1. Matematička logika Realni i kompleksni brojevi

1. Matematiča logia Realni i omplesni brojevi 1. Sudovi... 2 2. Prediati... 5 3. Supovi i presliavanja......................... 7 4. Algebarse struture grupa, prsten, polje........... 12 5. Relacije na supu........................... 13 6. Prirodni brojevi. Matematiča inducija. Binomna formula 14 7. Cijeliiracionalnibrojevi... 19 8. Realnibrojevi... 20 9.Komplesnibrojevi... 24 10. Zadatci za vježbu... 32 Vladimir Ćepulić Daro Žubrinić

2 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Što je matematia? Čime se bavi? Sama riječ dolazi od grče riječi μαϑημα (mathema) znanje, u množini μαϑηματα (mathémata) znanja, znanost, posebice matematia. Od svojih početaa matematia se bavila oličinsim i položajnim odnošajima, što ne iscrpljuje sav njezin sadržaj. Moglo bi se reći, da matematia proučava sve što se može istraživati matematičom metodom, to jest polazeći od neih temeljnih činjenica, postavaa logičim zaljučivanjem dolaziti do novih. Polazne činjenice sažimlju se u sustavu asioma (grč. αξιoς, ásios dostojan, a iz njih se logičim zaljučivanjem doazima dolazi do novih činjenica, oje se izriču u obliu stavaa (teorema). Stava se redovito sastoji od pretpostavaa i tvrdnja. Radi lašeg izražavanja, za nove se pojmove uvode rati nazivi u definicijama. Zavisno o objetima oji se proučavaju, matematia se dijeli na pojedine teorije teoriju supova, brojeva, funcija i t.d. Sadržaj pojedine teorije tvore pripadni asiomi, definicije, te stavci s doazima. Temeljne oznae Podsjetimo se na nee važne supove, oje znamo iz srednje šole, a oji će nam stalno biti potrebni: 1. N = {1, 2, 3,...} sup prirodnih brojeva 2. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} sup cijelih brojeva 3. Q = { a a, b Z, b 0} sup racionalnih brojeva, cjelobrojnih razlomaa b 4. R sup realnih brojeva oji možemo predočiti brojnim pravcem. Svaoj njegovoj toči pridružen je nei realni broj i obratno, svaom broju nea toča Za zbroj i umnoža brojeva imamo oznae: n a i := a 1 + a 2 +... + a n, a i := a 1 a 2... a n. i=1 Znaom := isazuje se, da je izraz sa strane dvotočja oznaa za izraz s druge strane jednaosti. i=1 1.1. Sudovi Temeljni pojam matematiče logie je sud izricanje nee tvrdnje o neim objetima. Sudove obično označujemo slovima, na pr. a :"5> 3", b :"2> 7". Sud a je istinit, asud b je lažan. Svaom je sudu pridijeljena jedna i samo jedna od tih dviju vrijednosti istinitosti: T (engl. true-istinit) ili F (engl. false-lažan). Za sud x označujemo njegovu vrijednost istinitosti s v(x). Dale je v(a) =T, v(b) =F. Sudovima se bavi algebra sudova. Ona ih promatra samo s obzirom na njihovu istinitost, a ne i sadržaj. Stoga raće pišemo a = T, b = F.UzT i F rabe se i druge oznae, na pr. ("te") i ("ne te"), 1 i 0 i t.d.

1.1. SUDOVI 3 Logiče operacije Iz sudova tvorimo nove sudove logičim operacijama: Definicija 1. Nea su x i y sudovi. Logičim operacijama: 1. ("non", nije) negacija, 2. ("et", i) onjuncija, 3. ("vel", ili) disjuncija, 4. ("implicat", ima za posljedicu) impliacija, 5. ("aequivalet", jednaovrijedno je s) evivalencija dobivamo iz njih nove oznae: x, x y, x y, x y, x y. Istinitosti tih sudova definiraju se u ovisnosti o istinitosti sastavnica x, y ovao: x x T F F T Time su definirane i same logiče operacije. x y x y x y x y x y T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T Primjedba 1. 1) Konjuncija x y je istinita jedino ao su oba suda x, y istinita. 2) U disjunciji x y je " "t.zv.uljučni ili sa značenjem: ili x ili y ili oba. Stoga je disjuncija lažna jedino ad su oba suda x i y lažna. 3) Impliacija x y čita se "iz x slijedi y ", "ao je x, onda je y ", te se x zove pretpostava, y tvrdnja. Smatra se u matematici lažnom jedino ao je pretpostava x istinita, a tvrdnja y lažna. Sve drugo je "u redu", jer se za slučaj da x nije (istinit) ništa nije tvrdilo. Ao iz x slijedi y ažemo još daje x dostatan uvjet za y,jerčim je x onda je i y,adaje ynuždan uvjet za x,jernemože biti x, a da nije y,ao x y. Impliacija x y zove se još i zaljuča. 4) Evivalenciju x y čitamo " x je onda i samo onda, ao je y ", " x je točno onda ad je y ", " x je nuždan i dostatan uvjet za y ". Evivalencija je istinita točno onda ad su x i y jednae istinitosti, t.j. oba istinita ili oba lažna. Primjer 1. a) x 2 > 1jenuždan uvjet za x > 1 b) x < 2 je dostatan uvjet za x 2 > 4 c) x > 2jenuždan i dostatan uvjet za x 2 > 4. S pomoću logičih operacija i zagrada tvorimo složene sudove formule algebre sudova, napr. (x y), (x y) (y x). Za svai slog (izbor) istinitosti sudova sastavnica nee formule jednoznačno je odredena - istinitost formule. To se pridruživanje zove Booleova ili logiča funcija, a priazujemo ju t.zv. tablicom istinitosti.

4 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Primjer 2. Naći Booleovu fuciju za (x y) x y y x y (x y) T T F F T T F T T F F T F F T F F T F T Vidimo da (x y) i x y imaju iste Booleove funcije. Za formule oje imaju iste Booleove funcije ažemo da su istovrijedne ili logiči evivalentne, oznaom. Na pr. x y (x y) x y (provjeriti!) Navest ćemo jošneevažnije istovrijedne formule. Stava 1. Vrijedi: 1. ( x) x pravilo dvostrue negacije 2. x (y z) (x y) (x z), x (y z) (x y) (x z) distributivnost 3. (x y) x y, (x y) x y De Morganove formule 4. x y (x y) (y x) 5. x y y x obrat po ontrapoziciji 6. (x y) x y. Doaz. S pomoću tablica istinitosti. Zamjenom formule ili njezinog dijela s istovrijednim izrazom dobivamo novu formulu istovrijednu s prvotnom. Primjer 3. (x y) ( (x y)) 1. x y. Primjer 4. Naći Booleovu funciju za (x y) (y x). x y x y y x (x y) (y x) T T T T T T F F T T F T T F T F F T T T Ova formula istinita je za sve slogove istinitosti. Ao je nea formula istinita za sve slogove istinitosti, ažemo da je identiči istinita ili tautologija ( T ). Ao je pa lažna za sve slogove istinitosti ažemo da je identiči lažna ( F ). Identiči istinite formule temelj su logičoga zaljučivanja. Navodimo nee važnije tautologije: Stava 2. Sljedeće formule su identiči istinite: 1. (x (x y)) y (modus ponens) 2. ((x y) y) x (modus tollens) 3. (( x y) y) x (doaz iz protuslovlja) 4. ((x y) (y z)) (x z) (zaon silogizma) Doaz. S pomoću tablica istinitosti ili zamjenama po istovrijednosti.

1.2. PREDIKATI 5 1.2. Prediati Jednostavni sudovi obično izriču nea svojstva objeata, oji se promatraju ili odnošaje, relacije medu - njima. Sup svih promatranih objeata nee teorije zvat ćemo univerzalnim supom ioznačavat ćemo s U, a za objete iz U ažemo da su njegovi elementi. Primjer 5. Nea je U = N. Rečenice ao P(x) : "x 2 < 5", Q(x 1, x 2, x 3 ) : " x 1 + x 2 = x 3 " nisu ni istinite ni lažne, dale nisu sudovi, ali uvrštenjem onretnih x, x 1, x 2, x 3 iz U postaju sudovi. Na pr. P(2) : "2 2 < 5 " je istinit, P(3) =F, Q(1, 4, 5) =T (1 + 4 = 5), a Q(5, 1, 4) =F (5 + 1 4). Tave rečenice, "sudne forme", zovu se prediati. Definicija 2. Sudna forma P(x 1, x 2,..., x n ) oja za svai slog (izbor) elemenata x 1, x 2,..., x n univerzalnog supa U postaje sud zove se n -mjesni prediat na U. Sup C P svih slogova (x 1, x 2,..., x n ) elemenata iz U za oje je P(x 1, x 2,..., x n ) istinit zove se araterističan sup prediata P. On potpuno odreduje - P u logičom smislu, t.j. s obzirom na istinitost. Primjer 6. Nea je U = N. Za prediat P(x, y) : "x + y = 5" je C P = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}. Iz prediata možemo tvoriti nove prediate logičim operacijama. Primjer 7. Nea je P(x) : "x 2", Q(x) : "x 5 ". Definiramo novi prediat R(x) = P(x) Q(x) : " x 2" " x 5", t.j. " 2 x 5". Sada je na pr. R(3) = P(3) Q(3) ="3 2" "3 5"= T T = T, R(7) =P(7) Q(7) =T F = F. Očevidno je C R = {2, 3, 4, 5}. Definicija 3. Kažemodajeprediat P(x 1,..., x n ) identiči istinit ( T ), ao je istinit za sve slogove elemenata od U, adajeidentiči lažan, ao jelažan za sve slogove elemenata od U. Primjer 8. Za U = N je prediat P(x, y, z) : "x 2 + y 2 + z 2 < 3 " identiči lažan, jer niti najmanja vrijednost lijeve strane 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3nijemanjaod3. Dale je P(x, y, z) F. Primjer 9. Za U = R je Q(x, y) :"x 2 +y 2 0 " uvije istinit, t.j. identiči istinit, Q(x, y) T. U logici važnu ulogu imaju "vantifiatori" i. Oni iz 1 -mjesnih prediata tvore sudove.

6 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Definicija 4. Nea je P(x) prediat na U. Sud xp(x) ("za svai x je P(x) ") je istinit, ao je P(x) T, t.j. ao je P(x) identiči istinit. Sud xp(x) ("za nei x je P(x) ") je istinit, ao nije P(x) F, t.j. ao sud P(x) nije identiči lažan, dale ao opstoji a U za oji je P(a) istinit. Možemo to zapisati i ovao: xp(x) := (P(x) T), xp(x) := (P(x) F). Primjer 10. a) Za U = R je x(x 2 0) =T; x(x 2 = 2) =T -za x = 2 ili x = 2jex 2 = 2. b) Za U = Q je x(x 2 = 2) =F, jer 2i 2 nisu racionalni brojevi. Stava 3. Nea je P(x) bilo oji jednomjesni prediat. Onda vrijedi: 1. xp(x) x P(x) 2. xp(x) x P(x) 3. xp(x) xp(x) Doaz. 1. Ao nešto nije za svai x, onda za nei x nije. 2. Slijedi iz 1. zamjenjujući P(x) s P(x), a zatim negirajući obje strane. 3. Očevidno. Tvrdnje 1. i2. zovu se De Morganove formule za prediate. Veoma su važne pri negaciji formula s vantifiatorima. Negacija presače vantifiator tao da ga mijenja u onaj drugi. Primjer 11. Nea je U = {2, 3, 4}, P(x, y) : "x y ". Vidimo da je C P = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Sada je izraz xp(x, y) jednomjesni prediat xp(x, y) =P 1 (y), jer za svai onretni y postaje sud. Naime: za y = 2jeP 1 (2) = x(x 2) =T, za y = 3jeP 1 (3) = x(x 3) =F (uzimljući x = 2), za y = 4jeP 1 (4) = x(x 4) =F (uzimljući x = 2 ili x = 3). Vidimo da je yp 1 (y) =F, yp 1 (y) =T, jer je P 1 (3) =F, P 1 (2) =T. To možemo zapisati i u obliu y xp(x, y) =F, y xp(x, y) =T. Vrijedi i općenito: Opetovanom primjenom po jednog vantifiatora za svao mjesto x i prediata P(x 1,..., x n ) dobivamo iz n -mjesnog prediata sud. Primjer 12. U = R; 1. x y(x + y = y) =F, jer ovdje x mora biti 0, 2. x y (x + y = 0) =T, ovdje je y = x, 3. x y (x + y = y) =T, taav je x = 0.

1.3. SKUPOVI I PRESLIKAVANJA 7 1.3. Supovi i presliavanja Nea je U univerzalni sup, uupnost promatranih objeata. Kažemo, da je na U definiran sup S, ao se za svai objet x iz U znade pripada li supu S, oznaom x S, ili mu ne pripada, oznaom x / S. Svaom dale supu S možemo pridružiti njegov prediat pripadanja S(x), oji je istinit za one x oji pripadaju S, alažan za ostale. S je dale araterističan sup svoga prediata, S = C S(x). Često pišemo S = {x S(x)}, što čitamo: " S je sup svih x (iz U), za oje je (istinit) S(x) ". Primjer 13. Nea je U = N, S = {1, 2, 3} = {x x < 4} = {x x 2 < 12}. Vidimo, da različiti prediati mogu definirati isti sup. Primjer 14. Za U = R označujemo R + = {x x > 0}, R 0 + = {x x 0}. Definicija 5. Nea su S, S 1, S 2 supovi definirani na U. Definiramo operacije na supovima: a) S := {x x / S} = {x (x S)} omplement ili dopuna supa S, b) S 1 S 2 := {x x S 1 x S 2 } presje supova S 1 i S 2, c) S 1 S 2 := {x x S 1 x S 2 } unija ili spoj supova S 1 i S 2, d) S 1 \ S 2 := {x x S 1 x / S 2 } razlia supova S 1 i S 2, i relacije medu - supovima: e) S 1 S 2 x(x S 1 x S 2 ) S 1 je podsup od S 2, f ) S 1 = S 2 x(x S 1 x S 2 ) sup S 1 je jedna supu S 2. Primjedba 2. Za svai sup S je S prazan sup je podsup svaoga supa. Slično ao u slučaju dvaju supova definiramo presje i uniju više supova S 1, S 2,..., S n : 1. presje n S i := S 1 S 2... S n = {x x S 1 x S 2... x S n }, 2. unija i=1 n S i := S 1 S 2... S n = {x x S 1 x S 2... x S n }. i=1 Opisat ćemo još jednu onstruciju oja se često pojavljuje u matematici:

8 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Definicija 6. Nea su S 1, S 2,..., S n supovi na U. Sup poredanih n -teraca (slogova) S 1 S 2... S n := {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 S 1 x 2 S 2... x n S n } = {(x 1, x 2,..., x n ) ix i S i } zove se Kartezijev umnoža (produt) supova S 1, S 2,..., S n. Primjer 15. S 1 = {1, 4}, S 2 = {2, 3, 5}, S 1 S 2 = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5)}. Primjer 16. Sup R 2 := R R = {(x, y) x R y R} možemo predočiti ao sup točaa ravnine XOY. Presliavanja Jedanodnajvažnijih pojmova u matematici je pojam presliavanja. Definicija 7. Nea su S 1 i S 2 supovi na U. Kažemo da je f presliavanje supa S 1 usup S 2, oznaom f : S 1 S 2, ao je svaom x S 1 pridružen neim propisom f jedincati y S 2, oznaom f : x y ili raće y = f (x). Pri tom se y zove f -slia originala x. S 1 i S 2 zovu se još i polazni dotično dolazni sup presliavanja f. Dva presliavanja f : S 1 S 2 i g : T 1 T 2 su jednaa, f = g, onda i samo onda, ao je S 1 = T 1, S 2 = T 2, te za sve x S 1 vrijedi f (x) =g(x). Nea je f : S 1 S 2. Sup S 1 zove se područje definicije ili original presliavanja f, a sup f (S 1 ) := {f (x) x S 1 } S 2 je područje vrijednosti ili slia od f. Drugi su nazivi područje i protupodručje, domena i odomena. Ta područja označujemo i oznaama: D(f )=S 1, f (D) =f (D(f )) = f (S 1 ). Presliavanja od ojih je S 1 R, S 2 = R zovu se realne funcije realne varijable. Uolio je realna funcija zadana neim matematičim izrazom, zovemo njezinim (prirodnim) područjem definicije sup realnih brojeva na ojem je taj izraz definiran. Primjer 17. Nea je U = R. a) Za f (x) = x je D(f )=R + 0, ataoder - f (D) =R + 0 (razliujemo funcije x i x ), b) f (x) =x 2 + 1, D(f )=R, f (D) =[1, +, c) f (x) =sin x, D(f )=R, f (D) =[ 1, 1]. Sl. 1.1.

1.3. SKUPOVI I PRESLIKAVANJA 9 U daljnem ćemo iz pratičnih razloga uz vantifiatore i pripadajuće elemente pisati supove iz ojih su ti elementi, uolio se vantifiator odnosi samo na podsup od U. U tom smislu je ( x S)P(x) x(x S P(x)) ( x S)P(x) x(x S P(x)). Definicija 8. Nea je f : S 1 S 2, t.j. D(f )=S 1, f (D) S 2. a) Presliavanje f : S 1 S 2 je surjetivno (surjecija) ili presliavanje S 1 na S 2, ao je f (D) =S 2, t.j. ao je svai y S 2 slia neoga x S 1, dale: y S 2 x S 1 f (x) =y. b) Presliavanje f : S 1 S 2 je injetivno (injecija), ao različiti originali imaju uvije različite slie, t.j. ao x 1, x 2 S 1 x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). ( ) Poradi a b b a ( ) je evivalentno s x 1, x 2 S 1 f (x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2. ( ) c) Kažemo da je f : S 1 S 2 bijetivno presliavanje (bijecija), ao je injetivno i surjetivno, t.j. ao vrijedi: 1. S 2 = {f (x) x S 1 } t.j. y S 2 x S 1 y = f (x), 2. x 1 S 1 x 2 S 1 f (x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2. Primjer 18. a) x n za neparne n, e x, ln x su injetivne funcije na prirodnom području definicije b) x n za parne n, sin x, cos x, tg x, ctg x nisu injetivne c) f : R R, f (x) =e x nije surjetivna. Naime, f (D) ={e x x R} = = 0, + = R + R. d) g : R + R, g(x) =ln x je surjetivna, g(d) ={ln x x R + } = R i injetivna, dale je g bijecija. Definicija 9. Nea je f : S 1 S 2, X S 1. Onda je f (X) := {f (x) x X} f -slia podsupa X. Očevidno je f (X) S 2. Ograničimo li se u djelovanju f na podsup X, dobivamo novo presliavanje restriciju ili suženje presliavanja f na X, oznaom f X. Dale je: f X : X S 2, pri čemu je (f X )(x) =f (x) za svai x X. Za g = f X je dale D(g) =X, g(d) =f (X).

10 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Primjer 19. a) Što znači da f : S 1 S 2 nije surjecija? De Morganove formule za prediate daju nam: ( y S 2 )( x S 1 )(y = f (x)) ( y S 2 )( x S 1 )(y f (x)), t.j. ima nei y S 2 oji nije slia nijednoga x S 1. b) Što znači da f : S 1 S 2 nije injecija? Uzimljući u obzir (a b) a b imamo: ( x 1 S 1 )( x 2 S 1 )(x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )) ( x 1 S 1 )( x 2 S 1 )(x 1 x 2 f (x 1 )=f (x 2 )), t.j. postoje (barem) dva različita elementa u S 1, oja f presliava u isti element iz S 2. Kompozicija funcija Uz nee uvjete iz presliavanja se izvode nova t.zv. ompozicijom. Definicija 10. Nea su S 1, S 2 i S 3 supovi, te f : S 1 S 2, g : S 2 S 3. Kompozicija ili sastava g f tih presliavanja je presliavanje: g f : S 1 S 3, definirano ovao: x S 1 (g f )(x) =g[f (x)]. Sl. 1.2. Primjedba 3. 1) Kompozicija bijecija je opet bijecija. (poazati!) 2) Kompozicija presliavanja je asocijativna, t.j. za f : S 1 S 2, g : S 2 S 3, h : S 3 S 4 vrijedi: h (g f )=(h g) f : S 1 S 4. (poazati!) 3) Bijetivno presliavanje f : S S zove se permutacija ili premjestba supa S ili rato: bijecija na S. Permutacija id S : S S, x Sid S (x) =x, oja svai x iz S presliava u njega samoga zove se identičo presliavanje ili identitet na S. Očevidno za svai f : S 1 S 2 vrijedi f id S1 = id S2 f = f. Definicija 11. Nea je f : S 1 S 2. Presliavanje g : S 2 S 1 zove se inverzno presliavanje od f,aoje: x S 1 g[f (x)] = x, y S 2 f [g(y)] = y, t.j. ao je g f = id S1, f g = id S2 (vidi sliu):

1.3. SKUPOVI I PRESLIKAVANJA 11 Važne su činjenice: Sl. 1.3. Stava 4. Za presliavanje f : S 1 S 2 opstoji inverzno presliavanje g : S 2 S 1 onda i samo onda, ao je f bijecija. U tom slučaju je i g bijecija. Inverzno presliavanje je jedincato i označujemo ga f ( 1). Doaz. 1) Pretpostavimo, da je g inverzno presliavanje od f. Za y S 2 je y =(f g)(y) = f (g(y)) = f (x), uz x = g(y). Dale je f surjecija. Ao su x 1, x 2 S 1 i f (x 1 )=f(x 2 ), onda je g[f (x 1 )] = g[f (x 2 )],paje x 1 = x 2,jerje g f = id S1. Stoga je f injecija. Doazali smo da je f bijecija. Kada bi i h : S 2 S 1 bilo inverzno presliavanje za f, bilo bi za svai y S 2,te x za oji je f (x) =y (surjetivnost od f!): h(y) =h[f (x)] = x = g[f (x)] = g(y), pa je h = g. Stoga je inverzno presliavanje jedincato. 2) Pretpostavimo, da je f bijecija. Za svai y S 2 opstoji x S 1 taav da je f (x) =y (surjetivnost od f!) i taav je x samo jedan, jer iz f (x )=f(x) slijedi x = x (injetivnost). Definiramo g(y) =x, za oji je f (x) =y. Sad je g(y) =g[f (x)] = x i f (x) =f [g(y)] = y, te je g f = id S1, f g = id S2, dale je g inverzno presliavanje od f. Očevidno su g i f medusobno - inverzni, pa je po doazanom i g bijecija, jer ima inverzno presliavanje f. Stava 5. Ao su f : S 1 S 2 ig: S 2 S 3 bijecije, onda je (g f ) ( 1) = f ( 1) g ( 1). Doaz. Poradi asocijativnosti ompozicije je (g f ) (f ( 1) g ( 1) )=g (f f ( 1) ) g ( 1) =(g id S2 ) g ( 1) = g g ( 1) = id S2 islično (f ( 1) g ( 1) ) (g f )=id S1. Dale je (g f ) ( 1) = f ( 1) g ( 1). Primjer 20. Promatramo realne funcije f : R R + 0, f (x) =x 2 i g = f R0 +. Funcija f nije injetivna, f ( x) =f (x) =x 2, pa nema inverzne funcije. Funcija g = f R0 + je surjetivna i injetivna, dale bijetivna, pa ima inverznu funciju g ( 1) = x, g ( 1) : R + 0 R + 0. Stava 6. Nea je S neprazan sup. Za sve bijecije supa S na sama sebe i njihove ompozicije vrijedi: 1. Ao su f i g bijecije na S, onda je i f g bijecija na S. 2. Ao su f, g, h bijecije na S, onda je f (g h) =(f g) h -asocijativnost. 3. Opstoji "jedinična" bijecija id S, tava da je za svau bijeciju f na S id S f = f id S = f. 4. Za svau bijeciju f : S S opstoji bijecija f ( 1) : S S tava da je f ( 1) f = f f ( 1) = id S. Doaz. Tvrdnje slijede neposredno iz prethodnih rezultata.

12 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI 1.4. Algebarse struture grupa, prsten, polje Posve slične oolnosti ao navedene u supu bijecija supa S na sama sebe, uz ompoziciju ao operaciju vrijede i u mnogim drugim primjerima supova s operacijama, te su povod definiranju temeljne algebarse struture grupe. Definicija 12. Nea je na supu G definirano presliavanje : G G G, oje svaom poredanom paru (a, b) elemenata iz G pridružuje jednoznačno odredeni - element a b iz G. Kažemo, da je na G definirana binarna operacija ("ružić"). Definicija 13. Kažemo da je neprazan sup G na ojem je definirana binarna operacija, grupa s obzirom na tu operaciju, ao vrijedi: 1. za sve a, b, c G vrijedi a (b c) =(a b) c asocijativnost 2. opstoji element e G taav da za sve a G vrijedi a e = e a = a. Element e zove se neutralni element. 3. za svai a G opstoji a G taav da je a a = a a = e. Element a zove se inverzni element elementa a. Ao još vrijedi i 4. za svai a G i b G je a b = b a ažemodajegrupa G omutativna ili abelova. Grupu G s operacijom bilježimo (G, ). Lao se poaže, da su neutralni element i inverzni element za svai pojedini a jedincati. Primjedba 4. Uslučaju zbrojidbenog zapisa binarne operacije, t.j. za " " " + " neutralni element se bilježi ao 0 (ništica, nula), a inverzni element od a ao a (suprotni element). U slučaju množidbenog zapisa " " " " neutralni element se bilježi ao 1 (jedinica), a inverzni ao a 1. Primjer 21. Primjeri omutativnih grupa su (R, +), (R \{0}, ), ({1, 1, i, i}, ) i td. Primjer najmanje neomutativne grupe je sup bijecija supa S = {1, 2, 3} na S s obzirom na ompoziciju. Primjer 22. Sup svih bijecija na nepraznom supu S s obzirom na ompoziciju ao binarnu operaciju je, ao smo poazali, grupa. Stava 7. U grupi (G, ) vrijedi: 1. Iz a x = a y slijedi x = y. 2. Iz x a = y a slijedi x = y. 3. Jednadžba a x = b ima jedincato rješenje x = a b. 4. Jednadžba x a = b ima jedincato rješenje x = b a. 5. (a b) = b a. Doaz. Na pr. 1. a x = a y a a x = a a y e x = e y x = y 3. a x = b a a x = a b e x = x = a b 5. analogno ao od bijecije.

1.5. RELACIJE NA SKUPU 13 Definicija 14. Neprazan sup R na ojem su definirane dvije binarne operacije + i je prsten, oznaom (R, +, ), ao je: 1. (R, +) omutativna grupa 2. Za a, b R je a (b c) =(a b) c. 3. Za a, b, c R je (a + b) c = ac + bc, c(a + b) =ca + cb -distributivnost. (R, +, ) je prsten s jedinicom, aojoš vrijedi: 4. U R opstoji element 1 taav da je a 1 = 1 a = a za svai a R. Primjer 23. Sup cijelih brojeva je prsten (Z, +, ) za operacije zbroja i umnoša i to je prsten s jedinicom. Definicija 15. Neprazan sup (R, +, ) je polje, ao je 1. (R, +) je omutativna grupa 2. (R \{0}, ) je omutativna grupa 3. Vrijede zaoni distribucije za a, b, c R je (a+b) c = ac+bc, c(a+b) =ca+cb. Primjer 24. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) su polja. 1.5. Relacije na supu Definicija 16. Kažemo, da je na supu S definirana relacija ρ,aoje ρ S S. Za svai (x, y) S S je dale (x, y) ρ ("x i y su u relaciji ρ ") ili (x, y) / ρ ("x i y nisu u relaciji ρ "). Često umjesto (x, y) ρ pišemo raće xρy ("x je u relaciji ρ s y "). Primjer 25. Relacija "biti dijete istih roditelja" je relacija na supu ljudi. Relacija može imati nea važna svojstva. Definicija 17. Kažemo da je relacija ρ na supu S 1. reflesivna, ao je x xρx, t.j. svai je element u relaciji sam sa sobom 2. simetrična, ao x y xρy yρx, t.j. ao iz činjenice da su x i y u relaciji slijedi da su i y i x u relaciji općenito je za relaciju bitan poreda u paru (x, y) 3. antisimetrična, ao x y (xρy yρx y = x), t.j. za različite elemente x i y ne može istodobno biti i xρy i yρx 4. tranzitivna, ao x y z (xρy yρz xρz), t.j. ao iz činjenice da su x i y u relaciji, te y i z u relaciji slijedi da su i x i z u relaciji. Definicija 18. Relacija oja je reflesivna, simetrična i tranzitivna zove se relacija evivalencije. Relacija oja je reflesivna, antisimetrična i tranzitivna zove se relacija poreta.

14 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Primjer 26. Relacija " = " na R je relacija evivalencije: 1) a R a = a 2) a, b R a = b b = a 3) a, b, c R a = b b = c a = c Nei drugi primjeri su sličnost trouta, usporednost pravaca, "biti dijete istih roditelja". Primjer 27. Na supu P(S) podsupova supa S, t.zv. partitivnom supu supa S, P(S) ={X X S} je " " relacija poreta: 1) X S je X X 2) Ao su X, Y S iz X Y i Y X slijedi Y = X 3) Ao su X, Y, Z S iz X Y i Y Z slijedi X Z. 1.6. Prirodni brojevi. Matematiča inducija. Binomna formula Sup prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} čini se jednostavnim, medutim - on je neizmjerno složen, pun otvorenih problema. U matematici se do rezultata često dolazi esperimentiranjem. Na pr. nea slutnja A(n) oja ovisi o prirodnom broju n poaže se da je istinita za nee početne prirodne brojeve, na pr. za n = 1, 2, 3. Važan problem je može li se istinitost te slutnje doazati za sve n. O tome govori načelo matematiče inducije. Načelo matematiče inducije se najjednostavnije vidi u dječjoj igri domina. Pretpostavimo da su na čvrstoj podlozi postavljena domina oomito na najmanjoj strani, u slijedu jedno iza drugog, s lijeva na desno, označena redom prirodnim brojevima. Pretpostavimo da su ispunjena ova dva uvjeta: 1) prvo domino palo je na desnu stranu; 2) ao je za bilo oji n N na desno palo n -to domino, onda će na desno pasti i n + 1 -vo domino. Tvrdnjajedaće onda pasti sva domina. U supu prirodnih brojeva vrijedi: Načelo matematiče inducije Ao je nea tvrdnja oja ovisi o prirodnom broju n istinita za nei prirodan broj n 0, i ao iz istinitosti te tvrdnje za n N ( n n 0 ) slijedi da je istinita iza n + 1, onda je ona istinita i za sve n N oji su veći od n 0. RAZMIŠLJAMO OVAKO. Označimo tvrdnju s A(n). Pretpostave su dale: 1) A(n 0 )=T, baza inducije; 2) vrijedi A(n) = T A(n + 1) = T, ora inducije. Rabeći 1) i 2) dobivamo da vrijedi A(n 0 )=T A(n 0 + 1) =T A((n 0 + 1)+ 1) =A(n 0 + 2) =T... A(n 0 + 3) =T... Tvrdnja će biti dale istinita za sve prirodne brojeve veće od n 0.

1.6. PRIRODNI BROJEVI. MATEMATIČKA INDUKCIJA. BINOMNA FORMULA 15 Primjer 28. Za sve prirodne brojeve n vrijedi 1 + 2 +...+ n = n(n + 1). 2 Doažimo to matematičom inducijom. 1) Za n 0 = 1 tvrdnja vrijedi, jer je 1 = 1 2 2. 2) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za nei n, tj. A(n) T, dale da je Onda je n(n + 1) 1 + 2 +...+ n =. 2 n(n + 1) 1 + 2 +...+ n +(n + 1) = +(n + 1) 2 = n + 1 + 1)((n + 1)+1) (n + 2) =(n, 2 2 pa tvrdnja vrijedi i za n + 1, A(n + 1) T. Time je prema načelu matematiče inducije tvrdnja doazana za sve n. Primjer 29. Doažimo matematičom inducijom da za sve prirodne brojeve n vrijedi 1 2 + 2 2 +...+ n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1). 6 1) za n 0 = 1 tvrdnja vrijedi, jer je 1 2 = 1 6 1 2 3. 2) Pretpostavimo da je A(n) = T, tj. da za nei prirodan broj n vrijedi 1 2 + 2 2 +...+ n 2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1). Onda je 1 2 + 2 2 +...+(n + 1) 2 =(1 2 + 2 2 +...+ n 2 )+(n + 1) 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1)+(n + 1)2 6 = 1 (n + 1)[n(2n + 1)+6(n + 1)] 6 = 1 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 = 1 (n + 1)((n + 1)+1)(2(n + 1)+1). 6 Dale, A(n + 1) =T. Time je doazano da je formula istinita za sve n N.

16 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI Binomni oeficijenti Veliu važnost u matematici, osobito u ombinatorici, imaju binomni oeficijenti. Za zadani prirodan broj n i bilo oji {0, 1, 2,...,n} definiramo n(n 1)...(n + 1) :=, = 1, 2,...,n,! := 1. 0 Ovdje je! ( fatorijela) broj definiran sa! := 1 2 3...,0!:= 1. Primijetite da u definiciji binomnog oeficijenta u brojniu imamo padajući umnoža točno uzastopnih prirodnih brojeva počevši od n, a u nazivniu rastući umnoža brojeva počevši od 1. Na pr. = n ( ) ( ) n 1 1 = n, n(n 1) n n(n 1)(n 2) =, =. 2 1 2 3 1 2 3 Vrlo lao je provjeriti da je (n ) n! =!(n )! ( ) ( ) n n odale odmah slijedi svojstvo simetrije =.Napr. n ( ) ( ) ( ) ( ) n n 7 7 = = 1, = = 7 6 5 n 0 4 3 1 2 3 = 35. Vrijedi taoder - (n ) ( ) ( ) n n + 1 + =, = 1, 2,...,n. 1 Doista, ( ) ( ) n n n(n 1)...(n + 1) n(n 1)...(n ( 1)+1) + = + 1! ( 1)! n(n 1)...(n + 2)[(n + 1)+] =! ( ) (n + 1)n(n 1)...((n + 1) + 1) n + 1 = =.! Ta relacija nam daje i poznati Pascalov trout binomnih oeficijenta: ( 1 1 ) ( 1 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 1 1 2 ( 0 1 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 1 2 1 3 1 3 3 1 ( 0 1 2 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( 4 1 4 6 4 1 0 1 2 3 4)........................

1.6. PRIRODNI BROJEVI. MATEMATIČKA INDUKCIJA. BINOMNA FORMULA 17 Po lijevom i desnom rubu trouta su jedinice, a svai unutarnji broj je zbroj svoga lijevog i desnog susjeda iz prethodnog reta. Iz Pascalova trouta možemo očitati potencije binoma 1 + x : (1 + x) 0 = 1 (1 + x) 1 = 1 + x (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 (1 + x) 3 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 (1 + x) 4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4...... Evo zašto. Binomna formula Stava 8. Nea su a i b bilo oja dva realna broja, i n bilo oji prirodan broj. Onda vrijedi binomna formula: ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n + a n 1 b + a n 2 b 2 +...+ ab n 1 + b n 1 2 n 1 = a n b. =0 Često se binomna formula zapisuje i u ovom jednostavnijem obliu, gdje je x bilo oji realan broj: ( ) ( ) ( ) n n n (1 + x) n = 1 + x + x 2 +...+ x n 1 + x n 1 2 n 1 = x =0 DOKAZ. Doazat ćemo najprije jednostavniji obli binomne formule, i to inducijom po n. 1) Za n = 1 tvrdnja vrijedi, jer je (1 + x) 1 = 1 + x = 1 + ( 1 1) x. 2) Pretpostavimo da je sud A(n) : (1 + x) n = n ( n =0 ) x istinit za nei n, tj. A(n) =T.Izračunajmo [ ( ] n (1 + x) n+1 =(1 + x) n (1 + x) = )x (1 + x) =0 = x + x +1 =0 =0 n+1 = x + x 1 =0 =1

18 1. MATEMATIČKA LOGIKA. REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI [( ) ( )] ( ) n n n = x 0 + + x + 0 1 n =1 + 1 ( ) ( ) n + 1 n + 1 = x 0 + x + 0 n + 1 =1 n+1 + 1 = x. =0 x n+1 x n+1 Dale A(n + 1) =T. Time je binomna formula za (1 + x) n doazana. Općenitija formula slijedi odmah iz netom doazane formule: (a + b) n = a n (1 + a 1 b) n = a n (a 1 b) = a n b. =0 Iz binomne formule zbog ( n 1) = n odmah slijedi: Korolar 1. (Bernoullijeva nejednaost) Za svai x > 0 i za svai prirodan broj n vrijedi (1 + x) n 1 + nx. Iz orolara zaljučujemo da ča i za vrlo mali x > 0broj(1 + x) n može biti vrlo veli, pod uvjetom da je n dovoljno veli. Drugim riječima, za svai a > 1 (olio god blizu 1 ) i olio god velii broj M > 0 postoji n taav da je a n > M. Na pr. 1.001 n > 200 za dovoljno velii n,napr.zan = 200 000 jer je 200 000 0.001 = 200. Primjer 30. Bernoullijevu nejednaost možemo vrlo lao doazati i matematičom inducijom. Nea je x > 0. 1) Za n = 1 tvrdnja je jasna: (1 + x) 1 1 + x. 2) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za nei prirodni broj n, tj. (1 + x) n 1 + nx. Računamo =0 (1 + x) n+1 =(1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 +(n + 1)x + nx 2 1 +(n + 1)x, pa tvrdnja vrijedi i za n + 1. Time je Bernoullijeva nejednaost doazana matematičom inducijom.