1 Conice pe ecuaţii reduse 2
Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă e. Punctul F se numeşte focar, dreapta d directoare, iar e excentricitate. Alegem un reper în plan R(0, i, j ) astfel ca Ox d, F Ox, iar F are coordonatele F(c, 0). Directoarea are ecuaţia x = d. Distanţele din enunţ sunt d(m, (D)) = x d şi d(m, F) = (x c) 2 + y 2. Punem condiţia d(m, F) = e > 0. (1) d(m, (D))
Deducem ecuaţia (1 e 2 )x 2 + y 2 2(c de 2 )x + c 2 d 2 e 2 = 0. (2) Pentru intersecţia cu Ox, punem condiţia y = 0 şi avem (1 e 2 )x 2 2(c de 2 )x + c 2 d 2 e 2 = 0. (3) Avem două cazuri: Cazul ( 1. Dacă) e 1( găsim punctele ) c + ed c ed A 1 1 + e, 0 A 2 1 e, 0 Cazul 2. Dacă e = 1, găsim punctul A ( ) c + d 2, 0.
Fie A 1, A 2 cele două puncte de intersecţie cu axa Ox. Alegem originea reperului mijlocul segementului A 1 A 2. Din x 1 + x 2 = 0 şi (2) rezultă c de 2 = 0, deci Înlocuim în (2) şi avem d = c e 2. (4) Deducem (1 e 2 )x 2 + y 2 c2 e 2 (1 e2 ) = 0. x 2 + c 2 e 2 y 2 c 2 (1 e e 2 ) 1 = 0. 2
Notăm a 2 = c2 e 2, a > 0, Ecuaţia conicei devine: εb 2 = c2 e 2 (1 e2 ), b > 0, ε { 1, 1}. (5) x 2 a 2 + y 2 1 = 0. (6) εb2
Cazuri particulare Conice pe ecuaţii reduse 1. Dacă ε = 1, condiţie echivalentă cu e < 1 conica este o elipsă x 2 a 2 + y 2 b 2 1 = 0. 2. Dacă ε = 1, condiţie echivalentă cu e > 1 conica este o hiperbolă x 2 a 2 y 2 b 2 1 = 0.
Proprietăţi ale elipsei şi hiperbolei 1. Dacă (x, y) aparţine conicei, atunci ( x, y) aparţine conicei. Spunem că O este centru de simetrie. 2. Dacă (x, y) aparţine conicei, atunci ( x, y) aparţine conicei. Spunem că Oy este axă de simetrie. 3. Dacă (x, y) aparţine conicei, atunci (x, y) aparţine conicei. Spunem că Ox este axă de simetrie.
Definiţia cercului Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim cerc locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix, numit centru. Alegem centrul C(x 0, y 0 ) şi distanţa R. Definiţia conduce la ecuaţia redusă (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2 (7) Ecuaţia generală este x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c, a 2 + b 2 c > 0. (8)
Conice pe ecuaţii reduse Dacă ( e = 1, ) avem punctul de intersecţie cu Ox de forma c + d A 2, 0. Alegem originea reperului O, astfel ca să coincidă cu A, de unde deducem d = c. Deducem ecuaţia unde p = 2c. Proprietate Axa Ox este axă de simetrie. O se numeşte vârful parabolei. y 2 = 2px (9)
1. admite o reprezentare parametrică de forma: { x = x0 + R cos ϕ, ϕ [0, 2π). y = y 0 + R sin ϕ 2. Elipsa admite o reprezentare parametrică de forma { x = a cos ϕ, ϕ [0, 2π). y = b sin ϕ
3. Hiperbola admite o reprezentare parametrică de forma: { x = a ch t, t R. y = b sh t Reamintim definiţia funcţiilor hiperbolice: ch t = et + e t 2, sh t = et e t. 2 4. Parabola admite o reprezentare parametrică de forma: x = t2 2p, t R y = t
Tangenta într-un punct al cercului Fie cercul de ecuaţie (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2, cu centru C(x 0, y 0 ) şi M 1 (x 1, y 1 ) un punct de pe cerc. Deoarece tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangenţă, pentru P(x, y) este un punct de pe tangentă avem Se obţine echivalent cu M 1 P CM 1 (x 1 x 0 )(x x 1 ) + (y 1 y 0 )(y y 1 ) = 0. (x 1 x 0 )(x x 0 ) + (y 1 y 0 )(y y 0 ) R 2 = 0. Caz particular Dacă x 0 = y 0 = 0 se obţine ecuaţia xx 1 + yy 1 R 2 = 0.
Tangenta într-un punct la elipsă, hiperbolă, parabolă 1. Tangenta la elipsa în punctul (x 0, y 0 ) al ei xx 0 a 2 + yy 0 b 2 1 = 0. 2. Tangenta la hiperbolă în punctul (x 0, y 0 ) al ei xx 0 a 2 yy 0 b 2 1 = 0. 3. Tangenta la parabolă în punctul (x 0, y 0 ) al ei yy 0 = p(x + x 0 ).
Ecuaţia generală Ecuaţia generală a unei conice este: a 11 x 2 +2a 12 xy +a 21 y 2 +2a 10 x +2a 20 y +a 00 = 0, a ij R. (10) Asociem forma pătratică h : R 2 R, h(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 21 y 2. Forma pătratică admite forma canonică h(x, y ) = λ 1 x 2 + λ 2 y 2, unde λ 1, λ 2 sunt valorile proprii ale matricei formei pătratice ( ) a11 a 12. a 12 a 22
Rotaţia Fie { i, j } baza ortonormală de vectori proprii şi fie C matricea (ortogonală) de trecere de la baza { i, j } la baza { i, j }. Facem schimbarea de variabile ( x y ) ( x = C y care transformă ecuaţia generală în ) λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + 2ax + 2by + c = 0, a, b, c R. (11)
Translaţia În ecuaţia (11) formăm pătrate perfecte în x şi y. Dacă λ 1, λ 2 0, facem translaţia x = X a λ 1 y = Y b λ 2 şi găsim forma redusă λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 + d = 0, d R.