********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε ότι η παρουσιάζει σημείο καμπής σε κάποιο A. Τότε, αφού η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο θα ισχύει:. Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της δοσμένης ισότητας έχουμε: e e e e. Και για e έχουμε: e. e e Όμως θεωρώντας τη συνάρτηση g με τύπο g e, R έχουμε: g e. g e e ln. 96
g e e ln. Δηλαδή: Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, αφού ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής σε αυτό και τότε g στο εσωτερικό του. Οπότε αν g g e. Άτοπο. Η g είναι γνησίως αύξουσα στο, αφού ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής σε αυτό και τότε Προφανώς για Άτοπο. g στο εσωτερικό του. Οπότε αν g g e. Άτοπο. είναι g g e. Έτσι σε κάθε περίπτωση οδηγούμαστε σε άτοπο και συνεπώς η αρχική υπόθεση ότι η παρουσιάζει σημείο καμπής σε κάποιο R είναι λανθασμένη. Επομένως η δεν παρουσιάζει σημείο καμπής στο R. 6 Δίνεται συνάρτηση : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη, η οποία σε σημείο R παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το και ικανοποιεί τη σχέση: '' 4 ', για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g e β) Να αποδείξετε ότι είναι, για κάθε R. είναι κυρτή στο R. 97
Αφού η παρουσιάζει ακρότατο στο από το θεώρημα Fermat είναι και επίσης ισχύει. α) Για να αποδείξουμε ότι η g είναι κυρτή στο R αρκεί να δείξουμε ότι g για κάθε R. g e. e e g e e e e e 4 e e 4 4 διότι από την υπόθεση έχουμε ότι 4 4 4 4. Άρα η g είναι κυρτή στο R. β) Επειδή g για κάθε R η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επομένως: g g g g e e g διότι, άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο,. 98
g g g g, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο,. Επομένως η g παρουσιάζει ελάχιστο στο και επομένως g g για κάθε R. Όμως g g e e e αφού e για κάθε R. 7 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R lim 3 3 και (5) 6. R για την οποία ισχύουν Αν η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα (3, 5) στο οποίο η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Θέτουμε g με lim g 3 3 g ( 3)g 3 οπότε θα είναι: και lim lim g 3 limg lim 3 6 6 3 3 3 3 Όμως η είναι παραγωγίσιμη στο R οπότε θα είναι και συνεχής. lim 3 6. Άρα 3 Επειδή η στρέφει τα κοίλα κάτω, η ' είναι γνησίως φθίνουσα στο R και επομένως και στο διάστημα (3, 5). 99
Από υπόθεση έχουμε (5) 6, άρα (3) (5). Εφαρμόζοντας θεώρημα Rolle για την στο [3, 5] αφού πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήματος στο διάστημα αυτό, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (3, 5) τέτοιο, ώστε '( ). Με δεδομένο ότι η ' είναι γνησίως αύξουσα στο (3, 5) άρα και το είναι μοναδικό. Θα έχουμε λοιπόν: Για Για ' '() '( ) '() ' '( ) '() '() Έχουμε έτσι τον παρακάτω πίνακα μονοτονίας της : + Επομένως στο, η είναι γνησίως αύξουσα ενώ στο, είναι γνησίως φθίνουσα και παρουσιάζει μέγιστο στο το οποίο είναι μοναδικό. 8 α) Δείξτε ότι e, για κάθε R. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 4 () e, R. i) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της C στο σημείο M(, ()) ii) Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα. iii) Να δειχθεί ότι: 4 3 e, για R. 3
α) Θεωρούμε συνάρτηση g e, R.. Επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημο της g g e βρίσκουμε την g. άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. g e Επίσης παρατηρούμε ότι g g g g g g και συνεπώς: g g g Άρα στο, η g είναι γνησίως φθίνουσα ενώ στο, η g είναι γνησίως αύξουσα. Άρα θα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο και επομένως g g για κάθε R άρα e, άρα e για κάθε R. β) i) H εξίσωση εφαπτομένης της C στο είναι η ευθεία y. Όμως 3 και επίσης 6 4 e. Άρα οπότε y y y. 3
e 6 4 e ii) 3 4 3 6 4 e e 3 e διότι από το (α) ερώτημα έχουμε αποδείξει ότι e για κάθε R. Επομένως η στρέφει τα κοίλα κάτω στο R. iii) 4 3 3 4 e e το οποίο ισχύει διότι η στρέφει τα κοίλα κάτω και η ευθεία y είναι εφαπτόμενη της C στο. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι όταν μία συνάρτηση είναι κοίλη τότε σε κάθε σημείο της εφαπτομένης θα βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής. 9 Αν lne : α) Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. β) Να βρείτε την εφαπτόμενη της C στο σημείο με τετμημένη. γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει e ln για κάθε R. 3
α) Η ορίζεται στο R αφού e για κάθε R και είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό, ως πράξεις παραγωγίσιμων με: e e και e e e e e e για κάθε R. Επομένως η στρέφει τα κοίλα κάτω στο R. β) Αν είναι η εφαπτομένη της C στο τότε: : y y ln y ln. γ) Η γραφική παράσταση της στρέφει τα κοίλα κάτω όπως αποδείξαμε στο (α) ερώτημα. Επομένως η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται κάτω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της με εξαίρεση το σημείο επαφής. Επομένως για την εφαπτομένη στο M, ln ln ln e ln θα ισχύει: e e ln e ln ln ln. 33
Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση :[, ] R για την οποία ισχύει ( ), '( ) και ''() για κάθε [α, β]. α) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της β) Δείξτε ότι ( ). α) Η εξίσωση εφαπτομένης της C στο σημείο A, ( ) C στο σημείο A, ( ) είναι: ( ): y ( ) '( )( ) y ( ) y.. β) Γνωρίζουμε ότι ''() για κάθε [α, β] και επομένως η είναι κυρτή στο [α, β]. Συνεπώς η C θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτόμενη (ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Α. Έτσι θα είναι () για κάθε (α, β]. Άρα για β θα έχουμε ( ). Έστω η συνάρτηση () ( 4 6)e, R. α) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της C στο σημείο M, (). β) Να αποδείξετε ότι 4 6 e ( ) για κάθε R. α) Η εξίσωση εφαπτομένης της C στο θα είναι:. Όμως y 3e 3. 4 e 4 6 e () e 3e (). Άρα y 3 y. 34
β) 4 e 4 6 e e e e e για κάθε R. Το ίσον ισχύει μόνο για. Επομένως η είναι κυρτή στο R. Άρα η C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη y για κάθε R με εξαίρεση το σημείο M, 4 6 e 4 6 e ( ) e 4 6. Άρα ισχύει: 4 6 e 4 6 e 4 6 e ( ) για κάθε R. Είναι 4 6 για κάθε R διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι 8. 35
Δίνονται οι συναρτήσεις, g :, R δυο φορές παραγωγίσιμες για τις οποίες ισχύουν: () g() e ()g() ()g() ()g () ln για. α) Δείξτε ότι g e ln για. β) Αν τα A, () και B, g() είναι σημεία καμπής των γραφικών παραστάσεων των, g αντίστοιχα και οι εφαπτόμενες σ αυτά είναι παράλληλες με θετική κλίση, βρείτε τα '() και g'(). α) Για κάθε ισχύει: ()g() ()g() ()g () ln ()g() ()g () ()g() ln ()g() ln ()g() ln (). Γνωρίζουμε όμως ότι αν '() () ce, c R, για κάθε. () για κάθε, τότε Οπότε από τη σχέση () προκύπτει ότι υπάρχει c R τέτοιο, ώστε ()g() ln ce. Για είναι () g() ce e e ce c Άρα () g() e ln. 36
β) Τα σημεία A, () και B, g() είναι σημεία καμπής των C και C αντίστοιχα και επομένως θα είναι () g () (). g Οι, g είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο, οπότε θα έχουμε: ' ' () g() e ln () g() e ln ()g() ()g () e και ()g() ()g () e ' ' ()g() ()g () g () () g () () e Για θα είναι: ()g() ()g () g () () g () () e 4 '() g'() ()g () e () e 4 4 4e '. Όμως '() και επομένως είναι 8 () ' g'() 4e 8 37
3 ln και Δίνονται οι συναρτήσεις g() e ln α) Να αποδείξετε ότι g''() e (). β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα κοίλα. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα και να βρείτε ένα διάστημα πλάτους στο οποίο περιέχεται. δ) Να αποδείξετε ότι η g έχει μοναδικό σημείο καμπής. α) Είναι A A, όπου και g είναι δυο φορές g παραγωγίσιμες. Έχουμε g e ln e και g e ln e e e e ln e για κάθε A 3 3 β) Έχουμε: διότι για κάθε αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική. Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο 4 6 4 6 για κάθε 3 4 4, και A αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου 4 6 είναι αρνητική οπότε 4 6 για κάθε. Άρα η στρέφει τα κοίλα κάτω. γ) Η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε η εξίσωση () 38
έχει το πολύ μια ρίζα στο,. Αρκεί, λοιπόν, να προσδιορίζουμε ένα διάστημα με πλάτος, στα άκρα του οποίου, η έχει ετερόσημες τιμές. Είναι () ln και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα θα ψάξουμε τιμή της για. Είναι ln ln 4 4 ln άρα στο διάστημα, η εξίσωση () έχει την μοναδική της ρίζα. δ) Από το (γ) ερώτημα υπάρχει, Οπότε g e τέτοιο, ώστε g e. Η είναι γνησίως αύξουσα οπότε θα έχουμε: () ( ) () e () g''() () ( ) () e () g''() + g() + g σ.κ. Άρα η g έχει μοναδικό σημείο καμπής το, g( ). 39
4 Δίνεται η συνάρτηση : R R, με e ln. Να δείξετε ότι: e α) Αν g : R R είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση με g e και g ln τότε g. β) Η C στρέφει τα κοίλα άνω στο R. γ) Για κάθε R e e ισχύει:. α) Έχουμε e e () ln '() ln e e ' ' e e e e e e '() '() e e e e e '() e οπότε '() g'() για κάθε R. Επομένως θα υπάρχει σταθερά c R τέτοια, ώστε () g() c, e για κάθε R. Όμως ln ln ln g() e οπότε για είναι: () g() c () g() c c Άρα () g() για κάθε R. β) Έχουμε: στο R. e e άρα η C στρέφει τα κοίλα κάτω 3
γ) Εφαρμόζουμε θεώρημα μέσης τιμής για την στο διάστημα, με R αφού πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήματος για την στο διάστημα αυτό, οπότε θα υπάρχει, τέτοιο, ώστε: e ή (). Όμως e e e e e e e e e e e. 5 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R 3 4 4, για κάθε R. R με: α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της. β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής (αν υπάρχουν). γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g : R R i) Να βρείτε την τιμή g4. με g ii)να λύσετε την ανίσωση. 3 6, R. 3
α) Έχουμε: 3 4 4 3 4 4 4 3 4, για κάθε R. Είναι για κάθε R συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα στο R. 3 Ακόμη: Οπότε: 4 4. () () () () () () β) Είναι: 4 4 ''() 3 4 3 4 4 3 4. Όμως 4 3 4 ' οπότε ( ) () και ( ) () Επίσης είναι Επομένως στο 4 ''(), 3 4 αφού είναι (). η είναι κυρτή ενώ στο κοίλη. Η έχει σημείο καμπής στο το ()., είναι 3
γ) i) Είναι g4 8 4 όμως: 3 3 4 4 4 6 4 4 4 6 4 4 4 8 4, οπότε g4 8. ii) Είναι: R. Ακόμη: g άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο 3 6 3 3 g g 3 g 4 3 4 3 4 4 4. 6 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, R με: e. α) Να δείξετε ότι η διατηρεί πρόσημο στο., β) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη. γ) Αν να εξετάσετε την ως προς τα κοίλα. δ) Να δείξετε ότι. α) Έχουμε e e άρα, για κάθε,. e 33
Επειδή η είναι συνεχής στο, και η διατηρεί πρόσημο στο, για κάθε., β) Αν για κάθε, οπότε από τη σχέση για κάθε,., Αντίστοιχα, αν στο., τότε e e e διαπιστώνουμε ότι άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο τότε η είναι γνησίως φθίνουσα γ) Επειδή και με δεδομένο ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, έχουμε, για κάθε, οπότε και, όπου e. (όπως είδαμε από το ερώτημα (β), αν τότε.) Ακόμη είναι e e e άρα η C στρέφει τα κοίλα κάτω. δ) Για η e γίνεται: e e e. 34
Θεωρούμε τη συνάρτηση g : R R με g e. Έχουμε: και g e g e e. Από τον παρακάτω πίνακα διαπιστώνουμε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο για το g() άρα για είναι g g e. Για παίρνουμε e. 7 Δίνεται η συνάρτηση ln e, R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. (Πανελλήνιες Εξετάσεις ) Η είναι παραγωγίσιμη στο R ως πηλίκο παραγωγίσιμων με e '() e και e e e e e e e e e e e e. e e Θεωρούμε συνάρτηση h e Οι ρίζες και το πρόσημο της είναι ίδια με της συνάρτησης h. Οπότε θα έχουμε. h e e h e. 35
h e h h μέγιστο h e Η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, άρα h lim h, h, e αφού lim h lim e επειδή lim e lim lim lim e. e e Η συνάρτηση h είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, άρα h lim h, h, e αφού lim h lim e lim. οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο. επειδή lim e και h έχει ρίζα στο μοναδική γιατί η h (, αφού h ), h οπότε η h έχει ρίζα στο μοναδική γιατί η h είναι γνησίως φθίνουσα στο. Άρα η έχει ακριβώς δύο ρίζες, επομένως η έχει δύο πιθανά σημεία καμπής. 36
h Για h h h οπότε h. Για h h h οπότε Επομένως στη θέση η παρουσιάζει καμπή. h Για h h h οπότε h Για h h h οπότε Επομένως στη θέση η παρουσιάζει καμπή. Άρα η έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.... 8 Έστω συνεχής συνάρτηση στο, και δυο φορές παραγωγίσιμη στο, με. Αν υπάρχει, τέτοιο, ώστε, να αποδειχθεί ότι: α) υπάρχουν,, τέτοια, ώστε, β) υπάρχει, τέτοιο, ώστε γ) αν η είναι κυρτή στο,, τότε:, i) υπάρχει μοναδικό, τέτοιο, ώστε, ii) για κάθε,. α) Εφαρμόζουμε θεώρημα μέσης τιμής για την στα διαστήματα, και,. 37
Η είναι συνεχής στο,,. Η είναι παραγωγίσιμη στο., Επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Ομοίως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις και έχουμε: διότι και. β) Εφαρμόζουμε θεώρημα μέσης τιμής για την στο διάστημα όπου και,, από το (α) ερώτημα., Η είναι συνεχής στο,, φορές παραγωγίσιμη στο., αφού η είναι δύο Η είναι παραγωγίσιμη στο,,. Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε 3 Όμως διότι και καθώς επίσης 38
και διότι και. Άρα. γ) i) Η είναι κυρτή στο, και επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. Κατ αρχάς εφαρμόζοντας θεώρημα Rolle για την στο, θα έχουμε: Η είναι συνεχής στο., Η είναι παραγωγίσιμη στο.,. Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Έστω τώρα ότι υπήρχε ένα ακόμη, με. Αυτό όμως θα οδηγούσε σε άτοπο διότι η είναι γνησίως αύξουσα και επομένως και -. Άρα δεν γίνεται. επομένως υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε ii) Γνωρίζουμε ότι. Έστω ότι η είχε μία ακόμα ρίζα στο, δηλαδή. 39
Εφαρμόζοντας θεώρημα Rolle για την σε κάθε ένα από τα από τα διαστήματα, και υπήρχαν, και,, προκύπτει ότι θα τέτοια ώστε. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι η είναι γνησίως αύξουσα, άρα -. Επομένως για κάθε, και επειδή είναι και συνεχής στο διάστημα αυτό, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο., Έχουμε και ότι από υπόθεση υπάρχει, ώστε τέτοιο και συνεπώς για κάθε,. 9 α) Να αποδείξετε ότι αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω σε ένα διάστημα Δ, τότε για οποιαδήποτε,. β) Δίνεται η συνάρτηση lnln. i) Να δείξετε ότι η είναι κυρτή. ii) Να δείξετε ότι για οποιαδήποτε,, ισχύει () ln ln ln. α) Η σχέση () είναι προφανής για. Έστω τώρα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι Η σχέση () γίνεται ισοδύναμα 3
() Με μέσο του διαστήματος, είναι το Εφαρμόζοντας θεώρημα Μέσης Τιμής σε καθένα από τα διαστήματα, και, αφού πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος για την, θα υπάρχουν αντίστοιχα,, και τέτοια, ώστε '( ) ( ) ή '( ) ( ) και ( ) '( ) ή ( ) '( ) Όμως η είναι παραγωγίσιμη και στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ οπότε η ' είναι γνησίως αύξουσα. Άρα θα έχουμε: ' ' ' ( ) ( ) 3
( ) ( ) ( ) ( ) β) i) Πρέπει ln οπότε A, ' ' ' ln ln ln ln ln και Έχουμε ln ln για κάθε, ln ln. Άρα η είναι κυρτή. ii) Η είναι κυρτή, οπότε από (α) ερώτημα προκύπτει ότι για οποιαδήποτε,, ισχύει ln ln ln ln lnln ln ln ln lnln ln lnln ln ln ln ln ln ln 3
3 Αν η είναι κυρτή και γνησίως αύξουσα στο R, να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει R. τέτοιο, ώστε β) lim α) Έστω,. R με. Η ως κυρτή στο R είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και συνεχής στο R οπότε και στο, R. Επομένως η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο,. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε. Όμως η είναι γνησίως αύξουσα στο R και επομένως για.. Από τις και προκύπτει ότι, C β) Η εφαπτομένη στο έχει εξίσωση: : y y. Επειδή η είναι κυρτή στο R θα έχει γραφική παράσταση η οποία θα βρίσκεται πάνω από οποιαδήποτε εφαπτομένη της και πάνω δηλαδή και από την. Επομένως : R 3. για κάθε 33
Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση g και είναι lim g lim lim αφού. Άρα g για κάθε κοντά στο. Επομένως θα είναι: lim g και από την 3 παίρνουμε: g για κάθε κοντά στο. g Από το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε ότι lim αφού lim για κάθε κοντά στο. 34