OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika i visine valjka 2: 5. Izračunati površinu omotača i zapreminu valjka. Rešenje: M = 80π, V = 160π 3. Visina valjka je 5. Kada se njegov omotač razvije u pravougaonik, dijagonala tog pravougaonika je 13. Izračunati površinu i zapreminu tog valjka. Rešenje: r =, P = 60 +, V = 4. Osni presek valjka je kvadrat površine 144. Kolika je površina, a kolika zapremina valjka? Rešenje: r = 6, H = 12, P = 216π, V = 432π 5. Površina valjka je 28π, a razlika visine i poluprečnika osnove valjka je 3. Odrediti zapreminu valjka. Rešenje: r = 2, V = 20π Zadaci za samostalni rad : D1 Zapremina valjka je 1000π, a njegova visina 10. Izračunati površinu valjka Rešenje: P = 152π D2 Površina valjka je 1400π cm. Naći njegovu visinu ako je poluprečnik osnove 10 cm. Rešenje: 60 cm D3 Površina osnog preseka valjka je iznosi 16 cm. Izračunati površinu valjka ako je poluprečnik osnove dva puta veći od visine. Rešenje: 48π cm D4 Poluprečnik osnove valjka je 3, površina omotača jednaka je površini osnove. Naći visinu valjka. Rešenje: D5 Površina valjka je 150π. Odrediti poluprečnik osnove i visinu valjka ak ose oni odnose kao 1: 2. Rešenje: 5 i 10 D6 Površina omotača valjka je 8π, a visina 2. Izračunati površinu i zapreminu valjka. D7 Zapremina pravog valjka je 16π cm, a odnos visine i poluprečnika osnove 2: 1. Izračunati površinu tog valjka. Rešenje: r = 2, H = 4 Ekonomsko-trgovinska škola Vuk Karadžić, Stara Pazova Strana 1
KUPA P = B + M B = r 2 π M = rπs V = BH 3 6. Kolika je površina kupe čija je visina 8, a izvodnica 10? Rešenje: r = 6, P = 96π 7. Odnos poluprečnika osnove i izvodnice kupe je 3: 4. Ako je površina omotača kupe 60π, izračunati zapreminu kupe. Rešenje: r = 6, H = 8, V = 96π 8. Visina kupe je 12, a izvodnica za 6 duža od poluprečnika osnove. Izračunati površinu omotača kupe. Rešenje: M = 135π 9. Izračunati površinu i zapreminu kupe, ako je njena izvodnica dužine 6 nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 45. Rešenje: H = 3 2, P = 18π 1 + 2, V = 18 2π 10. Površina osnog preseka kupe je 42. Ako je visina kupe 12, izračunati njenu površinu i zapreminu. Rešenje: r =, s =, P = 56π, V = 49π 11. Omotač kupe razvijen u ravni čini kružni isečak sa centralnim uglom 120, poluprečnika 1.5 cm. Odrediti zapreminu kupe. Rešenje: Zadaci za samostalni rad D1 Izračunati zapreminu kupe ako je njena visina 6, a izvodnica 7. Rešenje: V = 26π D2 Izračunati površinu i zapreminu kupe ako je poluprečnik osnove 3, a izvodnica 5. Rešenje: H = 4, P = 24π, V = 12π D3 Izračunati površinu i zapreminu kupe, ako je njena izvodnica dužine 6 nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 30. Rešenje: H = 3, P = 9π 3 + 2 3, V = 27π D4 Izračunati površinu i zapreminu kupe, ako je njena izvodnica dužine 6 nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 60. Rešenje: H = 3 3, P = 27π, V = 9 3π D5 Izračunati površinu i zapreminu kupe poluprečnika osnove 6, ako njena izvodnica sa ravni osnove gradi ugao od 30. Rešenje: P = 6π 6 + 4 3, V = 24 3π D6 Zapremina kupe je π cm. Ako je površina omotača tri puta veća od površine osnove, odrediti visinu kupe. Rešenje: 4 cm D7 Kada se omotač kupe razvije u ravni, dobija se četvrtina kruga poluprečnika 4 5. Odrediti zapreminu kupe. Ekonomsko-trgovinska škola Vuk Karadžić, Stara Pazova Strana 2
Rešenje: ZARUBLJENA KUPA P = B 1 + B 2 + M B 1 = r 2 1 π, B 2 = r 2 2 π M = (r 1 + r 2 )πs V = πh 3 r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 12. Dužine poluprečnika osnova prave zarubljene kupe su 4 i 7, a izvodnica 5. Odrediti njenu površinu i zapreminu. Rešenje: H = 4, P = 120π, V = 124π 13. Kod prave zarubljene kupe je r : r : s = 3: 11: 17, a zapremina V = 6520π. Naći njenu površinu. Rešenje: P = 1472π 14. Izračunati površinu omotača i zapreminu zarubljene kupe, ako njena osnovica obrazuje sa ravni donje osnove ugao od 60 a površine osnova zarubljene kupe su 25π i 64π. Rešenje: M = 78π, V = 129π D1 Izračunati površinu i zapreminu prave zarubljene kupe čije su dužine poluprečnika 2 i 6, a visina kupe 3. Rešenje: P = 80π, V = 52π D2 Izračunati površinu i zapreminu prave zarubljene kupe čiji je poluprečnik manje osnove 2, visina 15, a izvodnica 17. Rešenje: P = 308π, V = 620π D3 Izračunati zapreminu prave zarubljene kupe ako je površina njenog omotača jednaka zbiru površina osnova, a poluprečnici osnova dužina r = 3, r = 6. Rešenje: V = 84π D4 Površina zarubljene kupe je 506π, dužine poluprečnika osnova razlikuju se za 5, a dužina izvodnice je 15. Izračunati zapreminu kupe. Rešenje: V = 1348π D5 Poluprečnici osnova zarubljene kupe su 20 i 10. Izvodnica je nagnuta prema ravni osnove pod uglom od 45. Izračunati zapreminu te kupe. Rešenje: V = π SFERA I LOPTA P = 4ρ 2 π V = 4 3 ρ3 π 15. Površina lopte je 144πcm. Naći njenu zapreminu. Rešenje: r = 6, V = 288π cm 16. U kupu poluprečnika osnove 5 i visine 12 upisana je lopta. Naći zapreminu lopte. Rešenje: V = Ekonomsko-trgovinska škola Vuk Karadžić, Stara Pazova Strana 3
17. Oko lopte poluprečnika 3 opisana je zarubljena kupa. Jedna osnova kupe ima dva puta veću površinu od druge osnove. Izračunati zapreminu zarubljene kupe. Rešenje: V = 9π 2 + 3 2 18. Izračunati zapreminu lopte opisane oko kvadra čije su ivice a = 3, b = 4, c = 12 Rešenje: V = π D1 U jednakostraničnu kupu upisana je lopta. Izračunati zapreminu kupe, ako je zapremina lopte π Rešenje: V = 24π D2 Lopta površine 16π upisana je u zarubljenu kupu. Izvodnica kupe je prema ravni osnove nagnuta pod uglom od 60. Izračunati površinu omotača ove zarubljene kupe. Rešenje: M = π D3 Jednakostranična kupa je upisana u loptu. Izračunati površinu i zapreminu lopte, ako je izvodnica kupe dužine 3. Rešenje: P = 12π, V = 4 3π D4 Visina pravilne četvorostrane prizme je 2 cm, osnovna ivica 4 cm. Naći poluprečnik opisane sfere. Rešenje: 3 cm RAZNI ZADACI 19. Kraća stranica pravougaonika je 5, a dijagonala 13. Izračunati površinu i zapreminu tela koje nastaje rotacijom pravougaonika oko njegove duže stranice. Rešenje: P = 170π, V = 300π 20. Jednakokraki trapez sa paralelnim stranicama 7 i 15 i površinom 144 rotira oko svoje ose simetrije. Izračunati zapreminu dobijenog tela. Rešenje: V = 457π 21. Poluprečnik osnove valjka iznosi 6. Ako je dijagonala osnog preseka valjka 13, izračunati površinu i zapreminu pravilne trostrane prizme upisane u valjak. Rešenje: P = 144 3, V = 135 3π 22. Kupa je opisana oko pravilne četvorostrane piramide. Visina piramide je 7, a zapremina 70. Izračunati izvodnicu kupe. Rešenje: s = 8 D1 Naći površinu valjka opisanog oko kocke ivice 3. Rešenje: P = 9π 1 + 2 D2 U kupu je upisana trostrana piramida čije su osnovne ivice 13,12 i 5. Odrediti površinu omotača kupe ako je njena izvodnica 20. Rešenje: 340π D3 Osnovna ivica pravilne četvorostrane piramide je 4, a visina 6. U piramidu je upisana kupa. Izračunati zapreminu te kupe. Ekonomsko-trgovinska škola Vuk Karadžić, Stara Pazova Strana 4
Rešenje: 8π D4 Pravougli trougao sa katetom 5 i hipotenuzom 13 obrće se oko date katete. Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela. Rešenje: P = 300π, V = 240π D5 Obim jednakokrakog trougla je 16, a osnovica 6. Trougao rotira oko svoje ose simetrije. Izračunati zapreminu dobijenog tela. Rešenje: 12π Ekonomsko-trgovinska škola Vuk Karadžić, Stara Pazova Strana 5