I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de umere rele cu observţi că se plică uei mulţimi ifiite le cărei elemete sut termeii uui şir. Di cest mod de determire uei serii umerice, vom preciz legăturile cu şirurile umerice şi sumele fiite di R. Dcă A {,..., p } cu i R petru i, sociză u umăr rel S umit sumă şi clcult, stfel: ( ) ( ) p tuci mulţimii A i se + ; + + ;...; +... + + ; +... + + S 3 p p p p folosid proprietăţile duării di R. Teori seriilor umerice fost fudmettă de G. W. Leibitz, I. Newto şi lţi mtemticiei. Pâă l o fudmetre rigurosă teoriei covergeţei seriilor umerice u fost multe probleme eclre. De exemplu, petru seri + +...+ (-) +... s-u socit diverse sume, c: 9
x ( - ) + ( - ) +...+ ( - ) +... s- tribuit sum S - ( - ) + ( - ) +...+ ( - ) +... s- tribuit sum S + +... folosid idetitte lgebrică x + x x 3 +... cu x (-, ) s- tribuit petru x sum S. Teori seriilor umerice v preciz î ce codiţii uui şir umeric ( ) N R, i se pote soci u umăr rel umit "sumă" şi v fi cdrul turl petru studiul uor probleme "de proximre" folosid tehicile modere de clcul. De semee, se v preciz modul de reprezetre uui umr rel îtr-o bză de umerţie q N {, }. Defiiţi II.7. Fie ( ) N R şi "şirul sumelor prţile" corespuzător: S S k + + + k ( ) (II.9) R cu K ; S S, + + + ] Se umeşte serie umerică de terme geerl şi cu şirul de sume prţile (S ) pereche de şiruri: (II.) (( ) ; (S ) ) ott ] O serie umerică su N su + +...+ +... se umeşte serie covergetă, ott (C), dcă şirul sumelor prţile (S) este coverget î R. Numărul rel S lim S se umeşte "sum seriei covergete" ott pri celşi simbol: (II.) su S N S su S + +...+ +...
O serie umerică cre u este covergetă se umeşte serie divergetă, ottă (D) ( (S ) este şir diverget di R). def 3] Ntur uei serii umerice este: fie serie covergetă, fie serie divergetă. Seriile divergete u u sumă î R. Observţii:. Î studiul seriilor umerice, rolul pricipl îl re şirul sumelor prţile şi di cest motiv se pote spue că "teori seriilor umerice" este o combiţie ître teori sumelor fiite di R şi teori şirurilor umerice.. Nu este corect defii o serie umerică su sum s c fiid "o sumă ifiită", deorece î R se lucreză umi cu sume fiite. Seriile umerice u u, î geerl, proprietăţile sumelor fiite, c: comuttivitte, socitivitte, produs etc. 3. Dcă îtr-o serie umerică se reuţă su se dugă u umăr fiit de termei, seri ou obţiută iiţilă; se modifică umi sum î cz de covergeţă. 4. Se v fce disticţi etă ître o serie covergetă b re ceeşi tură cu seri (C), cre este u "cocept mtemtic ou" defiit c o pereche de şiruri umerice cu umite proprietăţi şi sum seriei S (C), cre este u umăr rel ( S lim S R), deşi otţi este ceeşi.
5. Studiul seriilor umerice cupride două mri probleme şi ume: precizre turii uei serii: covergetă su divergetă şi evlure exctă su proximtivă sumei seriei umerice covergetă. Exemple: o cu ( + ), S ( + ) k k( k+ ) k k k + S şi lim S (C) cu S. + + ( ) o S cu +, + ( k k ) şi S şir diverget î R k k + k k ( lim S + ) (D). + + 3 o * cu q R q + q +... + q +... seri geometrică de rţie q + q k ;q S q q k + ;q ; q < q lim S ; q x ; q q (C) petru q < cu S q ; q q ( q <) q (D) petru q. Czuri prticulre: I) q (C) cu S ; deci.
II) q ( ) (C) cu S 4 3 ; deci ( ) 4 o ( ) 3 3 (D) cu S ; k+ ; k 4 3 3. şir diverget î R,. Observţii:. Î exemplele ( o ) - (4 o ) s- precizt tur seriei cu jutorul şirului sumelor prţile (S ) cre ve o exprimre simplă. Câd u se pote exprim covebil (S ) petru pute clcul lim S î R, î cest cz, vom idic umi criterii de covergeţă cre ţi sem de form termeului geerl.. Se pote costrui o serie covergetă cu sum dtă S cosiderîd u şir (b ), b coverget l S (lim b S ) şi şirul b b,, ( ) tuci seri b b este covergetă cu sum S (S b R S). Seri cu termeul geerl b - b -, şi b se umeşte serie telescopică. 3. U lt exemplu cre se pote rezolv umi cu jutorul defiiţiei dte este legt de reprezetre q dică umerelor rele (q, q N). Teorem II.5. Fie q u umăr turl fixt umit bză de umerţie. Petru orice umăr rel x exist u m N şi u şir uic ( ) - m de cifre î bz q, dică {,,..., q-} stfel îcât seri m q să fie covergetă cu sum x ([36], [4], [4]). Demostrţie: Cosiderăm m N cel mi mic umăr stfel îcât x<q m+ şi defiim şirurile (y ) - m şi ( ) - m pri: (I.) y - m x q m ; m [y - m ] 3
Dcă - m şi luăm şirurile y, [y ] di (II.), tuci puem: (I.3) y + ( y - )q ; + [y + ] Petru orice - m, vem y şi, pri iducţie după deducem că: (I.4) y < q; q, - m. Petru - m vem: y - m x q m < q deorece x< q m + şi tuci m [y - m ] q ; dcă > - m, vem y < q şi q, de ude deducem că: y - y [ y ] <, deci y + ( y - )q <. q q şi tuci + [y + ] q. Pri iducţie după, re loc relţi: (II.5) + ( + ) k k k m y q x q, - m m deorece petru - m vem de dovedit că y q x q (II.3) se obţie m y q x q m m m m m+ m m, dr di cre este devărtă după (II.). Presupuem ( II.5) devărtă după şi o testăm petru ( +): ( II.3) ( + ) m ( + ) ( + ) k ( + ) + ( + + ) + + k + k m y q y q y q q x q q + k cre este coseciţă directă iducţiei şi deci y q x q. Di relţiile (II.4) şi (II.5), vem: + k m k ( + ) ( + ) k + + de ude petru x q y q y q q k m k rezultă x lim q, deci x k m k k q k ([36]; [4]; [4]). k m Observţii:. Î czul q se regăseşte "scriere zecimlă" uzulă umerelor rele. Exemplu: x 34, 57... este sum seriei 3 + 4 + 5 + + 7 3 +... 4 k
. Petru czul q se regăseşte "scriere biră su didică" umerelor rele folosită l clcultore. Exemplu: x π 3,459... π + + - + - + -3 + -4 + -5 + -6 +..., dică (π),... 3. Se pote cu jutorul teoremei precedete obţie petru orice x rel fixt şi ε > u lt umăr rel x%. î. x - x% < ε şi tuci " x%este o ε - proximre lui x" ott cu x x%cu proximţie mi mică decât ε. Î formul proximtivă x x%erore bsolută este E x -x% < ε şi erore reltivă E r x x% cu x. Î uele czuri este comod să x îlocuim x pri x%fără ţie sem de erore, dr rezulttele sut icorecte mi les î clculele lugi ude pre feomeul de propgre erorilor ([4]). 4. Î czul clculelor folosid clcultorul, se v cosider truchiere dtelor umerice şi poi evlure erorilor rezultte. Teorem II.5 permite reprezetre uui umăr rel x > cu "virgulă fixă" şi cu "virgulă mobilă" dt pri x q m...,... cu q ; q m pritr-o ε - proximre s x%(cre este de fpt o truchiere lui x). Teorem II.6. (Criteriul ecesr de covergeţă) Fie o serie de umere rele, u loc firmţiile: este flsă. (i) Dcă seri este covergetă, tuci lim. Reciproc 5
(ii) Dcă lim u există su lim, tuci seri divergetă. Demostrţie: este (i) Fie S k după (II.9) vem: + + + + k S S + S S şi (C) S lim S R şi lim + lim ( S+ S). Reciproc este flsă. Cosiderăm exemplul: + cu + deci : + + lim, S k + şi lim S + (S) diverget şi ( + ) k (D) cu lim.(ii) Demostrţi se fce pri reducere l bsurd: ( (C)) (lim ) şi cum (p q) (( p)( q)) obţiem ( lim ) ( (D)). Observţie: Codiţi (ii) este u criteriu petru divergeţ uei serii umerice. Teorem II.7 (Operţii lgebrice cu serii covergete) Fie şirurile de umere rele ( ) R, (b ) R, seriile umerice cu şirul sumelor prţile (S) şi b cu şirul sumelor prţile (σ ), tuci u loc firmţiile: 6
(I) Petru λ R * seri λ re ceeşi tură cu seri. (II) Dcă (C) cu sum S şi b (C) cu sum σ, tuci ( ) ( ) seriile + b şi b sut covergete cu sum S + σ şi respectiv S - σ. Demostrţie: (I) Seri λ re şirul sumelor prţile T λ λ S cre re ceeşi tură cu şirul (S ). (II) Şirurile T S + σ şi V S - σ, după ipoteză, u limitele S + σ şi ( ) ( ) respectiv S - σ, deci seriile + b (C) şi b (C). Teorem II.8 (Criteriul geerl l lui Cuchy petru serii) Seri de umere rele codiţi lui Cuchy: ( II.6) este covergetă, dcă şi umi dcă, stisfce ε>, ε N.î. şi p ε + + + + K + + p <ε Demostrţie: Avem S k, S + p k + p k şi tuci S +p -S k + p k + +... + k + + p.î ceste codiţii u loc şirul de echivleţe logice: 7
T. Cuchy pt. şiruri ( C) ( S) coverget î R ( S ) şir fudmetl def ε>, ε N.î. ε ş.i. p S+ p S<ε (II.6) Exemple: o cu, şi lim re S şi k k S S + + K + > (S ) u este şir + + + ( p ) fudmetl. Avem: S > S + şi dcă presupuem că lim S S R S S + bsurd (D) cu li m S +. Seri divergetă se umeşte seri rmoică, deorece vem:,. + + o cu, şi S S k este covergetă: + p + p S < < < ε k k k k k p > + + + ε + p cu S ε p + şi (S ) este şir fudmetl. Avem, î plus ε < < + k k k k k k <, şi deci lim S S ((S) este u şir crescător şi mjort, deci coverget î R). 3 o + + cu, este seri rmoică ltertă. 8
+ + Avem: + + K + ( ) + K 3 4 Şirul S S + p k k + este u şir fudmetl: k k+ k+ ( ) ( ) + p + p S k k k k k k + ( ) p + ( ) + + K + < + + + 3 + p ε < + < < ε, p dcă: ε + + + p + ε k+ ( ) + (C). Teorem II.9. (Criteriul Dirichlet).Fie seri cu şirul sumelor prţile S k k mărgiit î R şi (α ) R u şir descrescător cu limα, tuci seri α este covergetă. Demostrţie Coform ipotezelor di teoremă vem: (S ) mărgiit M. î. S M, N α descrescător şi α α+, N şi ε > petru limα ε ε., ε.î. α, ε M M Aplicăm seriei α criteriul geerl l lui Cuchy: 9
+ p + p + p ( S S ) + S S ( ) + S + α α α + α α +α k k k k k k k k p p k + k + k + + p + p α + S + α k α k+ Sk + α + p S+ p M + + k k+ + p k + α α α α + k + + p ε M α ( α α, k N ) α Mα < M ε, M + k k+ k k + k + ε α (C) după Criteriul Cuchy. Coseciţ II..(Criteriul lui Abel) Fie seri (C) şi (α ) R u şir mooto şi mărgiit, tuci seri α este covergetă. Demostrţi rezultă direct di criteriul Dirichlet. Teorem II.. (Criteriul lui Leibiz) Dcă şirul (α ) R + este descrescător cu lim covergetă. α, tuci seri ltertă ( ) re : Demostrţie. Fie (-) şi seri ( ) α este S ; k u şir mărgiit şi împreuă cu ipotez supr lui (α) ; k+ după criteriul Dirichlet: ( ) α (C).
Exemple: o cos x, x (,π) ; cu cos xşi codiţiile criteriului Dirichlet: α ] şi vem: ( + ) x x si cos S cos cos cos kx x+ K + x cu x si α stisfce S x si M ( x ) petru x cos x, π fixt (C). si x o, (, ) x π cu si xşi α stisfce codiţiile criteriului Dirichlet: α ] şi: ( + ) x si si S si si x+ + x x si K cu S M ( x ) x x si si x x (, π) fixt (C) 3 o lim α. + + (D) petru că α + este descrescător cu 4 o + + K cu + 3 5 7 ( ) α ] (C). + +
5 o q cu q R, α R şi luăm α q, α. Şirul α α este α descrescător petru α > cu lim α (α ) este coverget î R (α ) mooto şi mărgiit petru α >. Seri q este covergetă petru q <. Coform cu criteriul lui Abel de mi sus, vem q (C) petru α α> şi q <. Defiiţi II.8. ] O serie cu () R se umeşte bsolut covergetă, ott ( AC), dcă şi umi dcă, seri modulelor (C). ] O serie cu () R se umeşte semicovergetă su simplu covergetă, ottă SC, dcă şi umi dcă, este covergetă şi u este bsolu covergetă def (C) şi (D). 3] O serie cu () R se umeşte ecodiţiot covergetă su comuttiv covergetă, dcă şi umi dcă, σ σ(n) o premutre lui N (orice bijecţie σ : N N se umeşte permutre lui N) seri umerică este covergetă.(avem: (C) petru N). σ σ
Teorem II.. covergetă. (i) Orice serie de umere rele bsolut covergetă este serie (ii) Orice serie de umere rele bsolut covergetă este ecodiţiot (comuttiv) covergetă şi petru orice permutre σ σ(n) vem: σ. (iii) (Teorem lui Riem) Petru orice serie de umere rele semicovergetă există permutări le lui N, σ, σ σ(n) stfel îcât σ σ să obţiem: (D), fie (C) cu sum u umăr rel dt. (i) Demostrţie: (C) T.Cuchy ε>, ε N.î εşi p + + K + + p <ε ε > N + K + p, ε.î ε şi p + + T.Cuchy + + + + K + + p <ε (C). Demostrţiile petru firmţiile (ii) şi (iii) (Teorem lui Riem) se pot cosult di bibliogrfie ([3]; [36] pg. 98-; [4]). Exemple: o + (SC) dr u este bsolut covergetă deorece + ( ) (D). 3
) AC deorece o ( ( ) (C) şi ( ) este comuttiv covergetă. 3 o (D) ( lim ) lim lim. 4 o α şi ( ) si π + cu si π + şi u există (D) lim lim si π +. Dcă scriem sub formă echivletă, vom pute preciz tur seriei dte. Avem: si π + si π + + π cos si π π π + ( ) si ( ) b + + π b si şir descrescător cu lim b lim şi + + π si π + ( ) si este covergetă după criteriul Leibiz (SC) + + + b +c ude: 5 o + + cu b (D) şi + (D). c (SC) 4 (D)
Observţii:. Criteriul geerl l lui Cuchy, criteriul Dirichlet, criteriul Abel şi criteriul Leibiz sut teste de covergeţă petru serii umerice cu termei orecre şi ume petru semicovergeţă.. Dcă vem ( ) R +, tuci seri este o serie cu termei pozitivi şi cum, î cest cz covergeţ coicide cu covergeţ bsolută. 3. Vom preciz mi deprte teste de covergeţă petru serii cu termei pozitivi, dică criterii suficiete petru decide tur seriei respective. Petru cu, vem: S S N. +, S k şi, î plus, S S + + + k 5. Criterii de covergeţă petru serii cu termei pozitivi Fie cu, N şi S k de ude S S + + + k S S N deci (S) este u şir de umere pozitive crescător şi +, covergeţ este dtă pri teorem lui Weierstrss. Teorem II.. O serie umerică cu termei pozitivi, este covergetă, dcă şi umi dcă, şirul sumelor prţile este mărgiit. Demostrţie: (C) def ( S ) şi S coverget crescăctor TW.. ( S ) mărgiit. TW.. (S ) mărgiit şi crescător (S ) coverget î R def (C). 5
Exemplu: cu + + ( ), > ; ( + )( + ) + ; S + + k k( k+ )( k+ ) 4 ( + )( + ) şi (S ) mărgiit pri < S <, 4 + + ( ) (C) cu S lim S S 4 4. Teorem II.3. (Criteriul de comprţie cu ieglităţi de speci I-). Fie cu şi b cu b. Dcă vem: (II.7) b, N (su. î. : b ) tuci u loc firmţiile: ] (C) b (C) ] (D) b (D) Demostrţie: Presupuem (II.7) devărtă N (II.7') ] Fie b (C) N. S T b, k k k k ( T ) mărgiit S T, N ( S ) ( S ) mărgiit crescător ( S ) coverget î R ] Fie: (D) ( T ) ( T ) (C). def S ( S ) diverget crescăctor emărgiit superior ( T) diverget b (D). crescător 6 S emărgiit superior S T, N
Exemple: o cu 3 + < b 3 + 3 > b ( C) q < 3 (C) o cu b > D b ( D) Teorem II.4 (Criteriul de comprţie cu ieglităţi de speci II-) Fie cu > şi b cu b >. Dcă vem: + b+ (II.8) + b+, N (su. î., ), b b tuci: o ] (C) b (C) o ] (D) b (D) Demostrţie: Presupuem (II.8) devărtă petru N şi îmulţim şirul de ieglităţi cu termei pozitivi obţiut petru,,..., -: b b b b b b KKK K K b b b b b b b λ >, λb, N (II.8') b b 7
λb C I C Fie b (C) (C). λ b, N (II.8') C I ( D) λb ( D) b( D). λ b, N Fie Exemplu: cu + e +. e! + + ( + ) + ( + ) : e! e! e! Avem: + e < < + + < < + e + + N + îlocuid î rportul, vem: şi + + b + + > + + e + b + D D e! b ( D) Teorem II.5. (Criteriul de comprţie cu limită). Fie şi b cu b >. Dcă există limit: 8 cu >
(II.9) lim ll, R, b tuci vem: ] petru < l <, seriile şi b u ceişi tură. ] petru l şi 3] petru l şi b (C) b (D) (C) (D) Demostrţie: ] Di (II.9) lim l ε>, ε N b.î. ε b l ε < < b l+ε (II.9'). Presupuem b (C) şi vem: C b l+ε C I < b( l+ε) ; ε ( C). Presupuem b (D) şi vem: C b l ε D I b( l ε ) < ; ε C b I l ε < ε ( ε) ( D). Presupuem (C) şi vem: b l ( C), l - ε > pri legere covebilă lui ε > b (C). Presupuem C I b l < +ε +ε ε b ( l )( D) b (D). (D) şi vem: 9
ε b < <εb ] Petru l di (II.9) vem:. Dcă ε, ε> b (C) C εb I C <εb; ε ( C). Se observă că, dcă cosiderăm l şi (D) C I εb ( D) b (D). 3] Petru l lim b b lim ε < b <ε, ε şi b (D) ε (D) (D). Se observă că, dcă presupuem (C) ε ( C) b <ε, ε b (C). Exemple: o si C. Avem: si Altă metodă: o + cu si, şi luăm b şi C I b 3 si si lim lim l şi b (C) (C). C I si (C). 5 5 + cu + +, şi b, cu ( D ) vem: 5 + 5 lim lim + şi D b C l 5 (D). + +
3 o cu l, şi l b cu (D) l lim lim lim şi b l 4 o cu l, şi l l ( D) cu b C I b < şi ( D ). l C l (D). l (D) ( lim b ) Coseciţ II.3. Fie cu ( ) R şi b cu (b ) R. Dcă vem: b, N şi b AC tuci AC. Demostrţi este directă di criteriul de comprţie cu ieglităţi de speci I-. Coseciţ II.4. Fie firmţiile: cu > şi (i) Dcă < lim lim <+ tuci b b ceeşi tură. (ii) Dcă lim < + şi b b (C) b cu b >, tuci u loc (C). şi b u (iii) Dcă lim > şi b b (D) (D). 3
Demostrţi este directă di criteriul de comprţie cu limită, folosid defiiţi limitelor extreme le uui şir şi legăturile cestor cu limit şirului dcă există. Coseciţ II.5. Fie cu >. Dcă există q cu < q < şi respectiv q stfel îcât + q, N, respectiv + q, N, su petru, N, tuci seri este covergetă, respectiv divergetă. Demostrţie: Se plică criteriul de comprţie de speci II- cu b q, q R* şi b q (C) petru < q< şi b q (D) petru q. Teorem II.6 (Criteriul de codesre l lui Cuchy). * Fie ( ) u şir mooto descrescător, tuci seriile şi R + u ceeşi tură. Demostrţie: Seri re ceeşi tură cu seri obţiută pritr-o grupre covebilă (cre este o permutre σ : N N) termeilor: ( k ) ( k + k ) ( k k + k ) +... + + +... + +... + + +... + +... + ude k < k <...< k <... este u şir de umere turle diverget ( lim k + ). Notăm b + +... + + şi cum ( ) este + + + descrecător obţiem: (II.3) ( + ) ( + ) b 3
(II.3') + + b şi după criteriul de comprţie cu ieglităţi de speci I- rezultă că seriile [36]; [4]). şi u ceeşi tură ([3]; Exemple: o cu α R, seri rmoică geerliztă. α (D) petru α, deorece lim α. Petru α > plicăm criteriul de codesre l lui Cuchy şi fie: q α α ( ) cu α q >. Dcă < q < α > q α (C) α (C) petru α>. α D petru Dcă q α q ( D) α. α b o + + şi + + + + l + ( + ) l + D + l + + b + D lim. + l + + + Coseciţ II.6. Fie cu >, tuci u loc firmţiile: α (i) Dcă există α >.î. lim lfiit, tuci 33 (C).
α (ii) Dcă există α.î. lim leul, tuci (D). b Demostrţi este directă di criteriul de comprţie cu limită cu şi coseciţ II.4 codiţiile (ii) şi (iii). α TeoremII.7 (Criteriul rportului l lui D Alembert). Fie cu >, dcă există limit: (II.3) lim ( + l l R) tuci vem: I petru l < ( C) II petru l ( D) > III petru l u putem preciz tur seriei cu cest criteriu. Demostrţie: ε>, ε N.î. Relţi (II.3) (II.3') + l ε< < l +ε I Petru l < legem ε >. î. < q l+ε< şi di (II.3') vem: q b + + + q q < cu q ( C) ( C) b CII.. II Petru l > legem ε >. î. q l ε> şi di (II.3') vem: q b q b + + q + > q ( D) Coseciţ II.7. Fie există α lim + CII.. cu petru q > ( D). şi β lim + cu >, dcă u există lim + tuci, vem: 34 ε, dr
I') petru β < (C). II') petru α > (D). Demostrţi: este directă folosid defiiţi limitelor extreme le uui şir umeric şi relţi lor cu limit şirului. Coseciţ II.8. Fie ( ) R* şi seri cu termei orecre. I) Dcă există lim + λ ( λ R) tuci vem: ) petru ( AC) λ< b) petru ( D) λ>. II) Dcă u există lim +, dr există α lim + şi β lim + tuci vem: β < ') petru ( AC) b') petru ( D) α >. Demostrţi este directă di coseciţ precedetă, defiiţi seriilor bsolut covergete şi criteriul rportului. Exemple: o cu! +! + cu +!,! ( ) 35
l <! + lim o cu! ( C) + ( ) + +! +,!! +! + lim lim e + >! 3 o ( ) cu ( D) + +, + + λ< AC + lim lim Teorem II.8.(Criteriul rădăciii l lui Cuchy). Fie cu, dc există limit: (II.3) lim l ( l R) tuci vem: I) petru l < C II) petru l D > III) petru l u putem preciz tur seriei cu cest criteriu. Demostrţie: Eglitte (II.3) (II.3') ε>, ε N.î. l ε< < l +ε I) Petru l < legem ε >.î. q l + ε < şi di (II.3') vem: < q < q l+ε q ( C) petru < q< ε CI.. ( C) II) Petru l > legem ε >.î. q l - ε > şi di (II.3') vem:. ε 36
> q > q> q ( D) petru q> ε CI.. ( D). Coseciţ II.9. Fie cu >, dcă u există lim, dr există α lim şi β lim tuci, vem: I') petru β < (C). II') petru α > (D). Demostrţi: se obţie folosid defiiţi limitelor extreme le uui şir şi legătur lor cu limit şirului. Coseciţ II.. Fie ( ) R* şi seri cu termei orecre. (I') Dcă există: lim λ λ R tuci vem: ) petru λ< ( AC) b) petru λ> ( D). (II') Dcă u există lim dr există α' lim şi β' lim tuci vem: ') petru β< ( AC) b') petru α> ( D). Demostrţi este directă di coseciţ precedetă, defiiţi seriilor bsolut covergete şi criteriul rădăciii. 37
Exemple o α α cu α şi, lim > α α lim l < α ( C )( ). o cu + ( ) ( ), + + + lim λ < e 3 o ( AC ). + cu, şi l lim lim > ( > )(D) şi petru D. şi Criteriul lui Krummer. Fie ( ), (α ) două şiruri strict pozitive stfel îcât există lim α α + ρ tuci: + ) dcă ρ > b) dcă ρ < şi (C) (D) α (D). Czuri prticulre: I. petru α criteriul rportului; II. petru α criteriul Rbe Duhmel; 38
III. petru α l criteriul Bertrd. Teorem II.9. (Criteriul Rbe-Duhmel) Fie şi dcă există limit: (II.33) lim ( µ µ R) tuci vem: + cu > o petru µ> ( C) o petru ( D) µ< 3 o petru µ u putem preciz tur seriei cu cest criteriu. şi L N. î. Demostrţie: ) dcă µ > (µ pote fi şi + ) tuci există L > + ε > şi. î. L>) cre este echivletă cu: ieglităţi: > L, L (dcă µ R tuci L µ - ε cu (II.33') L. + < +, L. Presupuem că (II.33') re loc petru N şi obţiem şirul de L < L3 < 3... L < ( ) ( ) cre pri dure membru cu membru coduce l: ( + + + ) < + + + ( ) L 3... 3... N 39
L S < S < S N L S < L N (S ) este mărgiit şi > (C). ) Dcă şi q N. î. ε >). lim + µ < (µ pote fi - ), tuci există q< + < q, q (dcă µ R se i q µ + ε <, < q < q, q < + + + < + q + + b > b q şi D + + CII.. (D). Coseciţ II.. Fie cu >, dcă u există lim, dr există α* + tuci, vem: lim şi β* + lim + ) petru β* > ) petru α* < (C). (D). 4
Demostrţi: este directă folosid defiiţi limitelor extreme le uui şir umeric. Coseciţ II.. Fie ( ) R* şi seri cu termei orecre. Dcă există limit lim ( R µ µ + ) tuci vem: o petru µ > ( AC) µ < o petru ( D) Demostrţi este coseciţă direcă di criteriul Rbe Duhmel şi defiiţi seriilor bsolut covergete. Teorem II.3. (Criteriul lui Bertrd). Fie Dcă există limit: cu >. (II.34) tuci vem: lim l ( + ) l( + ) ρ + ) petru ρ > ) petru ρ< (C). (D). Demostrţi cestui criteriu di bibliogrfie ([36] pg. 85) Coseciţ II.3. Fie cu >, dcă u există limit (II.34), dr există α lim l ( + ) l( + ) + şi β lim l ( + ) l( + ) + tuci, vem: 4
) petru α < (D). ) petru β > (C). Demostrţi: este directă folosid defiiţi limitelor extreme şi criteriul lui Bertrd. rportul Teorem II.3. (Criteriul lui Guss). Fie + se reprezită sub form: cu >. Dcă, ; ; µ x λ µ R α> (II.35) λ+ + cu +α x şir mărgiit î + tuci vem: R λ> ( D) I) Petru C II) Petru λ< III) Petru ( C) λ şiµ> IV) Petru ( D) lim λ şiµ Demostrţie: I) şi II). Aplicîd criteriul rportului obţiem: + l şi: λ D λ I) petru l > λ< II) petru l < λ > λ ( C). 4
Dcă l λ, plicăm criteriul Rbe-Duhmel λ x lim lim µ+ µ α + şi vem: III) petru λ şiµ> ( C), IV) ) petru λ şiµ< ( D). x b) petru λ şi µ, vem: + + şi plicăm criteriul lui +α Bertrd: + + x B l ( + ) l( + ) l + + ( + ) l( + ) +α ( + )l + x + l α şi vom clcul ρ lim B. Cum (x ) este şir mărgiit şi α α l l l < < limx α α α α ; termeul α α α α ( + )l + re limită: + lim( + ) l lim l + + l e. Î ceste codiţii obţiem: ρ lim B - + - < ( D) ([36]; [4]; [4]). 43
Observţii:. Criteriul rădăciii este mi tre decât criteriul rportului deorece dcă există lim + λ, tuci există şi lim λ. Reciproc u este î geerl devărtă.. Există czuri câd putem preciz tur seriei cu criteriul rădăciii, dr u şi cu criteriul rportului. ; k 3 Exemplu:. cu există : ; k+ 5 lim 3 < C. Aplicâd criteriul rportului, vem: k k 5 β + k k k +β> k+ 3 lim lim lim ; lim lim lim ; k + α + k+ 5 α< k k k k şi u putem preciz tur seriei. 3. Dcă criteriul rădăciii l lui Cuchy u dă iformţii supr turii uei serii, tuci ici criteriul rportului u pote preciz tur seriei respective. 4. Dcă î criteriul rportului şi î criteriul rădăciii vem l, se plică criteriul Rbe-Duhmel. 5. Dcă î criteriul Rbe-Duhmel se obţie µ, se plică: criteriul Bertrd şi î fil criteriul lui Guss cre rezolvă tote czurile. 44
Exemple: o ( > )! + L + + + l lim lim, µ lim + + + + + lim ( R D) + o Petru µ > ( C) o Petru µ < ( D) o! 3 Petru µ (! ) + + + o ( + )!!,!! ( ) ( D) ( )!! 3 5 K +!! 4 6 K + l + µ + 4 3 + lim lim ; lim lim > 4 + + + ( C) (R - D). 3 o + + + K, >; lim S + D rp. S + + K + diverget şi crescător cu S+ + S + cu + + K + S S + + + ; l lim lim ( rp) S I Dcă l < ( C) II Dcă l > ( D) 45
III Dcă l µ lim S + S + lim + lim < S + S 4 o L + + cu R Z, vem! ( D ) +! L ; λ + lim lim ( rp) + cu: ; > ; < ; ; + µ lim lim + ( + ) + lim lim + ( R D) (Axiom Arhimede:, R, N. î. > ) I Dcă µ + > > + ( AC) II Dcă µ + R Z şi + ( AC) µ + < < + D şi - > vem: III Dcă ( )( ) L ( + ) ( ) +! ( )( ) L ( + ) + α cu α >. Aplicăm criteriul lui Leibiz:! 46
α+ + α + Petru (, ) şirul α este descrescător şi cum α >, ( S ) N lim α + α C. Petru K α şi li m α + α! ( D ) 5 o vem lim α + ( ) α. Petru (, ] L ( ) ββ+ L ( β + )! γ( γ+ ) L ( γ+ ) α α+ α+ + Seri hipergeomtric ( +α )( +β) ( + )( +γ) + + şilim l Criteriul lui Guss: + cu + ( rp) + +γ + γ+ +γ +α +β + α+β +αβ γ+ α+β x + + ( γ+ α β) R ( x ) D λ ; α ; µγ+ α+β γ αβ α+β αβ( γ + α β) x + α +β ( +α )( +β) x coverget î şir mărgiit 3 * cu α,β,γ R + (III) ( λ şiµγ+ α+β > λ şiγ>α+β + C ) 47
(IV) λ şiµγ+ ( α+β) λ şiγ α+β + ( D). cu 6 o l 3 l ( l ) l ( l ) l şir descrescător petru 3. Criteriul de codesre l lui Cuchy: 3 re ceeşi tură cu seri: l 3 3 3 l l l ( l ) ( + l ) b b cu b şil lim l l l l l l b ( + ) ( + ) 3 3 b ( D) ( D) D > 3 3 3. + + + l lim > lim + + 7 o I λ < ( C) II λ > ( D) III + λ şilim + e Produsul seriilor umerice covergete Defiiţi II.9. ] Fie ( ) R ( b ) ( D ) şi R. Se umeşte covoluţie su produs covolutiv l celor două şiruri ( ) şi (b ), şirul umeric (c ) defiit pri: K II.36 c b, c b + b,, c kb k, K k ] Se umeşte serie produs după Cuchy l seriilor şi b 48
seri c ottă: Observţii: c b.. Dcă C şi b C, î geerl, seri produs Cuchy u este totdeu covergetă.. Exemplu: b ( ) ( C) după criteriul Leibiz şi luâd: + k ( ) +, N, obţiem: ( ) ( ) c kb k ( ) ( + )( + ). k k k k k k+ k+ k c Avem: ( k )( k ) tuci c + + + ( k+ )( k+ ) + k ( + ) > cu + + ( ) ( D )( lim ) + + şi lim şi c D c c D lim c 3 o Î coseciţă, petru covergeţ seriei produs Cuchy se impue codiţi c cel puţi u ditre cele două serii s fie o serie bsolut covergetă. 49
Teorem II.3. (Teorem Mertes-Cuchy).Dcă seriile ( C) şi b C sut bsolut covergete cu sum S şi respectiv T, tuci seri produs Cuchy c este bsolut covergetă cu sum ST. Demostrţi î bibliogrfie ([36] pg. - 3). Exemple o Seri x x x + + + L este bsolut covergetă petru x < cu sum b ( x) S x tuci seri produs Cuchy: x ude: x 3x... + x + cu x, x + + + K. K este bsolut covergetă. cu sum x o Seri ( C ) x S > petru x x ; otăm x şi x > <, vem x () ( ) cu <. 6. Clculul proximtiv l sumei uei serii covergete. Fie o serie umerică covergetă cu sum S, S lim S R, S k k. Petru determire sumei S R seriei (C) vem două posibilităţi: 5
I Clculăm S lim S, S R dcă S re o exprimre cre permite să se clculeze direct lim S. II Aproximăm S R pritr-o sumă prţilă S cu N covebil les; S S şi evluăm erore bsolută E S S respectâd ceriţele problemei dte. Vom idic două teoreme petru clculul proximtiv l sumei uei serii covergete. Teorem II.33. Fie ( AC ) cu S R. Dcă există N şi q (,) stfel îcât: ( II ) +.37 q, tuci vem: (.38) II E S S q q Demostrţie: Relţi (II.37) S S + +K + + II.37 + q,, şi obţiem: de ude: ' ( K ) ( K ) E S S + + + +... q+ q + q + q+ q + q deci (II.38). q Observţie: Dcă se cere să clculăm S cu proximţie ε cu ε > dt, tuci se determiă m N cu m. î. q q ε petru m şi vem: (II.39) S S + + K + + +. m +... m 5
+ Teorem II.34. Fie seri ltertă şir mooto descrescător şi lim α + α, tuci seri ( ) cu (α ) R + u α (C) şi sum s S pote fi proximtă de sum prţilă S cu o erore mi mică decât modulul primului terme eglijt, pri lipsă dcă este pr şi pri dos dcă este impr, deci: ( II.4) E S S + α. Demostrţie: Petru orice, vem: S S S S S şi S S,. Cum (α ) este mooto descrecător vem: S S α α α α α... α S S α α α α α... α + + + 3 + 4 + 5 + + + 3 + 3 + 4 S S α+, de ude rezultă: S S α ( ) α+,. E S S α + α + + 3 Exemple o ( C) cu sum S. Să clculăm S cu proximţi de! ε 3. Avem: 3 ( ) 4 ( + ) ( + ) 3 + + + petru 4 şi vem: + q + q (,) E 6 S S 3 6 q! 6 5
5 + + < 3 3 petru 5 S S5 3 3,36!5! o + L 4 4 4 ( C).Să clculăm S cu o proximţie de ( + ) 3 5 ε 4. Avem α ( + ) 4 şi legem miim. î. α + < + 4 4 4 ( + 3) 4 4 3 petru 4 ( ) ( + ) 4 S S4,98883 4 4! C cu S e şi să clculăm S cu proximţi ε 7. Avem: 3 o e S ( )! + ( )! + L + + ( )! + + + L < + + ( + )( + 3) < ( )! + + ( + L ) ( )!! + + + + + E S S e S < petru 7! e S,7883K! 53
( ) şi să clculăm S cu o proximţie de ε 3.!(3+ ) 4 o ( C) + E S S α + < ( + )! 3 ( 3 + ) > 3 petru + ( + )!(3 + ) 3 S S3 +,7944!4! 3!8 S,7944K ( C) clculăm S cu o proximţie de 3 5 o 6 3 ε 3. Avem: E S S S S + + L < + + + + L ( + )3 ( + )3 + 3 3 3 3 < ( + )3 > petru 3 şi + 3 + 3 3 6 S S, 68 6 o ( ) ( C ) clculăm S cu două zecimle excte.! E S S + α cu! α + < +! > 3 ( + )! α şi 3 6 S5,3666 <,4 deci S5,3666K e e e 7 o C cu sum S şi clculăm S cu o proximţie de ε 3. 54
E S S S S + + L < + + + + + + L + + + ( ) ( ) ( ) 3 < ( + ) > petru 3 7 + + + 7 S S7,694 8 o ( ) ( C) clculăm S cu o proximţie de!(+ ) ε 3. S S α < 3 petru 5!(+ ) 4 ( ) S S4, 7475!(+ ) 9 o ( C) clculăm S cu trei zecimle excte. Avem: ( + )! + < petru 4; S S + + + + L < + 3 3 petru 9 < + + L < 3 3 ( + )!3 ( + )! 3 S S 9 9 ( + )! Să se precizeze tur următorelor serii umerice: l. cu, + l + lim lim Criteriul Rbe Duhmel: + + l l + µ lim lim lim l l + + 55
l lim l l l e l l. + I. Dcă µ II. Dcă µ III. Dcă µ l > l e l < l < (C) e > (D). e l l e e şi e ( D ). Deci: ( C) petru, e l. ( D) petru, + e. cu R; şi vem: l + + lim lim +. I. l < (-, ) vem (C) şi (AC). II. l > (-, -) (, + ) vem (D) şi lim lim şi (D). şi ( D) III. l ( ) ( ) şi ( SC) este: i) (AC) petru [-, ) şi ii) (D) petru (-, -) [, + ). 56
3. cu R;! şi vem:! + +! l lim lim, R petru l <!( + ) + (C), R şi (AC), R.. + 4. cu (, ) I. Petru > II. Petru (-, ] vem: < b + > şi ( C). + + b ( C) ; < < lim lim şi ( D) ; D petru (-, ] ( cu ( D) + ). + 57