1 Teorija zvezdanih spektara -V2- Plankova funkcija. U slu aju termodinami ke ravnoteºe (TDR) polje zra enja je homogeno i izotropno, a intenzitet zra enja je opisan Plankovom raspodelom (vidi sliku 1). Tada za gustinu radijativne energije monohromatskog zra enja moºemo pisati: kako je: ρ ν (T ) = 4π c B ν(t ) = 8πhν3 1 c 3 kt 1, B ν = 2hν3 1. c 2 e hν kt 0 1 Iz Plankove raspodele se mogu izvesti: (1) Rejli-Dºinsov zakon (za hν << kt ) (2) Vinov zakon (za hν >> kt ) B ν = 2kT c 2 ν2, B ν = 2hν3 c 2 e hν kt, (3) tefan-bolcmanov zakon (integracija 0 dν) (4) Vinov zakon pomeranja (iz db λ dλ = 0) e hν B = σt 4 π, F + = πb, F + = σt 4, λ max = b T. Veza relacija izraºenih u zavisnosti od frekvencije i talasne duºine se dobija na slede i na in (uz λν = c) B ν dν = B λ dλ B ν = c ν 2 B λ. Maksvelov zakon raspodele ( estica po brzinama). U TDR, raspodela svih estica (atoma, jona, elektrona) po brzinama je Maksvelova. funkcija raspodele ima oblik: dn(v) N = dw = 4 πα 3 v2 e v2 α 2 dv, α = U op²tem slu aju, Maksvelova 2kTk m, tj. verovatno a da estica idealnog gasa van polja sile u stacionarnom stanju ima intenzitet brzine u intervalu (v, v + dv) iznosi dn(v). Kako je dn(v) = N(v)dv imamo: N N(v) N = dw dv = 4 πα 3 v2 e v2 α 2.
2 Slika 1: Plankova funkcija. Jasno je da ova funkcija teºi nuli kada intenzitet brzine teºi nuli i beskona no. Takože, jasno je da postoji jedan maksimum: d dv ( 4 πα 3 v2 e v2 α 2 ) = 0 v max = α. Sa porastom temperature maksimum verovatno e opada i pomera se ka ve im brzinama: v max ( ) dw T k, 1 dv v max Tk Ako je uspostavljena TDR tada Maksvelova funkcija raspodele (vidi sliku 2) ima istu vrednost temperature za sve estice (atome, jone, elektrone). Slika 2: Maksvelova raspodela estica po brzinama. Bolcmanova raspodela atoma po stanjima ekscitacije. Uop²teno, u Maksvel- Bolcmanovoj statistici broj atoma n energije E u 1 cm 3 dat je preko: n(e) = Ce E kt.
3 Konkretno, broj atoma na k-tom pobuženom nivou iznosi: n k = const g k e χ k kt B, gde je g k statisti ka teºina nivoa k, odnosno broj na ina na koje elektron moºe do i na k-ti nivo, a χ k predstavlja energiju ekscitacije u odnosu na osnovni nivo. Ako osnovni nivo ozna imo sa k = 0 tada je χ 0 = 0 a ako ozna imo sa k = 1 onda je χ 1 = 1 (vidi kasnije). Odnos naseljenosti dva nivoa je dat preko: n k n k = g k g k e χ kk kt B, χ kk = χ k χ k. U praksi je pogodno logaritmovati prethodni izraz: log n k n k = log g k g k θ χ kk, θ = log e kt B = 5040 T B, T B [K], χ kk [ev], k = 1.38 10 16 erg/k = 1.38 10 16 1.602 10 12 ev/k = 8.617 10 5 ev/k. Sahina formula (jonizacije). Sva ekscitovana (vezana) stanja karakteri²e E < 0. Da bi atom pre²ao u stanje sa E > 0 potrebno mu je dodati energiju. Ukoliko energiju dodajemo zagrevanjem - termi ka jonizacija. Iznad diskretnih vezanih stanja postoji kontinuum nivoa gde elektron nije vezan za atom. Sahina formula daje broj jonizovanih u odnosu na broj neutralnih atoma: n + = 2 1 g + (2πmkT j ) 3/2 n 0 n e g 0 h 3 e χ j kt j, gde je n e koncentracija elektrona, m masa elektrona, g + statisti ka teºina jona a g 0 statisti ka teºina atoma u osnovnom stanju dok je χ j energija jonizacije iz osnovnog stanja. Kada je uspostavljena potpuna TDR tada su temperature odrežene iz Plankove funkcije, Maksvelove raspodele, Bolcmanove i Sahine formule mežusobno jednake odnosno postoji jedna temperatura koja karakteri²e sve gore navedene procese T T 0 = T k = T B = T j. 1. Odrediti broj pobuženih atoma,k u funkciji ukupnog broja atoma u datom stanju jonizacije i. χ i,k predstavlja potencijal ekscitacije u odnosu na osnovni nivo.,k je broj atoma u i-tom stanju jonizacije koji su ekscitovani na k-ti nivo. predstavlja broj atoma u i-tom stanju jonizacije na osnovnom nivou (k = 1, 2, 3,... - pobužena stanja, 0 - osnovno odnosno ne pobuženo stanje: n = 1). Na osnovu Bolcmanove raspodele moºemo pisati:,k = g i,k e χ i,k/kt
4 Sa druge strane imamo:,k = g i,k e χ i,k/kt ( ) Dakle, imamo: = k,k = k g i,k e χ i,k/kt = n i,0 g i,k e χi,k/kt = (T ), (T ) = k k = (T ) Kona no (zamenom prethodnog izraza u (*)) dobijamo: g i,k e χ i,k/kt,k = g i,k (T ) e χ i,k/kt 2. Odrediti broj vodonikovih atoma ekscitovanih na nivo n = 2 i n = 3 (prvo i drugo pobuženo stanje - k = 1, 2 dok je n = 1, 2, 3,...) u odnosu na broj atoma u osnovnom stanju (n = 1) na T = 5000, 10000 i 20000 K (kt 0.4 1.7 ev). χ 21 =10.2 ev, χ 31 =12.1 ev. Sada osnovno stanje numeri²emo preko n odnosno n = 1: n 2 = g 2 g 1 e χ 2,1/kT, n 3 = g 3 g 1 e χ 3,1/kT, g n = 2n 2, g 1 = 2. k = 1.38 10 16 erg/k = 8.617 10 5 ev/k, Jasno je da je n 2 n 2 n kako je prema prethodnom zadatku: 1 ev = 1.602 10 12 erg n 2 n = g 2 U e χ 2,1/kT, U = g 1 + g 2 e χ 2,1/kT + g 3 e χ 3,1/kT + g 1 = 2. Kako se sumiranje vr²i po svim nivoima (njih beskona no mnogo) uo avamo problem divergencije particione funkcije U. Ipak, divergencija u realnosti nestaje kako e za atome/jone u plazmi biti mogu a ekscitacija samo kona nog broja (najniºih nivoa). Ako nije potrebna visoka numeri ka ta nost dovoljno je izjedna iti U = g 1. Kona no imamo: T = 5000 K n 2 = 2.07 10 10, T = 10000 K n 2 = 2.88 10 5, T = 20000 K n 2 = 1.07 10 2, n 3 = 5.67 10 12 n 3 = 7.14 10 6 n 3 = 8.02 10 3
5 3. Razmotriti odnos broja jona u dva susedna stanja jonizacije. Sahina formula: +1,0 n e = 2(2πmkT )3/2 h 3 g i+1,0 e χ i/kt Ako je +1 ukupan broj atoma u i+1 - om stanju jonizacije tada iz Bolcmanove raspodele (vidi prvi zadatak) imamo: ( ) +1,0 +1 = g i+1,0 +1 e χ i+1,0/kt = g i+1,0 +1, χ i+1,0 = 0. Sli no: Deljenjem prethodna dva izraza dobijamo: = e χ i,0/kt =, χ i,0 = 0. +1,0 = +1 g i+1,0 +1 ( ) Kada (**) zamenimo u (*) imamo: +1 n e = 2(2πmkT )3/2 h 3 +1 e χ i kt, χi χ i,, gde χ i, predstavlja jonizacioni potencijal i-tog stanja jonizacije. Gornji izraz se moºe zapisati i preko elektronskog pritiska: +1 p e = 2(2πm)3/2 h 3 (kt ) 5/2 +1 e χ i, kt, pe = n e kt, log +1 = 0.1761 log p e +log +1 +2.5 log T 5040 T χ i,, T [K], p e [dyn/cm 2 ], χ i, [ev], h = 6.626 10 27 erg s, m m e = 9.105 10 28 g, 1 dyn = 1 g cm/s 2 = 10 5 kg m/s 2, 1 erg = 10 7 J. 4. Odrediti broj jona (II) atoma vodonika u odnosu na broj neutralnih (I) vodonikovih atoma za uslove T = 6000, 10000, i 20000 K (kt 0.5 1.7 ev), i P e = 10 dyn/cm 2 (za veºbu uzeti P e = 100 dyn/cm 2 ). Na osnovu prethodnog zadatka dobijamo slede u tabelu (tabela 1) i grak (slika 3): U I = 2, U II = 1, χ i, = 13.598 ev n II n uk = n I n uk = n II n I + n II = 1 1 + n II /n I, n II/n I 1 + n II /n I.
6 T [K] n II /n I n I /n uk n II /n uk 6000 3.5 10 4 1 0.35 10 3 10000 46.6 0.021 0.979 20000 7.05 10 5 0.142 10 5 1 Tabela 1: Re²enje zadatka 4. 1.0 0.8 I II udeo 0.6 0.4 0.2 0.0 0 10000 20000 T [K] Slika 3: Udeo (n I,II /n uk ) neutralnog (I) i jonizovanog (II) atoma vodonika za razli ite vrednosti temperature (uz zadatak 4). 5. Sli no (tabela 2 i slika 4), za helijum imamo: χ I, = 24.587 ev i χ II, = 54.416 ev dok su U II = 2 i U I = U III = 1, g I,0 = 1, g II,0 = 2. Sledi (P e = 10 dyn/cm 2 ): n II n I n III n II 123918.48 0.8751+2.5 log T = 10 T, 274256.64 1.4771+2.5 log T = 10 T. T [K] n II /n I n III /n I n I /n uk n II /n uk n III /n uk 10000 5.45 10 4 1.27 10 19 1 0.544 10 3 0.692 10 22 20000 4.82 10 3 3.68 10 5 0.2 10 3 1 0.368 10 4 30000 1.54 10 6 3.77 0.136 10 6 0.210 0.79 40000 3.41 10 7 1.49 10 3 0.197 10 10 0.671 10 3 1 Tabela 2: Re²enje zadatka 5.
7 1.0 0.8 I II III udeo 0.6 0.4 0.2 0.0 0 10000 20000 30000 40000 50000 T [K] Slika 4: Udeo (n I,II,III /n uk ) neutralnog, jednom i potpuno jonizovanog helijuma za razli- ite vrednosti temperature (uz zadatak 5). 6. Odrediti stepen jonizacije atoma vodonika (χ = 13.6 ev) u Sun evoj fotosferi gde je T = 6000 K i log p e = 1.5 (pomo za brzo ra unanje: log 2 = 0.3, log 3 = 0.48, log 5 = 0.7, log 7 = 0.84; log 6000 = log 3 + log 2 + 3 = 3.78). Imamo U + = 1 kako je re o jednom protonu - jedno stanje, U 0 = 2 kako u osnovnom stanju elektron moºe biti u dva stanja - orjentacije spina. Dobijamo n+ n 0 = 10 4 odnosno jedan od 10 4 atoma vodonika je jonizovan. 7. Odrediti udeo (n 2 /n uk ) atoma vodonika ekscitovanih na prvi pobuženi nivo (n = 2; zavisnost izraºenosti (ja ine) linija Balmerove serije od temperature) u zavisnosti od temperature za log p e = 1.5 (rezultat predstaviti gra ki - slika 5). Upotrebom Bolcmanove i Sahine raspodele moºe se jo² npr. proceniti i odnos koncentracija neutralnih atoma vodonika, ekscitovanih na prvo pobuženo stanje (n 2 ) prema ukupnoj koncentraciji neutralnih i jonizovanih atoma vodonika (n H n H i + n H ii ), za razli ite vrednosti temperature T i elektronskog pritiska p e. Naime, jasno je da vaºi 1 n 2 /n H = (1 α)n 2 /n H i. Sa druge strane, lako se moºe na i da je n 2 /n H i = g 2 e E 21/kT /U(T ), gde je U(T ) = n g ne E n1/kt g 1 + g 2 e E 21/kT + g 3 e E 31/kT statisti ka suma elektronskih ekscitacija (particiona funkcija; eng. partition function). Rezultati zadovoljavaju e ta nosti mogu se dobiti ukoliko se obra una samo nekoliko prvih lanova particione funkcije 2. 1 Kako je n H ii = n e i α n H ii /(n H i + n H ii ), sledi da je p = (1 + α)p e /α. 2 Pomenute statisti ke sume jedne, izolovane estice zapravo divergiraju. Naravno, kada je re o atomima i jonima (koji nisu potpuno ogoljeni) u plazmi, tada je U(T ) kona na suma (za detalje vidi npr. poglavlje 2.5.3 iz Mili 1977). Naime, pobuda na ona energetska stanja ija je energija manja od srednje termalne energije konstituenata plazme ili pobuda na ona energetska stanja koja odgovaraju udaljnostima od jezgra koja su ve a od srednjeg rastojanja estica u plazmi, upravo dovodi do jonizacije.
8 Sada je jasno i za²to su ba² (apsorpcione) spektralne linije atoma vodonika (Balmerova serija, u vidljivoj oblasti) najizraºenije u spektrima zvezda spektralne klase A (efektivnih temperatura izmežu oko 7500 K i 11000 K; Vuki evi -Karabin & Atanackovi 2010). Ovde je iskori² ena Sahina relacija za vodoni nu plazmu u obliku: α 2 1 α = (2πm e) 3/2 (kt ) 5/2 e E jon/kt, (1.14) 2 h 3 p gde je T temperatura, E jon = 13.598 ev, a p = (n H i + n H ii + n e )kt. 6 5 logp e =2 n 2 / n H [ 10 6 ] 4 3 2 1 logp e =1.5 logp e =1 0 5000 10000 15000 20000 T [K] Slika 5: Udeo (n 2 /n uk ) neutralnog atoma vodonika ekscitovanog na prvo pobuženo stanje za razli ite vrednosti temperature (uz zadatak 7). Digresija. Zastupljnost se esto predstavlja u obliku logaritma relativne zastupljenosti log(n Z /n H ) + 12. Npr. za atom kiseonika imamo da je logaritam relativne zastupljenosti 8.83 ²to daje 8.83 = log(n O /n H ) + 12 n O n H = 6.76 10 4, ²to zna i da imamo jedan atom kiseonika na 1480 atoma vodonika. Za kalcijum je logaritam relativne zastupljenosti 6.36 ²to daje jedan atom kalcijuma na oko 436516 atoma vodonika. 8. Za uslove na Suncu (T = 5777 K, log p e = 1.5) proceniti zna aj (izraºenost) Balmerovih naspram CaII apsorpcionih linija (za veºbu, nacrtati grak sli an onom iz zadatka 7 za CaII (n=1)). Od ranije za vodonik imamo: n HII n HI = 10 5040 0.1761 1.5+log 0.5+2.5 log 5777 5777 13.598 = 3.66 10 5,
9 odnosno jedan jonizovani vodonik na 27322 nautrala. Sli no nalazimo i naseljenost prvog pobuženog nivoa: n H(n=2) n H(n=1) = 4e 118408.6957/T = 5 10 9, odnosno jedan atom u prvom pobuženom stanju na 200 miliona atoma u osnovnom stanju. Sada razmatramo kalcijum: χ jon (CaI) = 6.11 ev (χ jon >> kt ; T = 5777 K daje kt 0.5 ev). Moºemo pisati: n CaII n CaI = 10 0.1761 1.5+log 2.30 5040 +2.5 log 5777 1.32 5777 6.11 = 435, odnosno 435 CaII jona na jedan neutralni atom CaI (particione funkcije za kalcijum CaI i CaII su samo date kako njihov ra uzlazi iz okvira ovog kursa; pogledati dodatak D.2. iz knjige Gray: The Observation and Analysis of Stellar Photospheres, 2005). Zanima nas uvena linija jednom jonizovanog kalcijuma: CaII K (393.3 nm; χ 12 = 3.12 ev, g 1 = 2, g 2 = 4). Dobijamo: n CaII(n=2) n CaII(n=1) = 3.79 10 3, odnosno na jedan jon kalcijuma u prvom pobuženom stanju dolazi 264 jona kalcijuma u osnovnom stanju (ve ina je dakle sposobna da proizvede CaII K liniju). Kona no, broj jednom jonizovanih atoma kalcijuma u osnovnom stanju prema ukupnom broju atoma i jona kalcijuma je n CaII(n=1) n uk n CaII(n=1) n CaII(n=1) + n CaII(n=2) n CaII n uk = 1 1 + n CaII(n=2) /n CaII(n=1) n CaII /n CaI 1 + n CaII /n CaI = 0.994, n CaII n CaII(n=1) + n CaII(n=2), n uk = n CaI + n CaII. Skoro sav kalcijum moºe formirati CaII K liniju. Ne zaboravimo, naravno, da mi zapravo imamo jedan kalcijum na 436516 atoma vodonika. Ipak, od tih 436516 atoma vodonika samo je mali broj neutrala i to neutrala u prvom pobuženom nivou. Zapravo, njih je 436516 5 10 9 = 0.00218 = 1/459. Sledi da ima pribliºno oko 459 vi²e kalcijuma koji moºe da stvori CaII K linije nego ²to ima vodonika koji stvara Balmerove linije. Zato je apsorpciona linija CaII K izraºenija nego Balmerove linije u slu aju zvezda sli nih Suncu (vidi sliku 6). Dodatni zadatak za veºbu. Na kojoj temperaturi bi vaºilo: n H(n=1) = n H(n=2)?
Slika 6: Ja ine linija u zavisnosti od temperature - spektralne klase (uz zadatak 8). 10