TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2017/18

Sadrºaj 1 Prinudne harmonijske oscilacije 2 bez prigu²enja sa prigu²enjem

Sadrºaj 1 Prinudne harmonijske oscilacije 2 bez prigu²enja sa prigu²enjem

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije U slu aju prinudnih harmonijskih oscilacija spolja²nja sila je harmonijska funkcija vremena: F (t) = F 0 cos Ωt (1) gde je F 0 konstantna amplituda, a Ω je kruºna frekvencija vremenske promene optere enja U slu aju neprigu²enih oscilacija, sila viskoznog prigu²enja se zanemaruje, pa je dif. jed. kretanja data sa mẍ + kx = F 0 cos Ωt (2)

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije Op²te re²enje jedna ine (2) je dato kao zbir op²teg re²enja homogene jedna ine x h (t) i partikularnog re²enja nehomogene jedna ine x p (t): x(t) = x h (t) + x p (t) Op²ti integral homogene jedna ine je dat sa: gde je ω = oscilacija k m x h (t) = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt kruºna frekvencija slobodnih neprigu²enih

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije Partikularan integral nehomogene jedna ine (2) se traºi u obliku: x p (t) = C cos Ωt Unose i pretpostavljen partikularni integral u jedn. (2) i uz oznaku β = Ω ω za odnos kruºne frekvencije optere enja Ω i kruºne frekvencije slobodnih neprigu²enih vibracija ω, dobija se konstanta C u obliku: C = F 0 k (3) 1 1 β 2 (4)

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije Sa ovim, op²ti integral diferencijalne jedna ine kretanja (2) postaje: x(t) = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt + F 0 k 1 cos Ωt (5) 1 β2 Integracione konstante A 1 i A 2 se odrežuju iz homogenih po etnih uslova t = 0 : x(0) = 0, ẋ(0) = 0. Dobijaju se vrednosti za konstante A 1 = F 0 k 1 1 β 2 A 2 = 0

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije Sa ovim je kona na jedna ina kretanja data sa: x(t) = F 0 k x(t) = F 0 k 1 1 β 2 cosωt + F 0 k 1 1 β 2 cosωt 1 (cos Ωt cos ωt) (6) 1 β2

Neprigu²ene rezonantne vibracije

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije Kretanje opisano jedna inom (6) predstavlja oscilatorno kretanje sa obvojnicom koja odredjuje oscilatorno promenljivu amplitudu. Na slici je period promene amplitude (tj. period obvojnice) ozna en sa T 1, a period osnovnog oscilatornog kretanja sa T

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije U re²enju (6) koli nik F 0 k predstavlja stati ki ugib, tj. pomeranje oscilatora u novo ravnoteºno stanje za slu aj stati kog delovanja sile intenziteta F 0 Izraz D = 1 1 β 2 (7) moºe da se shvati kao dinami ki faktor kojim se multiplicira stati ko pomeranje

Sadrºaj 1 Prinudne harmonijske oscilacije 2 bez prigu²enja sa prigu²enjem

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije Spolja²nja sila je harmonijska funkcija vremena: F (t) = F 0 cos Ωt U slu aju prigu²enih oscilacija, sila viskoznog prigu²enja se uzima u obzir, pa je dif. jed. kretanja data sa mẍ + cẋ + kx = F 0 cos Ωt (8) ili u ekvivalentnom obliku: ẍ + 2ζωẋ + ω 2 x = F 0 cos Ωt (9) m

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije Predpostavlja se da je prigu²enje malo, ζ < 1, tako da je op²ti integral homogene jedna ine dat sa x h (t) = e ζωt (C 1 cos ω d t + C 2 sin ω d t) (10) gde je ω d = ω 1 ζ 2 kruºna frekvencija slobodnih prigu²enih vibracija Partikularan integral nehomogene jedna ine se predpostavlja u obliku x p (t) = A cos Ωt + B sin Ωt (11)

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije Unose i (11) u jedna inu (9) i izjedna uju i koecijente uz sin Ωt i cos Ωt sa leve i desne strane jedna ine, dobija se: AΩ 2 + BΩ(2ζω) + Aω 2 = F 0 (12) m BΩ 2 AΩ(2ζω) + Bω 2 = 0 (13) Re²avanjem po nepoznatim konstantama A i B se dobija: A = F 0 k B = F 0 k 1 β 2 (1 β 2 ) 2 + (2ζβ) 2 (14) 2ζβ (1 β 2 ) 2 + (2ζβ) 2 (15)

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije gde je β = Ω ω kao i u slu aju neprigu²enih vibracija Prema tome, op²ti integral dif. jed. kretanja (9) je dat u obliku: x(t) = e ζωt (C 1 cos ω d t + C 2 sin ω d t) + + F 0 k 1 (1 β 2 ) 2 + (2ζβ) 2 [(1 β2 ) cos Ωt + 2ζβ sin Ωt] Integracione konstante C 1 i C 2 se oderžuju iz po etnih uslova Prvi deo u op²tem integralu, dakle op²ti integral homogene jedna ine x h (t), se naziva prolazni odgovor sistema, dok se drugi deo, partikularan integral x p (t), naziva ustaljeni odgovor

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije Prolazni odgovor se tako zove zbog toga ²to taj deo sa vremenom teºi ka nuli lim x h(t) = 0 t zbog eksponencijalnog lana sa negativnim argumentom Zbog toga se prolazni odgovor isklju uje iz razmatranja Kao kona ni odgovor sistema, t.j. kao kona na jedna ina kretanja, usvaja samo partikularan integral: x(t) = F 0 k 1 (1 β 2 ) 2 + (2ζβ) 2 [(1 β2 ) cos Ωt + 2ζβ sin Ωt] (16)

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije Kao alternativa partikularnom integralu u obliku (11), mogu e je da se partikularan integral traºi u obliku x p (t) = A F cos (Ωt ϕ) (17) gde su A F i ϕ konstante (amplituda i fazni ugao). Unose i (17) u jedna inu (9) konstante A F i ϕ se dobijaju u obliku: A F = F 0 k [(1 β2 ) 2 + (2ζβ) 2 ] 1 2 (18) ϕ = arc tan ( 2ζβ 1 β 2 ) (19)

Neprigu²ene rezonantne vibracije

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije Zna i, kona na jedna ina kretanja za slu aj prigu²enih prinudnih harmonijskih vibracija je data u obliku (16) ili (17), gde su konstante A F i ϕ date sa (18) - (19) Kao i u slu aju neprigu²enih vibracija stati ki ugib (t.j. stati ki odgovor sistema) je x st = F 0 k dok je dinami ki faktor sada dat sa D = A x st = 1 [(1 β 2 ) 2 + (2ζβ) 2 ] 1 2 (20)

Prinudne harmonijske oscilacije Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije Vidi se da dinami ki faktor zavisi od relativnog prigu²enja ζ i od odnosa β kruºne frekvencije prinudne sile i sopstvene kruºne frekvencije (neprigu²enih) vibracija: β = Ω ω Na slici je prikazana promena dinami kog faktora D sa odnosom β, a u parametarskoj zavisnosti od relativnog prigu²enja ζ

Dinami ki faktor kod prinudnih prigu²enih harmonijskih oscilacija

bez prigu²enja sa prigu²enjem Sadrºaj 1 Prinudne harmonijske oscilacije 2 bez prigu²enja sa prigu²enjem

bez prigu²enja sa prigu²enjem bez prigu²enja Spolja²nja sila koja deluje na oscilator je harmonijska funkcija vremena: F (t) = F 0 cos Ωt Rezonancija je slu aj kada se poklapaju frekvencija prinudne sile sa frekvencijom slobodnih neprigu²enih vibracija: β = Ω ω = 1 Zna i, u slu aju rezonancije je Ω = ω, tako da je dif. jedna ina neprigu²enih rezonantnih vibracija data sa mẍ + kx = F 0 sin ωt, gde je ω = k m (21)

bez prigu²enja sa prigu²enjem bez prigu²enja odnosno sa ẍ + ω 2 x = F 0 cos ωt (22) m Op²te re²enje jedna ine (22) je dato kao zbir x h + x p Op²te re²enje homogene jedna ine x h dato je sa x h (t) = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt dok se partikularno re²enje x p traºi u obliku: x p (t) = C 1 t cos ωt + C 2 t sin ωt (23)

bez prigu²enja sa prigu²enjem bez prigu²enja Unose i pretpostavljen partikularan integral u (22) i izjedna avauju i lanove uz sin ωt i cos ωt na desnoj i levoj strani, dobijaju se koecijenti C 1 i C 2 C 1 = 0, C 2 = F 0 2mω Sa ovim je partikularan integral dat sa x p (t) = F 0 t sin ωt 2mω

bez prigu²enja sa prigu²enjem bez prigu²enja Op²ti integral nehomogene dif. jedna ine (22) jednak je zbiru x h (t) i x p (t): x(t) = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt + F 0 t sin ωt (24) 2mω Integracione konstante A 1 i A 2 se odrežuju iz po etnih uslova

bez prigu²enja sa prigu²enjem bez prigu²enja Kod prinudnih harmonijskih vibracija uop²te, a posebno u slu aju rezonancije, po etni uslovi nisu od posebnog zna aja, tako da se posmatraju homogeni po etni uslovi: t = 0 : x(0) = x 0 = 0, ẋ(0) = v 0 = 0 Uno²enjem op²teg re²enja (24) u homogene po etne uslove dobijaju se integracione konstante: A 1 = 0, A 2 = 0

bez prigu²enja sa prigu²enjem bez prigu²enja Time se dobija kona na jedna ina kretanja u slu aju neprigu²enih rezonantnih vibracija u obliku x(t) = F 0 t sin ωt (25) 2mω ili u obliku x(t) = F 0 ωt sin ωt (26) 2k Amplitude oscilovanja se veoma brzo pove avaju, pri emu je lim x(t) = t

Neprigu²ene rezonantne vibracije bez prigu²enja sa prigu²enjem

bez prigu²enja sa prigu²enjem Sadrºaj 1 Prinudne harmonijske oscilacije 2 bez prigu²enja sa prigu²enjem

bez prigu²enja sa prigu²enjem sa prigu²enjem Diferencijalna jedna ina prinudnih prigu²enih vibracija je data sa Odgovaraju e op²te re²enje je: ẍ + 2ζωẋ + ω 2 x = F 0 cos ωt (27) m x(t) = e ζωt (C 1 cos ω d t + C 2 sin ω d t) + + F 0 1 k (1 β 2 ) 2 + (2ζβ) 2 [ (1 β 2 ) cos Ωt + 2ζβ sin Ωt ] (28)

bez prigu²enja sa prigu²enjem sa prigu²enjem U slu aju rezonancije je Ω = ω, odnosno β = Ω ω = 1. Op²te re²enje za prigu²ene rezonantne vibracije x R (t) moºe da se odredi i iz re²enja (28) odreživanjem grani ne vrednosti x R (t) = Grani na vrednost se dobija u obliku lim x(t) (29) β 1,Ω ω x R (t) = e ζωt (C 1 cos ω d t + C 2 sin ω d t) + F 0 k 1 sin ωt (30) 2ζ

bez prigu²enja sa prigu²enjem sa prigu²enjem Za homogene po etne uslove x 0 = v 0 = 0 se dobijaju integracione konstante C 1 i C 2 u obliku C 1 = 0 (31) C 2 = F 0 1 ω = F 0 1 k 2ζ ω d k 2ζ 1 ζ 2 (32) tako da je rezonantni odgovor u slu aju prigu²enih vibracija i homogenih po etnih uslova dat sa x R (t) = F 0 k 1 2ζ [sin ωt 1 e ζωt sin ω dt] (33) 1 ζ 2

bez prigu²enja sa prigu²enjem sa prigu²enjem U ve ini slu ajeva je prigu²enje malo, tako da je ζ 1. Zbog toga je prihvatljivo kona no re²enje koje je dato sa: x R (t) = F 0 k 1 2ζ (1 e ζωt ) sin ωt (34) U re²enje (34) je takože uneto da je ω d ω zbog malog prigu²enja i relacije ω d = ω 1 ζ 2

Prigu²ene rezonantne vibracije bez prigu²enja sa prigu²enjem

bez prigu²enja sa prigu²enjem sa prigu²enjem Iz re²enja (34) se vidi da je lim x R(t) = F 0 1 t k 2ζ (35) Pri tome je, kao ²to je re eno, F 0 k stati ki ugib, x st, dok je D = 1 2ζ (36) dinami ki faktor pri rezonanciji

bez prigu²enja sa prigu²enjem sa prigu²enjem Na primer, za relativno prigu²enje od ζ = 1% se dobija lim x 1 R(t) = x st t 2 0.01 = 50 x st dok je, za relativno prigu²enje od ζ = 0.5%, ²to je realna vrednost za, npr. eli ne konstrukcije sa zavarenim vezama, pa je lim x 1 R(t) = x st t 2 0.005 = 200 x st

bez prigu²enja sa prigu²enjem sa prigu²enjem Konstrukcije se prora unavaju, a zatim i dimenzioni²u, usvajaju i pretpostavke o linearnosti (materijalnoj i geometrijskoj) Uslovi ravnoteºe se postavljaju na nedeformisanoj konguraciji nosa a, pa se, sa tako odreženim silama u preseku, posle odrežuje nastala deformacija usled optere enja Konstrukcije ne mogu da "preºive" ugibe od 50 100 x st Rezonantna stanja ne smeju da se dozvole