CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017

Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 2 / 40

Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri Definiţie Fie M o mulţime nevidă. Numim operaţie algebrică sau lege de compoziţie pe M o funcţie : M M M, (x, y) x y, care asociază fiecărui element (x, y) M M, un unic element x y M. Definiţie Fie M şi fie operaţia algebrică internă pe M. Atunci (M, ) se numeşte grup dacă sunt verificate următoarele axiome: (A) (x y) z = x (y z), x, y, z M (asociativitate); (EN) dacă există e M, astfel încât x e = e x = x, x M; (element neutru) (ES) dacă x M, x M, astfel încât x x = x x = e; (element simetrizabil) Dacă în plus, este verificată următoarea axiomă (C) x y = y x, x, y R (comutativitate) vom spune că (M, ) este grup abelian (grup comutativ). Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 4 / 40

Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri Definiţie Fie K şi fie + şi sunt două operaţii interne pe K. Se numeşte corp un triplet (K, +, ), ce satisface următoarele axiome: 1. (K, +) este un grup comutativ, având elementul neutru notat cu 0; 2. (K \ {0}, ) este grup cu elementul neutru notat cu 1; 3. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică x, y, z K, avem x (y + z) = x y + x z, (x + y) z = x z + y z. Dacă, în plus, operaţia este comutativă atunci spunem că (K, +, ) este corp comutativ. Grupul (K, +) se numeşte grupul aditiv al corpului, iar grupul (K \ {0}, ) se numeşte grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului. Exemple: (R, +, ), (C, +, ) sunt corpuri comutative. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 5 / 40

Spaţii liniare Un spaţiu liniar (spaţiu vectorial) este o colecţie de obiecte, numite vectori, ce pot fi adunate între ele şi înmulţite cu numere, numite scalari. Scalarii sunt elemente din R, C, Q sau orice corp comutativ. Cele mai utilizate spaţii liniare sunt spaţiile Euclidiene: R - dreapta reală - spaţiu liniar 1-dimensional R 2 = R R - planul real - spaţiu liniar 2-dimensional R 3 = R R R - spaţiul real - spaţiu liniar 3-dimensional R n, n 4 - hiperspaţiul real - spaţiu liniar n-dimensional Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 8 / 40

Spaţii liniare Fie V o mulţime nevidă şi K un corp comutativ. În general, se consideră K = R sau K = C. Definiţie Se numeşte spaţiu liniar (vectorial) peste corpul K o mulţime V, înzestrată cu - o lege internă + : V V V, (x, y) x + y, x, y V, - o lege externă : K V V, (α, x) α x, α K, x V aşa încât sunt îndeplinite următoarele cerinţe (axiome): (SL1) (V, +) este un grup comutativ; (SL2) α (x + y) = α x + α y, α K, x, y V ; (SL3) (α + β) x = α x + β x, α, β K, x V ; (SL4) α (β x) = (αβ) x, α, β K, x V ; (SL5) 1 x = x, x V (unde 1 este elementul unitate din K). - elementele K-spaţiului liniar V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 9 / 40

Spaţii liniare Propoziţie Fie n N şi R n = R R... R. Definim operaţiile + : R }{{} n R n R n şi : R R n R n de n ori prin x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n), x = (x 1, x 2,..., x n), y = (y 1, y 2,..., y n) R n α x = (αx 1, αx 2,..., αx n), α R, x = (x 1, x 2,..., x n) R n. Atunci (R n, R, +, ) este un spaţiu liniar. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 10 / 40

Exemple de spaţii liniare Fie X, K un corp comutativ, (V, K, +, ) un spaţiu liniar şi F(X, V ) = {f : X V }. F(X, V ) are o structură algebrică de spaţiu liniar în raport cu adunarea funcţiilor, definită în mod obişnuit prin ( ) (f + g)(x) = f(x) + g(x), x X, f, g F(X, V ) şi înmulţirea funcţiilor cu scalari din K, definită prin ( ) (α f)(x) = α f(x), α K, x X, f F(X, V ). Particularizând X, K, şi V, obţinem diverse exemple de spaţii vectoriale: dacă m, n N, X = {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} şi V = K = R, atunci F(X, V ) = M m,n(r), iar (M m,n(r), +, ) este un spaţiu liniar real (exerciţiu); dacă X R şi V = K = R, se obţine R-spaţiul liniar F(X, R) al funcţiilor reale, de o singură variabilă reală, definite pe X; când X = N şi V = K = R, mulţimea F(X, V ) este, în raport cu operaţiile ( ) şi ( ), spaţiul liniar real al şirurilor de numere reale. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 11 / 40

Spaţii liniare Propoziţie (Proprietăţi ale operaţiilor unui spaţiu liniar) Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar. Atunci: i) 0 K x = α 0 V = 0 V, x V, α K; ii) ( α) x = α ( x) = α x, α K, x V ; iii) ( α) ( x) = α x, α K, x V ; iv) α x = 0 α = 0 K sau x = 0 V. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 12 / 40

Spaţii liniare. Subspaţii liniare Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar peste un corp comutativ K şi W o submulţime nevidă a lui V. (W, K, +, ) se numeşte subspaţiu liniar al lui (V, K, +, ) dacă: Exemple: x, y W, rezultă că x + y W ; α K, x W, reiese că α x W. 1) Mulţimea {x = (x 1, x 2,..., x n) R n x 1 = 0} este, în raport cu adunarea n-uplelor din R n şi înmulţirea acestora cu scalari din R, un subspaţiu liniar al lui (R n, R, + ). 2) Mulţimea {f F(R, R) f(x) = f( x), x R} a funcţiilor reale, scalare şi pare este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar real (F(R, R), R, +, ). Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 13 / 40

Spaţii liniare. Subspaţii liniare Definiţie Dacă n N şi x 1, x 2,..., x n sunt elemente ale unui spaţiu liniar V peste un corp comutativ K, iar α 1, α 2,..., α n sunt scalari din K, atunci elementul x = n α k x k = α 1 x 1 + α 2 x 2 +... + α nx n, k=1 se numeşte combinaţie liniară a elementelor x 1, x 2,..., x n. Definiţie Fie W o submulţime nevidă a unui spaţiu liniar (V, K, +, ). Spunem că W este un subspaţiu liniar al lui V dacă şi numai dacă α, β K, x, y W α x + β y W, altfel spus, dacă orice combinaţie liniară de oricare două elemente ale lui W aparţine lui W. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 14 / 40

Spaţii liniare. Subspaţii liniare Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar şi U o submulţime nevidă a sa. Mulţimea tuturor combinaţiilor liniare de elemente din U se numeşte acoperire liniară a lui U şi se notează cu Lin(U). Se numeşte subspaţiu generat de submulţimea U, intersecţia tuturor subspaţiilor liniare ale lui V care conţin elementele lui U (vom nota Sp(U)). Se poate constata uşor că Lin(U) este un subspaţiu liniar al lui (V, K, +, ) care o include pe U. Propoziţie Fie (V, K, +, ) un K-spaţiu liniar al lui V. i) Intersecţia a două subspaţii liniare ale lui V este un subspaţiu liniar al lui V. ii) Reuniunea a două subspaţii liniare ale lui V nu este întotdeauna un subspaţiu liniar al lui V. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 15 / 40

Spaţii liniare. Subspaţii liniare Propoziţie Oricare ar fi submulţimea nevidă U a unui subspaţiu liniar (V, K, +, ), avem: n Lin(U) = Sp(U) = {x V n N, α i K, x i U, 1 i n, aşa încât x = α i x i }. i=1 Demonstraţie: : Cum Lin(U) este un subspaţiu liniar al lui V care include pe U, intersecţia tuturor subspaţiilor liniare ale lui V cu proprietatea că o includ pe U, cu alte cuvinte Sp(U) Lin(U). : Reciproc, cum orice subspaţiu liniar al lui V, care conţine pe U, conţine şi orice combinaţie liniară de elemente din U (cu scalari din K), adică include subspaţiul liniar Lin(U). Considerând intersecţia tuturor acestor subspaţii, obţinem Lin(U) Sp(U). Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 16 / 40

Liniară dependenţă şi independenţă Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar şi x 1, x 2,..., x n din V. a) Elementele x 1, x 2,..., x n se numesc liniar dependente dacă α 1, α 2,..., α n K, nu toţi nuli, astfel încât α 1 x 1 + α 2 x 2 +... + α nx n = 0 V. b) Elementele x 1, x 2,..., x n V se numesc liniar independente dacă α 1 x 1 + α 2 x 2 +... + α nx n = 0 V = α 1 = α 2 =... = α n = 0. c) O submulţime nevidă U a unui subspaţiu liniar V se numeşte liniar independentă dacă oricare n elemente distincte x 1, x 2,..., x n ale lui U sunt liniar independente. d) Dacă există n N şi x 1, x 2,..., x n elemente din U ce sunt liniar dependente, atunci mulţimea U se numeşte liniar dependentă. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 18 / 40

Liniară dependenţă şi independenţă Teorema Vectorii x 1, x 2,..., x n ai unui spaţiu liniar sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă unul dintre vectori se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi. Demonstraţie: : Într-adevăr, dacă vectorii x 1, x 2,..., x n sunt liniar dependenţi, atunci n α 1, α 2,..., α n, nu toţi nuli, astfel încât α k x k = 0 V. k=1 n ( ) Presupunem că α 1 0, ar reieşi atunci că avem: x 1 = α 1 1 α k x k. Deci, unul dintre k=2 elementele x 1, x 2,..., x n, aici x 1, ar fi o combinaţie liniară de celelalte. n : Dacă x j = β k x k, atunci x j n β k x k = 0, ceea ce înseamnă că, pentru elementele k=1 k j k=1 k j x 1, x 2,..., x n, există scalarii β 1,..., β j 1, 1, β j+1,..., β n, evident nu toţi nuli, aşa încât se poate vorbi despre o combinaţie liniară a respectivelor elemente egală cu vectorul nul. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 19 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie Fie (V, K, +, ) un K-spaţiu liniar. i) Se numeşte dimensiune (algebrică) a spaţiului liniar V numărul maxim de elemente liniar independente din V. Vom nota dimensiunea spaţiului V cu dim(v ). ii) Spaţiul liniar V este numit infinit-dimensional dacă există cel puţin o submulţime infinită şi liniar independentă a lui V. În caz contrar, V este numit spaţiu liniar finit-dimensional. Exemple: 1. dim R (R n ) = n; 2. dim R M m,n(r n ) = m n. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 21 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie O mulţime nevidă B, dintr-un spaţiu liniar (V, K, +, ), se numeşte bază algebrică a lui V dacă B este liniar independentă şi Sp(B) = V. Fie V un spaţiu liniar n-dimensional. O bază a lui V este o mulţime B alcătuită din n elemente, b 1, b 2,..., b n, liniar independente, din V. Fiecare element x V se reprezintă atunci, în mod unic, sub forma x = n γ k b k, K-scalarii γ 1, γ 2,..., γ n numindu-se coordonatele lui x în baza B. Orice bază a unui spaţiu liniar V are un număr de vectori egal cu dimensiunea lui V. k=1 Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 22 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Propoziţie Spaţiul liniar (R n, R, +, ) este n-dimensional. O mulţime de m (m n) elemente din R n este liniar independentă dacă şi numai dacă matricea având drept coloane cele m n-uple reale corespunzătoare elementelor în cauză are rangul egal cu m. Demonstraţie: În Rn există mulţimea B = {e 1, e 2,..., e n}, unde e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) care alcătuiesc o bază, numită baza canonică a lui R n. Într-adevăr, mulţimea B este liniar independentă în R, întrucât avem α 1 e 1 + α 2 e 2 +... + α n e n = 0 α 1 = α 2 =... = α n = 0. Mai mult, Sp(B) = R n ( x R n, x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n). Aşadar, dim(r n ) = n. În al doilea rând, dacă x 1 = (x 11, x 12,..., x 1n ), x 2 = (x 21, x 22,..., x 2n ),... şi x m = (x m1, x m2,..., x mn) (cu m n) sunt m elemente din R n, atunci acestea sunt liniar independente dacă şi numai dacă relaţia α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α m x m = 0 este posibilă doar când α 1 = α 2 =... = α m = 0. Altfel spus, dacă şi numai dacă α 1 x 11 + α 2 x 21 +... + α mx m1 = 0 α 1 x 12 + α 2 x 22 +... + α mx m2 = 0.............................. α 1 x 1n + α 2 x 2n +... + α mx mn = 0 Vom obţine, soluţia banală α i = 0, i = 1, n, dacă şi numai dacă rangul matricii sistemului, este m. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 23 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază O submulţime nevidă a unui K spaţiu liniar finit dimensional, B = {b 1, b 2,..., b n}, este o bază a n lui V dacă şi numai dacă orice vector x V se exprimă, în mod unic, sub forma x = x k b k, scalarii x 1, x 2,..., x n din K fiind coordonatele lui x în baza B. Dacă notăm cu X B matricea coloană x 1 x 2. x n a coordonatelor vectorului x în baza B şi cu B = [b 1, b 2,..., b n] matricea linie a vectorilor bazei n B, relaţia x = x k b k se poate reda, matriceal, sub forma: k=1 x = B X B. k=1 Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 24 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Propoziţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar cu dim(v ) = n. Atunci 1. Orice mulţime de m elemente din V, cu m > n, este liniar dependentă; 2. Orice mulţime de n elemente din V este bază a lui V dacă şi numai dacă este mulţime liniar independentă. 3. Orice mulţime de n vectori din V este bază a lui V dacă şi numai dacă mulţimea este un sistem de generatori al lui V. Exemplu: Să se arate că mulţimea B = {v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0), v 3 = (0, 1, 1)} este o bază a spaţiului vectorial R 3. Determinaţi coordonatele vectorului v = (1, 2, 3) în această bază. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 25 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar cu dim(v ) = n, B = {b 1, b 2,..., b n} o bază a sa şi B = {b 1, b 2,..., b m} o mulţime de m elemente ale lui V. Se numeşte matrice de trecere (schimbare) de la baza B la sistemul de vectori B matricea S = (s ij ) i,j M n,m(k), unde 1 i n şi 1 j m, care are, pe coloane, coordonatele vectorilor din B în baza B, adică unde s ij K sunt aşa încât s 11 s 21... s m1 s 12 s 22... s m2 S =......, s 1n s 2n... s mn b 1 = s 11 b 1 + s 12 b 2 +... + s 1n b n b 2 = s 21 b 1 + s 22 b 2 +... + s 2n b n.. b m = s m1b 1 + s m2 b 2 +... + s mnb n Altfel spus, matricial, avem B = B S, unde B = [b 1, b 2,..., b m] şi B = [b1, b 2,..., b n]. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 26 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Propoziţie Fie B şi B două baze distincte ale unui spaţiu liniar (V, K, +, ), finit-dimensional şi x V. Dacă X B şi X B sunt matricile coloane ale coordonatelor lui x în baza B şi respectiv în baza B, iar S este matricea de trecere de la B la B, atunci formula de transformare a coordonatelor lui x la schimbarea bazei de la B la B este următoarea: X B = S 1 X B. Demonstraţie: Întrucât x = BX B = B X B şi B = B S, avem: BXB = BSX B. De aici, cum B este nesingulară, prin înmulţirea la stânga cu B 1, rezultă: X B = SX B. În fine, deoarece S este nesingulară, reiese că are loc formula X B = S 1 X B. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 27 / 40

Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar, finit-dimensional şi două baze ale sale, B şi B. Spunem că bazele B şi B sunt la fel orientate dacă determinantul matricii S de trecere de la B la B este pozitiv; Spunem că bazele B şi B se numesc contrar orientate dacă det(s) < 0. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 28 / 40

Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu vectorial peste un corp comutativ şi ordonat K. a) Se numeşte produs scalar pe V o aplicaţie, : V V la K, care satisface următoarele proprietăţi: (PS1), este pozitiv definită, adică x, x 0, x V şi x, x = 0, dacă şi numai dacă x = 0 V ; (PS2), este simetrică, adică x, y = y, x, x, y V ; (PS3), este biliniară, adică α x + β y, z = α x, z + β y, z, şi x, α y + β z = α x, y + β x, z, α, β K, x, y, z V. b) Perechea (V,, ), în care V este un spaţiu liniar peste un corp comutativ şi ordonat, iar, este un produs scalar pe V se numeşte spaţiu prehilbertian. c) Un spaţiu prehilbertian pentru care K = R se numeşte spaţiu euclidian. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 30 / 40

Produs scalar. Norme în R n Propoziţie Spaţiul liniar real (R n, R, +, ), dotat cu produsul scalar canonic, definit prin n x, y c = x i y i, x = (x 1, x 2,..., x n), y = (y 1, y 2,..., y n) R n, i=1 este un spaţiu euclidian. Observaţie: Produsul scalar, c pe R n se mai numeşte şi produs scalar euclidian. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 31 / 40

Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu prehilbertian, dotat cu produsul scalar,. a) Elementele x şi y din V se numesc ortogonale dacă şi numai dacă x, y = 0. (x y) b) Spunem că un vector x V este ortogonal pe o mulţime nevidă U V (notăm x U), dacă x, y = 0, y U. c) Un sistem de vectori din V se numeşte ortogonal dacă este alcătuit din vectori ortogonali doi câte doi. Mai exact, dacă x, y = 0, x, y din respectivul sistem, cu x y. d) Dacă U V, atunci prin suplimentul ortogonal al lui U, înţelegem mulţimea U = {x V x U} Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 32 / 40

Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, K, +,,, ) un spaţiu euclidian şi x, y V \ {0}. Unghiul dintre vectorii x şi y, notat prin (x, y) sau (x, y), se defineşte prin relaţia: (x, y) = arccos x, y x, x y, y. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 33 / 40

Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, R, +, ) un spaţiu liniar real. a) Se numeşte normă pe V o aplicaţie de la V la R, notată simbolic prin, care satisface următoarele axiome: (N1) x 0, x V şi x = 0 x = 0; (N2) α x = α x, α R, x V ; (N3) x + y x + y, x,y V. b) Perechea (V, ) se numeşte spaţiu normat. Propoziţie Spaţiul liniar real (R n, R, +, ), înzestrat cu aşa-numita normă euclidiană, definită prin x e = x, x = este un spaţiu normat. ( n ) 1 2 x 2 i, x = (x 1, x 2,..., x n) R n, i=1 Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 34 / 40

Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, ) un spaţiu normat şi x V. Elementul x se numeşte versor dacă x = 1. Definiţie Fie (V,, ) un spaţiu prehilbertian. a) O submulţime nevidă U V se numeşte sistem ortonormal dacă şi numai dacă { 0, când x y x, y = 1, când x = y, x, y U. b) Dacă B este o baza a lui V şi B este un sistem ortonormal stunci B este o bază ortonormală Exemplu: Baza canonică din R n, {e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e 3 = (0,..., 0, 1)} este o bază ortonormală. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 35 / 40

Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Fie B = {b 1, b 2,... b n} o bază a unui spaţiu euclidian V, cu dim(v) = n, şi fie Fie, este produsul scalar definit pe V. Vom nota cu G = (g ij ) 1 i,j n M n(r), unde g ij = b i, b j. Determinantul matricii G se numeşte determinant Gram. Cum pentru doi vectori arbitrari din x, y V, avem reprezentările (în baza B) x = BX B şi y = BY B, unde X B, Y B sunt matricile asociate lui x şi y, găsim expresia analitică a produsului scalar, în baza B n x, y = g ij x i y j = XB T GY B. i,j=1 Baza B este numită ortogonală ori de câte ori matricea G este diagonală, adică g ij = 0, i, j {1, 2,..., n}, i j. Spunem că baza B este ortonormală dacă şi numai dacă G este matricea unitate I n. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 37 / 40

Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Teorema În orice spaţiu prehilbertian finit dimensional (V,, ) există baze ortonormale. Demonstraţie: Fie (V,, ) un spaţiu prehilbertian n-dimensional şi B = {b 1, b 2,..., b n} o bază a lui. Pentru a arăta existenţa unei baze ortonormale, este suficient să găsim o bază ortogonală. Plecând de la B, se poate construi o bază B = {b 1, b 2,..., b n }, ortogonală, a spaţiului V, utilizând algoritmul lui Gram-Schmidt, după cum urmează: Pasul 1: Fie b 1 = b 1. Pasul 2: Se determină scalarul λ 1 R, aşa încât vectorul b 2 = b 2 + λ 1 b 1 să fie ortogonal pe b 1, adică să avem 0 = b 1, b 2 + λ 1 b 1, b 1. Aşadar, b 2 = b 2 b 1, b 2 b 1, b 1 b 1. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 38 / 40

Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Pasul 3: Se caută scalarii µ 1 şi µ 2 din R, aşa încât b 3 = b 3 + µ 1 b 1 + µ 2b 2 să fie ortogonal pe sistemul {b 1, b 2 }, adică să avem b 3, b 1 = 0 şi b 3, b 2 = 0. Găsim µ 1 = b 1, b 3 b 1, b 1 şi µ 2 = b 2, b 3 b 2,. Prin urmare, avem: b 2 b 3 = b 3 b 1, b 3 b 1, b 1 b 1 b 2, b 3 b 2, b 2 b 2. Pasul k: Continuând procedeul, obţinem formula generală: k 1 b k = b b i k, b k b i=1 i, b i b i, k = 2, n. În final, plecând B, putem obţine baza ortonormată B = {b 1,..., b n }, dacă luăm b k = b k b k, k = 1, n, unde este norma indusă de produsul scalar,, considerat pe V. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 39 / 40

Bibliografie Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 10), Editura Polirom, Iaşi, 1998. V. Postolică - Eficienţă prin matematică aplicată. Analiză matematică (Cap. 10, 11 şi 12), Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2006. Emil Popescu - Analiză matematică. Calcul diferenţial, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2006. E. Macovei, F. Iacob - Matematică pentru anul I), Editura Universităţii Al. I. Cuza, Iaşi, 2005. W. F. Trench - Introduction to Real Analysis (Chap. 4), Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 2010. M. Postolache - Analiză matematică ( teorie şi aplicaţii ), Editura Fair Partners, Bucureşti, 2011. Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLA Department of Mathematics, Los Angeles, 2015. M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:Power Series), Imperial College London, Department of Computing, 2016. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 40 / 40