Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirna učić Fourierovi redovi Diplomski rad Osijek, 3.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirna učić Fourierovi redovi Diplomski rad Mentor: doc. dr. sc. Krešimir Burazin Osijek, 3.
SADRŽAJ 3 Sadržaj. Uvod. Fourierovi redovi.. Povijest...................................... J. B. Fourier............................... Fourierovi redovi.............................. 4.3. Uniformna konvergencija.......................... 4.4. Konvergencija u srednjem......................... 6.5. Fourierov red parnih i neparnih funkcija..................6. Kompleksni oblik Fourierovog reda.................... 4 3. Primjena Fourierovih redova 6 3.. Signalna analiza............................... 6 3.. Parcijalne diferencijalne jednadžbe.................... 7
. Uvod Ovaj diplomski rad opisuje Fourierove redove i njihova svojstva, te je podijeljen na dva dijela. Prvi dio rada nešto je opširniji od drugog dijela. Kroz povijesni dio opisana je problematika koja je zaokupljala matematičare devetnaestog stoljeća i tvorila početke Fourierove analize, te je u kratkim crtama opisan život i rad francuskog fizičara i matematičara J. B. Fouriera. Osim toga, u ovom dijelu definirani su Fourierovi redovi, Fourierov red parnih i neparnih funkcija, kao i kompleksni oblik Fourierovog reda. Takoder su navedene osnovne definicije, te iskazi i dokazi teorema o konvergenciji, uniformnoj konvergenciji te konvergenciji u srednjem. Drugi dio rada prikazuje neke od primjena Fourierovih redova. U ovom dijelu objašnjena je primjena Fourierovih redova u signalnoj analizi. Jedna od glavnih zadaća signalne analize jest eliminacija visokofrekventnih zvukova, a jedan pristup u rješavanju tog problema sastoji se u prikazu funkcije f u obliku Fourierovog reda tako da visokofrekventni koeficijenti a k i b k, za velike k, budu jednaki nuli. Osim toga, u ovom je dijelu objašnjena i primjena Fourierovih redova pri rješavanju jednadžbe provodenja topline, gdje možemo vidjeti da se Fourierovi redovi primjenjuju i za pronalaženje rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
. Fourierovi redovi.. Povijest Trigonometrijski razvoji funkcija prvi se put spominju početkom osamnaestog stoljeća kod titranja i sličnih fizikalnih pojava, ali sve do početka devetnaestog stoljeća nisu bili sistematično proučavani. Godine 87. francuski fizičar i matematičar J. B. Fourier je tvrdio da se svaka funkcija na ograničenom intervalu može prikazati u obliku trigonometrijskog reda. Iako su redove sličnih oblika promatrali i njegovi veliki prethodnici poput Bernoullija, D Alemberta i Eulera, Fourierova metoda je bila toliko napredna da je trebalo proći još petnaest godina dok ne bude priznata od autoriteta njegovog doba, aplacea, Poissona i agrangea. Oni su opravdano zamjerali Fourieru nedostatak matematičke strogosti, jer su neke njegove tvrdnje bile pogrešne. Fourier je konačno 8. godine objavio svoj rad pod naslovom Theorie Analytique de la Chaleur (Analitička teorija topline) u kojem analizira problem širenja topline, opisan parcijalnim diferencijalnim jednadžbama i koristi svoj revolucionarni način prikazivanja funkcija kako bi riješio taj problem. Matematičku strogost Fourierovom radu dali su kasnije Dirichlet i Riemann.... J. B. Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier roden je. ožujka 768. godine u Auxerre-u u Francuskoj. U osmoj godini života ostao je bez oba roditelja te je odrastao u samostanu Sv. Marka u Auxerre-u. Iako se školovao za svećenika, njegov život krenuo je u smjeru znanosti i politike. Vrlo mlad postao je učitelj matematike u vojnoj školi u Auxerre-u, a godine 798. poslan je u Egipat sa 65 učenjaka u Napoleonovu znanstvenu ekspediciju usavršavanja obrazovanja. Ubrzo je preuzeo administrativne dužnosti kao tajnik instituta u Egiptu, a 8. godine Napoleon ga je stavio u službu prefekta područja Isere. Za vrijeme njegovog boravka u Egiptu, zajedno sa engleskim fizičarem Thomasom Youngom dijelio je interes za egiptologiju, te je kasnije Young koristio Fourierovu analizu u optičke svrhe. Fourier je tvrdio da se parne proizvoljne funkcije mogu predstaviti pomoću jednostavnog analitičkog izraza. Iako je ta ideja bila neprijateljski primljena u redovima ondašnjih matematičara, kasnije je dokazano da je to bila središnja ideja za mnoga otkrića u matematici i strojarstvu. Fourier je došao do te ideje povezujući je s problemom protoka topline u krutim tijelima. Svoju teoriju o provodenju topline, koja obuhvaća raspodjelu temperature u sinosoidnim komponentama, Fourier je sažeo u svom članku 87. godine. Zbog sumnje u ispravnost takve tvrdnje, agrange i
3 aplace su zadržavali izdavanje članka, no ipak institut je članak predložio za nagradu u matematici i nagrada je 8. godine dodijeljena Fourieru. Fourier je izabran za člana Academie des Sciences godine 87. gdje je obavljao dužnost tajnika na matematičkom odjelu. Ubrzo nakon toga, 8. godine, objavljeno je njegovo veliko djelo Theorie Analytique de la Chaleur (Analitička teorija topline). Tijekom svog života, baveći se matematikom, napisao je mnoge radove u kojima, izmedu ostalog, objašnjava i rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi pomoću trigonometrijskih redova. Zadnjih godina života nastavio je s matematičkim istraživanjem te napisao i objavio članke u primijenjenoj i teorijskoj matematici. Umro je 6. svibnja 83. godine u Parizu.
4.. Fourierovi redovi Periodičnost je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava plime i oseke te mnoge druge. U ovom poglavlju obratit ćemo pažnju na periodičnost nekih elementarnih funkcija. Najpoznatije periodične funkcije su trigonometrijske funkcije. Definicija. Za funkciju f : R R kažemo da je periodična ukoliko postoji T > takav da za svaki x iz domene funkcije f. f(x + T ) = f(x) Takva konstanta T naziva se period funkcije f. Često je nužno ili svrsishodno neku zadanu periodičnu funkciju f s periodom T točno ili samo približno predočiti zbrojem trigonometrijskih funkcija u obliku f(x) = a + a cos(mx) + a cos(mx) + + a n cos(nmx) + + b sin(mx) + b sin(mx) + + b n sin(nmx) +. Tada govorimo o Fourierovom razvoju. Kako bismo razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom π u Fourierov red potrebno je najprije izračunati koeficijente Fourierovog reda koje računamo pomoću sljedećih jednakosti: (i) cos(kx) cos(nx)dx = {, k n π, k = n (ii) sin(kx) sin(nx)dx = {, k n π, k = n (iii) sin(kx) cos(nx)dx = gdje su k, n N. Gornje jednakosti lako se provjeravaju. Pokažimo da vrijedi jednakost (i). Koristit ćemo sljedeću formulu: cos(ax) cos(bx) = (cos(a b)x + cos(a + b)x) Sada za k = n imamo: cos (kx) = [cos(k k)x + cos(k + k)x]dx
5 S druge strane za k n imamo: = = [ cos(kx)]dx dx + = (π + π) = π. cos(kx)dx cos(kx) cos(nx) = [cos(k n)x + cos(k + n)x]dx = sin(k n)π + sin(k + n)π =. k n k + n Ostale jednakosti se dokazuju na sličan način. Formalna integracija reda član po član omogućava jednostavan izvod formula za izračunavanje koeficijenata reda. Trenutačno nećemo ulaziti u pitanje pod kojim uvjetima je takav postupak korektan, nego ćemo naknadno dati uvjete na f pod kojima formalno dobiveni red konvergira. Pretpostavimo da je f(x) periodična funkcija s periodom π koju možemo prikazati trigonometrijskim redom f(x) a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) () gdje su a, a k i b k koeficijenti reda za k. a) Integriramo li red () član po član i uvažimo da je dobivamo f(x)dx = a sin(kx)dx = cos(kx)dx =, dx = a π, ili a = π f(x)dx. b) Pomnožimo li () s cos(nx), a zatim integriramo član po član i uvažimo (i) i (iii), dobivamo ili f(x) cos(nx)dx = a n cos (nx)dx = a n π, a n = π f(x) cos(nx)dx.
6 c) Pomnožimo li () sa sin(nx) i postupimo kao u b), dobivamo f(x) sin(nx)dx = b n sin (nx)dx = b n π ili b n = π Brojevi a, a k i b k definirani s f(x) sin(nx)dx. a = π a k = π b k = π f(x)dx f(x) cos(kx)dx () f(x) sin(kx)dx nazivaju se Fourierovim koeficijentima, a pripadni red Fourierov red funkcije f. a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) Vidjeli smo da formule () vrijede za interval duljine π kada integriramo po granicama intervala [, π]. Pokažimo da one vrijede i za bilo koji interval duljine π. Za to će nam biti potrebna sljedeća lema. ema. Neka je F periodična funkcija s temeljnim periodom π te neka je c bilo koji realan broj. Tada vrijedi +c F (x)dx = F (x)dx. +c Dokaz: Uvedemo li supstituciju x = t π imamo +c F (x)dx = +c jer je F periodična funkcija s periodom π. π F (t π)dt = +c π F (t)dt, Pretpostavimo da je c. Tada korištenjem prethodne jednakosti imamo da je +c +c F (x)dx = = +c +c F (x)dx + F (x)dx +c +c F (x)dx F (x)dx
7 = = +c F (x)dx F (x)dx. +c π F (x)dx Dokaz za slučaj c < provodi se na sličan način. Primjenimo li emu. na funkcije F (x) = f(x) cos mx i F (x) = f(x) sin(nx), zaključujemo da formule () vrijede za bilo koji interval oblika [ + c, π + c], odnosno za bilo koji interval duljine π. Funkcije takoder razvijamo u Fourierov red na bilo kojem simetričnom intervalu [, ], >. Neka je f zadana na [, ] i perioda. Definiramo li ϕ : [, π] [, ], koja je linearna i vrijedi ϕ() = i ϕ(π) = onda možemo izračunati funkciju g : [, π] R definiranu s g = f ϕ. Kako je ϕ linearna funkcija koja glasi ϕ(x) = ax + b, možemo izračunati njezine koeficijente. ϕ(x) = ax + b ϕ (x) = a (3) Za x = imamo a za x = π ϕ() = aπ + b =, ϕ(π) = aπ + b = iz čega slijedi a = b. Nadalje dobivamo π ( b) + b = + b + b = b = a = π pa sada funkcija ϕ(x) glasi ϕ(x) = x. Sada možemo razviti funkciju g(x) u Fourierov π red, no prvo ćemo izračunati njezine Fourierove koeficijente pa imamo a = π = π = π g(x)dx (f ϕ)(x)dx (f(ϕ(x))dx
8 = π = f(y) π dy f(y)dy, gdje smo uveli supstituciju y = ϕ(x), dy = ϕ (x)dx = dx, dx = π dy s granicama π ϕ() = i ϕ(π) =. Izračunajmo koeficijent a k a k = π = π = π = π = g(x) cos(kx)dx (f ϕ)(x) cos(kx)dx (f(ϕ(x)) cos(kx)dx ( ) kπy π f(y) cos dy ( ) kπy f(y) cos dy, uz supstituciju y = ϕ(x) = x πy, πy = x pa je x = s granicama kao i ranije π ϕ() = i ϕ(π) =. Na isti način dobijemo koeficijent b k b k = π = π = g(x) sin(kx)dx (f ϕ)(x) sin(kx)dx ( kπy f(y) sin ) dy, uz iste granice i supstituciju. Fourierov red funkcije g(x) sada glasi g(x) a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)). (4) Kako vrijedi g(x) = (f ϕ)(x) = f(ϕ(x)), a y = ϕ(x), dobivamo f(y) = g(x) a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) = a + ( ( ) kπy a k cos + b k sin Promijenimo li naziv varijable funkcije f u x imamo ( kπy )). f(x) a + ( ( ) ( )) kπx kπx a k cos + b k sin, (5)
9 s koeficijentima a = a k = b k = f(x)dx ( kπx f(x) cos ( kπx f(x) sin ) dx (6) ) dx Za svaku integrabilnu funkciju f na [, π], to jest za koju postoji f(x)dx, možemo uvrštavanjem u formule (), odrediti Fourierove koeficijente, pa ako red konvergira, onda dobivamo pridruženje x S(x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)). Medutim, općenito ne možemo izjednačiti f(x) sa S(x), pa se postavlja pitanje pod kojim uvjetima formalno dobiveni red predstavlja polaznu funkciju. Ograničit ćemo se na klasu funkcija koja je dovoljno široka za primjene, a ne odvodi nas daleko u teorijska razmatranja. Definicija. Za funkciju f : [a, b] R kažemo da je po dijelovima neprekidna na [a, b], ako je neprekidna svugdje osim u konačno mnogo točaka u kojima ima prekid prve vrste. Nadalje, za po dijelovima neprekidnu funkciju f : [a, b] R kažemo da je po dijelovima glatka na [a, b], ako ima derivaciju f definiranu i neprekidnu svuda osim u konačno mnogo točaka u kojima f ima konačan lijevi i desni limes (u rubnim točkama segmenta [a, b] pretpostavljamo da ima konačne limese). Neka je funkcija f definirana u nekoj okolini (x ε, x + ε), osim možda u samoj točki x. Funkcija f ima prekid prve vrste u točki x ako su limesi slijeva i zdesna u točki x konačni i različiti. Dakle, za po dijelovima glatku funkciju f : [a, b] R imamo konačno točaka a = x < x < < x n < x n+ = b u kojima f eventualno ima prekid dok f nije definirana, ali postoje limesi slijeva i zdesna funkcija f i f : f(x +), f (x +), f(x n+ ), f (x n+ )
f(x i +), f(x i ), f (x i +), f (x i ) za i n (7) Dokažimo sada sljedeće svojstvo po dijelovima glatkih funkcija. ema. Ako je f : [a, b] R po dijelovima glatka, onda je Dokaz: b lim α a f(x) sin(αx)dx =. (8) Rastavimo segment [a, b] na podsegmente [x i, x i+ ] kao gore. Sada su f i f neprekidne na svakom intervalu (x i, x i+ ), a zbog (7) možemo restrikcije od f i f na (x i, x i+ ) neprekidno proširiti na segment [x i, x i+ ], i =,,..., n (jer su rubne točke uklonjivi prekidi). Kako je b a f(x) sin(αx)dx = xi+ i= x i f(x) sin(αx)dx, dovoljno je dokazati da je xi+ lim α x i f(x) sin(αx)dx =, i n. Zbog neprekidnosti proširenja od f i f na [x i, x i+ ] možemo provesti parcijalnu integraciju, pa dobivamo xi+ x i f(x) sin(αx)dx = f(x) cos(αx) α x i+ x i + + α xi+ x i f (x) cos(αx)dx. Kako su f i f neprekidne na segmentu [x i, x i+ ], vrijedi i da su omedene na [x i, x i+ ], pa postoje konstante M i M takve da vrijedi f(x) < M, f (x) < M, za svaki x [x i, x i+ ]. Sada dobivamo ocjenu integrala kao (ograda za cos(αx) je ) xi+ f(x) sin(αx)dx M α + M (x i+ x i ), α x i iz koje za α slijedi tvrdnja leme. Teorem. Ako je f periodična funkcija perioda π na R i po dijelovima glatka, onda njen Fourierov red konvergira u svakoj točki x pri čemu za sumu reda vrijedi:. S(x) = f(x), ako je f neprekidna u točki x;. S(x) = f(x+)+f(x ), ako je x (, π) točka prekida;
3. Na krajevima intervala imamo: Dokaz: Dokažimo da za n vrijedi gdje je S() = S(π) = S n (x) f(x ) + f(x+) f(+) + f(π ). S n (x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)), (9) n-ta parcijalna suma Fourierovog reda. Zbog () slijedi S n (x) = f(ξ)dξ + f(ξ)[cos(kξ) cos(kx) + sin(kξ) sin(kx)]dξ π π = [ ] π f(ξ) π + cos(k(ξ x)) dξ () = [ ] π x f(x + z) π + cos(kz) dz. x gdje je provedena supstitucija z = ξ x. Označimo faktor u uglatoj zagradi sa Pomnožimo li () s sin( z ), dobivamo ( z σ n (z) sin ) ( z = sin + ) ( z = sin + ) σ n (z) = + cos(kz). () (( = sin n + ( z cos(kz) sin ) [ (( sin k + ) ) (( z sin k ) )] z ) z ). Dakle σ n (z) = + cos(kz) = sin (( ) ) n + z sin ( ) (3) z gdje je < z < δ, < δ < π iz čega slijedi < z < δ < π i < z < π što povlači da je sin ( z ), pa (3) uvršteno u () daje S n (x) = x π f(x + z) sin ( n + ) z x sin ( ) dz z = f(x + z) sin ( ) n + z π sin ( ) dz. (4) z ()
Ovaj izraz je dobiven korištenjem eme.. Integracijom izraza (3) dobivamo da je σ n(z)dz = π iz čega slijedi odnosno, zbog parnosti integranda π sin ( n + ) z π sin ( n + ) z π sin ( ) dz = z sin ( ) dz = z, π sin ( n + ) z sin ( ) dz = z. (5) Pomnožimo li prvu jednakost od (5) s f(x ), a drugu s f(x+) i zatim zbrojimo, imamo {f(x ) + f(x+)} = π Sada (9) kao razlika (4) i (6) glasi π f(x ) sin ( ) n + z sin ( ) dz + z f(x+) sin ( ) n + z sin ( ) dz. (6) z S n (x) f(x ) + f(x+) = π π {f(x + z) f(x )} sin ( n + ) z sin ( ) dz + z {f(x + z) f(x+)} sin ( ) n + z sin ( ) dz. (7) z Dovoljno je dokazati da integrali na desnoj strani u (7) teže k nuli za n. Pogledajmo drugi integral i označimo ga s I n. Napišimo I n kao I n = δ + = I n + I n, < δ < π δ i ocijenimo I n i I n. Neka je ε >, pokažimo da za prikladno odabrani δ vrijedi I n < ε za sve n =,,... i I n < ε za dovoljno velike n. Kako f(x + z) f(x+) z f (x+) za z +, za dovoljno malen δ > vrijedi f(x + z) f(x+) z < f (x+) + za sve < z < δ. Nadalje, za z slijedi z sin ( z ),
3 pa dakle za dovoljno malen δ >, < z < δ, imamo < z sin ( z ) <. Kako je sinus funkcija ograničena s, imamo sljedeću ocjenu za I n I n δ f(x + z) f(x+) z π z sin ( ) z (n sin + ) z dz δ { f (x+) + }dz = δ π π { f (x+) + }. Odaberemo li δ > dovoljno malen, tako da osim gore spomenutih nejednakosti vrijedi i dobivamo δ π { f (x+) + } < ε, I n < ε za sve n =,,.... Za tako odabrani δ ocijenimo sada I n. Zapišimo ga u obliku I n = ( f(x + z) f(x ) π δ sin ( ) sin n + ) zdz. z Prvi faktor integranda je po dijelovima glatka funkcija na [δ, π], za svaki δ > (nazivnik različit od nule na tom segmentu). Prema emi.. I n za n, pa dakle postoji N ( ε ) takav da n > N ( ε ) povlači Time smo ocijenili I n, jer vrijedi I n < ε. I n I n + I n < ε + ε = ε. Kako za prvi integral od (7) vrijedi analogna ocjena, time smo dokazali (9), to jest s n f(x ) + f(x+) S n (x). Iz dokazanog slijedi tvrdnja teorema. U prvom redu time smo vidjeli da red konvergira u svakoj točki x [, π]. Nadalje, u točkama u kojima je f neprekidna imamo f(x ) = f(x+) = f(x), pa imamo S n (x) f(x), odnosno S(x) = f(x) što je tvrdnja (). Iz izraza (9) vidimo da mora biti S() = S(π), što je prema (9) jednako aritmetičkoj sredini desnog limesa f(+) u lijevom rubu i lijevog limesa f(π ) u desnom rubu
4 funkcije f. Time je dokazan Teorem.. Vidimo da je f(x) = S(x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) za sve x [, π] osim možda konačno točaka, pa kažemo da je funkcija f razvijena u Fourierov red..3. Uniformna konvergencija Ovdje ćemo promatrati uniformnu konvergenciju Fourierovog reda. Prisjetimo se, niz funkcija F n (x) konvergira uniformno prema funkciji F (x) ako za svaki ε > postoji prirodan broj n koji ne ovisi o x, takav da je F n (x) F (x) < ε za sve x i za n n. Kažemo da Fourierov red funkcije f konvergira uniformno prema f(x) ako niz parcijalnih suma S n (x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) konvergira uniformno prema f(x) kada n. Iskažimo sada teorem o uniformnoj konvergenciji Fourierovog reda na intervalu [, π]. Teorem takoder vrijedi ukoliko interval [, π] zamijenimo s intervalom [, ], gdje je bilo koji pozitivan realan broj. Teorem. Fourierov red po dijelovima glatke periodične funkcije f, temeljnog perioda π, konvergira uniformno prema f(x) na intervalu [, π]. Dokaz: Dokažimo Teorem. (vidi [7, str. 5]) u slučaju kada je funkcija f dvaput derivabilna na cijelom R. Na samom početku nadimo vezu izmedu Fourierovih koeficijenata funkcija f i f. Preciznije, ako je i onda je i f(x) = f (x) = (a k cos(kx) + b k sin(kx)) (a k cos(kx) + b k sin(kx)) a k = a k k (8) b k = b k k. (9)
5 Pokažimo relaciju (8). Naime, primjenom formule za parcijalnu integraciju imamo redom a k = f(x) cos(kx)dx π = f(x) sin(kx) π k π f (x) sin(kx) dx. k Prvi član na desnoj strani prethodne relacije je jednak nuli zato jer je sin(kπ) = sin( kπ) =. Drugi član na desnoj strani jednak je b k k, gdje je b k Fourierov koeficijent od f uz sinus funkciju. Primijenimo li još jednom parcijalnu integraciju (u = f i dv = sin(kx) k ) dobivamo da je a k = k π f (x) cos(kx)dx, čime je dokazana relacija (8). Relaciju (9) dokazujemo na isti način. Sada, ako je funkcija f neprekidna, onda su koeficijenti a k i b k ograničeni nekim dovoljno velikim brojem M. Zapravo, zbog eme.., nizovi a k i b k teže k nuli kada k. Stoga, zbog relacija (8) i (9) vrijedi a k + b k = a k + b k k M + M k. Konačno, kako red konvergira, prema kriteriju usporedivanja slijedi da red k a k + b k takoder konvergira, pa će dokaz Teorema. biti posljedica sljedeće tvrdnje: Neka je pri čemu je f(x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)), a k + b k <. Tada Fourierov red konvergira uniformno i apsolutno ka funkciji f(x). Kako bismo pokazali da vrijedi prethodna tvrdnja krenimo od sljedeće ocjene a k cos(kx) + b k sin(kx) a k + b k, () koja vrijedi zbog sin t i cos t. Zbog toga je brzina konvergencije Fourierovog reda od f u točki x ograničena brzinom konvergencije reda a k + b k. Preciznije, neka je S n (x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)).
6 Tada je f(x) S n (x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) [ ] a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) = k=n+ Sada, zbog () vrijedi sljedeća uniformna ocjena f(x) S n (x) (a k cos(kx) + b k sin(kx)). k=n+ a k + b k, () koja vrijedi za sve x R. Nadalje, kako red a k + b k konvergira po pretpostavci, ostatak tog reda može se učiniti po volji malenim, uz odabir dovoljno velikog broja n. Drugim riječima, za dani ε >, postoji prirodan broj n takav da za n > n vrijedi k=n+ a k + b k < ε. Prema tome, zbog ocjene () vrijedi da je f(x) S n (x) < ε za sve n > n i za sve x R. Uočimo kako broj n ne ovisi o x, nego samo o brzini konvergencije reda a k + b k. Dakle, konvergencija reda S n (x) je uniformna, čime je dokazana dana tvrdnja, pa prema tome i Teorem...4. Konvergencija u srednjem Ranije smo vidjeli da Fourierov red funkcije f u točki x ne konvergira ka vrijednosti f(x) ukoliko f ima prekid u točki x, nego k aritmetičkoj sredini limesa slijeva i zdesna te funkcije u točki x. U slučajevima kad Fourierov red ne konvergira uniformno ili po točkama, on još uvijek može konvergirati u nešto slabijem smislu, kao što je konvergencija u, odnosno konvergencija u srednjem. Promatrat ćemo prostor [, ] koji se sastoji od kvadratno integrabilnih funkcija, odnosno funkcija f takvih da je f(x) dx <. Odmah istaknimo da nejednakost f(x) + f(x) povlači da je svaka kvadratno integrabilna funkcija ujedno i integrabilna. Nadalje iz nejednakosti f(x)g(x) f(x) + g(x)
7 slijedi da je produkt dviju kvadratno integrabilnih funkcija integrabilna funkcija. Takoder, iz (f ± g) = f ± fg + g slijedi da ako su f, g [, ], onda im je zbroj i razlika u [, ]. Kako je osim toga za f [, ] i kf [, ] za svaku konstantu, zaključujemo da je [, ] vektorski prostor. Za potrebe daljnjeg računanja ćemo izraz (f, g) = f(x)g(x)dx () nazvati skalarni produkt od f i g, pri čemu su f, g [, ]. Sada nećemo provjeravati da je s () definiran skalarni produkt. Odredena poteškoća pojavljuje se kod dokazivanja svojstva pozitivna definitnost (zahtjeva da (f, f) bude nula ako i samo ako je f nul-element vektorskog prostora). Nul-element svakog vektorskog prostora je jedinstveno odreden. Medutim, f(x) dx je jednako nuli za cijelu klasu funkcija, a ne samo za nul-funkciju. Na primjer, -integral je nula za kvadrat svake funkcije koja od nule odstupa u konačno točaka iz [, ]. Ustvari, za elemente prostora [, ] se uzimaju snopovi funkcija: element od [, ] je klasa svih funkcija, koje od odredene funkcije odstupaju za funkciju s integralom kvadrata jednakim nuli. Svaka funkcija iz takvog snopa je predstavnik cijele klase. Klase se zbrajaju tako da se zbroje odgovarajući predstavnici i nakon toga zbroj opet proširi do klase, koja je element prostora [, ]. Praktički se ipak računa s pojedinim funkcijama, znajući da se funkcije mogu slijepiti u klase, koje formalno zadovoljavaju sve aksiome vektorskog prostora. U skladu s tim, izraz ćemo zvati normom na [, ], a izraz f = (f, f) = f(x) dx (3) d(f, g) = [f(x) g(x)] dx (4) metrikom (udaljenosti) na skupu [, ]. Metrika (4) je prirodna metrika na skupu [, ]. Ako je g aproksimacija funkcije f u [, ] u kojemu je udaljenost medu funkcijama dana s (4), onda za g kažemo da je aproksimacija u smislu metrike. Označimo s X n skup svih trigonometrijskih polinoma oblika T n = α ( ( ) ( )) kπx kπx + α k cos + β k sin.
8 Fourierovi polinomi, tj. trigonometrijski polinomi oblika S n = a ( ( ) ( )) kπx kπx + a k cos + b k sin, gdje su a k, b k Fourierovi koeficijenti dani s (6), svakako su u X n. Na S n gledamo sada kao na parcijalnu sumu Fourierova reda i aproksimaciju funkcije f koju smo razvili u Fourierov red. Pokažimo sada da Fourierov polinom daje najbolju aproksimaciju funkcije f medu svim polinomima u X n. Dokaz ćemo provesti tako da dokažemo da za svaki T n X n vrijedi d(f, T n ) d(f, S n ) (5) odnosno d(f, T n ) d(f, S n ), iz čega vidimo da je Fourierov polinom najbliže funkciji f, tj. da je najbolje aproksimira u smislu metrike. Za dokazivanje (5) izračunajmo d(f, T n ) i d(f, S n ). d(f, T n ) = = Srednji integral lako izračunamo {f(x) T n (x)} dx = f (x)dx f(x)t n (x)dx + f(x)t n (x)dx = Uvrstimo li f = T n, dobivamo T n(x)dx = { α a + { α + {f (x) f(x)t n (x) + T n(x)}dx α k a k + αk + Prema tome, { d(f, T n ) = f(x) dx α a + { } + α + αk + βk. Uvrstimo li S n u zadnji izraz, dobivamo d(f, S n ) = + = f(x) dx { a + a k + f(x) dx { a + b k { a + T n(x)dx. } β k b k. β k } α k a k + } a k + a k +. } β k b k b k b k } }.
9 Sada lako izračunamo razliku { d(f, T n ) d(f, S n ) = (α a ) + (α k a k ) + } (β k b k ), iz čega slijedi (5). Time smo odgovorili i na pitanje kakvu aproksimaciju dobivamo pomoću Fourierovih polinoma. Kod ocjene aproksimacije funkcije f funkcijom g u metrici treba imati u vidu da je d(f, g) dan kao integral kvadrata odstupanja (razlike), pa unatoč tome što je aproksimacija dobra, tj. d(f, g) maleno, u [a,b] mogu postojati točke u kojima je apsolutna razlika funkcijskih vrijednosti f(x) g(x) velika. Medutim, ako je d(f, g) maleno, onda to znači da je mršav skup točaka u kojima je f(x) g(x) veliko, tj. taj skup ima malu mjeru (duljinu). Ako mislimo na aproksimacju po dijelovima glatkih funkcija (Teorem.), onda se velika odstupanja funkcijskih vrijednosti dogadaju u malim okolinama točaka prekida. Prema gornjem izvodu vidimo da za svaki n vrijedi inf d(f, T n ) = d(f, S n ) = T n X n f(x) dx { a + a k + a ta formula može poslužiti za ocjenu aproksimacije. Kako je izraz na desnoj strani, dobivamo nejednakost a + a k + što prijelazom na limes po n daje a + a k + b k b k f(x) dx, b k } f(x) dx. (6) Nejednakost (6) zove se Besselova nejednakost. U stvari, može se dokazati da u (6) vrijedi znak jednakosti za svaki f [, ]. Ta jednakost glasi a + a k + b k = f(x) dx, (7) a zove se Parsevalova jednakost. Glavni rezultat u ovoj točki sadržan je u sljedećem teoremu. Teorem.3 Neka je f [, ], te neka je f n (x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)), pri čemu su a k i b k Fourierovi koeficijenti funkcije f. Tada f n f kada n.,
Dokaz: Dokaz Teorema.3 sastoji se od dva osnovna koraka. U prvom koraku treba pokazati da se svaka funkcija u prostoru [, ] može po volji dobro aproksimirati glatkom periodičnom funkcijom g (s obzirom na normu). U drugom koraku uniformno aproksimiramo funkciju g s Fourierovim redom, odakle slijedi i aproksimacija. Prvi korak nećemo dokazivati, ali ćemo reći nešto o ideji dokaza. Općenito, funkcija na [, ] nije neprekidna. Čak i da jest neprekidna, njezino periodičko proširenje najčešće nije neprekidno. Dakle, ideja dokaza jest povezivanje neprekidnih komponenti funkcije f pomoću glatke funkcije g. Kako je proširenje od f periodično, glatku funkciju g takoder možemo učiniti periodičnom funkcijom. Graf funkcije g se podudara s grafom funkcije f svugdje osim na dijelovima izmedu neprekinutih komponenti periodičkog proširenja od f. Horizontalna širina tih dijelova može se učiniti po volji malom, pa glatka funkcija g dobro aproksimira funkciju f u normi. Slijedi da za svaki ε > možemo odabrati derivabilnu periodičnu funkciju g takvu da je f g < ε. (8) Neka je g n (x) = c + (c k cos(kx) + d k sin(kx)), pri čemu su c k i d k odgovarajući Fourierovi koeficijenti funkcije g. Nadalje, kako je funkcija g derivabilna i periodična, možemo je, zbog Teorema., uniformno aproksimirati funkcijama g n. Preciznije, za dani ε > možemo odabrati n N takav da je g(x) g n (x) < ε za n > n i za sve x [, ]. Zbog toga vrijedi ocjena g g n = g(x) g n (x) dx ε dx = πε, za n > n, odnosno korijenovanjem g g n πε. Nadalje, kombiniranjem te ocjene i relacije (8) dobivamo f g n = f g + g g n f g + g g n < ε + πε za n > n, pri čemu smo koristili nejednakost trokuta. Vrijedi nejednakost f f n f g n < ( + π)ε za n > n. Konačno, kako je ε > proizvoljan, slijedi da f n f kada n, čime je teorem dokazan.
.5. Fourierov red parnih i neparnih funkcija Prisjetimo se da je funkcija f : R R parna ako je f( x) = f(x) za svaki x R, a neparna ako je f( x) = f(x) za svaki x R. Iz definicije parnosti, odnosno neparnosti, lako dobivamo svojstva umnoška dviju funkcija s obzirom na parnost: parna parna=parna parna neparna=neparna neparna neparna=parna. Na primjer, ako je f parna, a g neparna funkcija, onda je g( x) f( x) = g(x)f(x) pa je fg neparna funkcija. Još jedno svojstvo parnih i neparnih funkcija sadržano je u sljedećoj lemi. ema.3 Neka je nenegativan realan broj. Dokaz: Ako je F parna funkcija, onda je F (x)dx = F (x)dx. Ako je F neparna funkcija, onda je F (x)dx =. Dokaz slijedi iz definicija parnosti i neparnosti funkcije. Naime, za parnu funkciju vrijedi da je njezin graf simetričan s obzirom na os y pa slijedi F (x)dx = = F (x)dx + F (x)dx + F (x)dx F (x)dx = F (x)dx. Nadalje, kako je graf neparne funkcije simetričan s obzirom na ishodište koordinatnog sustava, imamo F (x)dx = = F (x)dx + F (x)dx + F (x)dx F (x)dx =. Ukoliko Fourierov red neke funkcije sadrži samo kosinus funkcije, onda je očito ta funkcija parna, zato jer je kosinus parna funkcija. f(x) = cos(kx)
f( x) = cos(k( x)) = cos(kx) = f(x) Pa kako je Fourierov red parna funkcija onda ne sadrži sinus, zbog toga su Fourierovi koeficijenti b k = za svaki k N. Slično, ako Fourierov red funkcije sadrži samo sinus funkcije, onda je ta funkcija neparna, zato jer je sinus neparna funkcija. Obrat te tvrdnje takoder je istinit, tj. za nenegativan realan broj vrijedi: Ako je f(x) parna funkcija, onda njezin Fourierov red na intervalu [, ] sadrži samo kosinus funkcije, odnosno gdje je a = f(x) = a + ( a k cos kπx ), f(x)dx i a k = f(x) cos kπx dx, b k =. Ako je f(x) neparna funkcija, onda njezin Fourierov red na intervalu [, ] sadrži samo sinus funkcije, odnosno gdje je f(x) = a + ( b k sin kπx ), b k = f(x) sin kπx dx. Dokaz ovih tvrdnji slijedi iz eme.3 i formula (5). Naime, ako je f parna funkcija, onda je f(x) cos kπx parna funkcija, pa je integral te funkcije na intervalu [, ] jednak dvostrukom integralu funkcije na intervalu [, ]. Nadalje, f(x) sin kπx funkcija pa je njezin integral na intervalu [, ] jednak nuli. neparnu funkciju. Primjer. Treba naći Fourierov red funkcije f(x) = x, x π. Rješenje: je neparna Slično se pokaže za Budući da je f(x) neparna funkcija tada je a k = za k. Obratimo pozornost na koeficijente b k. Za svaki k imamo b k = π x sin(kx)dx = π [ x cos(kx) + sin(kx) ] π. k k
3 Pojednostavimo b k = k cos(kπ) = k ( )k+. ( ) Stoga f(x) = sin x sin(x) + sin(3x). 3
4.6. Kompleksni oblik Fourierovog reda Često je zgodnije Fourierov red funkcije izraziti pomoću kompleksnih eksponencijalnih funkcija e ikx, k Z. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu [, π]. Koristeći dobro poznate Eulerove formule cos ϕ = eiϕ + e iϕ, sin ϕ = eiϕ e iϕ i možemo Fourierove redove funkcija zapisati u kompleksnom obliku f(x) = a + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) = a + = a + = a + = a + = c + = Koristimo sljedeće oznake: k= (a k e ikx + e ikx (a k e ikx + e ikx a k ib k a k ib k e ikx + c k e ikx + c k e ikx. e ikx + a k + ib k + b k e ikx e ikx i b k ie ikx ie ikx c k e ikx e ikx a k + ib k e ikx c = a, c k = a k ib k, c k = a k + ib k. i ) i ) Koeficijenti c k nazivaju se kompleksni Fourierovi koeficijenti. Definirani su formulom c k = π f(x)e ikx dx, k =, ±, ±,.... Kompleksni oblik Fourierovog reda je algebarski jednostavniji i više simetričan. Zbog toga se često koristi u fizici i drugim znanostima.
5 Primjer. Koristeći kompleksni oblik, pronadimo Fourierov red funkcije f(x) = {, x, < x < π. Rješenje: c = π [ = π = π f(x)dx ( )dx + [ ( x) + x ] π = ( + π) = π c k = f(x)e ikx dx π = [ ( )e ikx dx + π t = ikx = dt = ikdx dx = dt = [ π ikπ ik = [ π ik et ikπ ] ik et ikπ = π Ako je k = n, onda je c n =. ] e ikx dx [ ik ( eikπ ) ik (e ikπ ) ] dx e t ikπ ] ik + e t ik = π eikπ e ikπ + = ik π eikπ e ikπ i ik i i ( = e ikπ + e ikπ ) = i ( ) e ikπ + e ikπ kπ kπ = i (cos kπ ) = i [ ( ) k ] kπ kπ Ako je k = n, onda je c n = i. (n )π Dakle, Fourierov red funkcije u kompleksnom obliku glasi: f(x) i π k= ] k ei(k )π.
6 3. Primjena Fourierovih redova 3.. Signalna analiza Mnogo je praktičnih razloga zbog kojih funkciju prikazujemo u obliku trigonometrijske sume. Ako je f(t) signal (na primjer, električni napon kao funkcija vremena ili zvuk kojeg proizvodi neko glazbalo), onda prikaz funkcije f u obliku trigonometrijske sume opisuje frekvenciju pribrojnika u toj sumi. Ovdje ćemo nezavisnu varijablu označavati slovom t (vrijeme) umjesto x. Sinusoida sin(kt) ima temeljni period π i frekvenciju k, k odnosno titra k puta na intervalu t π. Na primjer, signal sin t 5 sin 3t + sin t sadrži pribrojnike s frekvencijama, 3 i. S obzirom na veličine koeficijenata koji se nalaze ispred funkcije sinus, pribrojnik s koeficijentom ima puno veći utjecaj od preostalih dvaju pribrojnika. Te pribrojnike ćemo zvati harmonicima. Jedna od glavnih zadaća signalne analize jest eliminacija visokofrekventnih zvukova. Jedan pristup u rješavanju tog problema sastoji se u prikazu funkcije f u obliku sume f(t) = a + (a k cos(kt) + b k sin(kt)) tako da visokofrekventni koeficijenti a k i b k, za velike k, budu jednaki nuli. Drugi važan zadatak signalne analize je sažimanje podataka. Tu je glavni cilj poslati signal s najmanjim mogućim brojem podataka. Jedan pristup rješavanja tog problema opet se sastoji od prikaza signala u obliku Fourierovog reda, te slanja samo onih koeficijenata a k i b k koji su veći od zadane tolerancije. Manji koeficijenti imaju praktički zanemariv utjecaj na funkciju, pa se mogu odbaciti.
7 3.. Parcijalne diferencijalne jednadžbe Fourierovi redovi se takoder koriste u parcijalnim diferencijalnim jednadžbama. Promotrimo jednadžbu širenja topline u t (x, t) = u xx (x, t) t >, x π u(x, ) = f(x) x π u(, t) = A u(π, t) = B. Rješenje u(x, t) ove diferencijalne jednadžbe je temperatura štapa duljine π u točki x te u trenutku t. Pri tome je početna temperatura štapa (t=) dana funkcijom f(x), a krajevi štapa x = i x = π drže se redom na konstantnim temperaturama A i B. Riješit ćemo ovu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu u slučaju kada je A = B =. Kao što ćemo vidjeti u nastavku, ključnu ulogu u rješavanju te jednadžbe imat će razvoj funkcije u trigonometrijski red. Kako bismo riješili jednadžbu širenja topline, koristimo metodu separacije varijabli, odnosno rješenje tražimo u obliku u(x, t) = X(x)T (t), gdje je T (t) funkcija vremena t i X(x) funkcija položaja x, x π. Uvrstimo li taj oblik u jednadžbu u t = u xx, dobivamo jednadžbu X(x)T (t) = X (x)t (t), odnosno T (t) T (t) = X (x) X(x). ijeva strana dobivene diferencijalne jednadžbe ovisi samo o varijabli t, dok desna strana ovisi samo o x. Kako su x i t nezavisne varijable, zaključujemo da obje strane te jednadžbe moraju biti konstantne. Drugim riječima, T (t) T (t) = c i X (x) X(x) = c, pri čemu je c konstanta. Iz jednadžbe T = ct slijedi da je T (t) = Ce ct, za neku konstantu C. Zbog fizikalnih razloga, konstanta c mora biti negativna jer bi u protivnom funkcija T (t) odnosno temperatura u(x, t) težila k beskonačnosti kad varijabla t teži u beskonačnost. Stoga pišemo c = λ < i imamo T (t) = Ce λt. Diferencijalna jednadžba za funkciju X postaje X (x) + λ X(x) =, x π, X() = X(π) =. Prisjetimo se, to je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Početni uvjeti X() = X(π) = slijede iz pretpostavke da je temperatura
8 u(x, t) = X(x)T (t) jednaka nuli za x = i x = π. Rješenje dobivene linearne diferencijalne jednadžbe je X(x) = a cos(λx) + b sin(λx). Kako je X() = dobivamo da je a =, dok granični uvjet X(π) = = b sin(λπ) povlači da je λ cijeli broj koji ćemo označiti slovom k. Primijetimo da smo isključili slučaj b = jer bi u suprotnom funkcija X (pa prema tome i temperatura u) bila jednaka nuli. To bi imalo smisla jedino u slučaju kad bi početna temperatura štapa, f(x), bila jednaka nuli. Dakle, iz prethodnih razmatranja zaključujemo kako kod promatrane jednadžbe širenja topline parametar λ mora biti cijeli broj k. Stoga, imamo da je X k (x) = b k sin(kx) i T k (t) = e kt, pa je za svaki cijeli broj k, funkcija u k (x, t) = X k (x)t k (t) = b k e kt sin(kx) rješenje jednadžbe širenja topline uz početni uvjet u(, t) = u(π, t) =. Jedini zahtjev koji nismo iskoristili je početni uvjet u(x, ) = f(x), kojeg možemo iskoristiti promatranjem sume rješenja u k : u(x, t) = = u k (x, t) b k e kt sin(kx). (9) Uočimo kako je dobivena suma takoder rješenje jednadžbe u t = u xx koja zadovoljava početne uvjete u(, t) = u(π, t) =. Prema tome, iskoristimo li uvjet u(x, ) = f(x), dobivamo u(x, ) = b k sin(kx) = f(x) Dakle, b k su Fourierovi koeficijenti funkcije f proširene po neparnosti s [, π] na [, π]. Tako je b k = f(x) sin(kx)dx. π u(x, t) = b k e kt sin(kx) = ( π ) f(x) sin(kx)dx e kt sin(kx) π (3)
9 iteratura [] A.Vertblad, Fourier Analysis and Its Applications, Springer-Verlag, New York, 3. [] C. Gasquet, P. Witomski, Fourier Analysis and Applications, Filtering, Numerical Computation, Wavlets, Springer, New York, 999. [3] G. B. Folland, Fourier Analisys and Its Applications, American Mathematical Soc., 99. [4] G. V. Milovanović, R. Ž. Dordević, Matematička analiza I, Niš, 5. [5] I. Ivanšić,Fourierovi redovi, Diferencijalne jednadžbe, Odjel za matematiku, Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku, Osijek,. [6] J. S. Walker, Fourier Series, Academic Press, University of Wisconsin-Eau Claire, 6. [7] N. Elezović, Fourierov red i integral. aplaceova transformacija, Element, Zagreb,.
3 Sažetak U ovom radu razmatra se problematika Fourierove analize, preciznije područje koje proučava kako se funkcije realne varijable mogu prikazati pomoću periodičnih funkcija, sinusa i kosinusa. U prvom, glavnom, dijelu definirani su Fourierovi redovi, te su navedeni i primjeri razvoja nekih funkcija u Fourierov red. Takoder je opisan Fourierov red parnih i neparnih funkcija te je dan kompleksni oblik Fourierovog reda. U ovom dijelu navedeni su i teoremi o konvergenciji Fourierovog reda. U posljednjem poglavlju navedena su dva primjera primjene Fourierovog reda. Jedna od primjena može se vidjeti u signalnoj analizi, što je i opisano u ovom dijelu diplomskog rada, a druga primjena očituje se pri odredivanju rješenja jednadžbe provodenja topline. Ključne riječi periodična funkcija, trigonometrijska funkcija, trigonometrijski Fourierov red, Fourierovi koeficijenti, parcijalne diferencijalne jednadžbe
3 Summary In this work we consider the problem of Fourier analysis, i. e. area that studies how the functions of real variable can be displayed by means of periodic functions, sine and cosine. In the first, main section Fourier series are defined and examples of expansion of some functions in Fourier series are given. Fourier series of odd and even functions are described, and a complex form of Fourier series is given. In this section theorems on the convergence of Fourier series are also listed. In the last section, there are two examples of the application of the Fourier series. One application can be seen in signal analysis, which is described in this part of the work, and the other application is reflected in the determination of solutions to the equation of the heat conduction. Keywords periodic function, trigonometric function, trigonometric Fourier series, Fourier coefficients, convergence, partial differential equations
3 Životopis Mirna učić (rod. Brekalo) rodena je 7.5.987. godine u Osijeku. Prva četiri razreda osnovne škole završila je u Zagrebu, a od petog do osmog razreda pohadala je osnovnu školu u Dardi. Godine. upisuje II. gimnaziju Osijek u Osijeku. Maturirala je 6. godine, te je iste godine upisala Preddiplomski studij matematike na Odjelu za matematiku Sveučilišta J.J. Strossmayera u Osijeku. U VI. semestru prebacuje se na Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Uz studiranje trenirala je rukomet u Ženskom rukometnom klubu Darda u Dardi te je bila dio fakultetskog sastava kojim je 9. godine osvojila drugo mjesto na sveučilišnom natjecanju. Aktivan je član Općinskog društva Crvenog križa Darda u Dardi. Od 6. godine dobivala je općinsku stipendiju.