ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 1:5
Σελίδα από 11
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 11 / 6 / 18 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Γ ΓΕΛ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 99 Α. Α Ψ Β. Σχολικό βιβλίο Σελ 5 Για παράδειγμα η συνάρτηση f, 1, είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνήσια μονότονη όπως φαίνεται και στο σχήμα. Α. Σχολικό βιβλίο σελ 16 Α4. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε)σ ΘΕΜΑ Β 4 Β1. Είναι f (), Η f συνεχής στο f D ως πράξεις συνεχών. Η συνάρτηση f παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 4 8 8 f () 1, Σελίδα από 11
Το πρόσημο της f είναι με βάση το παρακάτω πίνακα 8 - + + - - + + - + 8 Άρα το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα f + - + f 1 1 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Στην θέση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f, και, ενώ είναι 8 4 Β. Η f () παραγωγίσιμη ως ρητή με f () 1 4 Είναι για κάθε f () άρα η f είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα, και, Β. Κατακόρυφη ασύμπτωτη θα αναζητήσουμε στο Επομένως Σελίδα 4 από 11
4 1 lim f lim lim 4 4 4 1 lim f lim lim 4 4 Άρα η ευθεία (ο άξονας yy ) κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. Πλάγιες Οριζόντιες θα αναζητήσουμε στο και στο Για να είναι η y,, ασύμπτωτη της C f στο (αντιστοίχως στο ) αρκεί τα όρια f lim και f lim και 4 lim f lim f f 4 lim lim lim lim 1 4 4 4 lim f lim lim lim Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της f στο 4 f Επίσης 4 lim lim lim lim 1 4 4 4 lim f lim lim lim Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της f στο να είναι πραγματικοί αριθμοί (αντιστοίχως Β4. Με βάση τα παραπάνω ερωτήματα η γραφική παράσταση της f είναι η παρακάτω : Σελίδα 5 από 11
4 f επομένως τέμνει τον άξονα στο σημείο A 4, ( ) 4 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι m, οπότε η πλευρά του θα είναι 4. Σελίδα 6 από 11
Το παριστάνει μήκος είναι αλλά και 8 που είναι το συνολικά μήκος του σύρματος, άρα 8. Επομένως το εμβαδον του τετραγώνου είναι Ε(). Με το υπόλοιπο του σύρματος 16 το οποίο είναι 8 κατασκευάζουμε τον κύκλο που έχει μήκος: Οπότε ο κύκλος έχει εμβαδόν: Το άθροισμα των εμβαδών είναι: Ε 8 L πρ 8 πρ ρ m π 8 8 8 Ε πρ π π π 4π 4π 8 π 48 π 464 16 16 4π 16π 16π π 56 64 4 16π π 4 64 56 16π 1 1 16π 8π,,8 Γ. Η E είναι παραγωγίσιμη με E π 4 64 π 4 με,8 Είναι 4 π και είναι, E E ενώ, 4 π E 4 π Άρα, είναι Eγνησίωςφθινουσα, και στο π 4 το π 4 Eγνησιωςαυξουσα,8 και η E παρουσιάζει ελάχιστο 1 64 16 E π 4 64 8 8 π 4 16 π 4 16π π π π 4 Η διάμετρος του κύκλου π 4 8 α δ 4 π 4 8 π 4 8 δ R και η πλευρά του τετραγώνου είναι π π 4 Σελίδα 7 από 11
Γ. Η Ε είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, π 4 άρα 16 16 E, E, lim Ε(), + π 4 π 4 π 4 π αφού 16 E π 4 π 4 και + + π 4 64 56 56 16 lim Ε() lim 16π 16π π Η Ε είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,8 π 4 άρα 16 E,8 E, lim Ε(),4 π 4 π 4 8 π 4 16 αφού E π 4 π 4 Είναι : π 4 64 56 π 4 8 64 8 56 lim Ε() lim lim 4 + 8 16π 8 16π 5 E, π 4 και Ε γνησίως φθίνουσα στο, π 4 άρα υπάρχει μοναδικό, π 4 E 5 ώστε Το 5 E, π 4 άρα δεν υπάρχει 1, π 4 Αρά υπάρχει μοναδικό, π 4 ώστε E 5 ώστε 1 E 5 ΘΕΜΑ Δ Δ1. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με a a f () e e, a a f () e e a f () e a a Σελίδα 8 από 11
Από πίνακα καμπυλότητας έχουμε : - α + f () + f () Κοίλη σ.κ. Κυρτή Η f κοίλη στο, a και κυρτή στο a, Για a f ( a) a με σημείο καμπής A, a Δ Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Υπολογίζουμε τα : ff.,, f a a ff ί,, f a a Καθώς lim ( ) lim f e a Επειδή η f ( ). a, Έχουμε 1 a a θα υπάρχει μοναδικό [ a, ) : f( ) ff ί Για a f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ίύ, 1 1 1 a f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ίί, 1 1 1 δηλαδή f γνησίως φθίνουσα f ( ) f ( ) f ( ) f ίί 1, f ( ) f ( ) f ( ) άρα η f γνησίως αύξουσα Άρα η f παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο για 1 f παρουσιάζει μοναδικό ελάχιστο για, Δ.Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, με f ( ) και f 1 (1) e 1 Σελίδα 9 από 11
Είναι 1 1 e 1 e Θεωρούμε 1 ( ) e, 1 Η συνάρτηση K ( ) δύο φορές παραγωγίσιμη με 1 Και k( ) e 1, Άρα k ( ) γνησίως αύξουσα στο 1, Αν 1 τότε K( ) K(1) Άρα K γνησίως αύξουσα 1 k( ) k(1) k e 1 ( ) Άρα ka ( ) δηλαδή f ( a) f (1) οπότε εξίσωση f ( ) f (1) αδύνατη στο a, Δ4. Αν α = Τότε έχουμε : f ( ) e, f '( ) e, Η f παρουσιάζει καμπή στο σημείο Α(, ) στο οποίο η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : y f () f '() ( ) y H f κυρτή στο[, ). Άρα f ( ) y ή f() -+, H ισότητα ισχύει μόνο για Είναι για κάθε οπότε : f ( ) ( ) f ( ) d ( ) d I ( ) d Θέτουμε y y d ydy Αν τότε y Αν τότε y 1 1 I ( y ) y dy 1 4 ( 4 4 ) y y dy Σελίδα 1 από 11
1 5 y y 4 4 4 4 5 5 15 Άρα f ( ) d 15 Σχολιασμός θεμάτων Μαθηματικών ΟΠ από το Ακαδημαϊκό τμήμα Τα θέματα κρίνονται απαιτητικά. Το δεύτερο θέμα είναι σχετικά εύκολο και μάλλον αναμενόμενο. Το τρίτο θέμα είναι γεωμετρικό πρόβλημα το οποίο απαιτούσε γνώσεις προηγούμενων τάξεων και είχε κλιμακούμενη δυσκολία. Τέλος, το τέταρτο θέμα κρίνεται εξαιρετικά δύσκολο. Σελίδα 11 από 11