Fourierova transformacija kontinuiranog aperiodičnog signala. Fourierova transformacija. signala. x(t) aperiodični signal konačnog trajanja

Σχετικά έγγραφα
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

Periodičke izmjenične veličine

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

DOMAĆA ZADAĆA 5. /Formulacije i rješenja zadataka/ - INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 ak. 2009/2010. Selma Grebović. Sarajevo, Decembar 2009.

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Operacije s matricama

18. listopada listopada / 13

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

UVOD U ANALIZU I OBRADU SIGNALA

Signali i sustavi. Signal. Predstavljanje signala: mr. sc. Karmela Aleksić-Maslać dr. sc. Damir Seršić

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

IZVODI ZADACI (I deo)

numeričkih deskriptivnih mera.

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

5. Karakteristične funkcije

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Teorijske osnove informatike 1

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

Uvod u teoriju brojeva

Slučajni proces i njegova svojstva

Osnove Fourierove analize. Franka Miriam Brückler

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Elementi spektralne teorije matrica

Obrada signala

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

7 Algebarske jednadžbe

Signali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Prikaz sustava u prostoru stanja

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

1 Promjena baze vektora

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

1.4 Tangenta i normala

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

VILJUŠKARI. 1. Viljuškar se koristi za utovar standardnih euro-pool paleta na drumsko vozilo u sistemu prikazanom na slici.

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

5 Ispitivanje funkcija

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Kaskadna kompenzacija SAU

f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

POGON SA ASINHRONIM MOTOROM

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

Osnove Fourierove analize

Transcript:

Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog x() aperiodični signal konačnog rajanja kreiramo periodični signal peiroda T p periodičnim ponavljanjem x() A x().8a.6a.4a.a A x p ().8A.6A.4A.A -Tp Tp 3

Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog vrijedi da je: x ( ) = lim x ( ) Tp p ova inerpreacija kao i prehodni primjer ukazuju da bi spekar x() mogli dobii iz spekra x p ()uz T p 4 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog prikaz x p () uz pomoć Fourierovog reda je: gdje je = = T jπkf xp() cke F k= p Tp / j kf c = k xp() e d T π p Tp / 5 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog budući je x() = x p () za -T p / T p / možemo pisai: Tp / j kf c = π k xe () d T p Tp / vrijedi akođer da je x() = za > T p / granice inegrala mogu bii zamijenjene s - odnosno jπkf ck = xe () d T p 6

Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Definiramo funkciju X(F) koju nazivamo Fourierovom ransformacijom x(): jπ F X ( F) = x( ) e d X(F) je funkcija koninuirane varijable F X(F) možemo povezai s prije izvedenim c k na slijedeći način: 7 iz Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog jπ F X ( F) = x( ) e d i jπkf ck = xe () d T p c = X( kf ) T c = X( kf ) k p k Tp prema ome Fourierovi koeficijeni c k su uzorci X(F) uzei na frekvencijama kf e zaim pomnoženi s F ili sa /T p 8 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Fourierov red za x p () sada možemo pisai jπkf xp() = X( kf) e F = T T p k = prije je kazano da je x () = lim x () T promorimo gornji Fourierov red kada T p j. F p p 9 3

Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog j kf pišemo xp() = F X( kf) e π k= inerpreirajmo gornju sumaciju grafički j kf X ( kf ) e π ( ) X F e π j kf F dakle, gornja sumacija predsavlja površinu ispod krivulje ( ) j kf X F e π koja može bii izračunaa i pomoću inegrala kf (k+)f Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog prema ome kada T p ada se x p () reducira na x() i slijedi jπ F x () = X( F) e df jπkf ( ) lim x ( ) = x( ) = lim X kf e F p Tp Tp k = gornji izraz se naziva inverzna Fourierova ransformacija Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog konačno pišemo ransformacijski par: jπ F X ( F) x( ) e d = x() X( F) e j π F df = 4

Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Uobičajeno je Fourirerovu ransformaciju prikazai preko kružne frekvencije Ω = πf, uz df=d Ω / π jω X ( ) xe ( ) d Ω = jω x() = X( Ω) e dω π 3 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Fourirerova ransformacija egzisira ako je signal x() konačne energije j. ako je x () d< alernaivni skup uvjea za egzisenciju Fourirerove ransformacije su i ovdje Dirichleovi uvjei: 4 Fourierova ransformacija koninuiranog aperiodičnog Dirichleovi uvjei za egzisenciju Fourirerove ransformacije:. Signal x() ima konačni broj konačnih diskoninuiea. Signal x() ima konačni broj maksimuma i minimuma 3. Signal x() je apsoluno inegrabilan x () d< 5 5

Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih energija aperiodičnog koninuiranog x(), čija je Fourierova ransformacija X(F) je: kako je slijedi: Ex = x () d x() = x() x () 6 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih E = x () d= x () x() d= x jπ F x() X ( F) e df d jπ F X ( FdF ) xe ( ) d = = = = X ( F) df 7 dakle vrijedi: Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih E = x () d= x X ( F) df šo je Parseval-ova relacija za aperiodične koninuirane signale konačne energije i izražava princip očuvanja energije u vremenskoj i frekvencijskoj domeni 8 6

Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih spekar X(F) općenio je kompleksna funkcija pa je uobičajen njegov prikaz u polarnom obliku X( F) = X( F) e Θ j ( F ) gdje je X(F) ampliudni spekar a θ(f) fazni spekar s druge srane inegrand X(F) u prehodnom inegralu predsavlja disribuciju energije u signalu kao funkciju frekvencije. 9 zao se S xx (F) Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski koninuiranih Sxx = X( F) naziva gusoća spekra energije x() kako je prije pokazano inegral S xx (F) preko svih frekvencija daje oalnu energiju S xx (F) ne sadrži informaciju o faznom spekru pa nije moguće rekonsruirai signal opisan s S xx (F) Spekar realnih aperiodičnih vremenski koninuiranih za realni signal x() slijedi iz para za Fourierovu ransformaciju: X( F) = X( F) arg ( ) arg ( ) ( X F ) = ( X F ) 7

Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Zadan je pravokuni signal za koji reba odredii Fourierovu ransformaciju: x() A τ / x () = > τ / Α τ/ τ/ Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Vremenski koninuirani signal x() je aperiodičan i zadovoljava Dirichleove uvjee pa izračunavamo Fourierovu ransformaciju τ / jπ F sinπfτ X( F) = Ae d = Aτ πfτ τ / x() X(F) Α Ατ F τ / τ / /τ /τ /τ 3 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Očigledno je da je X(F) realna (x() je paran) pa je dovoljno crai samo jedan dijagram. Koeficijeni Fourierovog reda (linijski spekar) periodičnog pravokunog akođer su bili oblika sinx/x. X(F) je zapravo dodirnica linijskog spekra periodičnog koji je nasao periodičnim ponavljanjem (s periodom T p ) aperiodičnog x() τ / τ / jπ F sin F X( F) = Ae d = Aτ π τ πfτ 4 8

Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Drugim riječima Fourierovi koeficijeni c k periodičnog x p () su jednosavno uzorci X(F) na frekvencijama kf = k /T p dakle: k ck = X( kf ) = X Tp T p T p 5 x() X(F) Α Ατ F τ/ τ/ /τ /τ /τ x() X(F) Α Ατ Ατ F τ/ τ/ /τ /τ /τ /τ 6 x() X(F) Α Ατ Ατ F τ/ τ/ /τ /τ /τ /τ x() X(F) Α Ατ Ατ/ Ατ/ F τ/ τ/ /τ /τ /τ /τ 7 9

Α Ατ Usporedba Fourierovih ransformacija za različie vrijednosi širine aperiodičnog pravokunog relacija neodređenosi Α Α τ/ τ/ τ/ τ/ 6/τ /τ /τ 6/τ Ατ Ατ 7/τ 5/τ 3/τ /τ /τ 3/τ 5/τ 7/τ 4Ατ Ατ τ/ τ/ 3/τ /τ /τ /τ /τ 3/τ 8.9.8.7.6.5.4 x( ) = Ae a A =, a =. 8 6 4 8 Ω π a x( Ω) = A e a A =, a =..3 6. 4. -4-3 - - 3 4 -.5 - -.5.5.5 Ω.9.8.7 x( ) = Ae a A =, a =. 9 8 7 6 Ω π a x( Ω) = A e a A =, a =..6 5.5.4 4.3 3.. -4-3 - - 3 4 -.5 - -.5.5.5 Ω 9 Frekvencijska analiza vremenski diskrenih

Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih aperiodični diskreni signal možemo generirai iz koninuiranog aperiodičnog oipkavanjem posupak uzimanja uzoraka ili oipkavanja koninuiranog možemo maemaički modelirai kao pridruživanje funkciji x() niza impulsa, čiji inenzie je proporcionalan renunim vrijednosima koninuiranog x s ()= S T {x()} 3 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih Možemo o inerpreirai kao modulaciju impulsnog niza δ () = δ( nt) funkcijom x(), j. x () T + n= x () = x() δ ( nt) s + x s() x () xs() δt δ T 3 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih / x( ) x( ) δ(- ) δ () x() + x() za x( ) = x( ) δ ( ) d x () = x () δ () za mali x () = x( ) δ ( ) x( ) δ ( ) x () = x() δ( ) x( ) δ( ) 33

Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih zbog svojsva dela funkcije da vadi vrijednos koninuirane funkcije x() na mjesu diskoninuiea - nt =, j. n = nt, može se napisai i u obliku: x () = x( nt) δ ( nt) s + n= 34 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih usporedimo spekre ovih za signal x() vrijedi par: jπ F X ( F) x( ) e d = x() X( F) e j π F df = Periodičan niz δ T nasao ponavljanjem dela funkcije svakih T, kao svaka periodična funkcija se dade predsavii Fourierovim redom, gdje su Fourierovi koeficijeni dani s: 35 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih T/ ck = e d F T δ = = T T T/ F s je frekvencija oipkavanja jπ kfs (), s. /T -3T -T -T T T 3T -3/T -/T -/T /T /T 3/T + j kfs δt() = cke π + jπ kfs = e k = T k = slijedi:. F 36

Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih spekar oipkanog x s () dan je s: + jπ F jπ kf s jπ F X s( F) = xs( ) e d = x() e e d T zamjenom redoslijeda sumacije i inegracije dobivamo: + + j π ( F kfs ) X s ( F) = x( ) e d T k = inegral je spekar x(), ali pomaknu za kf s, pa izlazi: + + X s( F) = X( F kfs) = Fs X( F kfs) T k= k = k= 37 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih pokazano je da je spekar oipkanog dakle diskrenog periodičan pa Fourierovu ransformaciju diskrenog x[n] konačne energije možemo pisai: ( ) ( j ω X ω = X e ) = x[ n] e n= n 38 Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih važno je primijeii da je X(e ) periodičan s periodom π j( ω+ πk) j( ω+ πk) n n= n jπkn e n n= X( ω+ πk) = X( e ) = x[ n] e = = xne [ ] n= = xne [ ] = X( e ) = X( ω) ovo je posljedica činjenice da je za diskreni signal frekvencijsko područje limiirano samo na inerval (-π, π) ili (, π) i da su sve frekvencije izvan og inervala ekvivalenne frekvencijama unuar inervala 39 3

Frekvencijska analiza diskrenih aperiodičnih X( e ) = x[ n] e n= n gornji izraz predsavlja prikaz X(e )uz pomoć Foureirovog reda pa uzorci x[n] predsavljaju Foureierove koeficijene izračunavanje x[n] iz X(e ) 4 Fourierova ransformacija diskrenih aperiodičnih X( e ) = x[ n] e n= n izračunavanje x[n] iz X(e ) započinje množenjem obje srane s e m i inegracijom preko inervala (-π, π): π π π = π n= ( j ω ) j ω m X e e d x[ n] e j ω n e j ω ω m dω 4 Fourierova ransformacija diskrenih aperiodičnih π π π = π n= ( j ω ) j ω m X e e d x[ n] e j ω n e j ω ω m dω desna srana se preuređuje i izračunava: n= π ( m n) π x[ m] m= n xn [ ] e dω = m n π pa je konačno: π m x[ m] = X( e ) e dω π π 4 4

Fourierova ransformacija diskrenih aperiodičnih zaključno, par za Fourierovu ransformaciju aperiodičnih diskrenih je X( e ) = x[ n] e π n x[ n] = X( e ) e dω π π n= n 43 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih energija aperiodičnog diskrenog x[n], čija je Fourierova ransformacija X(e ), je: uz E x n= = xn [ ] x[ n] = x[ n] x [ n] izrazimo energiju E x pomoću spekralne karakerisike X(e ) 44 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih n Ex = xn [ ] x[ n] = xn [ ] X ( e ) e dω π n= n= π π π n Ex = X ( e ) x[ n] e dω π π n= π π Ex = X ( e ) X( e ) dω X( e ) dω π = π π π 45 5

dakle vrijedi: Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih Ex = xn [ ] = X( e ) dω π n= π π šo je Parseval-ova relacija za aperidodične diskrene konačne energije 46 Gusoća spekra energije aperiodičnih vremenski diskrenih kao i u slučaju aperiodskih koninuiranih i ovdje je uobičajen prikaz spekra u polarnom obliku: j j j ( ) Xe ( ω ) Xe ( ω Θ = ) e ω a S ( e ) = X( e ) xx predsavlja raspodjelu energije kao funkciju frekvencije i naziva se gusoća spekra energije 47 Spekar realnih aperiodičnih vremenski diskrenih nadalje za realni signal vrijedi: čemu je ekvivalenno Xe ( ) = X( e ) ( j ω ) ( j ω ) i arg ( j ω Xe Xe Xe ) arg Xe ( j ω = = ) odnosno S ( e ) = S ( e ) xx xx 48 6

Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Zadan je pravokuni signal za koji reba odredii Fourierovu ransformaciju: A n L xn [ ] = za osale n x[n] Ampliuda.8.6.4. L=5 A= -5 5 5 Korak n 49 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Fourierova ransformacija ovog je: L n n X( e ) = x[ n] e = Ae n= n= L e j( ω /)( L ) A Ae sin( ωl/) = = e sin( ω /) 5 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog Ampliudni spekar je: AL ω = X( e ) = sin( ωl / ) A sin( ω / ) za osale ω fazni spekar je: j sin( L / ) arg X( e ω ) = arg A ω ( L ) + arg ω sin( ω /) apomena: faza realne veličine je nula kada je ona poziivna a π kada je veličina negaivna 5 7

Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 5 Ampliudni spekar X(e ) Ampliuda 4 3-3 - - 3 4 ω /π Fazni spekar arg[h(e )] L=5 A= Faza u radijanima - -4-3 - - 3 ω /π 5 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 6 Realni dio X(e ) Ampliuda 4 - -3 - - 3 4 ω /π Imaginarni dio X(e ) L=5 A= Ampliuda - -4-3 - - 3 ω /π 53 Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 5 Ampliudni spekar X(e ) Ampliuda 5-3 - - 3 4 ω /π Fazni spekar arg[h(e )] L=4 A= Faza u radijanima - -4-3 - - 3 ω /π 54 8

Primjer Fourierove ransformacije aperiodičnog pravokunog 5 Realni dio X(e ) Ampliuda 5-5 -3 - - 3 ω /π Imaginarni dio X(e ) L=4 5 Ampliuda -5 - -3 - - 3 ω /π 55 Veza Fourierove ransformacije i z - ransforamcije Z ransformacija je definirana kao X ( z) = x[ n] z n ROC: r < z < r n= kompleksna varijabla z izražena u polarnom obliku: gdje je z = j re ω r = z & ω = arg( z) 56 Veza Fourierove ransformacije i z - ransforamcije Unuar područja konvergencije X(z) možemo supsiuirai z=re u izraz za z ransformaciju pa slijedi: n n X( z) = x[ n] r e z= re n= ovaj izraz možemo inerpreirai kao Fourierovu ransformaciju niza x[n]r n alernaivno ako X(z) konvergira za z = ada je X ( z ) x j n j [ ne ω ] X ( e ω = ) z= e n= Dakle Fourierovu ransformaciju možemo inerpreirai kao z - ransformaciju izračunau na jediničnoj kružnici 57 9

Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih 58 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih Fourierov red za koninuirani periodični signal x(), perioda T p, je: j kf x () = ce π k k= signal x() može bii prikazan s beskonačnim brojem frekvencijskih komponeni spekar je diskrean pri čemu je razmak između susjednih komponeni /T p 59 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih diskreni periodični signal x[n] ima periodični spekar (zbog diskrenosi u vremenskoj domeni) koji se ponavlja svakih π područje frekvencija (-π, π) ili (,π) diskreni periodični signal x[n] ima diskrean spekar (zbog periodičnosi u vremenskoj domeni) pri čemu je razmak između susjednih frekvencijskih komponeni π/ radijana Fourierov red za periodični diskreni signal sadržavai će najviše frekvencijskih komponeni 6

Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih Za diskreni periodični signal x[n] perioda vrijedi: x[ n] = x[ n+ ] za svaki n Fourierov red periodičnog sadrži harmonički vezanih kompleksnih eksponencijalnih funkcija: j πkn/ e k =,,..., 6 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih Fourierov red za diskreni periodični signal: [ ] = k j π kn/ =,,..., k= xn ce n izvod izraza za Foureriove koeficijene c k : obje srane se množe s eksponencijalom e -jπ l n/ a zaim se produki zbrajaju od n= do n=- j πln/ j π( k l) n/ xne [ ] = ce k n= n= k= 6 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih zamijenimo redoslijed sumacije: uz sumaciju j πln/ j π( k l) n/ xne [ ] = cke n= k= n= j ( k l) n/ e π n= k l =, ±, ±,... = za osale desna se srana reducira na c l pa slijedi: 63

Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih cl = x ne l = j πln/ [ ],,..., n= šo je izraz za Fourierove koeficijene x[n] 64 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih zaključno, par za Fourierovu ransformaciju periodičnih diskrenih je ck = x ne k = j π kn/ [ ],,..., n= [ ] = k j π kn/ =,,..., k= xn ce n 65 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih jednadžba j π kn/ xn [ ] = ce n=,,..., k k= se u engleskoj erminologiji naziva discree-ime Fourier series (DTFS) Fourierovi koeficijeni c k, k =,,,...,-, omogućavaju prikaz x[n] u frekvencijskoj domeni, ako da c k predsavljaju ampliudu i fazu vezanu uz j kn/ j kn frekvencijske komponene e π = e ω gdje je ω = πk/ k 66

Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih slijedi važno svojsvo periodičnosi c k j π( k+ ) n/ j πkn/ ck + = xne [ ] = xne [ ] = c n= n= prema ome {c k } je periodični niz s osnovnim periodom prema ome: k 67 Fourierova ransformacija diskrenih periodičnih spekar x[n], koji je periodičan s periodom, je periodičan niz s periodom bilo kojih susjednih uzoraka ili njegova spekra su dovoljni za popuni opis u vremenskoj ili frekvencijskoj domeni 68 Gusoća spekra snage vremenski diskrenih periodičnih za periodični diskreni signal x[n], perioda, srednja snaga je definirana kao: Px = xn [ ] n= i ovdje će srednja snaga bii prikazana pomoću Fourierovih koeficijenaa 69 3

Gusoća spekra snage vremenski diskrenih periodičnih j πkn/ Px = x[ n] x [ n] = x[ n] cke n= = n= k= j πkn/ Px = ck x[ ne ] k= n= pa finalno zaključujemo: x = k k = k k= k= P c c c 7 Gusoća spekra snage vremenski diskrenih periodičnih Px = xn = c [ ] k n= k= predsavlja Parseval-ovu relaciju za diskrene periodične signale Parseval-ova relacija pokazuje da je za diskrene periodične signale srednja snaga jednaka sumi snaga svake pojedine frekvencijske komponene niz c k za k=,,..., - predsavlja disribuciju snage kao funkciju frekvencije i naziva se gusoća spekra snage 7 Spekar realnog periodičnog diskrenog za realni periodični x[n] koeficijeni Fourierovog reda {c k }zadovoljavaju slijedeći uvje: iz čega slijedi: c k c = k c = c i arg( c ) = arg( c ) k k k k a zbog c k = c k+ slijedi c = c i arg( c ) = arg( c ) k k k k 7 4

Primjer Fourierove ransformacije periodičnog pravokunog zadan je periodični pravokuni diskreni signal kao na slici: x[n].9.8.7.6.5 L=5 =6.4.3.. -5 - -5 5 5 korak n - L +L 73 Primjer Fourierove ransformacije periodičnog pravokunog izračunavaju se c k L j πkn/ j πkn/ ck = x[ ne ] = Ae k =,,..., n= n= AL k L A = j πk/ n ck = ( e ) = j π kl/ n= A e k =,,..., j πk/ e 74 c k Primjer Fourierove ransformacije periodičnog pravokunog AL k =, ±, ±,... A jπ k( L )/ sin( πkl/ ) za osale k e sin( πk/ ) = primjeri: 75 5

x[n].9.8.7.6.5.4.3.. -5 - -5 5 5 korak n ampliudni spekar c[k].5..5..5-5 - -5 5 5 korak k fazni spekar c[k] 3 L=4 =6 A= - - -3-5 - -5 5 5 korak k 76 x[n].9.8.7.6.5.4.3.. -5 - -5 5 5 korak n ampliudni spekar c[k].8.6.4. -5 - -5 5 5 korak k fazni spekar c[k] 3 L=6 =6 A= - - -3-5 - -5 5 5 korak k 77 x[n].9.8.7.6.5.4.3.. -5 - -5 5 5 korak n ampliudni spekar c[k].6.4. -5 - -5 5 5 korak k fazni spekar c[k] 3 L= =6 A= - - -3-5 - -5 5 5 korak k 78 6

5 Ampliudni spekar X(e ) Ampliuda Faza u radijanima 4 3 - -.5 - -.5.5.5.5 3 4 - ω /π Fazni spekar arg[h(e )] -4 - -.5 - -.5.5.5.5 3 ω /π L=5 aperiodični signal x[n] 5 ampliudni spekar c[k] 4 3-6 -4-4 6 8 korak k fazni spekar c[k] 3 - L=5 periodični signal x[n] - -3-6 -4-4 6 8 korak k 79 aperiodičan periodičan koninuirani jω X ( ) xe ( ) d Ω = jω x() = X( Ω) e dω π = jπkf ck xe () d T Tp p j kf x () = ce π k k= diskreni X( e ) = x[ n] e n= π n n x[ n] = X( e ) e dω π π ck = x[ ne ] n= k= j πkn/ xn [ ] = ce π k j kn/ 8 7