Dodatak B Numerička interpolacija, diferenciranje i integracija B. Interpolacija Često u u okviru nekog proračuna treba za zadatu vrednost x naći iz tabele odgovarajuću vrednost zavisno promenljive y pri čemu : zadata vrednost je u opsegu tabele, tabela ne sadrži baš tu vrednost nezavisno promenljive Recimo, potrebne su vrednosti viskoziteta neke supstance za zadatu temperaturu, a raspolažemo tabelom temperatura viskozitet, u kojoj ne postoji baš ta vrednost temperature i odgovarajući viskozitet. Najjednostavnije rešenje je linearna interpolacija: u tabeli nalazimo dve susedne vrednosti nezavisno promenljive, koje ćemo označiti sa x i x, takve da zadata vrednost x leži između njih: x < x< x Traženu vrednost dobijamo iz jednačine prave provučene kroz dve susedne tačke tabele: x, ) i x, ) : ( y y ( y y y = x x ) + x x ( y Matematičkim terminima, nepoznatu funkciju f ( čije su vrednosti date tabelom smo na intervalu [ x, x ] aproksimirali linearnom funkcijom, koja na krajevima intervala ima iste vrednosti kao funkcija f(. Geometrijski, luk krive f( nad intervalom [ x, x ], zamenjen je tetivom. U numeričkoj matematici se zadatak interpolacije definiše opštije, na sledeći način. Neka su u tačkama x i, i=,,,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate vrednosti neke funkcije, y f ( x ), i=,, n Treba naći polinom P n (, =, odnosno uređena tabela: i i,... i... n x x x x y = f( y y y n n P n ( = a + a x + a x +... + a n x n (B.)
koji aproksimira funkciju f( [f( P n (] na intervalu x [x, x n ], tako da u tačkama x i, i=,,,... n ima jednake vrednosti sa njom: P n (x i ) = f(x i ) i =,,...,n (B.) P n ( Greška interpolacije P n ( f( f( x x x x x n- x n Slika B. - Funkcija i njen interpolacioni polinom Drugim rečima, provlačimo polinom n-tog stepena kroz n + tačku: ( xi, yi ), i=,,..., n Tačke x i, i=,,,... n se nazivaju čvorovi interpolacije. Interpolacioni polinom neke funkcije, koristi se, za procenjivanje vrednosti funkcije u tačkama x x i, x (x, x n ), što zovemo interpolacija. Na slici je naznačena i greška interpolacije u tački x, tj. razlika tačne vrednosti funkcije f( i vrednosti dobijene iz njenog interpolacionog polinoma P n ( da zameni funkciju radi njenog približnog diferenciranja ili integracije U praksi se interpolacioni polinom ne traži nalaženjem koeficijenata a i, i=,,..., n iz sistema od (n + ) linearnih jednačina (B.), jer je taj računski proces potencijalno nestabilan u slučaju da su čvorovi interpolacije međusobno bliski (uključuje oduzimanje bliskih brojeva). U literaturi postoji veliki broj različitih postupaka za generisanje interpolacionih polinoma, koji se ne dobijaju u obliku (B.), razvijenom po stepenima x (kanoničan oblik). Navešćemo ovde samo jedan postupak, tj. Lagranžov (Lagrange) interpolacioni polinom.
Lagranžov interpolacioni polinom Interpolacioni polinom se traži u obliku: n P ( = L ( y (B.3) n j= j j gde su L j (, j=,,..., n polinomi n-tog stepena: n i= i j = n i= i j ( x x ) j i L j ( (B.4) ( x x ) Nije se teško uveriti da za polinome L j ( važi: i za i j L j ( xi ) = i, j =,,..., n za i = j te da polinom (B.3) zadovoljava uslov (B.) da bude interpolacioni polinom tabelarno zadate funkcije f(. Na primer, interpolacioni polinom. stepena (n = ), provučen kroz tačke : x, ), x, ) i x, ) dobijamo kao: ( y gde su: ( y ( y P ( = L y + L y + L y ( x x )( x x ) L ( =, ( x x )( x x ) ( x x L ( = ( x x )( x x ), )( x x ) ( x x )( x x ) L ( = ( x x )( x x ) PRIMER B Dati su podaci o izmerenim koncentracijama penicilina C p (int.jed.)u nekom uzorku u različitim vremenskim momentima,t (min) t: 4 6 8 4 6 8 C p : 6 75 3 58 8 943 95 88 93 898 U Mathcad-u je formulisan Lagranžov polinom za datu tabelu t - C p. Dat je grafik polinoma, sa eksperimentalnim tačkama. Zapažamo da pri krajevima tabele interpolacija može da bude praćena vrlo velikim greškama. To je posledica visokog stepena interpolacionog polinoma (n = ), koji prolazi kroz sve tačke tabele.tako se ne preporučuje interpolacija polinomima P n ( velikog stepena naročito kada su u pitanju eksperimentalni podaci, jer sadrže greške. 3
.5. 4.3 4. 4 Cp yl( t, Cp, xr) Cp 5 5 4 6 8 4 6 8 t, xr, t Slika B. Lagranžov polinom (zelena linija), koji prolazi kroz sve tačke tabele u Primeru B Greška interpolacije Analize greške interpolacije pokazuje da, ona opada sa povećanjem stepena interpolacionog polinoma, m stepene polinoma za manje je za odabrani stepen polinoma m ona najmanja, ako vrednost x za koju računamo vrednost polinoma leži u centru intervala kome pripada (m + ) interpolacionih čvorova. Ukupna greška rezultata interpolacije je jednaka zbiru greške koja potiče od grešaka u tabelarnim vrednostima funkcije u čvorovima interpolacije i greške metode, tj interpolacije Dakle, rezultat interpolacije ima u najboljem slučaju (zanemarljiva greška interpolacije) onoliko sigurnih cifara koliko ih imaju najmanje tačne vrednosti funkcije u interpolacionim čvorovima. Tako su praktične preporuke za interpolaciju:. Za interpolaciju odabrati polinom stepena najviše tri, m 3 4
. Za generisanje interpolacionog polinoma, iz tabele ( xi, yi ), i=,,..., n uzeti (m+) susednih tačaka, takvih da vrednost x u kojoj vršimo interpolaciju leži što bliže centru intervala koji obuhvata odabrane tačke 3. Rezultat interpolacije prikazati sa onoliko značajnih cifara koliko ih imaju korišćene vrednosti y Pisvajz interpolacija. Kubni splajn Kao što smo prethodno konstatovali, radi interpolacije u tabeli ( xi, yi ), i=,,..., n nije praktično, izuzimajući male tabele (n 4), koristiti na celom intervalu [ x, x n ] jedinstven interpolacioni polinom stepena n. Na primer radi interpolacije u tabeli vreme-koncentracija penicilina (PRIMER B.) nije preporučljivo koristiti jedinstveni polinom. stepena. Ako odaberemo linearnu interpolaciju, znači da na svakom od podintervala [ ti, ti+ ], i=,,...,9 nepoznatu funkciju Cp(t) aproksimiramo pravom linijom pa je interpolaciona funkcija koja aproksimira nepoznatu funkciju sastavljena od delova koji predstavljaju polinome prvog stepena. Takva aproksimacija se naziva pisvajz (piecewise) aproksimacija, a interpolacionu funkciju ćemo zvati pisvajz interpolacioni polinom Ako bi smo odabrali kvadratnu interpolaciju u istoj tabeli, interpolaciona funkcija bi bila sastavljena od od 5 delova od kojih je svaki parabola. Na slici su prikazani grafici pisvajz interpolacionog polinoma. i. stepena za posmatranu funkciju Cp(t) u intervalu [8, ]... 4. 4. 4 Cp Interp ( t, Cp, xr) Cp 8 6 5 8 4 6 8 8 t xr, t, Slika B.- Pisvajz interpolacioni polinom. (----) i. ( ) stepena 5
Nedostatak pisvajz interpolacionih polinoma je što u tačkama gde se spajaju dva polinoma prvi izvodi nisu neprekidni tj. njihovi grafici nisu glatke već izlomljen krive. Da bi kriva sastavljena iz odsečaka više interpolacionih polinoma, dobijenih pisvajz interpolacijom bila glatka, neophodno je dodati uslov kontinuiteta prvog izvoda, a poželjna bi bila i neprekidnost viših izvoda, naročito u problemima procenjivanja viših izvoda funkcije, zadate tabelom. Takva interpolacija, kod koje kriva dobijena pisvajz interpolacijom na intervalu [ x, x n ] ima neprekidne izvode do nekog reda (najmanje prvog) zove se splajn (spline) interpolacija. Funkcija sastavljena iz iterpolacionih polinoma istog stepena m, za pojedine podintervale intervala [ x, x n ], koja zadovoljava uslov kontinuiteta izvoda do nekog reda, zove se splajn stepena m. Kubni splajn U slučaju kubnog splajna, za tabelu ( xi, yi ), i=,,..., n, kroz svaka dva susedna interpolaciona čvora na intervalu [ x, x n ], provlači se polinom 3. stepena. Kubni splajn ima osobinu da su mu. i. izvod neprekidni. Da bi se potpuno definisao kubni splajn neophodni su i granični uslovi uslovi koje splajn zadovoljava na granicama intervala [ x, x n ]. U Mathcad-u postoje tri funkcije: lspline, pspline i cspline, koje generišu kubni splajn za datu tabelu pri čemu se splajn dobijen, lspline funkcijom ponaša linearno, pspline funkcijom ponaša kao kvadratni polinom, cspline funkcijom ponaša kao kubni polinom na granicama intervala, odnosno ekstrapoliše se linearno, kvadratno ili kubno, izvan intervala. Pošto se ovim funkcijama izračunaju parametri splajn funkcije koja aproksimira tabelarno zadatu funkciju, vrednosti splajn funkcije se dobijaju pomoću mathcad funkcije interp. PRIMER B Za podatke iz PRIMERA B formirati pomoću funkcije pspline kubni splajn. a) Nacrtati grafik splajna u intervalu 8 t b) Proceniti koncentracije penicilina za t = 5 i t = 9min. c) Diskutovati uticaj izbora tipa kubnog splajna na rezultat interpolacije 6
Tabela 6 4 75 6 3 8 58 8 943 4 95 6 88 8 93 898 T t Tabela Cp Tabela Racunanje parametara splajna za datu tabelu: k pspline( t, Cp) Funkcija koja daje vrednosti splajna: splajn( interp( k, t, Cp, Moze i u jednom koraku: a) xr,.. splajn( interp( pspline( t, Cp), t, Cp,.. 4.. 4. 4 splajn ( xr) Cp Cp 9 8 7 6 5 8 4 6 8 xr, t, t b) Cp 5 splajn ( 5) Cp 5 = 459 Cp 9 splajn ( 9) Cp 9 = 6.86 3 c) Forimiranje razlicitih tipova kubnog splajna: Lsplajn( interp( lspline( t, Cp), t, Cp, Psplajn( interp( pspline( t, Cp), t, Cp, Csplajn( interp( cspline( t, Cp), t, Cp, 7
Interpolacija: Lsplajn( 5) = 433 Lsplajn( 9) = 6.86 3 Psplajn( 5) = 459 Psplajn( 9) = 6.86 3 Csplajn( 5) = 486 Csplajn( 9) = 6.86 3 Zakljucak: Rezultat interpolacije je osetljiv na izbor tipa splajna na krajevima tabele! B. Numeričko diferenciranje Numeričko diferenciranje je postupak približnog izračunavanja izvoda funkcije zadate tabelom: ( xi, f ( xi )), i=,,..., n i bazira se na aproksimaciji funkcije interpolacionim polinomom: f( P m (, m n ( k ) ( k ) df ( dpm (, k k dx dx k m Tipičan primer primene je diferenciranje podataka o koncentracijama reaktanta u toku reakcije, radi izračunavanja brzina reakcije. Numeričko diferenciranje je manje tačno od interpolacije. Tako, u interpolacionom čvoru je greška interpolacije jednaka nuli, a greška diferenciranja može da bude vrlo velika (vidi sliku B.3). Najjednostavnija formula za procenjivanje prvog izvoda funkcije u interpolacionom čvoru je: f ( x ) i f ( xi x + ) f ( xi ), i =,..., n x i+ i i predstavlja izvod interpolacionog polinoma. stepena, provučenog kroz čvorove x i, x i + (sečica). Da bi količnik priraštaja funkcije i argumenta (formula) što bolje aproksimirao prvi izvod funkcije, razlika između čvorova x i i x i +, tj. korak diferenciranja, treba da budu što manji, što znači i bliske vrednosti f ( xi+ ) i f ( xi ). To međutim uključuje "opasnu" računsku operaciju oduzimanja bliskih brojeva, praćenu gubitkom značajnih cifara. 8
P m ( f ( nagib = f '( nagib = P m '( x Slika B.3 - Procenjivanje. izvoda funkcije u interpolacionom čvoru U literaturi se mogu naći različite formule nastale diferenciranjem polinoma različitih stepena, izvedene za slučaj da se vrednosti nezavisno promenljive razlikuju međusobom za konstantan korak h - ekvidistantne vrednosti. Korak h se pri tom naziva korak diferenciranja funkcije. Numeričko diferenciranje u Mathcad-u U Mathcad-u postoji alat za numeričko diferenciranje funkcije definisane analitički u vidu operatora diferenciranja iz calculus toolbar-a, koji zahteva prethodno definisanu funkciju, koju diferenciramo i vrednost nezavisno promenljive za koju tražimo izvod. Prema informacijama iz Help sistema Mathcad-a, algoritam koji se koristi u Mathcad-u garantuje relativno visoku tačnost numerički određenog prvog izvoda neke funkcije od 7-8 sigurnih cifara, pod uslovom da su vrednosti funkcije tačne (tj. sa 5 sigurnih cifara, koliki je kapacitet memorijske lokacije) i da tačka u kojoj se traži izvod nije blizu vertikalnoj asimptoti funkcije. Zahvaljujući ovakvoj tačnosti, koja je dovoljna za proračune u hemijskom inženjerstvu, praktično se analitičko računanje izvoda može zameniti numeričkim. Numeričko diferenciranje tabelarnih podataka zahteva dva koraka:. Definisanje interpolacione funkcije - polinoma, kojim aproksimiramo funkciju, u vidu Mathcad funkcije. Numeričko diferenciranje definisane interpolacione funkcije, primenom operatora 9
Kao interpolaciona funkcija koji aproksimira tabelarno zadatu funkciju koju diferenciramo, preporučuje se zbog svojih dobrih osobina kubni splajn. Pri tom se mogu dobiti značajno različiti rezultati, zavisno od izbora tipa kubnog splajna. PRIMER B3 Brzina nastajanja penicilina u posmatranom uzorku (PRIMER B) definisana je kao prvi izvod: dc r= dt p Izračunati brzine nastajanja penicilina u vremenskim momentima t = 8,,..., sa preciznošću od decimale i diskutovati uticaj izbora tipa splajn funkcije. Tabela 6 4 75 6 3 8 58 8 943 4 95 6 88 8 93 898 T t Tabela Cp Tabela Definicije funkcija: Lsplajn( interp( lspline( t, Cp), t, Cp, Psplajn( interp( pspline( t, Cp), t, Cp, Dlsplajn( Dpsplajn( d dx Lsplajn( d dx Psplajn( Csplajn( interp( cspline( t, Cp), t, Cp, Izdvajanje vremena u kojima se racunaju brzine: Dcsplajn( d dx Csplajn( t r submatrix( t, 4,,, ) Racunanje brzina: r Dlsplajn( t r ) r Dpsplajn( t r ) r 3 Dcsplajn( t r ) t r = 8 4 6 8 r = 5.66.88 64.3 53.35 6.3 56.93.97 r = 5.5.89 64.45 5.83 58.7 64.4 3.4 r 3 = 5.36.88 64.6 5.4 55.68 73.9 66.3 Uocavaju se znacajne razlike u rezultatima!.
B.3 Numerička integracija zato što Često smo u situaciji da približno računamo vrednost određenog integrala b I = f ( dx a nije poznata primitivna funkcija podintegralne funkcije, ili analitička integracija je vrlo zametna, ili raspolažemo samo sa tabelarnim vrednostima podintegralne funkcije, a ne i analitičkim izrazom Numerička integracija se kao i numeričko diferenciranje bazira na aproksimaciji podintegralne funkcije interpolacionim polinom. U literaturi se mogu naći različite formule za numeričku integraciju i, a najpoznatije su Trapezna i Simpsonova formula, koje se baziraju na pisvajz interpolacionim polinomima. i. reda, respektivno. Numerička integracija u Mathcad-u U Mathcad-u postoji alat za numeričku integraciju funkcije definisane analitički u vidu operatora integracije iz calculus toolbar-a. Pošto je tačnost implementirane metode vrlo visoka, analitičko izračunavanje određenih integrala u hem. inženjerskim proračunima se može zameniti numeričkim, bez gubitka tačnosti. Numerička integracija tabelarnih podataka kao i numeričko diferenciranje zahteva dva koraka:. Definisanje interpolacione funkcije - polinoma, kojim aproksimiramo funkciju,. Primena oparatora integracije na definisanu funkciju PRIMER B4 Iz podataka datih u PRIMERU B potrebno je izračunati srednju koncentraciju penicilina u vremenskom intervalu [, ] : C p. sr= C p ( t) dt Disktovati uticaj izbora tipa splajna.
Definicije funkcija: Lsplajn( interp( lspline( t, Cp), t, Cp, Psplajn( interp( pspline( t, Cp), t, Cp, Csplajn( interp( cspline( t, Cp), t, Cp, Integracija: Cp s Lsplajn( dx Cp s = 6.337 3 Cp s Psplajn( dx Cp s = 6.37 3 Cp s3 Csplajn( dx Cp s3 = 6.36 3 Rezultati se razlikuju na 3. znacajnoj cifri nakon zaokruzivanja, i to manje od.5% U poredjenju sa numerickim diferenciranjem, uticaj izbora splajn funkcije je znatno manji, sto govori o znatno vecoj tacnosti numericke integracije ZADACI. Data je tabela c p (kj/kgk) vrednosti acetilena, na normalnom pritisku, u funkciji temperature T(K): T(K) 3 4 5 6 7 8 c p (kj/kgk).594.78.95.97..33 a) Proceniti c p na temperaturi 4K - linearnom interpolacijom () - pomoću kubnog splajna (pspline) () sa odgovarajućom preciznošću (broj decimala), imajući u vidu tačnost podataka. b) Uporediti rezultate dobijene postupcima () i () : Koji je tačniji i zašto?
c) Proveriti da li izbor splajna ima značajan uticaj na rezultat.. Date su eksperimentalno određene konstante brzine reakcije dobijanja metiletiletra iz alkohola: t( C) 6 8 4 3 5 k lit mol s 5.6.8 4.5 48.8 8 a) Imajući u vidi teorijsku relaciju (Arenijusov zakon), k ( ) = k e E RT gde je T - apsolutna temperatura (K) predložiti transformaciju promenljivih T i k u nove promenljive, koja omogućuje korišćenje linearne interpolacije u novoj tabeli (umesto interpolacije polinomom višeg stepena) b) Proceniti vrednosti k za temperature t =, C pomoću kubnog splajna u originalnoj tabeli i linearnom interpolacijom u tabeli transformisanih vrednosti i uporediti procene. 3. Dati su naponi para (p) n-heptana, na temperaturama ispod temperature ključanja. t ( C): 3 5 7 9 p(mmhg):.58 58.37 4.6 33.63 589.37 a) Imajući u vidu da u oblasti nižih temperatura približno važi sledeća teorijska relacija (Klauzijusova jednačina): ln p = A B T, (T - apsolutna temperatura, K ) transformisati na pogodan način originalne podatke, tako da se u novoj tabeli može sa dovoljnom pouzdanošću koristiti linearna interpolacija. Linearnom interpolacijom u novoj tabeli proceniti napone para heptana na 4 C i 8 C. b) Proceniti napone para na 4 C i 8 C interpolacijom pomoću kubnog splajna u originalnoj tabeli c) Uporediti dobijene rezultate sa eksperimentalnim vrednosti napona pare heptana: ( 4 C) = 9.5 mmhg, p( 8 C) = 47. mmhg p 78 i ispitati uticaj izbora tipa splajna na grešku interpolacije. 4. Date su vrednosti specifičnih entalpija ( kj kg) h i specifičnih toplota c p ( kj kgk) azota na pritisku p = bar i različitim temperaturama: T(K) 3 4 6 8 9 h 96.8.4 3. 35. 58.4 8.8 9.8 c p.47.34.37.9.36.4.94 3
a) Numeričkim diferenciranjem kubnog splajna formiranog iz podataka o entalpiji, treba izračunati specifične toplote azota na temperaturama u tabeli. Uporediti rezultate dobijene korišćenjem funkcija lspline, pspline i cspline sa tačnim vrednostima, datim u tabeli i odabrati funkciju koja daje najbolje rezultate. b) Proceniti specifične toplote azota na temperaturama: T = 5, 5, 7K i uporediti rezultate sa literaturnim vrednostima: c ( 5).35, c (5) =.6, c (7) =.8 p = p p 5. Dati su eksperimentalni podaci o termodinamičkim veličinama etana na liniji zasićenja. Potrebno je koristeći TD relaciju: isp dp V L h = T ( v v ) dt procenjivati latentne toplote isparavanja na osnovu podataka o pritiscima i specifičnim zapreminama etana na liniji zasićenja. a) Proceniti toplotu isparavanja etana na temperaturi 8K računajući izvod pritiska po temperaturi diferenciranjem kubnog splajna (cspline) i uporediti sa vrednošću u tabeli. b) Izračunati toplote isparavanja za sve temperature u tabeli pomoću kubnog splajna. Poređenjem maksimalnih uočenih odstupanja računskih od tabelarnih vrednosti toplota isparavanja odabrati najbolju splajn funkciju u ovom problemu. Temper. Napon v L ( m 3 kg) v V ( m 3 T(K) pare, p(kpa) kg) h isp ( kj kg) 5 9.68.73 4.653 53.7 6.47.746.49 59.49 7 4.9.779.776 57.8 8 78.79.83.643 495.7 9 34.7.85.3795 48.53 7.4.89.446 466.4 334..935.6 45.9 49..985.6 433.5 3 7..4.784 44.84 6. Date su vrednosti toplotnog kapaciteta c p (kj/kgk) neke supstance: T(K) 3 35 4 45 5 55 6 65 7 c p.594.65.7.795.878.974.88.5.34 Izračunati količinu toplote koju treba dovesti kg supstance da bi se zagrejala od 3K do 7K,pomoću funkcije pspline 4
7. Ukupna toplota q, koju generiše lisnato povrće (toplota respiracije), u toku rashlađivanja u ukupnom trajanju τ, računa se po formuli: q= τ.9854e.73t ( t) T temperatura, F t vreme, h dt ( BTU lb) gde T (t) označava da se temperatura u toku rashlađivanja menja sa vremenom t po nekoj funkciji. Rashlađuje se 5kg spanaća od početne temperature F, pri čemu se temperatura menja u toku rashlađivanja po zavisnosti: T ( t) = 35+ 75e t 5 F ( ) Izračunati ukupnu toplotu koju generiše zadata količina spanaća, dok se ne ohladi do temperature od 4 F. 5