Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski) f g d f d g d f g d f d g d Γ. f d f d 9 Δ. e 8 Άσκηση η Α. Αν f, g είναι δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, και,, m f να δείξετε ότι: Β. Αν ν θετικός ακέραιος τότε: m f d d d Γ. d 9 9 6 Άσκηση η Αν f συνεχής στο διάστημα κάθε,., ώστε f d f για ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα
Άσκηση 4 η Να δείξετε τις ανισώσεις: A. d B. Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, και υπάρχει c, ώστε f c g c Άσκηση 5 η Δίνονται οι συναρτήσεις α) G να δείξετε ότι: f d g d 4 d και β) d Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και οι παράγωγοι των G και Η. Άσκηση 6 η Να βρεθούν η μονοτονία και τα ακρότατα των συναρτήσεων:. F 54 d e. G d, Άσκηση 7 η Αν f συνεχής στο διάστημα, και για, να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε: f d f d f d ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα
Άσκηση 8 η Να βρεθεί πολυώνυμο P ελαχίστου βαθμού ώστε στο σημείο,6 γραφικής παράστασης να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και στο σημείο, τοπικό ελάχιστο. Άσκηση 9 η Α. Αν f : a, a συνεχής να δείξετε ότι : της f d f d, f ά, f ή Β. Να δείξετε ότι:. ln d. Αν f : a, a Άσκηση η συνεχής και άρτια να δείξετε ότι : f d f d e '' Αν f,, να αποδείξετε ότι f f d f f ( Αν η συνάρτηση f παίρνει μη αρνητικές τιμές να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία της ανίσωσης) Άσκηση η Να δείξετε ότι:. f d f d f d f d. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα
. d d, d d Άσκηση η Υπολογίστε τα ολοκληρώματα :. 4 d. e d. ln d 4. 5. d e d Άσκηση η Αν f συνεχής στο διάστημα, να δείξετε ότι: A. f d f d B. Αν επιπλέον ισχύει f f c,, Άσκηση 4 η να αποδείξετε ότι: f d f f f Α. Αν f συνεχής στο, και F, ώστε f f f d f d να δείξετε ότι υπάρχει Β. Αν f, g συνεχείς στο, και f d g d να δείξετε ότι υπάρχει, ώστε f g a ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα 4
Άσκηση 5 η να δείξετε ότι Αν f συνεχής στο, και f d,, f d Άσκηση 6 η Αν η συνάρτηση f :, έχει συνεχή και μη μηδενική τη παράγωγο της ' f στο Άσκηση 7 η Αν :, να αποδείξετε ότι f f f με f d f d f f f d. Χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητής δείξετε ότι f 4 u u να 5. Να δείξετε ότι f 4 f. Να δείξετε ότι d 4 Άσκηση 8 η Αν f, g συνεχείς στο Έστω,,, και f g,,. Να δείξετε ότι F f d G g d. F G,.. Η συνάρτηση F G είναι αύξουσα στο, ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα 5
Άσκηση 9 η Αν : ' f παραγωγίσιμη με f και τη συνάρτηση F ακρότατα. Άσκηση η f. Να μελετήσετε f d ως προς τη μονοτονία και τα Αν f συνεχής στο, με f d και f να δείξετε ότι Υπάρχει, ώστε Άσκηση η f. Υπολογίστε τα εμβαδά των χωρίων Ω που περικλείονται:. Από τη καμπύλη με εξίσωση, 4, y. Από τη καμπύλη Άσκηση η Υπολογίστε τα όρια. lim d e d. lim e Άσκηση η d Αν f συνεχής στο R να δείξετε ότι: Άσκηση 4 η A. Αν f,, a f 4 και τις ευθείες f και την ευθεία y f u u du f d ds du u s και συνεχής να δείξετε ότι: ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα 6
Β. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: a f a d f f a I 5 5 5 d Άσκηση 5 η Αν η συνεχής συνάρτηση f :, είναι θετική για κάθε, g f d Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστημα,. Δηλαδή για κάθε, και,, Άσκηση 6 η Υπολογίστε το όριο: Άσκηση 7 η y ισχύει η σχέση: g y g g y lim Έστω f :, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, ) f f ) f d Να αποδείξετε ότι : d με : ' i. Η εξίσωση f έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο, και. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα 7
'' ii. Υπάρχει f Άσκηση 7 η, : Έστω f :, μια συνεχής συνάρτηση με f d υπάρχει, τέτοιο ώστε f d f Άσκηση 8 η. Να δείξετε ότι Δίνονται οι συναρτήσεις : f d ln και g e e,. Να δείξετε ότι ln α) f lim g β) Η συνάρτηση h f g Άσκηση 9 η είναι φθίνουσα στο διάστημα, e. Έστω f :, μια συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε : f d Άσκηση η f d Έστω f :, θετική και συνεχής συνάρτηση στο,,τέτοια ώστε,,, f g o ό g f d Να αποδείξετε ότι : f e, Άσκηση η Αν f πραγματική συνεχής συνάρτηση στο τέτοια ώστε f, Θεωρούμε τη συνάρτηση 5 g 5 f d, ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα 8.
Να δείξετε ότι η εξίσωση g έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, Άσκηση η Δίνεται η συνάρτηση: f,, Για ποιες τιμές του η συνάρτηση F παραγωγίσιμη για κάθε,. Άσκηση η. f d είναι Έστω f :,, μια συνεχής συνάρτηση. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Άσκηση 4 η ln ln,, g f d f d Έστω f :,, μια συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Άσκηση 5 η f d 4 έχει μοναδική ρίζα στο, Έστω η συνάρτηση f :,, με συνεχή τη πρώτη παράγωγο, γνησίως αύξουσα και f. Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει η σχέση: Άσκηση 6 η f f d f d f α) Έστω f :, μια θετική αύξουσα και συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f d είναι αύξουσα στο β) Έστω f,g :, δύο συνεχείς συναρτήσεις ώστε :,. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα 9
g f d, f, Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο. Επίσης να αποδείξετε ότι αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι παραγωγίσιμη στο,. Άσκηση 7 η Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση y f d, είναι μια λύση της εξίσωσης y '' y f y y ' Άσκηση 8 η, Να βρείτε τη τιμή f 4 αν i. f d ii. f d iii. f d Άσκηση 9 η Έστω f :, μια συνεχής συνάρτηση με f f φορές παραγωγίσιμη στο, ώστε: και f δύο 4,, να δείξετε ότι: f,, '' ' f f f Άσκηση 4 η Να βρεθεί η συνάρτηση F f d, με f να δίνεται από το τύπο: f 5 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σελίδα