AKTIV PROFESORA MATEMATIKE

Transcript

1 SSR RE ED DN NJJE E ŠŠK KO OL LE ER RE EPPU UB BL LIIK KE E SSR RB BIIJJE E PPO OD DR RU UČ ČJJE ER RA AD DA A PPO OL LJJO OPPR RIIV VR RE ED DA A PPR RO OIIZ ZV VO OD DN NJJA A II PPR RE ER RA AD DA AH HR RA AN NE E A AK KT TIIV V PPR RO OFFE ESSO OR RA AM MA AT TE EM MA AT TIIK KE E Z B I R K A Z ZA AD DA AT TA AK KA AZ ZA A PPR RIIPPR RE EM MU UU UČ ČE EN NIIK KA AZ ZA AR RE EPPU UB BL LIIČ ČK KO O T TA AK KM MIIČ ČE EN NJJE E IIZ ZM MA AT TE EM MA AT TIIK KE EU U PPO OD DR RU UČ ČJJU UR RA AD DA A ZZbbiirrkkuu uurreeddiioo LLjjuubboom miirr M Miilleennkkoovviićć pprrooffeessoorr m maatteem maattiikkee uu PPoožžaarreevvccuu ŠŠkkoollsskkaa // ggooddiinnaa

2 PREDGOVOR Profesori zaposleni u srednjim stručnim školama kao što su poljoprivredno prehrambene, veterinarske, šumarske davno su uočili da takmičenje matematičara u organizaciji Ministarstva prosvete i Društva matematičara Srbije ili Arhimedes-a nisu prihvatljiva za učenike ovih škola jer, sa postojećim fondom časova i prema sadržaju nastavnih programa, oni su u podređenom položaju u odnosu na učenike iz gimnazija i tehničkih škola Učešćem na ovim opštim takmičenjima u ranijim godinama je kao rezultat imalo razočarenje učenika poljoprivrednih škola što je dalje značilo njihovo odbijanje da se pripremaju i učestvuju na takmičenjima Iz ovih razloga 976 godine na inicijativu g-dina Dušana Alavanje, tadašnjeg profesora matematike Poljoprivredno-prehrambenog školskog centra "Sonja Marinković" u Požarevcu, ova škola i Republički zavod za unapređenje vaspitanja i obrazovanja iz Beograda organizovali su Prvo takmičenje matematičara poljoprivrednih vodoprivrednih, šumarskih i cvećarskih škola Srbije van pokrajina Pokazalo se da je ovakvo takmičenje dobro jer učenici veoma sličnih znaja i sposobnosti, a koji proučavaju slične nastavne oblasti međusobno odmeravaju svoju oštroumnost pri rešavanju matematičko-logičkih zadataka što sve učenike ovih škola motiviše da dodatno rade na proučavanju matematike i razvijanju apstraktnog mišljenja Sem toga organizovanje ovih takmičenja je dobar povod i dodatna prilika za dobru stručnu saradnju matematičara, ali i drugih nastavnika iz ovih škola Ovo takmičenje se sada održava pod nazivom Republičko takmičenje učenika iz matematike u području rada poljoprivreda, proizvodnja i prerada hrane Kao rezultat saradnje na organizovanju ovog takmičenja došlo se do ideje da se priredi ovakva zbirka koja treba da pomogne učenicima da se pripreme za takmičenje, ali i da dodatno usavršavaju svoje znanje u okviru redovnog školovanja Istovremeno zbirka je okvir za izbor zadataka po modelu i težini pri organizaciji takmičenja Zbirka sadrži za svaki razred po tema zajedničkih za sve obrazovne profile u području rada Izbor zadataka je dat od strane profesora članova Aktiva matematičara u području rada poljoprivreda proizvodnja i prerada hrane Pri tome je korišćena odobrena nastavna literatura, zbirke za pripremanje prijemnih ispita na fakultetima, zbirke sa nekih drugih takmičenja, ali i zadaci koje su sastavljali sami nastavnici Ove godine je zbirka dopunjena zadacima za III razred Neke teme ili delovi tema su pomereni iz II u III razred zbog promene nastavnog plana i programa Zbog kratkog vremena za uređivanje zbirke i načina izbora zadataka od više nezavisnih predlagača moguće je ponavljanje sličnih pa čak i identičnih zadataka Takođe su moguđe i tehničke greške Zbog svega toga unapred se zahvaljujem svima koji mi pošalju primedbe i sugestije u smislu poboljšanja zbirke Za sledeću školsku godinu zbirku treba dopuniti zadacima za četvrti razred pa je u tom smislu poželjno predlagati i nove zadatke Na sledećoj strani je sadržaj sa linkovanim nazivima koji će vam olakšati pretragu zbirke ako je koristite u elektronskoj formi Zahvaljujem se svim kolegama koji su do sada priložili materijal i svima koji mi budu poslali svoje mišljenje o zbirci i predlog ispravke ili dopune Ljubomir Milenković

3 SADRŽAJ Predgovor PRVI RAZRED Realni brojevi Skupovi Primena proporcije 7 Račun smeše i procentni račun 9 Rastavljanje polinoma na činioce 9 6 Operacije sa algebarskim izrazima (razlomcima) 7 Geometrija 8 Linearna jednačina 9 Primena linearnih jednačina Logički zadaci DRUGI RAZRED Sistem linernih jednačina 6 Pravila stepenovanja 7 Korenovanje i racionalisanje imenioca 9 Kompleksni brojevi Kvadratna f-ja 6 Kvadratne j-ne i primene 7 Vietove formule i priroda rešenja kvadratne jednačine 8 Kvadratna nejednačina 9 Trigonometrija pravouglog trougla Logički zadaci TREĆI RAZRED Eksponencijalna f-ja i eksponencijalne j-ne 9 Logaritamska f-ja i logaritmovanje, logaritamske jednačine 9 Trigonometrijske f-je proizvoljnih uglova Sinusna i kosinusna teorema Analitička geometrija u ravni 6 Poliedri 7 Obrtna tela 8 Nizovi 6 9 Sistemi jednačina i primene 7 Logički zadaci 9 ZADACI SA ODRŽANIH TAKMIČENJA I razred 99 godine u Požarevcu II razred 99 godine u Požarevcu III razred 99 godine u Požarevcu IV razred 99 godine u Požarevcu I razred 8 godine u Požarevcu 6 II razred 8 godine u Požarevcu 6

4 PRVI RAZRED Realni brojevi Izračunavanje brojevnih izraza, prevođenje broja iz decimalnog periodičnog zapisa u razlomak, iracionalni brojevi Izračunaj tačnu vrednost izraza : : 8 Izračunaj tačnu vrednost izraza : : 8 Izračunaj tačnu vrednost izraza 6,7 :,8 :, Izračunaj tačnu vrednost izraza M a ( b c) a = : ; b = : = ako je ; Izračunaj tačnu vrednost izraza M a b c ( a b) 6 Ako je 7 Ako je =, c = : = : ako je a = ; b =,; c =, = izračunaj tačnu vrednost izraza A = 6 y izračunaj tačnu vrednost izraza A =,, y, ( y) 8 Ako je y = izračunaj A =, y 9 Dati su brojevi a = : ; b = : ; c = : Poređaj brojeve po vrednosti od najmanjeg do najvećeg Izračunaj tačnu vrednost izraza A = 6,6 7 8 Izračunaj tačnu vrednost izraza A =, školska / godina - -

5 Izračunaj tačnu vrednost razlike brojeva a =, i b =, Izračunaj tačnu vrednost zbira brojeva a =,666 i b =,666 Dati su brojevi a =,; b= ; c= napiši u obliku razlomka broj a, a 6 zatim izračunaj tačnu vrednost izraza = a c b A = : Izračunaj tačnu vrednost izraza ( ) 6 Dati su brojevi =,; y= ; z= napiši u obliku razlomka broj, a zatim izračunaj tačnu vrednost izraza A = y z A = 8 : 7 Izračunaj tačnu vrednost izraza ( ) A = 8 : 8 Izračunaj tačnu vrednost izraza ( ) A = : 7 9 Izračunaj tačnu vrednost izraza ( ) Izračunaj tačnu vrednost izraza a = 7 a = 6 6 Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( ) ( ) a = Izračunaj tačnu vrednost izraza ( )( ) ( ) Izračunaj tačnu vrednost izraza A = ( )( ) Izračunaj tačnu vrednost izraza A = ( 8 7 )( ) ( 6 )( 6 ) Izračunaj tačnu vrednost izraza A =, ( )( ) 6 Izračunaj tačnu vrednost izraza A =,7 8 Skupovi Osnovne skupovne operacije Prebrojavanje konačnih skupova 7 Anketirano je građana da li su putovali u neku od tri države: Italiju, Francusku ili Grčku Rezultati ankete su sledeći: Grčku je posetilo građana, Francusku, Italiju Grčku i školska / godina - -

6 Francusku je posetilo, Grčku i Italiju, Italiju i Francusku, a jedan građanin je posetio sve tri države Koliko anketiranih građana nije posetilo ni jednu od navedenih zemalja? 8 Na kontrolnoj vežbi iz matematike učenici jednog odeljenja rešavaju zadatka Prvi zadatak je rešilo 8 učenika, drugi je rešilo 6, a treći 7 Prva dva zadatke je tačno uradilo 9 učenika, prvi i treći su znala učenika, učenika je rešilo drugi i treći, a sva tri zadatke je rešilo 7 učenika Jedan učenik nije rešio ni jedan zadatak Koliko učenika je je radilo kontrolnu vežbu? 9 Na poljoprivrednom dobru ima oglednih parcela, koje se đubre đubrivima A,B ili C Đubrivo A baca se na parcele, B i C na parcele, a A i B na 7 parcela Samo C baca se na 8 parcela Samo dve vrste bacaju se na parcela, a sve tri vrste na parcele Na koliko se parcela ukupno baca đubrivo B, a na koliko C? U školskom izveštaju dati su podaci o sportskim aktivnostima učenika: % učenika igra košarku, % igra rukomet, % rukomet i fudbal, % se bavi sa sva tri sporta Za fudbal nije zainteresovano %, % igra fudbal ali ne i košarku, % igra rukomat a ne košarku a) Koliko % učenika se ne bavi ni jednim navedenim sportom? b) Koliko % se bavi samo jednim od tri navedena sporta? Na republičkom takmičenju poljoprivrednih škola svaki ud učesnika govori bar jedan od tri strana jezika: francuski, engleski ili ruski Ruski govori 7 učesnika, ruski i francuski 8, engleski i francuski, a Pet učesnika govori samo francuski Samo dva strana jezika govori 9, a sva tri jezika govori učesnika Koliko učesnika govori samo engleski jezik, a koliko njih ne govori francuski? U jednom prevodilačkom birou radi prevodioca Među njima: govori ruski, govori engleski 9 govori francuski, govori ruski i engleski, 7 govori francuski i ruski, a 9 govori francuski i engleski a) Koliko prevodioca govori sva tri jezika? b) Koliko njih govori samo ruski? U jednom odeljenju od učenika odgovaralo je: 9 učenika matematiku, 7 fiziku, istoriju, matematiku i istoriju, fiziku i istoriju, a dva učenika je odgovaralo sva tri predmeta a) Koliko učenika je odgovaralo tačno od tri navedena predmeta? b) Koliko učenika je odgovaralo tačno jedan od navedenih predmeta? Ako je: A B C = {,,,,,6 }; ( A B) ( A C) = ; A B = { } C \ B = {,} i ( A B) \ C = { 6} odredi elemente skupova A, B i C \,,, ; U grupi od učenika svako od njih se bavi jednom od sportova košarka, fudbal, rukomet i to: se bavi svim sportovima, sebave košarkom i rukometom, se bave fudbalom i rukometom, a se bavi fudbalom i košarkom Fudbalom se bavi 7, a samo košarkom učenika Koliko se učenika bavi samo rukometom? 6 U školi ima 6 nastavnika Od tog broja njih 9 pije kafu, 8 pije čaj, 6 pije i čaj i kafu Ima li nastavnika koji ne piju ni čaj ni kafu? 7 U jednoj porodici bilo je mnogo dece Sedmoro od njih volelo je kupus, šestoro šargarepu, petoro krompir Četvoro je volelo kupus i šargarepu, troje kupus i krompir, dvoje šargarepu i krompir A samo jedno dete je volelo i kupus i šargarepu i krompir Koliko je ukupno bilo dece u toj porodici školska / godina - 6 -

7 8 Dat je skup S={,,,,,, } Odredi skupove: A = S S i y B = y y S y S Zatim odredi i skupove: A B, A B, A \ B, B \ A, A B, Ρ A \ B ( ) 9 U jednoj školi svaki od učenika uči bar jedan od stranih jezika: engleski, francuski ili ruski Ruski jezik uči 7 učenika, ruski i francuski 8, engleski i francuski a učenika uči samo francuski Samo dva strana jezika uči 9 učenika, a sva tri učenikakoliko učenika govori samo engleski? Koliko učenika ne uči francuski jezik? U košarkaskom timu igra bekova, centra i krila Na koliko načina se može sastaviti prva petorka, ako u njoj moraju da budu bar beka i bar centar? Primena proporcije Produžene proporcije, račun podele, složen srazmerni račun Ako kg šećera vredi koliko kg soli, a kg soli kao kg brašna koliko kg brašna vredi kao 8kg šećera? Šest svezaka košta isto koliko i 7 gumica, a sveske kao olovke Koliko gumica vredi kao 9 olovaka? Koliko je puta veličina a veća/manja od b ako je b : c = : i veličine) c 7 =? (a, b, i c su pozitivne a Ako je je a, puta veće od c, a c je, puta manje od b, koliko je puta a veće/manje od b? (a, b, i c su pozitivne veličine) Podeliti 8 din na tri dela, tako da se ti delovi budu obrnuto proporcionalni brojevima, i 6 Četiri učenika: Jelena, Dragan, Ivan i Marko su na takmičenju iz matematike ostvarili dobar rezultat pa su nagrađeni sa ukupno 6 dinara, Iznos nagrade treba da podele srazmerno broju osvojenih poena na takmičenju Koliko je svako od njih dobio ako je Jelena osvojila 86, Dragan 8, Ivan 7, a Marko 68 poena? 7 Ružica, Olgica, Dragana i Toma dobili su na lotou dinara i dobitak podelili srazmerno ulozimaolgicin ulog prema Tominom se odnosi kao :, dok je Ružica uložila puta manje od DraganeTomin ulog prema Draganinom je : Koliko je dobio svako od njih? 8 Trgovina je nabavila kg banana, kg narandži, kg limuna i 7kg jabuka Prevozniku je za transport ukupne količine voća plaćeno 7dinara Koliki je transportni trošak za svaku od četiri vrste voća ako su troškovi srazmerni količinama voća? 9 Neki posao 6 radnika mogu da završe za dana Za koliko dana će biti završen ceo taj posao ako posle dva dana dođe još tri radnika i svi nastave da rade pod istim uslovima? Pumpa izvuče za 8 minuta 8hl vode sa dubine od m Za koje će vreme ista pumpa izvući 6hl vode sa dubine od m? Planirano je da radnika izvrši popis robe za dana radeći 8 časova dnevno Međutim, drugog dana, zbog bolesti, na posao ne dođu radnika, pa se ostali dogovore da svaki dan rade sata duže Da li je popis završen na vreme? školska / godina - 7 -

8 Za izradu komada letnjih odela treba m tkanine, širine cm Koliko metara tkanine treba za izradu komada odela, ako je tkanina širine cm? Radeći dnevno po 6 časova radnika završi neki posao za dana i za to primi 9 dinara Koliko dana treba da rade radnika ako rade po 8 časova dnevno da bi zaradili 6 dinara? Račun smeše i procentni račun Napravi,% rastvor NaOH za dezobarijeru dimenzija: dužine 8m, širine,m i dubine cm Koliko je potrebno rastvora, koliko natrijum hidroksida (NaOH), a koliko vode Koliko vode treba dodati u ml 8% rastvora soli da bi se dobio rastvor koncentracije %? 6 Sveže pečurke sadrže 9% vode, a suve % Koliko se suvih pečuraka može dobiti od kg svežih? 7 Sveze pečurke sadrže 88% vode, a suve % vode Koliko svežih pečurki je potrebno da bi se dobilo 8 kg suvih pečurki? 8 U tri prodavnice cena jedne košulje je bila ista U Vanjinoj prodavnici košulja je prvo poskupela %, a zatim pojeftinila za isti procenat Kod Cveleta je ista takva košulja prvo pojeftinila %, a zatim poskupela za isti procenat Boško u svojoj prodavnici nije menjao cene U kojoj prodavnici je ta košulja sada najjeftinija, a u kojoj najskuplja? 9 Roba je poskupela %, a zatim pojeftinila % a) Koliko procenata se promenila cena u odnosu na prvobitnu? b) Ako je sada cena te robe 8 dinara kolika je bila prvobitna cena? 6 Roba je poskupela % a) Kolika je nova cena ako je prvobitna bila dinara? b) Koliko % sada treba da pojeftini ta roba da bi se dobila prvobitna cena? 6 Sveže grožđe sadrži 8% vode a suvo % a) Koliko treba svežeg grožđa da bi se dobilo 8kg suvog? b) Koliko se dobija suvog od kg svežeg grožđa? 6 Robi je snižena cena za % i sada iznosi 6 dinara Kolika je bila stara cena te robe? 6 Trgovinsko preduzeće želi da pomeša kg pirinča po ceni od 8, dinara sa izvesnom količinom pirinča od po 8,6 dinara po kilogramu tako da kilogram mešavine košta 8, dinara za kilogram Koliko treba uzeti pirinča po ceni od 8,6 din/kg? 6 Sastaviti litara vina jačine % od vina jačine,8% i vina jačine 8,% Koliko litara vina treba uzeti od svake vrste vina? 6 Koliko je potrebno kiseline, a koliko vode da bi se napravilo litara % rastvora kiseline? 66 Odredi koncentraciju soli (u %) u rastvoru koji se dobije kada pomešamo, kg soli sa 8, kg vode 67 Od dugog čuvanja ječam gubi u prvoj godini od svoje težine %, a za svaku narednu gubi po % od težine Koliko ostane ječma od tona nakon godine? 68 Za koliko procenata se promeni površina pravougaonika ako mu se dužina poveća za %, a širina smanji za %? 69 Cena neke robe smanjena je za % Za koliko procenata treba povećati novu cenu da bi se dobila prvobitna cena? školska / godina - 8 -

9 7 Jedna knjiga je % skuplja od druge knjige Za koliko procenata je druga knjiga jeftinija od prve knjige? 7 Koliko litara vode treba sipati u 8 l špiritusa jačine 9% da bi se dobio špiritus jačine 8%? 7 U posudi je bilo ml 6% rastvora soli Posle izvesnog vremena, zbog isparenja, u posudi je ostalo ml rastvora Kolika je procenata soli u novom rastvoru? Rastavljanje polinoma na činioce 7 Rastavi polinome na činioce: a) 9 7 y b) 7 Rastavi polinome na činioce: a) 9 y z b) 7 Rastavi polinome na činioce: a) 9a ab b b) a a c) 76 Rastavi polinome na činioce: y y c) 8y y c) 6 a 6a 9 b a) 9a 9b b) ab 8a ac c) a a b 77 Rastaviti date polinome na činioce: a) b) 78 Rastaviti date polinome na činioce: y z y a) b) Rastaviti date polinome na činioce: a) 8 Rastavi na činioce a) y b) ; b) 8 Rastaviti date polinome na činioce: y y a) 7 b) 8 Rastaviti date polinome na činioce: a) y y b) 8 Rastaviti polinome na činioce: 6 a) 7 y y y y b) ( ) 9( y ) 8 Rastaviti polinome na činioce a) a b c bc b) 8 Rastaviti polinome na činioce a a b b) 7 7 a) ( ) ( ) 8 c) 8 ( ) školska / godina - 9 -

10 86 Rastaviti polinome na činioce a) a b c abc b) y y c) 9 6 Operacije sa algebarskim izrazima (razlomcima) 87 Srediti izraz ( ) ( ) 8 88 Uprosti algebarski izraz i odredi uslov definisanosti 6y 6y 89 Uprosti algebarski izraz i odredi uslov definisanosti y y 9 Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti a b : a ab b a 6b a b 9 Uprosti algebarski izraz a : ; a a a ; a 9 Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti : 9 Uprosti izraz a a a : a a a a a a ; a {,, } a a 6 a 9 Uprosti algebarske izraz i odredi uslov definisanosti a a y y 96 Uprostiti izraz: : y y y y 97 Uprostiti izraz: ab a : b b b b b 98 Sredi izraz y y 99 Uprostiti izraz : y y y y y Odredi realne parametre a, b i c tako da su identički jednaki polinomi P 9 6 Q = a b c ( ) = i ( ) ( )( ) školska / godina - -

11 Odredi parametre a i b tako da je za sve vrednost promenljive i jednakost a b = bude tačna 6 7 Geometrija Odnos stranica i uglova trougla značajne tačke trougla, zbir uglova u trouglu, mnogougao, Talesova teorema (komentar: zadatak iz te oblasti da bude prepisan iz zbirke) Razlika dva oštra ugla iznosi 6 o Odrediti razliku njihovih komplementarnih uglova Neka je O centar upisane kružnice u trouglu ABC i neka je α : β =:, a Odredi unutrašnje uglove α, β i γ Sl 7 d = cm AOB = Neka je H ortocentar trougla ABC i neka je ϕ = AHB; γ = ACB Ako je ϕ : γ = 7 : odredi uglove ϕ i γ Odredi dva komplementna ugla ako se odnose kao : 6 Simetrale dvaju unutrašnjih uglova trougla seku se pod uglom koji je jednak trećem unutrašnjem uglu tog trougla Odredi taj treći ugao 7 U trouglu ABC sa uglom α = uglovi β i γ odnose se kao : Odredi unutrašnje uglove tog trougla 8 Ako je u jednakokrakom trouglu osnovica a jednaka visini koja odgovara toj osnovici tada je poluprečnik opisanog kruga oko tog trougla R = a Dokazati 8 9 Tetiva kruga je za cm manja od prečnika, a odstojanje od centra kruga je za cm manje od poluprečnika Odredi dužinu tetive Dva ugla trougla iznose temena datih uglova α = 6 i β = 7 Odrediti ugao koji obrazuju visine koje polaze iz U trouglu ABC simetrala CD ugla γ seče stranicu AB pod uglom ϕ = Izračunati uglove trougla ako se zna da je CD=BC Simetrala ugla između dijagonale i stranice romba obrazuje sa drugom stranicom ugao od Izračunati uglove romba Spoljašnji ugao jednakokrakog trougla je 7 o Izračunati ugao između visine i simetrale unutrašnjeg ugla,ako one sadrže isto teme osnovice Oštar ugao α i šestina njemu uporednog ugla su komplementni uglovi Izračunati ugao α U pravouglom trouglu ugao koji zaklapaju hipotenuzina visina i hipotenuzina težišna duž je Odredi ugao između hipotenuzine težišne duži i simetrale pravog ugla tog trougla 6 Izračunaj površinu paralelograma sa slike 7 a = 7cm 7 8 b = 8cm školska / godina - -

12 7 Ako je na slici 7 AC // BD i AS=6cm, AB= cm, SC= cm, BD=6cm odredi dužine duži CD= i AC=y sa slike S C C D Slika 7 y 6 6 A B A b c b 9cm h = 6cm = c a Slika 7 D a B 8 Izračunati površinu pravouglog trougla ABC ( ACB = 9 ) ako visina CD ima dužinu CD = 6cm i na hipotenuzi AB gradi odsečak AD = 9cm (slika 7) 9 Izračunaj površinu deltoida sa slike 7 Slika 7 a = cm b = cm d = cm b = cm a = cm B D C 6 8 Slika 7 E A Ako je na slici 7 je AB // ED i DC = 6 cm, AB = cm Odredi dužinu duži BD = Izračunati površinu pravouglog trougla ABC ( ACB = 9 AB gradi odsečke AD = cm i DB = cm (slika 76) A b c b = cm Slika 76 C D a c a = cm B ) ako visina CD na hipotenuzi Slika 77 Visina manjeg kružnog odsečka nad tetivom AB je CD = cm Izračunaj poluprečnik kruga r ako je dužina tetive AB = 8cm (slika 77) A r D cm C O B Na slici 78 data su dva koncentrična kruga K i K sa zajedničkim centrom S Tetiva ED većeg kruga K je za cm manja od prečnika tog kruga i dodiruje manji krug K Izračunaj površinu kružnog prstena ako je poluprečnik manjeg kruga r = cm Slika78 školska / godina - -

13 Prema podacima sa slike 79 odredi meru ugla ϕ u stepenima 8 Linearna jednačina Reši jednačinu 6 Reši jednačinu 7 Reši jednačinu 8 Reši jednačinu sa nepoznatom u imeniocu uz uslov definisanosti = = = 6 7 = Reši jednačinu ( ) = a b a b a Pokazati da je rešenje jednačine po = pozitivno ako su dati realni a a a brojevi a i b istog znaka i ako je i ± a 6 Reši jednačinu = Rešiti jednačinu 8 9 = Rešiti jednačinu = 9 Rešiti jednačinu ( ) = Rešiti jednačinu = Rešiti jednačinu: 8 8 ( ) = 6 školska / godina - -

14 Rešiti jednačinu = 7 8 Reši jednačinu: = 6 9 Reši jednačinu: Reši jednačinu: = 9 = 6 Koliko iznosi zbir rešenja jednačine = Reši jednačinu = 7 Reši jednačinu 6 6 = Reši jednačinu = 8 9 Primena linearnih jednačina U odeljenju je 7 devojčica Kada bi u odeljenje došle još devojčice onda bi ih bilo isto koliko i dečaka Koliko je učenika u tom odeljenju? 6 Vertikalni stub visine 8m se pod udarom vetra prelomi tako da mu samo vrh padne na tlo i to na odstojanju m od podnožja stuba Na kojoj se visini prelomio stub, ako je tlo u okolini stuba horizontalno i ravno? 7 Razlika cifara jednog dvocifrenog broja je Kada ciframa promenimo mesta, prvobitni broj biđe 7 puta veći od novodobijenog Odredi prvobitini broj 8 Jedan radnik može da završi neki posao za 9 dana, a drugi za dana Ako se njima pridruži treći radnik, oni će taj posao završiti za dana Za koje vreme bi treći radnik sam završio taj posao? km 9 Jedan pešak ide iz mesta A u mesto B brzinom Tri časa kasnije pođe iz istog mesta u h km istom smeru biciklista koji prelazi Posle koliko vremena će biciklista stići pešaka? h Otac je pre deset godina bio puta stariji od svog sina, a kroz godina će biti dva puta stariji od sina Koliko godi na ima otac, a koliko sin? Učenik je prvog dana pročitao knjige; drugog dana od ostatka knjige, a trećeg dana je pročitao poslednjih stranica Koliko stranica ima ta knjiga? Jedan bazen može da se napunivodom jednom cevi za minuta, a drugom cevi za 6 minuta Za koje vreme će se napuniti bazen, ako ga istovremeno pune obe cevi? školska / godina - -

15 Na prijemnom ispitu trebalo je rešiti zadataka Za svaki rešeni zadatak učenik dobija poena, a za svaki nerešeni zadatak gubi poena Ako je učenik na kraju imao 8 poena, koliko je zadataka rešio? Odredi takav prirodan broj da razlika proizvoda dva sledeća broja i proizvoda dva prethodna broje bude 6 Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka da bi se dobio? 7 6 Turista je prešao km Da je dnevno prelazio po 6km manje na putu bi proveo dva dana više Koliko kilometar dnevno je prelazio turista? Logički zadaci (komentar: obavezan zadatak iz ove teme ali da nije istovetan sa nekim iz zbirke) 7 Dača sad ima četiri putaviše godina nego što je imala Maca kad je bila dva puta mlađa od DačeKoliko godina ima Dača, a koliko Maca, ako će kroz godina imati zajedno godina 8 Pas je udaljen od lisice m Jedan skok psa iznosi m, a skok lisice je dug m Za vreme za koje pas načini skoka, lisica načini skoka Koliko će rastojanje preći pas dok ne uhvati lisicu? 9 Otac je ostavio 86 talira de se razdeli među njegova sina Prema očevoj želji, prvi treba da dobije dva puta više nego drugi manje talira; drugi puta više od trećeg manje talira, a treći puta više nego četvrti manje talira Koliko će talira dobiti svaki sin? (Algebra-Ojler, 77-78g) 6 Rep ribe je težak kg, glava onoliko koliko rep i pola trupa, a trup koliko glava i rep zajedno Koliko kg je teška cela riba? 6 Za realne brojeve a, b, c, d i e važi da je a < b < c < d < e i da je razlika između susednih brojeva jednaka Kolika je vrednost broja a ako je a =, i e =? 6 Dva planinara od kojih jedan prelazi 7km/h, a drugi km/h, krenu istovremeno jedan drugom u susret iz dva mesta udaljena 6km Posle koliko vremena će se sresti? 6 U jednom mesecu u jednoj godini, tri utorka su pala na parni datum Koji je dan tog meseca? (Obavezno je obrazloženje) 6 Dokaži da je 6 Dokaži da je n n n n n n deljivo brojem za svaki prirodan broj n deljivo brojem za svaki prirodan broj n 66 Rasipač mineralnog đubriva zahvata m na dužini od m bacio je kg mineralnog đubriva Ako je zadata norma Q=kg/ha sa dozvoljenim odstupanjem ± % proveri da li je rasipač pravilno podešen ili ne? 67 Koliko prirodnih brojeva manjih od ima zbir cifara 7? 68 Pravougaoni mozaik površine 86cm napravljen je od pločica kvadratnog oblika Sve pločice su istih dimenzija Mozaik je širok 6 cm i visok 8 redova Kolika je dimenzija jedne pločice 69 Koliko ima prirodnih brojeva da im je zbir cifara, a da im je proizvod? školska / godina - -

16 DRUGI RAZRED Sistem linernih jednačina (sistemi dve jednačine sa dve nepoznate i primena sistema jednačina) Reši sistem jednačina = 8 = y y Reši sistem jednačina Reši sistem jednačina 6 Resiti sistem jednacina =6 y y Rešiti sistem jednačina: 6 Reši sistem jednačina 7 Reši sistem jednačina 8 Reši sistem jednačina 9 Reši sistem jednačina: = = y y y y = = y y y y 8 9 y y = 6 9 =, =, y y y y = a = b y y y y 6 8 = = y y 7 y y 7 y y = y y = = = y y y y Uvođenjem smene reši sistem jednačina = = y y Rešiti sistem 6 = = y y Jedan bazen se puni iz dve slavine Ako je prva slavina otvorena sati, a druga sati napuniće se bazena Ako je prva slavina otvorena sata, a druga sata napuniće se bazena Za koliko sati može da napuni bazen svaka slavina ponaosob? školska / godina - 6 -

17 Dva radnika Milan i Zoran treba da završe neki posao Ako rade zajedno završiće posao za dana Ako radi prvo Milan 9 dana, a zatim nastavi Zoran narednih 6 dana završiće posla Koliko dana je potrebno svakom od njih da završe isti posao ako rade sami i ako se zna da radni učinak ne zavisi od toga da li rade pojedinačno ili u paru? Otac želi da podeli jabuke deci Ako im da po jabuke preostanu mu dve jabuke, a ako im daje po jabuke jedno dete ostane bez jabuka Koliko je dece, a koliko jabuka imao otac? Na kvizu takmičar odgovara na pitanja Ako tačno odgovori na postavljeno pitanje osvaja poena, a u suprotnom gubi, poena Na koliko pitanja takmičar nije znao odgovor ako je na kraju osvojio 69 poena 6 Na prijemnom ispitu trebalo je rešiti zadataka Za svaki rešeni zadatak učenik dobija poena, a za svaki nerešeni zadatak gubi, poena Ako je učenik na kraju imao poena, koliko je zadataka rešio? 7 Jedna stranica pravougaonika je za cm kraća od dijagonale, a druga stranica je 8cm Odredi nepoznatu stranicu i dijagonalu pravougaonika 8 Jedna kateta trougla je za cm manja od hipotenuze, a druga kateta jecm Odredi nepoznatu katetu i hipotenuzu trougla 9 Trapez visine h = 8cm ima površinu P = cm, a jedna osnovica je za 6cm manja od druge osnovice Odredi osnovice tog trapeza Srednja duž trapeza je m = cm, a jedna osnovica je za cm veća od druge osnovice Odredi osnovice tog trapeza Zbir dva broja je 89 Ako se veći podeli manjim dobiće se količnik i ostatak Odredi te brojeve Razlika dva broja je 6 Ako se veći podeli manjim količnik je a ostatak Odredi te brojeve Pravila stepenovanja (sređivanje izraza ili izračunavanje vrednosti izraza) Izračunati, za = a Uprostiti izraz: Odredi vrednost izraza, A = 6 6 Uprostiti izraz:,, ± b a a b b a 7 Dokazati da je ab ba a b =b, ( a, b ) školska / godina - 7 -

18 8 Uprostiti izraz y 6 y y 8 9 Izračunati vrednost izraza ( ) ( ) ( ) 9 Odrediti vrednost izraza: Uprostiti izraz: a a b b a 7 b ab, a : a b b (( ) ) 7 ( ) Uprostiti izraz 6 ( ) 8 9 Uprostiti izraz ( ) realni brojevi, ako su, y pozitivni y y y y y Uprostiti izraz : ( ) Uprosti izraz ( ) ( ) ( ) a b za > i ab a b ab A = i izračunaj njegovu vrednost za a b a b a =, b = 6 Izračunati 7 Izračunati : a a a a a 8 Izračunati ( 9 Predstavi dati izraz Uprosti izraz ) ( ) m m,, m, A = m Z ( b a ) a 9b a b a b Izračunaj a) ; b) 8 7 školska / godina - 8 -

19 Izračunaj a 9a b : b a b 7 a a a b a b : ( ) Izračunaj b ( a b) b ( a b) Korenovanje i racionalisanje imenioca Izračunati 8 : Izračunati 7 : ; 6 Izračunati : 7 7 Racionališi imenilac izraza 8 Racionališi imenilac izraza 7 9 a) Racionališi imenilac b) Svedi na jedan koren y z Uprostiti izraz z y zy Dokazati jednakost: 7 7 = Uprostiti izraz: Izračunati ( Izračunati y y y y y y y y )( ) za >, y > Izračunaj 8 X = Uprosti izraz A = y y y, >, y> školska / godina - 9 -

20 7 a 7 Uprosti izraz A = p p p, a>, p> a 8 Izračunaj a a a ; a ± a Kompleksni brojevi (operacije, jednakost kompleksnih brojeva, broj i, realni i imaginarni deo) 9 Izračunati 6 Izračunaj i i i 8 i 6 Izračunati i 6 Izračunati ( i) 6 Odredi komplaksan broj z=abi ako je z ( i) = ( i) 6 Odrediti realne brojeve i y iz jednačine yi i = 6 i y 6 Resiti po z jednačinu ( y yi i 66 Izračunati: i i 7 i 67 Izračunaj: i = ) ( z i) ( i) ( zi)( i) 6 =7i ( ) ( y ) i 68 Odrediti i y iz jednačine = i i 69 Pokazati da je ( i) ( i) realan broj i 7 Odrediti realni i imaginarni deo komplesnog broja z = 7 i 7 Odrediti realni i imaginarni deo komplesnog broja 7 Odrediti realan i imaginaran deo broja z: 7 Rešiti jednačinu ( i) z = i 7 Reši jednačinu po z: z z = 6 i i i z = i i i z i = ( i)( i) ( i) ( i) školska / godina - -

21 7 Reši jednačinu po z: z z = i 76 Dokazati da je 9 9 ( i ) ( i ) = 77 Ako je 78 Izračunati z = ( i ) naći 79 Izračunati i z 8 Reši jednačinu z i z i ( ) = Kvadratna funkcija (ekstremum, nule, monotonost, grafik, znak) 8 Dat je skup funkcija y = a Odredi koeficijent a tako da odgovarajuće funkcija dostiže maksimalnu vrednost y =, a zatim nacrtati grafik te funkcije ma 8 Odrediti realan broj k takav da f-ja y = k k dostiže maksimum za =, a zatim odredi tu maksimalnu vrednost y ma 8 Odrediti realan broj k takav da f-ja y = k k dostiže minimum za =-, a zatim odredi tu minimalnu vrednost y min 8 Dat je skup parabola y a ( a ) ( a ) = Odrediti onu parabolu ovog skupa koja dostize ekstremnu vrednost za = Konstruisati grafik dobijene parabole 8 U funkciji y = ( m ) m odrediti realan parametar m tako da funkcija ima maksimum za =, a zatim ispitati njen tok i nacrtati grafik 86 U funkciji = ( m) y odrediti vrednost realnog parametra m tako da funkcija ima maksimum y = ma 87 Kod funkcije f ( ) = b c odrediti realne parametre b, c tako sa teme njenog grafika nalazi u tački T(-) 88 Kod funkcije y = a 6 odrediti a tako da funkcija ima maksimum y ma = Za nađene vrednosti skicirati grafik i ispitati tok funkcije 89 Odredi realan parametar m takav da f-ja ( ) ( ) svako R y = m m m bude pozitivna za 9 Komad žice dužine 6cm treba podeliti na dva dela; od jednog dela napraviti kvadrat, a od drugog pravougaonik čija je osnovica puta duža od visine Gde treba preseći žicu da bi zbir površina tako nastalih figura bio minimalan? 9 Iz skupa funkcija y = p q odrediti onu funkciju koja ima nule = i =,a zatim ispitati tok i nacrtati grafik te funkcije y = m m m, m odredi realan parametar m tako da f-ja 9 U skupu f-ja ( ) ( ) dostiže najmanju vrednost za =, a zatim odredi tu najmanju vrednost f-je školska / godina - -

22 9 Ispitaj i nacrtaj grafik funkcije y = (ispitivanje funkcije podrazumeva: odrediti nule, presek sa y-osom, ekstremum, monotonost i znak) 6 Kvadratne j-ne i primene (kvadratne j-ne, j-ne koje se svode na kvadratnu, sistem j-na od kojih je bar jedna kvadratna, primenae kvadratnih j-na i sistema j-na) 9 Reši jednačinu: = 9 Reši jednačinu: 6 = 9 96 Reši bikvadratnu j-nu ( ) ( ) 6 = 97 Reši simetričnu (recipročnu) jednačinu = 98 Reši j-nu 6 6 = 99 Naći tri uzastopna cela broja čiji je zbir kvadrata jednak Zbir kvadrata tri uzastopna parna cela broja je Odredi te brojeve Naći dvocifreni broj čija je cifra jedinice za veća od cifre desetica, a proizvod traženog broja i zbira hjegovih cifara jednak je 66 Visina jednakokrakog trougla je osnovice Odredi stranice i visinu trougla ako je njegova površina P = 8cm Stranica jednog kvadrata je za m duža od stranice drugog kvadrata Odrediti stranice tih kvadrata ako se njihove površine odnoe kao 9: Duž AB je podeljena u zlatnom odnosu ako je odnos krćeg prema dužem odsečku jednaka odnosu dužeg odseka prema celoj duži Ako je duž AB = m podeljena u zlatnom odnosu odredi dužinu većeg odsečka Odrediti stranice pravouglog trougla ako je poluprečnik opisanog kruga oko tog trougla R = cm, a poluprečnik upisanog kruga u tom trouglu r = cm 6 Reši sistem jednačina y = 6 y 6 = 7 Rešiti sistem y = 6 y 6 = 8 Reši j-nu: 8 = 9 Reši j-nu: 8 = Rešiti jednačinu: 8 = 7 Vietove formule i priroda rešenja kvadratne jednačine Odredi vrednost realnog parametra k tako da rešenja kvadratne jednačine k k = zadovoljavaju jednakost: = školska / godina - -

23 U jednačini ( m ) m =, odrediti realan broj m tako da njena rešenja i = zadovoljavaju jednakost a Za koje vrednosti parametra realnog a nejednačina < važi za sve vrednosti realne promenljive m m = nema realnih rešenja ni za jednu vrednost Dokaži a j-na ( ) ( ) realnog parametra m Za koje vrednosti realnog parametra k kvadratna jednačina ( k ) ( k ) k = ima realna i dvostruka rešenja? 6 Izračunaj ako su i 7 U jednačini: ( ) 8 U jednačini: ( ) rešenja jednačine 6 = a a 6 = odredi parametar a tako da važi uslov = a a a = odredi parametar a tako da važi uslov = 9 U jednačini 8 p = odrediti realan broj p tako da jedan koren bude tri puta veći od drugog Data je jednačina ( m ) ( m ) m =, m Za koje vrednosti realnog parametra m su rešenja te kvadratne jednačine brojevi različitog znaka? U jednačini 6 q = odrediti realan broj q tako da jedno rešenje bude jednako polivini drugog rešenja Ne rešavajući jednačinu ( m ) ( m ) m =, m odredi m tako da njena rešenja zadovoljavaju uslov: = 8 Kvadratna nejednačina A (oblika, B Reši nejednačinu 7 6 Reši nejednačinu: Reši nejednačinu: 6 Rešiti nejednačinu ili A B, gde su A i B kvadratni ili linearni polinomi) Rešiti nejednačinu školska / godina - -

24 8 Rešiti nejednačinu 9 Resiti nejednacinu < Rešiti nejednačinu 9 Rešiti nejednačinu: Rešiti nejednačinu: < 7 Rešiti nejednačinu: < Rešiti nejednačinu 9 Trigonometrija pravouglog trougla (trigonometrijske identičnosti ili rešavanje pravouglog trougla) Dokazati da za svaki oštar ugao φ važi jednakost = sinϕ sinϕ cos 8 ctgα cosα 6 A je α β = 9 i sin β = izračunati vrednost izraza A = : 7 cosα tgα 8 7 Ako je sin α = izračunati vrednost izraza: 7 sinα cosα 8 Dokazati identitet: = tg α, ctgα sinα cosα 9 Dokazati identičnost: sinα cosα A = sinα cosα o o < 9 < α sin cos tg = cos sin cos sin tg Ako je α β = 9 i sinα cos β = izračunati sin α Odrediti sin α i cos α ako je sinα cosα = 9sinα cosα Ako je = odrediti sinα cosα tg α i ugao α sinα cos β Ako je α ostar ugao i ako važi relacija =, odrediti tg α sinα cosα Ako je tg α ctgα = koliku vrednost ima tg α ctg α? ϕ školska / godina - -

25 Odrediti tgα oštrog ugla α ako je cos α sinα A = : sinα tgα sin α = 7, a zatim izračunaj vrednost izraza sin α sin α 6 Dokazati da važi = cos α cos α 7 Izračunati površinu romba kod koga je stranica a= cm i oštar ugao α= 8 Uprosti izraz cos cos cos cos gde je oštar ugao 9 Dokazati cosα cosα = cosα cosα sinα sinα sinα Dokazati = tgα sinα sinα Dokazati identitet sin α cos α sin α cos α = sin cos Dokazati identičnost = cos sin sinα sinα Uprosti izraz sinα sinα Logički zadaci (logički zadaci i zadaci koji služe za sistematizaciju ili primenu nekih tema) Odredi tg β gde je β oštar ugao prvouglog trougla ABC sa slike B EB = cm E β 9 ED= D EC = C 9 CA= cm Slika A Osnova prave četverostrane prizme je paralelogram stranica a = cm i b = 7cm, koje obrazuju oštar ugao od o Izračunati površinu prizme, ako je površina omotača jednaka cm školska / godina - -

26 6 Ako je = 9 i 9 y = 6 koliko je y? 7 Ako je m n = i = 69 koliko je m n? 8 Ako za oštar ugao α važi sin α cos α, 6 = izračunati tgα 9 Odrediti oštar ugao α ako je sinα = cos α 6 Reši simetričnu (recipročnu) jednačinu = 6 Date su funkcije f ( ) = 7 i g ( ) = rastojanje između njihovih grafika 6 Izračunaj za = Odredi najmanje vertikalno 6 Pomoću slike možemo zaključiti da je 7 = = a) Koliko je ? b) Koliko je ? c) Koliko iznosi zbir prvih prirodnih brojeva 6 Pomoću slike možemo zaključiti da je 7 = = Koliko je tj koliki je zbir svih neparnih brojeva druge stotine? Slika 6 Krug poluprečnika cm podeljen je kružnim lucima poluprečnika cm na podudarna dela kao na slici Odredi obim i površinu jednog od tako dobijenih delova 66 Deda Milivoje je na velikoj livadi napravio kolibu kvadratnog oblika dimenzija On ima kozu i želi da ona pase oko kolibe Da koza ne pobegne moraće da je veže pa je spremio konopac dužine tako da koza može da obiđe oko cele kolibe Sada deda Milivoje ima problem jer nije siguran kada će koza imati veću površinu za pašu: ako kozu veže po sredini jedne strane kolibe (tačka H na slici ) ili na uglu kolibe (tačka H) Pomozi deda Milivoju da izabere pravu poziciju kao bi njegova koza imala više trave na raspolaganju Slika školska / godina - 6 -

27 67 U podvodnom kraljevstvu žive šestokrake, sedmokrake i osmokrake hobotnice raznih boja One koje imaju 7 krakova uvek lažu, a one sa 6 ili osam krakova uvek govore istinu Jednog dana su se sastale hobotnice Plava je rekla: "Zajedno imamo 8 krakova", zelena: "Zajedno imamo 7 krakova", žuta "Zajedno imamo 6 krakova" i crvena: "Zajedno imamo krakova" Koliko krakova ima crvena hobotnica? 68 Na grafiku (slika ) je prikazano rastojanje koje je svako od pet učenika pretrčao, kao i vreme potrebno da to rastojanje pretrči Poređaj imana učenika od nabržeg do najsporijeg 69 Rastojanje SB tačke S od manjeg kruga K jednako je poluprečniku r tog kruga Veći krug K dodiruje krug K i sa njim ima zajedničke tangente iz tačke S (slika 6) a) Odredi ugao α pod kojim se ovi krugovi vide iz tačke S b) Ako je r = cm izračunaj površinu većeg kruga K 7 Marko je odlučio da zasadi vinograd na trapeznoj površi prikazanoj na slici 7 tako što će prvi red biti na osnovici a i poslednji na osnovici b Rastojanje između biljaka u istom redu je 7 cm, a rastojanje između redova je,m Koliko će sadnica vinove loze biti potrebno ako su dimenzije a = m, b = m, h = m? 7 Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za tada se njegov ugao poveća za 7 Koliko stranica ima taj mnogougao Slika 7 školska / godina - 7 -

28 7 Svi učenici su položili ispit Soprotan iskaz (negacija datog iskaza) je: a) Nijedan učenik nije položio ispit b) Bar jedan učenik je položio ispit c) Najmanje jedan učanik je položio ispit d) Samo jedan učenik nije položio ispit e) Bar jedan učenik nije položio ispit školska / godina - 8 -

29 TREĆI RAZRED Eksponencijalna funkcija i eksponencijalne j-ne Reši jednačinu: Reši jednačinu: = = Reši jednačinu: = Reši jednačinu: = Reši jednačinu: = 6 Reši eksponencijalnu jednačinu = 7 Resiti eksponencijalnu jednacinu = 8 Reši eksponencijalnu jednačinu = 9 Reši eksponencijalnu jednačinu = 88 Reši eksponencijalnu jednačinu: 9 = Reši jednačinu: 6 = Reši jednačinu: = Reši jednačinu: 7 7 = Rešiti jednačinu 6 8 = 6 Rešiti jednačinu: = 6 Rešiti jednačinu = 7 Reši jednačinu 8 9 = 8 Reši jednačinu: = 9 Reši jednačinu ( ) = 99 Logaritamska funkcija i logaritamske j-ne Rešiti jednačinu log = log log log Rešiti jednačinu log ( ) log = log Reši j-nu log log 8 8 = Reši logaritamsku jednačinu (Odredi tako da važi jednakost): ( log ( ) ) log = školska / godina - 9 -

30 Rešiti jednačinu log ( log ( )) = ( ) log log 7 = Rešiti jednačinu ( ) 6 Odredi vrednost izraza: log log 9 log 8 7 Izračunati vrednost izraza log log log 6 8 Ako je log = a i log = b naći log 9 9 Izračunati vrednost izraza: log log log (log log ) ; Izračunati vrednost izraza: log 6 log log 7 6 log Izračunaj tačnu vrednost izraza (bez upotrebe računskih pomagala) A = Rešiti jednačinu ( ) ( ) log log = log ; Rešiti jednačinu ( ) ( ) log log = Rešiti jednačinu log log = Odrediti iz jednačine log = log 7 log 9 log 6 Izračunaj vrednost izraza A = log log log 6; B = log 7 log ; C = log,, Trigonometrijske f-je proizvoljnih uglova (trigonometrijska kružnica, identičnosti, adicione formule) 7 Na trigonometrijkoj kružnici odnosno u koordinatnom sistemu prikaži tačke A, B i C koje predstavljaju vrednosti A=sinα, B=cosα, i C=ctgα ako je tgα = i cos α > π sin 7 = i < α < izračunaj tgα 8 Ako je ( α ) 9 Izračunaj tačnu vrednost izraza A = sin 77 sin 7 (bez upotrebe tablica ili kalkulatora) školska / godina - -

31 Ako je sin = i π π, Izračunaj tačnu vrednost izraza Izračunaj tačnu vrednost izraza Izračunaj tačnu vrednost izraza cos izračunaj ( ) π π tg ctg A = π sin cos( π ) 6 π 7π sin cos A = tg 6 ctg ( ) ( ) ( ) sin cos A = π π tg ctg Ako je π sinα =, α, π i π cos β =, β, π izračunaj cos( α β ) π Ako je sinα =, α π, i π cos β =, β, π 6 Uprosti izraz ( tg ctg)( cos )( cos ) tg tg 7 Uprosti izraz ( sin )( sin ) 8 Dokaži identičnost sin α tgβ = cos β tgβ 9 Dokaži identičnost ( tgβ ctgβ )sin β = izračunaj sin ( α β ) tg7 tg Izračunaj tačnu vrednost izraza A= tg7 tg i B = sin cos sin cos tg7 tg Izračunaj tačnu vrednost izraza A= tg7 tg Ako je tg( α β ) = i tg( α β ) = naći tgα i tgβ Odrediti zbir oštrih uglova α, β i γ ako je π π π Izračunati vrednost izraza: tg tg tg sin α tg α 6 Dokazati da za svaki α važi = tg α cos α ctg α sinα tgα 6 Dokazati da za svaki α važi = tgα cosα i B = cos 78 cos sin 78 sin sin α =, sin β =, sinγ = školska / godina - -

32 sinα cosα 7 Dokazati da za svaki α važi = cosα sinα sin 8 Izračunaj sin ( α ) ako je sin =, α ( 9, 8 ) α α π 7 π 9 Izračunaj cos α ako je cos α =, α, π 6 Ako je tg π = odredi tg 6 Odredi sin ( α β ) ako je π cosα = cos β =, α, π i π β π, 6 Za oštre uglove α i β važi da je tg α = i tg β = Odredi razliku α β tih uglova Ako su α i β oštri uglovi i cosα =, a cos β = odredi zbir uglova α β 6 Sinusna i kosinusna teorema, trigonometrijske j-ne 6 Odredi stranice b i c trougla ABC ako je: stranica a =, naspramni ugao α =, i nalegli ugao β = 6 Odredi stranicu c trougla ABC ako se stranice a = i b = i površina trougla P = ( ) 66 Odredi stranicu c trougla ABC ako se stranice a = i b =, a ugao naspram stranice a je α = 7 67 Odredi ugao α (naspram stranice a ) i površinu opisanog kruga oko trougla ABC čije su starnice a = 6, b = i c = 68 Odredi treću stranicu a i površinu opisanog kruga oko trougla ABC čije su starnice b = 6, c = i ugao između njih α = 69 Osnova prave prizme je trougao čije su dve stranice dužine a = 6cm i b = 6 cm, a ugao između njih je γ = Dužina visine prizme je H = cm Odredi površinu te prizme 7 U trouglu ABC je stranica AB = a, stranica BC = a, a spoljašnji ugao kod temena B je za veći od unutrašnjeg ugla kod temena A Odredi unutrašnje uglove tog trougla 7 Ako je u trouglu ABC : zbir dve stranice a c =, ugao između njih β = i površina trougla P = 7, izračunaj dužine stranica tog trougla 7 U trouglu ABC je: stranica a = 9, zbir ostale dve stranice b c = 7, a ugao naspram stranice a je α = 6 Odredi starnice b i c i proizvod A = sinα sin β školska / godina - -

33 π 7 Reši jednačinu tg( ) tg = 6 π 7 Dokaži da je arctg( ) arctg = 7 Reši jednačinu tg = tg Analitička geometrija u ravni (rastojanje tačaka, podela duži, j-na prave, odstojanje tačke i prave, odnos dve prave, krug, prava i krug) 76 Na datoj duži AB naći tačke P i Q, koje dele datu duž u produženoj razmeri AP : PQ : QB = 6 : : 77 Naći koordinate centra S kruga opisanog oko trougla ABC( A( 6,), B( 7,7), C(, )) 78 Napiši jednačinu kružnice opisane oko trougla ABC( A(,), B( 6, ), C(,) ) 79 Napiši jednačinu kružnice upisane u trouglu ABC( A(,), B( 8,), C(,6) ) 8 Naći pravu koja seče prave: y = i y = redom u tačkama A i V, tako da je tačka M (, ) središte duži AV 8 Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku (, ) A i normalna je na pravu y = 8 Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(-,), a paralelna je sa pravom y = 8 Naći jednačinu kružnice čiji je centar C(,), a koja prolazi kroz tačku M(,) 8 Naći jednačinu kružnice koja dodiruje -osu, a prolazi kroz tačke A(-,) i B(6,9) 8 Naći jednačine tangenti kružnice y = 9 koje su paralelne sa pravom y = 86 Odrediti jednačine stranica trougla ABC, ako su mu date jednačine: visine h : y = težišne duži: t : y = i stranice BC : y = c 87 Krug sa centrom (, ) ovog kruga b O odseca na pravoj y 8 = tetivu dužine 6 Naći jednačinu 88 Na datom krugu y y = odrediti tačku A najbližu i tačku B najudaljeniju od prave y = 89 Odrediti ugao pod kojim se seku krugovi: y y 6 = y y 6 = i 9 Odrediti jednačinu kruga koji prolazi kroz koordinatni početak, a prave y 8 = i y 8 = su mu tangente školska / godina - -

34 9 Kako glasi jednačina prave kojoj pripada tačka koordinatnih osa obrazuje trougao površine P = 6? 9 Izračunati ugao pod kojim se vidi kružnica 9 Ako je dužina tetive ružnice ( ) ( ) te kružnice na osi Oy? y y A a;, a koja sa pozitivnim delovima = iz tačke M ( ;) y = r na osi O jednaka 6, kolika je dužina tetive 6 Poliedri (prizme, pramide, zarubljene piramide, pravilni poliedri, složeni poliedri) 9 Izračunati površinu i zapreminu pravilne četvorostrane prizme, koja ima omotač M a nagib dijagonale prema ravni osnove je α = cm = 6, 9 Osnova prave prizme je jednakokraki trapez sa krakom dužine 7 cm i osnovicama cm i 8 cm, a dijagonalni presek je kvadrat Izračunati joj površinu i zapreminu 96 Dokazati da je zbir rastojanja proizvoljne unutrašnje tačke pravilnog tetraedra do njegovih strana konstantan i jednak njegovoj visini 97 Izračunati površinu i zapreminu tela čija su temena centri strana date kocke, ivice a 98 Izračunati odnos zapremine kocke ivice a i zapremine pravilnog tetraedra čije su ivice jednake dijagonali jedne strane kocke 99 Izračunati odnos zapremine kocke ivice a i zapremine pravilnog oktaedra čije su ivice jednake dijagonali kocke Izračunati odnos zapremine prave pravilne šestostrane piramide čija je ivica osnove a i bočne ivice a prema zapremini pravilnog tetraedra ivice a Sve bočne ivice pravilne trostrane piramide imaju dužinu s = 7, a dužina visine te piramide je H = cm Odredi površinu i zapreminu te piramide Sve bočne ivice pravilne trostrane piramide imaju dužinu s = i nagnute su prema ravni osnove pod uglom α = Odredi površinu i zapreminu te piramide Sve apoteme pravilne trostrane piramide nagnute su prema ravni osnove pod uglom α = 6, a ivica osnove je dužine a = 6 Odredi površinu i zapreminu te piramide Sve apoteme pravilne trostrane piramide imaju dužinu h = cm, a dužina visine te piramide je H = cm Odredi površinu i zapreminu te piramide Osnova prave prizme je trougao čije su dve stranice dužine c = m i b = 8m, a ugao između njih je α = 6 Dužina visine prizme je H = m Odredi zapreminu te prizme 6 Prava pravilna šestostrana prizma čije su osnovne ivice a i visina H = a, presečena je manjim dijagonalnim presekom na dva dela Odredi površinu manjeg od tih delova školska / godina - -

35 7 Obrtna tela (valjak, kupa, zarubljna kupa, lopta, delovi lopte) 7 Jednakokraki trapez sa osnovicama cm i cm i oštrim uglom od Izračunati površinu i zapreminu dobijenog tela 8 Pravilan šestougao površine zapreminu dobijenog tela P cm 6 rotira oko kraka = obrće se oko jedne stranice Izračunati površinu i 9 Trougao sa stranicama dm,7dm, dm rotira oko najveće stranice Izračunati površinu i zapreminu dobijenog tela Na rastojanju 6 cm od centra lopte postavljena je ravan, koja seče loptu po krugu površine P = 6π cm Izračunaj površinu i zapreminu manjeg odsečka te lopte? Izvodnica kupe je nagnuta prema ravni osnove pod uglom α = Odredi odnos površine baze i površine omotača te kupe Jednakokraki trougao čiji je krak b = i ugao pri vrhu α rotira oko svoje ose Izrazi površinu i zapreminu obrtnog tela u funkciji ugla α Dezobarijera je posuda sa polukružnom osnovom prečnika m i dubine 7 cm Koliko je litara dezinfekcionog sredstva potrebno da se napuni dezobarijera u kojoj je materijal sunđeraste strukture koji zapreminu smanjuje za % Računati da je π 7 Oko lopte poluprečnika r opisan je valjak Odredi odnos površine te lopte i tog valjka Oko valjka poluprečnika r i visine H = r opisana je lopta Odredi odnos zapremina tog valjka i te lopte 6 Odredi odnos zapremina upisanog i opisanog valjka oko preve previlne trostrane prizme 7 Duži krak pravouglog trapeza sa osnovicom gradi ugao α = 6 i ima dužinu c =, a veća osnovica ima dužinu a = 8 Odredi površinu i zapreminu obrtnog tela koje nastaje rotacijom tog trapeza oko kraćeg kraka 8 Oko valjka poluprečnika r = i zapremine V = 7π opisana je lopta Odredi površinu i zapreminu lopte i valjka 9 Krak jednakokrakog trapeza sa osnovicom gradi ugao α = i ima dužinu c =, manja osnovica ima dužinu b = Odredi površinu i zapreminu obrtnog tela koje nastaje rotacijom tog trapeza oko svoje ose simetrije Oko lopte površine P = π opisan je valjak Odredi površinu i zapreminu tog valjka Tri lopte poluprečnika r leže na ravnom stolu i međusobno se dodiruju Četvrta lopta istog poluprečnika postavljena je na prve tri lopte tako da ih sve dodiruje Odrediti odstojanje najudaljenije tačke četvrte lopte od ravni stola Tri lopte poluprečnika r leže na ravnom stolu i međusobno se dodiruju Četvrta lopta istog poluprečnika postavljena je na sto tako da istovremeno dodiruje i prve tri lopte Odrediti površinu i zapreminu četvrte lopte Četiri lopte poluprečnika r = cm leže na ravnom stolu i svake dve susedne se međusobno dodiruju Peta lopta poluprečnika r = cm postavljena je na prve četiri školska / godina - -

36 lopte tako da ih sve dodiruje Odrediti zapreminu piramide čija su temena u centrima ovih pet lopti Četiri lopte poluprečnika r leže na ravnom stolu i svake dve susedne se međusobno dodiruju Peta lopta istog poluprečnika postavljena je na prve četiri lopte tako da ih sve dodiruje Odrediti odstojanje najbliže tačke pete lopte od ravni stola 8 Nizovi 9 6 Dat je niz,,,,, Odredi njegov šesti član a6 i njegov opšti član 6 6 Izračunaj 9 B = Izračunaj C = 8 (uputstvo razdvojiti mešovite razlomke na zbirove celih i razlomljenih delova i koristiti zbir prvih n članova aritmetičkog odnosno geometrijskog niza Takođe uočiti da je =, 8=,, = ) 8 Odredi deseti član a aritmetičkog niza kod koga je peti član a =-, a zbir prvih pet članova je S = 9 Reši jednačinu = po Reši jednačinu 7=7 po Odredi broj tako da brojevi, i budu prva tri člana aritmetičkog niza, a zatim odredi zbir prvih članova tog niza Odredi četrnaesti član geometrijskog niza ako je a = i a = Izračunaj A = Izračunaj B = Odredi > tako da brojevi,, čine prva tri člana geometrijskog niza 6 Izračunaj 7 Izračunaj n n lim n n n lim n n n n 8 Izračunaj lim( n n) n 7 (n ) 9 Izračunaj lim n n školska / godina - 6 -