58 CAPITOLUL 4 INTEGRALE CURBILINII 4 DRUMURI PARAMETRIZATE Defiiţi 4 Pi dum pmetizt î se îţelege oice fucţie vectoilă cotiuă defiită pe u itevl I di cu vloi î Dcă otăm cu x, y şi z compoetele scle le lui, tuci t () xt (), yt (), zt (), t I Ecuţiile x xt (), y y() t, z z() t, t I se umesc ecuţiile pmetice le dumului, su o epezete dumului, i t se umeşte pmetu Imgie diectă (I) itevlului I pi fucţi vectoilă, dică mulţime x(), t y(), t z(); t t I se umeşte supotul (um, hodogful, tiectoi) { } dumului Dcă I este u itevl compct [, b], tuci supotul său este o mulţime compctă şi coexă di ( ) Î cest cz, puctele () şi (b) se umesc cpetele (extemităţile) dumului Dcă () (b) dumul se umeşte îchis Exemplul 4 Fie dumul : [, π] defiit pi: t () Rcos, trsit), t [, π] Ecuţiile pmetice sut: ( x Rcos t y Rsi t, t [, π ] O y Fig t M ( xy, ) ( R,) x Obsevăm că petu oice t [,π ] puctul ( x(), t y() t ) veifică ecuţi, x + y R Rezultă că supotul cestui dum este cecul cu cetul î oigie şi de ză R Pmetul t e î cest cz o itepete geometică evidetă şi ume, este ughiul dite z coespuzătoe puctului M(x, y) şi diecţi pozitivă xei Ox deoece () ( π ) ( R,), dumul este îchis
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII z y Exemplul 4 Fie dumul : [, π] defiit stfel: t () Rcos, t Rsi, t ht, t [, π] 59 Ecuţiile pmetice sut: x Rcos t y Rsi t z ht, t [,π ] Supotul cestui dum este elice ciculă de ps h Defiiţi 4 Dcă fucţi x vectoilă este ijectivă, spuem că Fig dumul este simplu (făă pucte multiple) Î czul uui dum îchis, cest este simplu dcă eglitte ( t) ( t) implică su t t su cel puţi uul di umeele t şi t este egl cu şi celăllt cu b, ude cu şi b m ott cpetele itevlului I Dumuile pezette î Exemplul 4 şi 4 sut simple U exemplu de dum ce e pucte multiple este fliul lui Desctes: Exemplul 4 Cosideăm ecuţiile pmetice: t x + t t y, t + t Supotul cestui dum este epezett î Fig Se obsevă că oigie O este puct multiplu O y x Defiiţi 4 U dum (,, ): x y z I se umeşte eted dcă x, y, z, sut de clsă C pe I şi x () t + y () t + z () t >, t I Fig U stfel de dum e popiette că î oice puct l supotului său dmite tgetă U dum ce u este eted, se spue că e pucte sigule U puct t I se umeşte sigul dcă x ( t) y ( t) z ( t) Dcă t I este u
6 puct sigul, tuci î puctul M xt, y( t ), z( t ) de pe supot, tget u este defiită U dum se cosideă oiett î sesul ceşteii pmetului Defiiţi 44 Două dumui : I şi : I se umesc echivlete şi se oteză cest lucu cu bijectivă, stict mootoă, de clsă C cu ( t ) ( t ) λ ( t ) t I, dcă există o fucţie λ : I I λ, t I, stfel îcât, O stfel de fucţie λ se umeşte şi schimbe de pmetu Di defiiţie λ t >, t I su ezultă că dcă λ este o schimbe de pmetu, tuci ( t ) t I λ <, Dcă λ > pe I, deci λ este stict cescătoe, tuci spuem că dumuile şi sut echivlete cu ceeşi oiete Î cz cot, spuem că şi sut echivlete cu oiete schimbtă Este evidet că două dumui echivlete u celşi supot Exemplul 44 Fie dumuile : I π ( t) ( Rsi t, Rcos t), t I,, espectiv (, ), t I ( R) t t R t, i i, i,, defiite stfel: Aceste dumui u celşi supot şi ume cul AB î oigie şi de ză R (Fig 4) Obsevăm că fucţi λ : I I y defiită pi λ ( t) Rsi t, t I este bijectivă, de clsă C A(, R) şi π λ ( t) Rcos t>, t, Mi mult, obsevăm că ( λ ( t )) λ( t ), R λ ( t ) ( si, cos ) R t R t t, t I Rezultă că λ este o schimbe de pmetu şi deci că cele două dumui sut echivlete cu ceeşi oiete O l cecului cu cetul Fig 4 B( R,) x
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 6 Cosideăm cum dumul :, π t I, Obsevăm, c mi sus, că fucţi : I I π t, I, ezultă că µ este stict descescătoe t I ( t) ( Rcos t, Rsi t), µ defiit pi este o schimbe de pmetu Cum µ t R si t <, µ t R cos t, Dumuile şi (espectiv şi ) sut echivlete cu oietăi difeite Oiete dumuilo şi, oiete dtă de sesul ceşteii pmetului, este de l A căte B, î timp ce oiete dumului este de l B căte A y y A A x x O B O B Fig 5 Defiiţi 45 Se umeşte cubă pmetiztă oice clsă de dumui pmetizte echivlete Aşd, este cubă pmetiztă dcă există u dum pmetizt : I stfel îcât: { ρ : J dum pmetizt ρ } Cum ~ ezultă că O cubă pmetiztă este simplă (îchisă, etedă) dcă dumul ce o detemiă este simplu (îchis su eted) O cubă simplă se cosideă că este oiettă pozitiv, dcă dumul ce o defieşte este oiett î sesul ceşteii pmetului şi egtiv î cz cot Fie o cubă pmetiztă simplă şi etedă, şi fie : I ( ) dumul pmetizt ce o defieşte, oiett î sesul ceşteii pmetului Vom ot cu + mulţime tutuo dumuilo pmetizte echivlete cu şi ce u ceeşi
6 oiete cu Evidet, + Vom ot cu mulţime tutuo dumuilo pmetizte echivlete cu ce u oiete opusă lui Supotul uei cube pmetizte este supotul dumului ce o defieşte şi evidet, cest coicide cu supotul oicăui epezett l cubei Fie cub pmetiztă defiită de dumul Supotul său este cul di Fig 4 Supotul cubei + este cul AB (oiett de l A căte B), î timp ce supotul cubei este cul BA Evidet + şi Î cotiue, vom ot cu {} supotul cubei De semee, oi de câte oi u sut pilejui de cofuzie, vom idetific o cubă cu uul di epezetţii săi Defiiţi 46 Fie :[, b] şi :[ b, c] două dumui pmetizte cu popiette că ilo şi şi se oteză cu U umătoul dum: ( ( t) dc t [, b] ( U ) () t ( ( t) dc t [ b, c] Dcă i este cub defiită de i, i,, tuci AB ( b) ( b) Se umeşte justpuee dumu- U este cub defiită de dumul U O cubă se umeşte etedă pe poţiui dcă este justpuee uui umă fiit de cube etede 4 CURBE RECTIFICABILE Noţiue de cubă (dum) itodusă î 4 este destul de geelă şi de cee, î umite czui (î specil î czul cubelo ce dmit pucte multiple), supotul uei cube pote să difee eseţil fţă de imgie ituitivă pe ce o vem despe o cubă Giuseppe Peo ătt că se pot defii două fucţii cotiue x x(t), y y(t) pe itevlul [, ], deci u dum, stfel îcât, tuci câd pmetul t pcuge itevlul [, ], puctul coespuzăto (x(t), y(t)) poeşte di puctul (, ) ce coespude vloii t, tece pi tote puctele păttului [, ] [, ] şi juge î vâful (, ) ce coespude vloii t Cu lte cuvite, supotul cestui dum umple u pătt Este cl că oţiue de lugime petu u semee dum u e ses Î cele ce umeză vom itoduce oţiue de dum ectificbil (ce e lugime) şi vom ăt cum se clculeză lugime uui dum ectificbil cu jutoul iteglei defiite Fie : [, b] u dum şi fie x x(t), y y(t), z z(t), t [, b] ecuţiile sle pmetice Cosideăm o diviziue oece itevlului [, b],
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 6 : t < t< K< ti < ti < K< t b şi otăm cu M i puctul de coodote ( ( i), ( i), ( i) ) x t y t z t, i, Fie L () M M lugime liiei poligole M M Fig 6 Mi M i i i i obţiută pi uie suucesivă, pi segmete de deptă, puctelo M i Este evidet că dcă p, tuci L () L () Mulţime { L () }, câd pcuge tote diviziuile posibile le itevlului [, b] este o mulţime de umee pozitive, ce pote fi măgiită supeio su u Defiiţi 4 Spuem că dumul este ectificbil dcă mulţime () este mjotă Petu u dum ectificbil se umeşte lugime s { L } umătoul umă: L () sup { L () } < Lem 4 Petu oice 4 umee ele,, b, b, e loc ieglitte: + b + b b + b () Demostţie Amplificâd cu cojugt şi ţiâd sem de ieglitte tiughiului obţiem + + + + b b + b + b b b b + b + b + b b b Pe de ltă pte vem: + b + b + + b + b + + + Ţiâd sem de ceste ieglităţi î () ezultă + + b + b b + b () + b + b + + b + b şi log
64 Obsevţi 4 Ieglitte () ămâe vlbilă petu oice umee ele, b, i, De exemplu petu vem i i + + b + b + b b + b + b () Demostţi este pctic ceeşi cu demostţi lemei Teoem 4 Fie :[, b] u dum pmetizt defiit stfel: t () xt (), yt (), zt (), t [, b] Dcă este eted, tuci este ectificbil şi lugime s este b L x () t + y () t + z ()d t t Demostţie Fie : t < t< K< ti < ti < K< t b o diviziue oece itevlului [, b], şi fie L () lugime liiei poligole îscise î supotul dumului Avem: ( t t ) i, i ( i i ) ( ( i) ( i ) ) ( ( i) ( i ) ) L () x( t ) x( t ) + y t y t + z t z t i Di teoem Lgge ezultă că există α, β, î itevlul deschis, stfel îcât Fucţi g : [, b] i i i i i i ( ti ti ) i L () x ( α ) + y ( β ) + z ( ) (4) defiită pi: g() t x () t + y () t + z () t, t [, b], este o fucţie cotiuă, deoece fucţiile x, y, z sut cotiue pi ipoteză Cosideăm sum Riem ( g, ) x ( i) + y ( i) + z ( α i) ( ti ti ) σ α α α i (5) Deoece g este itegbilă pe [, b], ezultă că ε >, δ ε > stfel îcât cu < δ ε şi oice fi puctele itemedie α ( α ) vem σ ( α) b g, g( t)dt < ε (6) Pe de ltă pte, di ieglitte () şi ieglitte geeliztă tiughiului, ezultă: ( ( i) ( i) ( i) ( i) )( i i ) (7) L () σ g, ε y β y α + z z α t t i i
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 65 Cum y' şi z' sut uifom cotiue pe [, b], ezultă că există δ ε > cu popiette că t', t" î [, b] cu distţ t t < δ ε vem ε ε y ( t ) y ( t ) < şi z ( t ) z ( t ) < (8) b b Dcă legem cum diviziue stfel îcât < δ ε, tuci β i i ti ti < δ ε şi log i αi < δ ε şi cofom (8) vem ε ε y ( βi) y ( αi) <, z ( i) z ( αi) < (9) b b Ţiâd sem de (9) î (7) ezultă: L () ( g ε σ, α) < ( t i t i ) ε b Aşd, m demostt că cu i < δ ε vem L () σ ( g, α) ε Cum g este măgiită pe [, b], ezultă că σ ( g, α ) oice şi oice α şi, ţiâd sem de () că mulţime { L () } < () este măgiită petu este măgiită Pi ume m demostt că dumul este ectificbil Fie L () sup L () Di defiiţi mgiii supeioe ezultă că petu oice * există o diviziue itevlului [, b] stfel îcât L () < L () L () () Mi mult, putem pesupue că <, petu că î cz cot, fiăm cestă diviziue pâă obţiem o diviziue f cu cestă popiette Cum L () L () ezultă că L () stisfce () Cosideăm cum o diviziue itevlului [, b] cu popiette mi ; σ ε ; σ < ε şi petu ce sut devăte ieglităţile () Di (6), () şi () ezultă b ( α) L () gt ()d t L () L () (), + L σ g + () b + σ ( g, α) g( t)dt < + ε Cum ieglitte () e loc petu oice * şi oice ε > ezultă că b b L () gt ()d t x () t + y () t + z ()d t t
66 şi cu cest teoem este demosttă Obsevţi 4 Fie u dum pmetizt î defiit pi (t) ( x(), t y() t, t [, b] Dcă este eted, tuci e lugime şi cest este ) b L x () t + y ()d t t Obsevţi 4 Fie f : [, b] gficului cestei fucţii este eglă cu o fucţie de clsă C Lugime b L () + f ()d x x t f t, Ît-devă, fucţi f defieşte u dum eted şi ume (t) (, ) t [, b] Gficul lui f coicide cu supotul cestui dum Afimţi ezultă cum di Obsevţi 4 Obsevţi 44 Dcă este u dum ectificbil, tuci oice lt dum echivlet cu este ectificbil şi e ceeşi lugime c Ît-devă, fie i :[ i, bi], i, două dumui echivlete şi fie λ :[, b] [, b], bijectivă, stict mootoă de clsă C cu popiette [ λ () t ] () t, t [, b] Dcă { ti} este o diviziue oece itevlului [, b ], tuci λ( ) { λ( ti )} este o diviziue itevlului [, ] diviziue itevlului [, b ] este de cest tip Cum L ( ) L ezultă că L( ) sup L ( ) sup L ( ) b şi ecipoc, oice Defiiţi 4 O cubă este ectificbilă dcă este o clsă de echivleţă uui dum ectificbil Lugime uei cube ectificbile este lugime oicăui dum di cestă clsă de echivleţă Exemplul 4 Lugime cecului O epezete pmetică cecului este x R cos t, y R si t, t [, π] Cofom Teoemei 4 vem: π π L x () t + y ()d t t Rdt π R Exemplul 4 Lugime uei mui de cicloidă Cicloid este cub pmetiztă defiită de dumul
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 67 y ( si ), y ( cost) x t t t [, π] Obsevăm că, x () t + y () t cost t 4 si Rezultă că O Fig 7 Exemplul 4 Lugime lăţişoului Lăţişoul este gficul fucţiei f( x) ch x, x [, b] Di Obsevţi 4 deducem b x L + sh dx b x x b ch d x sh sh b x t L t π si d π t 4cos 8 O y h Exemplul 44 Lugime elipsei O epezete pmetică elipsei Fig 8 x y de ecuţie + este : x si t, y b b cos t, t, π] y Este suficiet să clculăm u sfet di lugime elipsei Avem: L π b cos t b si tdt 4 + c c x F O F Fig 9 π ( ) b si td t Dcă otăm cu c distţ foclă şi cu ε exceticitte, tuci c b c şi ε < Î cotiue ezultă
68 L π ε si tdt, ude 4 < ε < Sutem coduşi stfel l clculul iteglei: π ε si tdt, < ε < Di păcte, pimitiv cestei fucţii u este o fucţie elemetă şi deci clculul cestei itegle u se pote fce cu fomul Leibiz-Newto Îcece de clcul lugime elipsei e- codus l o iteglă ce u pote fi clcultă exct O semee iteglă se umeşte iteglă eliptică Se cuosc umătoele tipui de itegle eliptice: ) Itegl eliptică de pimul tip: π dϕ K( κ ), κ (,) κ si ϕ O b) Itegl eliptică de tipul doi: π E( κ ) κ si ϕ dϕ, κ (,) c) Itegl eliptică de tipul tei: y α ρθ θ B A β Fig M( x, y ) β ρ θ ρ θ θ α L () () + ()d x F ( κ, h) π ( h ϕ ) dϕ + si κ si ϕ, κ (,) Clculul cesto itegle se fce cu metode poximtive şi s-u îtocmit tbele cu vloile lo (poximtive) petu difeite vloi le pmetilo κ, espectiv κ şi h Obsevţi 45 Fie ρ ρθ, θ [ αβ, ] o fucţie de clsă C şi fie dumul : [α, β] defiit de: ( θ ) ρθ cos θ, ρθ siθ, θ [ αβ, ] Dumul este ectificbil şi lugime s este: Ît-devă, o epezete metică dumului este: x ρ( θ)cosθ, y ρ( θ)siθ, θ [ αβ, ] Supotul cestui dum este cul AB, epezett î Fig Cofom Teoemei 4 vem: p-
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 69 β ( cos ) β ρ θ ρ θ + ρ θ ρ θ θ ( + ) L () si si cos d α O y θ Fig Aşd, lugime cdioidei e ste L 8 x α ρ ( θ) ρ ( θ) d θ Exemplul 45 Lugime cdioidei Fie ρ( θ) + cosθ, θ [, π ] Supotul dumului detemit de cestă fucţie este epezett î Fig Di motive de simetie, este suficiet să clculăm jumătte di lugime cestui dum Avem L π cosθ si θ dθ + + π ( θ ) + cos dθ π cos θ dθ 4 Obsevţi 46 Di Teoem 4 ezultă că dcă :[, b] şi :[ b, c ] sut două dumui pmetizte etede şi dcă U este dumul obţiut pi justpuee lo, tuci este ectificbil şi L() L + L Mi mult, oice cubă etedă pe poţiui este ectificbilă şi lugime s este sum lugimilo poţiuilo sle etede ( ) 4 REPREZENTAREA NORMALĂ A UNEI CURBE RECTIFICABILE Fie : [, b] u dum pmetizt eted, defiit pi z t () ( xt (), yt (), zt ()) Cofom Teoe- B O A M y mei 4 cest dum este ectificbil şi lugime s este: b L L( ) x () t + y () t + z ()d t t Petu oice t [, b] otăm cu t s λ ( t) x ( u) + y ( u) + z ( u)du x Fig
7 Dcă M este pu ctul de coodote ( x(), t y(), t z() t ) lugime cului AM, tuci s λ(t) epezită Deoece λ () t x () t + y () t + z () t >, t [, b], λ() şi λ(b) L, ezultă că λ : [, b ] [, L] este o fucţie de clsă C, stict cescătoe şi bijectivă Ives s λ :[, L] [, b] este de semee de clsă C Coside ăm fucţi vectoilă ρ :[, L] ϒ defiită pi ρ() s λ () s, s [, L ] Este cl că dumuile şi ρ sut echivlete şi că fucţi λ este o schimbe de pmetu Dcă otăm cu x % () s x λ () s, ys () y λ () s % şi zs %() z λ () s, s [, L], tuci x xs %(), y y% () s, z z% () s, s [, L] costituie o epe- zete pmetică dumului ρ şi deci lui (deoece ρ ) Defi iţi 4 epezete pmetică x xs %(), y y% () s, z z% () s, s [, L ] potă umele de epezete pmetică omlă dumului Î epezete pmetică omlă, pmetul s epezită lugime cului AM Ax(), y(), z() şi M xs %(), ys %(), zs %() ude ( % % % ) [ ] O popiette impottă epezetăii omle este umătoe fucţiilo compuse şi ivese, şi de fptul că d ρ ds Ît-devă, ρ λ () s, s [, L] Ţiâd sem de egulile de deive λ () t x () t + y () t + z () t, ezultă: d ρ d λ () s d( λ () s ) d( t) d s d λ () s ds dt λ ( t) ( x (), t y (), t z () t ), ude t λ () s x () t + y () t + z () t Aşd, vem dρ x () t + y () t + z () t ds x () t + y () t + z () t
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 7 Di puct de vedee geometic d ρ epezită vesoul tgetei l cubă, ds oiettă î sesul ceşteii pmetului s, dică de l A căte B π Exemplul 4 Fie dumul :, t () Rsi, trcost t, π Avem:, [ ] defiit pi π t, t [, π ] L L() s cos t+ R si tdt R π şi s λ() t R cos u+ R si udu R t Fucţi ivesă este: s t λ Rπ () s, s, R Repezete omlă este: Rπ xs %() Rsis, ys %( ) Rcos s, s, R R Rπ Dumul ρ ρ() s ( xs %(), ys %()), s, este echivlet cu dumul şi e ceeşi oiete cu cest Dcă otăm cu cub detemită de dumul oiett î sesul ceşteii + pmetului t, tuci ρ + Exemplul 4 Fie :[,π ] dumul pmetizt defiit pi t () Rcos, trsi, tht, t [, π ] Avem π si cos t+ h dt π R + h ; t () si cos u d L R t+ R s λ t R u+ R + h u t R + h, t [, π ] s Fucţi ivesă este t λ () s, s,π R + h şi R + h s s epezete omlă este xs %() Rcos, ys %() Rsi, R + h R + h hs zs %(), s,π R + h R + h
7 44 INTEGRALE CURBILINII DE PRIMA SPEŢĂ Fie o cubă etedă şi fie x xt (), y y() t, z z() t, t [, b] o epezete pmetică s O stfel de cub ă este ectificbilă şi lugime s este b () () () d Fie de semee, x xs () L x t + y t + z t t %, y y% () s, z z% () s, s [, L] epezete omlă cubei şi fie f o fucţie elă defiită pe supotul cubei su pe o mulţime di supot ce coţie cest Defiiţi 44 Se umeşte itegl cubiliie de pim speţă fucţiei f pe L cub, umătoe iteglă defiită: [ x %(), s y % (), s z %()d s ] s, dcă cest există Petu itegl cubili ţi: f ( xyz) Aşd vem: ie de pim speţă se foloseşte ot,, ds f xyz,, ds def [ (), y (), s z ] Remiti m că m ott cu s elemetul de c, ume L x % s % %()d s s () t () s λ () t x () u + y () u + z () u du Exemplul 44 Să se clculeze ( x + y+ z)d s, ude este elice ciculă x Rcost, y Rsit, z ht, t [, π] Aş cum m ătt î Exemplul 4 epezete omlă elicei cicule s s hs este: xs %() Rcos, ys %() Rsi, zs %(), R + h R + h R + h s, π R + h Rezultă f xyz,, ds R h s s hs π + R cos + Rsi + ds R + h R + h R + h π R + h s s h s R R + h si R R + h cos + R + h R + h R + h hπ R + h Dcă m cuoşte epezete omlă oicăei cube, tuci fomul () fi suficietă petu clculul iteglei cubiliii de pim speţă De egulă, o
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 7 cubă se dă pit-o epezete pmetică î ce pmetul t este oece, i epezete s omlă u se cuoşte Teoem umătoe pemite clculul iteglei cubiliii de pim speţă î czul câd epezete pmetică este oece Teoem 44 Fie o cubă etedă şi fie x xt (), y y() t, z z() t, t [, b] o epezete pmetică s Dcă A este o mulţ ime ce coţie supotul cubei şi f : A Ρ este cotiuă, tuci există itegl cubiliie de pim speţă fucţiei f pe cub şi f ( xyz,, ) ds [ ] Demostţie b f xt (), yt (), zt () x () t + y () t + z () t dt () Deoece f este cotiuă şi fucţiile x, y, z sut de cls ă C pe [, b], ezultă că itegl di membul dept există Pe de ltă pte, fucţiile x% xo λ, y% yo λ, z% zo λ sut de semee de lul,l, deci şi clsă C pe itev [ ] itegl di membul stâg există Cofom Defiiţiei 44 vem: f ( xyz L,, ) ds f [ xs %(), ys % (), zs %()d ] s Dcă fcem schimbe de vibilă s λ() t y% o λ y, z% o λ z,, t [, b] ds λ ()d t t x () t + y () t + z ()d t t şi mi, ezultă x% o λ x, depte: f ( xyz,, ) d L λ L s f [ xs %(), ys % (), zs %()d ] s f [ xt yt zt] b [ ] + (), (), () λ ( t) dt λ f xt (), yt (), zt () x () t + y () t z () t dt Reluâd exemplul 44 şi ţiâd sem de Teoem 44 obţiem: π ( x y z)d s + + R cost+ Rsi t+ ht R si t+ R cos t+ h dt π t R + h Rsi t Rcost+ h π h R + h Obsevţi 44 Î czul uei cube ple fomul () devie b f ( xy, ) d s f[ xt ], yt x ( t) + y ( t)dt
74 Exem plul 44 Să se clcu leze xyd s, ude este poţiue di pimul x y cd elipsei + O epezete pmetică cubei este: b π x cost, y bsit, t, Cofom Teoemei 44 vem xy d s π bsit cost si t + b cos t dt Dcă fcem schimbe de vibilă π u si t+ b cos t, t, ( ) tuci ezultă du b sit cost dt şi mi depte, ( b ) xy ds d b b + b + b u u u b ( + b) b Obsevţi 44 Dcă este o cubă etedă pe poţiui (este o justpuee de cube etede) tuci vem: P f xyz,, d s f xyz,, ds i i b, ude b U UKU Obsevţi 44 Itegl cubiliie de pim speţă u depide de oiete cubei Ît-devă, fucţiile x x% ( L s), y y% ( L s), z z% ( L s), s [, L ] fomeză o epezete pmetică cubei Dcă otăm cu u L s ezultă: L [ ] % % %,, d,, d f x y z s f x L s y L s z L s s L [ zu %()d ] u f[ xu %(), yu %(),()d zu % ] u L f xu %(), yu %(), f x, yz, ds Î cotiue pezetăm itepete fizică iteglei cubiliii de pim speţă Ît-devă, să pesupuem că u fi mteil de gosime eglijbilă e ă x xs %(), y ys %(), z zs %(), s, L, epezete fom cubei eted Fie [ ] omlă cubei Notăm cu AB supotul cubei şi cu ρ :AB Ρ + fucţi (cotiuă) ce expimă desitte fiului mteil Fie : s < si < K< si < si < K< s L o diviziue oece itevi fie x% ( s), y% ( s), z% ( s) lului [, L] ş M AB puctul de coodote i i i i p +
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 75 Fig Pecizăm că s i epezită lugime cului AM i Dcă diviziue este suficiet de fiă, putem pesupue că pe poţiue Mi, Mi desitte fiului este costtă şi ume este eglă, de exemplu, cu vloe fucţiei ρ ît-uul di cpete Aşd, pesupuem că ρ ρ M M i, M M M Rezultă i că ms poţiuii Mi, Mi fiului mteil este poximtiv eglă cu podusul ρ ( Mi)( si si ), i ms îtegului fi AB, se poximeză cu sum ρ ( M )( s s ) i i i i i Vloe lim,, d Mi si si x y z s i, exctă msei fiului mteil v fi µ ρ( ) ρ sesul exct fiid umătoul: ε >, δ > stfel îcât, oice fi diviziue itevlului [, L], cu δε Î cocluzie, ρ ( x yz) ε i i i i < vem ( M )( s s ) µ ρ < ε,, ds epezită ms uui fi mteil de gosime eglijbilă, ce e fom cubei de supot AB şi de desitte ρ ρ( x, yz, ) ( x, yz, ) AB, Dcă otăm cu xg, y G şi z G coodotele cetului de geutte le fiului mteil, tuci, pocedâd c mi îite, se tă că: xρ xyz,, ds yρ x, y, z ds zρ x, y, z ds x G ρ,,, ds ( x yz) y G ρ Î czul uui fi omoge ( ρ ( M ) x G xds, ds y G yds ds, z G,,, ds ( x yz) z G ρ,, ds ( x yz) κ, M AB ), ezultă: zds ds
76 45 INTEGRALA CURBILINIE DE SPEŢA A DOUA Fie o cubă etedă de supot AB şi fie x xs %(), y y% () s, z z% () s, s [, L], epezete s omlă Vom ot cu τ τ ( M ) vesoul tgetei l cub ît-u puct cuet M xs %(), ys %(), zs %() AB, oiett î sesul [ ] ceşteii pmetului s Se ştie că dx% dy% dz% τ,, ds ds ds Cosideăm de semee o fucţie vectoilă F ( P, Q, R defiită pe o mulţime Ω ce coţie supotul AB l cubei, cu vloi î Î otţi vectoilă, î ce idetificăm oice puct di cu vectoul său de poziţie, vem: dx% dy% dz% τ i + j+ k cosαi + cos β j+ cos k, ude α, β şi sut ughiuile ds ds ds pe ce le fce τ cu Ox, Oy şi Oz F xyz,, P xyzi,, + Q xyz,, j+ R xyzk,,, ( xyz Ω,, ) Defiiţi 45 Se umeşte itegl cubiliie de speţ dou fucţiei F ( P, Q, R) pe cub +, umătoe iteglă defiită: L F τ ds L ( [% % % ] % [% % % ] % [% % % ] % ) Pxs (), ys (), zs () xs () + Qxs (), ys (), zs () ys () + Rxs (), ys (), zs () zs ()ds Petu itegl cubiliie de speţ dou se foloseşte otţi P x, y, z d x+ Q x, y, z d y+ R x, y, z dz Aşd vem: def L P x, y, z d x+ Q x, y, z d y+ R x, y, z dz F τ ds L ( [% % % ]% [% % % ]% [% % % ] % ) Pxs (), ys (), zs () xs () + Qxs (), ys (), zs () ys () + Rxs (), ys (), zs () zs ()ds Umătoe teoemă pemite clculul iteglei cubiliii de speţ dou câd epezete pmetică cubei este oece ) ()
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 77 Teoem 45 Fie o cubă etedă şi fie x xt (), y y() t, z z() t, t [, b] o epezete pmetică s Notăm cu + cub oiettă î sesul ceşteii pmetului t Dcă AB l cubei şi (,, ): F P Q R A există itegl cubiliie de speţ dou pe cub + şi P x, y, z d x+ Q x, y, z d y+ R x, y, z dz + b Ω este o mulţime ce coţie supotul este o fucţie vectoilă cotiuă, tuci ( [ ] [ ] [ ] ) Pxt (), yt (), zt () xt () + Qxt (), yt (), zt () yt () + Rxt (), yt (), zt () zt () dt Demostţie Deoece este etedă, ezultă că x%, y% şi z% sut de clsă C pe [, L], deci τ : AB este o fucţie vectoilă cotiuă Cum şi F este cotiuă, deducem L că F τ d s există, deci itegl di membul stâg e ses Este evidet că şi itegl di membul dept există, deoece x, y şi z sut de clsă C () pe [, b] şi P, Q, R sut cotiue pe AB Cofom defiiţiei 45 P ( x, y, z ) d x + Q ( x, y, z ) d y + R ( x, y, z ) d z este + eglă cu itegl di membul dept l eglităţii () Vom fce î cestă iteglă schimbe de vibilă s λ() t t, b şi obţiem [ ()], [ ] λ ( λ() t ) () t şi log y% [ λ () t ] y() t, [ λ ] x% λ t x x z% () t z() t De semee, ţiâd sem de egulile de deive fucţiilo compuse şi ivese, vem d x ()d s s x( λ () s ) dx () () % ds λ s d λ s ds d s d λ () s ds x () t λ ()d t t x()d λ () t t t Î mod semăăto vem y% ()d s s y ()d t t, z% ()d s s z ()d t t Î um cestei schimbăi de vibilă ezultă: L ( Pxs [%(), ys % (), zs %()] xs % () + Qxs [%(), ys %(), zs %()] ys % () + Rxs [%(), ys %(), zs %()] zs % ()d ) s b ( Pxt [ (), yt (), zt ()] xt () + Qxt [ (), yt (), zt ()] yt () + Rxt [ (), yt (), zt ()] zt ()) dt Cu cest, teoem este demosttă
78 Obsevţi 45 Itegl cubiliie de speţ dou depide de oiete cubei Ît-devă, vesoul tgetă l cub ît-u puct cuet M AB este egl cu τ, de ude ezultă că: L L Pdx+ Qdy+ Rdz F ( τ ds F τ ds Pdx+ Qdy+ Rdz ) + Exemplul 45 Să se clculeze + ydx+ zdy+ xdz, ude R R R : x ( cos t), y ( cos t), z sit Cofom Teoemei 45 vem: + +, t [, π ] + ydx+ zdy+ xdz π R ( cos ) R R R R R t si t si t si t ( cos t) cos t d + + + + t π R Obsevăm că di puct de vedee geometic, supotul cubei este cecul x + y + z R x + y R Acest cec se flă î plul x + y R ce este plel cu x Oz şi tece pi puctele AR (,,) şi B(, R,) ; segmetul [AB] este u dimetu l său Cecul e cetul î R R R puctul,, şi z Dcă otăm R R R cu P,, R R R şi cu Q,, lte două pucte le cecului, costtăm că puctul A coespude vloii t, pπ metului, P coespude vloii t, B coespude vloii t π şi Q coespude π vloii t Aşd, cub + este cecul di plul x + y R, de cetu R R,, şi z R, oiett î sesul APBQA
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 79 Obsevţi 45 Dcă cub este dtă pit-o epezete pmetică, + epezită cub oiettă î sesul ceşteii pmetului Dcă îsă cub este o cubă îchisă şi este dtă c o itesecţie de două supfeţe, tuci oiete cubei u este evidetă şi tebuie idictă pi euţ De exemplu, î czul cecului de mi sus, se pote specific fptul că cest este pcus î sesul celo uui cesoic dcă pivim di puctul O, oigie sistemului de xe Fptul că este vob de o cubă îchisă, se pote mc pit-u cec pe semul iteglei Exemplul 45 se pote efomul stfel: Să se clculeze ydx+ zdy+ xdz ude + + x y z R + este cecul x + y R pivim di cetul sfeei + pcus î sesul celo uui cesoic dcă Obsevţi 45 Dcă este etedă pe poţiui (este o justpuee de cube etede U UKU, tuci : p p Pdx+ Qdy+ Rdz Pdx+ Qdy+ Rdz i ( ) + i + Obsevţi 454 Î czul uei cube ple, fomul () devie: b P( x, y) d x+ Q( x, y) d y P( x(), t y() t ) x () t + Q( x(), t y() t ) y () t dt + E xemplul 45 Să se clculeze ( x + y ) dx+ ( x y ) dy, ude + este + gficul cubei y x, x [, ] Explicitâd modulul obţiem: 454 deducem: ( OA x + y ) [ ] [ ] x dcă x, y x dcă x, Cum + OA U AB ezultă + + Deoece x t, y t, t [,] este o epezete pmetică segmetului OA, di Obsevţi dx+ x y dy t dt Pe de ltă pte, o epezete pmetică segmetului AB este x t, y t, t [,] Rezultă: OA AB
8 ( ) AB x + y dx+ x y dy t + t () + ( t t )( ) dt ( t) d t 4 Aşd, d x + y x+ x y dy + Petu itepete fizică iteglei cubiliii de speţ dou, cosideăm o cubă etedă, de supot AB Fie x xs %(), y y% () s şi z z() s epe zete omlă cubei +, f ie F P, Q, R : AB o fucţie vectoilă %, s [, L] cotiuă şi fie : s < s< K< si < si < K< s L o diviziue oece itev lului [, L] Notăm cu M i puctul de coodote ( x( si), y( si), z( si) ) % % % Lugime cului Mi M i este eglă cu si si ξi si, si u puct bit, fie Pi x% ( ξ ), y% i ( ξi), z% ( ξi) puctul coespuzăto de pe cul + M Fie [ ] M i i şi fie i τ vesoul tgetei î P i l cub Dcă diviziue este suficiet de fiă, putem pesupue că fucţi vectoilă F P, Q, R pe ce o itepetăm c o foţă, este costtă pe cul M M i i şi ume este eglă cu vloe s î puctul i P Î ceste codiţii, lucul mecic efectut petu deplse uui puct mteil pe cul Mi Mi sub cţiue foţei F se pote poxim cu F( Pi) τi( si si ), ude cu F( Pi) τi m ott podusul scl l celo doi vectoi Lucul mecic efectut petu deplse uui puct mteil pe cul AB sub cţiue foţei vibile F se poximeză cu sum F ( Pi) τi( si si ) Vloe exctă lucului mecic v fi egl cu: lim i i F P s s τ ( ) i i i i P xyz,, d x+ Q xyz,, d y+ R xyz,, dz +
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 8 Î coseciţă Pdx+ Qdy+ Rdz + epezită lucul mecic efectut petu deplse uui puct mteil pe cub + sub cţiue foţei vibile F Pi + Qj + Rk 46 INDEPENDENŢA DE DRUM A INTEGRALEI CURBILINII DE SPEŢA A DOUA Î cest pgf vom liz czul câd itegl cubiliie de speţ dou depide umi de extemităţile cubei şi u depide de cub îsăşi Acest cz este iteest tât di puct de vedee mtemtic, deoece clculul uei stfel de itegle este mi simplu, cât şi di puct de vedee pctic, deoece e plicţii î temodimică Defiiţi 46 Fie A o mulţime deschisă şi fie P, Q, R : A Ρ, tei fucţii oece Se umeşte fomă difeeţilă de gdul îtâi pe mulţime A, de coeficieţi P, Q şi R, umătoe expesie: ω P xyz,, d x+ Qxyz,, dy+ + R( xyz,, ) dz, ( x, yz, ) A Dcă, î plus P, Q şi R sut de clsă C pe A, tuci ω se umeşte fomă difeeţilă de gdul îtâi, de clsă C Exemplul 46 Dcă f : A este difeeţibilă pe A, tuci f f f difeeţil s de odiul îtâi: df dx + dy + dz este o fomă difeeţilă x y z f f f de gdul îtâi pe A, de coeficieţi, şi x y z Fomele difeeţile de tipul celui di Exemplul 46 se umesc excte Mi pecis: Defiiţi 46 Fom difeeţilă de gdul îtâi P( xyz) + Q( x, y, z) dy + R( xyz,, ) dz, ( x, yz, ) A P P ω,, dx+ se umeşte exctă, dcă există o fucţie f C ( A) stfel îcât ω df, cee ce evie l umătoele eglităţi pe f f f A: P, Q, R x y z v( x, y, z ) Obsevţi 46 Dcă cosideăm câmpul vectoil v: A, P x, y, z i + Q x, y, z j+ R x, y, z k A, tuci fom, ( x, yz, ) difeeţilă ω, de coeficieţi P, Q şi R, este exctă pe A, dcă v este u câmp de
8 poteţil, dică dcă f C ( A) stfel îcât v gd f (Vezi [], Defiiţi 444) Teoem 46 Fie D u domeiu şi fie P, Q, şi R tei fucţii ele, cotiue pe D Umătoele fimţii sut echivlete: (i) Fom difeeţilă ω Pdx + Qdy + Rdz este exctă pe D; (ii) Pdx + Qdy + Rdz, petu oice cubă îschisă, etedă pe poţiui, l căui supot este iclus î D; (iii) Pdx + Qdy + Rdz u depid de dum î domeiul D, î sesul umăto: oice fi două pucte A, B D şi oice fi două cube etede pe poţiui, şi ce u supotuile icluse î D şi u celeşi cpete A şi B vem: Pdx + Qdy + Rdz Pdx + Qdy + Rdz [ Fig ] Demostţie (i) (iii) Pi ipoteză, există f C ( D) stfel îcât: f f f P, Q, R () x y z Fie A şi B două pucte oece di D şi fie o cubă etedă pe poţiui, l căui supot AB este iclus î D Dcă x xt (), y y() t, z z(), t t, b, este o epezete pmetică cubei, tuci A e coodotele ( x(), y(),() z ) i B e coodotele ( x(), b y(),() b z b ) Fie F: [, b] Ρ, fucţi compusă defiită stfel: Ft () f xt (), yt (), zt (), t [, b] [ ] Ţiâd sem de fomulele de deive le fucţiilo compuse şi de eglităţile () ezultă: f f f F () t [ x(), t y(), t z() t ] x () t + [ x(), t y(), t z() t ] y () t + [ x(), t y(), t z() t ] z () t x y z () Pxt (), yt (), zt () xt () + Qxt (), yt (), zt () yt () + Rxt (), yt (), zt () zt () [ ] [ ] [ ] Eglitte () este vlbilă petu oice puct t [, b] cu excepţi uui umă fiit de pucte şi ume, cele pucte t [, b] ce coespud puctelo de justpuee cubelo ce compu Cum eglitte () este devătă pe [, b] cu excepţi uei mulţimi eglijbile ezultă:
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 8 Pdx + Qdy + Rdz + b ( [ ] [ ] [ ] ) Pxt (), yt (), zt () xt () + Qxt (), yt (), zt () yt () + Rxt (), yt (), zt () zt () dt b F () t dt F( b) F f( B) f( A) Aşd, vloe iteglei u depide de fom cubei şi depide umi de cpetele sle M x, y, z D u puct M ( xyz,, ) Fig D (iii) (i) Fie fixt, fie M ( xyz,, ) Du puct oece şi fie o cubă etedă pe poţiui, l căui supot MM este iclus î D Deoece pi ipoteză, itegl u depide de dum î domeiul D, ezultă că putem defii o fucţie f : D Ρ, stfel: f ( xyz,, ) Pdx+ Qdy+ Rdz, MM Fie N( x+ h, y, z) D şi fie x t, y y, z z, t [ x, x h] pmetică segmetului de depte MN Avem: (,, ) f x+ h y z Pdx+ Qdy+ Rdz MMUMN Pdx + Qdy + Rdz + Pdx + Qdy + Rdz MM Ţiâd sem de Coolul 4 de l Teoem de medie ezultă: MN (,, ) + o epezete Pdx + Qdy + Rdz P t y z dt x f ( x+ h, y, z) f ( x, y, z) P( ξ, y, z) h MN, h h h h ude ξ este u puct cupis îte x şi x + h Folosid di ou fptul că P este f ( x+ h, y, z) f ( x, y, z) cotiuă, ezultă că există lim P( x, y, z) h h f Aşd, P x Î mod semăăto, îlocuid segmetul MN cu u segmet plel cu x f f Oy (espectiv Oz) se tă că Q şi R, deci ω este exctă y z x+ h
84 (ii) (iii) Fie, U Evidet este o cubă îchisă, etedă pe poţiui, l căui supot este iclus î D Di (iii) ezultă că Pdx + Qdy + Rdz D + ( ) Aşd cubele di Figu şi fie, dică (ii) (iii) (ii) Fie o cubă îchisă, etedă pe poţiui, l căui supot este iclus î D, fie t () ( xt (), yt (), zt ()), t [, b] epezete pmetică s şi fie < c< b oece Notăm cu cub căei epezete pmetică este () t, t [, c] şi cu cub () t, t [c, b] Evidet U Pi ipoteză ezultă + ( ) ( ) + de ude, ( ) ( ) + Defiiţi 46 O fomă difeeţilă de odiul îtâi ω Pdx + Qdy + Rdz se umeşte îchisă pe domeiul D, dcă P, Q, R sut de clsă C pe D şi P Q dcă y x Q R z z R P x z Obsevţi 46 Dcă cosideăm câmpul vectoil v x, y, z P x, y, z i + Q x, y, z j+ R x, y, z k v: D, ( x, yz, ) D tuci ω este îchisă dcă şi umi dcă câmpul v este iotţiol, dică dcă R Q P R Q P ot v i + j+ y z z x x y k Teoem 46 Dcă ω Pdx + Qdy + Rdz este exctă şi este de clsă pe D, tuci ω este îchisă pe D f f Demostţie Pi ipoteză există f C ( D) stfel îcât P, Q, x y f R Deoece, î cest cz, deivtele de odiul doi le lui f sut cotiue, z ezultă că deivtele mixte sut egle Avem:, C
Cp 4 INTEGRALE CURBILINII 85 P f f Q y y x x y x, Q f f R z z y y z y, R f f P x x z z x z Defiiţi 464 O mulţime S se umeşte steltă dcă există u puct A S cu popiette că M S, segmetul de deptă de cpete A şi M, pe ce-l otăm [ AM, este iclus î S Remitim că ] [ AM, ] ( t) A tbt [, ] { } + Obsevţi 46 Oice mulţime covexă este steltă, î timp ce fimţi ecipocă u este î geel devătă De exemplu mulţime \{( x, ); x> } este steltă (î pot cu O (,)) d u exte covexă Teoem 46 Dcă D esteo mulţime steltă şi deschisă, tuci oice fomă difeeţilă îchisă pe D este exctă pe D Demostţie Pi ipoteză, există A D stfel îcât [ AM, ] D, M D Să pesupuem că A e coodotele (, b, c) i M e coodotele (x, y, z) Fie t [,] oece şi fie T ( t) A+ tb ( t) + tx, ( t) b+ ty, ( t) c+ tz, puctul coespuzăto de pe segmetul [ AM, ] Defiim o fucţie f : D Ρ, stfel: ( ) + ( ) + ( ) f xyz,, PT x QT y b RT z c dt Ţiâd sem de teoem de deive iteglei cu pmetu (Teoem ) ezultă: f P T Q T R T T x + P T + T y b + T z c dt x x x x x x x P Q R ( T) t( x ) P( T) ( T) t( y b) ( T) t( z c) + + + d t x x x Q P R P Pe de ltă pte, pi ipoteză vem şi x y x z, deci f P P P T t x + T t y b + T t z c + P T dt x x y z d ( tp ( T )) d t tp ( T ) P M P A P M P x, y, z dt
86 Aşd, f P x şi log f Q, y f R, deci ω este exctă z P( xyz,, ) Exemplul 46 Să se clculeze ( 6,, ) yz, Q( x, y, z) zx şi R( xyz,, ) (,,) yzdx + zxdy + xydz Dcă otăm cu xy, tuci fom difeeţilă P Q Q R ω Pdx + Qdy + Rdz este îchisă pe deoece z ; x ; y x z y R P y Di Teoem 46 ezultă că ω este exctă, i di Teoem 46 x z că itegl u depide de dum Aşd, poblem e ses Deoece itegl u depide de dum, clculul său se pote fce legâd u dum vtjos şi ume A,,, B ( 6), C 6,,, legem lii fâtă detemită de puctele D ( 6,, ) f ( x, y, z) ( 6,, ) 6 yzdx + zxdy + xydz 6 6 (,,) + + dt + dt dt + AB BC CD 8 O soluţie mi simplă se pote d, dcă obsevăm că ω df, ude ( 6) ( 6,, ) xyz Atuci yzdx + zxdy + xydz xyz (,,) (,,) 6 6 dcă Obsevţi 464 Î pl, o fomă difeeţilă ω Pdx + Qdy este îchisă, P Q PQ, C şi y x este cecul Exemplul 46 Să se clculeze ( 4 + ) + 4 ( ) x + y y y y x dx x y dy, ude Dcă oăm cu P( x, y) y 4y+ x şi cu Q( x, y) 4x( y ), tuci P Q 4( y ) Rezultă că ω Pdx + Qdy este îchisă î, deci este exctă y x î Cum este o cubă îchisă, di Teoem 46 ezultă că vloe iteglei este, deci u e eces ici u clcul