Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu.

Transcript

1 Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole), Stjepan Mintaković, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo;. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole), Dr Marcel Šnajder, Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu. Izbor je napravljen u kratkom vremenu koje je proteklo od prvog prijemnog ispita u julu ove 007. godine, u ljetnoj pauzi u avgustu, tako da su mogući propusti. Molim buduće studente, koji uoče billo kakve propuste ili imaju korisne sugestije kako da se poboljša ovaj tekst, da me na to upozore. Prof. Dr. Behdžet Mesihović Sarajevo 31. avgust 007. Katedra za matematiku, programiranje,... Građevinski fakultet, Univerziteta u Sarajevu, behdzet_mesihovic@gf.unsa.ba 1

2 SADRŽAJ Razlomci... 3 Algebarski izrazi... 9 Kvadratne jednačine Jednačine sa apsolutnim vrijednostima Grafici kvadratne funkcije sa apsolutnim vrijednostima Logaritamske jednačine i nejednačine... 0 Primjena sličnosti... Površina ravnih figura... 3 Trigonometrija... 5 I Svođenje na prvi kvadrant... 5 II Trigonometrijske funkcije složenih uglova...6 III Trigonometrijske jednačine... 8 PRIMJERI PRIJEMNOG ISPITA NA RAZNIM FAKULTETIMA Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu (sa rezultatima), 003g, Fakultet za saobraćaj i komunikacije u Sarajevu , Grupa A i B,...33 Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Sarajevu ( ), Grupa A i B,...35 Građevinski fakultet u Sarajevo ,(sa rješenjimaq) Malo statistike sa prijemnog ispita na GF u Sarajevo , TESTIRAJTE SE ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE! PROGRAMI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE,... 47

3 Razlomci: Izračunati vrijednosti numeričkih izraza PRIMJEDBA:Ovdje je mješoviti broj = + =

4

5

6

7 Rješenja

8

9 Algebarski izrazi

10

11

12 Riješenja

13

14 18. 14

15 Kvadratne jednačine

16 Rješenja kvadratnih jednačina

17 Jednačine sa apsolutnim vrijednostima Rješenja jednačina

18 4. 18

19 Grafici kvadratne funkcije sa apsolutnim vrijednostima Rješenja

20 Logaritamske jednačine i nejednačine

21 Rješenja logaritamske jednačine i nejednačine

22 Primjena slićnosti Rješenja

23 Površina ravnih figura

24 Riješenja

25 Trigonometrija Rješenja 5

26 6

27 Rješenja 7

28 III Trigonometrijske jednačine 8

29 Rješenja 9

30

31 PRIMJER PRIJEMNOG ISPITA Elektrotehnički fakultet Uiverziteta u Beogradu,

32 3

33 Fakultet za saobraćaj i komunikacije, Univerziteta u Sarajevu Zadaci za Prijemni ispit ( ) Grupa A Broj zad. Tekst zadatka 1. Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina ( k+ 1) x + ( k + 1) x + k 1 = 0 ima dva rješenja oba negativna. Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:. a) x + 3 x < 5 ; b) 3x 5 > x 1. Ako je f ( x) f (1 x) = x, riješite trigonometrijsku jednačinu f(sin x + cos x) =. 6 U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 4 cm, 1 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački B 1, a stranicu CA u tački C 1. Izračunajte: a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu poluprečnika ρ kružnice K upisane tom trouglu; b) površinu P 1 novonastalog trougla AB C. 1 1 Napomena: - Svaki od zadataka se vrednuje na isti način - po maksimalno 10 bodova. Šifra kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova 33

34 Fakultet za saobraćaj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu Zadaci za Prijemni ispit ( ) Broj zad. Grupa B Tekst zadatka 1. Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jednačina ( k+ 1) x + ( k + 1) x + k 1 = 0 ima dva rješenja različitog znaka. Riješite u skupu realnih brojeva nejednačine:. a) x + 3 x > 5 ; b) 3x 5 < x 1. Ako je f (1 x) f ( x) = 1 x, riješite trigonometrijsku jednačinu f(sin x cos x) =. 6 U trouglu ABC čije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 4 cm, 1 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povučena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i siječe stranicu AB u tački B 1, a stranicu CA u tački C 1. Izračunajte : a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ; b) obim O 1 novonastalog trougla AB C. 1 1 Napomena: - Svaki od zadataka se vrednuje na isti način - po maksimalno 10 Šifra kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova bodova. Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radova Prijemnog ispita na Fakultetu za saobraćaj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu, akademske 007/008. godine 34

35 Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Broj zad. PRIJEMNI ISPIT ( ) Tekst zadatka Grupa A a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x) = x 5x + 4. Nakon toga riješiti svaku od nejednadžbi: 1. x 5x + 4 < 0, x 5x + 4 0, x 5x + 4> 0, x 5x b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da jednadžba kx ( k + ) x + k + 1 = 0 ima dva realna i različita rješenja koja pripadaju intervalu (0,5).. Riješiti sistem jednadžbi: log ( x + y ) + 1 = log 130 log ( x y) log ( x+ y) = log Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove: 3. z 1 5 =, 8i z 3 4 z z 8 = 1, gdje je i imaginarna jedinica. 4. Izračunati sve vrijednosti izraza sinα + cos β tgα ako je 3 α+ β= π isinα = U trokut čije stranice imaju dužine 4 cm, 1 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati obim novonastalog trokuta. Napomene: - Svi zadaci se vrednuju na isti način - po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni u 14 00, u zgradi Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS. Ime i prezime kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova 35

36 Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu PRIJEMNI ISPIT ( ) Grupa B roj zad. Tekst zadatka a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x) = x 4x + 3. Nakon toga riješiti svaku od nejednadžbi: 1. x 4x + 3 < 0, x 4x + 3 0, x 4x + 3> 0, x 4x b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da jednadžba kx k x k + ( 1) = 0 ima dva realna i različita rješenja od kojih tačno jedno pripada intervalu (0, 1). Riješiti sistem jednadžbi:. log ( x + y ) + 1 = log log ( x y) log ( x+ y) = 4log. Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove: 3. z 8i 3 =, z 1 5 z 8 z 4 = 1, gdje je i imaginarna jedinica. 4. Izračunati sve vrijednosti izraza tgα sin α +cos β ako je 3 α+ β= π i cosα = U trokut čije stranice imaju dužine 4 cm, 1 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povučena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izračunati površinu novonastalog trokuta Napomene: - Svi zadaci se vrednuju na isti način - po maksimalno 8 bodova. - Rezultati prijemnog ispita bit će objavljeni u 14 00, u zgradi Elektrotehničkog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS. Sarajevu, školske 007/008. godine Ime i prezime kandidata Broj bodova po zadacima Ukupan broj bodova 36

37 GRAĐEVINSKI FAKULTET, Sarajevo ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Svaki zadatak ima četeri ponuđena odgovora: a, b, c, d. OBAVEZNO : 1. riješite postavljeni zadatak, a zatim. zaokružiti SAMO tačan rezultat. SMATRA SE DA NISTE RIJEŠILI TAJ ZADATAK, ako: (i) zaokružite netačan rezultat ili više od jednog ponuđenog rezultata (a, b, c, d), (ii) ne zaokružite nijedan od odgovora (a, b, c, d), (iii) samo zaokružite tačan rezultat a da niste zapisali rješenje. (iv) 1. ZADATAK Nejednačina: ( m 1) x + mx+ m 0 važi za sve realne x, ako je:. ZADATAK a) 0 m 1 b) m 0 c) m 1 d) m 1 Neka se na horizontalnom terenu iz tačke A toranj visok 30m vidi pod uglom od 6 π. Da bi se iz iste tačke toranj vidio pod uglom od 3 π trebao bi biti visok: a) 60m b) 75m c) 90m d) 60 3.ZADATAK Ako je je hipotenuza c = 4, a za mjerne brojeve oštrih uglova vrijedi α : β = 1 : 3, tada je površina pravouglog trougla: a) ( 1) ; b) 3 ; c) 5+ 1; d). 4.ZADATAK Osnovica ravnokrakog trougla je a = 5, a krak b = 10. Tada je poluprečnik opisanog kruga oko trougla: 5. ZADATAK Izraz: ima vrijednost: a) 3 5 ; b) : x y x+ y x+ y x y x y y xy ( ) ( ) ; c) ( ) ; d) a) 4; b) xy + 3; c) ; d) xy ZADATAK Ako je: 63 π 7 π cos α=, α 0, i cos β=, β 0,,

38 tada je α+β jednako: a) 45 0 ; b) 90 0 ; c) 60 0 ; d) Korisne formule: 1+ cosθ 1 cosθ cos θ =±, sin θ =±, cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y. U pravouglom trouglu čije su katete a i b, a hipotenuza c: sinα = a c, cosα = b c RJEŠENJA 1.Zadatak Kvadratni trinom f(x) = ax +bx + c ne mijenja znak ako je diskriminanta D = b ac 0, tj. Dakle, ( ) ( ) ( ) (f ( x) 0 ( D 0 a < 0 )) x R (f x 0 D 0 a > 0 ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( x R m 1 x + mx+ m 0) D = m m 1 m = m 0 m 1< 0 m 0. x x R m 1 x + mx+ m 0 m m 0. Drugi način (S. Dolarević): ( )( ) ( x+ 1).Zadatak Neka je x = CA i tražena visina tornja H = CB, tada je: x = hctg30 0 =30 3, H = xtg600 = = 30.3= 90 m. h C A CAB1=30 0, CAB=60 0 CAB1=30 0, CAB= Zadatak Iz α : β = 1 : 3, izlazi β = 3α, tako da iz osobine zbira oštrih uglova u pravouglom trouglu α + β = 90 0, izlazi 4α=90 0, tj. α=

39 Katete pravougli trougao ABC su (nacrtati sliku) : a = csinα, b = c cosα, te je površina tog trougla 4.Zadatak P = ab = csinα c cosα = c sin 4 α = =. Iz pravouglog trougla BDS ( čiji su vrhovi (nacrtati sliku): B vrh na osnovici a =BC ravnokrakog trougla ABC, D je podnožje visine h = AD, povučene iz vrha A na osnovicu BC, dok je S centar opisanog 1 kruga oko ravnokrakog trougla ABC), čije su katete a i h r, a hipotenuza r, izlazi h = AD = a 5 15 b = ( r je poluprečnik kruga opisanog oko trougla ABC ) r = (h - r) + a, tj. hr = a h + ( = b ). Dakle r = b 4 15 =. h 3 5.Zadatak Kako je: ( x y( x+ y) ) ( x y( x+ y) ) ( x y( x+ y) ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ( )) 3 3 x + y y xy x+ y x xy+ z 1 y x y xy A = :( x y ) + =. + x+ y x+ y x y x+ y x y x+ y x y x+ y x xy+ z xy y x y = + = = 1, 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 B= = = = 3, tako da je I = A+B=4. 6.Zadatak Za oštre uglove α i β izlazi(ispred korjena uzet znak plus zato što je α oštar ugao): cosα = 1+ cos α = 1 =, sin α = 1 cosα =, 1+ = 65 65, 7 9 sin β= 1 cos β= 1 = cos α + β = cosαcos β sinαsin β = = = Zato je: ( ) π π 135 iz 0, i 0, slijedi 0,. 0 tj. α+β= α β α+β ( π) 39

40 MALO STATISTIKE - Uspješnost rješavanja pojedinih zadataka (tj. broj kandidata koji su riješili pojedine zadatke): Zadatak br Nijedan zad. Rijšilo kand. --%(0d 141) Uspješnost kandidata po ukupnom broju rješenih zadataka: Rješili ukupno zadataka kandiddata % (od 141 kand.) Gornje tabele sve kažu o nevjerovatno lošem predznanju kandidata: najlakši zadatak br. 5 (operacije sa razlomcima : elementarna algebra i aritmetika) riješilo je 35 (slovima tridesetpet, tj. samo 5% od 141 kandidata ), nepoznavanje trigonometrije je još gore (zadaci, 3, 6 ). Navodim nekoliko rariteta iz radova kandidata koji se ne vide iz priloženih tabela: 1. formule za površinu trougla koje se koriste u 3. zadatku. : c + ( α+β) c b b a+ b P =, P= a+ b,p =,P=, 3. Pitagorina formula za pravougli trougao c = b a, gdje je c hipotenuza i a, b su katete pravouglog trougla; 3. u. zadatku jedan kandidat koristi proporciju H: h = α : β, te je tražena visina tornja 0 α 60 H = h = 30 = 60; 0 β biseri iz aritmetike vezani za 5. zadatak: = = 30, tj. treba da je tačno x+ y= xy , ili analogan rezultat : =... 40

41 Testirajte se za prijemni ispit iz matematike! Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka! Ime: Prezime: 1. Vrednost izraza. Za a=30 i b=6 vrednost izraza je: 3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) duľina osnovice AB=10, a duľina krakova AC i BC iznosi 13. Zbir duľina sve tri visine trougla ABC je: 41

42 4. Ako je, onda vrednost izraza pripada intervalu: 5. Za svako realno x razlomak je jednak: 6. Sfera S1 poluprečnika upisana je u kocku ivice 1, a sfera S poluprečnika je opisana oko te kocke. Zbir je: 7. Vrednost izraza je: 4

43 -1 nijedan od ponuđenih 1 i -i 8. Ako je i, onda je : Zbir svih rešenja jednačine je: 10. Proizvod svih rešenja jednačine je: Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela čije se površine odnose kao 7:5. Odnos manje i veće osnovice trapeza je: 43

44 1:3 1:5 1:4 1:6 1: 1. Skup svih vrednosti realnog parametra za koje su rešenja kvadratne jednačine negativna je podskup skupa: 13. Jednačina na segmentu : ima tačno 1 rešenje ima više od 4 rešenja ima tačno rešenja nema rešenja ima 4 rešenja 14. Broj rešenja jednačine je: bar Zapremina paralelepipeda čije su sve strane rombovi stranice i oštrog ugla jednaka je: 44

45 16. Rastojanje između tangenti na hiperbolu koje su normalne na pravu je: 17. Zbir svih vrednosti realnog parametra za koje sistem, ima jedinstveno rešenje je: Ako je i, tada je jednak: 45

46 19. Osoba A trči stalnom brzinom po kruľnoj putanji i obiđe je za 40 sekundi. Osoba B trči u suprotnom smeru stalnom brzinom i mimoiđe se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi B obiđe putanju? Broj presečnih tačaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj tački tog sedmougla je:

47 Programi za prijemni ispit iz Matematike 1. Osnovne logičke operacije. Pojam funkcije.. Racionalni algebarski izrazi. Polinomi. 3. Linearna funkcija. Linearne jednačine i nejednačine. Sistemi linearnih jednačina i nejednačina. 4. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednačine i nejednačine. Sistemi kvadratnih jednačina. 5. Algebarske i iracionalne jednačine i nejednačine. 6. Pojam logaritma. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Logaritamske i eksponencijalne jednačine i nejednačine. 7. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednačine i nejednačine. Primena trigonometrije na trougao i mnogougao. 8. Kompleksni brojevi. 9. Analitička geometrija u ravni (prava, krug, elipsa, hiperbola i parabola). 10. Planimetrija (prvenstveno geometrija trougla, četvorougla i kruga). 11. Stereometrija (prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa, zarubljena kupa, sfera i delovi sfere). 1. Binomna formula. Aritmetička i geometrijska progresija. 13. Pojam granične vrednosti. Izvod i primjena izvoda. 47