TEHNIČKI FAKUTET SVEUČII IIŠTA U IJEI Zavod za elektroenergetiku Studij: Preddiplomski stručni studij elektrotehnike Kolegij: Osnove elektrotehnike II Nosioc kolegija: v pred mr sc Branka Dobraš Izmjenični strujni krugovi Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Str: 2 Analiza i sinteza mreža a u izmjeničnim nim strujnim krugovima složenija je od analize istosmjernih strujnih krugova budući i da se na sve poznato iz istosmjernih strujnih krugova: dodaje još i dimenzija vremena, dodaju novi (osnovni) elementi koji se mogu pojaviti u strujnom krugu: kapacitet i induktivitet Navedeni faktori čine analize pojava u izmjeničnim nim strujnim krugovima vrlo kompleksnom i zahtijevaju korištenje relativno složenog matematičkog aparata S druge strane, zbog matematičke kompleksnosti vrlo je teško pratiti fizikalne pojave
Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Sinusiodalne veličine ine predstavljaju specijalan slučaj izmjeničnih nih veličina ina Njihovim korištenjem postiže e se: jednostavniji opis strujno-naponskih naponskih prilika baza za sve složenije slučajeve, tj nesinusiodalne veličine ine (može e se pokazati da se nesinusoidalne veličine ine mogu prikazati uz pomoć sinusoidalnih putem Fourierove analize) Također,, električna mreža a kojom se distribuira el energija ima ovakav karakter Str: 3 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike: sinusiodalni oblik oblik: oblik - sve veličine ine (struja i napon) imaju isti 2 π ai () t = Ai sin t + ϕi T period ponavljanja - veličine ine se periodički ponavljaju, pa je dovoljno analizirati samo pojave u toku jedne periode Također,, period ponavljanja zajednički je za sve veličine ine a i () t = a ( t + k T ) i Str: 4
Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Primjer: u, i A A 2 a (t) T t a 2 (t) Str: 5 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike - AMPITUDA: maksimalna vrijednost koju sinusoidalna veličina ina može poprimiti u, i A A 2 t Str: 6
Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike - FEKVENIJA: veličina ina vezana za period ponavljanja i označava ava broj ponavljanja (perioda) u jednoj sekundi Veza V između perioda i frekvencije je: u, i f = T s ili [ Hz] T 2 T >T 2 t Str: 7 T f < f 2 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike - FAZA: veličina ina koja kazuje koliko je određena sinusoidalna veličina ina pomaknuta u odnosu na drugu veličinu inu (pomak u fazi, Δϕ), odnosno u odnosu na referentnu vrijednost (početni fazni kut, u, i ϕ) Δϕ ϕ >0 ϕ 2 <0 Δϕ = ϕ -ϕ 2 ϕ t Str: 8 ϕ 2
Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Osnovne karakteristike i međusobni odnosi: dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine imaju jednaku jakost ako su im amplitude jednake, dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine imaju jednaku frekvenciju ako su im periodi ponavljanja jednaki, dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine se poklapaju u fazi ako imaju jednake početne fazne kuteve i jednaku frekvenciju, dvije izmjenične ne sinusoidalne veličine ine su jednake ako su im jednake amplitude, frekvencija i početni fazni kut Str: 9 Izmjenične ne sinusoidalne veličine ine Primjer izvora izmjeničnog nog sinusoidalnog napona: N e 2 3 2 3 4 T t 4 r e( t) B l v ( ( B v ) S = sin α r, Str: 0 U M = B l v π α = 2 t T
Kompleksni račun i vektorska analiza ačunanje s veličinama inama u vremenskoj domeni vrlo je komplicirano Uzmimo samo primjer zbrajanja dvije sinusoidalne veličine: ine: a a 2 ( t) = A sin( ω t + ϕ) () t = A sin( ω t + ϕ ) a 2 () t = a () t + a () t 2 2 Str: Već i za najjednostavnije primjere (jednake amplitude, različite ite faze) vidljivo je da stvar vrlo brzo postaje presložena ena za jednostavno računanje Kompleksni račun i vektorska analiza Str: 2 Ovo je samo primjer zbrajanja (oduzimanja) Još veći i problem mogu predstavljati množenje i dijeljenje Postavlja se pitanje da li se nekom odgovarajućom om transformacijom ti izračuni mogu pojednostavniti, budući i da je frekvencija zajednička ješenje enje preslikavanje u kompleksno područje i korištenje vektorske analize Osnovna ideja ovog postupka je riješiti iti se varijable vremena t, a to je moguće e budući i da je riječ o periodički promjenljivim veličinama inama
Kompleksni račun i vektorska analiza Dodatno, preslikavanjem problema u kompleksno područje, pored izostavljanja dimenzije vremena, izbjegava se i rješavanje sustava dif jednadžbi t u(t)=f(u, t, ϕ) sustav dif jedn u(t)=f(u, t, j) U = U 2 U = 2 U cplx u=f(u, ϕ) cplx u=f(u, ϕ) Str: 3 Kompleksni račun i vektorska analiza Ovo vrijedi SAMO za SINUSODANE VEIČINE INE!!! Postupak preslikavanja temelji se na sljedećem: em: izraz za izmjeničnu nu veličinu inu (npr( npr napon): može e se prikazati i kao: { MAX } j( ω + t ϕ) ( ω ϕ) Im U sin t+ = U e MAX () t = U ( ω t +ϕ ) u MAX sin a to se može e promatrati kao projekcija vektora, koji rotira odgovarajućom om brzinom oko hvatišta ta koje se nalazi u ishodištu kooridnatnog sustava, na y os Str: 4
Kompleksni račun i vektorska analiza Pri tome vrijedi: ω je kutna brzina kojom vektor rotira oko hvatišta, ta, U MAX je amplituda vektora Im Kako bi se računalo s efektivnim vrijednostima ta se amplituda dijeli još s faktorom 2 ω t U=U MAX / 2 ϕ e Ovi se vektori još nazivaju i fazorima Str: 5 Obično se označavaju avaju s točkom umjesto strelice (na vrhu): & U, I & Kompleksni račun i vektorska analiza Budući i da su vektori (fazori( fazori) ) dvodimenzionalne veličine ine one se opisuju na odgovarajući i način: uz pomoć kompleksnih brojeva Konačno, no, budući i da su sve veličine ine periodički promjenjive, s istim periodom ponavljanja T moguće e je iz čitavog problema izbaciti dimenziju vremena To se može e tumačiti kao zamrzavanje slike u jednom vremenskom trenutku Nakon završenih proračuna u cplx domeni, problem se može e vrlo lagano prebaciti natrag u vremensku domenu obrnutim postupkom Str: 6
Kompleksni račun i vektorska analiza Postupak prebacivanja iz vremenske domene u cplx domenu (polarni oblik): amplituda se dijeli s korijenom broja 2 faza se prepisuje,, a vrijeme se izbacuje u MAX () t = U sin( ω t + ϕ ) U& = ϕ MAX Postupak prebacivanja iz cplx domene (polarni oblik) u vremensku domenu: amplituda se množi i s korijenom broja 2 faza se prepisuje,, a vrijeme se vraća U 2 Str: 7 U& () t = U 2 sin( ω ϕ ) = U ϕ u t + Kompleksni račun i vektorska analiza Veza između polarnog oblika i poznatog (Kartezijev) oblika kompleksnih brojeva A± jb*: Im (j) U& = A+ jb U& = U ϕ A= U cos B = U sin ( ϕ) ( ϕ) Str: 8 U ϕ A jb e odnosno 2 2 U = A + B B ϕ = arctg A * zbog korištenja slova i za označavanje struje, oznaka za kompleksni broj je j
Kompleksni račun i vektorska analiza ačunske operacije s kompleksnim brojevima: Im (j) U& = A+ jb U& = U ϕ A= U cos B = U sin ( ϕ) ( ϕ) Str: 9 U ϕ A jb e odnosno 2 2 U = A + B B ϕ = arctg A * zbog korištenja slova i za označavanje struje, oznaka za kompleksni broj je j Kompleksni račun i vektorska analiza Str: 20 Konačno, no, prednosti vektorske analize u izmjeničnom nom strujnom krugu: Budući i da se radi o periodičkim veličinama inama moguće e je izbaciti dimenziju vremena iz proračuna To vodi na puno jednostavniji matematički aparat; izbjegava se rješavanje diferencijalnih jednadžbi (vidjeti kasnije primjere) Proračun je PAKTIČKI KI IDENTIČAN onom u istosmjernom strunom krugu; treba samo paziti da se radi o kompleksnim brojevima te računati s realnim i imaginarnim vrijednostima (umjesto računanja s realnim brojevima kod D krugova) Zadržava ava se preglednost fizikalne slike problema iz D krugova Najjednostavniji problemi mogu se riješiti iti puno brže e uz pomoć vektorskih dijagrama i trigonometrijskih odnosa
Elementi u strujnim krugovima Str: 2 Analogno istosmjernim strujnim krugovima, i izmjenični strujni krugovi se sastoje od izvora i potrošača a (aktivnih( i pasivnih elemenata),, međusobno m povezanih vodičima ima Vodovi koji povezuju elemente u pravilu ne utječu u na strujno-naponske naponske prilike U strujnom se krugu također mogu naći i i mjerni elementi: ampermetar, voltmetar, wattmetar,, Ti mjerni elementi prilagođeni su za mjerenje veličina ina izmjeničnog nog karaktera Izvori električne energije Analogno istosmjernim krugovima i ovdje postoje dvije osnovne kategorije izvora: strujni izvori naponski izvori Strujni izvori predstavljaju električne elemente koji daju u strujni krug struju sinusoidalnog karaktera, neovisno o ostalim prilikama u strujnom krugu Simbol za strujni izvor I + Str: 22
Izvori električne energije Naponski izvori predstavljaju električne elemente koji daju na svojim stezaljkama sinusoidalni napon, neovis- no o ostalim prilikama u strujnom krugu Simbol za naponski izvor E + Str: 23 Primjer izmjeničnih nih naponskih izvora - razne vrste generatora izmjeničnog nog napona: rotirajuća a petlja u magnetskom polju utičnica u stanu/kući Potrošači i električne energije Str: 24 Potrošači i u izmjeničnim nim strujnim krugovima predstavljaju razne vrste otpora Za razliku od istosmjernih strujnih krugova ti otpori mogu imati čisti otporni karakter (radni otpor), ali i kapacitivni i induktivni karakter Svi ti otpori u izmjeničnim nim strujnim krugovima nazivaju se jednim zajedničkim imenom: EEKTIČNA IMPEDANIJA (skraćeno: impedancija) Jedinica je također Ohm (Ω) Kao i struja i napon, električna impedancija se u kompleksnom računu prikazuje također kao kompleksni broj
Potrošači i električne energije Iako se najčešće e koriste simboli za pojedine elemente koji čine impedanciju, simbol za impedanciju je: Ż Analogno vezi otpora i vodljivosti u istosmjernom strujnom krugu, postoji i veza i između impedancije i ADMITANIJE: Y& = Z& Str: 25 Primjer potrošača a u izmjeničnom nom strujnom krugu: grijač (bojler, peć), elektromotor, Potrošači - radni otpor Klasični otpori koji primljenu električnu energiju pretvaraju (najčešće) e) u toplinu Budući i da se trenutna vrijednot u trenutku t može promatrati kao istosmjerna veličina, ina, na temelju Ohmovog zakona za istosmjerni strujni krug može e se napisati izraz: ( ) ( ) u t = i t Str: 26 Budući i da je vrijednost otpora konstanta, iz ovog izraza je vidljivo da će e napon i struja na otporu imati isti oblik (početnu fazu i frekvenciju)
Potrošači - radni otpor Valni oblici napona i struje na otporu su stoga sljedeći: u, i u(t)=u sin(ω t) i(t)=i sin(ω t) t Str: 27 Potrošači - radni otpor U kompleksnoj domeni to znači: U & = I & Odgovarajući i vektorski dijagram koji to opisuje: Str: 28 Im = I I & U & ϕu = ϕ I ΔϕUI = 0 e Struja i napon su U FAZI U
Potrošači - kapacitivni otpor Str: 29 Kapaciteti (kondenzatori) Primljenu el energiju skladište u obliku električnog polja (i u stanju su je predati natrag krugu) Iz poznavanja odnosa kapaciteta, napona i naboja, te naboja i struje može e se dobiti sljedeći i izraz koji povezuje napon i struju na kapacitetu: () t du i () t = dt Detaljnijom analizom može e se pokazati da će e napon i struja na kapacitetu imati istu frekvenciju, ali da će struja prethoditi naponu za četvrtinu periode Potrošači - kapacitivni otpor Valni oblici napona i struje na kapacitetu (kondenzato( kondenzato- ru) ) su stoga sljedeći: u, i i(t)=i sin(ω t) t Str: 30 u(t)=u sin(ω t-90 )
Potrošači - kapacitivni otpor U kompleksnoj domeni to znači: U & = I & ( jx ) Str: 3 Izraz -jx ima dimenziju otpora te vrijedi da je: Z & = jx [ Ω] Izraz za računanje vrijednosti kapacitivnog otpora: X = ω X = 2 π f Potrošači - kapacitivni otpor Odgovarajući i vektorski dijagram koji to opisuje: Im U & I & U I ΔϕUI = 90 e ϕ U = I = ϕ X 90 Struja prethodi naponu za 90 Str: 32 Budući i da kapacitet skladišti el energiju, on spada u kategoriju tzv reaktivnih elemenata
Potrošači - induktivni otpor Induktiviteti (zavojnice) Primljenu el energiju skladište u obliku magnetskog polja (i u stanju su je predati natrag krugu) Iz elektromagnetizma poznat je odnos napona i struje na zavojnici (induktivitetu( induktivitetu): u () t = di dt () t Str: 33 Iz ovog se izraza može e pokazati (uz odgovarajuću analizu) da struja i napon na induktivitetu imaju jednaku frekvenciju, ali da struja kasni u fazi za naponom za četvrtinu periode Potrošači - induktivni otpor Valni oblici napona i struje na induktivitetu (zavojnici) su stoga sljedeći: u, i i(t)=i sin(ω t) t Str: 34 u(t)=u sin(ω t+90 )
Potrošači - induktivni otpor U kompleksnoj domeni to znači: U & = I & jx Izraz jx ima dimenziju otpora te vrijedi da je: Z & = jx X X = ω [ Ω] Izraz za računanje vrijednosti induktivnog otpora: = 2 π f Str: 35 Potrošači - induktivni otpor Odgovarajući i vektorski dijagram koji to opisuje: Im U & I & Δϕ = 90 ϕ U U = I = ϕ UI I + 90 e Napon prethodi struji za 90 Str: 36 Budući i da induktivitet skladišti el energiju, on također spada u kategoriju reaktivnih elemenata
Potrošači - usporedba adni otpor & I& U = Z& = ( 0 ) Im (j) I İ U e Kapacitet & I& U = jx Z = - jx = ( X 90 ) jω U Im (-j) e Str: 37 Induktivitet I& = U& jx Z& = jx = jω ( X 90 ) U Im (j) İ e Potrošači - frekvencijske karakteristike Ovisnost impedancije o frekvenciji: radni otpor: Z=konst kapacitivni otpor: Z pada obrnuto prop porastu frekvencije induktivni otpor: Z raste linearno s frekvencijom Z X X Str: 38 f
Osnovni zakoni Str: 39 Osnovni zakoni koji vrijede u istosmjernim strujnim krugovima vrijede i u izmjeničnim nim strujnim krugovima Pri tome treba još dodati i komponentu vremena Korištenjem kompleksnog računa ta je sličnost izrazito velika; samo treba uzeti u obzir dvodimenzionalnost veličina ina i uračunati unati i realnu i imaginarnu komponentu Gledano s tog aspekta može e se reći i da istosmjerni krugovi predstavljaju specijalan slučaj (realni dio) Ti zakoni jesu: Ohmov zakon I Kirchhoffov zakon II Kirchhoffov zakon Ohmov zakon Stoga se Ohmov zakon za izmjenične ne strujne krugove može e pisati kao: U& I& = Z& Z ima dimenziju otpora i predstavlja impedanciju elementa I ponovno pri tome treba obratiti pažnju na polaritet* pada napona: I Z Z Str: 40 + U Z * ovdje se polaritet promatra u kontekstu faznog pomaka
Ohmov zakon (2) Za razliku od istosmjernih strujnih krugova, budući i da se barata s kompleksnim vrijednostima, u izmjeničnim nim strujnim krugovima može e doći i do pomaka u fazi između napona i struja (vidi: kapacitet i induktivitet) Uzevši i u obzir sve navedeno, može e se reći i da Ohmov zakon za istosmjerni strujni krug predstavlja specijalan slučaj, gdje su sve veličine ine realne (nalaze se na realnoj osi u vektorskom dijagramu) Pri tome + ili - polaritet zapravo predstavlja pomak u fazi za 80 Str: 4 I Kirchhoffov zakon Ako se izmjenični strujni krug promatra u diskretnm vremenskim trenucima, može e se reći i da će, na temelju poznatog iz istosmjernih krugova, u svakom od tih trenutaka vrijediti I Kirchhoffov zakon Uz uvažavanje avanje navedenog, može e se reći i da će suma svih struja koje ulaze u točku/ ku/čvor strujnog kruga u svakom trenutku biti jednaka nuli n i= () = 0 i i t Str: 42 Međutim,, zbog jednostavnosti proračuna čitava se problematika prebacuje u kompleksnu domenu
I Kirchhoffov zakon (2) U kompleksnoj domeni za I Kirchhoffov zakon se može iskazati ta ista tvrdnja: I KZ zakon vrijedi i u izmjeničnom nom strujnom krugu, samo treba uzeti u obzir karakter veličina ina s kojima se barata I Kirchhoffov zakon za izmjenični strujni krug u kom- pleksnom obliku stoga glasi: Vektorska suma svih struja koje ulaze u točku/ ku/čvor strujnog kruga jednaka je nuli n i= I & i = 0 Str: 43 Struje koje ulaze i izlaze iz čvora se međusobno uzima- ju s pomakom u fazi za 80 (suprotni predznak) I Kirchhoffov zakon (3) Primjer: I I 2 I 3 I& I& I& 2 3 = e = e = e { I& } + j Im{ I& } = Ie + jiim { I& 2} + j Im{ I& 2} = I 2e + ji { I& 3} + j Im{ I& 3} = I3e + ji3im 2Im Str: 44 n i= I & i = 0 I & & & I 2 I3 = 0 I I e Im I I 2e 2Im I I 3e 3Im = 0 = 0
I Kirchhoffov zakon (4) Primjer (nastavak): I I 2 I 3 n i= I & i = 0 Im Im I & 3 I & 3 Str: 45 I & 2 I & e I & I & 2 e II Kirchhoffov zakon Ponovno se ista priča ponavlja i za II Kirchhoffov zakon II Kirchhoffov zakon za izmjenični strujni krug stoga glasi: Suma padova napona u zatvorenom strujnom krugu (petlji, konturi) u svakom trenutku jednaka je nuli n i= () = 0 u i t Str: 46 Pri tome treba ponovo paziti da se ponovno sve radi s kompleksnim vrijednostima te da treba računati i s realnim i s imaginarnim brojevima: n i= U & i = 0
II Kirchhoffov zakon (2) I ovdje treba paziti na međusobne polaritete Primjer: I c I d Str: 47 I a I b U 2 + I 2 + + U + I + U 3 I 3 + A I e II Kirchhoffov zakon (3) Primjer (nastavak): Ic I d U& U & i = 0 i ( U& ) + ( U& ) + ( U& ) + U& U& U& 2 2 U& + U& 3 + U& + U& 3 + U& = 0 = 0 Str: 48 I a I b U 2 + I 2 + + U + U 3 I 3 A U & + + I I e & ( jx ) U& I& + U& + I& ( jx ) 0 I 2 2 3 3 =