Obr. 12: Elektromechanický systém jednoduchého elektromotora.

Σχετικά έγγραφα
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

Vektorové a skalárne polia

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

1. písomná práca z matematiky Skupina A

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Matematika 2. časť: Analytická geometria

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

Obvod a obsah štvoruholníka

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

Ekvačná a kvantifikačná logika

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

Metódy vol nej optimalizácie

Moguća i virtuelna pomjeranja

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

D 17 Prenos tepla radiáciou (Úryvok)

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

x x x2 n

STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Motivácia pojmu derivácia

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

3. prednáška. Komplexné čísla

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

Tomáš Madaras Prvočísla

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

Elektrický prúd I MH PQRåVWYR HOHNWULFNpKR QiERMD NWRUp SUHMGH SULHUH]RP YRGLþD ]D. dq I = dt

Ján Buša Štefan Schrötter

Funkcie - základné pojmy

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Podmienenost problému a stabilita algoritmu

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

Pevné ložiská. Voľné ložiská

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Goniometrické substitúcie

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

12. Základy kvantovej fyziky

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

Poznámky k prednáškam z Termodynamiky z Fyziky 1.

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

Gramatická indukcia a jej využitie

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti Komplexné čísla... 8

Rozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky

18. listopada listopada / 13

Staromlynská 29, Bratislava tel: , fax: http: // SLUŽBY s. r. o.

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

Teoretická mechanika

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

Úvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...

Integrovanie racionálnych funkcií

DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2

23. Zhodné zobrazenia

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Výpočet. grafický návrh

Obyčajné diferenciálne rovnice

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Teoretická mechanika

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Definícia a vlastnosti tuhého telesa, redukcia síl. Odvodenie pohybových rovníc tuhého telesa v inerciálnej sústave Tenzor zotrvačnosti

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Riadenie zásobníkov kvapaliny

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súradnicová sústava (karteziánska)

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

Numerické metódy matematiky I

Transcript:

11 1111111 111111111111 11111111111111 I 1111111111111 1111111111111 11111111111 111111 τ S l B r ψ φ R U Obr. 12: Elektromechancký systém ednoduchého elektromotora. 3.7.5 Moment sly od ednosmerného elektromotora Označme s ednotkový vektor τ v smere prúdu v pravom ramene Potom celkový moment sly vzhl adom na os otáčana, pôsobac na prúdový závt bude ( ) D = 2 r li(t) τ B (227) = 2I(t)l τ( r B) = 2I(t)lrB cos(φ) τ (228) Zberače sú postavené tak, aby vždy ked e cos(φ) < zmenl prúd polartu tak, aby výsledný moment sly bol vždy kladný a dochádzalo k pretáčanu. Znamená to, že úloha zberačov e postavt funkcu do absolútne hodnoty, t.. D = 2I(t)lrB cos(φ) τ. (229) A v tomto tvare e ale motor neefektívny, nakol ko pre φ π/2,3π/2,... e D. Preto sa využíva vac závtov, vzáomne posunutých o fázu Δα, D = N 2I(t)lrB cos(φ nδα) τ. (23) n=1 Numercky sa možno presvedčt, že pre vel ké N e moment sly motora praktcky nezávslý od aktuálneho natočena φ. Lmtný prípad N, Δα, NΔα = π možno získat a pramou ntegrácou zavedením α = nδα, Δα = Δnπ/N, D = 2I(t)lrB τ N π = 2I(t)lrB τ N π π π dα cos(φ α) (231) dα sn(α) (232) = 4 NI(t)lrB τ = KI(t) (233) π Tento výsledok sa často používa pr stavaní dynamckých modelov zahŕňaúcch ednosmerný elektromotor. V týchto problémoch treba rešt dynamku manpulátora spolu s dynamkou elektrckých obvodov, s pohybovou rovncou pre prúd U Z = RI(t) + dφ dt. (234) 36

kde U Z e napäte na zdro, R e celkový odpor obvodu, Φ e časovo premenný magnetcký tok. Magnetcký tok má samondukčnú čast, L(t)I(t), kde L(t) ndukčnost motora, a čast pochádzaúcu z permanentného magnetu, B mag d S. L(t) sa pr pohybe motora môže ment s časom, čo modfkue slovým účnok externého pol a magnetu B mag. Magnetcký tok zachytený n-tým závtom e Φ n (t) = B d S = BScos(ψ nδα) = BScos(φ π/2 nδα) = BSsn(φ nδα) (235) a eho príspevok k ndukovanému napätu bude U n = sgn d dt Φ n(t) = sgnbscos(φ nδα) φ. (236) Kvôl zberačom bude znamenko tohto napäta v obvode vždy, ked e cos(φ nδα) < zmenené, čo e značené symbolom sgn. Toto opät vytvára absolútnu hodnotu z funkce cos( ), Opät môžeme získat lmtu hustého vnuta, U nd = n U n = BS cos(φ nδα) φ. (237) = BS φ N π U n = BS cos(φ nδα) φ = (238) π n dα cos(φ α) (239) = BS φ 2N π = K φ, (24) kde sme využl, že 2rl = S. Energetcké blanca v elektro-mechanckom systéme Výskyt dentcke konštanty pr ndukovanom napätí a pr momente sly motora e prncpálne dôležtý - práca, ktorú koná motor e W M = dtd φ. Táto musí súvset s energou ktorú dodá batéra. Z rovnce (234) nádeme pre túto energu, W bat = dtu Z I(t) = dtri 2 (t) + dtu nd I(t). (241) Použtím výsledku (24) nádeme W bat = dtri 2 (t) + dtk φi(t) = dtri 2 (t) +W M, (242) kde prvý člen predstavue ohmcké straty v obvode a druhý e presne práca konaná motorom. Pohybové rovnce ednosmerného elektromotora Je dôležté s uvedomt, že úplné modelovane mechanckého systému s motorm predstavue vlastne paralelné rešene ne len dynamky mechanckých ale a elektrckých stupňov vol nost. Napríklad náš tu študovaný problém predstavuú prepoené dferencálne rovnce pre uhol pootočena elektromotora a prúd v radacom obvode, I M φ(t) = KI(t) D Z (q (t)), (243) U Z (t) = RI(t) + K φ(t) (244) kde D Z (q (t)) ndkue moment zát aže motora, ktorý môže závset od d alších stupňov vol nost a teda vyžadovat d alše dferencálne rovnce. V tomto ednoduchom prípade možno prúd pramo vyadrt z 2. rovnce čo elmnue problém rešena dvoch rovníc. Často e však nutné uvážt a samo-ndukčnost závtov, čo vede k výskytu prve derváce prúdu v 2. rovnc a teda k skutočnému systému dvoch prepoených dferencálnych rovníc. 37

3.8 Energetcká blanca v formalzme Lagrangeových rovníc Budeme uvažovat systém N hmotných bodov, s polohovým vektorm r, nachádzaúc potencálovom pol charakterzovanom celkovou potencálnou energou týchto bodov U( r 1,..., r N ). Navac, nech na každý hmotný bod pôsobí a nepotencálová sla F. Tento systém nech obsahue N v holonómnych väzeb tak že na eho pops postačí M zovšeobecnených súradníc q. Ako už veme, teto spĺňaú Lagrange-Eulerove rovnce d = Q, = 1,...,M (245) dt q q Prácu, ktorú za čas T vykoná nepotencálová sla Q (nak predstavuúcu zmes nepotencálových síl Q = r F q ) nádeme podl a rovnce??, t.. vynásobením Lagrange-Eulerových rovníc s q a ntegrovaním cez čas T, ( d dt ) q. = W, = 1,...,M (246) dt q q (Nasledovné nebolo odprednášané, ale pre úplnost dskus o energetcke blanc) Celková práca nepotencálových síl sa získa súčtom takýchto rovníc, ( d W nepot = dt ) q (247) dt q q Pretože Lagrangeova funkca e funkcou všetkých súradníc a ch rýchlostí platí, ( d dt L(q 1,...,q M ; q 1,..., q M ) = q + ) q q q pomocou čoho dostaneme pre celkovú prácu nepotencálových síl, ( d W nepot = dt ) q (248) dt q q (( ) d = dt q + ) q dt dl (249) dt q q dt ( ) = dt d dt q L t=t t= (25) q Ked že prvý člen e q q = = = E k q q = q ( ) 1 v 2 m v 2 v dq q dt ( ) 1 v 2 m v 2 r dq q dt ( ) 1 2 m v 2 q (251) (252) (253) ( ) ( 1 = v 2 m v 2 d r 1 dt = v 2 m v ) v 2 (254) ( 1 = v 2 m v ) v 2 ( = m v 2) = 2E k, (255) a L = E k U, nádeme vyadrene zákona zachovane energe pre mechanckú sústavu, W nepot = (E k +U) t=t t= (256) 38

3.9 Varačný prncíp a Lagrangeove rovnce 3.9.1 Matematcké mnmum z funkconálne analýzy y f(x) g(x) S[f(x)] δ f(x) x S[g(x)] Obr. 13: Funkconál S[ ] prradí funkc f (x) číslo na reálne os. Ak e spotý, tak dvom blízkym funkcám f (x) a g(x) v zmysle zavedene mery, prradí dve blízke čísla na reálne os. Rozdel g(x) f (x) = δ f (x) možno chápat ako malú zmenu funkce f (x). Analogcky defníc reálne funkc N reálnych premenných, ktorá predstavue zobrazene f (x) : x R N R (257) sa zavádza a poem funkconálu, ktorý prrad ue funkc (napr. reálne premenne x defnovane na ntervale x (a,b)) reálne číslo (Obr. 13), S[ f (x)] : f (x) R. (258) Ak by sme nebral spoté x R, ale M vybraných dskrétnych hodnôt {x } M =1 (vzorkovane reálne os), potom sa na funkconál môžeme pozerat ako na funkcu mnohých reálnych premenných { f } M =1, S( f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (x N )) = S( f 1, f 2,..., f N ). Defníca (258) sa nalepše demonštrue na konkrétnom príklade. Príklad: Nech S[ ] prradí l ubovol ne kvadratcky ntegrovatel ne funkc f (x) na ntervale (, 1) reálne číslo pomocou predpsu S[ f (x)] = 1 k{ f (x )} 2 dx, (259) a teda S[ ] e funkconál. Podobne ako e to v matematcke analýze funkce reálne premenne, možno zavest pomy ohrančena, spotost (Obr.??) a derváce. Pre ne e potrebné mat zavedenú meru na množne funkcí, t.. poem vel kost funkce f (x), aby sme mohl hovort o dvoch funkcách vzdalených od seba o ε. Exstuú vaceré užtočné mery funkcí, edna z nabežneších e b a f (x ) 2 dx. (26) Množna funkcí obohatená takýmto pomom mery (alebo vel kost č normy) sa nazýva a prestor L 2 (a,b). Dve funkce f (x) a g(x) sa potom považuú za blízke, rsp. v ε okolí ak f (x) g(x) = b a ( f (x ) g(x )) 2 dx ε (261) Poem derváce funkconálu e dôležtý a pre naše účely a naznačíme s tu eho zavedene bez nároku na matematckú presnost. 39

Varáca funkconálu e rozšírením pomu dferencálu funkce N reálnych premenných. Tento dferencál d f predstavue lneárne zobrazene, ktoré N malým prírastkom Δx 1,...,Δx N, pr fxovane hodnote x ktorá v dferencály predstavue parameter, prradí zodpovedaúc prírastok funkce f (x) 2 d f = f x (x)dx. (262) Podobne, varáca funkconálu e lneárny funkconál, ktorý male zmene funkce δ f (x) (Obr.??) prradí zodpovedaúcu zmenu pôvodného funkconálu, δs[ f (x)] = S[ f (x) + δ f (x)] S[ f (x)] = v(x )δ f (x )dx (263) prčom ntegrueme cez oblast defníce funcke f (x). Zavedenú funkcu pod ntegrálom v(x δs[ f (x)] ) = δ f (x ) (264) nazývame funkconálna derváca. Opät, nalepše e demonštrovat poem varáce na vyšše uvedenom príklade funkconálu. Príklad: δs[ f (x)] δ f (x ) = 2k f (x ) (265) Ako? Nech δ f (x) e malá zmena f (x) potom δs[ f (x)] = S[ f (x) + δ f (x)] S[ f (x)] =... = b a 2k f (x)δ f (x)dx (266) Funkconál môže nadobúdat extrém vo funkc f e (x) ak e eho varáca v okolí teto funkce nulová δs[ f e (x)] =, (267) nakol ko v tomto prípade sa pr male zmene funkce f (x) = f e (x) + δ f (x) hodnota funkconálu nemení. Táto podmenka e ekvvalentná rovnost nule funkconálne derváce δs δ f (x) = (268) f (x)= fe (x) čo typcky predstavue (funkconálnu, napr. dferencálnu) rovncu pre funkcu f e (x). 3.9.2 Matematcká forma varačného prncípu pre Lagrangeove pohybové rovnce Lagrangeove pohybové rovnce možno získat z podmenky extrému funkconálu S[q (t)] = T dt L(q (t ), q (t ))dt, (269) t.. funkconálu daného ntegrálom Lagrangeove funkce cez čas, počas ktorého študueme pohyb, pr dane počatočne a konečne hodnote stupňov vol nost, t.. z podmenky δs[q (t)] = δl(q 1(t),..., q N (t)) δq (t) =, = 1,...,N (27) 2 Zobrazene v tom zmysle, že napr. fxované x = (x,y) = (1,2) prradí k dx = (dx,dy) = (.1,.1) hodnotu d f =.1 + f (x,y).1. (1,2) (1,2) f (x,y) x y 4

kde L(q 1,q 2,...,q M, q 1, q 2,..., q N ) e Lagrangeova funkca N zovšeobecnených súradníc q a k nm patracm N zovšeobecnených rýchlostí q. Tento funkconál sa vo fyzke nazýva a účnok. Uvedomme s, že pr zavedení (269) chápeme tento ako funkconál len q (t); q (t) sú už od nch odvodené závslé velčny. Hl adame varácu funkconálu S[ ], δs[q(t)] = lm = = δq(t) T T {S[q(t) + δq(t)] S[q(t)]} (271) dt ( L(q(t ) + δq(t ), q(t ) + δ q(t ) ) ( dt q δq(t ) + ) q δ q(t ) T dt ( L(q(t ), q(t )) ) (272) (273) kde sme v poslednom kroku využl fakt, že δq(t) e malá zmena, a preto môžeme v e okolí rozvnút Lagrangeovu funkcu do Taylorovho radu a ponechat len konštantný a lneárny člen. V poslednom výraze v druhom člene prevedeme ntegrácu per-partes, δs[q(t)] = = T T dt { q δq(t ) dt ( q d dt q ) δq(t ) + d ( q dt ( d dt ) δq(t ) + [ q δq(t ) ] T )} q q(t ) (274) (275) Nakol ko počatočná a konečná hodnota stupňa vol nost, q() a q(t ) sú pevne dané, uvažovaná varáca δq() = a δq(t ) = a preto posledný člen v rovnc (275) e nulový. Nakol ko až na teto okraové podmenky môžu byt δ q(t) l ubovolné, no prtom musí byt varáca (275) v extréme nulová, musí pre extremálnu traektóru q e (t) platt rovnca q d =, (276) dt q v ktore asne rozoznávame Lagrange-Eulerovu rovncu. Tento výsledok e všeobecný pre l ubovol ný funkconál v tvare (269), no v špecálnom prípade, ak e L = E K U pre systém tt, kde E K e celková knetcká energa a U celková potencálna energa, potom sa daná formuláca týka formuláce mechanky systému deálne tuhých teles. 3.9.3 Klascké varačné problémy Rotačné telesá s mnmálnym povrchom. Uvažume teleso, ktoré vznkne rotácou okolo os x funkce h(x) na ntervale x (x 1,x 2 ). Zauíma nás, aká má byt táto funkca, aby bol povrch výsledného obektu mnmálny ak h(x 1 ) = h 1 a h(x 2 ) = h 2 sú dané. Vyadríme s povrch telesa pre danú funkcu h(x), x2 S[h(x)] = dx2πh(x) (h ) 2 + 1. (277) x 1 Extrém funkconálu nádeme z Lagrange-Eulerove rovnce, L(h,h ) = 2πh(x) (h ) 2 + 1 (278) h L = 2π (h ) 2 + 1 (279) h L = 2πh(x)h (x) (28) (h ) 2 + 1 41

s výslednou rovncou d h(x)h (x) (h dx (h ) 2 + 1 ) 2 + 1 =. (281) Prekvapvo, táto rovnca má analytcké rešene (pomocou Hamltonove funkce...) ( ) x + c2 h(x) = c 1 cosh, (282) kde konštanty c 1 a c 2 sú určené súradncam koncových bodov, h(x 1 ) = h 1 a h(x 2 ) = h 2. Tvar zaveseného lana. Druhou úlohou e nást tvar lana so známou hmotnost ou na ednotku dĺžky µ, celkovou dĺžkou l, ktoré vsí v homogénnom gravtačnom pol, prčom eho konce sú uchytené v dvoch bodoch ktorých vzdalenost x1 2 + y2 1 < l. Velčna, ktorá bude nadobúdat extrém - mnmum - e celková potencálna energa lana, U = dlµgh(l), (283) kde h(l) e výška, v ktore sa nachádza element lana s dĺžkou dl. Tento ntegrál po krvke môžeme parametrzovat pomocou horzontálne súradnce x a výšky v ktore sa lano nachádza h(x), prčom element dĺžky bude (dh ) 2 dl = + 1dx. (284) dx Na kraoch x = a x = x 1 e poloha lana predpísaná, h() =, h(x 1 ) = y 1. Samotné funkce h(x) nemôžu byt celkom l ubovolné, ale také, aby celková dĺžka lana bola l, t.. musa spĺňat podmenku x1 (h (x)) 2 + 1dx l = (285) Túto bočnú podmenku zahrneme k problému hl adana mnma potencálne energe pomocou metódy Lagrangeových multplkátorov, takže nakonec hl adáme extrém funkconálu { ( x1 )} δ dx ((h (x)) 2 + 1)µgh(x) λ ((h (x)) 2 + 1)dx l =, (286) kde λ e Lagrangeov multplkátor zaručuúc predpísanú dĺžku lana l. Na posledný výraz sa môžeme pozret ako na Lagrangeovu funkcu c 1 L(h(x),h (x)) (287) kde x zodpovedá času a h stupňu vol nost v našom doterašom používaní Lagrangeovho formalzmu. Zodpovedaúca Lagrange-Eulerova rovnca potom nadobúda tvar d dx h h = (288) dl dh = µg (h ) 2 + 1 (289) dl dh = (µgh λ) d dh (h ) 2 + 1 = µgh λ (h ) 2 + 1 h (29) 42

s výslednou dferencálnou rovncou pre h(x), d µgh λ dx (h ) 2 + 1 h µg (h ) 2 + 1 =. (291) A táto rovnca má analytcké rešene (podobná ako vyšše), tento krát v tvare ( ) x + c2 µgh(x) = λ + c 1 cosh, (292) kde tr konštanty λ,c 1 a c 2 sú určené súradncam koncových bodov, h() = a h(x 1 ) = y 1, a požadovanou dĺžkou lana l. Brachstochrona. Posledný problém prestavue otázku traektóre po ktore sa pohybue bod v homogénnom gravtačnom pol z pokoa a výšky h = na h = d < tak aby u prešel za nakratší čas. Je rešením e krvka zvaná cykloda, no pre krátkost času sa tu týmto problémom zaoberat nebudeme. 3.9.4 Lagrangeova funkca pre mechatroncké systémy Uvažume elektroncký obvod pozostávaúc z kondenzátora a cevky - vnuta na motore, ktorý e prepoený s mechanckým motorom. Ukážeme s, že dynamka takéhoto systému e taká, aby nábo na kondenzátore Q(t) a uhol otočena φ(t) predstavoval extrém pre funkconál postavený z Lagrangeove funkce L(φ, φ,q, Q) = 1 2 I φ 2 + K Qφ + 1 2 L Q 2 1 Q 2 2 C c 1 (293) kde I e moment zotrvačnost motora, K e konštanta vystupuúca v momente sly od ednosmerného motora (233), C e kapacta kondenzátora a L ndukčnost motora. Posledné dva členy sú analógou rozdelu knetcke a potencálne energe v mechanke - v tomto prípade e to rozdel energe elektrckého pol a v kondenzátore a magnetckého pol a v motore. Lagrange-Eulerova rovnca pre φ nám dá už známu rovncu, I φ K Q = (294) Uvážením že Q = I(t), elektrcký prúd, nachádzame že táto rovnca zodpovedá prve z rovníc (243). Rovncu pre nábo nádeme rovnako l ahko, Q L = Q C, Q L = Kφ + L Q, d dt Q L = K φ + L Q (295) takže výsledná rovnca e K φ + L Q + Q C =. (296) Táto zodpovedá Krchhofovému zákonu pre tento obvod, t.. de o rovncu zodpovedaúcu (244). Z tohto ednoduchého príkladu vdet, že sly, ktoré sa z hl adska čsto mechancke sústavy zdal byt nepotencálové, môžu byt zahrnuté do Lagrangeovho formalzmu ak rozšírme počet stupňov vol nost, prčom teto zd aleka nemusa byt len geometrckým stupňam vol nost. Zároveň s všmnme, že konštanta K v oboch rovncach e nevyhnutne tá stá ne len z hl adska energetcke blance, ako sme vdel už skôr, ale vychádza pramo z edného nterakčného člena medz geometrckým a elektrckým stupňom vol nost v Lagrangeove funkc v tvare ΔL = K Qφ. 43