Opis: Učenici mere obim Zemlje pomoću Eratostenovog eksperimenta iz trećeg veka p.n.e

Projekat Eratosten 2015 - merenje obima Zemlje Opis: Učenici mere obim Zemlje pomoću Eratostenovog eksperimenta iz trećeg veka p.n.e Mesto Kikinda OŠ Sveti Sava Datum 19.03.2015 Vreme : solarno podne 11.46 Latitude (širina) 45.826940 N 45 49 37 Longitude (dužina) 20.458417 E 20 0 27' 30" Nadmorska visina 75m Udaljenost od Ekvatora 5093.22km Edukativni ciljevi: Kognitivni (saznajni): Da misli kritički i kreativno. Učenici uče o inovativnom načinu koji je Eratosten koristio da izračuna obim Zemlje. Emotivni (afektivni): Da odgovara, utiče i učestvuje. Učenici prate uputstva nastavnika i izračunavaju sami obim Zemlje. Psihomotorni: Da imitiraju i probaju. Učenici ponavljaju istu proceduru kao što je uradio Eratosten i pokušavaju da izmere obim Zemlje na isti način kao što je i on uradio. Nastavni materijal : Štap dužine 1m, traka za merenje, stabilna osnova za štap, sveska, goniometar i kalkulator (za merenje veličine uglova). Uputstvo za pripremu: 1. Eksperiment sprovode učenici u saradnji sa drugom školom na drugoj, što udaljenijoj lokaciji. 2. Programi "Google Earth" i "Stellarium" treba da su instalirani na računaru. 3. Nastavnik priprema malu prezentaciju sa slikama i videom koji će učenicima pomoći da razumeju eksperiment, prezentira osnovne matematičke principe koji će se koristiti, obavesti učenike kako i gde će se eksperiment održati. 4. Nakon završetka eksperimenta prezentovati slike i video škole sa kojom je sarađivano. 1. Uspostavljanje kontakta sa sadržajem i provociranje radoznalosti. Da li ste se zapitali koliki smo mi u odnosu na Zemlju? Pošto je Zamlja tako velika, da li je moguće izmeriti veličinu Zemlje bez satelita, recimo samo pomoći štapa, u našem dvorištu? Nastavnik pomoću programa "Google Earth" demonstrira delove Zemlje da učenici steknu utisak kako smo mali mi u odnosu na zemaljsku kuglu. Nastavnik objašnjava kako je Eratoste izmerio obim Zemlje pre 2.400 godina koristeći štap, poziciju Sunca i udaljenost dva grada. Definisanje ciljeva i/ili pitanja iz tekućeg znanja Pitanja ili ciljevi se mogu zapisati da bi se videlo kasnije da li su ciljevi postignuti ili imamo odgovore na pitanja. Kako znamo da je Zemlja okrugla? Pošto je Zemlja okrugla, njen obim odgovara krugu. Koliko stepeni ima u celom krugu? Šta je luk kruga? Možemo li izračunati ceo obim ako znamo dužinu luka koji odgovara datom centralnom uglu? Ako imamo dve lokacije na Zemlji, čemu odgovara ugao između njih? Kako ga možemo izmeriti? Nastavnik Danilo Borovnica Strana 1

Vodič za nastavnika: Objasniti studentima da je još Aristotel verovao da je Zemlja okrugla. Do tog zaključka je došao posmatranjem Zemljine senke na Mesecu tokom pomračenja. Predstaviti kako ugaona udaljenost između dve lokacije može da se meri. Studenti moraju da shvate osnovnu ideju da ako znamo ugao i luk koji odgovara tom uglu, možemo izračunati ceo obim kruga. Učenici treba da razumeju da bismo uradili obračun moramo odrediti ugaono rastojanje između dve lokacije. Pitanje za formativno ocenjivanje: Eratosten je predpostavio da su sunčevi zraci paralelni. Međutim kad crtamo sunce uvek ga predstavljamo kao mali žuti krug sa zracima koji idu na sve strane. Šta je od ovoga tačno? Mogući odgovor: 1. Zraci su paralelni jer je Sunce jako daleko od Zemlje tj velika je razlika između udaljenosti na Zemlji u poređenju sa udaljnošću Zemlje od Sunca. 2. Zraci se razilaze (divergentni su) jer se Sunce posmatra kao tačkasti izvor. Pitanje za formativno ocenjivanje: Šta je lokalno podne? Kako se ono menja tokom godine? Mogući odgovori: 1. Lokalno podne je u 12.00 po lokalnom vremenu.ono se ne menja u odnosu na lokaciju mesta. 2. Lokalno podne je srednje vreme između izlaska i zalaska Sunca. Kako se dužina dana povećava tako se lokalno podne pomera u kasnije sate. Vodič za nastavnika: Širina (latitude) utiče koliko je Sunce visoko na nebu. Dužina (longitude) utiče na vreme lokalnog podneva zbog razlike u vremenskim zonama. PISA zadatak. Istraživanje i razumevanje. Pitanje 1: Ohrabrite studente da opišu posmatrani fenomen. Zemlja je sfera, jer : Mogući odgovori: 1. Udaljenost između dve lokacije koje merimo kao ravnu liniju je u stvari luk. 2. Ako hodam po ekvatoru posle nekog vremena vratiću se na isto mesto. 3. Ima još mora i kopna iza horizonta. Pitanje 2: Sunčevi zraci izgledaju kao zraci svetla koji dolaze iz sferične sijalice. Mogući odgovori: 1. Dakle, posmatrač manji od sijalice i veoma dalkeo od nje posmatrao bi zrake kao paralelne. 2.Dakle sunčevi zraci nisu stvarno paralelni, ali što se više udaljavaju to se više razdvajaju 3. Dakle Sunčevi zraci pokazuju u svim pravcima. 2. Predlažemo uvodna objašnjenja i hipoteze Možemo li prethodni način izračunavanja obima koristiti da izračunamo obim Zemlje? Nastavnik pomaže učenicima da povežu krug sa obimom Zemlje. Da vidimo kako je to Eratosten uradio. Česte zablude: 1. Za dati ugao dužina luka je uvek ista. Ne. Zavisi i od poluprečnika. 2. Udaljenost sunca od datog mesta je uvek ista tokom celog dana. Ne Nastavnik Danilo Borovnica Strana 2

Eratostenova ideja Obim kruga na ekvatoru je 40,075.16 kilometara. Eratosten je znao da tokom letnjeg solsticija (dugodnevnice) 22-og juna, u lokalno podne, u drevnom Egiptu u mestu Sijena, na severnom povratniku*, sunce se pojavljuje u zenitu direktno iznad (pod pravim uglom). Rekli su mu da senka nekog čoveka koji gleda u dubok bunar će potpuno blokirati refleksiju sunca u podne. Većina ljudi bi verovatno ignorisala ovakvu vrstu informacije pošto bi im izgledala bez značaja. Kao rođeni naučnik on se upitao: Kako to da Sunce ne pokazuje senku u Sijeni tokom podneva tokom letnjeg solsticija dok u isto vreme u Aleksandriji sve stvari imaju senku? Eratosten je mislio ako je Zemlja ravna, onda sunčevi zraci bi bili vertikalni u oba grada u isto vreme. Tako je on zaključio da je Zemlja sfernog oblika. Još više, što je veća razdaljina između senki veća je krivina između dva grada. Predpostavljajući još i da je Sunce toliko daleko da njegove zrake možemo smatrati paralelnim, on je sproveo eksperiment. Postavio je štap vertikalno na zemlju, kada je Sunce dostiglo zenit izmerio je dužinu senke datog štapa. Pošto su zraci sunca paralelni ugao između štapa i zraka je jednak uglu između dva grada. Ovim merenjem našao je da u Aleksandriji ugao elevacije sunca 1/50 punog kruga (7 12') južno od zenita u isto vreme. Aleksandrija je severno od Siene pa je zaključio da je rastojenja od Aleksandrije do Siene jednako 1/50 obimu Zemlje. Takođe je procenio da je rastojanje između gradova 5000 stadija (793,8km). Pošto 793,8km odgovara uglu od 7 12' onda uglu od 360 0 odgovara 39.690km. Ugaona razdaljina između Aleksandrije i Siene *Severni povratnik ili rakova obratnica je jedna od pet osnovnih paralela koje se označavaju na mapi Zemlje. To je najsevernija paralela na kojoj se Sunce u podne pojavljuje u zenitu. *Equnox ili ravnodnevnica je dan kada noć i obdanica traju jednako. Postoje prolećna i jesenja ravnodnevnica. Prolećna je uglavnom 21.marta i označava početak proleća na severnoj hemisferi, a jeseni na južnoj. Jesenja ravnodnevica je najčešće 23. septembra i označava početak jeseni na severnoj a proleća na južnoj hemisferi. *Tačan datum ravnodnevnice je dan kada Sunce tačno bude u gama (prolećna ravnodnevica) odnosno u omega tački (jesenja ravnodnevica), tj. kada preseče nebeski ekvator pri svom kretanju po ekliptici. *Nebeski ekvator je projekcija ekvatorijalne ravni Zemlje na nebesku sferu. *Ekliptika je eliptična orbita po kojoj se Zemlja kreće pri svojoj revoluciji oko Sunca. Ugao između Zemljinog ekvatora i ravni ekliptike iznosi 23 27 (ovaj ugao se menja zbog precesije). Projekciju ove godišnje putanje vidimo kao prividno kretanje Sunca po nebeskoj sferi, gledano sa Zemlje. *Precesija (lat. praecessio prethođenje, kretanje unapred) je premeštanje tačke prolećnog (ili jesenjeg) ekvinokcijuma usled laganog zaokretanja pravca Zemljine ose, zbog čega se Sunce svakog dana vraća u tu tačku, čime ono završava svoje puno kretanje po ekliptici. Istovremeno s precesionim kretanjem, Zemljina osa doživljava i nutaciono kolebanje - nutaciju. Da bi izveli Eratostenov eksperiment trebaju nam dva posmatrača. Jedan u našem mestu i jedan na ekvatoru 21. juna kada je Sunce iznad glave posmatrača. Postoji i druga mogućnost. Na primer dva posmatrača na istom meridijanu. Staviće štap normalno na Zemlju i izmeriti dužinu sunčeve senke u istom momentu u podne. U ovom slučaju moramo znati razdaljinu između posmatrača mereno po meridijanu i uglove određene dužinom štapa i njegove senke u svakom mestu. Tako je γ=α-β. Nastavnik Danilo Borovnica Strana 3

Pitanje za formativno ocenjivanje: U ovoj aktivnosti vaš štap treba da postavite vertikalno u donosu na Zemlju. Ako štap postavljate na uzbrdici kako ćete postaviti štap? Vertikalno u odnosu na uzbrdicu? Mogući odgovori: 1. Da jer štap treba da bude postavljen vertikalno. 2. Ne, jer osa štapa mora da pokazuje na centar Zemlje. Vodič za nastavnika: Ovo je pitanje iz fizike. Putanja gravitacione sile počinje na samom mestu i pokazuje na centar Zemlje. Uzmimo klatno. Njegova osa je uvek normalna na centar Zemlje. Znači štap treba postaviti paralelno osi klatna. PISA zadatak. Predstavljanje i formulisanje. Pitanje 1: Ohrabrite studente biraju među različitim oblicima prezentovanja. Razlog za različitu dužinu senke štampa tokom dana na različitim mestima na Zemlji je zbog : Mogući odgovori: 1. Rotacije Zemlje oko sam sebe. 2. Pozicije Sunca na nebu 3. Rotacije Zemlje oko Sunca. Pitanje 2: Šta nam je potrebno da ponovimo Eratostenov eksperiment 20. marta : Mogući odgovori: 1. Tačne koordinate naše lokacije i vreme lokalnog podneva. 2. Udaljenost dve lokacije na istom meridijanu i vreme lokalnog podneva jedne od njih 3. Udaljenost naše lokacije od neke druge i vreme kada Sunce dostiže najvišu tačku na nebu. 3. Planiranje i izvođenje Jasno formulisana hipoteza olakšava planiranje radnog procesa. Planiranje uključuje određivanje redosleda aktivnosti i srednjoročnih ciljeva, koja oruđa i/ili podatke koristimo, jasno određena satnica i kako su aktivnosti podeljene između učesnika. Da vidimo koje činjenice su važne za naše istraživanje. Za vreme eksperimenta treba da: a) imamo na umu lokalno vreme partnerske škole i da uradimo eksperiment u isto vreme b) imamo na umu lokalno vreme partnerske škole i da uradimo eksperiment kada je Sunce na istoj poziciji u svakoj od škola c) koristimo štapove iste dužine d) imamo isti broj studenata koji rade eksperiment Da bi izmerili razdaljinu između dve škole treba da: a) Izmerimo direktnu razdaljinu između škola b) Izmerimo razdaljinu zasnovanu da mreži puteva c) Izmerimo razdaljinu između škola na istom meridijanu Da bi dobili dobre rezultate štap treba da: a) se drži u ruci b) je zaboden u zemlju c) fiksiran na tlu d) naslonjen na zid Za dužinu senke štapa treba da: a) napravimo nekoliko merenja i izračunamo srednju vrednost da izbegnemo grešku b) uzmemo najkraću vrednost zato što ćemo tada imati najmanju grešku c) uzmemo najkraću vrednost zato što je tada sunce u zenitu d) napravimo nekoliko merenja i izračunamo srednju vrednost zato što ne znamo tačno kada je sunce u zenitu Nastavnik Danilo Borovnica Strana 4

Vodič za nastavnika: 1. Korišćenjem programa izračunati vreme kada Sunce dostiže zenit za dati datum na datoj lokaciji. Ove godine eksperiment će biti 19. marta jedan dan pre prolećne ravnodnevnice. Dana 19.marta 2014 solarno lokalno podne je u 11:46 (rezultati dobijeni korišćenjem "Solar Calculatora" na web adresi www.solar-noon.com/ i "Stellarium" softvera instaliranog sa www.stellarium.org/). "Stellarium" 1.1. U programu "Stellarium" izaberite sa pantljike na levoj strani Location Window ili "Prozor za lokaciju" ili F6. 1.2. Ubacite vašu lokaciju, čekirajte na Use as default i pritisnite X (zatvorite prozor). 1.3. Locirajte Sunce i kliknite na njega tako da vidite informacije na gornjem levom uglu ekrana. 1.4. Izaberite sa pantljike na levoj strani Time/Date ili "Prozor za datum i vreme" ili F5 1.5. Postavite datum merenja i menjajte vreme dok posmatrate vrednosti sunčevog azimuta. Cilj je menjati vreme dok azimut ne bude 180 0. Zapišite dato vreme. 11:46 "Solar Calculator" 1.1. Unesite Location, Latitude (opciono), Longitude (obavezno), Time zone (Midlle Europe), Type calendar (Solar noon) i kliknite na Display calendar. 1.2. Ako je sve u redu kliknite na Continue i videćete kalendar za celu godinu. 2. Uzeti štap H dužine 1 metar i postaviti ga vertikalno na zemlju. Učenici provere dužinu štapa. 3. U vreme dogovoreno za eksperiment učenici beleže dužinu senke S štapa. Ovim merenjem oni računaju ugaonu udaljenost njihove lokacije i ekvatora. Ponoviti merenje pet puta i zapisati podatke u formi sa sajta. 4. Učenici računaju dužinu L preko pitagorine teoreme. L 2 = S 2 + H 2. Upisati vrednost. 5. Svaka pridružena škola obaveštava onu drugu putem mail-a i/ili Skype-a o uglu koji su izračunali. 5. Pomoću "Google maps" ili "Google Earth" izračunati udaljenost od pridužene škole mereno na istom meridijanu. Učenici zapisuju meru udaljenosti. Ako nema uparene škole može se uzeti virtuelna škola na ekvatoru sa eksperimentalnim podatkom 0 (dužina senke štapa merene u neko vreme). 1st Primary School of Argostoli 38,173168 20,489973 Christina Tsimara mail@1dim-argost.kef.sch.gr Argostoli Kefalonia Senior High School of Deskeio 39,28367 20,406919 Stefanos Ioannidis mail@lyk-pargas.pre.sch.gr Preveza 1st High Sshool of Preveza 38.955 20,740242Vrachnoula Marianthi marvrachn@gmail.com Preveza 6. Na osnovu dva ugla dobijena u obe škole, rastojanja između škola i proporcije učenici izračunavaju obim (circumference) Zemlje i šalju podatke putem veb sajta http://portal.opendiscoveryspace.eu/community/eratosthenes-experiment-2015-820309 i http://eratosthenes.ea.gr/en/content/submit-your-data-0. 7. Nastavnici obe škole prave slike ili video njihovog eksperimenta koji će kasnije razmeniti. Pitanje za formativno ocenjivanje: Da li možemo da odredimo liniju istok-zapad na osnovu posmatranja senke štapa tokom dana? Mogući odgovori: 1. Da, posmatranjme načina na koji se senka pomera tokom dana. 2. Ne, jer nemamo kompas. Vodič za nastavnika: Ovo je pitanje proverava prostornu orijentaciju studenta. Ovde primenjen koncept uvodi ih u to kako radi solarni kompas. Zabodete štap u zemlji i obeležavate vrh senke svakih 10-15 minuta. Obeležena mesta daju duž ćiji početak je okrenut prema zapadu, a kraj prema istoku. Nastavnik Danilo Borovnica Strana 5

PISA zadatak. Planiranje i izvršavanje. Pitanje 1: Prvo podstknite učenike da nađu rešenje posmatranog problema. Ako treba da izaberete školu na istoj geografskoj dužini kao vaša, da biste uradili eksperiment, vi ćete : Mogući odgovori: 1. Izabrati školu što dalju od vaše. 2. Izabraćemo školu blizu ekvatora sa malom senkom štapa 3. Izabraćete školu koja je blizuda biste dobili što tačniju udaljenost između mesta. Pitanje 2: Budite sigurni da učenici mogu da pokažu rešenje i način kako su došli do njega. Kako ćemo biti sigurni da je štap normalan na tol tokom eksperimenta : Mogući odgovori: 1. Postaviću štap na plutajuću površinu u jezercetu. 2. Postaviću kvadrat ili trougao sa pravim uglom pored štapa 3. Uzeću libelu i postaviti pored štapa. Merenje udaljenosti sa "Google Earth" 1. Označi lokacije obe škole a) Nađi lokaciju tvoje škole. Možeš to uraditi ručno ili tako što ćeš ukucati ime lokacije i kliknuti na "Search". b) Kada si našao lokaciju upotrebi "Add Placemark" alatku da obeležiš lokaciju. Postavi pin na mesto lokacije i daj joj ime. Pritisni OK. c) Ponovi postupak za drugu školu. 2. Nađi zajednički meridijan a) Vrati se na prvi Placemark, klikni desnim klikom i izaberi Properties. b) Iskopiraj (copy) "Longitude" vrednost. c) Idi na drugi Placemark, klikni desnim klikom i izaberi Properties d) Kopiraj (paste) "Longitude" vrednost i pritisni OK. Drugi Placemark se sad pomerio, tako da su obe lokacije na istom meridijanu. 3. Izmeri udaljenost. a) Zumiraj tako da vidiš oba Placemarka. b) Izaberi "Ruler" (deseta ikona) c) Klikni na prvu lokaciju pa zatim na drugu. Sada se pojavi linija između ove dve lokacije. Klikni na "Save". d) Daj naziv ovom merenju udaljenosti i klikni na OK. e) Zumiraj na prvu lokaciju. Videćeš da linija koju si postavio nije tačno na mestu pina (vrha obeleživača). Desni klik i izaberi Properties. f) Mišem pomeri kraj linije da se poklopi sa krajem pina i klikni OK. g) Ponovi proceduru za drugu lokaciju. h) Desni klik na crvenu liniju i izaberi Properties. Izaberi tab meranja (measurement tab) i ovde ćeš videti udaljenost u kilometrima. 4. Analiza i interpretacija - Dobijanje rezultata iz podataka Pošto su podaci sakupljeni treba ih obraditi da bi dobili informacije iz njih. Zavisno od rezultata ovaj korak može biti veoma složen. Na osnovu dva ugla dobijena u obe škole, rastojanja između škola i proporcije učenici izračunavaju obim (circumference) Zemlje. Učenici ovo rade svako na svom radnom listu. PISA zadatak. Opažanje i refleksija. Pitanje 1: Ako ponovimo eksperiment sledeće godine : Mogući odgovori: 1. Dobićemo iste ili bolje rezultate prateći isti pristup i radeći više merenja 2. Dobićemo iste ili bolje rezultate ukoliko poboljšamo plan eksperimenta 3. Dobićemo slične rezultate ponavljajući isti postupak-pristup. Nastavnik Danilo Borovnica Strana 6

Pitanje 2: U dizajnu eskperimenta razmotrio bih sledeći važan faktor da smanjim grešku: Mogući odgovori: 1. Ispravno postavio štap 2. Tačnost urađenih merenja 3. Tačnost koordinata moje lokacije. 5. Zaključci i ocenjivanje (evaluacija) - Zaključiti i preneti rezultate/objašnjenja Proces ocenjivanja može biti olakšan prezentovanjem zaključaka široj publici, jer to dopušta ponavljanje i/ili potvrdu prezentovanih rezultata. Objašnjenje na osnovu dokaza. Učenici raspravljaju sa nastavnikom : Zašto je izmereni ugao jednak ugaonoj razdaljini od ekvatora? Zašto učenici moraju da vrše merenje u dato vreme? Uporedite vaša merenja sa stvarnom vrednošću obima Zemlje. Šta je izvor greške? Da li je uzet u obzir? Da li je eksperiment uspeo? Da možete da ponovite eksperiment, šta bi ste promenili? Razmatranje drugih objašnjenja. Učenici mogu doći do drugačijih ideja u vezi merenja: Dva merenja treba da se rade istovremeno. Razdaljina između dva grada treba da se meri direktno, a ne na istom meridijanu. Izemereni ugao nema ništa sa uglom. Nastavnik objašnjava zašto ovo nije tačno. Saopštavanje (deljenje) objašnjenja Učenici Treba da popune izveštaj u vezi sprovedenog eksperimenta Predstave njihova otkrića ostatku odeljenja Nastavnici Pokažu slike i video koji su poslali drugoj školi, zajedno sa rezultatima. Informišu učenike o drugim Eratostenovim otkrićima Informišu učenike o drugim računima koji mogu da se rade primenom istog matematičkog pristupa Nastavnik Danilo Borovnica Strana 7