Kartografske projekcije Današnje predavanje Kako ćemo definirati položaj nekog objekta u prostoru? Koji je oblik Zemlje? Kako ćemo taj položaj definirati i prikazati u 2 dimenzije? Osnovni koncepti geodezije Osnove kartografskih projekcija 2 1
Gdje se nalazimo? Zadatak: Probajte opisati svoju trenutnu lokaciju u prostoru... Bez dodatnih pomagala i poznavanja geodezije naš opis je osuđen da bude lokalan, relativan i kvalitativan! 3 I danas se koristimo adresama, međutim one su kvalitativni opis lokacije! 2
Waterford, Irska Neolitik Rimski Milliarium Aureum Milliarium Aureum je određen kao mjerno ishodište rimskih cesta: DATUM u geodeziji to je dogovorena referenca prema kojoj se vrše mjerenja 3
Rim Rimski Milliarium Aureum Portugal Nizozemska Izrael Engleska 7 Zadatak: Opišite, kvantitativno i što preciznije, gdje se nalaze točke A i B! A B 1. Definirati referentnu točku (ishodište) i referentni okvir 2. Odrediti, putem mjerenja, lokaciju mjesta od interesa 4
Kartezijev (pravokutni) koordinatni sustav y A (10, 32) Lokacija je definirana kvantitativno! 11 (40, 21) 30 B 90 x Dvodimenzionalni sustav koji se najčešće koristi kod projiciranih koordinata - definiran ishodištem i baznim vektorima (tj. osima) - osi x i y, ili to mogu biti E i N (istok i zapad) 9 Kroz povijest... do 16. stoljeća 16. do 20. stoljeće Druga polovica 20. stoljeća do danas Fiksni objekti ili spomenici Približno procjenjene imaginarne linije duž površine Zemlje Centar mase planeta Zemlje, elipsoid 5
Danas svoju horizontalnu lokaciju definiramo koordinatama na imaginarnom elipsoidu čiji se centar nalazi u Zemljinom centru mase Vertikalnu lokaciju definiramo u odnosu na površinu jednake gravitacije (geoid) 11 Stvarna površina zemlje nije idealno geometrijsko tijelo, već je vrlo složena i nepravilna Geoid Geoid je ekvipotencijalna površina sile teže (određena mjerenjima) koja bi se podudarala sa površinom oceana da su u ravnoteži, u potpunom mirovanju i da se protežu kroz kontinente 12 6
Međutim, geoid je nepravilna ploha i nije pogodna kao osnova za razna računanja i izražavanje koordinata, stoga je potrebno površinu zemlje aproksimirati sa jednostavnijim oblikom: Rotacijski elipsoid Pravilna matematička ploha najbliža plohi geoida je rotacijski elipsoid 13 Oblik i veličina Zemlje Rotacijski elipsoid nastaje rotacijom elipse oko njezine osi Kako bi odredili osobine rotacijskog elipsoida dovoljno je poznavati elemente jedne meridijanske elipse Velika poluos označava se sa a Mala poluos sa b a b Spljoštenost: f a Ekscentricitet: e a 2 b a 2 Polumjer zakrivljenosti u polu: 2 a c b 14 7
Općim Zemljinim elipsoidom nazivamo elipsoid kojim se najbolje prikazuje Zemlja kao planet, čija se ravnina ekvatora podudara sa onom Zemlje te čija se mala os podudara sa srednjim položajem rotacijske osi Zemlje (to je dakle matematički model Zemlje) 15 1. Ocean 2. Elipsoid 3. Sila teža 4. Topografija 5. Geoid 8
Bitni korak je izbor i pozicioniranje referentnog elipsoida tako da najbolje aproksimira geoid izbor geodetskog datuma (tj. geodetskog sustava) Do danas su se koristile razne verzije elipsoida: različitih položaja njegova centra, veličine, oblika i orjentacije Referentni elipsoid nazivamo elipsoid na koji se svode geodetska mjerenja i na kojem se ona obrađuju Ima utjecaj na vrijednosti geografskih koordinata! 17 Opći Zemljin elipsoid nije u prošlosti korišten kao referentni uglavnom zbog toga što se nije mogao orijentirati na odgovarajući način (nisu postojali odgovarajući instrumenti i mjerenja) Stoga su pojedine zemlje ili grupe zemalja utvrđivale svoj referentni elipsoid koji je bio najprikladniji za njihovo područje ti elipsoidi su se razlikovali po dimenzijama i orijentaciji Rezultat takve situacije je nepovezanost geodetskih mreža i karata raznih država 18 9
6378500 6378000 6377500 6377000 6376500 Os a 6357000 6356800 6356600 6356400 6356200 6356000 6355800 6355600 Os b 19 Zašto toliko elipsoida i datuma?? U prošlosti su geodetske mreže rijetko prekrivale više kontinenata Postoje razlike u poklapanju geodetskih mreža i raznih elipsoida Nacionalizam 20 10
Besselov elipsoid je važan referentni elipsoid jer se do nedavno ili još uvijek koristi u raznim državama Europe, uključujući i Hrvatskoj (danas ga zamjenjuju noviji sustavi GRS i WGS) Besselov elipsoid se jako dobro poklapa sa zakrivljenosti geoida na području Europe i Euroazije, te je pogodan za lokalne nacionalne geodetske primjene (koristi ga Njemačka, Austrija, Češka i neke Azijske i Afričke države) iako su njegove osi kraće za čak 700m od danas precizno poznatih mjera Od 2010. u Hrvatskoj se službeno koristi GRS 80 21 Ukoliko želimo izraditi GIS projekt čiji podaci obuhvaćaju područje nekoliko država a koji ne koriste isti elipsoid morat ćemo transformirati podatke sa jednog elipsoida na drugi Transformacije između koordinata su često komplicirane i matematički zahtjevne metode i izračune razrađuju geodeti! npr. izračunate su formule za transformaciju između koordinata na Besselovom elipsoidu i WGS84 elipsoidu: φ i λ zadaju se u stupnjevima, a korekcije se dobivaju u sekundama za južnu Hrvatsku '' 0.5789 25.325 '' 0.3174 12.154 za sjevernu Hrvatsku '' 0.3316 14.282 2 '' 0.023 1.1996 4.388 22 11
Napredak moderne satelitske tehnologije i računala u drugoj polovici 20 stoljeća omogućio je puno preciznije određivanje središta inercije Zemlje, položaja njezine osi rotacije te njezina oblika i dimenzija - time se mogao i pravilno orijentirati opći Zemljin elipsoid te razviti jedinstvena svijetska triangulacija 23 Geocentični elipsoid i koordinatni sustav Elipsoid koji najbolje globalno ocrtava čitavu Zemlju 3-dimenzionalni koordinani sustav Središte se nalazi u Zemljinom centru mase Za određivanje vrijednosti elemenata općeg Zemljinog elipsoida koristi se veliki broj geodetskih, astronomskih, gravimetrijskih i satelitskih mjerenja Međunarodno geodetsko udruženje (IAG) kontinuirano prati i uspoređuje nova mjerenja te ih periodički usvaja i preporučuje kao referentne vrijednosti tako je 1979. godine preporučen Geodetski referentni sustav 1980 (GRS 80) 24 12
World Geodetic System 1984 (WGS 84) razvijen je 1980tih u SAD-u (Department of Defense) na temelju novijih mjerenja i poznatih GRS 80 parametara, u međuvremenu su parametri elipsoida malo korigirani (međutim, te korekcije su neznatne za potrebe uobičajene kartografske primjene) Ishodište koordinatnog sustava WGS 84 nalazi se u središtu mase Zemlje WGS 84 je referentni sustav za GPS! 25 Pauza 13
Geodeti mogu vršiti mjerenja: 1. prema zakrivljenoj površini zemlje kopliciraniji izračuni 2. sa pretpostavkom ravne površine - primjenjivo samo za male udaljenosti 27 Kut (Θ) Kolika je razlika? Zakrivljena dužina (S) S Ravnolinijska dužina (C) Razlika između S i C 1 sekunda 30.8195 m 30.8195 m 0.0000 m 1 minuta 1 894.5 m 1 894.5 m 0.0000 m ½ stupnja 55 475 m 55 475 m 0.1760 m 1 stupanj 110.95 km 110.95 km 1.408 m! 5 stupnjeva 554.75km 554.75km 176.0 m C Θ 14
5 stupnjeva Osnove kartografskih projekcija Bitni korak kod izrade karata je izbor projekcije kojom ćemo elipsoid preslikati na ravninu Carl Friedrich Gauss (Theorema Egregium) Transformacije zakrivljene površine u ravninu uvijek dovode do deformacija Ima izuzetne implikacije za kartografiju, jer iz toga proizlazi da nije moguće izraditi savršenu kartu svijeta, niti za najmanji dio njezine površine! C.F.Gauss (1777-1855) 30 15
Geografski informacijski sustavi se razlikuju od drugih informacijskih sustava jer sadrže prostorne podatke bilježe lokaciju, oblik i razmjer geografkih objekata Unutar GIS-a je moguće sve podatke spremati i manipulirati korištenjem geografskih koordinata, međutim prije ili kasnije te podatke željeti ćemo prikazati unutar jedne ravnine, bila to printana karta ili na ekranu monitora Kartografska projekcija je metoda preslikavanja zakrivljene površine sfere ili nekog drugog oblika na ravninu 31 Grana kartografije koja proučava načine preslikavanja zakrivljene površine Zemlje i ostalih nebeskih tijela na ravninu naziva se matematička kartografija Cilj izračunavanja kartografskih projekcija je stvaranje matematičke osnove za izradu karata i rješavanje teorijskih i praktičnih zadataka u kartografiji, geodeziji, geografiji, astronomiji, navigaciji (i u geologiji) i ostalim srodnim znanostima ( Kartografske projekcije N. Frančula, 2004) Proces projiciranja je poželjno moći matematički objasniti kako bi mogli vršiti odgovarajuće transformacije koordinata! 32 16
Zašto nam je važno razumjevanje kartografskih projekcija? Podaci sa terena Karte tiskane na papiru GIS Tablice Waypoint 1 33 T 464395 5026813 Waypoint 2 33 T 464396 5026812 Waypoint 3 33 T 464667 5026086 Waypoint 4 33 T 465035 5026880 Waypoint 5 33 T 464991 5026782 Waypoint 6 33 T 464792 5026744 Waypoint 7 33 T 464604 5026631 Digitalni podaci GPS 33 Deformacije pri projiciranju se odnose na promjene u dužinama, površinama i kutovima Veličine tih deformacija jedan su od bitnih pokazatelja vrijednosti kartografskih projekcija 34 17
Na plohi elipsoida ili sfere točke su određene presjekom koordinatnih linija meridijana i paralela Svaka mreža koordinatnih linija preslikana na ravninu naziva se kartografska mreža, dok se mreža predstavljena linijama meridijana i paralela naziva osnovna kartgrafska mreža 35 Zadatak kartografskih preslikavanja je da ustanovi ovisnost između koordinata točaka na Zemljinom elipsoidu i koordinata tih točaka u projekciji Ta se ovisnost najčešće određuje osnovnim jednadžbama kartografskih projekcija: x y f (, ) f 1 2 (, ) 36 18
Apsolutna lokacija na zemlji se u matematičkom smislu opisuje korištenjem: 1. geografskih koordinata 2. planarnih koordinata 37 Koordinate i koordinatni sustavi Koordinate su brojevi čijim zadavanjem se definira položaj točke na pravcu, u ravnini, na plohi ili u prostoru Prve koordinate su upotrebljavali Grčki astronomi koristeći koncepte poput kuteva i radiusa, te su koristili polarne koordinate za određivanje položaja nebeskih tijela na nebeskoj sferi Koordinate su se sustavnije počele primjenjivat u 17.st. Za riješavanje geometrijskih problema u ravnini Važnu ulogu u razvoju geometrije imao je R. Descartes (1596-1656, lat. ime Renatus Cartesius) koji je prvi postavio i upotrebljavao pravokutni koordinatni sustav Hipparkhos (cca. 190-120 p.k.) 38 19
Kartezijev koordinatni sustav Pravolinijski sustav koordinata U ravnini se zadaje točkom O (ishodište) i uređenim parom nekolinearnih vektora i i j (bazni vektori) Pravci koji prolaze ishodištem u smjeru baznih vektora nazivaju se koordinatnim osima Kartezijevog koordinatnog sustava - apscisa (x os) je određena vektorom i, dok je ordinata (y os) određena vektorom j Kartezijevim koordinatama točke M u sustavu Oxy naziva se uređeni par brojeva (x,y) koji su koeficijenti prikaza vektora OM u bazi i, j: OM xi yj Sustav se naziva pravokutnim ukoliko su bazni vektori međusobno okomiti i jedinične duljine može se koristiti i kosokutni 39 Dali su ova dva sustava ekvivalentna? Lijevi Desni 1x pravi kut 3x pravi kut Lijevi 40 20
U matematici se redovito koristi desni Kartezijev koordinatni sustav Međutim, u nekim područjima je i lijevi sustav našao praktičnu primjenu U računalnoj grafici moramo pripaziti na početnu postavu koordinatnog sustava koordinatni sustav na zaslonu monitora može biti lijevi sa ishodištem u gornjem lijevom kutu U matematičkoj kartografiji gotovo redovito se primjenjuje lijevi koordinatni sustav, s dodatnim dogovorom da pozitivni smjer osi x pokazuje sjever, a pozitivni smjer osi y istok 41 Slično se može definirati Kartezijev koordinatni sustav u prostoru sa ishodištem O i tri bazna vektora OM xi yj zk OM Ravnine koje sadrže par koordinatnih osi nazivaju se koordinatnim ravninama Također razlikujemo lijevi i desni koordinatni sustav u prostoru 42 21
Osim pomoću Kartezijevih koordinata položaj točke može se opisati i pomoću polarnih koordinata (vrsta krivolinijskih koordinata) Udaljenost ρ (rho) točke M od pola naziva se polarnim polumjerom (radius), a kut ϕ (phi) polarnim kutom u odnosu na neku referentnu polarnu os Koordinatne linije su koncentrične kružnice (ρ=const.) i zrake (ϕ=const.) Veza polarnih i kartezijevih koordinata izražava se formulama: x cos y sin 43 U prostoru polarne koordinate nazivaju se sferne koordinate ρ (radius), ϕ (azimut), θ (inklinacija) Njima se definiraju geografske koordinate na sferi ili elipsoidu U geodeziji i kartografiji uvode se drugačije oznake od onih u matematici ujesto ϕ dolazi geografska duljina λ, a umjesto θ dolazi geografska širina ϕ 2 Jednadžba sfere sa ishodištem u Kartezijevom sustavu Oxyz i s radiusom R glasi: 2 2 2 2 x y z R 44 22
Jednadžba za rotacijski elipsoid glasi: x a 2 2 y a 2 2 z b 2 2 1 Geografska širina mjeri se u intervalu π/2 φ π/2, a geografska duljina u intervalu π λ π 45 Točka s koordinatama (0,0,b) naziva se Sjevernim polom, a ona s koordinatama (0,0,-b) Južnim polom. Kružnica na elipsoidu koja je jednako udaljena od polova naziva se ekvatorom i ona dijeli elipsoid na dva dijela polutke. Pravac koji prolazi polovima naziva se os rotacijskog elipsoida, a ravnina u kojoj se nalazi ekvator ekvatorskom ravninom. 46 23
Kut koji zatvara normala (ali ne i radius-vektor) proizvoljne točke M na elipsoidu s ekvatorskom ravninom naziva se geografskom širinom i označava s φ. Sve točke na rotacijskom elipsoidu koje imaju istu geografsku širinu leže na kružnici koja se naziva paralela. 47 Poluelipse na elipsoidu koje spajaju Sjeverni i Južni pol nazivaju se meridijanom. Jedan među njima naziva se nultim ili početnim meridijanom. To je obično meridijan koji leži na ravnini y = 0. Geografska duljina proizvoljne točke M na elipsoidu označava se s λ, a to je kut između meridijana koji prolazi točkom M i nultog meridijana. 48 24
Definicija mjerila: Mjerilo 1. Mjerilo je odnos dužina na karti prema odgovarajućim dužinama u prirodi 2. Mjerilo je odnos dužina na karti i odgovarajućih dužina na Zemljinom elipsoidu Ni ta definicija nije precizna, jer elipsoid ne možemo preslikati u ravninu bez deformacija, pa stoga ni mjerilo u svakoj točki karte ne može imati istu vrijednost! 3. Mjerilo nazivamo odnos između dviju veličina izraženih istim mjernim jedinicama (Frančula, 2004) 49 Pošto mjerilo u svakoj točki karte ne može imati istu vrijednost razlikujemo: 1. Glavno mjerilo 2. Mjestimično mjerilo Glavno ili opće mjerilo je ispisano na karti, a možemo ga zamisliti kao mjerilo u kojem Zemljin elipsoid prvo smanjujemo, prije prelikavanja u ravninu 50 25
Karakteristika glavnog mjerila jest da ono ne može ostati sačuvano nakon projiciranja na čitavoj karti, već samo duž nekih karakterističnih linija ili u nekim točkama (što ovisi o tipu projekcije) Mjerila u ostalim točkama karte nazivamo mjestimična mjerila Mjestimično mjerilo može varirati sa položajem, ali i sa smjerom! Npr. ako je glavno mjerilo 1:10 000 000, mjestimična mjerila mogu imati iznose 1:9 800 000, 1:10 155 625, i sl. 51 Da bismo definirali odnos dužina u projekciji i dužina na Zemljinom elipsoidu uvodimo pojam linerano mjerilo definiramo ga kao odnos diferencijala dužine luka (ds') u projekciji prema odgovarajućem diferencijalu na elipsoidu (ds) c ds' ds Deformacija dužina je razlika između linearnog mjerila i jedinice: d c 1 52 26
Tissotova indikatrisa (elipsa deformacija) je prikaz kojim se mjeri i prikazuje deformacija usljed projiciranja pokazuje kako se mijenja mjerilo u jednoj točci u raznim smjerovima x' a 2 y' b 2 1 To je diagram koji rezultira projiciranjem kružnice sa zakrivljenog elipsoida na plohu Rezultat je elipsa čije osi odgovaraju smjerovima u kojim mjerilo ima maksimalne (a) i minimalne (b) vrijednosti 53 Kod projiciranja će se inicijalne kružnice deformirati ovisno o tome dali dolazi do deformacija kutova, površina ili udaljenosti 27
Vrste kartografskih projekcija Podjela kartografskih projekcija može se napraviti na osnovi tri kriterija: 1. Prema vrsti deformacija 2. Prema položaju pola normalne kartografske mreže 3. Prema obliku normalne kartografske mreže 55 Projekcije prema vrsti deformacija a) Konformne projekcije čuvaju kutne odnose Mjerilo ne ovisi o azimutu (koriste se kod izrade nautičkih karata) Mjerila duž paralela i meridijana su međusobno jednaka Oblici ostaju slični nakon projekcije (...slične forme, otkud im ime), ali ne i površina Male površine ostaju relativno nedeformirane, međutim takve projekcije nisu pogodne za prikaz velikih područja poput kontinenata i oceana Primjeri Mercatorova projekcija UTM (Universal Transverse Mercator) Gauss-Krüger Mercatorova projekcija Usporedite prikaz Grenlanda sa nekim od kontinenata, npr. Afrike. Koja je stvarna površina Grenlanda u km2, a koja Afrike? 56 28
b) Ekvivalentne projekcije čuvaju površinu Gube se kutni odnosi nemoguće je da jedna projekcija bude istovremeno ekvivalentna i konformna Oblici se deformiraju Pogodne su za prikaz distribucije točaka preko velikih područja jer gustoća točaka neće biti izmijenjen Primjeri: Lambertova projekcija Albersova projekcija Lambertova projekcija Kako se odmičemo od ekvatora, šta se događa sa mjerilima u smjeru meridijana, a šta u smjeru paralela? Usporedi sada prikaz Grenlanda i Afrike. 57 Albersova projekcija Kako se rezlikuju mjerila na sjevernom i južnom polu? Usporedi prikaz Grenlanda i područja Ognjene zemlje. 29
c) Ekvidistantne projekcije čuvaju udaljenosti Deformiraju se kutevi (oblici) i površine Često se koriste u atlasima za prikaz velikih površina jer su kompromis između velikih kutnih distorzija ekvivalentnih i površinskih distorzija konformnih projekcija Primjeri: Kvadratična projekcija Sinusoidalna (Sansonnova projekcija) Duž kojih linija ova projekcija čuva duljine? Šta se događa sa deformacijom površina? Kvadratična p. 59 Duž kojih linija su očuvane udaljenosti? Sinusoidalna p. Grb UN-a prikazuje azimutalnu ekvidistalnu projekciju Svijeta Duž kojih linija su očuvane udaljenosti? 30
Kod projekcija koje čuvaju kuteve tissotove indikatrise će biti kružnice, ali često će biti veće ili manje od originala jer površine neće moći biti istovremeno očuvane Kod projekcija koje čuvaju površine tissotove indikatrise će biti elipse zbog distorzija kuteva i dužina, ali jednakih površina kao originalne kružnice Kod projekcija koje čuvaju udaljenosti duž određenih pravaca tissotove indikatrise će biti elipse čija jedna os (u smjeru očuvanja) je jednaka radiusu originalne kružnice 61 d) Uvjetne projekcije Sve projekcije koje nisu niti konformne niti ekvivalentne niti ekviditantne Primjer: Winkel tripel projekcija Deformira i kuteve i površine i udaljenosti ali u minimalnim iznosima National Geographic je koristi za izradu svojih karata svijeta 62 31
Projekcije prema položaju pola kartografske mreže Podjela se odnosi na položaj pola Q(φ p,λ p ) normalne kartografske mreže 1. Uspravne (φ p = π/2) - pol normalne mreže se podudara s geografskim polom, pa je mreža meridijana i paralela ujedno i mormalna mreža 2. Poprečne (φ p = 0) pol normalne mreže nalazi se na ekvatoru 3. Kose (0 < φ p < π/2) pol normalne mreže nalazi se u bilo kojoj točki između pola i ekvatora 63 Projekcije prema obliku kartografske mreže 1. Konusne 2. Cilindrične 3. Azimutalne 4. Pseudokonusne 5. Pseudocilindričn e 6. Polikonusne 7. Kružne 64 32
Azimutalna Cilindrična Konusna Uspravna Poprečna Kosa Konusne projekcije kod uspravnih projekcija se meridijani preslikavaju kao pravci koji se sjeku u jednoj točki pod kutevima proporcionalnim odgovarajućim razlikama duljina, a paralele kao lukovi koncentričnih kružnica sa središtem u presjeku meridijana 66 33
Azimutalne projekcije kod uspravnih projekcija meridijani su pravci koji se sijeku u jednoj točki pod kutovima jednakim razlikama njihovih geografskih duljina, a paralele su koncentrične kružnice sa središtem u presjeku meridijana Stereografska az. projekcija 67 Centralna (gnomonska) az. projekcija Ortografska az. projekcija 34
Cilindrične projekcije kod uspravnih projekcija meridijani se preslikavaju kao pravci međusobno paralelni na razmaku proporcionalnom razlikama njihovih geografskih duljina, a paralele također kao pravci okomiti na meridijane Pošto su meridijani i paralele okomiti položaj točaka možemo izražavati pravokutnim koordinatama x i y 69 35