Interpolare O metodă de aproximare Radu T. Trîmbiţaş Universitatea,,Babeş-Bolyai Martie 2011 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 1 / 69
Un spaţiu util Pentru n N, definim H n [a, b] = {f : [a, b] R : f C n 1 [a, b], n 1 k=0 f (n 1) absolut continuă pe [a, b]}. (1) Orice funcţie f H n [a, b] admite o reprezentare de tip Taylor cu restul sub formă integrală (x a) f (x) = k x f (k) (x t) (a) + n 1 f (n) (t)dt. (2) k! a (n 1)! H n [a, b] este un spaţiu liniar. Funcţia f : I R, I interval, se numeşte absolut continuă pe I dacă ε > 0 δ > 0 astfel încât oricare ar fi un sistem finit de subintervale disjuncte ale lui I {(a k, b k )} k=1,n cu proprietatea n k=1(b k a k ) < δ să avem n f (b k ) f (a k ) < ε. k=1 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 2 / 69
Teorema lui Peano I Teorema următoare, de o importanţă deosebită în analiza numerică, este o teoremă de reprezentare a funcţionalelor liniare reale, definite pe H n [a, b]. Ea dă un procedeu general de obţinere a erorii de aproximare. Funcţia z + = { z, z 0 0, z < 0 se numeşte parte pozitivă, iar z n + se numeşte putere trunchiată. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 3 / 69
Teorema lui Peano II Teoremă (Peano) Fie L o funcţională reală, continuă, definită pe H n [a, b]. Dacă KerL = P n 1 atunci unde K (t) = Lf = b a K (t)f (n) (t)dt, (3) 1 L[( t)n 1 + ] (nucleul lui Peano). (4) (n 1)! Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 4 / 69
Teorema lui Peano - continuare I Demonstraţie. f admite o reprezentare de tip Taylor, cu restul în formă integrală f (x) = T n 1 (x) + R n 1 (x) unde R n 1 (x) = x a (x t) n 1 f (n) (t)dt = (n 1)! 1 b (x t) n 1 + (n 1)! f (n) (t)dt a Aplicând L obţinem Lf = LT }{{ n 1 +LR } n 1 Lf = 0 cont = ( 1 b ) (n 1)! L ( t) n 1 + f (n) (t)dt = a 1 b L( t) n 1 + (n 1)! f (n) (t)dt. a Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 5 / 69
Teorema lui Peano - continuare II Observaţie Concluzia teoremei rămâne valabilă şi dacă f nu este continuă, ci are forma Lf = n 1 b f (i) (x)dµ i (x), i=0 a µ i BV [a, b]. Corolar Dacă K păstrează semn constant pe [a, b] şi f (n) este continuă pe [a, b], atunci există ξ [a, b] astfel încât Lf = 1 n! f (n) (ξ)le n, (5) unde e k (x) = x k, k N. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 6 / 69
Teorema lui Peano - continuare III Demonstraţie. Deoarece K păstrează u{a} semn constant putem aplica în (3) teorema de medie b Lf = f (n) (ξ) K n (t)dt, a ξ [a, b]. Concluzia se obţine luând f = e n. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 7 / 69
Figure: Giuseppe Peano (1858-1932) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 8 / 69
Exemplu I Exemplu Vom folosi teorema lui Peano pentru a da expresia erorii in formula b ( ) a + b f (x) dx = (b a)f + R(f ) 2 numită formula dreptunghiului. a Soluţie. Funcţionala de reprezentat este R(f ) = b a f (x) dx (b a)f ( a + b 2 ). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 9 / 69
Exemplu II Ea se anulează pentru f (x) = 1 şi f (x) = x, deci Ker(R) = P 1. Din teorema lui Peano rezultă R(f ) = b a K (t)f (t)dt unde ( ) (x t)+ b K (t) = R = 1! a ( a + b = (b t) 2 /2 (b a) 2 ( a + b (x t) + dt (b a) 2 ) t + Nucleul păstrează semn constant { (b t) 2 K (f ) = 2, dacă t > (a + b)/2; (t a) 2 2, t (a + b)/2. ) t + Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 10 / 69
Exemplu III Putem aplica corolarul la teorema lui Peano şi obţinem R(f ) = f (ξ) R(e 2 ), e 2 (x) = x 2 2! R(f ) = f (ξ) 2! = f (ξ) 2! = f (ξ) 2! = [ b ( ) ] a + b 2 x 2 dx (b a) a 2 [ b 3 a 3 ( ) ] a + b 2 (b a) 3 2 [ 1 12 b3 1 12 a3 + 1 4 b a2 1 ] 4 b2 a (b a)3 f (ξ). 24 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 11 / 69
Interpolare Lagrange I Fie intervalul închis [a, b] R, f : [a, b] R şi o mulţime de m + 1 puncte distincte {x 0, x 1,..., x m } [a, b] şi o funcţie f : [a, b] R. Dorim să determinăm un polinom P, de grad minim care să reproducă valorile funcţiei f în x k, adică P(x k ) = f (x k ), k = 0, m. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 12 / 69
Interpolare Lagrange II Teoremă Există un polinom şi numai unul L m f P m astfel încât acest polinom se scrie sub forma i = 0, 1,..., m, (L m f )(x i ) = f (x i ); (6) (L m f )(x) = m f (x i )l i (x), (7) i=0 unde l i (x) = m x x j. (8) j=0 x i x j j =i Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 13 / 69
Interpolare Lagrange III Demonstraţie. Se verifică imediat că l i P i şi că l i (x j ) = δ ij (simbolul lui Kronecker); rezultă că polinomul L m f definit de (7) este de grad cel mult m şi verifică (6). Presupunem că există un alt polinom p m P m care verifică (6) şi punem q m = L m p m; avem q m P m şi i = 0, 1,..., m, q m (x i ) = 0; deci q m având (m + 1) rădăcini distincte este identic nul, de unde unicitatea lui L m. Definiţie Polinomul L m f definit astfel se numeşte polinom de interpolare Lagrange a lui f relativ la punctele x 0, x 1,..., x m, iar funcţiile l i (x), i = 0, m, se numesc polinoame de bază (fundamentale) Lagrange asociate acelor puncte. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 14 / 69
Interpolare Lagrange IV Observaţie Polinomul fundamental l i este deci unicul polinom care verifică l i P m şi j = 0, 1,..., m, l i (x j ) = δ ij Punând u(x) = m j=0 (x x j ) din (8) se deduce că x = x i, l i (x) = u(x) (x x i )u (x i ). Demonstrând teorema 5 am demonstrat de fapt existenţa şi unicitatea soluţiei problemei generale de interpolare Lagrange: [PGIL] Fiind date b 0, b 1,..., b m R, să se determine p m P m astfel încât i = 0, 1,..., n, p m (x i ) = b i. (9) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 15 / 69
Interpolare Lagrange V Problema (9) conduce la un sistem liniar de (m + 1) ecuaţii cu (m + 1) necunoscute (coeficienţii lui p m ). Din teoria sistemelor liniare se ştie că {existenţa unei soluţii b 0, b 1,..., b m } {unicitatea soluţiei} {(b 0 = b 1 = = b m = 0) p m 0} Punem p m = a 0 + a 1 x + + a m x m a = (a 0, a 1,..., a m ) T, b = (b 0, b 1,..., b m ) T şi notăm cu V = (v ij ) matricea pătratică de ordin m + 1 cu elementele v ij = x j i. Ecuaţia (9) se scrie sub forma Va = b Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 16 / 69
Interpolare Lagrange VI Matricea V este inversabilă (este Vandermonde); se arată uşor că V 1 = U T unde U = (u ij ) cu l i (x) = m k=0 u ik x k ; se obţine în acest mod un procedeu puţin costisitor de inversare a matricei Vandermonde şi prin urmare şi de rezolvare a sistemului (9). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 17 / 69
Exemple de PIL I Exemplu Polinomul de interpolare Lagrange corespunzător unei funcţii f şi nodurilor x 0 şi x 1 este (L 1 f ) (x) = x x 1 x 0 x 1 f (x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 f (x 1 ), adică dreapta care trece prin punctele (x 0, f (x 0 )) şi (x 1, f (x 1 )). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 18 / 69
Exemple de PIL II Exemplu Analog, polinomul de interpolare Lagrange corespunzător unei funcţii f şi nodurilor x 0, x 1 şi x 2 este (L 2 f ) (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f (x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f (x 1) + (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f (x 2), adică parabola care trece prin punctele (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )) şi (x 2, f (x 2 )). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 19 / 69
L 1 f L 2 f adu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 20 / 69
Figure: Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 21 / 69
Expresia erorii de interpolare Propoziţie Operatorul L m este proiector, adică este liniar (L m (αf + βg) = αl m f + βl m g); este idempotent (L m L m = L m ). Demonstraţie. Liniaritatea rezultă imediat din formula (7). Datorită unicităţii polinomului de interpolare Lagrange L m (L m f ) L m f este identic nul, deci L m (L m f ) = L m f şi am arătat idempotenţa. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 22 / 69
Expresia erorii de interpolare Dacă dorim să utilizăm polinomul de interpolare Lagrange pentru a aproxima funcţia f într-un punct x [a, b], distinct de nodurile de interpolare (x 0,..., x m ), trebuie să estimăm eroarea comisă (R m f )(x) = f (x) (L m f )(x). Dacă nu posedăm nici o informaţie referitoare la f în afara punctelor x i, este clar că nu putem spune nimic despre (R m f )(x); într-adevăr este posibil să schimbăm f în afara punctelor x i fără a modifica (L m f ) (x). Trebuie deci să facem ipoteze suplimentare, care vor fi ipoteze de regularitate asupra lui f. Să notăm cu C m [a, b] spaţiul funcţiilor reale de m ori continuu diferenţiabile pe [a, b]. Avem următoarea teoremă referitoare la estimarea erorii în interpolarea Lagrange. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 23 / 69
Expresia erorii de interpolare I Teoremă Presupunem că f C m [α, β] şi există f (m+1) pe (α, β), unde α = min{x, x 0,..., x m } şi β = max{x, x 0,..., x m }; atunci, pentru orice x [α, β], există un ξ x (α, β) astfel încât (R m f )(x) = 1 (m + 1)! u m(x)f (n+1) (ξ x ), (10) unde u m (x) = m i=0 (x x i ). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 24 / 69
Expresia erorii de interpolare II Demonstraţie. Dacă x = x i, (R m f )(x) = 0 şi (10) se verifică trivial. Presupunem că x este distinct de x i şi considerăm, pentru x fixat, funcţia auxiliară F (z) = u m(z) (R m f )(z) u m (x) (R m f )(x). Se observă că F C n [α, β], F (m+1) pe (α, β), F (x) = 0 şi F (x k ) = 0 pentru k = 0, m. Deci, F are (m + 2) zerouri. Aplicând succesiv teorema lui Rolle, rezultă că există cel puţin un ξ (α, β) astfel încât F (m+1) (ξ) = 0, adică F (m+1) (ξ) = (m + 1)! f u m (x) (m+1) (ξ) (R m f )(x) = 0, (11) unde s-a ţinut cont că (R m f ) (m+1) = f (m+1) (L m f ) (m+1) = f (m+1). Exprimând (R m f )(x) din (11) se obţine (10). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 25 / 69
Expresia erorii de interpolare III Corolar Punem M m+1 = max x [a,b] f (m+1) (x) ; o margine superioară a erorii de interpolare (R m f )(x) = f (x) (L m f )(x) este dată prin (R m f )(x) M m+1 (m + 1)! u m(x). Deoarece L m este proiector, rezultă că R m este de asemenea proiector; în plus KerR m = P m, deoarece R m f = f L m f = f f = 0, f P m. Deci, putem aplica lui R m teorema lui Peano. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 26 / 69
Expresia erorii de interpolare IV Teoremă Dacă f C m+1 [a, b], atunci unde (R m f ) (x) = K m (x; t) = 1 m! [ b a (x t) m + K m (x; t)f (m+1) (t)dt (12) m k=0 l k (x)(x k t) m + ]. (13) Demonstraţie. Aplicând teorema lui Peano, avem (R m f ) (x) = b a K m (x; t)f (m+1) (t)dt Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 27 / 69
Expresia erorii de interpolare V şi ţinând cont că [ (x t) m ] K m (x; t) = R + m = (x t)m + m! m! teorema rezultă imediat. [ (x t) m ] L + m, m! Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 28 / 69
Exemplu Exemplu Pentru polinoamele de interpolare din exemplul 8 resturile corespunzătoare sunt (R 1 f )(x) = (x x 0)(x x 1 ) f (ξ) 2 şi respectiv (R 2 f )(x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) f (ξ). 6 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 29 / 69
Eroarea pentru noduri Cebîşev I Fiind date funcţia f şi gradul m al polinomului de interpolare, cum trebuie alese nodurile astfel ca restul să fie cât mai mic posibil? (R m f ) (x) = u m(x) (m + 1)! f (m+1) (ξ). Deoarece (R m f ) (x) u m f (m+1), (m + 1)! nodurile trebuie alese astfel ca u m să fie minimă. Rezultă că u m trebuie să fie polinomul monic Cebîşev de speţa I de grad m + 1, T m+1 În acest caz f (m+1) R m f 2 m (m + 1)!. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 30 / 69
Metode de tip Aitken I În multe situaţii gradul necesar pentru a atinge precizia dorită în interpolarea polinomială este necunoscut. El se poate determina din expresia restului, dar pentru aceasta este necesar să cunoaştem f (m+1). P m1,m 2,...,m k polinomul de interpolare Lagrange având nodurile x m1,..., x mk. Propoziţie Dacă f este definită în x 0,..., x k, x j = x i, 0 i, j k, atunci P 0,1,...,k = (x x j)p 0,1,...,j 1,j+1,...,k (x) (x x i )P 0,1,...,i 1,i+1,...,k (x) = x i x j = 1 x i x j x x j P 0,1,...,i 1,i+1,...,k (x) x x i P 0,1,...,j 1,j+1,...,k (x) (14) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 31 / 69
Metode de tip Aitken II Demonstraţie. Q = P 0,1,...,i 1,i+1,...,k, Q = P 0,1,...,j 1,j+1,k P(x) = (x x j) Q(x) (x x i )Q(x) x i x j P(x r ) = (x r x j ) Q(x r ) (x r x i )Q(x r ) x i x j = x i x j x i x j f (x r ) = f (x r ) pentru r = i r = j, căci Q(x r ) = Q(x r ) = f (x r ). Dar şi deci P = P 0,1,...,k. P(x i ) = (x i x j ) Q(x i ) (x i x i )Q(x i ) x i x j = f (x i ) P(x j ) = (x j x j ) Q(x j ) (x j x i )Q(x j ) x i x j = f (x j ), Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 32 / 69
Metode de tip Aitken III am stabilit o relaţie de recurenţă între un polinom de interpolare Lagrange de gradul k şi două polinoame de interpolare Lagrange de gradul k 1. Calculele pot fi aşezate în formă tabelară x 0 P 0 x 1 P 1 P 0,1 x 2 P 2 P 1,2 P 0,1,2 x 3 P 3 P 2,3 P 1,2,3 P 0,1,2,3 x 4 P 4 P 3,4 P 2,3,4 P 1,2,3,4 P 0,1,2,3,4 Dacă P 0,1,2,3,4 nu ne asigură precizia dorită, se poate selecta un nou nod şi adăuga o nouă linie tabelei x 5 P 5 P 4,5 P 3,4,5 P 2,3,4,5 P 1,2,3,4,5 P 0,1,2,3,4,5 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 33 / 69
Metode de tip Aitken IV Criteriu de oprire: elementele vecine de pe linie, coloană sau diagonală se pot compara pentru a vedea dacă s-a obţinut precizia dorită. metoda lui Neville Notaţiile pot fi simplificate Q i,j := P i j,i j+1,...,i 1,i, Q i,j 1 := P i j+1,...,i 1,i, Q i 1,j 1 := P i j,i j+1,...,i 1. Din (14) rezultă, pentru j = 1, 2, 3,..., i = j + 1, j + 2,..., Q i,j = (x x i j)q i,j 1 (x x i )Q i 1,j 1 x i x i j. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 34 / 69
Metode de tip Aitken V În plus, Q i,0 = f (x i ). Obţinem tabelul x 0 Q 0,0 x 1 Q 1,0 Q 1,1 x 2 Q 2,0 Q 2,1 Q 2,2 x 3 Q 3,0 Q 3,1 Q 3,2 Q 3,3 Dacă procedeul de interpolare converge, atunci şirul Q i,i converge şi el şi s-ar putea lua drept criteriu de oprire Q i,i Q i 1,i 1 < ε. Pentru a rapidiza algoritmul nodurile se vor ordona crescător după valorile x i x. Metoda lui Aitken este similară cu metoda lui Neville. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 35 / 69
Metode de tip Aitken VI Ea construieşte tabelul x 0 P 0 x 1 P 1 P 0,1 x 2 P 2 P 0,2 P 0,1,2 x 3 P 3 P 0,3 P 0,1,3 P 0,1,2,3 x 4 P 4 P 0,4 P 0,1,4 P 0,1,2,4 P 0,1,2,3,4 Pentru a calcula o nouă valoare se utilizează valoarea din vârful coloanei precedente şi valoarea din aceeaşi linie, coloana precedentă. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 36 / 69
Metoda diferenţelor divizate I Vom nota cu L k f PIL cu nodurile x 0, x 1,..., x k pentru k = 0, 1,..., n. Vom construi L m prin recurenţă. Avem pentru k 1 (L 0 f )(x) = f (x 0 ) polinomul L k L k 1 este de grad k, se anulează în punctele x 0, x 1,..., x k 1 şi deci este de forma: (L k f )(x) (L k 1 f )(x) =f [x 0, x 1,..., x k ](x x 0 )(x x 1 )... (x x k 1 ), (15) unde f [x 0, x 1,..., x k ] desemnează coeficientul lui x k din (L k f )(x). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 37 / 69
Metoda diferenţelor divizate II Se deduce expresia polinomului de interpolare L m f cu nodurile x 0, x 1,..., x n (L m f )(x) = f (x 0 ) + m k=1 f [x 0, x 1,..., x k ](x x 0 )(x x 1 )... (x x k 1 ), forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Formula (16) reduce calculul prin recurenţă al lui L m f la cel al coeficienţilor f [x 0, x 1,..., x k ], k = 0, m. (16) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 38 / 69
Recurenţa pentru diferenţe divizate Lemă k 1 f [x 0, x 1,..., x k ] = f [x 1, x 2,..., x k ] f [x 0, x 1,..., x k 1 ] x k x 0 (17) şi f [x i ] = f (x i ), i = 0, 1,..., k. Demonstraţie. Notăm, pentru k 1 cu Lk 1 f polinomul de interpolare pentru f de grad k 1 şi cu nodurile x 1, x 2,..., x k ; coeficientul lui x k 1 este f [x 1, x 2,..., x k ]. Polinomul q k de grad k definit prin q k (x) = (x x 0)(L k 1 f )(x) (x x k)(l k 1 f )(x) x k x 0 coincide cu f în punctele x 0, x 1,..., x k şi deci q k (x) (L k f )(x). Formula (17) se obţine identificând coeficientul lui x k din cei doi membri. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 39 / 69
Calculul PIL cu diferenţe divizate I Definiţie Cantitatea f [x 0, x 1,..., x k ] se numeşte diferenţă divizată de ordinul k a lui f în punctele x 0, x 1,..., x k. Altă notaţie utilizată este [x 0,..., x k ; f ]. Din definiţie rezultă că f [x 0, x 1,..., x k ] este independentă de ordinea punctelor x i şi ea poate fi calculată în funcţie de f (x 0 ),..., f (x m ). Într-adevăr PIL de grad m relativ la punctele x 0,..., x m se scrie şi coeficientul lui x m este (L m f )(x) = f [x 0,..., x m ] = m l i (x)f (x i ) i=0 m i=0 m j=0 j =i f (x i ). (18) (x i x j ) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 40 / 69
Calculul PIL cu diferenţe divizate II Diferenţele divizate se pot obţine prin algoritmul tabelar următor, bazat pe formula (17), care este mai flexibil şi mai puţin costisitor decât aplicarea formulei (18) x 0 f [x 0 ] f [x 0, x 1 ] f [x 0, x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 1 f [x 1 ] f [x 1, x 2 ] f [x 1, x 2, x 3 ] x 2 f [x 2 ] f [x 2, x 3 ] x 3 f [x 3 ]. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 41 / 69
Calculul PIL cu diferenţe divizate III Prima coloană este formată din valorile funcţiei f, a doua din diferenţele divizate de ordinul I, etc.; se trece la coloana următoare folosind formula (17). Pentru a rapidiza algoritmul nodurile se vor ordona crescător după valorile xi x. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 42 / 69
Exemplu Să calculăm forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange pentru funcţia f (x) = x 3 şi nodurile x k = k, k = 0,..., 3. Tabela diferenţelor divizate este: x f [x i ] f [x i, x j ] f [x i, x j, x k ] f [x i, x j, x k, x l ] 0 0 1 3 1 1 1 7 6 2 8 19 3 27 La calculul polinomului de interpolare se folosesc diferenţele divizate din prima linie a tabelei. (L 3 f )(x) = f [x 0 ] + (x x 0 )f [x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f [x 0, x 1, x 2 ] + +(x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] = x + 3x(x 1) + x(x 1)(x 2); Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 43 / 69
Proprietăţi ale diferenţelor divizate I Teoremă Eroarea de interpolare este dată de f (x) (L m f )(x) = u m (x)f [x 0, x 1,..., x m, x]. (19) Demonstraţie. Într-adevăr, este suficient să observăm că (L m f )(t) + u m (t)f [x 0,..., x m ; x] este conform lui (16) polinomul de interpolare (în t) al lui f x 0, x 1,..., x m, x. în punctele Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 44 / 69
Proprietăţi ale diferenţelor divizate II Teoremă (formula de medie pentru diferenţe divizate) Dacă f C m [a, b], există ξ (a, b) a.î. f [x 0, x 1,..., x m ] = 1 m! f (m) (ξ) (20) Demonstraţie. Rezultă din (10) şi din (19) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 45 / 69
Proprietăţi ale diferenţelor divizate III Teoremă (scrierea sub forma unui cât a doi determinanţi) Are loc unde f [x 0,..., x m ] = (Wf )(x 0,..., x m ) V (x 0,..., x m ) 1 x 0 x0 2... x0 m 1 f (x 0 ) 1 x 1 x1 2... x1 m 1 f (x 1 ) (Wf )(x 0,..., x n ) =........ 1 x m xm 2... xm m 1 f (x m ) (21), (22) iar V (x 0,..., x m ) este determinantul Vandermonde. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 46 / 69
Proprietăţi ale diferenţelor divizate IV Demonstraţie. Se dezvoltă (Wf )(x 0,..., x m ) după elementele ultimei coloane; fiecare complement algebric este un determinant Vandermonde. Se obţine f [x 0,..., x m ] = = m i=0 m 1 V (x 0,..., x m ) V (x 0,..., x i 1, x i+1,..., x m )f (x i ) = i=0 ( 1) m i f (x i ) (x i x 0 )... (x i x i 1 )(x i x i+1 )... (x n x i ), din care după schimbarea semnelor ultimilor m i termeni rezultă (18). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 47 / 69
Figure: Sir Isaac Newton (1643-1727) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 48 / 69
Metoda baricentrică I Rescriem (7), (8) a.î PIL să poată fi evaluat şi actualizat cu O(m) operaţii. Avem u m (x) l j (x) = (x j x k ) 1, (23) x x j unde k =j u m (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x m ) (24) Definind ponderile baricentrice prin w j = k =j 1, j = 0,..., m, (25) (x j x k ) adică, w j = 1/u m(x j ) şi putem scrie l j sub forma w j l j (x) = u m (x). x x j Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 49 / 69
Metoda baricentrică II Acum PIL se scrie (f j := f (x j )) p(x) = u m (x) m j=0 w j x x j f j. (26) Interpolând funcţia constantă 1 obţinem 1 = m j=0 l j (x) = u m (x) m j=0 w j x x j. (27) Împărţind (26) cu expresia de mai sus şi simplificând cu u m (x), obţinem p(x) = numită formula baricentrică. m j=0 m j=0 w j x x j f j w j x x j, (28) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 50 / 69
Distribuţii remarcabile I În cazul unor noduri particulare se pot da formule explicite pentru ponderile baricentrice w j. Pentru noduri echidistante w j = ( 1) j ( m j ). (29) Familia de puncte Cebîşev se poate obţine proiectând puncte egal spaţiate pe cercul unitate pe intervalul [ 1, 1]. Pornind de la formula w j = 1 u m(x j ), (30) se pot obţine formule explicite pentru ponderile w j. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 51 / 69
Distribuţii remarcabile II Punctele Cebîşev de speţa I sunt date de x j = cos (2j + 1) π, j = 0,..., m. 2m + 2 Anulând factorii independenţi de j se obţine w j = ( 1) j sin Punctele Cebîşev de speţa II sunt date de x j = cos jπ, j = 0,..., m, m (2j + 1) π 2m + 2. (31) iar ponderile corespunzătoare sunt { w j = ( 1) j 1/2, j = 0 sau j = m, δ j, δ j = 1, altfel. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 52 / 69
Interpolarea în puncte Cebîşev Dificultăţile legate de interpolarea polinomială de grad mare pot fi depăşite aglomerând punctele de interpolare la capătul intervalului în loc de a alege puncte echidistante Noduri: puncte de interpolare Cebîşev de speţa a doua sau puncte Gauss-Lobatto pe [ 1, 1] x j = cos πj, j = 0,..., n (32) n Pentru un interval [a, b] se face schimbarea de variabilă t = 2x b a b a Utilizate în pachetul MATLAB chebfun - Univ. Oxford, L. N. Trefethen Dacă (x j ) n j=0 sunt puncte Cebîşev, polinomul nodurilor satisface n (x x j ) 2 n+1 j=0 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 53 / 69
Proprietăţi ale interpolării în puncte Cebîşev Teoremă Fie f C [ 1, 1], p n polinomul său de interpolare în puncte Cebîşev (32) şi p n polinomul său de cea mai bună aproximare în norma. Atunci 1 f p n ( 2 + 2 π log n) f p n 2 Dacă k N a.î. f (k) este cu variaţie mărginită pe [ 1, 1], atunci f p n = O ( n k), când n. 3 Dacă f este analitică într-o vecinătate din planul complex a lui [ 1, 1], atunci C < 1 a.î. f p n = O (C n ); în particular dacă f este analitică în elipsa închisă cu focarele ±1 şi semiaxele M 1 şi m 0, putem lua C = 1/(M + m). Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 54 / 69
Interpolare Hermite I În loc să facem să coincidă f şi polinomul de interpolare în punctele x i din [a, b], am putea face ca f şi polinomul de interpolare să coincidă împreună cu derivatele lor până la ordinul r i în punctele x i. Se obţine: Teoremă Fiind date (m + 1) puncte distincte x 0, x 1,..., x m din [a, b] şi (m + 1) numere naturale r 0, r 1,..., r m, punem n = m + r 0 + r 1 + + r m. Atunci, fiind dată o funcţie f, definită pe [a, b] şi admiţând derivate de ordin r i în punctele x i există un singur polinom şi numai unul H n f de grad n astfel încât (i, l), 0 i m, 0 l r i (H n f ) (l) (x i ) = f (l) (x i ), (34) unde f (l) (x i ) este derivata de ordinul l a lui f în x i. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 55 / 69
Interpolare Hermite II Definiţie Polinomul definit în acest mod se numeşte polinom de interpolare al lui Hermite al funcţiei f relativ la punctele x 0, x 1,..., x m şi la întregii r 0, r 1,..., r m. Demonstraţie. Ecuaţia (34) conduce la un sistem liniar de (n + 1) ecuaţii cu (n + 1) necunoscute (coeficienţii lui H n f ), deci este suficient să arătăm că sistemul omogen corespunzător admite doar soluţia nulă, adică relaţiile H n f P n şi (i, l), 0 i k, 0 l r i, (H n f ) (l) (x i ) = 0 ne asigură că pentru orice i = 0, 1,..., m, x i este rădăcină de ordinul r i + 1 a lui H n f ; prin urmare H n f are forma (H n f )(x) = q(x) m i=0 (x x i ) r i +1, Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 56 / 69
Interpolare Hermite III unde q este un polinom. Cum m i=0(r i + 1) = n + 1, acest lucru nu este compatibil cu apartenenţa lui H n la P n, decât dacă q 0 şi deci H n 0. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 57 / 69
Diferenţe divizate cu noduri multiple I Formulele (20) şi (21) servesc ca bază pentru introducerea diferenţei divizate cu noduri multiple: dacă f C m [a, b] şi α [a, b], atunci Aceasta justifică relaţia lim [x f 0,..., x m ; f ] = (m) (ξ) lim = f (m) (α) x 0,...,x m α ξ α m! m! [α,..., α; f ] = 1 }{{} m! f (m) (α). m+1 Reprezentând aceasta ca pe un cât de doi determinanţi se obţine 1 α α 2... α m 1 f (α) 0 1 2α... (m 1)α m 2 f (α) (Wf ) α,..., α = }{{}.................. m+1 0 0 0... (m 1)! f (m 1) (α) 0 0 0... 0 f (m) (α) Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 58 / 69
Diferenţe divizate cu noduri multiple II şi V α,..., α = }{{} m+1 1 α α 2... α m 0 1 2α... mα m 1............... 0 0 0... m! adică cei doi determinanţi sunt constituiţi din linia relativă la nodul α şi derivatele succesive ale acesteia până la ordinul m în raport cu α., Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 59 / 69
Generalizarea pentru mai multe noduri este următoarea: Fie r k N, k = 0, m, n = r 0 + + r m + m. Presupunem că există f (j) (x k ), k = 0, m, j = 0, r k. Mărimea [x 0,..., x }{{} 0, x 1,..., x 1,..., x }{{} m,..., x m ;f ] = (Wf )(x 0,..., x 0,..., x m,..., x m ) }{{} V (x 0,..., x 0,..., x m,..., x m ) r 0 +1 r 1 +1 r m +1 unde Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 60 / 69
= (Wf )(x 0,..., x 0,..., x m,..., x m ) = 1 x 0... x r 0 0... x0 n 1 f (x 0 ) 0 1... (r 0 )x r 0 1 0... (n 1)x0 n 2 f (x 0 )......... 0 0... (r 0 )!... r 0 p=1 (n p)x n r 0+1 0 f (r0) (x 0 ) 1 x m... x r m... xm n 1 f (x m ) 0 1... (r m )x r m 1 m... (n 1)xm n 2 f (x m )......... 0 0... (r m )!... r m p=1 (n p)x n r m+1 m f (rm) (x m ) iar V (x 0,..., x 0,..., x m,..., x m ) este ca mai sus, exceptând ultima coloană care este (x0 n, nx0 n 1,..., r 0 p=0 (n p)x n r 0+1 0,..., xm, n nxm n 1,..., r m p=0 (n p)x n r m+1 se numeşte diferenţă divizată cu nodurile multiple x k, k = 0, m şi ordinele de multiplicitate r k, k = 0, m. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 61 / 69 m ) T
Polinomul de interpolare Hermite I Generalizând forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange se obţine o metodă bazată pe diferenţele divizate cu noduri multiple pentru PIH. Presupunem că se dau nodurile x i, i = 0, m şi valorile f (x i ), f (x i ). Definim secvenţa de noduri z 0, z 1,..., z 2m+1 prin z 2i = z 2i+1 = x i, i = 0, m. Construim acum tabela diferenţelor divizate utilizând nodurile z i, i = 0, 2m + 1. Deoarece z 2i = z 2i+1 = x i pentru orice i, f [x 2i, x 2i+1 ] este o diferenţă divizată cu nod dublu şi este egală cu f (x i ), deci vom utiliza f (x 0 ), f (x 1 ),..., f (x m ) în locul diferenţelor divizate de ordinul I f [z 0, z 1 ], f [z 2, z 3 ],..., f [z 2m, z 2m+1 ]. Restul diferenţelor se obţin în manieră obişnuită, aşa cum se arată în tabelul 1. Ideea poate fi extinsă şi pentru alte interpolări Hermite. Se pare că metoda este datorată lui Powell. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 62 / 69
Polinomul de interpolare Hermite II z 0 = x 0 f [z 0 ] f [z 0, z 1 ] = f (x 0 ) f [z 0, z 1, z 2 ] = f [z 1,z 2 ] f [z 0,z 1 ] z 2 z 0 z 1 = x 0 f [z 1 ] f [z 1, z 2 ] = f (z 2) f (z 1 ) z 2 z 1 f [z 1, z 2, z 3 ] = f [z 3,z 2 ] f [z 2,z 1 ] z 3 z 1 z 2 = x 1 f [z 2 ] f [z 2, z 3 ] = f (x 1 ) f [z 2, z 3, z 4 ] = f [z 4,z 3 ] f [z 3,z 2 ] z 4 z 2 z 3 = x 1 f [z 3 ] f [z 3, z 4 ] = f (z 4) f (z 3 ) z 4 z 3 z 4 = x 2 f [z 4 ] f [z 4, z 5 ] = f (x 2 ) z 5 = x 2 f [z 5 ] Table: Tabelă de diferenţe divizate pentru noduri duble Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 63 / 69
Expresia erorii Folosind teorema de medie pentru diferenţe divizate obţinem următoarea expresie a erorii pentru interpolarea Hermite: Propoziţie Dacă f C n+1 [a, b] există ξ [a, b] astfel încât unde (R n f )(x) = u(x) (n + 1)! f (n+1) (ξ), (35) u(x) = (x x 0 ) r 0+1... (x x m ) r m+1 = m k=0 (x x k ) r k +1. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 64 / 69
Figure: Charles Hermite Charles Hermite (1822-1901), matematician francez de frunte, membru al Academiei Franceze, cunoscut pentru lucrările sale în domeniul teoriei numerelor, algebră şi analiză. A devenit faimos după ce a dat, în 1873, demonstraţia transcendenţei numărului e. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 65 / 69
Exemplu Pentru f C 4 [a, b], să se calculeze polinomul de interpolare Hermite cu nodurile duble x 0 = a şi x 1 = b şi sa se dea expresia erorii de interpolare. Soluţie. Avem x 0 = a, r 0 = 1, x 1 = b, r 1 = 1 şi m = 1. Gradul polinomului va fi n = 1 + r 0 + r 1 = 3. Tabela diferenţelor divizate este: D 0 D 1 D 2 D 3 z 0 = a f (a) f (a) z 1 = a f (a) f (b) f (a) b a z 2 = b f (b) f (b) z 3 = b f (b) f (b) f (a) (b a)f (a) (b a) 2 (b a)f (b) f (b)+f (a) (b a) 2 (b a)(f (b)+f (a)) 2(f (b) f (a)) (b a) 3 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 66 / 69
Polinomul de interpolare va fi (H 3 f ) (x) = f [z 0 ] + (x z 0 )f [z 0, z 1 ] + (x z 0 )(x z 1 )f [z 0, z 1, z 2 ]+ (x z 0 )(x z 1 )(x z 2 )f [z 0, z 1, z 2, z 3 ] = f (a) + (x a)f (a) + (x a) 2 f (b) f (a) (b a)f (a) (b a) 2 + (x a) 2 (x b) (b a)(f (b) + f (a)) 2(f (b) f (a)) (b a) 3. Restul (R 3 f )(x) = (x a)2 (x b) 2 f (4) (ξ). 4! Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 67 / 69
Bibliografie I E. Blum, Numerical Computing: Theory and Practice, Addison-Wesley, 1972. P. G. Ciarlet, Introduction à l analyse numérique matricielle et à l optimisation, Masson, Paris, Milan, Barcelone, Mexico, 1990. Gheorghe Coman, Analiză numerică, Editura Libris, Cluj-Napoca, 1995. W. Gautschi, Numerical Analysis. An Introduction, Birkhäuser, Basel, 1997. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, Cambridge, New York, Port Chester, Melbourne, Sidney, 1996, disponibila prin www, http://www.nr.com/. Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 68 / 69
Bibliografie II D. D. Stancu, Analiză numerică Curs şi culegere de probleme, Lito UBB, Cluj-Napoca, 1977. J. Stoer, R. Burlisch, Introduction to Numerical Analysis, 2nd ed., Springer Verlag, 1992. R. Trîmbiţaş, Numerical Analysis in MATLAB, Cluj University Press, 2010 Radu T. Trîmbiţaş (Universitatea,,Babeş-Bolyai ) Interpolare Martie 2011 69 / 69