Mehanika. kinematika. * Obaveštenje : računske vežbe odložene

Transcript

1 Mehanika kinematika * Obaveštenje : računske vežbe odložene 7., 8. i 9. Octobar 2015

2 Osnovni zadatak fizike (ϕνσιξ - priroda) je izučavanje osnovnih svojstava prirode, a jedno od tih svojstava je materijalnost. Materija se definiše kao supstancija od koje su sačinjeni fizički objekti. Materijom se smatra sve ono što se čulima može osetiti i poseduje fizičke osobine. Materija se može definisati kao istovremena manifestacija mase i energije u vremenu i prostoru. Materija uvek postoji u prostoru i nalazi se u procesu neprekidnog kretanja i promena. Jedan od najstarijih zakona fizike, formulisan u staroj Grčkoj: Zakon održanja materije koji glasi: Materija se ne može unuštiti, niti iz ničega stvoriti, ona može samo da se menja i da prelazi iz jednog oblika u drugi. Kako je materija neraskidivo vezana sa kretanjem to će naš prvi zadatak biti da se pozabavimo ovom pojavom.

3 Kretanje Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u "u stanju kretanja. Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način tera krv da struji kroz krvne sudove. Proučavanje i razumevanje kretanja je interesantno, često iz potpuno praktičnih razloga. Možemo da se zapitamo gde će teniska loptica pasti ako se udari pod odredjenim uglom u odnosu na horizontalu i nekom početnom brzinom. Osim praktičnih, postoje i drugi razlozi zbog kojih se, pre nego što se krene u druge oblasti fizike, mora posvetiti odredjena pažnja upravo kretanju tela. Određeni pojmovi, koji se uvode kada se proučava kretanje, npr. ubrzanje, su osnova za kasnije uvodjenje drugih veličina, recimo sile.

4 Mehaničko kretanje je promena uzajamnog položaja tela ili njihovih delova tokom vremena. Kretanje se može podeliti na: niže oblike kretanja- mehanička kretanja i kretanja u fizičkim poljima, koja spadaju u više oblike nižeg kretanja - Mehanika više oblike kretanja- kretanja žive materije. Mehanika se deli na klasičnu mehaniku (Galileja i NJutna) - proučavaju se zakoni kretanja makroskopskih tela koja se kreću brzinama koje su male u poređenju sa brzinom svetlosti u vakuumu, v << c m/s, kvantnu mehaniku - zakoni kretanja makroskopskih tela koja se kreću brzinama koje su reda veličine c zasnovani na specijalnoj teoriji relativnosti (Ajnštajnova mehanika), v c. (Za opisivanje kretanja mikroskopskih tela kao što su pojedinačni atomi i elementarne čestice zakoni klasične mehanike su neprimenljivi).

5 Klasična mehanika proučava mehaničko kretanje uključujući i uzroke (sile) koje do njega dovode, i deli se na: kinematiku; dinamiku i statiku. Kinematika proučava kretanje tela ne razmatrajući uzroke koji to kretanje izazivaju. Dinamika proučava zakone kretanje tela i uzroke koje to kretanje izazivaju ili menjaju, a to znači da proučava dejstva sila na tela. Statika proučava zakone ravnoteže tela kada na njih deluje nekoliko sila. Ako su zakoni kretanja poznati moguće je utvrditi zakone ravnoteže - upravo zato fizika zakone statike ne razmatra odvojeno od zakona dinamike i svojsva tela.

6 Mehanika: proučava mehaničko kretanje uključujući i uzroke (sile) koje do njega dovode Cilj mehanike: Doći do dinamičkih jednačina, čijim se rešenjem mogu dobiti zakoni kretanja položaj, brzina i ubrzanje u svakom trenutku. Sile se smatraju poznatim Metode rešavanja dinamičkih jednačina: Analitičke Numeričke-uz pomoć aproksimativnih programa Delovi: Mehanika materijalne tačke Mehanika krutog tela Mehanika deformabilnog tela-(elastično i plastično telo) Mehanika Fluida Biomehanika = Mehanika živih sistema Kosti kruto telo Tkivo = deformabilno telo Krv = Fluid

7 FIZIČKI SISTEM Svako istraživanje u fizici je fokusirano na samo neki izdvojeni deo realnosti, koji se naziva fizički sistem. Fizički sistem je skup uzajamno povezanih fizičkih objekata (komponenata sistema), koji interaguju međusobno. Ako komponente fizičkog sistema interaguju sa okolinom kažemo da je to otvoren sistem ako ne interaguju sa okolinom kažemo da je to izolovan ili zatvoren sistem. Fizički sistemi pripadaju kako neživoj, tako i živoj prirodi. U biološkim sistemima susrećemo se sa nizom fizičkih procesa i fizičkih svojstava.

8 FIZIČKE VELIČINE Fizički sistem se karakteriše nizom fizičkih svojstava, kojima se pripisuju fizičke veličine, sa ciljem da se ta svojstva kvantifikuju. Svakom fizičkom svojstvu sistema se pripisuje određena fizička veličina, za koju se određuje jedinica mere i postupak njenog merenja. Pored fizičkih, postoje i nefizička svojstva fizičkih sistema, poput mirisa i ukusa, koja se ne mogu kvantifikovati (ne postoji jedinica mere mirisa, ukusa). Za razliku od matematičke veličine, koja je određena brojnom vrednošću, zapis vrednosti fizičke veličine sadrži brojnu vrednost, jedinicu mere i fizičku dimenziju. Primer: v = 7 m/s : 7 = brojna vrednost, m/s = jedinica mere, L/T (dužina kroz vreme) = fizička dimenzija

9 Fizički eksperiment Ispitivanje fizičkog sistema i pojava koje se odvijaju u njemu ima više faza: 1. Posmatranje pojave Formalno sagledavanje prirode pojave, cilj: identifikovanje fizičke veličina koje su relevantne za tu pojavu. Kretanje tela: pojava promene položaja tokom vremena; relevantne fizičke veličine su pređeni put i vreme. 2. Eksperimentalno ispitivanje pojave Eksperimentalna merenja fizičke veličina koje su relevantne za ispitivani fenomena, cilj: empirijski zakoni, tj. uspostavljanje veza između merenih fizičkih veličina, do kojih se dolazi analizom rezultata merenja v = s/t P=aT, V=const. (Šarlov zakon), V=bT, P=const. (Gej-Lisakov zakon) Eksperiment = merenje = interakcija merne sonde mernog uređaja i sistema Primer: Termometar merna sonda: rezervoar sa živom Naučni eksperiment = ponovljiv eksperiment.

10 Modelovanje fizičkih sistema Pod modelom u fizici podrazumevamo uprošćenu verziju nekog f izičkog sistema, koji bi bio komplikovan za analizu kada bi smo ga uzimali sa svim njegovim karakteristikama. Dva postupka modelovanja: Modelovanje fizičkog sistema => model fizičkog sistema Modelovanje (Modelovana simulacija) fizičkog procesa Modelovanje fizičkog sistema = razdvajanje bitnih od nebitnih svojstava sistema, koje je određeno unapred definisanim ciljem istraživanja, a ne svojstvima sistema kao takvog. Podela fizičkih svojstva na bitna i nebitna nije uslovljena samo osobinama fizičkog sistema, nego ciljem istraživanja. Kotrljanje lopte po stolu: boja lopte nebitno fizičko svojstvo Apsorpcija svetlosti na lopti: boja lopte bitno svojstvo Najjednostavniji fizički model = model kod kog se kao bitno izdvaja samo jedno svojstvo fizičkog sistema (Zemlja kao materijalna tačka - masa).

11 Referentni sistem, prostor stanja, materijalna tačka Ispitivanju svakog fizičkog sistema prethodi sagledavanje i određenje njegovog položaja u prostoru. Ne postoji apsolutni položaj, nego samo položaj u odnosu na neko unapred odabrano telo referentno telo. Položaj svakog fizičkog objekta se određuje relativno, tj. u odnosu na unapred izabrano referentno telo, za koji se vezuje koordinatni sistem. Referentni sistem je fizički pojam Koordinatni sistem je matematički pojam Dimenzije referentnog tela (širina, dužina, visina) moraju biti mnogo manje od rastojanja, koja se u odnosu na njega mere, tako da se ono može smatrati tačkom, koja se nalazi u koordinatnom početku referentnog sistema. Mesec, Zemlja! Avion, Zemlja! Za nas dimenzije tela = dimenzije ref. tela => telo = materijalna tačka Materijalna tačka je fizički pojam za geometrijski pojam tačka, kojem smo pridružili jedno od svojstava materijalnih tijela masu. Model materijalne tačke: zanemarujemo dimenzije datog tela i smatramo da ono ima samo masu. Dakle zadržavamo svojstvo inertnosti - okarakterisano masom sistema m

12 SLAGANJE BRZINA Sistem vezan za biciklistu koji rel.miruje Sistem vezan za voz Brzina voza u odnosu na biciklistu Položaj putnika u odnosu na oba referentna sistema Brzina voza u odnosu na biciklistu Brzina putnika u odnosu na biciklistu drp / dt A = drp / dt B + drb / dt A Brzina putnika u vozu

13 Inercijalni referentni sistem Ne postoji apsolutno mirovanje, tj. sva tela u Univerzumu se kreću jedna u odnosu na druga. Znači,... Svaki referentni sistem je vezan za referentno telo koje se kreće. Po načinu na koji se kreću, tela se mogu podeliti u dve osnovne grupe: Izolovana - slobodna tela Svako telo se kreće ravnomerno pravolinijski, ne menjajući ni brzinu, niti pravac kretanja. Na slobodno telo ne deluje ništa. Neizolovana tela. Delovanje drugih tela odražava se pre na način njegovog kretanja: Promena brzine Promena pravca kretanja. Inercijalni referentni sistem je vezan za (referentno) telo koje se kreće ravnomerno, ne menjajući brzinu i pravac kretanja. Svi inercijalni sistemi su ekvivalentni, tj. odvijanje fizičkih procesa ne zavise od izbora inercijalnog sistema. Neinercijalni referentni sistem je vezan za (referentno) telo koje se kreće neravnomerno menjajući brzinu i pravac kretanja. Svaki sistem koji je vezan za referentno telo koje se kreće neravnomerno ili krivolinijski je neinercijalan. Voz koji ubrzava, platforma koje se obrće --.

14 Prostor mehaničkih stanja Sve što se dešava, pa i svaki fizički proces, dešava se negde u prostoru i nekad u vremenu. Ispitivanje svakog fizičkog procesa (fenomena) započinje, pitanjima Gde u prostoru? i Kada u vremenu? Gde u prostoru - mereno u referentnom sistemu u odnosu na referentno telo, koje se nalazi u koordinatnom početku sistema. Kada u vremenu - mereno od datog početnog trenutka, jer vreme se meri u odnosu na neki unapred izabrani referentni trenutak - početni trenutak. Fizika se ne bavi fizičkim sistemima čija su svojstva nepromenljiva, sa kojima se ništa ne dešava. Fizika se bavi fenomenima, tj. procesima u kojima se dešavaju promene fizičkih svojstava i stanja fizičkih sistema. Najjednostavni fizički proces je mehaničko kretanje. To je proces tokom kog se menja mehaničko stanje sistema. Mehaničko stanje tela je u svakom trenutku vremena određeno vrednostima koordinata njegovog položaja u tom trenutku. Proces mehaničkog kretanja tela je svaki proces promene njegovog položaja, nezavisno od uzroka koji su do toga doveli.

15 Vreme i prostor u nerelativističkoj fizici: Prostor i vreme su nezavisni - nijedna osobina prostora ne zavisi od osobina vremena i obrnuto. Prostor i vreme su apsolutni - ne zavise od fizičkih svojstava objekata koji se u njima nalaze. Geometrija prostora je euklidska - uprošćeno rečeno, najkraće rastojanje između dve tačke u prostoru je prava linija. Vreme i prostor u relativističkoj fizici: Prostor i vreme nisu nezavisni - nerazdvojni su i čine tzv. prostorno-vremenski kontinuum. Prostor i vreme nisu apsolutni - zavise od fizičkih svojstava objekata, koji se u njima nalaze. Geometrija prostora nije euklidska - najkraće rastojanje između dve tačke u prostoru nije prava linija.

16 Određivanje položaja tela pomoću različitih koordinatnih sistema Y A(x,y) X Da bi se odredio položaj tela u ravni, najčešće se koristi Dekartov pravougli sistem sa dve promenljive A(x,y). Vektor položaja Dekartovom koordinatnom sistemu Da bi se odredio položaj tela u prostoru, možemo koristiti Dekartov pravougli koordinatni sistem sa tri promenljive A(x,y,z).

17 Koordinatni sistemi koji se koriste u okviru opšteg kursa fizike Z A Dekartov trodimenzionalni koordinatni sistem. Promenljive koje određuju položaj tačke u ovom koord. sistemu su: X,Y,Z. Cilindrični koordinatni sistem. Promenljive koje određuju položaj A((ρ, ϕ, z)

18 Položaj tela u prostoru možemo odrediti i korišćenjem Sferni koordinatni sistem (r, θ, ϕ) z r ϑ y Cilindrični koordinatni sistem u ravni (ρ, ϕ, z) ϕ x ϕ ρ

19

20 KINEMATIKA MATERIJALNE TAČKE Odredjivanje položaja materijalne tačke. Svojstva prostora i vremena Cilj izučavanja mehanike je: a) utvrđivanje uslova i uzroka koji dovode do promene stanja mehaničkog kretanja ili mirovanja b) da na osnovu poznatih uzroka, osobina materijalnih objekata i početnih uslova utvrdi opštu teorijsku metodologiju kojom će se uspešno opisati kretanje. Pod terminom opisivanja kretanja podrazumevamo određivanje: - trajektorije materijalnog objekta; - položaja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja; - pravca i smera kretanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja; - brzine i ubrzanja materijalnog objekta u svakom trenutku kretanja. Pod trajektorijom podrazumevamo geometrijsko mesto tačaka u prostoru kroz koje materijalni objekat sukcesivno prolazi u procesu kretanja. Za određivanje položaja materijalnog objekta potrebno je odrediti tri nezavisna parametra: trajektorija, orijentacija trajektorije i referentna tačka. Prilikom izbora parametara vodimo računa da se posmatrano kretanje opiše što jednostavnije.

21 Iz svakodnevnog iskustva imamo predstavu o kretanju, kao o neprekidnoj promeni u položaju nekog tela. Sva kretanja u fizici, možemo da kategorišemo u tri tipa kretanja: translatorno, rotaciono i vibraciono (oscilatorno). Automobil koji se kreće auto putem je primer translatornog kretanja, Zemljina rotacija oko sopstvene ose je primer rotacionog kretanja, a kretanje klatna vibracionog.

22 Odredjivanje položaja materijalne tačke Opisivanje kretanja prema načinu izbora parametara kretanja može biti: a) prirodno, b) vektorsko i c) koordinantno. a) Prirodni način opisivanja kretanja Bg Ni Parametre koja treba odrediti : trajektorija, orijentacija trajektorije ( --> + ) referentna tačka na trajektoriji (tačka O) položaj materijalne tačke u odnosu na referentnu tačku-lučnu kordinatu Kako se položaj materijalne tačke menja u vremenu to je i njena lučna koordinata funkcija vremena s = s(t), što predstavlja osnovnu kinematsku jednačinu kretanja pri prirodnom opisivanju kretanja.!!! Lučnu koordinatu ne treba poistovećivati sa pređenim putem materijalne tačke u toku kretanja S=AB.

23 Odredjivanje položaja materijalne tačke b) Vektorski način određivanja kretanja tačke Parametra koja treba odrediti : intezitet vektora položaja, pravac vektora položaja i smer vektora položaja. u prostoru izaberemo referentnu tačku i nazovemo je pol (tačka O). Položaj materijalne tačke M određen je vektorom s početkom u polu O i krajem u tački na trajektoriji gde se nalazi materijalna tačka-tačka M. Vektor položaja materijalne tačke. r Vektor položaja menja tokom vremena r = r( t) osnovna kinematska jednačina pri vektorskom opisivanju kretanja Trajektorija materijalne tačke -hodograf vektora položaja.(geometrijsko mesto tačaka kroz koje prolazi vrh toga vektora s fiksnim početkom).

24 Opisivanje kretanja prema načinu izbora parametara kretanja može biti: c) koordinantno. U Dekartovom sistemu koordinata položaj tačke A u datom momentu vremena u odnosu na taj sistem karakteriše se sa tri koordinate x, y, i z vektorom položaja r povučenim iz početka koordinatnog sistema do date tačke A Pri kretanju materijalne tačke njene koordinate se tokom vremena menjaju. U opštem slučaju njeno kretanje se određuje skalarnim jednačinama: (1.1) Koje su ekvivalentne vektorskoj jednačini Jednačina (1.1) i (1.2) predstavljaju kinematičke jadnačine kretanja materijalne tačke. r = xe + ye + z e r t A x y z (Još jednom napominjemo: obzirom da se sva tela kreću možemo govoriti samo o relativnom kretanju ili relativnom mirovanju. I pojam vremena je takođe relativan.) Broj nezavisnih koordinata koji potpuno određuju položaj tačke u prostoru naziva se stepen slobode. ( )

25 PUTANJA I BRZINA MATERIJALNE TAČKE Trajektorija materijalnog objekta pri procesu kretanja. Kriva A, A1, A2,... predstavlja putanju materijalne tačke geometrijsko mesto uzastopnih položaja. vektor položaja r= xi+ yj+ zk r t ( ) x(t) y(t) z(t) 3 skalarne jednačine su konačne jednačine kretanja r = x + y + z Jedinični vektori ex, ey, ez i, j, k e = e = e = 1 x y z Pitanje br. 1

26 Kretanje u dve ili tri dimenzije Primer kako se vektor položaja razlaže kada ga posmatramo u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom koordinatnom sistemu. z A z r A Axyz (,, ) r () t = x () t i + y () t j M M M r A ( t ) = x x A e z e x x A ( t ) e x e y + y A ( t y A ) e y + z A y ( t ) e z

27 pauza

28 Kinematika

29 Osnovni pojmovi kinematike m

30 Osnovni pojmovi kinematike model materijalne tačke model apsolutno krutog tela

31 Kinematika translatornog kretanja

32 Vrste kretanja. Brzina. [ v] = m s v sr O x1 x 2 - x 1 x 2 v sr x v sr = x t x t

33 Trenutna brzina [km/h], [cm/s] milja na čas [mph],

34 Pomeraj i pređeni put nisu iste veličine Devojka je u vagonu, za 20s, načinila pomeraj je -10 m, a pređeni put je veći (ukupna dužina plave linije) u sistemu reference vezanom za vagon ako ga određujemo u odnosu na sistem reference vezan za prugu moramo da uračunamo i kretanje voza! s 3 s 1 s2 s s 1 3 s Putnik u vozu koji je napravio pomeraj x=-10 m za 20 sekundi. pređeni put s = x a + x b + x c + x d =16m 34 v sr x 10m = = = 0,5 m/ s t 20s

35 Srednja brzina v sr trenutna brzina v srednja brzina ne daje informaciju o tome šta se dešavalo imeđu x 1 i x 2. delimo ukupni pomeraj x tot, na delove x a, x b, što su manji delovi dobija se potpunija slika o kretanju kada se smanje jako puno i napravi odnos sa odgovarajućim vremenskim intervalom dobija se trenutna brzina v 35 v a xa xb =, vb =... t t a b v sr v t 0

36 Pravac i smer trenutne brzine: ( ) 2 2 2, cos z y x x v v i v x + + = = ( ) 2 2 2, cos z y x y v v j v y + + = = ( ) 2 2 2, cos z y x z v v k v z + + = = Vektor brzine ima tri komponente duž osa x, y, z: v x, v y, v z k dt dz j dt dy i dt dx dt dr v + + = = k v j v i v zk yj xi v z y x + + = + + = z y x v + + = Pravac brzine u odnosu na ose: Putanja tela Dakle, važan zaključak: U svakoj tački putanje tela, vektor trenutne brzine ima pravac tangente u datoj tački putanje. Intenzitet vektora brzine

37 Ubrzanje * Čita se: drugi izvod vektora pomeraja po vremenu. m s [ a] = 2 v = v v 2 1

38 Ubrzanje

39

40 Trenutno ubrzanje dr dx dy dz v = = i + j + k dt dt dt dt d a= ( vi ) x + vy j+ vk z dt dv dv x y dv z a = i + j + k dt dt dt a= ai x + ay j+ ak z a = a + a + a x y z Intenzitet vektora ubrzanja a a a x y z a = = i = dt dt dt = j = dt dt dt = k = dt dt dt 2 d dx d x 2 d dy d y 2 d dz d z dv dt = v = r Trenutno ubrzanje

41 Da bi našli trenutno Ubrzanje u... a P1... tražimo limes od Kada P 2 teži P 1... a sr Trenutno ubrzanje Trenutno ubrzanje tela se dobija kao limes srednjeg ubrzanja kada Δt teži nuli....smatrajući da v 0, t 0 Trenutno ubrzanje tačke orijentisano prema udubljenoj strani putanje

42 Za definisanje kretanja potrebno je poznavati neku od sledećih zavisnosti: Koriste se relacije: Prema obliku putanje kretanja materijalne tačke se dele na: pravolinijska krivolinijska Prema brzini i ubrzanju kretanja materijalne tačke se dele na: ravnomerna jednako ubrzana n e djednako ubrzana

43 Jednodimenzionalno (pravolinijsko) kretanje ravnomerno kretanje

44 Pravolinijsko kretanje ravnomerno kretanje Koeficijent nagiba zavisi od brzine.

45 a=const

46 Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje v = v 0 + a sr t v = 2 v0 + at = 70m / s + ( 1,5m / s )(40s) = 10m / s 46

47

48

49

50

51

52

53

54 Sabiranje brzina Reka nosi tela nizvodno,ili vetar nosi avion u smeru duvanja v t - brzina tela u odnosu na sredinu v s - brzina sredine v ukupna brzina tela je zbir ove dve brzine. v v t + v s 2 2 = v = v t + v s tanθ = v v t s 54

55 14. i 16. Octobar 2015 Kinematika rotacionog kretanja

56

57 a a τ n a τ tangencijalno ubrzanje a n normalno ubrzanje

58 τ a a = τ + a n a1 τ, a n, a, τ

59 Kinematika rotacionog kretanja (kružno kretanje) Rotaciono kretanje je kretanje prilikom koga se sve tačke tela kreću po kružnim putanjama čiji centri leže na osi rotacije. ukoliko je brzina tela konstantna, (linijska brzina konstantna, v=const), kretanje je uniformno kružno kretanje tačke koje rotiraju imaju različite (linijske = periferijske) brzine v jer se nalaze na različitoj udaljenosti od ose rotacije dalje se kreću brže. Osa rotacije O Ugao rotacije - θ, se pri ovakvom kretanju koristi da opiše pomeranje tela za dati interval vremena. 59

60 2 1

61 ako se izvrši rotacija za pun ugao, posmatrana tačka je prešla put jednak obimu kružnice 2 πr 2π r θ = = r ( θ = φ) 2π definicija radijana 2 π rad = 1 pun obrtaj = rad = = 57,3 2π 0 61 Svaka tačka na radijus vektoru će, za isti interval vremena t, preći isti ugao φ, ima smisla definisati novu veličinu koja reprezentuje brzinu rotacuje tela ω.

62 [ω] =rad/s radijan u sekundi

63 (linijske)

64 [α] =rad/s 2 radijana u s 2

65 φ - ugaoni pomeraj n- broj obrtaja φ = 2π n v r 0 broj obrtaja u 1s = 1Hz ν je grčko slovo ni

66 =a cp r 0 r 0

67

68 Dodatni materijal/kinematika.pdf

69 Intenzitet centripetalnog ubrzanja Koliko je centripetalno ubrzanje automobila ako je poluprečnik kružnog toka 500 metara, a brzina automobila 25 m/s? Uporediti ovo ubrzanje sa ubrzanjem Zemljine teže. a c = v 2 /r=1,25 m/s 2 a c / g = 1,25/9,80=0,128 automobil u kružnom toku 69

70 Intenzitet centripetalnog ubrzanja Čestica se nalazi na 7,50 cm od ose rotacije ultracentrifuge koja pravi obrtaja u minuti. Odrediti odnos centripetalnog ubrzanja i gravitacionog. r= 7,50 cm ω= obr /min obr 2π rad 1min rad ω = = 7854 min obr 60s s a c = rω =(0,0750m)(7854rad/s) 2 =4, m/s 2 a c / g = 4, gravitacionog ubrzanja ultracentrifuga 70

71