TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2017/18

Sadrºaj 1 Uvodna razmatranja Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike 2

Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sadrºaj 1 Uvodna razmatranja Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike 2

Tehni ka mehanika 2 Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Osnovni podaci o predmetu Naziv: Tehni ka mehanika 2 Semestar: III Fond asova: 2+2 Modul: Graževinarstvo - Zajedni ke osnove ifra i ESPB: GR02TM, 4

Tehni ka mehanika 2 Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Osnovni podaci o predmetu Uslov za sticanje potpisa: - Uredno pohažanje nastave - Uspe²no poloºeni nenajavljeni testovi na predavanjima - Uspe²no poloºena 2 kolokvijuma Uslov za polaganje ispita: - Dobijen potpis - Poloºen ispit iz predmeta Tehni ka mehanika 1 Na in polaganja ispita: - Pismeni ispit u trajanju od 4 h (bez literature)

Tehni ka mehanika 2 Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Osnovni podaci o predmetu Informacije o nastavi i predmetu: - Kabineti 136, 336 - www.grf.bg.ac.rs, Katedra za tehni ku mehaniku i teoriju konstrukcija, Predmeti, Tehni ka mehanika 2 - Vitrina ispred Kab. 136

Tehni ka mehanika 2 - Literatura Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike

Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sadrºaj 1 Uvodna razmatranja Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike 2

Osnovni pojmovi mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Predmet izu avanja mehanike Mehanka je deo zike koji se bavi prou avanjem kretanja tela pod dejstvom razli itih mehani kih uticaja Osnovni pojmovi Kretanje: promena poloºaja posmatranog tela tokom vremena Poloºaj posmatranog tela je odnos prema referentnom telu Posmatrano telo i Referentno telo (pogodan koordinatni sistem) Nezavisnost prostora (3D) i vremena (t>0) Inercijalni (prostorni) koordinatni sistem Oxyz

Osnovni pojmovi mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Osnovni pojmovi Telo: kona na zapremina prostora neprekidno ispunjena materijom Materijalna ta ka: - elementarni deo tela sa beskona no malom koli inom mase - telo kona nog oblika i mase, uz zanemarivanje oblika tela (geometrijska ta ka sa kona nom masom) Sistem materijalnih ta aka: skup mat. ta aka izmežu kojih postoje veze

Osnovni pojmovi mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Osnovni pojmovi Veze su relacije (ograni enja) izmežu poloºaja i/ili brzina Alternativno, veze su prisustva drugih tela koja ograni avaju, ili u potpunosti spre avaju, mogu nost kretanja posmatranog tela Kruto telo je telo kod koga je rastojanje izmežu bilo koje 2 ta ke je nepromenljivo Kruto telo je sistem od mat. ta aka (sa const mežusobnim rastojanjima) Sistem mat. ta aka je najop²tiji mehani ki model

Klasikacija mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sa stanovi²ta domena prostora u kome se kre e telo - klasi na mehanika (Isaak Newton, 1642-1721) - relativisti ka mehanika (Albert Einstein, 1879-1955) - kvantna mehanika (Max Planck, 1858-1947) Sa stanovi²ta agregatnog stanja tela koje se posmatra - mehanika solida - mehanika uida (te nosti i gasovi) - mehanika plazme

Klasikacija mehanike solida Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sa stanovi²ta deformacije pod uticajem sila - mehanika nedeformabilnih (krutih) tela - mehanika deformabilnih ( vrstih) tela Mehanika deformabilnih ( vrstih) tela - teorija elasti nosti - teorija plasti nosti - teorija reologije - itd

Klasikacija mehanike solida Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Mehanika krutog tela, sa stanovi²ta oblasti razmatranja - statika - kinematika - dinamika Novije oblasti mehanike deformabilnih tela - mehanika loma - mehanika o²te enja

Klasikacija mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Mehanika krutog tela, sa stanovi²ta predmeta izu avanja - mehanika ta ke - mehanika sistema materijalnih ta aka - mehanika krutog tela Mehanika uop²te, sa stanovi²ta ciljne grupe korisnika mehanike - teorijska (racionalna) mehanika - primenjena mehanika Mehanika uop²te, sa stanovi²ta matemati kog pristupa - vektorska mehanika (Njutn) - analiti ka mehanika (Lagranº)

Njutnovi Aksiomi Mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sir Isaak Newton, 1687. - Aksiomi mehanike A1: Aksiom inercije A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli ine kretanja) A3: Aksiom akcije i reakcije A4: Aksiom o nezavisnosti dejstava (paralelogram sila)

Njutnovi Aksiomi Mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike A1: Aksiom inercije Svako telo (materijalna ta ka) ostaje u stanju mirovanja, ili u stanju ravnomernog pravolinijskog kretanja, sve dok pod uticajem sile ne bude prinuženo da to stanje promeni. Kretanje ta ke pri emu je ubrzanje jednako nuli ( r = 0) A2: Aksiom o kretanju tela (Aksiom o promeni koli ine kretanja) Promena koli ine kretanja tela proporcionalna je sili koja deluje i vr²i se u pravcu i smeru delovanja sile. dk K = m v dt = F odn. m a = F

Njutnovi Aksiomi Mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike A3: Aksiom akcije i reakcije Mežusobni mehani ki uticaji dva tela ispoljavaju se silama koje deluju duº iste napadne linije, imaju iste intenzitete i suprotne smerove. Ili, ne²to kra e: Akciji jednog tela na drugo odgovara ista reakcija drugog tela na prvo, ali suprotnog smera.

Njutnovi Aksiomi Mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike A4: Aksiom o nezavisnosti dejstava (paralelogram sila) Mehani ki uticaj istovremenog delovanja dve sile u istoj ta ki tela ekvivalentan je uticaju jedne sile, u istoj ta ki, koja je odrežena dijagonalom paralelograma konstruisanog nad dvema silama kao stranicama. Alternativno, A4 moºe da se formuli²e i u obliku: Pri istovremenom delovanju dve sile na materijalnu ta ku, ta ka se kre e po dijagonali paralelograma, konstruisanog nad tim silama kao stranicama, za isto vreme za koje bi se kretala po pojedinim njegovim stranama pri dejstvu svake sile posebno.

Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Njutnov Zakon univerzalne gravitacije Napomene o masi tela Masa: mera koli ine materije u zapremini tela Masa: mera inercije koju poseduje telo Masa: mera energije sa kojom je ekvivalentna (E = mc 2 ) Dva tela masa m i M na rastojanju R se mežusobno privla e silom (Njutnov Zakon univerzalne gravitacije): ili u obliku F = γ mm R 2 F = mg g = γ M R 2 gde je g ja ina gravitacionog polja, odn. ubrzanje koje telo M saop²tava telu m

Pojmovi o silama u mehanici Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Napomene o silama; 4 vrste sila Aksiom Inercije Sila je prinuda usled koje telo menja svoje inercijalno stanje (ravnomerno pravolinijsko kretanje ili mirovanje) Gravitaciona sila Elektro-magnetska sila Slaba nuklearna sila Jaka nuklearna sila Peta vrsta sile (?) Objedinjavanje sila

Pojmovi o silama u mehanici Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Pojmovi o silama Koncentrisane i raspodeljene (linijski, povr²inski, zapreminski) Sistem sila Ekvivalentni sistemi sila Spolja²nje i unutra²nje sile Rezultanta sistema sila Slaganje i razlaganje sila Ravnoteºni sistem sila Osnovni ravnoteºni sistem sila

Statika kao deo mehanike Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Statika Statika je deo mehanike koja se bavi mirovanjem posmatranih sistema i uslovima pri kojima se realizuje mirovanje. Posmatrani sistem miruje, a sile koje na njega deluju su u ravnoteºi. Aksiomi Statike A1: Aksiom inercije A2: Osnovni ravnoteºni sistem sila A3: Dodavanje ili uklanjanje ravnoteºnog sistema sila A4: Aksiom o nezavisnosti dejstava (paralelogram sila) A5: Aksiom akcije i reakcije A6: Aksiom o vezama

Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sloboda kretanja i generalisane koordinate Broj stepeni slobode kretanja n Broj stepeni slobode kretanja n je broj mežusobno nezavisnih skalarnih parametara koji su potrebni i dovoljni da jednozna no opi²u poloºaj (odn. kretanje) posmatranog sistema Generalisane koordinate q i, (i = 1, 2,..., n) Generalisane koordinate q i su usvojeni mežusobno nezavisni skalarni parametri (duºine i/ili uglovi) pomo u kojih se jednozna no opisuje poloºaj (odn. kretanje) posmatranog sistema. Generalisane koordinate su orjentisane (denisan smer)

Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sloboda kretanja i generalisane koordinate Slobodna materijalna ta ka Slobodna mat. ta ka u 3D prostoru - broj stepeni slobode kretanja: n = 3 - generalisane koordinate: q 1 = x, q 2 = y, q 3 = z Slobodna mat. ta ka u ravni (Oxy) - broj stepeni slobode kretanja: n = 2 - generalisane koordinate: q 1 = x, q 2 = y Generalisani koordinatni sistemi Osim Dekartovih koordinata xyz, mogu da se koriste i druge: Polarno-cilindarske koordinate ρ, ϕ, z Sferne koordinate R, ϕ, θ...

Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike Sloboda kretanja i generalisane koordinate Slobodno kruto telo Slobodno kruto telo u 3D prostoru - broj stepeni slobode kretanja: n = 6 - generalisane koordinate: referentna ta ka A: q 1 = x A, q 2 = y A, q 3 = z A Ojlerovi uglovi: q 4 = ψ, q 5 = ϑ, q 6 = ϕ Slobodno kruto telo u ravni (Oxy) - broj stepeni slobode kretanja: n = 3 - generalisane koordinate: q 1 = x A, q 2 = y A, q 3 = θ

Sadrºaj 1 Uvodna razmatranja Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike 2

Uvodna razmatranja Poloºaj materijalne ta ke Poloºaj ta ke u prostoru je odrežen mežusobnim odnosom ta ke i referentnog tela (posmatra a) Referentno telo je pogodno izabran koordinatni sistem Prostor u kome se nalazi i kre e ta ka je opisan pomo u inercijalnog prostornog koordinatnog sistema Poloºaj ta ke je denisan kao vektor poloºaja koji je izraºen u odnosu na usvojeni koordinatni sistem Obi no se usvaja Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz desne orjentacije

Poloºaj materijalne ta ke

Uvodna razmatranja Poloºaj materijalne ta ke - Koordinate ta ke P u odnosu na Oxyz............ P (x, y, z) - Koordinate vektora poloºaja ta ke P............ r = {x, y, z} - Jedini ni (bazni) vektori koordinatnog sistema.......... ı, j, k - Vektor poloºaja ta ke: r = {x, y, z} = x ı + y j + z k - Koordinate vektora poloºaja.......................... x, y, z - Komponenete vektora poloºaja.....................x ı, y j, z k

Uvodna razmatranja Kona na jedna ina kretanja ta ke Ako se ta ka P kre e, onda ona menja svoj poloºaj u toku vremena, pa je r = r(t) gde je t vreme - Kona na jedna ina kretanja ta ke, u vektorskom obliku je r = r(t) - Kona ne jedna ine kretanja ta ke u skalarnom obliku, u odnosu na dekartove koordinate, su x = x(t) y = y(t) z = z(t) - Ako je poznato r = r(t), onda je sve o kretanju ta ke (na elno) poznato

Uvodna razmatranja Putanja (trajektorija) ta ke Putanja (trajektorija) ta ke je geometrijsko mesto ta aka u kojima se mat. ta ka na²la tokom kretanja, odn. tokom vremena. - Putanja je hodograf vektora poloºaja - Kona ne jedna ine kretanja ta ke su, u isto vreme i jedna ine putanje u parametarskom obliku x = x(t) y = y(t) z = z(t)

Uvodna razmatranja Putanja (trajektorija) ta ke - Eliminacijom parametra t se dolazi do jedna ina trajektorije: x = x(t) y = y(t) z = z(t) f 1 (x, y, z) = 0 f 2 (x, y, z) = 0 - Jedna ina trajektorije je linija koja je data kao presek dve povr²i (u sistemu Dekartovih koordinata)

Trajektorija (putanja) i zakon puta

Uvodna razmatranja Zakon puta s = s(t) - Poznata je jedna ina trajektorije - Usvojena je lu na koordinata s duº luka trajektorije - Meri se iz poznatog (po etnog) poloºaja na putanji (obi no t = 0) i u usvojenom smeru - Zakon puta materijalne ta ke je zavisnost s = s(t) - Ako se poznaje trajektorija duº koje se kre e ta ka i ako se zna ta ka P 0 od koje se meri lu na koordinata s u datom smeru, onda je sa s = s(t) u potpunosti odrežen poloºaj ta ke u svakom trenutku - To je prirodan na in opisivanja poloºaja (odn. kretanja) ta ke

Zakon puta Uvodna razmatranja

Uvodna razmatranja Odreživanje zakona puta s = s(t) iz kona nih jedn. kretanja - U dva bliska poloºaja na liniji (putanji) elementarna tetiva je elementarnom luku: d r ds - Kako je r = r(t) = {x(t), y(t), z(t)} to je d r = {dx, dy, dz} = {ẋdt, ẏdt, żdt} - Intenzitet diferencijala vektora poloºaja je jednak d r = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt

Uvodna razmatranja Odreživanje zakona puta s = s(t) iz kona nih jedn. kretanja Diferencijal puta ds, prema relaciji d r ds, dat je sa ds = dx 2 + dy 2 + dz 2 = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt - Integracijom se dobija zakon puta: s = t 0 ds = t 0 ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt s = s(t) odn. vremenska funkcija lu ne koordinate s - Sa poznatom trajektorijom i zakonom puta s = s(t) opisuje je kretanje ta ke u prirodnim koordinatama τ, n, b

Uvodna razmatranja Klasikacija kretanja ta ke Prema obliku putanje Prema zakonu puta Klasikacija kretanja ta ke prema obliku putanje Pravolinijsko kretanje Krivolinijsko kretanje Kretanje u 3D prostoru Kretanje u ravni (ravan 2D prostor) Kretanje po povr²i (zakrivljeni 2D prostor)

Uvodna razmatranja Klasikacija kretanja prema zakonu puta s = s(t) Ravnomerno kretanje s(t) = at + b (konstantna brzina) Jednoliko promenljivo kretanje s(t) = at 2 + bt + c (konstantno ubrzanje) - jednako-ubrzano a > 0 - jednako-usporeno a < 0 Periodi no kretanje s(t) = s(t + T ), Op²te kretanje s = s(t) T = const

Sadrºaj 1 Uvodna razmatranja Napomene o predmetu Rekapitulacija osnovnih pojmova mehanike 2

Vektor srednje brzine

Uvodna razmatranja Brzina ta ke Posmatra se ta ka u dva kona no udaljena poloºaja P i P u trenucima t i t 1 = t + t Srednja brzina (u intervalu t = t 1 t): v sr = r t = r(t + t) r(t) t Trenutna brzina (u trenutku t) je grani na vrednost srednje brzine kada interval vremena teºi nuli ( t 0) v = lim v r(t + t) r(t) sr = lim = d r t 0 t 0 t dt = r(t)

Vektor srednjeg ubrzanja

Uvodna razmatranja Ubrzanje ta ke Srednje ubrzanje (u intervalu t = t 2 t 1 ): a sr = v t = v(t + t) v(t) t Trenutno ubrzanje (u trenutku t) je grani na vrednost srednjeg ubrzanja kada interval vremena teºi nuli ( t 0) a = lim a v(t + t) v(t) sr = lim = d v t 0 t 0 t dt = d2 r dt 2 = r(t)

Uvodna razmatranja Kona na jedna ina kretanja, brzina i ubrzanje Kona na jedna ina kretanja: r = r(t) v = r(t) a = v(t) = r(t) Dekartove koordinate Oxyz r = {x(t), y(t), z(t)} v = {ẋ(t), ẏ(t), ż(t)} a = {ẍ(t), ÿ(t), z(t)}

Prirodni koordinatni sistem Prirodni koordinatni sistem Poznata je kona na jedna ina kretanja r = r(t) Poznata trajektorija (kriva linija u prostoru) Poznat zakon puta s = s(t) Vektor poloºaja ta ke se izraºava preko lu ne koordinate s: r = r(t) = r(s(t)) = r(s) Prirodni koordinatni sistem je denisan u svakoj ta ki krive linije Jedini ni vektori (desne orjentacije) prirodnog sistema τ, n, b

Prirodni koordinatni sistem

Prirodni koordinatni sistem u prirodnim koordinatama Prirodni koordinatni sistem τ, n, b (u svakoj ta ki krive) - ort tangente: τ = d r ds - vektor prve krivine (eksije) K = d τ ds - ort glavne normale: n = K - ort binormale: b = τ n K K = 1 ρ d τ ds = 1 ρ n

Prirodni koordinatni sistem u prirodnim koordinatama Vektor brzine (pravac tangente): v = d r dt = d r ds ds dt = ds τ = ṡ τ dt Vektor ubrzanja (tangencijalno i normalno): a = d v dt = d (ṡ τ) = s τ + ṡd τ dt dt kako je d τ dt = d τ ds ds dt = ṡ 1 ρ n to se dobija a = s τ + ṡ2 ρ n = a T + a N = a τ + a n

Brzina u prirodnim koordinatama

Ubrzanje u prirodnim koordinatama

Kretanje ta ke po kruºnici

Prirodni koordinatni sistem Kretanje ta ke po kruºnici - brzina Kruºnica polupre nika R Poloºaj ta ke (lu na koordinata ili centralni ugao): s = s(t) ili ϕ = ϕ(t) jer je s = R ϕ Vektor brzine (pravac tangente): v = v τ gde je v = ṡ = R ϕ = R ω Ugaona brzina ω = ϕ

Prirodni koordinatni sistem Kretanje ta ke po kruºnici - ubrzanje Vektor ubrzanja (tangencijalno i normalno): a = a T + a N Tangencijalno ubrzanje a T = s = v = R ϕ = R ω = Rε Ugaono ubrzanje ε = ω = ϕ Normalno ubrzanje (ka centru krivine, odn. kruga) a N = ṡ2 ρ = v2 ρ = (R ϕ)2 R = R ω2

Kretanje ta ke po kruºnici - brzina i ubrzanje

Prirodni koordinatni sistem Kretanje ta ke po kruºnici: primer Materijalna ta ka se kre e jednako-ubrzano po kruºnoj putanji polupre nika R=25m. Polaze i iz mirovanja, ta ka preže luk duºine 50m za 10 sec. Odrediti brzinu i ubrzanje ta ke u tom trenutku. Jednako-ubrzano kretanje zna i da je tangencijalno ubrzanje konstantno: a T = const Kako je a T = v = s, to se, imaju i u vidu po etne uslove kretanja (t = 0 : s 0 = 0, v 0 = 0), kao i a T = const, dobija: a T = dv dt dv = a T dt v = a T t

Prirodni koordinatni sistem Kretanje ta ke po kruºnici: primer Kako je v = ṡ, kao i v = a T t, to se dobija ds dt = v ds = a t tdt s = 1 2 a T t 2 odakle se dobija relacija a T = 2 s t 2 Unose i zadate numeri ke vrednosti, dobija se vrednost konstantnog ubrzanja: a T = 2 50 10 2 = 1.0 m/s 2

Prirodni koordinatni sistem Kretanje ta ke po kruºnici: primer Sa ovim se dobija brzina u trenutku t = 10 sec: Normalno ubrzanje je dato sa v = a T t = 1.0 10 = 10 m/s a N = v2 ρ = 102 25 = 4 m/s2 tako da je ukupno ubrzanje u tom trenutku jednako a = a 2 T + a2 N = 17 = 4.123 m/s 2