PP-talasi sa torzijom

PP-talasi sa torzijom u metrički-afinoj gravitaciji Vedad Pašić i Dmitri Vassiliev V.Pasic@bath.ac.uk D.Vassiliev@bath.ac.uk Department of Mathematics University of Bath PP-talasi sa torzijom p. 1/1

Matematički model Prostor-vrijeme {M, g, Γ} = 4-mnogostrukost Lorentzova metrika afina konekcija PP-talasi sa torzijom p. 2/1

Matematički model Prostor-vrijeme {M, g, Γ} = 4-mnogostrukost Lorentzova metrika afina konekcija Metrički afina gravitacija (10 + 64 nepoznate) PP-talasi sa torzijom p. 2/1

Matematički model Prostor-vrijeme {M, g, Γ} = 4-mnogostrukost Lorentzova metrika afina konekcija Metrički afina gravitacija (10 + 64 nepoznate) Definicija varijacijskog funkcionala (akcija) S := q(r) PP-talasi sa torzijom p. 2/1

Matematički model Euler-Lagrangeov sistem jednačina S g = 0 (1) S Γ = 0 (2) PP-talasi sa torzijom p. 3/1

Matematički model Euler-Lagrangeov sistem jednačina Primjeri q(r): q(r) = R κ λµνr λ κ µν q(r) = Ric κλ Ric κλ q(r) = R 2 S g = 0 (1) S Γ = 0 (2) PP-talasi sa torzijom p. 3/1

Matematički model Opšta formula za q(r) sadrži 16 različitih R 2 izraza sa 16 uparujućih konstanti PP-talasi sa torzijom p. 4/1

Matematički model Opšta formula za q(r) sadrži 16 različitih R 2 izraza sa 16 uparujućih konstanti Naš model gravitacije pokušava opisati fizičke fenomene čija je karakteristična talasna dužina dovoljno mala a krivina dovoljno velika PP-talasi sa torzijom p. 4/1

Riemannovo prostor-vrijeme Definicija 1 Prostor-vrijeme nazivamo Riemannovim ako je konekcija Γ tipa Levi-Civita ( g = 0, T = 0). Teorem 1 (Vassiliev 2005) Za generičnu kvadratnu akciju jedina Riemannova rješenja jednačina (1) i (2) su Einsteinovi prostori (Ric = Λg) PP-prostori sa paralelnom Ricci krivinom PP-prostor je prostor-vrijeme Riemannovog tipa koje uključuje paralelni spinor. (ds 2 = 2dudv (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 + f(x 1,x 2,v)(dv) 2 ) PP-talasi sa torzijom p. 5/1

Generalizirani PP-prostori Metrika g je pp-metrika PP-talasi sa torzijom p. 6/1

Generalizirani PP-prostori Metrika g je pp-metrika Posmatramo polariziranu Maxwellovu jednačinu da = ±ida i tražimo rješenja u obliku ravnih talasa PP-talasi sa torzijom p. 6/1

Generalizirani PP-prostori Metrika g je pp-metrika Posmatramo polariziranu Maxwellovu jednačinu da = ±ida i tražimo rješenja u obliku ravnih talasa Paralelni spinor paralelni nula vektor l PP-talasi sa torzijom p. 6/1

Generalizirani PP-prostori Metrika g je pp-metrika Posmatramo polariziranu Maxwellovu jednačinu da = ±ida i tražimo rješenja u obliku ravnih talasa Paralelni spinor paralelni nula vektor l Definišimo fazu (skalarna funkcija) sa ϕ : M R, ϕ(y) := y y 0 l dx PP-talasi sa torzijom p. 6/1

Generalizirani PP-prostori {ϕ = const} = "talasna fronta" "ravni talas" = "A paralelno duž talasnih fronti" + A l PP-talasi sa torzijom p. 7/1

Generalizirani PP-prostori {ϕ = const} = "talasna fronta" "ravni talas" = "A paralelno duž talasnih fronti" + A l Definicija 3 Generalizirani PP-prostor je metrički kompatibilno prostor-vrijeme sa pp-metrikom i torzijom T := 1 Re(A da) 2 PP-talasi sa torzijom p. 7/1

Glavni teorem Generalizirani PP-prostori sa paralelnom Ricci krivinom su rješenja sistema jednačina (1) i (2). PP-talasi sa torzijom p. 8/1

Dokaz glavnog teorema Dokaz koristi "sirovu snagu" - niko geometrijski ne razumije čak ni zašto su PP-prostori rješenja naših jednačina. Koristimo slijedeće pretpostavke: Naše prostor-vrijeme je metrički kompatibilno. Krivina našeg prostor-vremena ima sve uobičajene simetrije krivine kao u Riemannovom slučaju. R = 0 Torzija je čisto tenzorska. PP-talasi sa torzijom p. 9/1

Eksplicitne jednačine d 1 W κλµν Ric κµ + d 3 ( Ric λκ Ric κ ν 1 4 gλν Ric κµ Ric κµ ) = 0, (1) PP-talasi sa torzijom p. 10/1

Eksplicitne jednačine d 1 W κλµν Ric κµ + d 3 ( Ric λκ Ric κ ν 1 4 gλν Ric κµ Ric κµ ) = 0, (1) d 6 λ Ric κµ d 7 κ Ric λµ +d 6 (Ric η κ(t ηµλ T λµη ) + 1 ) ) 2 g µλw ηζ ξ ξ κξ (T η ζ T ζ η + g µλ Ric η ξ ξt η κ d 7 (Ric η λ(t ηµκ T κµη ) + 1 ) ) 2 g κµw ηζ ξ ξ λξ (T η ζ T ζ η + g κµ Ric η ξ ξt η λ ) ) )) +b 10 ((g κµ W ηζ λξ g µλ W ηζ ξ ξ κξ (T η ζ T ζ η + Ric η ξ ξ ξ (g κµ T η λ g µλ T η κ ) ) ) +2b 10 (W η ξ ξ µκξ (T η λ T λ η + W η ξ ξ µλξ (T κ η T η κ W ξη κλt ηµξ = 0, (2) gdje d 1 = b 912 b 922 + b 10, d 3 = b 922 b 911, d 6 = b 912 b 911 + b 10, d 7 = b 912 b 922 + b 10, PP-talasi sa torzijom p. 10/1

Trenutni rad Naša rješenja - modeli za neutrine? PP-talasi sa torzijom p. 11/1

Trenutni rad Naša rješenja - modeli za neutrine? Poredimo naš metrički-afin model sa klasičnim modelom za neutrine. PP-talasi sa torzijom p. 11/1

Trenutni rad Naša rješenja - modeli za neutrine? Poredimo naš metrički-afin model sa klasičnim modelom za neutrine. Weylova jednačina (Diracova jednačina sa masom nula). PP-talasi sa torzijom p. 11/1

Trenutni rad Naša rješenja - modeli za neutrine? Poredimo naš metrički-afin model sa klasičnim modelom za neutrine. Weylova jednačina (Diracova jednačina sa masom nula). Einstein-Weylov model (uključuje gravitaciju) PP-talasi sa torzijom p. 11/1

Trenutni rad Akcija u ovom slučaju S := R + Weylova akcija PP-talasi sa torzijom p. 12/1

Trenutni rad Akcija u ovom slučaju S := R + Weylova akcija S/ g = 0, S/ ξ = 0 - znamo da možemo konstruisati rješenja ovog modela koristeći PP-prostore. PP-talasi sa torzijom p. 12/1