LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F = R ili C. Na skupu V definiramo operacije + : V V V i : F V V sa svojstvima (1) ( a b c V ) (a + b) + c = a + (b + c) ; (2) ( 0 V )( a V ) a + 0 = 0 + a = a ; (3) ( a V )( ( a) V ) a + ( a) = ( a) + a = 0; (4) ( a b V ) a + b = b + a; (5) ( α β F )( a V ) α(βa) = (αβ)a ; (6) ( α β F )( a V ) (α + β)a = αa + βa; (7) ( α F )( a b V ) α(a + b) = αa + αb; (8) ( a V ) 1 a = a. Tada kažemo da je (V + ) realni (F = R) odnosno kompleksni (F=C) vektorski prostor. Napomena 1. Vektorski prostor (V + ) kraće označavamo s V. Elemente skupa V zovemo vektori a elemente skupa F skalari. Vektor 0 zovemo nulvektor. Napomena 2. Vektorski prostor koji sadrži samo jedan vektor (označimo ga s 0) zovemo nulprostor. nulprostoru V = {0} operacije su definirane s 0 + 0 = 0 i α 0 = 0 α F. Na Napomena 3. Vektorski prostori koji će se najčešće pojavljivati u zadacima su (i) R n = {(x 1... x n ) : x i R i = 1... n} s operacijama: (x 1... x n ) + (y 1... y n ) = (x 1 + y 1... x n + y n ) α(x 1... x n ) = (αx 1... αx n ); (ii) C n = {(x 1... x n ) : x i C i = 1... n} s operacijama: (x 1... x n ) + (y 1... y n ) = (x 1 + y 1... x n + y n ) α(x 1... x n ) = (αx 1... αx n ). Za F = R ( F = C) prostor označavamo C n R ( Cn ); (iii) P n = {p : p je polinom nad R stupnja n} s operacijama: ( t R) (p + q)(t) = p(t) + q(t) (αp)(t) = αp(t); (iv) Za m n N je M mn (R) = {A A: {1... m} {1... n} R}. Drugim riječima M mn (R) je skup svih matrica s m redaka i n stupaca s realnim elementima. Ako elemente matrice A M mn (R) označimo s a ij (i (j) označava redak (stupac) elementa u matrici) matricu A označavamo kraće s A = (a ij ). Operacije su definirane s A + B = (c ij ) gdje je c ij = a ij + b ij te (αa) = (d ij ) gdje je d ij = αa ij ; (v) Analogno definiramo skup M mn (C). Operacije definiramo jednako ali opet razlikujemo vektorske prostore M mn (C) R (F = R) i M mn (C) (F = C). 1
Napomena 4. U prostorima F n oznake e 1... e n predstavljaju vektore e 1 = (1... 0)... e n = (0... 1) ukoliko nije drugačije naznačeno. Analogno u prostoru M mn (F ) imamo uobičajene oznake E ij = (a kl ) gdje je a kl = { 1 k = i l = j 0 inače. Zadatak 1. Dokažite da skupovi iz Napomene 3. s pripadnim operacijama čine vektorske prostore. Zadatak 2. Neka je V skup svih (beskonačnih) nizova realnih brojeva. Na V definiramo sljedeće operacije (a 1 a 2 a 3...) + (b 1 b 2 b 3...) = (a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3...) α (a 1 a 2 a 3...) = (αa 1 αa 2 αa 3...). (a) Provjerite je li V realan vektorski prostor. (b) Neka je A V skup svih aritmetičkih nizova. Je li A realan vektorski prostor uz iste operacije? (c) Neka je G V skup svih geometrijskih nizova. Je li G realan vektorski prostor uz iste operacije? Definicija 2. Skup S = {x 1... x k } u vektorskom prostoru V je linearno nezavisan ako vrijedi α 1... α k F k α i x i = 0 α i = 0 i = 1... k. i=1 U protivnom je S linearno zavisan. Nekoliko činjenica vezanih uz linearnu (ne)zavisnost vektora: (i) Svaki skup koji sadrži 0 je linearno zavisan. (ii) Skup {x} je linearno nezavisan ako i samo ako je x 0. (iii) Podskup nezavisnog skupa je nezavisan. Nadskup zavisnog skupa je zavisan. (iv) (Ne)zavisnost ne ovisi o poretku vektora. (v) Niti jedan vektor osim 0 sam po sebi ne uzrokuje (ne)zavisnost skupa čiji je član. Propozicija 1. Skup S = {x 1... x n } je linearno zavisan ako i samo ako postoji bar jedan element iz S koji je linearna kombinacija preostalih vektora iz S. Ako je S linearno zavisan skup i x 1 0 (i pritom S smatramo uredenim) onda postoji bar jedan element iz S koji je linearna kombinacija svojih prethodnika iz S. Napomena 5. Iz propozicije 1. slijedi i sljedeća tvrdnja. Neka je V vektorski prostor i a b V pri čemu je a 0. Tada je skup {a b} linearno zavisan ako i samo ako je b = αa za neki α F. Zadatak 3. Ispitajte nezavisnost skupa {(1 1 0 1) (1 2 1 1) (2 1 1 1) (0 0 2 1)} u R 4. Rješenje: Vektori su linearno zavisni. Zadatak 4. Provjerite jesu li vektori (1 2i 1 i) (i 1 1) (0 3i 1) linearno nezavisni u C 3. Jesu li linearno nezavisni ako ih shvatimo kao vektore iz C 3 R? Rješenje: Vektori su linearno zavisni u C 3 i linearno nezavisni u C 3 R. 2
Zadatak 5. Ispitajte linearnu nezavisnost skupa {t 3 + 1 t 2 + t + 1 t 3 t + 1 t 2 1} u P 3. Rješenje: Skup je linearno nezavisan. Zadatak 6. Je li skup {1 t 1 (t 1) 2 (t 1) 3 } linearno nezavisan u P 3? Rješenje: Da. Zadatak 7. U vektorskom prostoru V zadan je linearno nezavisan skup {x y z}. Je li i skup {x+y y+z z +x} linerno nezavisan? Rješenje: Da. Zadatak 8. Odredite nužan i dovoljan uvjet na vektor v R 4 tako da skup {e 1 e 2 e 3 v} bude linearno nezavisan. Rješenje: Vektor mora biti oblika v = 4 i=1 α i e i pri čemu je α 4 0. Zadatak 9. Neka je {x y} linearno nezavisan skup u vektorskom prostoru V i neka su α β γ δ F. Odredite nužan i dovoljan uvjet da skup {αx + βy γx + δy} bude nezavisan. Rješenje: αδ βγ 0. Definicija 3. Neka je S i [S] = { k α i x i : α i F x i S k N}. Kažemo da je skup S V sistem izvodnica za V ako vrijedi [S] = V. i=1 (Drugim riječima S je sistem izvodnica za V ako se svaki vektor iz V može prikazati kao linearna kombinacija nekih vektora iz S.) Nekoliko činjenica vezanih za sistem izvodnica. (i) Za svaki vektorski prostor V vrijedi [V]=V. (ii) Nadskup sistema izvodnica za V je opet sistem izvodnica za V. (iii) Biti sistem izvodnica nije ni u kakvoj uzročno posljedičnoj vezi s linearnom (ne)zavisnošću. Propozicija 2. Ako je S sistem izvodnica za V i ako se neki vektor x iz S može prikazati kao linearna kombinacija ostalih članova skupa S onda je i S\{x} sistem izvodnica za V Definicija 4. Kažemo da je V konačnodimenzionalan vektorski prostor ako postoji barem jedan konačan sistem izvodnica za V. Tvrdnje koje slijede odnose se na konačnodimenzionalne prostore. Definicija 5. U vektorskom prostoru (konačan) linearno nezavisan sistem izvodnica naziva se baza. Teorem 1. U vektorskom prostoru sve baze su jednakobrojne. Definicija 6. Dimenzija prostora V (dimv ) jednaka je kardinalnom broju proizvoljne baze od V. Još nekoliko tvrdnji vezanih za baze: (i) Svaki konačnodimenzionalni prostor osim {0} ima (konačnu) bazu. (ii) Baza nije jedinstvena. 3
(iii) Ako je B = {b 1 b 2... b n } bilo koja baza prostora V onda svaki vektor v V ima jedinstven prikaz u obliku v = n i=1 λ ib i. (iv) Konačan linearno zavisan skup reduciramo do linearno nezavisnog skupa tako da redom izbacujemo vektore koji se mogu prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora u skupu. (v) Reduciranjem konačnog sistema izvodnica za V do linearno nezavisnog skupa dobivamo jednu bazu za V. (vi) Reduciranjem linearno zavisnog skupa koji nije sistem izvodnica dobivamo linearno nezavisan skup koji sadrži < dim V elemenata. (vii) Svaki linearno nezavisan skup u V se može nadopuniti do baze za V. (Linearno nezavisnom skupu dodamo proizvoljnu bazu. Tako smo dobili sistem izvodnica za V koji zatim reduciramo do baze.) (viii) Neka je dim V = n. Linearno nezavisni skupovi u V imaju n elemenata. Linearno nezavisan skup od n elemenata je nužno baza. Sistemi izvodnica za V imaju n elemenata. Sistem izvodnica od n elemenata je nužno baza. Zadatak 10. Dokažite da su sljedeći skupovi baze za pripadne prostore: (a) {e 1... e n } u R n ; (b) {1 t t 2... t n } u P n ; (c) {E ij : i = 1... m j = 1... n} u M mn (R). Prethodne baze nazivamo kanonskim bazama za pripadne prostore. Zadatak 11. Nadite jednu bazu i dimenziju za C n R. Rješenje: dim C n R = 2n B = {(1 0... 0) (i 0... 0) (0 1... 0) (0 i... 0)... (0 0... 1) (0 0... i)}. Zadatak 12. Nadite jednu bazu i dimenziju prostora A aritmetičkih nizova. Rješenje: dim A=2 B = {(1 1 1...) (0 1 2 3...)}. Zadatak 13. Neka je {a b} baza za vektorski prostor V. Uz koji uvjet na c V će i skup {a c} biti baza za V? Rješenje: Vektor mora biti oblika c = αa + βb za neke α β F pri čemu je β 0. Zadatak 14. Reducirajte skup {(1 1 1 1 1) (1 0 1 1 1) (1 2 1 1 1) (1 0 0 0 1) (1 2 0 0 1)} do linearno nezavisnog skupa. Rješenje: {(1 1 1 1 1) (1 0 1 1 1) (1 0 0 0 1)}. Zadatak 15. Koji su od sljedećih skupova linearno nezavisni sistem izvodnica a koji baza za pripadne prostore: (a) {(1 1 2 1) (1 3 1 1) (1 4 1 1)} u R 4 ; (b) {(1 3 1) (2 1 1) (0 5 1) (1 8 2)} u R 3 ; (c) {t 2 + t + 5 t 2 t + 4 t 2 + t + 1} u P 2 ; {( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 (d) 1 1 0 1 1 0 0 2 )} u M 2 (R). Rješenje: linearno nezavisni: (a) (c); sistem izvodnica: (c) ; baza; (c). Zadatak 16. Zadani su vektori x y iz vektorskog prostora V. (a) Neka je skup {x y 2x + 3y} linearno nezavisan. Je li tada i skup {x y} linearno nezavisan? 4
(b) Neka je skup {x y 2x + 3y} sistem izvodnica za V. Je li tada i skup {x y} sistem izvodnica za V? Rješenje:(a):Da ; (b):da. {( ) ( ) ( 1 2 1 0 1 1 Zadatak 17. Provjerite da je 1 1 1 0 1 1 ( ) 1 0 njoj vektor. 0 0 Rješenje: Skalari u linearnoj kombinaciji su redom 1 1 2 1 1 2. ) ( 1 2 1 0 )} baza za M 2 (R) i prikažite u Zadatak 18. Provjerite da je {(1 0 0 0) (1 1 0 0) (1 1 1 0) (1 1 1 1)} baza za R 4 i prikažite u njoj proizvoljan vektor v R 4. Rješenje: v = (x 1 x 2 x 3 x 4 ) = (x 1 x 2 )(1 0 0 0) + (x 2 x 3 )(1 1 0 0) + (x 3 x 4 )(1 1 1 0) + x 4 (1 1 1 1). Zadatak 19. Nadopunite skup {(1 1 0)} do baze prostora R 3. Rješenje: Nije jedinstveno. Ukoliko nadopunjujemo pomoću kanonske baze dobivamo bazu {(1 1 0) (1 0 0) (0 0 1)}. Zadatak 20. Nadopunite skup {(1 1 1 1) (1 1 1 1)} do baze prostora R 3. Rješenje: Uz isti komentar kao i u prethodnom zadatku baza je {(1 1 1 1) (1 1 1 1) (0 1 0 0) (0 0 1 0)}. {( ) ( )} 1 2 1 1 Zadatak 21. Nadopunite skup do baze od M 0 0 0 0 2 (R). {( ) ( ) ( ) ( )} 1 2 1 1 0 0 0 0 Rješenje:. 0 0 0 0 1 0 0 1 5