CURS facultativ ELEMENTE DE TEORIA DISTRIBUŢIILOR

Σχετικά έγγραφα
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

Curs 4 Serii de numere reale

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Transformata Laplace

Integrala nedefinită (primitive)

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

3.3. Ecuaţia propagării căldurii

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA: MATEMATICĂ LUCRARE DE LICENŢĂ. C 0 -Semigrupuri

( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Convergenţa uniformă a şirurilor de funcţii

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

1Ecuaţii diferenţiale

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE

Ecuatii trigonometrice

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Siruri de numere reale

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

CAPITOLUL 1 CURBE ÎN PLAN

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Integrale cu parametru

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

z a + c 0 + c 1 (z a)

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

STUDIUL REGIMULUITRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE

Capitolul 9. Transformata Laplace. 9.1 Transformata Laplace

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Fişier template preliminar

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

CURS METODA OPERAŢIONALĂ DE INTEGRARE A ECUAŢIILOR CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN II

Demodularea (Detectia) semnalelor MA, Detectia de anvelopa

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR ALEATOARE

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Conf. Univ. Dr. Dana Constantinescu. Ecuaţii Diferenţiale. Elemente teoretice şi aplicaţii

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

Principiul Inductiei Matematice.

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

3. CONVOLUŢIA. Sinteza semnalului de intrare Produsul intre un impuls Dirac intarziat cu k si semnalul x[n] extrage valoarea esantionului x[k]:

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Subiecte Clasa a VII-a

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Transformata Radon. Reconstructia unei imagini bidimensionale cu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungul unor drepte.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Subiecte Clasa a VIII-a

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

riptografie şi Securitate

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Transcript:

CUS faculaiv ELEMENTE DE TEOIA DISTIBUŢIILO 1. Noţiunea de disribuţie Fie ϕ : C o funcţie; definim suporul prin închiderea mulţimii penru care ϕ nu se anulează, adică supp ϕ = { ϕ() 0}. Se poae demonsra că suporul ese complemenara celei mai mari mulţimi deschise pe care ϕ se anulează. Dacă funcţia ϕ admie derivae de orice ordin, vom spune că ese indefini derivabilă şi vom noa ϕ C (). Inroducem urmăoarea clasă de funcţii: D = {ϕ C () supp ϕ mărgini}. Prin definiţie suporul ese o mulţime închisă, deci mărginirea suporului ese echivalenă cu fapul că suporul ese o mulţime compacă şi clasa D se mai numeşe clasa funcţiilor indefini derivabile cu supor compac. Elemenele din D se numesc funcţii es. Se consaă uşor că D ese spaţiu vecorial pese corpul numerelor complexe C; înr-adevăr dacă ϕ, ϕ 1, ϕ 2 D şi α C, aunci αϕ C (), ϕ 1 + ϕ 2 C (), iar supp αϕ = α supp ϕ, iar supp( ϕ 1 + ϕ 2 ) supp ϕ 1 supp ϕ 2. Exemplul 1.1. Funcţia definiă prin ωε() = cεe ε 2 2 ε 2, < ε 0, ε, unde cε ese asfel ales încâ ωε()d = 1. ese funcţie es şi ese cunoscuă sub numele de scufiţă. Lema 1.1. Penru orice inerval (a, b) şi ε > 0 exisă η C (), cu urmăoarele proprieăţi: 1. 0 η 1 2. η() = 1 penru (a ε, b + ε) 3. η() = 0, penru (a 3ε, b + 3ε). 1

2 Daniela oşu Definiţia 1.1. Fie ϕ n, ϕ D, n N, şirul ϕ n converge în D la ϕ şi noăm D ϕ n ϕ dacă exisă A > 0, asfel ca supp ϕ n, supp ϕ S(0, A) şi unif orm ϕ (k) n ϕ (k) k N, n + ( convergenţa ese uniformă). Vom mai noa ϕ n ϕ în D. Indicăm câeva operaţii cu funcţii, care au ca rezula o funcţii es. Dacă f ese o funcţie oarecare de clasă C () şi ϕ o funcţie es, aunci prin înmulţirea lor, se obţine o o funcţie es. Dacă ϕ, funcţie es ese compusă cu a+b, rezulaul ese o o funcţie es. De asemenea, dacă derivăm o funcţie es, rezulaul ese o o funcţie es. Definiţia 1.2. Funcţionala T : D C se numeşe disribuţie dacă 1. T ese liniară, adică T (α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ) = α 1 T (ϕ 1 ) + α 2 T (ϕ 2 ), α 1, α 2 C, ϕ 1, ϕ 2 D. 2. T ese coninuă (prin şiruri), adică ϕ n D, ϕ n ϕ în D rezulă T (ϕ n ) T (ϕ). Noăm cu D, mulţimea uuror disribuţiilor, care se mai numeşe dualul lui D. Vom folosi diferie noaţii T (ϕ) = (T, ϕ) = (T (x), ϕ(x)) ulima penru a indica explici variabila independenă a funcţiei es; nu se poae defini valoarea unei disribuţii înr-un punc, ouşi vom folosi noaţia penru a pune în evidenţă asupra cărei variabile se aplică disribuţia. Definiţia 1.3. Două disribuţii T 1, T 2 se numesc egale şi noăm T 1 = T 2, dacă (T 1, ϕ) = (T 2, ϕ), ϕ D. Definiţia 1.4. Şirul T n D converge slab la T D dacă penru orice ϕ D, are loc (T n, ϕ) (T, ϕ) Teorema 1.1. Dacă T n ese un şir din D cu proprieaea că penru orice ϕ D şirul numeric (T n, ϕ) ese convergen, aunci funcţionala T definiă prin ese din D. (T, ϕ) = lim (T n, ϕ) n +

Elemene de eoria disribuţiilor 3 Definiţia 1.5. Dacă T n D, n N aunci spunem că seria + n=1 T n ese slab convergenă la T în D, dacă şirul sumelor parţiale S n = T 1 +... T n ese slab convergen la T şi noăm + n=1 T n = T. Exemple de disribuţii Disribuţii de ip funcţie (regulae) Fie f o funcţie inegrabilă pe orice inerval [a, b]. Noăm mulţimea acesor funcţii L 1 loc() şi funcţiile vor fi numie local inegrabile. Eviden că dacă f ese inegrabilă pe, aunci ea ese din L 1 loc(), dar exisă funcţii local inegrabile pe, care nu sun inegrabile: de exemplu funcţia consană 1 ese local inegrabilă, şi nu ese inegrabilă pe. Penru o funcţie local inegrabilă, definim disribuţia generaă prin formula: T f : D C, (T f, ϕ) = f()ϕ()d, ϕ D. (1) Dacă de exemplu f = u, funcţia uniae, obţinem disribuţia Heaviside: (T u, ϕ) = + 0 f()ϕ()d, ϕ D. (2) Lema 1.2. (du Bois-aymond)Fie f o funcţie local inegrabilă pe. Aunci T f = 0 dacă şi numai dacă f = 0 aproape pese o. Spunem că o proprieae are loc aproape pese o dacă penru orice ε > 0, mulţimea penru care acea proprieae nu are loc poae fi acoperiă cu inervale a căror lungime oală ese mai mică decâ ε. Disribuţii singulare. O disribuţie ese singulară dacă nu exisă nici o funcţie local inegrabilă care să o genereze în sensul formulei (1). Definim disribuţiile Dirac prin: δ : D C (δ, ϕ) = ϕ(0), ϕ D (3) δ a : D C (δ a, ϕ) = ϕ(a), a, ϕ D. (4) Teorema 1.2. Disribuţia Dirac ese singulară. O disribuţie poae fi generaă de funcţii care nu sun local inegrabile, asfel se obţin disribuţii valori principale.

4 Daniela oşu Exemplul 1.2. Funcţionala noaă Vp 1 ese o disribuţie. (V p 1, ϕ) = vp + şi definiă prin ( ϕ() ε d = lim ε 0 ϕ() + d + ε ) ϕ() d (5) Soluţie. Funcţia 1 nu ese inegrabilă pe nici un inerval care conţine originea. Să demonsrăm că formula (5) defineşe o disribuţie. Penru aceasa arăăm mai înâi că exisă limia din membrul al doilea. Deoarece ϕ ese nulă în afara unui inerval [ A, A] şi ( ε ) ϕ(0) A ϕ(0) lim d + d = 0, ε 0 A ε limia din definiţie (5) exisă simulan cu urmăoarea ( ε lim ε 0 ϕ() ϕ(0) d + Ulima inegrală exisă deoarece + ε ) ϕ() ϕ(0) d. ϕ() ϕ(0) sup ϕ () < +. [ A,A] Eviden corespondenţa ϕ (V p 1, ϕ) ese C-liniară. Să mai arăăm că ese şi coninuă prin şiruri. Fie ϕ n 0 în D; aunci exisă A > 0, asfel ca suppϕ n [ A, A], n 1. Ca mai înaine Dar (V p 1 A, ϕ n) = vp A ϕ n () ϕ n (0) d. ϕ n() ϕ n (0) sup ϕ n() 0 penru n +. [ A,A] Deci (V p 1, ϕ n) 0, dacă n +. Exemplul 1.3. Urmăoarele egaliăţi sun adevărae: numie formulele lui Sohoski. Soluţie. Au loc relaţiile: 1 + j0 = jπδ() + V p1 1 j0 = jπδ() + V p1 (6) + lim ε 0 ϕ() + + jε d = jπϕ(0) + V p ϕ() d

Elemene de eoria disribuţiilor 5 + ϕ() + lim ε 0 jε d = jπϕ(0) + V p ϕ() d Demonsrăm prima egaliae. Dacă ϕ = 0 penru x > A, aunci + ϕ() lim d = lim ε 0 + jε ε 0 A jε = ϕ(0) lim d + lim ε 0 A 2 + ε2 ε 0 A A A jε 2 + ε 2 ϕ()d = ( jε)(ϕ() ϕ(0)) d = A 2 + ε 2 = 2jϕ(0) lim arcan A A ε 0 ε + ϕ() ϕ(0) d = A + ϕ() = jπϕ(0) + V p d. elaţia de mai sus exprimă convergenţa în D 1 a şirului, dacă ε 0; noăm valoarea +jε 1 limiei cu. Analog se obţine şi cea de a doua relaţie. + j0 Disribuţii în n Inroducem urmăoarea clasă de funcţii indefini derivabile cu supor compac. Penru aceasa să precizăm unele noaţii. Considerăm α un muliindice, adică α = (α 1,, α n ), α i N şi noăm cu α = α 1 + + α n. Fie operaorul de derivare D α f(x) = α f(x 1,, x n ), D 0 f(x) = f(x), x = (x α 1, x 2, x n ). 1 x 1 x αn n Penru orice deschis D n, considerăm clasa C (D) = {f : D C, D α f coninuă α} şi vom defini funcţiile es, ca elemene ale urmăoarei mulţimi: Puem defini şi în aces caz scufiţa prin D( n ) = {ϕ C ( n ) supp ϕ mărgini}. ε 2 ωε(x) = c x εe 2 ε 2, x < ε 0 x ε unde c ε ese asfel ales încâ ω ε (x)dx = 1. n Să precizăm că în relaţiile de mai sus, x = x 2 1 + x 2 n, iar penru simplificare dx = dx 1 dx 2 dx n, iar inegrala ese muliplă (pe n ). Se poae arăa că,

6 Daniela oşu ωε(x) = 1 ε n ω 1 ( x ε ). În mod analog se defineşe converegnţa în D( n ) şi noţiunea de disribuţie, iar la disribuţiile de ip funcţie inegralele sun luae pe n. Suporul unei disribuţii Definiţia 1.6. Fie T D ; spunem că T se anulează pe mulţimea deschisă D, dacă ϕ D, cu supp ϕ D, are loc (T, ϕ) = 0. Definiţia 1.7. Fie T D ; numim suporul disribuţiei T complemenara celei mai mari mulţimi deschise pe care T se anulează. Noăm supp T. Exemplul 1.4. Să deerminăm suporul disribuţiilor Dirac şi Heaviside. Soluţie. 1 supp δ a = a, deoarece δ a se anulează pe \ {a} 2. supp T u = [0, + ), unde reaminim că T u ese disribuţia Heaviside. Disribuţii cu supor compac Dacă noăm cu E = {f : C, f C ()} definim urmăoarea convergenţă a şirurilor: ϕ n ϕ în E, dacă ϕ (k) n ϕ (k) k N, uniform pe orice compac K. Noăm cu E mulţimea uuror funcţionalelor T : E C, C liniare şi coninue, relaiv la convergenţa de mai sus. Se poae demonsra că mulţimea disribuţiilor cu supor compac coincide cu E. Operaţii cu disribuţii Definiţia 1.8. Dacă T 1, T 2 D, definim suma T 1 + T 2, ca disribuţia daă de (T 1 + T 2, ϕ) = (T 1, ϕ) + (T 2, ϕ), ϕ D. (7) Dacă λ C, T D, definim înmulţirea unei disribuţii cu scalar prin (λt, ϕ) = λ(t, ϕ), ϕ D. (8) Dacă f C şi T D definim înmulţirea unei disribuţii cu funcţii indefini derivabile prin (f T, ϕ) = (T, f ϕ), ϕ D. (9)

Exemplul 1.5. Arăaţi că au loc: 1. (fδ a, ϕ) = f(a)(δ a, ϕ), unde f C () 2. n δ = 0. Elemene de eoria disribuţiilor 7 Soluţie. Penru ambele afirmaţii folosim (9) şi definiţia disribuţiei Dirac. Avem (fδ a, ϕ) = (δ a, fϕ) = f(a)ϕ(a) = f(a)(δ a, ϕ). A doua se deduce din prima, penru a = 0 şi f() = n. Exemplul 1.6. Dacă T D şi η C () ese egală cu 1 pe o vecinăae a mulţimii supp T, aunci are loc T = ηt. Soluţie. Înr-adevăr, are loc (T ηt, ϕ) = (T, (1 η)ϕ) = 0, deoarece supp (1 η)ϕ supp T =. Definiţia 1.9. Dacă T D, iar u = a + b, a 0, formula (T (a + b), ϕ()) = 1 ( ( )) u b (T (u), ϕ a a se numeşe disribuţia obţinuă prin schimbarea variabilei independene. (10) Se poae arăa că T (a+b) ese o disribuţie. Dacă f L 1 loc, aunci formula (10) reprezină schimbarea de variabilă înr-o inegrală. Exemplul 1.7. Să demonsrăm că disribuţia Dirac are proprieăţile: (δ(a + b), ϕ()) = 1 a ϕ( b a ) (11) (δ(a), ϕ()) = 1 a ϕ(0) = 1 (δ, ϕ) (12) a δ( ) = δ() (13) δ( a) = δ a. (14) Soluţie. Dacă aplicăm formula (10) penru δ obţinem (11). Penru b = 0, a 0 avem (12). Din egaliaea precedenă deducem pariaea disribuţiei Dirac, adică (13). Dacă a = 1, b = a, aunci de unde se obţine (14). (δ( a), ϕ()) = (δ(u), ϕ(u + a)) = ϕ(a) = (δ a, ϕ),

8 Daniela oşu 1.1. Probleme propuse. 1.1 Care din urmăoarele { funcţii sun funcţii es? 1, 0 a. u() = 0, < 0 1 b. hε() = 2ε, [ ε, +ε] 0, [ ε, +ε] { sin, [0.π] c. ϕ() = 0, [0, π] { 1, x Q d. f()= 0, \ Q e. ϕ() = e, { f. ϕ() = e 1 2 a 2, a 0, > a { sin( aπ), [a, b] g. ϕ() = b a 0, [a, b]. 1.2 Dacă în exemplul (1.1) luăm ε = 1, arăaţi că n lim c n = +. n { 1.3 Să se arae că şirul ϕ n () = 1 e 1 2 a 2, < a ese convergen în D la funcţia n 0, > a idenic nulă. 1.4 Penru orice inerval (a, b) şi ε > 0 exisă η C (), cu urmăoarele proprieăţi: 1. 0 η 1 2. η() = 1 penru (a ε, b + ε) 3. η() = 0, penru (a 3ε, b + 3ε). 1.5 Să se arae că orice funcţie ϕ D poae fi reprezenaă sub forma ϕ() = ψ () + ϕ 0 () ϕ()d unde ϕ 0, ψ D şi ϕ 0 ()d = 1. 1.6 Să arae că o funcţie ϕ D ese derivaa unei funcţii dacă şi numai dacă ϕ()d = 0. 1.7 Fie funcţiile ϕ, η D cu proprieaea că exisă o vecinăae V a lui 0, asfel ca η() = 1, V. Aunci penru orice m N funcţia ψ m D, unde ψ m () = ( 1 m 1 lim 0 m ϕ() η() ( m 1 ϕ() η() În paricular, penru m = 1, ψ 1 D k=0 m 1 k=0 ϕ (k) (0) ), m 0 k! ϕ (k) (0) ), m = 0. k!

Elemene de eoria disribuţiilor 9 ϕ() η()ϕ(0), 0 ψ 1 () = ϕ() η()ϕ(0) lim, = 0, 0 unde η, ϕ D şi η 1 pe V. 1.8 Arăaţi că dacă f L 1 loc(), formula (1) defineşe o disribuţie. Definiţi disribuţia Heaviside generaă de funcţia uniae. Arăaţi că funcţiile u 1 () = { 1, > 0 0, 0 şi u 2() = 1, > 0 1 2, = 1 2 0, 0 generează o disribuţia Heaviside. 1.9 Arăaţi că în urmăoarele cazuri a. f ese o funcţie coninuă pe b. f = u g, unde g ese coninuă, iar u ese funcţia uniae are loc supp T f = supp f. 1.10 Arăaţi că dacă f 1, f 2, f L 1 loc(), aunci T f1 +f 2 = T f1 +T f2 şi T αf = αt f, α C. 1.11 Să se demonsreze că disribuţia Dirac ese singulară. 1.12 Arăaţi că şirul disribuţiilor generae de ω 1 1.13 Arăaţi că seria + n=1 δ n ese slab convergenă. n converge slab la disribuţia Dirac, δ 1.14 Să se demonsreze că urmăoarele funcţionale sun disribuţii. a. V p 1 : D C, (V p 1 + 2, ϕ) = vp ϕ() ϕ(0) d, ϕ D 2 2 b. V p 1 : D C, (V p 1 3, ϕ) = vp ϕ() ϕ (0) d, ϕ D 3 3 c. V p ln : D C, (vp ln, ϕ) = vp ln ϕ()d, ϕ D. 1.15 Să se deermine soluţiile generalizae în D penru ecuaţiile: a. T = 0 b. T = δ. 1.16 Să se demonsreze egaliăţile: a. (cos )δ = δ b. (sin )δ π = δ π 2 2 c. vp 1 = T 1 d. n vp 1 = T n 1. 1.2. Soluţii. 1.1 a. supp u = [0, ), u D b. supp hε = [ε, +ε], hε D c. suppϕ = [0, π], ϕ C(), ϕ C() d. supp ϕ = Q =, nu e compac, ϕ nu e coninuă în nici un punc.

10 Daniela oşu e. ϕ C (), dar supp ϕ =, ϕ D f. supp ϕ = [ a, a], ϕ C (); deci ϕ D g. suppϕ = [a, b], ϕ C() dar nu e derivabilă în a şi b. 1 1 n 1 1.2 1 = ()d = c n e n 2 2 n 1 d ω 1 n 1 n 1 n e 1 d = 2c n. de unde rezulă afirmaţia. ne 1.3 supp ϕ n = [ a, a], ϕ (k) n 0 uniform pe [ a, a], k = 0, 1, 2 1.4 Exerciţiul indică un procedeu general de a consrui funcţii es cu suporul pe un deschis oarecare (a, b). Considerăm funcţia caracerisică χ a mulţimii [a 2ε, b + 2ε], adică şi funcţia χ() = { 1 [a 2ε, b + 2ε] 0 [a 2ε, b + 2ε] η() = χ(y)ω ε ( y)dy = b+2ε a 2ε ω ε ( y)dy = a+2ε b 2ε ω ε (x)dx. Din proprieăţile inegralelor cu parameru, rezulă că η C () şi 0 η() ω ε ( y)dy = ω ε (x)dx = 1, deci prima afirmaţie ese adevăraă. Dacă (a ε, b + ε), rezulă incluziunea iar inegrala ese [ ε, ε] [ b 2ε, a + 2ε], a+2ε b 2ε ω ε (x)dx = ε ε ω ε (x)dx = 1 şi a doua afirmaţie ese adevăraă. Penru cea de a reia puem dovedi că [ b 2ε, a + 2ε] [ ε, ε] = şi rezulă că dacă (a 3ε, b + 3ε) avem η() = 0. 1.5 Fie ϕ 0 D cu ϕ 0(x)dx = 1 şi fie x ( ) ψ(x) = ϕ() ϕ 0 () ϕ(x)dx d. Aunci avem reprezenarea din enun. ămâne de verifica că ψ C () şi supp ψ ese compac. Cum ψ ese consruiă cu ϕ, ϕ 0 D deci infini diferenţiabilă rezulă că ψ C (). Să arăăm că supp ψ ese compac. Fie [a, b] = supp ϕ şi [c, d] = supp ϕ 0, α = min{a, c}, β = max{b, d}; demonsrăm că supp ψ [α, β], adică ψ(x) = 0 penru orice x < α, x > β. Dacă x < α avem ψ(x) = 0, iar dacă x > β puem lua x = β + h, h > 0 şi avem

Elemene de eoria disribuţiilor 11 ψ(x) = β+h ϕ()d ϕ(x)dx β+h ϕ 0 ()d; folosind fapul că supp ϕ = [a, b], supp ϕ 0 = [c, d], coninuăm egaliăţile b β+h ( b d ) β+h ϕ()d + ϕ()d ϕ(x)dx ϕ 0 ()d + ϕ 0 ()d = a b a c α b b = ϕ()d ϕ(x)dx = 0 a a Urmează ψ(x) = 0, x > β. 1.6 Fie ϕ = ψ aunci ϕ(x)dx = ψ (x)dx = ψ(+ ) ψ() = 0; deoarece ϕ C () rezulă ψ C (); avem supp ϕ = supp ψ care ese compac. Dacă ψ(x) = x ϕ()d rezulă că ψ D, ψ = ϕ C () şi supp ψ supp ϕ. Dacă x < a, ψ(x) = 0; dacă x > b, b x ψ(x) = ϕ()d + ϕ()d = ϕ()d = 0. a b 1.7 Fie V = (ε, ε) cu proprieaea η(x) = 1, x ( ε, ε); noăm m 1 f(x) = ϕ(x) η(x) k=0 ϕ (k) (0) x m, k! ( suma reprezină polinomul Taylor al lui ϕ în jurul originii). Are loc f(x) ψ m (0) = lim x 0 x = f (m) (0), m m! dacă aplicăm regula lui l Hospial de m ori. lim ψ f(x) m(x) = lim x 0 x 0 x = f (m) (0), m m! deci ψ m ese coninuă în x = 0. Avem eviden că ψ m ese indefini derivabilă pe \ {0} şi supp ψ m ese compac; să sudiem derivabiliaea în 0. f(x) ψ m(o) ψ m (x) ψ m (0) f (m) (0) x = lim = lim m m! x 0 x x x f(x) xmf (m)(0) m! = lim = f (m+1) (0) x 0 x m+1 (m + 1)!, dacă aplicăm l Hospial de m + 1 ori. şi calculăm ψ m(x) = f (x)x mf(x) x m+1 f (x)x mf(x) lim x 0 ψ m(x) = lim x 0 x m+1 = = lim x 0 f (x) + xf (x) mf (x) (m + 1)x m

12 Daniela oşu 1.8 = lim x 0 (1 m)f (x) + xf (x) (m + 1)x m = lim x 0 (2 m)f (x) + xf (x) (m + 1)mx m 1 = = lim x 0 (m + 1 m)f (m+1) (x) + xf (m+2) (m + 1)! = f (m+1) (0) (m + 1)! = ψ m(0), deci ψ m C 1 (); în şirul de egaliăţi precedene s-a folosi regula lui l Hospial. Analog rezulă penru derivaele de ordin superior. = α 1 (T f, α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 ) = f()ϕ 1 ()d + α 2 f()(α 1 ϕ 1 () + α 2 ϕ 2 ())d = f()ϕ 2 ()d = α 1 (T f, ϕ 1 ) + α 2 (T f, ϕ 2 ), penru orice ϕ 1, ϕ 2 D şi orice α 1, α 2 C. Dacă ϕ n ϕ, în D, aunci prin recere la limiă sub semnul inegralei, (siuaţie posibilă daoriă convergenţei uniforme), rezulă (T f, ϕ n ) = f()ϕ n ()dx f()ϕ()d = (T f, ϕ). Dacă f = u, funcţia uniae, obţinem disribuţia Heaviside. (T u, ϕ) = + 0 f()ϕ()d, ϕ D Deoarece funcţiile de mai sus diferă pe o mulţime finiă, din Lema du Bois aymond, generează aceeaşi disribuţie. 1.9 Folosim lema du Bois aymond. 1.10 Aplicăm definiţia operaţiilor şi lema du Bois aymond. 1.11 Presupunem că exisă o funcţie local inegrabilă, f asfel ca penru orice ϕ D f()ϕ()d = ϕ(0). ω 1 n 1 Fie ϕ n () = ω 1 () = c n e n 2 2 1. Din proprieăţile scufiţei, rezulă n 1 1 n 1 1 = ()d = c n e n 2 2 n 1 d De aici rezulă că c n > ne 2 şi c n +. Din ipoeză 1 n 1 n ϕ n (0) = c n e = f()ϕ n ()d. e 1 d = 2c n ne. Fie M = sup f(), [ 1, 1], care exisă, deoarece f ese local inegrabilă; aunci avem c n e = f()ϕ n ()d M ϕ n ()d = M. de aici rezulă că c n ese mărgini, deci ar conrazice la c n.

Elemene de eoria disribuţiilor 13 1.12 Să arăăm că lim ω 1 ϕ()d = ϕ(0), n + n penru orice ϕ D. Din coninuiaea funcţiei es, penru orice η > 0, exisă ε 0 asfel ca dacă < ε 0, rezulă ϕ() ϕ(o) < η. Avem aunci ω 1 ()ϕ()d ϕ(0) = n de unde rezulă afirmaţia. ω 1 () ϕ() ϕ(0) d < η n 1.13 Acesa rezulă, deoarece penru orice ϕ D, suma + 1.14 a. V p ϕ() ϕ(0) 2 d = V p 2 2 ϕ (θ), θ (0, 1); aunci avem ω 1 ()(ϕ() ϕ(0))d n ω 1 ()d = η, n + n=1 (δ n, ϕ) ese o sumă finiă. ϕ() ϕ (0) ϕ(0) 2 d şi ϕ() = ϕ(0)+ϕ (0)+ ϕ() ϕ (0) ϕ(0) = 1 2 2 ϕ (θ) sup ϕ () <. [ A,A] b. şi c. rezulă analog. 1.15 a. Fie ϕ D, aunci ψ() = ϕ() η()ϕ(0), 0 ϕ() η()ϕ(0) lim, = 0 0 (cu η D, η 1 pe V (0)), ese din D. Conform cu exerciţiul 1.7 avem = (T, (T, ϕ) = (T, ϕ() η()ϕ(0)) + (T, η()ϕ(0)) = ϕ() η()ϕ(0) ) + ϕ(0)(t, η()) = ( T, ψ()) + ϕ(0)(t, η()) = = ϕ(0)c = (cδ, ϕ), ϕ D. Deci T = cδ, unde c = (T, η()). ϕ() η()ϕ(0) b. Fie ϕ D arbirar şi, funcţia de la puncul a.; avem (T, ϕ) = (T, ϕ() η()ϕ(0) ) + (T, η()ϕ(0)) = = ( T, ψ()) + ϕ(0)(t, η()) = (δ, ψ()) + ϕ(0)(t, η()) = ψ(0) + cϕ(0). Dar ϕ() η()ϕ(0) ψ(0) = lim Din relaţiile de mai sus rezulă = lim 0 ϕ () = ϕ (0).

14 Daniela oşu (T, ϕ) = ϕ (0) + cϕ(0) = (δ, ϕ ) + c(δ, ϕ) = (δ, ϕ) + (cδ, ϕ) = 1.16 ezulă T = cδ δ. c. ( vp 1, ϕ) = (vp1, ϕ) = vp ϕ D şi rezulă vp 1 = T 1. = (cδ δ, ϕ), ϕ D. ϕ() d = ϕ()d = (T 1, ϕ), supp ϕ 2. Derivarea disribuţiilor Definiţia 2.1. Dacă T D, aunci definim derivaa sa de ordin α = (α 1, α n ) prin unde α = α 1 + α n. (D α T, ϕ) = ( 1) α (T, D α ϕ), ϕ D( n ), (15) Cazul n = 1. Dacă T ese o disribuţie pe, aunci derivaa ei de ordin n ese definiă de formula de mai jos (T (n), ϕ) = ( 1) n (T, ϕ (n) ) ϕ D. (16) Exemplul 2.1. Să calculăm densiaea de sarcină corespunzăoare unui dipol puncual de momen dipolar +1 afla pe dreapă în puncul = 0. Soluţie. Aceasa revine la a arăa că δ( ε) δ() lim = δ () ε 0 ε unde limia ese luaă în sens slab; adică, penru orice ϕ D ε) δ() ϕ(ε) ϕ(0) lim(δ(, ϕ) = lim = ϕ (0) = (δ, ϕ ) = (δ, ϕ). ε 0 ε ε 0 ε Sarcina oală ese ( δ, 1) = (δ, 1 ) = (δ, 0) = 0, iar momenul dipolar ese ( δ, ) = (δ, ) = (δ, 1) = 1. Exemplul 2.2. Să calculăm derivaele disribuţiei Dirac. Soluţie. Folosind definiţia avem: (δ (n), ϕ) = ( 1) n ϕ (n) (0).

Exemplul 2.3. Să calculăm derivaa disribuţiei Heaviside. Soluţie. Să arăăm că Elemene de eoria disribuţiilor 15 T u = δ. Înr-adevăr ϕ D. + (T u, ϕ) = ϕ ()d = ϕ(0) = (δ, ϕ), 0 Teorema 2.1. Dacă f admie derivaa de ordin n din L 1 loc() şi derivaele f, f, f (n) au în = 0 punc de disconinuiae de prima speţă aunci T (n) f = T f (n) + σ n 1 δ + σ 0 δ (n 1), k = 0,..., n 1. (17) unde σ k = f (k) (0+) f (k) (0 ) ese salul derivaei de ordin k în = 0. Exemplul 2.4. Să calculăm derivaele funcţiei f() = u() cos. Calculăm primele derivae, observând penru începu că în = 0, funcţia nu ese derivabilă. Avem f () = u() sin σ 1 = 0 f () = u() cos σ 2 = 1 f () = u() sin σ 3 = 0. Urmează unde σ 2(k 1) = ( 1) k 1. T (n) f = T u() cos (n) + [ n+1 2 ] k=1 σ 2(k 1) δ n (2k 1), Generalizare. Dacă puncul de disconinuiae ese = a, aunci salurile funcţiei şi ale derivaelor sale se consideră în = a, iar disribuţiile se înlocuiesc cu δ a T (n) f unde σ k = f (k) (a + 0) f (k) (a 0), k = 0,..., n 1. Teorema 2.2. Dacă f D şi T D, aunci are loc: = T f (n) + σ n 1 δ a + σ 0 δ (n 1) a, (18) n (f T ) (n) = Cnf k (n k) T (k). (19) k=0

16 Daniela oşu Teorema 2.3. Dacă f funcţie local inegrabilă are pe orice inerval mărgini un număr fini de punce k, k Z de disconinuiae de prima speţă, iar f ese derivabilă pe \ { k }, aunci are loc T f = T f + k Z(f( k + 0) f( k 0))δ k. (20) Exemplul 2.5. Să deerminăm derivaa disribuţiei generae de prelungirea prin periodiciae a funcţiei f 0 : [ 1, 1), f 0 () = pe. Soluţie. Prelungim prin periodiciae funcţia f 0 : [ 1, 1), f 0 () = pe şi noăm cu f prelungirea; aunci ea generează o disribuţie a cărei derivaă după formula precedenă ese T f = T f + k Z(f((2k 1) + 0) f((2k 1) 0)))δ 2k 1 şi cum f = 1 pe \ {2k 1}, avem T f = T 1 2 k Z δ 2k 1. Teorema 2.4. Fie seria f n, f n : C, f n L 1 loc, uniform convergenă pe orice n=1 inerval mărgini din, cu suma f. Aunci f L 1 loc, f n = f, iar seria poae fi n=1 derivaă ermen cu ermen în sensul disribuţiilor, ori de câe ori. Aplicaţie Dacă a k saisface aunci seria rigonomerică a k A k m + B, + k= a k e jk converge în sensul disribuţiilor. Înr-adevăr considerăm seria a 0 m+2 (m + 2)! + + a k k=,k 0 a k e jk (jk) m+2. Deoarece (jk) = a k m+2 k A m+2 k + B, seria ese uniform convergenă pe, deci 2 k m+2 din eorema precedenă poae fi derivaă ermen cu ermen de m + 2 ori, după care găsim rezulaul. Exemplul 2.6. Formula lui Poisson de însumare. Penru orice ϕ D are loc + ϕ(n) = + n= n= + ϕ(ω)e jn2πω dω. (21)

Soluţie. Fie h : [0, 2π) funcţia definiă prin: Elemene de eoria disribuţiilor 17 h() = 2 2 4π. Ea admie dezvolare în serie Fourier sub forma complexă h() = + n= Dacă efecuăm calculele, obţinem c n e jn, c n = 1 2π h() = π 6 1 2π + n=,n 0 2π 0 h()e jn d. 1 n 2 ejn. Seria din membrul al doilea poae fi derivaă în sensul eoriei disribuţiilor, deoarece, din ejn n = 1, rezulă uniform convergenă. Vom deriva aceasă serie de două ori; folosind 2 n2 formula (20) şi fapul că prelungirea prin periodiciae a lui h ese coninuă, iar prelungirea prin periodiciae a lui h = 1 2, (0, 2π) ese disconinuă pe \ {2nπ} are loc 2π T h = 1 2π T 1 + + n= δ 2nπ ( 1 2 + 1 2 ). Egalând aceasă serie cu derivaa de două ori a seriei anerioare, avem Alegem = 2πω ω 0 1 2π T 1 + + n= δ 2nπ = 1 2π + T e jn. n=,n 0 şi folosim asemănarea (13) şi (14) disribuţiei Dirac, avem + δ(ω nω 0 ) = 1 T jn n= ω 2πω. 0 e ω 0 n= Dacă paricularizăm ω 0 = 1, penru orice ϕ D are loc numia formulă căuaă. + Exemplul 2.7. Să arăăm că soluţia ecuaţiei ese de forma m T = 0 T = m 1 k=0 c k δ (k) (), c k C. Soluţie. Mai înâi arăăm că T de forma precedenă saisface ecuaţia. Fie ϕ D; k = 0,... m 1 are loc ( m δ (k), ϕ) = (δ (k), m ϕ) = ( 1) k (δ, ( m ϕ) (k) ) = ( 1) k ( m ϕ) (k) =0 = 0.

18 Daniela oşu Dacă η D ese 0 înr-o vecinăae a lui = 0, aunci are loc unde m 1 ϕ() = η() k=0 ϕ (k) (0) k + m ψ(), k! m 1 ψ() = m (ϕ() η() k=0 Deoarece ψ D, i se poae aplica formula lui Taylor ϕ (k) (0) k ). k! ψ() = N k=m adevăraă pe vecinăaea lui = 0 aleasă. Fie T o soluţie a ecuaţiei considerae; avem ϕ (k) (0) k m + O( N+1 ), N m k! unde c k = ( 1)k k! (T, η k ). 2.1. Probleme propuse. m 1 (T, ϕ) = (T, η() k=0 = = m 1 k=0 m 1 k=0 ϕ (k) (0) k ) + (T, m ψ()) = k! ϕ (k) (0) (T, η() k ) + ( m T, ψ) = k! ( 1) k c k ϕ (k) (0) = m 1 k=0 c k (δ (k), ϕ), 3.1 Să se calculeze derivaele disribuţiilor generae de funcţiile: a. u( ) e. b. u( 0 ) f. vp ln c. u( 0 ) g. vp 1 d. sgn h. u()( + 1). 3.2 Deerminaţi derivaele de ordin 1, 2 şi 3 penru disribuţiile generae de a. f = sin, b. g = cos. 3.3 Aflaţi derivaele de ordin n ale disribuţiilor generae de funcţiile a. u() e. [] b. sgn f. u(a ) c. g. 2 u( + 1)u(1 ) d. u()e a h. u() sin.

Elemene de eoria disribuţiilor 19 3.4 Să se demonsreze relaţiile: a. δ + δ = 0 b. 2δ + 4δ + 2 δ = 0 c. δ (n) = nδ (n 1) d. n δ (n) = ( 1) n n!δ. 3.5 Dacă f ese prelungirea prin periodiciae a funcţiei f 0 : [ 1, 1), f 0 () = sgn pe ; arăaţi că are loc 3.6 Deerminaţi soluţiile ecuaţiilor a. T = 0 b. T (n) = 0, n = 2, 3,... 2.2. Soluţii. T f = 2 δ 2k 1 + 2 δ 2k. k Z k Z 3.1 a. T u( ) = δ { 1, 0 b. u( 0 ) = T 0, < u( 0 ) = δ 0 { 0 1, 0 c. u( 0 ) = T 0, > u( 0 ) = δ 0 0 d. T sgn = 2δ e. T sgn f. (vp ln ), ϕ) = (vp ln, ϕ ) = vp ln ϕ ()d = ε = lim( + ) ln ϕ ()d) = ε 0 ε lim ε 0 ( (ln ϕ() ε ε 1 ϕ()d) + (ln ϕ() ε ε ) ϕ() d) ( ε = lim ε 0 ϕ() d + ε ) ϕ() d + lim( ϕ( ε) ln(ε) + ϕ(ε) ln(ε)) = ε 0 = (vp 1, ϕ) + lim(ln(ε))(ϕ(ε) ϕ( ε)). ε 0 Folosind eorema lui Lagrange, egaliaea devine (vp 1, ϕ) + lim 2ε ε 0 ln(ε)ϕ (ξ ε ) = (vp 1, ϕ), ϕ D. g. vp 1 = vp 1 2

20 Daniela oşu h. Funcţia ese { 0, < 0 + 1, 0 şi are derivaa T u + δ. 3.2 a. T f = cos T + sin T = cos T + sin T sgn, T f sin, T f = 4δ 3T sgn sin cos = 2T sgn cos b. T g = T sgn cos sin, T g = 2δ 2T sgn sin cos, T g = 2δ 3T sgn cos + sin. 3.3 a. T u = δ, T u (n) = δ (n 1) b. T (n) sgn = 2δ (n 1) c. T (n) = 2δ (n 2) d. T (n) u()e = T a ua n e a + an 1 δ + δ (n 1) e. Funcţia are saluri de valoare 1 în orice număr înreg, iar derivaa ese 0 pe \Z; deci T [] = + k= δ( k), iar derivaa de ordin n ese de forma + k= δ (n 1) ( k). f. Prima derivaa ese δ( + a) δ( a), iar de ordin n ese de forma δ (n 1) ( + a) δ n 1) ( a). g. Prima derivaă ese 2T u(1 ) + δ( 1) δ( + 1), a doua ese T 2u(1 ) 2δ( + 1) 2δ( 1) + δ ( + 1) δ ( 1), iar cea de ordinul 3 2 n, (3 k)! (( 1)k 1 δ (m k) ( + 1) δ (m k) ( 1)), m = 3, 4 k=1 h. T (n) u sin = T u sin (n) + [ n 2 ] k=1 ( 1) k 1 δ (n 2k). 3.4 a. din δ = 0, prin derivare avem δ + δ = 0 b. din 2 δ = 0, prin derivare, 2δ + 2 δ = 0 şi dacă mai derivăm o daă, avem b. c. (δ (n), ϕ) = (δ (n), ϕ) = ( 1) n (δ, (ϕ) (n) ) = = ( 1) n (δ, ϕ (n) + nϕ (n 1) ) = ( 1) n (δ, ϕ (n) ) + ( 1) n n(δ, ϕ (n 1) ) = = n( 1) n 1 (δ, ϕ (n 1) ) = n(δ (n 1), ϕ), ϕ D. d. din (δ) (n) = δ (n) + nδ (n 1), avem δ (n) + nδ (n 1) = 0, iar dacă înmulţim cu şi folosind c., 2 δ (n) = + nδ (n 1) = n(n 1)δ (n 2) epeând raţionamenul, afirmaţia rezulă prin inducţie.

Elemene de eoria disribuţiilor 21 3.5 Are loc T f = T f + k Z(f(k + 0) f(k 0))δ k şi cum f = 0 pe \{Z}, iar salurile funcţiei sun 2 în numerele 2k şi -2 în 2k 1, rezulă formula. 3.6 a. Din T = 0 deducem ((T, ϕ) = (T, ϕ ) = 0, penru orice ϕ D. Din exerciţiul 1.5 are loc scrierea ϕ(x) = ϕ 0 (x) + ϕ 0 (x)dx = 1. Au loc (T, ϕ) = (T, ϕ 0 + + ϕ(x)dx + ϕ 1(x) cu ϕ 1, ϕ 0 D şi + ϕ(x)dx + ϕ 1) = (T, ϕ 0 ) ϕ(x)dx + (T, ϕ 1). Dar (T, ϕ 1) = 0, iar (T, ϕ 0 ) = c, deci rezulă (T, ϕ) = c + ϕ(x)dx = (c, ϕ). Aşadar T = c. b. T = c 0 + c 1 x +... c n 1 x n 1. Produsul direc al disribuţiilor 3. Convoluţia disribuţiilor Vom considera clasa funcţiilor es pe 2, adică D( 2 ) = {ϕ : 2, ϕ C ( 2 ), supp ϕ compac} Fie două disribuţii (de o variabilă), definie pe D(); penru orice ϕ D( 2 ) definim funcţionala (S(s) T (), ϕ(s, )) = (S(s), (T (), ϕ(s, ))) (22) Aceasă relaţie defineşe o disribuţie, care se va numi produsul direc al disribuţiilor S, T. Lema 3.1. Fie T D şi ϕ D( 2 ) aunci funcţia ese din D() şi ψ(s) = (T (), ϕ(s, )) ψ (n) (s) = (T (), n ϕ(s, )). (23) sn Teorema 3.1. (Comuaiviaea produsului direc). Dacă S, T D () are loc S(s) T () = T () S(s).

22 Daniela oşu Teorema 3.2. (Derivarea produsului direc) Dacă S, T sun două disribuţii, aunci are loc ( s (S(s) T ()) = S () T () = S(s) T () (24) Produsul de convoluţie al disribuţiilor eaminim noţiunea de produs de convoluţie al funcţiilor şi sunem ineresaţi în ce condiţii acesa rezulă o funcţie local inegrabilă. Dacă f, g : C, aunci inegrala improprie cu parameru se numeşe produs de convoluţie. (f g)() = f(s)g( s)ds, (25) Definiţia 3.1. Şirul η k D( 2 ) inde la 1 în 2, dacă a. penru orice compac K 2 exisă n 0, asfel ca η k (s, ) = 1 penru (s, ) K şi k n 0 b. funcţiile η k şi oae derivaele lor parţiale sun uniform mărginie pe 2, adică penru orice α = (α 1, α 2 ) exisă c α asfel ca D α η k (s, ) = α 1+α 2 η k (s, ) α 1 s α 2 c α, k = 1, 2, Definiţia 3.2. Fie S, T D asfel ca penru orice η k D( 2 ) care inde la 1 în 2, exisă limia şirului numeric lim (S(s) T (), η k(s, )ϕ(s + )), ϕ D() (26) k + Valoarea acesei limie o numim produs de convoluţie şi o noăm (S T, ϕ). Teorema 3.3. Fie T D, aunci exisă T δ şi δ T şi are loc T δ = δ T = T. Teorema 3.4. Dacă T, S D şi T are supor compac, aunci convoluţia T S exisă şi ese (S T, ϕ) = (S(s) T (), η()ϕ(s + )), ϕ D, unde η D şi ese 1 înr-o vecinăae a lui supp T. Dacă T n T în D aunci T n S T S.

Elemene de eoria disribuţiilor 23 Dacă S n S în D şi S n, S au suporurile incluse înr-o mulţime mărginiă, aunci T S n S. Exemplul 3.1. Penru orice a, b are loc δ a δ b = δ a+b. Soluţie. Înr-adevăr, din eorema precedenă penru o funcţie η egală cu 1 pe o vecinăae a lui {b}, are loc (δ a δ b, ϕ) = (δ a (s) ϕ(b), η()ϕ(s + )) = (δ a (s), (δ b (), η()ϕ(s + )) = (δ a (s), ϕ(s + b)) = ϕ(a + b) = (δ a+b, ϕ). unde η ese o funcţie es egală cu 1 pe o vecinăae a suporului lui δ a Teorema 3.5. ( Liniariaea produsului de convoluţie) Dacă T 1, T 2, T 3 D asfel ca T 1 T 2, T 2 T 3 să fie definie, aunci penru orice λ 1, λ 2 are loc (λ 1 T 1 + λ 2 T 2 ) T 3 = λ 1 T 1 T 2 + λ 2 T 2 T 3. Observaţia. În general convoluţia nu ese o operaţie coninuă de la D la D, după cum rezulă din exemplul urmăor. δ( k) 0, k în D, deoarece ϕ D are loc (δ( k), ϕ) = ϕ(k) 0, k ; pe de ală pare care nu inde la 0. 1 δ( k) = 1, Teorema 3.6. ( Comuaiviaea produsului de convoluţie) Dacă exisă T S, aunci exisă şi S T şi sun egale. Teorema 3.7. ( Derivarea produsului de convoluţie) Dacă exisă T S, aunci exisă T (n) S şi T S (n) şi are loc Consecinţă. Dacă T D, aunci are loc (S T ) (n) = S (n) T = S T (n). T (n) = δ T (n) = δ (n) T. (27) Observaţie. Din exisenţa convoluţiilor T (n) S, T S (n), nu rezulă exisenţa convoluţiei T S, după cum deducem din exemplul de mai jos.

24 Daniela oşu T u T 1 = δ T 1 = T 1 T u T 1 = T u 0 = 0. Teorema 3.8. (Translaţia convoluţiei) Dacă exisă S T, aunci exisă şi S(s + h) T (s) şi are loc S(s + h) T (s) = S T (s + h), h. Inroducem o clasă de disribuţii uilă penru aplicaţii ale acesei eorii la rezolvarea unor clase de ecuaţii diferenţiale. Noăm D + = {T D supp T [0, )}. Teorema 3.9. Dacă S, T D + aunci exisă S T, aparţine lui D + şi are loc (S T, ϕ) = (S(s) T (), η 1 (s)η 2 ()ϕ(s + )), ϕ D, unde η 1, η 2 C () şi sun egale cu 1 înr-o vecinăae a semiaxei [0, + ) şi nule penru < 0, suficien de mare în valoare absoluă. Dacă S k D +, S k S, în D, aunci are loc în D. S k T S T, k, Teorema 3.10. Convoluţia disribuţiilor din D + ese o operaţie asociaivă, adică T 1 (T 2 T 3 ) = (T 1 T 2 ) T 3. Exemplul 3.2. Fie S, T D + două disribuţii cunoscue; să deerminăm U D +asfel ca S U = T. Soluţie. Dacă T = δ, soluţia U dacă exisă o vom noa S 1 şi o vom numi inversa. Dacă exisă inversa S 1, aunci ecuaţia admie soluţie unică de forma Înr-adevăr S 1 T ese soluţie, deoarece U = S 1 T. S (S 1 T ) = (S S 1 ) T = δ T = T. Dacă ar exisa două soluţii, U 1, U 2, aunci din S U 1 = T, S U 2 = T rezulă S (U 1 U 2 ) = 0, de unde S 1 (S (U 1 U 2 )) = (S 1 S) (U 1 U 2 ) = U 1 U 2 = 0 şi deci U 1 = U 2

Elemene de eoria disribuţiilor 25 Disribuţii emperae eaminim clasa funcţiilor rapid descrescăoare Are loc S = {f : f C (), C k,q, x k f (q) (x) C k,q }, D S şi în sens opologic, adică din convergenţa şirurilor în D, rezulă şi convergenţa în S. Definiţia 3.3. Numim disribuţie emperaă funcţionala liniară şi coninuă pe S Noăm mulţimea disribuţiilor emperae cu S şi observăm că S D. Exemplul 3.3. Dacă o funcţie are o creşere polinomială, adică exisă două consane a > 0, A > 0 asfel ca f() A a aunci generează o disribuţie emperaă prin formula (T f, ϕ) = + f()ϕ()d <. În paricular polinoamele definesc disribuţii emperae. Spunem că şirul T n converge la T în S dacă (T n, ϕ) (T, ϕ), ϕ S. Exemplul 3.4. Dacă T D are supor compac, ea admie o prelungire unică pe S, ca elemen al lui S, asfel (T, ϕ) = (T, ηϕ), ϕ S, η D, η = 1 pe o vecinăae a suporului lui ϕ. Aceasă funcţională ese coninuă; dacă ϕ k 0, k în S, aunci ηϕ k 0 în D. Se poae demonsra că prelungirea nu depinde de funcţia auxiliară η. Teorema 3.11. Dacă S, T S şi T are supor compac, aunci S T exisă în S şi are loc expresia (S T, ϕ) = (S(s) T (), η()ϕ(s + )), ϕ S unde η D ese o funcţie oarecare, egală cu 1 pe o vecinăae a suporului lui T.

26 Daniela oşu Teorema 3.12. Dacă S + = D + S şi S, T S +, aunci S T S + şi poae fi reprezena sub forma (S T, ϕ) = (S(s) T (), η 1 (s)η 2 ()ϕ(s + )), ϕ S(), unde η 1, η 2 sun funcţii de clasă C () egale cu 1 înr-o vecinăae a semidrepei poziive [0, + ) şi nule penru < 0, suficien de mare în valoare absoluă. Transformaa Fourier a unei disribuţii emperae Definiţia 3.4. Dacă T ese o disribuţie emperaă, numim ransformaa Fourier, disribuţia noaă F[T ] şi definiă prin (F[T ], ϕ) = (T, F[ϕ]), ϕ S. (28) Formula de mai sus corespunde urmăoarei siuaţii clasice; dacă f S, aunci ransformaa sa Fourier fiind din L 1 loc generează o disribuţie, daă de = (T F, ϕ) = + + F (ω)ϕ(ω)dω = f()e jω dϕ(ω)dω = 2 + + f()d ϕ(ω)e jω dω = f()f[ϕ]()d = (T f, F[ϕ]). Teorema 3.13. Transformarea Fourier F : S S ese un izomorfism biconinuu. Exemplul 3.5. Să arăăm că au loc urmăoarele formule: F[δ a ] = T e jaω. (29) F[δ] = T 1 (30) Soluţie. Înr-adevăr 2πδ = F[T 1 ] (31) + (F[δ a ], ϕ] = (δ a, F[ϕ]) = (δ a, ϕ()e jω d) = = + ϕ()e ja d = (T e ja, ϕ), şi prima formulă ese dovediă. Penru a = 0 în (29), deducem a doua formulă. ϕ S

Folosind formula de inversare deducem din (30): δ = F 1 [T 1 ] = 1 2π F[T 1]. Asfel rezulă şi ulima afirmaţie. Elemene de eoria disribuţiilor 27 Observăm că funcţia idenic 1 nu are ransformaa Fourier, în imp ce disribuţia generaă, T 1 admie ransformaă Fourier. Teorema 3.14. (Derivarea ransformaei Fourier) Penru orice T S are loc F (n) [T ] = F[( jω) n T ]. (32) Observaţie. Toae polinoamele admi ransformaă Fourier în sensul disribuţiilor. Teorema 3.15. (Transformarea derivaei) Penru orice disribuţie emperaă are loc Caz paricular. Dacă T = δ, are loc F[T (n) ] = (j) n F[T ]. (33) F[δ (n) ] = T (j) n. (34) Teorema 3.16. (Transformarea ranslaţiei) Penru orice disribuţie emperaă are loc F[T ( 0 )] = e j 0 F[T ]. (35) Teorema 3.17. (Translaţia ransformaei). Penru orice disribuţie emperaă are loc F[T ](ω + ω 0 ) = F[e jω 0 T ](ω). (36) Teorema 3.18. (Transformarea asemănării). Penru orice disribuţie emperaă are loc F[T (a)](ω) = 1 a F[T ](ω ), a 0. (37) a Teorema 3.19. (Transformarea convoluţiei). Penru orice disribuţie emperaă T şi S o disribuţie cu supor compac are loc F[T S] = F[T ] F[S]. (38) Un abel al unor ransformae Fourier uzuale ese da în anexa. Exemplul 3.6. Să deerminăm ransformaa Fourier a urmăoareleor disribuţii: 1. T e jx 2 2. T u.

28 Daniela oşu Soluţie. Penru prima disribuţie avem, dacă ϕ S cu supp ϕ [ A, A] + (F[T e jx 2 ], ϕ) = (T e, F[ϕ]) = e jx2 F[ϕ](x)dx = jx2 b A A b = lim e jx2 ϕ(ω)e jxω dωdx = lim ϕ(ω) e jx2 jxω dxdω = a,b a A a,b A a A b = ϕ(ω) lim e jx2 jxω dxdω = + π ϕ(ω)e j ω2 π 4 dω. A a,b a Deci ransformaa Fourier ese disribuţia πe j(ω2 π) 4. 2. eaminim ransformaa Fourier penru funcţia u()e a F[u()e a 1 ] = a + jω = 1 j( ω + ja). Dacă recem la limiă penru a 0, aunci ue a u în S, iar operaorul F fiind 1 coninuu deducem în primul membru F[u()], iar al doilea membru inde la j( ω + j0) care din formulele lui Sohoski (6) ese 1 j ( jπδ V p 1 ω ) = πδ jv p 1 ω 4. Soluţii fundamenale ale operaorilor diferenţiali Considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul n N cu forma generală unde a i C (), iar T D. Noăm a n ()U (n) + a n 1 ()U (n 1) +... + a 0 ()U = T, (39) şi aunci ecuaţia (39) devine L = a n d (n) d n +... + a 0I L(U) = T. Definiţia 4.1. Numim soluţie generalizaă (în sensul eoriei disribuţiilor) pe inervalul (a, b), orice disribuţie S D care saisface (a n ()S (n) + a n 1 ()S (n 1) +... + a 0 ()S, ϕ) = (T, ϕ), ϕ D(a, b).

Elemene de eoria disribuţiilor 29 Ese eviden că orice soluţie clasică ese soluţie şi în sensul disribuţiilor. eciproca ese daă de umăoarea lemă. Lema 4.1. Dacă T = T f cu f C(a, b) şi soluţia generalizaă ese de forma S = T y unde y C m (a, b), aunci y ese şi soluţie clasică a ecuaţiei diferenţiale asociae. Considerăm ecuaţia cu coeficienţi consanţi a n S (n) +... + a 0 S = T, a 0,..., a n C. (40) Definiţia 4.2. Numim soluţie fundamenală a ecuaţiei (40) disribuţia U care saisface L(U) = δ. (41) Soluţia fundamenală nu ese unică, ci ese deerminaă până la o soluţie arbirară a ecuaţiei L(V ) = 0. Lema 4.2. U ese o soluţie fundamenală penru L dacă şi numai dacă ransformaa Fourier saisface n a k (jω) k F[U] = 1. (42) k=0 Aceasă lemă reduce rezolvarea ecuaţiei liniare cu coeficienţi consanţi la rezolvarea unor ecuaţii algebrice de forma P (ω)x = 1 unde P (ω) ese un polinom oarecare. Consrucţia unei soluţii fundamenale ese daă de urmăoarea eoremă. Teorema 4.1. Fie y = y(x) soluţia problemei Cauchy a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 0 y = 0 y(0) =... = y (n 2) (0) = 0 y (n 1) (0) = 1. Aunci disribuţia generaă de u(x)y(x) ese soluţie fundamenală. (43) Teorema 4.2. Fie U soluţie fundamenală a operaorului L şi T D asfel că exisă convoluţia U T. Aunci soluţia ecuaţiei (40) ese S = U T şi ese unică în clasa de disribuţii din D penru care exisă convoluţia. Exemplul 4.1. Să rezolvăm ecuaţia T + 2T + T = 2δ + δ.

30 Daniela oşu Soluţie. Penru soluţia fundamenală asociem problema Cauchy y (x) + 2y + y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, cu soluţia y(x) = c 1 e x + c 2 xe x. După folosirea condiţiilor iniţiale avem y(x) = e x, iar soluţia fundamenală ese U = T u(x)y(x), iar a problemei ese T = U (2δ + δ ) = 2U + U = T u(x)(x + 1)e x. Problema Cauchy Considerăm ecuaţia diferenţială cu coeficienţi consanţi a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 0 y = f(), 0 cu condiţiile iniţiale y (k) (0) = y k, k = 0, n 1. Funcţia f ese presupusă coninuă pe [0, + ). Prelungim pe y şi pe f cu 0, pe inervalul (, 0), ceea ce revine la înmulţirea lor cu funcţia uniae. Noăm cu ỹ şi f prelungirile funcţiilor y şi f. Aunci au loc, dacă folosim (17) relaţiile: Transformând ecuaţia, obţinem unde T (k) ỹ = T ỹ (k) + k y k δ (k j), k = 1,... n. j=1 L(Tỹ) = T f + n 1 k=0 c k δ (k), c 0 = a n 1 y 0 +... + a 1 y n 2 + y n 1 c n 2 = a 1 y 0 + y 1 c n 1 = y 0. Asfel problema Cauchy se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de ipul (40). 4.1. Probleme propuse. 4.1 Arăaţi că dacă f, g : C asfel ca f, g L 1 loc(), aunci f g exisă şi ese o funcţie absolu inegrabilă pe. 4.2 Dacă f, g : C, f, g L 1 loc() şi f() = g() = 0, < 0, aunci f g L 1 loc(). 4.3 Dacă f, g : C asfel ca f, g L 1 loc() şi una dinre funcţii are supor compac, aunci f g L 1 loc. 4.4 Penru orice disribuţie T au loc a. δ( a) T () = T ( a). b. δ (n) ( a) T = T (n) ( a).

Elemene de eoria disribuţiilor 31 4.5 Dacă disribuţiile S şi T admi produs de convoluţie, aunci are loc (T S) (m+n) = T (m) S (n). 4.6 Arăaţi că penru orice a are loc: δa δ a T = T. 4.7 Să se calculeze urmăoarele produse de convoluţie: a) Tu Tu b) Tu T u 2 c) T u cos T u 3 d) T u sin T u sh 4.8 Arăaţi că dacă f, g L 1 loc ese adevăraă afirmaţia e a T f e a Tg = e a T f g. 4.9 Să se rezolve în clasa D + ecuaţiile a. T + 4T = δ b. T 4T = 2δ + δ c. T 3T + 2T = 2δ 4.10 Să considerăm un circui elecric LC (în serie) coneca la momenul = 0 la o sursă de ensiune consană E 0. Inensiaea i() verifică ecuaţia Li () + i() + 1 C 0 i(s)ds = u()e 0 Deduceţi (prin derivare) că inensiaea verifică în sens disribuţional ecuaţia LT i + T i + 1 C T i = E 0 δ. 4.11 Arăaţi că operaorul L = d d +a are ca soluţie fundamenală disribuţia T u e a. 4.12 Arăaţi că operaorul L = d2 d + 2 a2 T sin a. u a 4.13 ezolvaţi problema Cauchy 4.14 ezolvaţi problema Cauchy y () + ay() = f(), 0 y(0) = y 0. y () + a 2 y() = f(), 0 y(0) = y 0 y (0) = y 1. are ca soluţie fundamenală disribuţia

32 Daniela oşu 4.15 Folosind { recerea la disribuţii să se rezolve problemele Cauchy: y a. + 3y = e 2, 0 y(0) = 0 y + 5y + 6y = 12 b. y(0) = 2, 0 y (0) = 0 y 3y 2y = cos y(0) = 1 c. y, 0 (0) = 1 y (0) = 2 d. e. y + y = f(), 0 y(0) = a y (0) = y (0) = 0 y y y + y = e y(0) = 1 y (0) = 2 y (0) = 1, cu f() =, 0 2 cos, [0, π] 2 sin, (π, 2π] 0, în res y + y = f(), [0, 1] f. y(0) = 0 unde f() = 2 + 1, (1, 2] y (0) = 1 0, în res 4.16 Arăaţi că urmăoarele disribuţii au inversele specificae alăura. a. T = δ λδ, λ T 1 = T u()e λ b. T = T u() cos T 1 = δ + T u 4.17 ezolvaţi ecuaţia T + 2T + T = 2δ + δ folosind ransformaa Fourier. 4.18 ezolvaţi ecuaţia n T = 0 folosind ransformaa Fourier. 4.2. Soluţii. 4.1 Înr-adevăr, f g() d = f(s)g( s)ds d f(s) g( s) dsd = = f(s) ds g( s) d = f(s) ds g(u) du <. 4.2 Să observăm penru începu, că dacă f() = g() = 0, penru < 0, aunci f(s)g( s)ds = 0 f(s)g( s)ds şi inegrala ese definiă. Penru a arăa că ese o funcţie local inegrabilă, fie A > 0 şi să calculăm A A f g()d = f g()d A 0 A 0 0 f(s) g( s) dsd =

Elemene de eoria disribuţiilor 33 = A 0 A A A s f(s) ds g( s) d = f(s) ds g(u) du < +, s 0 0 deci f g ese local inegrabilă. 4.3 Înr-adevăr, presupunem că supp f [ A 1, A 1 ]; aunci f(s)g(s )ds = A1 A 1 f(s)g( s)ds exisă şi deci produsul ese bine defini; fie acum A > 0; să arăăm că produsul ese inegrabil pe [ A, A]. A A1 A A1 f(s)g( s)d f(s) g( s)dsd = A A 1 A A 1 = A1 A 1 f(s) ds A A g( s) d = A1 A 1 f(s) ds A s A s g(x) dx A1 A 1 f(s) ds A+A1 A A 1 g(x) dx, de unde afirmaţia. 4.4 a. ezulă prin paricularizarea eoremei de ranslare a convoluţiei, iar b. din eorema de derivare a convoluţiei. 4.5 Au loc relaţiile (T S) (m+n) = ((T S) (m) ) (n) = (T S (m) ) (n) = T (n) S (m). 4.6 Doarece δ a δ a = δ, afirmaţia rezulă imedia. 4.7 a. T u b. T u 3 3 c. T u (3 2 + 6 cos 6) d. Tu (sh sin ). 2 4.8 Prin efecuarea produsului de convoluţie obţinem + e ay f(y)e a(x y) g(x y)dy = e ax f(y)g(x y)dy = e ax f g(x). 4.9 { a. Se obţine soluţia fundamenală. Soluţia problemei Cauchy y + 4y = 0 sin 2 ese y() =, iar soluţia problemei iniţale ese y(0) = 1 2 disribuţia T sin 2. u 2

34 Daniela oşu { b. Soluţia problemei Cauchy y 4y = 0 e2 y(0) = 1, y ese y() =, iar soluţia problemei ese (0) = 1 4 disribuţia. Tu e2 4 { c. Soluţia problemei Cauchy y 3y + y = 0 y(0) = 1, y (0) = 1 ese y() = e2 e, iar soluţia problemei ese disribuţia T u (e 2 e ). 4.10 Prin derivarea în sens disribuţional şi ţinând con de fapul că derivaa disribuţiei Heaviside ese Dirac rezulă afirmaţia. 4.11 Are loc 4.12 Avem T u e a + at u e a = T u ae a + δ + at u e a = δ. T sin a + a 2 T sin a = δ. u u a a 4.13 Transformăm ecuaţia folosind T y = T y + y 0 δ. Problema revine la rezolvarea ecuaţiei: cu soluţia fundamenală U = T u e a T y + at y = T f + y 0 δ şi soluţia U (T f + y 0 δ) = T 0 e as f( s)ds + y 0T u e a. 4.14 După ransformări, ecuaţia devine T y + a 2 T y = T f + y 1 δ + y 0 δ care, dacă ţinem seama de exerciţiul 4.12 are soluţia T u sin a a (T f + y 1 δ + y 0 δ ) = a T 1 f(s) sin( s)ads + y 1T sin a + y 0 T u cos a. u a 0 a 4.15 a. Fie disribuţia T y ; avem T y = T y şi ecuaţia devine T y + 3T y = T u()e 2, penru care soluţia ese T y = U T u()e 2. Soluţia fundamenală ese U = T u()e 3 şi obţinem T y = T u()(e 2 e 3 ). b. Penru T y derivaele sun T y = T y + 2δ şi T y = T y + 2δ ; ecuaţia devine T y + 5T y + 6T y = 12T u() + 2δ + 10δ. Soluţia fundamenală ese U = T u()(e 2 e 3 ) şi soluţia ese T y = T 2u(). c. Ecuaţia ransformaă ese

Elemene de eoria disribuţiilor 35 T y 3T y 2T y = T u() cos δ δ + δ cu soluţia fundamenală U = T 1 9 (e2 (3+1)e ). Efecuând produsul de convoluţie obţinem soluţia T y = T u()f(), unde f() = ( 10 + 74 225 ) cos ( 5 + 121 450 ) sin + ( 3 + 5 9 )e + 78 225 e2. d. Ecuaţia devine g() = T y + T y = T f() + δ + δ şi are soluţia fundamenală U = T u()(1 cos ). Avem T u()(1 cos ) T f() = T g() unde 0, (, 0) sin cos, [0, π] sau încă (π + 2) cos + (π ) sin 2, (π, 2π] π cos π sin 4, (2π, + ) g() = (sin cos )u() + ((π 1) sin (π + 2) cos )u( π)+ +(2 cos (2π ) sin 2)u( 2π). Apoi avem U (δ +δ ) = U +U = T u()(1 cos ) +T u() cos = T u(). Soluţia problemei ese T u()+g(). e. După ransformări avem T y T y T y + T y = T u()e + 3δ δ, penru care soluţia fundamenală ese U = 1 4 T u()((2 1)e +e ) iar T y = T u()f() cu f() = e ( 3 12 2 8 + 1 16 ) + e ( 8 5 16 ). f. Ecuaţia T y + T y = T f() + δ are soluţia T y = T u() sin T f() + T u() sin. După calcule obţinem T = T g() unde g() = u() + (1 2 + cos( 1) + 2 sin( 1))u( 1)+ +( 1) cos( 2) sin( 2))u( 2).

36 Daniela oşu 4.16 a. Are loc (δ λδ) T u()e λ = T u()e λ λt u()e λ = δ b. Avem de verifica egaliaea T u() cos (δ + T u ) = T u() cos + T u() cos T u = = T u() sin + δ + T u() sin = δ. 4.17 Aplicăm ransformaa Fourier. Obţinem (jω) 2 F + 2jωF + F = 2 + jω, unde F = F[T ] ese ransformaa lui T. Deducem F = 2 + jω (1 + jω) = 1 2 (1 + jω) + 1 2 1 + jω. Dar, din cazul clasic 1 1 + jω = F[u()e ], iar 1 (1 + jω) = 1 2 j ( 1 1 + jω ) = jf[ (j)u()e ] = F[u()e ]. Deducem că F = F[u()(1 + )e ], iar prin inversare T = u()(1 + )e. 4.18 Aplicăm ransformaa Fourier şi obţinem F (n) [T ] = 0. Din exercţiul 3.6 deducem că ransformaa ese de forma c 0 + c 1 +... c n 1 x n 1, de unde prin inversare găsim = c 0 δ + c 1 δ +... c n 1 δ (n 1).