome Hermite Pentru (, b) = (, + ) ir w(x) = e x2 se obţin polinomele Hermite ce u form H n (x) = ( 1) n 2 n e x2 (e x2 ) (n) Funcţi pondere w verificǎ ecuţi (1.5) luînd α(x) = 2x, β(x) = 1. Polinomele Hermite H n verificǎ ecuţi diferenţilǎ y 2xy + 2ny = 0. Şirul (H n ) n 0 este complet în E = L 2 w(r). Funcţiile H n (x) = e x2 2 H n (x) se numesc funcţii Hermite socite polinomelor Hermite ir şirul (H n ) n este ortogonl şi complet in L 2 (R). 1.3 Polinome trigonometrice In proximre funcţiilor periodice un rol centrl îl jocǎ polinomele trigonometrice. Un polinom trigonometric de ordinul n şi de periodǎ 2π re form t n (x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k=1 unde 0, 1,, n, b 1,, b n sînt numere rele. In cele ce urmezǎ vom not cu T 2π, mulţime polinomelor trigonometrice. Propoziţi 1.3 Mulţime T 2π polinomelor trigonometrice de periodǎ 2π formezǎ o sublgebrǎ în mulţime funcţiilor rele continue.

24 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Demonstrţie. Evident sum douǎ polinome trigonometrice şi înmulţire unui sclr cu un polinom trigonometric este tot un polinom trigonometric. Trebuie sǎ mi rǎtǎm cǎ produsul douǎ polinome trigonometrice este un polinom trigonometric. Fie t 1 şi t 2 douǎ polinome trigonometrice t 1 (x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) t 2 (x) = douǎ polinome trigonometrice. urmǎtorerele trei tipuri: k=1 m 0 + ( j=1 j cos jx + b j sin jx) Produsul t 1 (x)t 2 (x) cuprinde termeni de k j cos kx cos jx, kb j coskx sin jx, b kb j sin kx sin jx. Insǎ cos(k + j)x + cos(k j)x cos kx cos jx = 2 sin(k + j)x + sin(k j)x sin kx cos jx = 2 cos(k + j)x cos(j k)x sin kx sin jx = 2 deci t 1 (x)t 2 (x) se reduce l o sumǎ finitǎ de cosinusuri şi sinusuri din multipli întregi i lui x, fiecre cosinus şi sinus putînd fi fectt de un coeficient numeric. Aşdr, produsul t 1 (x)t 2 (x) este un polinom trigonometric. Ţinînd sem de fptul cǎ n k= n α k e ikx este un polinom trigonometric dcǎ şi numi dcǎ α k = α k pentru orice întreg pozitiv n obţinem cǎ pentru orice polinom trigonometric de ordinul n existǎ un polinom lgebric. Propoziţi 1.4 1) Pentru orice polinom trigonometric t de ordin n existǎ un polinom lgebric, q, de grd cel mult 2n stfel c t(x) = e inx q(e ix ) x R 2) Dcǎ q este un polinom de grd 2n de form q(x) = 2n k=0 α k x k cu propriette c n k = n+k pentru k {0,..., n} tunci este un polinom trigonometric. t(x) = e inx q(e ix ), x R

1. Cls funcţiilor polinomile 25 Demonstrţie. 1) Dcǎ polinomul trigonometric t re form t(x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k=1 utilizînd formulele lui Euler e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x obţinem unde şi t(x) = 0 + k=1 = e inx( n k=1 k ib k 2 k + ib k 2 e ikx + k + ib k e ikx = 2 e i(n k)x + 0 e inx + 2 = e inx α k e ikx = e inx q(e ix ) k=0 α k = n k + ib n k 2 n+k ib n+k 2 q(x) = k=1 pentru k {0,..., n} k ib k e i(n+k)x) = 2 pentru k {n + 1,..., 2n} 2 k=0 α k x k. 2) Dcǎ polinomul q(x) = 2n k=0 α k x k de grd cel mult 2n re propriette cǎ α n+α = α n k pentru k {0,..., n} tunci t(x) = e inx q(e ix ) este un polinom trigonometric de ordin n. Putere de proximre polinomelor trigonometrice Vom demonstr, cum, un rezultt de proximre funcţiilor periodice continue prin polinome trigonometrice. Teorem 1.10 Dcǎ f este o funcţie continuǎ, periodicǎ, de periodǎ 2π pe (, + ) tunci pentru orice ε > 0 existǎ un polinom trigonometric t de periodǎ 2π stfel încît f(x) t(x) < ε x R.

26 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Pentru demonstrre cestei teoreme vom rǎt mi întîi rezulttul urmǎtor. Lem 1.1 Dcǎ f este o funcţie continuǎ şi prǎ, definitǎ pe [ π, π] tunci pentru orice ε > 0 existǎ un polinom lgebric P, stfel încît f(x) P (cos x) < ε x [ π, π]. Demonstrţie. Sǎ punem, pentru 1 t 1 ϕ(t) = f(rccos t) (1.9) lucru posibil deorece vlorile funcţiei t rccos t, sînt situte în intervlul [0, π]. Funcţi ϕ, c suprpunere douǎ funcţii continue, este continuǎ pe [ 1, 1]. Conform teoremei lui Weierstrss, de proximre funcţiilor continue prin polinome, existǎ un polinom P stfel încît ϕ(t) P (t) < ε t [ 1, 1]. (1.10) Punînd x = rccos t şi ţinînd sem de (1.9) şi (1.10), rezultǎ f(x) P (cos x) < ε x [0, π]. (1.11) Insǎ cos este o funcţie prǎ, deci x P (cos x) este o funcţie prǎ. Deorece f este prǎ, prin ipotezǎ, rezultǎ f( x) P (cos( x)) = f(x) P (cos x) pentru orice x [0, π], deci, punînd u = x şi ţinînd sem de (1.11) vem f(u) P (cos u) < ε u [ π, 0] (1.12) deci, ţinînd sem de (1.11) şi (1.12), vem f(x) P (cos x) < ε x [ π, π]. Demonstrre teoremei 1.10. Sǎ considerǎm funcţiile F şi G definitǎ prin F (x) = f(x) + f( x) G(x) = (f(x) f( x)) sin x. Funcţi F este evident prǎ pe (, ). Funcţi G este şi e prǎ pe (, + ), deorece este un produs de funcţii impre. Din fptul cǎ f este

1. Cls funcţiilor polinomile 27 periodicǎ, de periodǎ 2π, rezultǎ cǎ F şi G sînt de semene periodice, de periodǎ 2π pe (, ). Putem deci sǎ plicǎm funcţiilor F şi G lem de mi sus. Fie ε > 0. Existǎ douǎ polinome lgebrice P şi Q, stfel încît F (x) P (cos x) < ε/2, G(x) Q(cos x) < ε/2 x (, + ). Punînd şi observînd cǎ t 1 (x) = P (cos x) sin 2 x + Q(cos x) sin x rezultǎ F (x) sin 2 x + G(x) sin x = 2f(x) sin x 2f(x) sin 2 x t 1 (x) < ε x (, ) (1.13) t 1 fiind un polinom trigonometric. Intr-devǎr, pentru orice x rel 2f(x) sin 2 x t 1 (x) = F (x) sin 2 x + G(x) sin x P (cos x) sin 2 x Q(cos x) sin x F (x) P (cos x) sin 2 x + G(x) Q(cos x) sin x < ε. Funcţi f 1 (x) = f(x + π/2) este continuǎ şi re period 2π pe (, ), deci putem sǎ-i plicǎm celşi rţionment c pentru f şi obţinem cǎ existǎ un polinom trigonometric t 2 stfel încît 2f(x + π/2) sin 2 x t 2 (x) < ε x R. (1.14) Inlocuind, în ultim ineglitte, pe x prin x π/2, obţinem, punînd t 3 (x) = t 2 (x π/2) 2f(x) sin 2 (x π/2) t 3 (x) < ε (1.15) şi deorece ineglitte (1.14) este vlbilǎ pentru orice x rel, rezultǎ cǎ şi ineglitte (1.15) este devǎrtǎ pentru orice x rel. Insǎ (1.15) se mi scrie 2f(x) cos 2 x t 3 (x) < ε (1.16) Din (1.13) şi (1.16) rezultǎ 2f(x) (t 1 (x) + t 3 (x) < 2ε x R,

28 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii deci, punînd t(x) = (t 1 (x) + t 3 (x))/2 obţinem f(x) t(x) < ε x R. Cum t 1 şi t 3 sînt polinome trigonometrice, obţinem cǎ t este un polinom trigonometric. Corolrul 1.1 Fie f : R R o funcţie continuǎ, periodicǎ, de periodǎ 2π. Existǎ un şir de polinome trigonometrice (t n ) n N cre converg uniform, pe R, cǎtre f. Demonstrţie. Este suficient sǎ fcem, în Teorem 1.10, pe ε = 1/n şi sǎ notǎm t n polinomul trigonometric pe cre Teorem 1.10 îl socizǎ cestui ε. Obţinem f(x) t n (x) < 1/n x R, n N, de unde convergenţ uniformǎ şirului t n l f. 2 Cls funcţiilor spline O ltǎ clsǎ importntǎ de funcţii cre intervine des în nliz numericǎ o formezǎ cls funcţiilor polinomile pe porţiuni. 2.1 Funcţii polinomile pe porţiuni Fie [, b] un intervl finit închis, şi fie n = {x i } n o diviziune intervlului [, b] cu = x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. Mulţime n împrte intervlul [, b] în n 1 subintervle I i = [x i, x i+1 ), cînd i = 1,... n 2, şi I n 1 = [x n 1, x n ]. Dcǎ P 1,..., P n 1 este un şir de polinome, fiecre vînd grdul cel mult m, tunci definim o funcţie polinomilǎ pe porţiuni f de grdul cel mult m prin f(x) = P i (x) dcǎ x i < x < x i+1, i = 1,..., n 1. Punctele x i se numesc noduri le funcţiei f. In punctele interiore funcţi f încǎ nu este definitǎ. Intr-un sens, o funcţie polinomilǎ pe porţiuni re douǎ vlori în fiecre nod, şi nume f(x i ) = P i 1 (x i ) şi f(x i +) = P i (x i ).

2. Cls funcţiilor spline 29 Pentru obţine o funcţie definitǎ în tote punctele intervlului [, b] vom lege funcţi f c fiind continuǎ l drept, dicǎ f(x i ) = f(x i +) pentru i = 2,..., n 1 şi continuǎ l stîng în b. Putem sǎ considerǎm funcţi f definitǎ pe tot R considerînd f(x) = P 1 (x) pentru x x 1 şi f(x) = P n 1 (x) pentru x x n. Definiţi 2.1 Fiind dtǎ o diviziune n = (x i ) n intervlului [, b] şi m un întreg pozitiv vom not cu PP m ( n ) spţiului funcţiilor polinomile pe porţiuni de grd cel mult m. Din cele de mi sus rezultǎ cǎ f PP m ( n ) dcǎ şi numi dcǎ existǎ P 1,..., P n 1 din P m stfel c f(x) = P i (x) x I i, i = 1,, n 1. Propoziţi 2.1 Spţiul PP m ( n ) este un spţiu vectoril finit dimensionl şi dim(pp m ( n )) = (n 1)(m + 1). Demonstrţie. Dcǎ B 1,..., B m+1 este o bzǎ pentru P m tunci funcţiile (ϕ ij ) m+1,n 1,j=1 definite prin { Bi (x) dcǎ x I ϕ ij (x) = j 0 în rest formezǎ o bzǎ pentru PP m ( n ). Deci dimensiune spţiului PP m ( n ) este (n 1)(m + 1). Vom consider derivt de ordin j unei funcţii din PP m ( n ) c fiind o funcţie polinomilǎ pe porţiuni de ordin m j vînd celeşi noduri c funcţi f. O funcţie polinomilǎ pe porţiuni pote fi reprezenttǎ într-un clcultor într-o vriette de moduri. Dcǎ o semene funcţie f şi derivtele sle trebuie evlute în mi multe puncte din [, b] (de exemplu, pentru reprezentre grficǎ ), tunci urmǎtore reprezentre pre sǎ fie ce mi comodǎ şi mi eficientǎ. Pentru o funcţie f PP m ( n ) se du i) întregii m şi n, ce reprezintǎ, grdul polinomelor şi respectiv numǎrul de puncte le diviziunii n.

30 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii ii) o secvenţǎ strict crescǎtore de puncte ce formezǎ diviziune n ( = x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b). iii) mtrice C = (c ji ) m j=0, n 1 derivtelor l drept în noduri, dicǎ c ji = f (j) (x i +) j = 0,..., m, i = 1,..., n 1 Deci f împreunǎ cu derivtele sle pot fi evlute în orice punct x din [, b] prin m j f (j) (x x i ) k (x) = c k,i k! k=0 unde (prin convenţie ) i este un întreg definit prin: i = 1 şi x < x 1, i {1,..., n 2} dcǎ x i x < x i+1, şi i = n 1 dcǎ x x n 1. 2.2 Funcţii spline polinomile In cls funcţiilor polinomile pe porţiuni legem subclse de funcţii cre în nodurile diviziunii sǎ ibǎ numite proprietǎţi de regulritte. Definiţi 2.2 O funcţie s : [, b] R se numeşte funcţie spline polinomilǎ de grdul m, reltiv l diviziune n = (x i ) n, dcǎ stisfce urmǎtorele douǎ condiţii: 1) s C m 1 ([, b]) ; 2) s (xi,x i+1 ) P m, i = 1,..., n 1 Vom not cu S m ( n ) mulţime funcţiilor spline polinomile de grdul m su echivlent de ordinul m + 1, reltiv l diviziune n. O funcţie s S m ( n ) dcǎ şi numi dcǎ s C m 1 ([, b]) şi s PP m ( n ), cu lte cuvinte S m ( n ) = PP m ( n ) C m 1 ([, b]). Orice element din S m ( n ) se v numi, în continure, funcţie spline de grd m su echivlent funcţii spline de ordinul m + 1. Teorem 2.1 Orice element s S m ( n ) se reprezintǎ în mod unic sub form m n 1 s(x) = i (x x 1 ) i + c p (x x p ) m + (2.1) i=0 unde (x x p ) m + = (mx{0, x x p }) m. p=2

2. Cls funcţiilor spline 31 Demonstrţie. Fie s S m ( n ). Deorece s [x1,x 2 ) P m tunci s(x) = mp=0 p (x x 1 ) p = P m (x) pentru orice x [x 1, x 2 ). Cum s [x2,x 3 ) P m luǎm s(x) = Q m (x), x [x 2, x 3 ). Polinomul Q m se pote reprezent în mod unic sub form m Q m (x) = P m (x) + α 2,r (x x 2 ) r (2.2) Ţinînd cont de condiţiile din definiţi spţiului S m ( n ) cerem c funcţi q definitǎ prin P m (x) dcǎ x [x 1, x 2 ) q(x) = Q m (x) dcǎ x [x 2, x 3 ) r=0 sǎ fie de clsǎ C m 1 (x 1, x 3 ). Pentru cest trebuie c P (j) m (x 2 ) = Q (j) m (x 2 ) pentru orice j = 0,..., m 1 (2.3) Ţinînd cont de (2.2), condiţiile (2.3) conduc l: α 2,r = 0 pentru r = 0,..., m 1. In consecinţǎ funcţi m p (x x 1 ) p, p=0 dcǎ x [x 1, x 2 ) q(x) = m p (x x 1 ) p + α 2,m (x x 2 ) m, dcǎ x [x 2, x 3 ) p=0 este din C m 1 (x 1, x 3 ), ir restricţi l fiecre din intervlele [x 1, x 2 ), [x 2, x 3 ) este un polinom de grdul m. In sfîrşit, sǎ observǎm cǎ funcţi q se pote scrie m q(x) = p (x x 1 ) p + c 2 (x x 2 ) m + p=0 pentru orice x [x 1, x 3 ), unde c 2 = α 2,m. Procedînd nlog pentru restul intervlelor se junge l concluzi cǎ s(x) = m p=0 n 1 p (x x 1 ) p + c p (x x p ) m + stisfce condiţiile din definiţi spţiulul S m ( n ). Unicitte formulei de reprezentre (2.1) rezultǎ, nemijlocit, din fptul cǎ restricţi lui s l [x i, x i+1 ) este un polinom. p=2

32 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Teorem 2.2 Dcǎ n = {x i } n o diviziune intervlului [, b] cu = x 1 < x 2 <... < x n = b şi m un întreg pozitiv, tunci: 1) Spţiul S m ( n ) este finit dimensionl şi dim(s m ( n )) = n + m 1 2) Funcţiile ϕ 1,..., ϕ n+m 1 definite prin ϕ i (x) = (x x 1 ) i 1, 1 i m + 1; ϕ m+p (x) = (x x p ) m +, p = 2,..., n 1 formezǎ o bzǎ pentru S m ( n ). Demonstrţie. Cum S m ( n ) este un subspţiu vectoril pentru PP m ( n ), ir PP m ( n ) este finit dimensionl rezultǎ cǎ S m ( n ) este finit dimensionl. Funcţiile ϕ 1,..., ϕ n+m 1 sînt din S m ( n ) şi sînt linir independente. In devǎr, presupunem cǎ existǎ o combinţie linirǎ g = n+m 1 s=1 s ϕ s eglǎ cu zero pe [, b]. Acest însemnǎ m+1 n 1 g(x) = s (x x 1 ) s 1 + m+s (x x s ) m + = 0 x [, b]. s=1 s=2 In prticulr: g(x) = 0 pentru x [x 1, x 2 ), cee ce implicǎ 1 = = m+1 = 0, g(x) = 0 pe [x 2, x 3 ) implicǎ α m+2 = 0, g(x) = 0 pe [x i, x i+1 ) implicǎ α m+i = 0 Deci ϕ 1,..., ϕ n+m 1 este o mulţime linir independentǎ din S m ( n ) şi cum din Teorem 2.1 rezultǎ cǎ orice element din S m ( n ) se reprezintǎ în mod unic în rport cu ϕ 1,..., ϕ n+m 1, rezultǎ cǎ sistemul {ϕ 1,..., ϕ n+m 1 } formezǎ o bzǎ pentru S m ( n ). Pentru o mi bunǎ înţelegere spţiului S m ( n ) vom prticulriz rezulttele de mi sus pentru czul m = 1 şi m = 3. Funcţii spline de grdul întîi Luînd în Definiţi 2.2, m = 1, obţinem definiţi funcţiilor spline polinomile de grdul întîi. Aşdr, Definiţi 2.3 Fie n = {x i } n cu = x 1 < x 2 < < x n = b o prtiţie intervlului [, b]. Se numeşte funcţie spline polinomilǎ de grdul întîi socitǎ prtiţiei n, funcţi s : [, b] R cre stisfce urmǎtorele condiţii: 1) s C([, b]) ; 2) s [xi,x i+1 ] P 1, i = 1,..., n 1 Vom not, c de obicei, prin S 1 ( n ) mulţime tuturor funcţiilor ce stisfc condiţiile 1) şi 2) din Definiţi 2.3.

2. Cls funcţiilor spline 33 Teorem 2.3 1) Orice element s din S 1 ( n ) se reprezintǎ în mod unic sub form: n 1 s(x) = 0 + 1 (x x 1 ) + i (x x i ) + x [, b] (2.4) i=2 unde 0 = s(x 1 ), 1 = s (x 1 ), i = s (x i +) s (x i ), i = 2,..., n 1. 2) Funcţiile 1, x x 1, (x x i ) +, i = 2,, n 1 constituie o bzǎ pentru S 1 ( n ) şi dim(s 1 ( n )) = n. Demonstrţie. Rezulttele de mi sus se obţin prin prticulrizre teoremelor 2.1 şi 2.2. O ltǎ bzǎ ( utilǎ în specil în clculele numerice ) este definitǎ în teorem urmǎtore. Teorem 2.4 Funcţiile {H 1,..., H n } definite prin (x 2 x)/(x 2 x 1 ) x [x 1, x 2 ] H 1 (x) = 0 x [, b]\[x 1, x 2 ] (x x i 1 )/(x i x i 1 ) x [x i 1, x i ] H i (x) = (x i+1 x)/(x i+1 x i ) x [x i, x i+1 ] 0 x [, b]\[x i 1, x i+1 ] pentru i = 2,, n 1 şi (x x n 1 )/(x n x n 1 ) x [x n 1, x n ] H n (x) = 0 x [, b]\[x n 1, x n ] formezǎ o bzǎ pentru S 1 ( n ). Demonstrţie. Se verificǎ cu uşurinţǎ cǎ H i S 1 ( n ) şi cǎ H 1,..., H n sînt linir independente (în prticulr, relţi H i (x j ) = δ ij este utilǎ pentru verificre linir independenţei funcţiilor H i ). Dǎm în continure grficele funcţiilor H i pentru i fixt, 1 i n:

34 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii H i x 1 = x i 1 x i x i+1 x n = b H 1 H n x 1 = x 2 x n 1 x n = b Figur 2.1: Remrc 2.1 Orice element s din S 1 ( n ), în bz formtǎ de funcţiile H 1,..., H n se reprezintǎ în mod unic sub form: s = s(x i ) H i. (2.5) Intr-devǎr, funcţiile H i formînd o bzǎ pentru S 1 ( n ) existǎ sistemul unic de numere 1,..., n stfel încît s = n i H i. In prticulr, pentru orice j = 1,..., n, vem s(x j ) = n i H i (x j ) = j de unde rezultǎ reprezentre (2.5). Sǎ ilustrǎm, pe un exemplu, fptul cǎ bz formtǎ cu funcţiile H i, i = 1,..., n este o bzǎ utilǎ pentru clcule numerice. Fie f : [1/10, 10] R funcţi definită dupǎ cum urmezǎ: f(x) = 1, 3 x [1/10, 31/10] [61/10, 10] 1, 1 (x 3, 1)/1, 4 + 1, 3 x [31/10, 45/10] 2, 2 (4, 8 x)/0, 3 + 0, 2 x [45/10, 48/10] 1, 1 (x 4, 8)/1, 3 + 0, 2 x [48/10, 61/10] cǎrui grfic este dt în figur 2.2

2. Cls funcţiilor spline 35 0.1 3.1 4.5 4.8 6.1 10 Figur 2.2: Considerînd pe [1/10, 10] diviziune 11 = {x i } cu x 1 = 0, 1, x 2 = 1, 1, x 3 = 2, 1, x 4 = 3, 1, x 5 = 4, 5, x 6 = 4, 8, x 7 = 6, 1, x 8 = 7, 1, x 9 = 8, 1, x 10 = 9, 1 x 11 = 10. Funcţi f S 1 ( 11 ) deci, conform formulei de reprezentre (2.4) se scrie în orice punct x din [1/10, 10]: stfel : f(x) = 1, 3 + 4 (x x 4 ) + + 5 (x x 5 ) + + 6 (x x 6 ) + + 7 (x x 7 ) + unde i = f (x i +) f (x i ), i = 4, 5, 6, 7. Clculînd j, j = 4, 5, 6, 7 cu douǎ cifre semnifictive obţinem 4 = 0, 79, 5 = 8, 1, 6 = 8, 2, 7 = 0, 85. Evluînd vlore lui f în punctul x = 9, 5 ( unde coeficienţii i sînt dţi mi sus ) obţinem f(9, 5) = 2, 1. Pe de ltǎ prte din definiţi lui f vem f(9, 5) = 1, 3. Dcǎ în locul reprezentǎrii lui f conform (2.4) folosim reprezentre dtǎ de (2.5), ţinînd sem de definiţi funcţiilor H i vem f(9, 5) = 11 f(x i)h i (9, 5) = f(x 10 ) H 10 (9, 5) + f(x 11 ) H 11 (9, 5) = 1, 3 0, 44 + 1, 3 0, 56 = 0, 57 + 0, 73 = 1, 3 dicǎ vlore exctǎ lui f în punctul 9, 5. Acest exemplu sugerezǎ necesitte introducerii, în generl, pentru S m ( n ) unei bze formtǎ cu funcţii spline cu suport locl. Asupr cestui lucru vom reveni ulterior.

36 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Funcţii spline cubice Cele mi populre şi mi des utilizte în prcticǎ, dintre funcţiile spline, sînt funcţiile spline cubice. Definiţi 2.4 Fie n = {x i } n o diviziune intervlului [, b] cu = x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. Se numeşte funcţie spline cubicǎ (funcţi spline polinomilǎ de grdul trei ) socitǎ diviziunii n funcţi s : [, b] R cre stisfce urmǎtorele condiţii: 1) s C 2 ([, b]); 2) s [xi,x i+1 ] P 3, i = 1,, n 1. Din definiţi de mi sus se observǎ cǎ o funcţie spline cubicǎ este o funcţie spline polinomilǎ de grdul trei socitǎ prtiţiei n. Vom not, c de obicei, cu S 3 ( n ) mulţime funcţiilor definite pe intervlul [, b] cre stisfce condiţiile 1) şi 2) din definiţi de mi sus, dicǎ S 3 ( n ) = {s : [, b] R; s C 2 ([, b]), s [xi,x i+1 ] P 3, i = 1,..., n 1}. Prticulrizînd teoremele 2.1 şi 2.2 pentru czul funcţiilor spline cubice obţinem: Teorem 2.5 1) Orice funcţie spline cubicǎ, s, socitǎ diviziunii n se pote reprezent în mod unic sub form s(x) = unde b i = s(i) (x 1 +) i! 3 i=0 n 1 b i (x x 1 ) i + i (x x i ) 3 + (2.6) i=2, ir i = s(3) (x i +) s (3) (x i ). 6 2) Funcţiile (ϕ i ) n+2 unde ϕ i(x) = (x x 1 ) i 1, pentru 1 i 4 şi ϕ i+3 (x) = (x x i ) 3 +, i = 2,..., n 1 constituie o bzǎ pentru S 3 ( n ) şi dimensiune spţiului S 3 ( n ) este n + 2. Demonstrţie. Se prticulrizezǎ rezulttele din teoremele 2.2 şi 2.3 pentru m = 3. Cu jutorul vlorilor funcţiei s şi derivtelor sle în nodurile diviziunii n se obţine o ltǎ reprezentre pentru o funcţie spline cubicǎ.

2. Cls funcţiilor spline 37 Propoziţi 2.2 O funcţie spline cubicǎ s S 3 ( n ) pe orice intervl [x i, x i+1 ), i = 1,, n 1 l diviziunii n se reprezintǎ în mod unic sub form: unde s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 (2.7) c 1,i = s(x i ), c 2,i = s (x i ) c 3,i = [6 s(x i+1) s(x i ) ] (4s (x i ) + 2s (x i+1 )) : (x i+1 x i ) x i+1 x i (2.8) su c 4,i = 6 [ (x i+1 x i ) 2 s (x i ) + s (x i+1 ) 2 s(x i+1) s(x i )] x i+1 x i c 1,i = s(x i ), c 3,i = s (x i ) c 2,i = s(x i+1) s(x i ) x i+1 x i [ s (x i+1 6 + s (x i )] (x i+1 x i ) 3 (2.9) c 4,i = s (x i+1 ) s (x i ) x i+1 x i Demonstrţie. Funcţi s pe intervlul [x i, x i+1 ], fiind un polinom de grdul trei, se pote scrie sub form: s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 ir coeficienţii c j,i j = 1, 2, 3, 4 se determinǎ prin identificre. Teorem 2.6 Fie s S 3 ( n ). 1) Vectorul (s 1,..., s n ) R n, unde s i = s (x i ) verificǎ sistemul lgebric (x i+1 x i )s i 1 + 2(x i+1 x i 1 )s i + (x i x i 1 )s i+1 = d i, i = 2,..., n 1 (2.10) unde [ s(xi ) s(x i 1 ) d i = 3 (x i+1 x i ) + s(x i+1) s(x i ) ] (x i x i 1 ) x i x i 1 x i+1 x i

38 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii 2) Vectorul (m 1,..., m n ) R n, unde m i = s (x i ) verificǎ sistemul de ecuţii lgebrice unde (x i x i 1 )m i 1 + 2(x i+1 x i 1 )m i + (x i+1 x i )m i+1 = d i, i = 2,..., n 1 (2.11) [ s(xi+1 ) s(x i ) d i = 6 s(x i) s(x i 1 )] x i+1 x i x i x i 1 Demonstrţie. 1) Ţinînd sem de Propoziţi 2.2, pe orice intervl [x i, x i+1 ) i = 1,, n 1, funcţi s se reprezintǎ în mod unic sub form s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 unde c 1,i = s(x i ), c 2,i = s i = s (x i ) c 3,i = c 4,i = [6 s(x i+1) s(x i ) ] (4s i + 2s i+1 ) : (x i+1 x i ) x i+1 x i 6 [ (x i+1 x i ) 2 s i+1 + s i 2 s(x i+1) s(x i )]. x i+1 x i Funcţi s fiind de clsǎ C 2 rezultǎ cǎ s(x i + ) = s(x i ), s (x i ) = s (x i +), s (x i ) = s (x i +) pentru orice i = 2,, n 1. Condiţi s (x i ) = s (x i +) revine l c 3,i 1 + c 4,i 1 (x i x i 1 ) = c 3,i în cre ţinînd sem de expresiile lui c 3,i 1, c 3,i, c 4,i 1 rezultǎ 6 s(x i) s(x i 1 ) (x i x i 1 ) 2 2s i + 4s i 1 x i x i 1 + de unde [ + 6 s i + s i 1 (x i x i 1 ) 12s(x i) s(x i 1 )] (x i x i 1 ) 3 (x i x i 1 ) = = 6 s(x i+1) s(x i ) (x i+1 x i ) 2 2s i+1 + 4s i x i+1 x i, i = 2,..., n 1 s ( i 1 1 1 ) + 2s i + + s i+1 = x i x i 1 x i x i 1 x i+1 x i x i+1 x i

2. Cls funcţiilor spline 39 su încǎ [ s(xi+1 ) s(x i ) = 3 (x i+1 x i ) 2 + s(x i) s(x i 1 )] (x i x i 1 ) 2, i = 2,..., n 1 (x i+1 x i )s i 1 + 2(x i+1 x i 1 )s i + (x i x i 1 )s i+1 = [ s(xi+1 ) s(x i ) 3 (x i x i 1 ) + s(x i) s(x i 1 ) ] (x i+1 x i ) x i+1 x i x i x i 1 dicǎ m obţinut sistemul (2.10). i = 2,..., n 1 2) Ţinînd sem de Propoziţi 2.2, pe orice intervl [x i, x i+1 ), 1 i n 1, funcţi s se reprezintǎ în mod unic sub form s(x) = c 1,i + c 2,i (x x i ) + c 3,i 2 (x x i) 2 + c 4,i 6 (x x i) 3 unde c 1,i = s(x i ), c 3,i = m i = s (x i ) c 2,i = s(x i+1) s(x i ) x i+1 x i ( s (x i+1 ) 6 + s (x i )) 3 c 4,i = s (x i+1 ) s (x i ) x i+1 x i. Din condiţi s (x i ) = s (x i +) obţinem c 2,i = c 2,i 1 + s (x i 1 ) + s (x i ) (x i x i 1 ) 2 1 x i+1 x i de unde ţinînd sem de form coeficienţilor c 2,i 1, c 2,i obţinem (x i x i 1 )m i 1 + 2(x i+1 x i 1 )m i + (x i+1 x i )m i+1 = [ s(xi+1 ) s(x i ) 6 s(x i) s(x i 1 )] x i+1 x i x i x i 1 dicǎ m obţinut sistemul (2.11). i = 2,..., n 1

40 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii B - spline cubic Vom construi, în cele ce urmezǎ, o bzǎ cu suport locl pentru S 3 ( n ). Considerǎm, pentru început, czul în cre diviziune n este formtǎ cu puncte echidistnte (în progresie ritmeticǎ ), dicǎ x i = x 1 + (i 1)h, cu h = (b )/(n 1). Pentru i = 0, 1,..., n, n + 1 construim funcţiile B i (x) = 1 h 3 (x x i 2 ) 3, dcǎ x [x i 2, x i 1 ] h 3 + 3h 2 (x x i 1 ) + 3h(x x i 1 ) 2 3(x x i 1 ) 3, dcǎ x [x i 1, x i ] h 3 + 3h 2 (x i+1 x) + 3h(x i+1 x) 2 3(x i+1 x) 3, dcǎ x [x i, x i+1 ] (x i+2 x) 3, dcǎ x [x i+1, x i+2 ] 0, ltfel. Funcţi B i este reprezenttǎ grfic în Figur 2.3 x i 2 x i 1 x i x i+1 x i+2 Figur 2.3:

2. Cls funcţiilor spline 41 Din definiţi lui B i, uşor, se pote constt cǎ 4 dcǎ j = i B i (x j ) = 1 dcǎ j = i 1 su j = i + 1 0 dcǎ j = i 2 su j = i + 2 şi cǎ B i (x) 0 pentru x x i 2 şi x x i+2. De semene uşor se consttǎ 3/h dcǎ j = i 1 B i(x j ) = 0 dcǎ j = i 3/h dcǎ j = i + 1. şi B i (x j ) = 6/h 2 dcǎ j = i 1 12/h 2 dcǎ j = i 6/h 2 dcǎ j = i + 1. Propoziţi 2.3 1) Pentru orice i = 0,..., n + 1 funcţiile B i sînt funcţii spline cubice pe [, b] socite diviziunii n. 2) Funcţiile {B 0, B 1,..., B n, B n+1 } formezǎ o bzǎ pentru S 3 ( n ). Demonstrţie. 1) Cum B i C 2 ([, b]) şi B i [xi,x j+1 ] P 3 pentru orice i = 1,..., (n 1), rezultǎ cǎ B i este o funcţie spline cubicǎ socitǎ diviziunii n. 2) Fie α 0,..., α n+1 rele stfel c n+1 j=0 α jb j = 0 pe [, b]. Eglitte de mi sus este echivlentǎ cu n+1 j=0 α j B j (x) = 0, x [, b] (2.12) Scriind relţiile (2.12) în punctele x = x i, i = 1,..., n obţinem n ecuţii, şi nume n+1 j=0 α j B j (x i ) = 0, i = 1,..., n (2.13)

42 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Derivînd relţi (2.12) în punctele x 1, x n obţinem încǎ douǎ ecuţii şi nume n+1 j=0 α j B j(x i ) = 0, i = 1 şi i = n (2.14) Din (2.13) şi (2.14) rezultǎ cǎ vectorul α = (α 0, α 1,, α n, α n+1 ) T verificǎ sistemul de ecuţii Aα = 0 unde A = 3/h 0 3/h 1 4 1...... 1 4 1 3/h 0 3/h (2.15) Cum mtrice A este digonl dominntǎ rezultǎ că α = 0, deci funcţiile {B 0, B 1,, B n, B n+1 } sînt funcţii linir independente pe S 3 ( n ), sînt în numǎr n + 2 şi cum dim(s 3 ( n )) = n + 2 rezultǎ cǎ {B 0, B 1,, B n, B n+1 } formezǎ o bzǎ pentru S 3 ( n ) Corolrul 2.1 Orice funcţie spline cubicǎ, s S 3 ( n ) se reprezintǎ, în mod unic, sub form s = n+1 j=0 α j B j unde α = (α 0,, α n+1 ) T este soluţi sistemului Aα = b, mtrice A fiind ce din (2.15) ir b = (s (x 1 ), s(x 1 ),..., s(x n ), s (x n )) T. Demonstrţie. Cum {B 0,..., B n+1 } este o bzǎ pentru S 3 ( n ), pentru orice s S 3 ( n ) existǎ α = (α 0, α 1,..., α n, α n+1 ) T unic stfel c s(x) = n+1 j=0 α j B j (x) pentru orice x [, b]. Scriind relţi de mi sus în punctele x = x i, i = 1,..., n şi poi derivt s în punctele x 1, x n, obţinem sistemul

2. Cls funcţiilor spline 43 Aα = b. Mtrice A fiind digonl dominntǎ rezultǎ cǎ A este nesingulrǎ deci α = A 1 b In czul în cre diviziune n nu este echidistntǎ vom rǎt, ulterior, cǎ funcţiile {B 0, B 1,, B n, B n+1 } definite prin B i (t) = (x i+2 x i 2 )[x i 2, x i 1, x i, x i+1, x i+2 ]F t unde F t (x) = (x t) 3 +, este o bzǎ pentru S 3 ( n ) pe [, b]. Funcţii spline polinomile cu deficienţǎ Funcţiile spline de grdul m, definite în secţiune nteriorǎ, prţin clsei C m 1 pe întreg xǎ relǎ. Deorece pe fiecre subintervl cestǎ funcţie este un polinom, condiţiile de netezime se impun numi în nodurile diviziunii n. Aceste condiţii de rcordre în noduri pot fi slǎbite, cerînd c în fiecre nod sǎ vem o rcordre mi puţin netedǎ şi cre pote diferi de l nod l nod. Acest ne v conduce l definire, ş numitelor, funcţii spline cu deficienţǎ. Fie n = {x i } n o diviziune intervlului închis [, b] cu < x 1 < x 2 < < x n < b. Fie m un intreg pozitiv şi fie K = {k 1,..., k n } un vector de întregi cu 0 k i m numit vector de incidenţǎ. Definiţi 2.5 O funcţie s : [, b] R se numeşte funcţie polinomilǎ de grdul m cu deficienţ K, în rport cu diviziune n, dcǎ stisfce urmǎtorele condiţii: 1) s [xi,x i+1 ) P m, i {0, 1,..., n} 2) s (j) (x i ) = s (j) (x i +), 0 j m k i, i {1,..., n}. Vom not mulţime stfel definitǎ prin S m (K, n ) Dcǎ în definiţi de mi sus luǎm k 1 = = k n = k tunci spţiul S m (K, n ) se numeşte spţiul funcţiilor spline cu deficienţǎ k. Se observǎ uşor cǎ dcǎ K = (k,..., k), 0 k m tunci s S m (K, n ) s C m k ([, b]) PP m ( n ). Dcǎ k 1 = k n = 0 tunci S m (K, n ) = P m, dcǎ k 1 = = k n = 1 tunci S m (K, n ) = S m ( n ) ir dcǎ k 1 = = k n = m tunci S m (K, n ) = PP m ( n ).

44 Cpitolul 1. Clse de funcţii în teori proximǎrii Teorem 2.7 Orice element s S m (K, n ) se reprezintǎ în mod unic sub form m m s(x) = i (x x 1 ) i + α p,r (x x p ) r + (2.16) i=0 p=1 r=m k p+1 unde (x x p ) r + = (mx{0, x x p }) r. Demonstrţie. Se fce nlog cu demonstrţi Teoremei 2.1 Se observă că s se mi pote scrie unde l i = k i 1. m s(x) = i (x ) i l i + β ij (x x i ) m j + i=0 j=0 Teorem 2.8 Fie n = {x i } n+1 i=0 cu = x 0 < x 1 < < x n < x n+1 = b o diviziune intervlului [, b], m un întreg pozitiv, K = (k 1,..., k n ) un vector de incidenţǎ. 1) Spţiul S m (K, n ) este finit dimensionl şi dim(s m (K, n )) = m + 1 + k p = m + 1 + K p=1 2) Funcţiile ϕ ij cu j = 0,..., k i 1; i = 0,..., n definite prin ϕ ij (x) = (x x i ) m j +, unde k 0 = m + 1, formezǎ o bzǎ în S m (K, n ). Demonstrţie. L fel c în demonstrţi Teoremei 2.2 se rtǎ cǎ ϕ ij S m (K, n ) cînd j = 0,..., k i 1, i = 0,..., n şi în plus cǎ sînt linir independente. Cum orice element din S m (K, n ) se reprezintǎ în mod unic cu jutorul funcţiilor (ϕ ij ), cee ce rezultǎ din Teorem 2.7, obţinem cǎ (ϕ ij ) formezǎ o bzǎ pentru S m (K, n ), fiind un sistem de genertori linir independenţi. Dimensiune spţiului S m (K, n ) rezultǎ imedit, deorece dim(s m (K, n )) = k i = k 0 + k i = m + 1 + k i = m + 1 + K. i=0 k=1