13. SFERNA TRIGONOMETRIJA

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 13 SFERNA TRIGONOMETRIJA UVOD Trigonometrija je dio geometrije unutar koje se proučavaju odnosi između stranica i kutova u ravninskom i sfernom trokutu pomoću trigonometrijskih funkcija Trigonometrijskim funkcijama se, kao što znamo, računaju elementi trokuta, svojstva periodičnih pojava te izvode druge funkcije Sferna trigonometrija je trigonomrtrija na kuglinoj površini (sferi) Sferna se trigonometrija počela razvijati prije ravninske (obične) trigonometrije i to iz potreba navigacije, astronomije itd Danas ima veliku važnost u pomorskoj, zrakoplovnoj i satelitskoj navigaciji, astronomiji, geofizici itd Osnovni pojmovi Sfera je skup svih točaka prostora koje su jednako udaljene od čvrste točke O, koja se zove središte ili centar sfere, a ta udaljenost radijus R sfere Oznaka: S(O;R) Standardna sfera je sfera s centrom u ishodištu prostornog koordinatnog sustava, radijusa 1 Oznaka: S(O;1) Glavna ili velika kružnica sfere je kružnica koju dobivamo ako sferu presječemo ravninom kroz njeno središte, a čiji je radijus jednak radijusu sfere Orijentirana glavna kružnica sfere je glavna kružnica na kojoj je odabran smjer (pozitivan, negativan) Svaki presjek sfere polumjera R nekom ravninom je kružnica polumjera r; 0 r R r = 0 kružnica se steže na točku, r = R glavna kružnica Presječna kružnica može biti i imaginarna Antipodalne točke glavne kružnice su njene dijametralno suprotne točke Ozačavamo ih C i C ili C i C Za svake dvije točke A, B sfere S(O;R) koje nisu dijametralno suprotne postoji jedinstvena glavna kružnica na kojoj one leže Ta se kružnica dobiva kao presjek sfere i ravnine točkama A, B i središtem sfere O Kroz dvije dijametralno suprotne točke prolazi beskonačno mnogo glavnih kružnica 156

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Udaljenost točaka A, B S(O;R) se definira kao duljina manjeg luka kroz A i B Luk AB određuje kut AOB = α Duljina luka AB, za kut α izmjeren u radijanima: AB = R α Duljina luka AB, za kut α izmjeren u stupnjevima: AB = R α 180 Na standardnoj sferi: AB = α, odnosno AB = α 180 Geodetska krivulja je najkraća spojnica dviju točaka neke plohe Geodetske krivulje na sferi su glavne kružnice AB glavne kružnice Sferni dvokut Dvije glavne kružnice dijele površinu sfere na četiri dijela, na četiri dvokuta, od kojih su dva i dva nasuprotna međusobno jednaka Drugim riječima, dvokut je dio sfere među dvjema glavnim polukružnicama Točke u kojima se sijeku glavne kružnice koje omeđuju dvokut zovu se vrhovi dvokuta Dvokut je određen kutom dvokuta, tj kutom između glavnih kružnica koje ga omeđuju, odnosno tangentama na te kružnice u njegovim vrhovima Označimo li s α kut dvokuta, onda je 0 < α < Dvije glavne kružnice sfere Sferni dvokut Zadatak Izračunati površinu P α sfernog dvokuta s kutom α u lučnoj mjeri Površina P α ovisi o kutu α i polumjeru R sfere, tj P α = P α (α,r) Neka je PS površina sfere, P S = 4R Iz omjera α α : = Pα : PS Pα = PS Pα = R α Ako je kut α izmjeren u stupnjevima, P = α R α 180 157

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Usporedba geometrije na sferi s onom u ravnini Prije daljnjeg upoznavanja s pojmovima i odnosima među elementima i geometrijskim tvorevinama na sferi, usporedimo neke od njih s onima u ravnini U ravnini Na sferi - točka - točka - geodetska krivulja je pravac - geodetska krivulja je glavna kružnica - kružnica - sporedna kružnica - dužina - luk glavne kružnice - kut između dva pravca - kut dviju glavnih kružnica - jednom točkom izvan zadanog pravca - dvije se glavne kružnice uvijek sijeku prolazi samo jedna paralela s tim pravcem i to u dvije antipodalne točke - pravac je neograničen - glavna kružnica je ograničena - itd - itd Euklidska geometrija geometrija na sferi spada u tzv neeuklidske geometrije Za detaljniju usporedbu i upoznavanje s Euklidskom i neeuklidskim geometrijama vidi npr [Hanžek] SFERNI TROKUT Definicija Neka su A,B,C S ( O;R) tri točke koje ne leže na istoj glavnoj kružnici i nikoje dvije nisu antipodalne točke Spojimo li te tri točke trima lukovima glavnih kružnica, onda se dio sfere omeđen tim lukovima zove sferni trokut s vrhovima A, B, C i obilježava ABC Napomena: Podrazumijevamo da su glavne kružnice orijentirane, jer bi u protivnom mogli promatrati 8 sfernih trokuta Elementi sfernog trokuta: AB = c BC = a CA = b A, B, C antipodalne točke točaka A, B, C α, βγ, kutovi sfernog trokuta kutovi među stranicama tj među tangentama na glavne kružnice u vrhovima trokuta 158

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Vrijedi: dva sferna trokuta su sukladna ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj a = a,b = b, c = c, α = α, β = β, γ = γ ; dijametralno suprotni trokuti ABC i A B C su sukladni, što označavamo ABC A B C ; iz definicije sfernog trokuta slijedi da za stranice i kutove sfernog trokuta na sferi S O;R) vrijedi: 0< a,b,c < R, 0< αβγ,, < ( Definicija Sferni trobrid je figura koja nastaje kad vrhove sfernog trokuta spojimo s centrom sfere OA,OB,OC bridovi trobrida OAB,OBC,OCA strane trobrida Vrijedi: Za standardnu sferu je ispunjeno kako slijedi a = BC ( COB) = a 1 = a, S ( O; 1) b = AC ( AOC) = b, c = AB ( AOB) = c Svojstva sfernog trokuta Teorem 1) a+ b > c, a b < c; ) α + β < γ + ; 3) a = b α = β, tj nasuprot jednakim stranicama leže jednaki kutovi i obratno; 4) a < b α < β, tj nasuprot većoj (manjoj) stranici leži veći (manji) kut i obratno; 5) Suma kutova u sfernom trokutu: < α + β + γ < 3, Suma stranica u sfernom trokutu: 0< a+ b+ c < R 159

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Dokaz Tvrdnje dane ovim teoremom se provjeravaju poučcima koji slijede, a mogu se naći npr u [Pavković, Veljan], ili [Hanžek] Mi ćemo provjeriti istinitost tvrdnje 5 Dokažimo kao prvo da za stranice u sfernom trokutu standardne sfere (R = 1) vrijedi relacija 0 < a + b + c < Zadani sferni trokut nadopunimo preko svake njegove stranice na odgovarajući sferni dvokut (vidi sliku) Ova nadopuna daje nam tri nova sferna trokuta I, II, III na koje ćemo primijeniti prvu tvrdnju ovog teorema, tj c + b > a > 0 a + c > b > 0 + b + a > c > 0 0 < a + b + c < Za dokaz druge nejednakosti treba nam pojam polarnog trokuta Polarni trokut K k Neka je AB luk na pozitivno orijentiranoj glavnoj kružnici k sfere Točka K sfere koja se nalazi na dijametru sfere koji je okomit na ravninu te glavne kružnice, u pozitivnom smjeru, zove se pol luka AB, odnosno pol kružnice k Kružnica k zove se polara, a pridruživanje k K polaritet Neka je ABC sferni trokut i neka su redom: A pol luka BC, tj stranice a B pol luka CA, tj stranice b C pol luka AB, tj stranice c polarni trokut A B C Za trokute ABC i A B C kažemo da su međusobno polarni K 160

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Nije teško pokazati da za elemente a, b,c, α, β, γ polarnog trokuta vrijede relacije: α + a = β + b = γ + c = α + a = i β + b = γ + c = Na primjer, a' = + α = α, itd Dokažimo sada da za svaki sferni trokut vrijedi < α + β + γ < 3 Primijenimo dokazanu nejednakost 0 < a + b + c < na polarni trokut A B C : 0 < a + b + c < 0 < α + β + γ < 0 < 3 α + β + γ < 3 < α + β + γ < < α + β + γ < 3 ( ) ( ) Sferni eksces i sferni defekt Iz tvrdnje 5) slijedi da je suma kutova u sfernom trokutu veća od Razlika sume kutova i je kut koji se zove sferni eksces i označava s ε, tj ε = α + β + γ Osim toga iz 5) slijedi da je suma stranica u sfernom trokutu na standardnoj sferi manja od Razlika između i sume stranica je veličina koja se zove sferni defekt i označava s d, tj d = a+ b+c ( ) Teorem Površina P sfernog trokuta jednaka je umnošku sfernog ekscesa i kvadrata radijusa sfere, tj P = ε R Dokaz Promatramo ABC i A B C Nadopunimo ABC na dvokute i odredimo im površinu: P + P P + P P + P ( A BC) ( B AC) ( C BA) = R α = R β + = R γ ( A BC) + P( B AC) + P( C BA) = ( α + β + γ ) 3P + P R (*) 161

c b Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Trokuti ABC, A BC, B AC, C BA čine polusferu pa je zbroj njihovih površina jednak polovici površine sfere, tj P + P( A BC) + P( B AC) + P( C BA) = R Uvrstimo li to u (*) slijedi P = R α + β + γ = R ε ( ) Napomena Ako su kutovi izmjereni u stupnjevima, površina sfernog trokuta dana je sa: P 180 = R ε OSNOVNE VEZE MEĐU ELEMENTIMA SFERNOG TROKUTA Teorem (kousov poučak za stranice) (1) a = b c + b c α ; () b = c a + c a β ; (3) c = a b + a b γ Dokaz Ad (1) Neka je sfera standardna, tj uuur uuur uuur S( O; 1) OA = OB = OC = 1 r uuuur r uuuur r uuur r uuur Neka su u = OB', v = OC', u OA, v OA ï uuur uuur r r uuur Izrazimo OB, OC pomoću u, v i OA r r r r u v = u v α = α Iz slika B c A A b C c b B c O O b C slijedi uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur OB = c OA + c u, OC = b OA + bv, OB OC = 11 a = a, uuur uuur c OA + c u r b OA + bv r = L = b c + b c α tj a = ( ) ( ) 16

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Teorem (usov poučak) Sinusi kutova sfernog trokuta odnose se kao usi nasuprotnoh stranica, tj α β γ = = a b c Drugi zapis usovog poučka: α : β : γ = a : b : c Dokaz Iz kousovog poučka za stranice imamo da je a b c α = b c Upotrijebimo gornju jednakost da bismo izračunali α 1 α 1 b c a + a b β = = LL = a a a b c Analogno, uz b c a c a b β = i γ = c a a b dobivamo β 1 β 1 b c a + a b β = = LL =, i b b a b c γ γ 1 + = = = c c a b c 1 b c a a b β LL Jednakost desnih strana α β γ = = a b c α β γ = = a b c Teorem (kousov poučak za kutove) U sfernom trokutu vrijedi (1) α = β γ + β γ a, () β = γ α + γ α b, (3) γ = α β + α β c Dokaz Neka je A B C polarni trokut trokuta ABC Po kousovom poučku za stranice za A B C slijedi a = b c + b c α, tj α = β γ + β γ Računom slijedi α = β γ + β γ a Analogno se provjeravaju i druge dvije formule ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a) 163

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Teorem (kotangensovi stavci) U sfernom trokutu vrojedi (1) ctgb c = c α + α ctgβ, (4) ctgc b = b α + α ctgγ, () ctgc a = a β + β ctgγ, (5) ctga c = c β + β ctgα, (3) ctga b = b γ + γ ctgα, (6) ctgb a = a γ + γ ctgβ Dokaz Po kousovom poučku za stranice i usovom poučku slijedi b = a c + a c β, a = b c + b c α i b α a = β Uvrstimo li izraze za a i a iz druge i treće jednakosti u prvu, dobivamo b α b = ( b c + b c α ) c + c β β Nakon sređivanja i zamjenivši ( 1 c) sa c prethodna jednakost poprima oblik b c = b c α + b ctgβ α, odakle, dijeljenjem sa b dobivamo jednakost (1) Analogno se provjeravaju i ostali stavci Formule za polovine kutova (S formule) Da bismo odredili formule za polovine kutova, koje su za rješavanje zadataka vezanih uz sferni trokut od izuzetnog značaja, krenimo od prve relacije iz kousovog poučka za stranice, tj a = b c + b c α a b c α = b c Izračunajmo a + b c a b + c α a b c = 1 α = 1 = L = b c b c Uz kraticu: s = a + b + c, ( s a) = a + b + c ( s b) = a b + c ( s c) = a + b c Upotrijebimo li gornje oznake, α ( s b) ( s c) =, (*) b c α s ( s a) i analogno = (**) b c 164

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 (*) : (**) α s b s c tg = s s a tg α = α tg = ( ) ( ) ( ) ( s a) ( s b) ( s c) s ( s a) 1 ( s a) ( s b) ( s c) ( s a) s ( s a) ( s b) ( s c) Označimo li: k =, slijede formula polovine kuta s α k β k γ k tg =, i analogno tg =, tg = s a s b s c ( ) ( ) ( ) Vrijednost k ima geometrijsko značenje, tj, gdje je k = tg r u - sferni polumjer upisane kružnice r u = tg ( k) = tg 1 1 r u ( s a) ( s b) ( s c) s Formule za polovine stranica (ω formule) Formule za polovine stranica izvode se iz kousovog poučka za kutove, ponavljajući izvod formula za polovine kutova Na kraju se dobivaju formule a b c tg = ω α K, tg = ω β K, tg = ω γ ( ) ( ) ( ) K, gdje je ω K = ( ω α ) ( ω β ) ( ω γ ) Geometrijsko značenje vrijednosti K:, gdje je K = tg r o - sferni polumjer opisane kružnice r o = tg ( K ) = tg 1 1 r o ω ( ω α ) ( ω β ) ( ω γ ) 165

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 PRAVOKUTNI SFERNI TROKUT Pravokutni sferni trokut je sferni trokut koji ima bar jedan pravi kut Za razliku od trokuta u ravnini, sferni trokut može imati dva pa i tri prava kuta Nazive prenosimo iz ravne trigonometrije: a, b katete; c hipotenuza Formule pravokutnog trokuta Kousov poučak za stranice γ = : c = a b ; sferni Pitagorin poučak a b Sinusov poučak γ = : α =, β = c c Sve formule za pravokutni sferni trokut možemo lako zapisati i pamtiti pomoću matematičkog pravila poznatog pod nazivom Napierovo pravilo Napierovo pravilo John Napier (1550-1617), škotski matematičar Pravokutni sferni trokut ABC Elementi trokuta: α, β - kutovi a, b - katete; c hipotenuza Za svaki od 5 elemenata na slici imamo susjedna i nesusjedna elementa, npr za element β susjedni su c i a, a nesusjedni α i b Pravilo: Kous svakog elementa pravokutnog sfernog trokuta jednak je produktu kotangensa susjednih elemenata, a jednak je i produktu usa nesusjednih elemenata 166

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Napierovo kolo: Prema pravilu, iz kola čitamo sve formule za pravokutni sferni trokut (10 formula): c = ctgα ctgβ, c = b a = a b β = ctg a ctgc = tga ctgc, β = α b = α b a = ctgβ ctg b = ctgβ tgb a = a, a = α c b = ctgα ctg a = ctgα tga b = b, b = β c α = ctg b ctgc = tgb ctgc α = a β = a β Napomenimo da je John Napier uveo prirodne logaritme, tj logaritme s bazom e =,718818 Neka svojstva pravokutnog sfernog trokuta Svojstva koja ćemo navesti slijede iz odnosa za kutove sfernog trokuta ili iz deset formula pravokutnog sfernig trokuta Dokazi tih svojstava nisu teški i mogu se naći npr u [Hanžek] ili [Justinijanović] 167

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Neka je dan pravokutni sferni trokut ABC, kojemu su α, β - kutovi, a,b- katete i c - hipotenuza Tada vrijedi: ε a b 1 tg = tg tg ; α β < < α +β ; 3 3 < α + β < ; 4 Kateta i njoj nasuprotni kut su uvijek istovrsni, tj ili obje veličine leže u prvom ili obje leže u drugom kvadrantu; 5 Kateta je manja od nasuprotnog kuta ako su oba oštri kutovi, a veća ako su oba tupi kutovi Drugim riječima kateta, izražena u stupnjevima, mora ležati dalje od 90 od njoj nasuprotnog kuta; 6 Hipotenuza je po veličini uvijek između katete i njenog suplementa; 7 Hipotenuza je oštri kut ako su katete istovrsne, tj sve tri stranice izražene su kutovima iz prvog kvadranta; 8 Hipotenuza je tupi kut ako su katete raznovrsne, tj samo jedna stranica je iz prvog kvadranta a ostale dvije su iz drugog kvadranta; 9 Hipotenuza je pravi kut ako je barem jedna kateta pravi kut; 10 Pravokutni sferni trokut može imati dva pa i tri prava kuta RJEŠAVANJE SFERNOG TROKUTA Riješiti sferni trokut znači iz tri zadana elementa odrediti ostale elemente Na primjer, ako zadamo tri stranice a, b, c sfernog trokuta, kutove α, β, γ možemo izračunati iz kousovog poučka za stranice Ako su zadani kutovi α, β, γ stranice a, b, c sfernog trokuta možemo izračunati iz kousovog poučka za kutove Osim poučaka i stavaka s kojima smo se do sada upoznali, prilikom rješavanja sfernog trokuta često se upotrebljavaju D Alambertove i Napierove formule kao i L Huillierova formula za sferni eksces D Alambertove formule Jean D Alambert (1717-1783), francuski matematičar, fizičar i filozof a b a b α + β γ α β = =, γ = =, c c a + b a + b α + β γ α β = =, γ = = c c Formule se dokazuju, počevši od kousovog poučka za stranice, primjenom lakih transformacija 168

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Napierove formule a b α + β γ tg = ctg, a + b α β a + b c tg = tg, α + β a b α β γ tg = ctg, a + b α β a b c tg = tg α + β Ove se formule dokazuju iz D Alambertovih dijeljenjem odgovarajućih formula L Huilierova formula Simon A J L Huilier (1750-1840), švicarski matematičar Ako su zadane stranice a, b, c sfernog trokuta i označimo li s = a+b+c (opseg trokuta), sferni eksces ε dan je formulom ε tg = 4 s s a tg tg s b tg s c tg I ova se formula dokazuje iz D Alambertovih formula Vratimo se rješavanju sfernog trokuta Budući da tri od šest elemenata a, b, c, α, β, γ sfernog 6 trokuta potpuno određuju sferni trokut, postoji = 0 različitih kombinacija zadataka o 3 trokutu Međutim, svi zadaci s jednakim međusobnim položajem stranica i kutova čine isti tip zadatka, pa preostaje samo šest tipova različitih zadataka od kojih si dva i dva odgovaraju polarno Osim toga, pri rješavanju zadataka ne smijemo zaboraviti na uvjete koje moraju zadovoljiti zadani elementi trokuta kako bi trokut bio rješiv Ti uvjeti se nazivaju determinacija Tipovi zadataka i uobičajene oznake: SSS - Zadane sve tri stranice AAA - Zadana sva tri kuta SAS - Zadane dvije stranice i kut ASA - Zadana jedna stranica i dva kuta među njima na njoj SSA - Zadane dvije stranice i kut AAS - Zadana dva kuta i stranica nasuprot nasuprot jednoj od njih jednom od njih 169

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Rješavanje tipskih zadataka SSS: Zadane su stranice a, b i c,,? α βγ= Izračunamo s, s a, s b, s c, pa pomoću formula za polovine kutova α k β k γ k tg =, tg =, tg =, gdje je s a s b s c ( ) ( ) ( ) ( s a) ( s b) ( s c) k =, izračunamo tražene kutove α, βγ, s Determinacija: Da bi sferni trokut bio određen (determiniran) moraju veličine zadanih elemenata biti takve da ispunjavaju uvjete: 0< a+ b+ c < i b c < a < b+ c, c a < b< c+ a, a b< c < a+ b AAA: Zadani su kutovi α, βγ, a, b, c =? Ovaj zadatak polarno odgovara prethodnom Možemo ga riješiti tako da umjesto zadanog trokuta rješavamo njegov polarni trokut kojemu su poznate sve tri stranice: a' = α, b' = β, c' = γ Odavde, prema formulama iz prethodnog zadatka slijede vrijednosti za kutove α ' = a, β' = b, γ' = c, a time i stranice a, b, c Determinacija: Zadani elementi moraju zadovoljavati uvjete: β γ < α < β + γ < α + β + γ < 3 i γ α < β < γ + α α β < γ < α + β SAS: Zadane su dvije stranice i kut među njima, npr b, c, α β, γ,a =? b c b c Pomoću Napierovih formula tg β γ ctg α + = i tg β γ ctg α =, b+ c b+ c β + γ β γ β + γ β γ izračunat ćemo kutove β, γ : β = +, γ = Stranicu a izračunat ćemo npr iz usovog poučka: b α a = β Determinacija: Nema posebnih ograničenja na zadane elemente osim što svaki od njih mora biti veći od 0 i manji od 170

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 ASA: Zadatak polarno odgovara prethodnom SSA: Zadane su dvije stranice i kut koji je nasuprot jednoj od tih stranica, npr a, b, α β, γ, c =? b α Pomoću poučka o usima, formulom β =, izračunat ćemo dvije a suplementarne vrijednosti za kut β, ili nijednu Mogućnosti su dakle sljedeće: a) b α = a β = 1, β = 90, a to znači da je zadanim elementima određen pravokutni sferni trokut kojemu je stranica b hipotenuza b) b α > a β > 1 zadatak nema rješenja c) b α > a β > 1 dvije suplementarne vrijednosti za kut β Pomoću Napierovih jednadžbi izračunat ćemo zatim stranicu c i kut γ Determinacija: Nema posebnih ograničenja na zadane elemente AAS: Zadatak polarno odgovara prethodnom Različiti zadaci: 1 Na sferi polumjera R = 6370 km odrediti koliki je luk ako je pripadni središnji kut l = 1, 1 ili 1 Luk računamo prema formuli: l = Rl 180 l = 1 l = 6370 1 = 111, 1111 km, 180 l = 1 l = 1 1 l = 6370 1 = 6370 = 1, 850 km, 180 60 180 o 1 l = 6370 1 = 6370 = 0, 03087 km = 30, 87 m 180 3600 180 Na sferi polumjera R = 6370 km odrediti koliki je središnji kut ako je pripadni luk l = 50km Središnji kut računamo prema formuli: l = Rl 180, tj 180 l l = R 180 50 l = 50km l = = 0, 44996 = 0 7 00 6370 o 171

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 3 Na kugli polumjera R = 6370 km nalazi se trokut površine P = 1 km Odrediti sferni eksces tog trokuta Sferni eksces: ε = α + β + γ Iz formule za površinu P sfernog trokuta: P P = εr ε = R u radijanima, 180 P P = εr ε = 180 R u stupnjevima, ili 180 P ε = 3600 = 0, 00508 R u sekundama, što je ponekad bolje ako je eksces jako mali 4 Odrediti sferni eksces i površinu jednakostraničnog sfernog trokuta kojemu je dužina stranice 90km, ako je radijus sfere R = 6371km a = b = c = 90km P = ε R =? 180 ε =? Sferni eksces ćemo izračunati pomoću L Huilierove formule ε s s a s b s c tg = tg tg tg tg 4 3a s = a+ b+ c = 3a s = 90 180 s a = = 0, 809389445 s = 1, 14084168 = 0, 6070484 R s a s b s c = = = 0, 0347361 ε 10 tg = 4, 667051 = 0, 0000160335 4 ε = 0, 00137781 ε = 0, 00495115 = 0 00 17, 840508 4 Sada možemo izračunati površinu: P = ε R = LL = 3507, 490379km 180 Interesantno je izračunati razliku do površine ravnog (ravninskog) jednakostraničnog trokuta iste duljine stranice: a 3 P RT = = 3507, 40886km 4 P P = 0, 087493km kvadrat stranice 0,9579157 km, tj 95,79157 m RT 17

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 5 Primjenom kousovog poučka za stranice izračunati udaljenost od Zagreba do New Yorka, ako su nam poznate geografska dužina χ i širina ϕ tih dvaju gradova Zagreb točka A ( ϕ,χ A A ) New York točka B ( ϕ,χ B B ) pol ekvatorske kružnice točka N udaljenost d mjeri se po glavnoj kružnici Iz sfernog trokuta ABN čitamo potrebne podatke: d d = ϕ A ϕ B + ϕ A ϕ B = ϕ ϕ + ϕ ϕ χ χ d = A 1 B A B ( B A ) ( ϕ ϕ + ϕ ϕ ( χ χ )) A B A B B A ( χ χ ) B A ZG NY ( ϕ A = 45 48' 54'', χ A = 15 58' 59'' ) ( ϕ = 40 4' 44'', χ = 74 0' 4'' ) B B d = 6904, 86 km 6 Neka su zadane dvije stranice sfernog trokuta ABC i kut koji je nasuprot jednoj od tih stranica Razriješiti trokut i izračunati sferni eksces Zadatak spada u tip SSA zadataka a = 53,533748 b = 116,590089 α = 8,57111 = 8 o 57 11 β, γ,c =? Pomoću poučka o usima izračunamo β = 3, 7847 β = 3 16', 5'', i njegov suplement 1 1 β = 180 β = 180 3 16', 5'' = 147 43' 37, 7'' = 147, 77139 1 Iz Napierovih jednadžbi slijedi c 1 = 169, 4104 = 169 4' 43, 9'' i c = 70, 977531 = 70 58' 39, 11'', odnosno γ 1 = 173, 6793 = 173 40' 45, '' i γ = 34, 503681 = 34 30' 13, 5'' 173

Geodetski fakultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 Sferni eksces: ε1 = α + β1 + γ1 180 = 54, 905160 = 54 54' 18, 58'', i ε = α + β + γ 180 = 31, 183903 = 31 11' 0, 05'' 174