Elektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016.

Transcript

1 Elektrodinamika 1 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 18. januar Zapreminska gustina naelektrisanja u prostoru ima oblik ρ( r) = αδ(ρ + z a )ν(z), gde su ρ i z cilindri ne koordinate, a α i a pozitivne konstante. a) Odrediti karakter raspodele naelektrisanja opisane ovom zapreminskom gustinom naelektrisanja. b) Odrediti i dipolni moment sistema koji opisuje data raspodela. c) Na i potencijal elektri nog polja na z osi.. Kondenzator se sastoji od dve plo e duºine a i ²irine b koje su postavljene na rastojanju d (a, b). Uzeti da je koordinatni po etak u jednom temenu donje plo e, x-osa duº stranice b, a y-osa duº stranice a. Gornja plo a je u ravni z = d. Po donjoj plo i te e struja u smeru y-ose. Povr²inska gustina struje je i = i(y) cos ωt e y, gde je i(y) nepoznata funkcija. Po gornjoj plo i te e struja i. Poznato je da je i(y = 0) = I 0 b i i(y = a) = 0. Odrediti elektri no i magnetno polje izmežu plo a. Pretpostaviti da je van kondenzatora polje nula. Na i raspodelu struje i naelektrisanja na gornjoj plo i. U oblasti izmežu plo a nema izvora. 3. a) Dve beskona ne paralelne ravni, z = d i z = d, naelektrisane su ravnomerno povr²inskim gustinama naelektrisanja σ i σ respektivno u sistemu u kome ravni miruju. Ako se ravni kre u brzinom v = v e x, na i elektri no i magnetno polje izmežu ravni u laboratorijskom referentnom sistemu. b) Pokazati kako se veli ina µ F µν transformi²e pri Lorencovim transformacijama. Izra unati tu veli inu za ν = i izraziti preko elemenata vektorske analize. 1

2 Pismeni ispit, 15. septembar U xy ravni nalazi se elipsa x a α naelektrisanja λ(x) = a 4 +(b a )x + y b = 1 naelektrisana linijskom gustinom, gde je α konstanta. Na i zapreminsku gustinu naelektrisanja u Dekartovim koordinatama, ukupno naelektrisanje, dipolni i kvadrupolni moment ovog sistema. Za a = b odrediti potencijal na z-osi.. Kugla radijusa R sa centrom u koordinatnom po etku, naelektrisana je zapreminskom gustinom naelektrisanja ρ(r, θ, φ) = αr. Koriste i Maksvelov tenzor napona na i silu kojom donja polovina kugle z < 0 deluje na gornju z > a) Dve beskona ne paralelne ravni z = d i z = d naelektrisane su ravnomerno povr²inskim gustinama naelektrisanja σ i σ respektivno u sistemu u kome ravni miruju. Ako se ravni kre u brzinom v = v e x, na i elektri no i magnetno polje izmežu ravni u laboratorijskom referentnom sistemu. b) Pokazati da je veli ina E c B invarijantna na Lorencove transformacije. Pismeni ispit, 5. avgust Konusna povr² izvodnice l i polupre nika osnove R ravnomerno je naelektrisana povr²inskom gustinom naelektrisanja σ. Na i zapreminsku gustinu naelektrisanja, dipolni moment i komponente kvadrupolnog momenta konusa.. Ravan monohromatski elektromagnetni talas zadat je potencijalima φ = 0 i A = A0 cos ωt k r, gde je A 0 konstantni vektor i kalibracija je A = 0. Talas pada na povr²inu nepokretne kugle radijusa R i potpuno se apsorbuje. Talasna duºina je mala u poreženju sa dimenzijama kugle, tako da se iza kugle prostire oblast senke. Odrediti silu koja deluje na kuglu usrednjenu za vreme od jednog perioda. 3. Odrediti kako se veli ine g µν T µν i µ T µν transformi²u pri Lorencovim transformacijama. Ako je T µν = F µρ F ν ρ gµν F αβ F αβ, izra unati eksplicitno g µν T µν, kao i µ T µν, ako se radi o slobodnom elektromagnetnom polju.

3 Pismeni ispit, 7. jul Dva tanka diska radijusa R naelektrisane su povr²inskim gustinama naelektrisanja σ 1 = σ 0 (1 + cos φ i σ = σ 1, gde je σ 0 pozitivna konstanta. Centri diskova su na z osi; pozitivno naelektrisan disk leºi u xy ravni, a negativno naelektrisan disk je malo pomeren u pozitivnom smeru z ose. Odrediti zapreminsku gustinu naelektrisanja ovog sistema u funkciji veli ine d 0 = σ 0 l gde je l rastojanje izmežu diskova (l ne treba da guri²e u rezultatu). Koriste i se ovim rezultatom odrediti dipolni momenat sistema, kao i potencijal na z osi.. Kugla radijusa R naelektrisana je zapreminskom gustinom naelektrisanja ρ = ρ cos θ, gde je θ polarni ugao sfernog koordinatnog sistema, iji se koordinatni po etak poklapa sa centrom kugle. Odrediti potencijal i ja inu elektri nog polja u svakoj ta ki prostora. Koriste i Maksvelov tenzor napona, odredit zatim i silu kojom mežusobno interaguju dve polovine lopte, simetri no postavljene u odnosu na 0xy-ravan. 3. Relativisti ka estica naelektrisanja q i mase m se kre e u paralelnim homogenim poljima E = E e x i B = B e x. U trenutku t = 0 estica je bila u koordinatnom po etku i imala impuls p = (0, p oy, p oz ). Na i x, y, z i t u funkciji sopstvenog vremena. Pismeni ispit, 16. jun Dve kruºnice radijusa R naelektrisane su linijskim gustinama naelektrisanja λ 1 = λ 0 (1 + cos φ i λ = λ 1, gde je λ 0 pozitivna konstanta. Centri kruºnica su na z osi; pozitivno naelektrisana kruºnica leºi u xy ravni, a negativno naelektrisana kruºnica je pomerena za rastojanje l u pozitivnom smeru z ose. Odrediti zapreminsku gustinu naelektrisanja ovog sistema. Koriste i se ovim rezultatom odrediti potencijal i ja inu elektri nog polja na z osi.. Kugla radijusa R naelektrisana je konstantnom zapreminskom gustinom naelektrisanja ρ. Koriste i Maksvelov tenzor napona odrediti silu kojom interaguju dve polovine lopte. 3. a) ƒestica mase m i naelektrisanja q kre e se u prostoru gde postoje 3

4 konstantno elektri no i magnetno polje, E = E e x i B = B e y ; B = E. Ako je 4c u po etnom trenutku estica je mirovala u koordinatnom po etku, odrediti x, y, z i t u funkciji sopstvenog vremena. Kolika je energija estice u referentnom sistemu u kome postoji samo elektri no polje? b) Pokazati da je veli ina I = 1 F µ, F µ, invarijantna na Lorencove transformacije i izraziti je preko E i B. Pismeni ispit, 9. februar Kriva y = xe x je naelektrisana tako da joj je gustina naelektrisanja jednaka λ = q xe x (1 x ) 1+e x (1 x ). Na i zapreminsku gustinu naelektrisanja. Na i skalarni potencijal na z-osi koji stvara odse ak krive za x [ a, a]. Da li moºe ne²to da se zaklju i o potencijalu koji stvara cela kriva? Na i dipolni moment cele krive.. Kugla radijusa R sa centrom u koordinatnom po etku, naelektrisana je zapreminskom gustinom naelektrisanja ρ(r, θφ) = αr cos θ. Koriste i Maksvelov tenzor napona, na i silu kojom donja polovina kugle, z < 0, deluje na gornju, z > a) Dve beskona ne paralelne ravni z = d i z = d naelektrisane su povr²inskim gustinama naelektrisanja σ i σ respektivno u sistemu reference u kojem ravni miruju. Ako se ravni kre u brzinom v = v e x, na i elektri no i magnetno polje izmežu ravni u laboratorijskom sistemu reference. b) Pokazati da je veli ina E c B invarijantna na Lorencove transformacije. Pismeni ispit, 19. januar U xy ravni nalazi se elipsa x a + y b = 1, naelektrisana naelektrisanjem Q. Linijska gustina naelektrisanja elipse je λ(x) = α x α x a, gde je 4 +(b a )x α = α(q) konstanta koju treba odrediti. Na i raspodelu zapreminske gustine naelektrisanja ρ( r) u Dekartovim koordinatama. Koriste i se tim rezultatom na i potencijal elektri nog polja na z osi. 4

5 . Beskona ni metalni valjak radijusa R sme²ten je u dielektri nu sredinu dielektri ne propustljivosti epsilon 1 za y < 0, a ɛ za y > 0. Osa valjka poklapa se sa z-osom, a naelektrisanje jedinice duºine valjka je λ. Na i silu kojom sredina deluje na jedinicu duºine valjka. 3. a) Relativisti ka estica mase m i naelektrisanja q kre e se u paralelnim poljima E = E e y i B = B ey. u Po etnom trenutku estica je imala impuls p 0 = (p ox, p oy, p oz ) i nalazila se u koordinatnom po etku. Odrediti x, y, z, t u funkciji sopstvenog vremena. b) Izraziti komponente tenzora F = 1 ɛµ ρσ F ρσ preko elektri nog i magnetnog polja. Kolokvijum, 1. decembar U xy ravni leºi kvadrat stranice a tako da mu je jedno teme u koordinatnom po etku, a dve stranice leºe duº pozitivnih pravaca x i y osa. Kvadrat je ravnomerno naelektrisan povr²inskom gustinom naelektrisanja σ. Odrediti zapreminsku gustinu naelektrisanja ovog sistema, ukupno naelektrisanje, dipolni moment, komponente tenzora kvadrupolnog momenta, kao i potencijal i elektri no polje na velikim rastojanjima od ovog sistema.. Beskona ni cilindar polupre nika R, naelektrisan zapreminskom gustinom naelektrisanja ρ = arc 3, rotira oko svoje ose konstantnom ugaonom brzinom ω i istovremeno se kre e du²voje ose konstantnom brzinom v. Na i vektorski potencijal i magnentno polje u celom prostoru. 5