3 Dinamika Sila Njutnovi zakoni... 38

Sadržaj 1 Fizika i merenja 11 1.1 Standardi dužine, mase i vremena..... 11 1.2 Strukturamaterija... 14 1.3 Gustina... 15 1.4 Dimenzionaanaliza... 16 1.5 Procena reda veličine... 17 1.6 Značajne cifre. Zaokruživanje... 18 1.7 Zadaci... 19 2 Kinematika 21 2.1 Kinematika jednodimenzionalnog kretanja..... 21 2.1.1 Putanja,putipomeraj... 22 2.1.2 Vektoriiskalari... 23 2.2 Vremeibrzina... 23 2.2.1 Ubrzanje... 24 2.2.2 Pravolinijsko kretanje sa konstantnim ubrzanjem... 25 2.2.3 Slobodnipadtelaugravitacionompolju... 26 2.3 Kinematika kretanja u dve dimenzije.... 27 2.3.1 Kosihitac... 28 2.3.2 Sabiranjebrzina... 30 2.3.3 Relativne brzine i klasičnarelativnost... 31 2.4 Kinematika rotacionog kretanja... 31 2.4.1 Ugao rotacije i ugaona brzina.... 32 2.4.2 Centripetalnoubrzanje... 33 2.5 Zadaci... 35 3 Dinamika 37 3.1 Sila... 37 3.2 Njutnovi zakoni.... 38 1

2 SADRŽAJ 3.2.1 Prvi Njutnov zakon. Masa.... 38 3.2.2 Drugi Njutnov zakon. Pojam sistema.......... 39 3.2.3 Treći Njutnov zakon. Simetrija.............. 40 3.3 Težina,silatrenja,silazatezanja... 41 3.3.1 Težinaigravitacionasila... 41 3.3.2 Trenje... 42 3.3.3 Silazatezanja... 45 3.4 Osnovnesileuprirodiinjihovoujedinjavanje... 46 3.4.1 Delovanjenadaljinu.Konceptpolja... 47 3.5 Statika... 48 3.5.1 Uslovi ravnoteže... 48 3.5.2 Centar masa. Težište... 50 3.5.3 Ravnoteža... 51 3.5.4 Jednostavne mašine... 52 3.6 Zadaci... 53 4 Rad, energija, snaga 55 4.1 Rad... 55 4.2 Kinetičkaenergija... 56 4.3 Potencijalnaenergija... 58 4.3.1 Konzervativne sile i potencijalna energija....... 60 4.3.2 Nekonzervativne sile, otvoreni sistemi......... 60 4.4 Zakon održanjaenergije... 62 4.5 Snaga... 62 4.5.1 Rad, energija i snaga ljudi. Efikasnost......... 63 4.6 Impuls... 65 4.6.1 Impuls i Drugi Njutnov zakon.............. 65 4.6.2 Zakon održanjaimpulsa... 66 4.7 Zadaci... 67 5 Gravitacija 69 5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije............. 69 5.1.1 Zavisnost ubrzanja Zemljine težeodvisine....... 71 5.1.2 Plimaioseka... 71 5.2 Keplerovizakoni... 72 5.3 Bestežinsko stanje i uticaj na biosisteme............ 74 5.4 Sile kod krivolinijskog kretanja..... 75 5.5 Kosmičkebrzine... 76 5.5.1 Prva kosmičkabrzina... 77 5.5.2 Druga kosmičkabrzina... 77

SADRŽAJ 3 5.5.3 Ostale kosmičke brzine... 78 5.6 Zadaci... 78 6 Elementi mehanike fluida 79 6.1 Statikafluida... 80 6.1.1 Gustinaipritisakfluida... 80 6.1.2 Promena pritiska sa dubinom fluida.... 81 6.1.3 Paskalovprincip... 82 6.1.4 Kalibracija, apsolutni pritisak i merenje pritiska... 83 6.1.5 Arhimedovprincip,silapotiska... 85 6.1.6 Kohezija i adhezija u tečnostima. Površinski napon.. 87 6.1.7 Adhezijaikapilarnepojave... 89 6.1.8 Pritisci u ljudskom telu i njihovo merenje..... 91 6.2 Dinamikafluida... 92 6.2.1 Vezaprotokaibrzinestrujanja... 93 6.2.2 Jednačinakontinuiteta... 93 6.2.3 Bernulijeva jednačina... 94 6.2.4 Bernulijevprincipinjegoveprimene... 95 6.2.5 Viskoznost i laminarno strujanje. Poazejev zakon... 97 6.2.6 Kriterijum za odred ivanje karaktera strujanja fluida. 100 6.2.7 Kretanje tela kroz viskozan fluid...... 100 6.2.8 Molekularni transportni procesi. Difuzija i osmoza.. 101 6.3 Zadaci...104 7 Termofizika 105 7.1 Temperatura...105 7.1.1 Temperaturneskale...106 7.1.2 Toplotna ravnoteža i Nulti zakon termodinamike... 106 7.2 Toplotno širenje čvrstih tela i tečnosti...107 7.3 Gasnizakoni...108 7.3.1 Avogadrov zakon...109 7.4 Kinetičkateorija...110 7.4.1 Molekularno objašnjenje pritiska i temperature.... 110 7.4.2 Maksvelovaraspodelamolekulapobrzinama...112 7.5 Faznetransformacijeifaznidijagrami...113 7.5.1 Ravnotežafaza...115 7.5.2 Pritisak pare, parcijalni pritisak, Daltonov zakon... 116 7.6 Vlažnost, isparavanje i ključanje... 116 7.7 Toplota...118 7.8 Promena temperature i specifična toplota...119

4 SADRŽAJ 7.9 Faznetransformacijeilatentnatoplota...120 7.10 Prenošenjetoplote...122 7.10.1 Provod enje...122 7.10.2 Konvekcija...123 7.10.3 Zračenje...124 7.10.4 Efekat staklene bašte...126 7.11Elementitermodinamike...127 7.11.1 Prvizakontermodinamike...128 7.11.2 Metabolizam ljudskog organizma i Prvi zakon termodinamike...129 7.11.3 Prvi zakon termodinamike i neki jednostavni procesi. 130 7.11.4 Drugi zakon termodinamike. Toplotne mašine i njihovaefikasnost...133 7.11.5 Karnoova idealna toplotna mašina........... 134 7.11.6 Toplotne pumpe i frižideri...135 7.11.7 Entropija i Drugi zakon termodinamike. Neured enost sistemaiupotrebljivostenergije...136 7.11.8 Statistička interpretacija entropije i Drugi zakon termodinamike...139 7.12Zadaci...142 8 Oscilacije 145 8.1 Hukovzakon...145 8.2 Period i frekvencija oscilacija......146 8.3 Prosto harmonijsko kretanje...146 8.4 Prostoklatno...148 8.5 Energijaprostogharmonijskogoscilatora...149 8.6 Veza sa uniformnim kretanjem po kružnici........... 150 8.7 Prigušeno harmonijsko kretanje.....151 8.8 Prinudno oscilovanje, rezonancija.... 151 8.9 Zadaci...153 9 Talasi 155 9.1 Opisivanje talasnog kretanja. Transverzalni i longitudinalni talasi....155 9.2 Superpozicija i interferencija...156 9.2.1 Stojećitalasi...157 9.2.2 Izbijanja...159 9.3 Energijatalasa.Intenzitet...160 9.4 Akustika...161

SADRŽAJ 5 9.4.1 Zvuk...161 9.4.2 Brzina zvuka, frekvencija i talasna dužina... 162 9.4.3 Intenzitetinivozvuka...163 9.4.4 Doplerovefekatiudarnitalasi...164 9.4.5 Intereferencija i rezonanca zvučnih talasa. Stojeći talasi u vazdušnimstubovima...167 9.4.6 Spektar...170 9.4.7 Čulogovora...171 9.4.8 Čulosluha...172 9.4.9 Ultrazvuk...173 9.5 Zadaci...176 10 Električne pojave 177 10.1Elektrostatika...177 10.1.1 Naelektrisanja,elektroniiprotoni...178 10.1.2 Razdvajanjenaelektrisanja...178 10.1.3 Provodnici i izolatori. Načini naelektrisanja tela... 179 10.1.4 Kulonovzakon...181 10.1.5 Električno polje. Linije električnogpolja...181 10.1.6 Provodnici i električno polje u stanju statičke ravnoteže183 10.1.7 Primene elektrostatičkih pojava za prečišćavanje dima i vazduha...185 10.1.8 Električnipotencijalienergija...186 10.1.9 Kondenzatori...188 10.2 Električnastruja...192 10.2.1 Jačina električnestruje...192 10.2.2 Omovzakonzaprostakola...194 10.2.3 Otpornostinjenatemperaturnazavisnost...196 10.2.4 Električnasnagaienergija...197 10.2.5 Naizmeničnastruja...198 10.2.6 Opasnostodstruje...200 10.2.7 Nervni impulsi.... 202 10.3Zadaci...204 11 Magnetne pojave 207 11.1Magneti...207 11.1.1 Feromagneti i elektromagneti. Elementarne struje.. 208 11.1.2 Linije magnetnog polja. Vektor magnetne indukcije.. 210 11.1.3 Vektor magnetne indukcije i sila kojom magnetno polje deluje na naelektrisanje u kretanju..... 210

6 SADRŽAJ 11.1.4 Lorencovasila:primeriiprimene...211 11.1.5 Delovanje magnetnog polja na provodnik kroz koji protičestruja...214 11.1.6 Magnetno polje strujnog provodnika.......... 215 11.1.7 Magnetna interakcija dva paralelna provodnika.... 215 11.1.8 Primenemagnetizma...216 11.1.9 Elektromagnetna indukcija...217 11.1.10Energijamagnetnogpolja...221 11.1.11 Oscilacije u električnimkolima...222 11.2Elektromagnetnitalasi...223 11.2.1 Maksvelove jednačine...223 11.2.2 Generisanjeelektromagnetnihtalasa...225 11.2.3 Spektar elektromagnetnih talasa............ 226 11.2.4 Energija elektromagnetnih talasa............ 231 11.3Zadaci...232 12 Optika 233 12.1Geometrijskaoptika...233 12.1.1 Zakoni geometrijske optike. Odbijanje i prelamanje.. 233 12.1.2 Totalna unutrašnjarefleksija...235 12.1.3 Disperzija svetlosti....236 12.1.4 Sočiva...238 12.1.5 Ogledala...242 12.1.6 Optičkimikroskop...244 12.1.7 Ljudsko oko.... 245 12.1.8 Boje i ljudsko oko.... 246 12.2Talasnaoptika...248 12.2.1 Hajgensovprincip.Difrakcija...248 12.2.2 Jangov eksperiment sa dva proreza........... 250 12.2.3 Difrakcija na više proreza i difrakcija na jednom prorezu252 12.2.4 Ograničenje uvećanja. Rejlijevkriterijum....... 254 12.3Zadaci...255 13 Fizičke pojave u mikrosvetu 257 13.1Kvantovanjeenergijeifotoni...257 13.1.1 Fotoelektričniefekat...258 13.1.2 Impulsfotona...260 13.1.3 Talasnaprirodamaterije...261 13.2Modeliatoma...262 13.2.1 Otkrićeatoma...262

SADRŽAJ 7 13.2.2 Otkrićeelektrona...264 13.2.3 Otkrićejezgra...266 13.2.4 Borovateorijaatomavodonika...268 13.2.5 Talasnaprirodamaterijeikvantovanje...271 13.3Radioaktivnostinuklearnafizika...272 13.3.1 Nuklearnaradioaktivnost...272 13.3.2 Substruktura jezgra..... 274 13.4Zadaci...275

Glava 1 Fizika i merenja Kao i druge nauke, fizika ima za osnovu rezultate eksperimenatalnih posmatranja i kvantitativnih merenja. Glavni cilj fizike je da nadje konančan broj fundamentalnih zakona kojima se mogu opisati prirodne pojave i koji se mogu iskoristiti za razvoj teorija koje mogu da predvide rezultate budućih eksperimenata. Fundamentalni zakoni koje koristimo u razvoju teorija se izražavaju jezikom matematike koja predstavlja svojevrstan most izmedju teorije i eksperimenta. Kada se pojavi razlika izmedju teorije i rezultata eksperimenata, to znači da treba formulisati novu teoriju koja će prevazići uočeni nesklad. 1 Klasičnom fizikom se nazivaju teorije, koncepti, zakoni i eksperimenti u klasičnoj mehanici, termodinamici i elektromagnetizmu razvijeni do 1900. godine. Važan doprinos klasičnoj fizici dao je Njutn razvivši klasičnu mehaniku kao sistematsku teoriju davši takodje značajan doprinos formulisanju i razvoju diferencijalnog računa u matematici. Snažan razvoj mehanike je nastavljen i u 18. veku dok polja termodinamike, elektriciteta i magnetizma nisu bile razvijene sve do drugog dela 19. veka, u najvećoj meri zbog nerazvijenosti odgovarajuće eksperimentalne tehnike. 1 Obično teorije važe samo odredjenim uslovima, opštije teorije važe bez ograničenja ili pak sa manjim ograničenjima. Na primer, zakoni dinamike koje je otkrio Isak Njutn (1642-1721) u 17. veku, veoma precizno opisuju kretanje relativno velikih tela, relativno malim brzinama. Drugim rečima ukoliko se ta teorija koristi za opisivanje relativno malih tela (veličine atoma) ili tela koja se kreću relativno brzo (brzinama bliskim brzini svetlosti), daće pogrešne rezultate. Ispostavilo se da postoje dve opštije teorije koje su generalnije od Njutnove. U slučaju kretanja tela brzinama bliskim brzinama svetlosti preciznija teorija je specijalna teorija relativnosti a procese unutar atoma opisujemo kvatnom mehanikom. Postoji i teorija koja objedinjuje ove dve pod nazivom kvantna teorija polja. 9

10 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA Nova era u fizici, poznata kao moderna fizika, počela je krajem 19. veka. Ona se razvila tako što se pojavio niz fizičkih fenomena koji nisu mogli biti objašnjeni klasičnom fizikom. Dva osnovna pravca u razvoju moderne fizike su Ajnštajnova teorija relativnosti i kvantna mehanika. Teorija relativnosti predstavlja revoluciju u shvatanju prostora, vremena i energije. Kvantnu mehaniku je razvilo više naučnika 2 Dalji razvoj fizike je doveo do poboljšanja razumevanja prirodnih fenomena i zakona kojima se oni pokoravaju. U mnogim oblastima istraživanja u fizici se došlo do velikih preklapanja sa drugim naukama: hemijom, biologijom, geologijom kao i tehnikom. 3 1.1 Standardi dužine, mase i vremena Zakoni fizike se zapisuju formulama u kojima figurišu osnovne fizičke veličine. Iz tog razloga se njihovom jasnom definisanju mora posvetit dužna pažnja. U mehanici postoje tri osnovne fizičke veličine: dužina (l), masa (m) i vreme (t). Sve ostale fizičke veličine koje se pojavljuju u mehanici se mogu izraziti pomoću njih. Ukoliko smo neku od ovih fizičkih veličina na neki način merili veoma je važno kako ćemo prikazati rezultate tih merenja. 4 Naime, u tom slučaju dolazimo do pojma standarda date fizičke veličine koji moraju biti definisani. 5 Kada se izabere standard on mora biti lako dostupan i da poseduje karak- 2 Značjan doprinos postavljanju osnova kvantne mehanike je, nakon što je Plank došao na ideju o postojanju kvanata svetlosti-fotona, dao Ajnštajn tumačenjem fenomena fotoefekta na osnovu interakcije elektrona sa fotonima. Za ovaj rezultat je dobio Nobelovu nagradu 1921. godine. 3 Neke od oblasti su: veliki broj kosmičkih letova i sletanje na Mesec, snažan razvoj u oblasti fizike čvrstog stanja i kvantne mehanike koji je doveo do velikog napretka u oblasti kompjuterske tehnike, sofisticirane dijagnostičke metode koje se primenjuju u naučnim istraživanjima i u medicini,... 4 Potrebu za merenjima i predstavljanjem njihovih rezultata najbolje ilustruje izjava: Kada možete da merite ono o čemu govorite, i izrazite to u brojevima, tada o tome nešto znate. A kada ne možete da ga izrazite u brojevima, vaše znanje je mršavo i nezadovoljavajuće. To može biti početak znanja, ali teško da ste napredovali do stanja nauke. - Lord Kelvin (1824-1907.). 5 Besmisleno je na primer, ako bi hipotetički posetilac sa neke druge planete, opisujući nam svoj svet rekao kako je njegova kuća visoka 8 nečega pri čemu mi ne znamo kakav je smisao tog nečega. Sa druge strane kada neko ko poznaje naš sistem merenja kaže da je zid visok 2 metra a naša jednica je 1 metar, tada mi znamo je visina zida dva puta veća od naše osnovne jedinice dužine. Slično, ako je masa neke osobe 75 kilograma a jedinica mase je 1 kilogram, to znači da je osoba 75 puta masivnija od naše osnovne jedinice mase.

1.1. STANDARDI DUŽINE, MASE I VREMENA 11 teristike koje mogu pouzdano da se mere tako da merenja koja različiti ljudi vrše na različitim mestima mora da daju isti rezultat. 6 Medjunarodni komitet je 1960. godine ustanovio skup standarda dužine, mase i ostalih osnovnih veličina. 7 Sistem koji je ustanovljen je nastao na bazi postojećeg metričkog MKS sistema 8 i naziva se SI sistem jedninica. 9 U tom sistemu, jedinice dužine, mase i vremena su metar, kilogram i sekunda, respektivno. Drugi SI standardi koje je ustanovio komitet su za temperaturu (kelvin), elekričnu struju (amper), jačinu svetlosti (kandela) i za količinu supstance (mol). 1.1.1 Dužina Potreba za postojanjem standarda je prilično stara. Prvi zvanično usvojen standard dužine je egipatski kraljevski kubit koji je bio jednak dužini podlaktice od lakta do vrha ispruženog srednjeg prsta vladajućeg faraona. 10 Na primer, leta gospodnjeg 1120. kralj Engleske Henri I je odlučio da za standard dužine u njegovoj zemlji proglasi yard koji je bio jednak rastojanju od vrha njegovog nosa do kraja njegove ispružene ruke. Obzirom na takav trend uvodjenja standarda, prirodno je da je krajem 17. veka u Francuskoj, originalni standard za stopu definisan kao dužina stope kralja Luja XIV. 11 Ovaj standard je odolevao sve do 1799. godine kada je u Francuskoj standard dužine postao metar, definisan kao jedan desetomilioniti deo od ekvatora do Severnog Pola duž posebne longitudinalne linije koja je prolazila kroz Pariz. Sa vremenom su razvijeni i drugi standardi za merenje dužine, ali se Francuski pokazao kao najbolji i usled toga bio prihvaćen u većini zemalja i skoro 6 Poznat je slučaj pada MCO-a (Mars Climate Orbiter) lansiranog 11. decembra 1998. godine, koji je imao misiju da prati klimu i oblake na Marsu. Ova sonda je umesto da orbitira oko Marsa pala na njega 23. septembra 1999. godine, jer je prišla na 57 kilometara, što je bilo previše blizu crvenoj planeti (relativno prosti proračuni pokazuju da bezbedna udaljenost iznosi 80 kilometara). Razlog je bio taj što je softver i unutrašnjost raketnog sistema dizajnirala i izgradila jedna grupa inženjera (Lockheed Martin) koja je koristila engleske jedinice dok je taj softver (za navodenje MCO satelita), koristio drugi tim iz druge institucije (Jet Propulsion Laboratory) koji je u svom radu upotrebljavao SI sistem. 7 Kod nas je ovaj sistem jedini važeći od 1980. godine. 8 Skraćenica MKS potiče od prvih slova reči Metar-Kilogram-Sekunda. 9 Oznaka SI je skraćenica od francuskog imena sistema Systeme Internationale. 10 Postojao je takozvani primarni standard koji je bio izradjen od crnog granita a u svakodnevnoj upotrebi su bile kopije izradjene od drveta ili običnog kamena. Svaki takav štap je, prema naredbi faraona, morao da se svakog meseca uporedjuje sa primarnim pod pretnjom surovih kazni. 11 Ovime je obezbedjena reproduktivnost standarda dužine, makar u Francuskoj jer francuzi nisu mogli da čekaju da kralj Engleske preplovi La Manš da bi izmerili rastojanje od vrha (njegovog) nosa do kraja (njegove) ispružene ruke.

12 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA svim naučnim krugovima. Kada je 1960. godine metar usvojen za standard dužine, dobio je izmenjenu definiciju preko rastojanja dvaju zareza na poluzi od platine i iridijuma koja je čuvana u kontrolisanim uslovima u Francuskoj. Ovaj standard je napušten iz više razloga a glavni je što preciznost odredjivanja rastojanja ovih zareza nije zadovoljavala potrebe savremene nauke i tehnike. Usled toga je metar definisan kao 1 650 763,73 talasnih dužina narandžasto-crvene svetlosti koju emituje lampa sa kriptonom-86. Medjutim, u oktobru 1983. godine metar (m) je redefinisan kao rastojanje koje predje svetlost u vakuumu za 1/299 792 458 sekundi. 12 Dužina (m) Rastojanje od Zemlje do najdaljeg poznatog kvazara 1, 4 10 26 Rastojanje od Zemlje do najdalje galaksije 9 10 25 Rastojanje od Zemlje do najbliže galaksije (M31, Andromeda) 2 10 22 Rastojanje od Sunca do najbliže zvezde (Proxima Centauri) 4 10 16 Jedna svetlosna godina 9, 46 10 15 Srednja vrednost poluprečnika Zemljine orbite oko Sunca 1, 5 10 11 Srednje rastojanje od Zemlje do Meseca 3, 84 10 8 Rastojanje od ekvatora do Severnog Pola 1 10 7 Srednji poluprečnik Zemlje 6, 37 10 6 Tipična visina orbitiranja satelita oko Zemlje 2 10 5 Dužina fudbalskog igrališta 10 2 Dužina kućne muve 5 10 3 Veličina najmanjih čestice prašine 10 4 Veličina ćelija u većini živih organizama 10 5 Prečnik vodonikovog atoma 10 10 Prečnik jezgra atoma 10 14 Prečnik protona 10 15 Tabela 1.1: Približne vrednosti nekih merenih dužina u metrima (m). 1.1.2 Masa Osnovna SI jedinica za masu je kilogram (kg) koji je definisan kao masa posebnog etalona napravljenog od legure Platine i Iridijuma koji se čuva u Medjunarodnom birou za mere i tegove u Sevru 12 Ova poslednja definicija ukazuje takodje na činjenicu da je brzina svetlosti u vakumu 299 792 458 m/s.

1.1. STANDARDI DUŽINE, MASE I VREMENA 13 kraj Pariza.. Ovaj standard za masu je ustanovljen još 1887. godine i nije menjan do sada jer je legura Platine i Iridijuma veoma stabilna. Slika 1.1: Standard mase - kilogram. Telo Masa (kg) Vidljivi univerzum 10 52 Mlečni put 7 10 41 Sunce 1, 99 10 30 Zemlja 5, 98 10 24 Mesec 7, 36 10 22 Konj 10 3 Čovek 10 2 Žaba 10 1 Komarac 10 5 Bakterija 10 15 Atom vodonika 1, 67 10 27 Elektron 9, 11 10 31 Tabela 1.2: Mase nekih tela (približne vrednosti) u kilogramima (kg). Bez obzira na opštu prihvaćenost SI sistema u nekim oblastima su ostale u primeni jedinice na koje su ljudi navikli. To je na primer slučaj sa jedinicom karat koju koriste juveliri (1 ct= 2 10 4 kg).

14 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA 1.1.3 Vreme Pre 1960. godine, standard vremena je definisan preko srednjeg solarnog dana 13 za 1900. godinu. Srednja solarna sekunda je bila originalno definisana kao ( 1 60 )( 1 60 )( 1 24 ) deo srednjeg solarnog dana. Kako je danas poznato da se rotacija Zemlje (po malo) menja sa vremenom, to znači da nije dobra za definisanje standarda. Kao posledica toga je 1967. godine sekunda redefinisana tako što je iskorišćena preciznost koju je pružao atomski časovnik. U tom uredjaju, frekvencije odredjenih atomskih prelaza mogu biti izmerene sa tačnošću od 1/10 12. Takva preciznost odgovara grešci u merenju vremena od manje od jedne sekunde na svakih 30 000 godina. Osnovna jedinica vremena u SI, sekunda, je definisana kao 9 192 631 770 perioda zračenja koje odgovara odredjenom prelazu (izmedju dva hiperfina nivoa osnovnog stanja) atoma cezijuma Cs-133. Svi satovi koje koristimo, ukoliko želimo da precizno mere vreme, moraju da se sinhronizuju sa ovim atomskim satom, odnosno da im se dodaju ili oduzimaju sekunde. 14 Nakon što je Ajnštajn otkro povezanost prostora i vremena, postalo je jasno da je za precizno merenje vremenskih intervala neophodno da znamo kako se kreće sat kojim vršimo merenja kao i to gde se nalazi. 15 Osim osnovnih SI jedinica, koriste se i jedinice koje su njihov deo i koje predstavljaju neki deo od osnovne jedinice. 1.2 Struktura materija Ako napravimo kocku od zlata dužine stranica 3,73 cm, njena masa je 1 kg. Možemo da se zapitamo kako izgleda njena unutrašnja struktura, odnosno, da li u njoj ima uopšte praznog prostora. Na prvi pogled odgovor je da nema. Ako ovu kocku rasečemo na dva dela oni će zadržati iste hemijske osobine zlata. Šta će se dobiti ako nastavimo dalje sa seckanjem dobijenih delova? Da li će dobijeni, sve manji i manji delići i dalje imati osobine 13 Jedan solarni dan je vremenski interval izmedju dva uzastopna pojavljivanja Sunca na najvišoj tački na nebu. 14 Ovo nije nova ideja. Julije Cezar je 46. godine pre nove ere, započeo praksu dodavanja dana u kalendar u prestupnim godinama da bi godišnja doba počinjala istih dana u godinama. 15 Kada ovaj, takozvani relativistički efekat ne bio bio uziman u obzir, sistem satelita koji služe za globalno pozicioniranje (GPS) bi činili značajnu grešku u odredjivanju položaja na Zemlji.

1.2. STRUKTURA MATERIJA 15 Interval (s) Starost univerzuma 5 10 17 Starost Zemlje 1, 3 10 17 Srednja starost studenata 6, 3 10 8 Jedna godina 3, 16 10 7 Jedan dan (vreme rotacije Zemlje oko svoje ose) 8, 64 10 4 Interval izmedju normalnih otkucaja srca 8 10 1 Period čujnog zvučnog talasa 10 3 Period tipičnog radio talasa 10 6 Period oscilovanja atoma u čvrstom telu 10 13 Period talasa vidljive svetlosti 10 15 Trajanje sudara jezgara 10 22 Vreme potrebno svetlosti da prodje proton 10 24 Tabela 1.3: Približne vrednosti nekih vremenskih intervala u sekundama. Stepen Prefiks Oznaka Stepen Prefiks Oznaka 10 24 yocto y 10 1 deka da 10 21 zepto z 10 3 kilo k 10 18 ato a 10 6 mega M 10 15 femto f 10 9 giga G 10 12 piko p 10 12 tera T 10 9 nano n 10 15 peta P 10 6 mikro µ 10 18 eksa E 10 3 mili m 10 21 zeta Z 10 2 centi c 10 24 yota Y 10 1 deci d Tabela 1.4: Prefiksi SI jedinica. zlata? Razmišlanjem u vezi ovog pitanja su se bavili još u antičkoj Grčkoj 16 a dvojica filozofa, Leukip i njegov učenik Demokrit, su zaključili da se ovakvo deljenje ne može nastaviti do u beskonačnost. Njih dvojica su smatrali da ovaj proces mora da ima kraj, odnosno pre ili kasnije u njemu se dobija čestica koja više ne može da se deli. Na Grčkom atomos znači nedeljiv 17 16 Stari Grci nisu mogli da vrše eksperimente ovog tipa pa su do odgovora jedino mogli da dodju na ovaj način - razmišljanjem. 17 Atomos=a+tomos, a na grčkom znači ne a tomos znači deliti.

16 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA i od te reči potiče današnja reč atom iako je vremenom izgubila prvobitan smisao. Slika 1.2: Struktura materije. Tako, ako bi nastavili sa deljenjem početne kocke zlata i pri tom uspeli da odsečemo deliće veličine 10 9 m mogli bi da uočimo molekule. Oni za sastavne delove imaju atome do kojih bi došli ukoliko bi molekule uspeli da isečemo na parčiće dimenzija 10 10 metara. Atomi se sastoje iz jezgra i omotača u kome se nalaze elektroni. Za elektrone se sa velikom dozom sigurnosti danas može reći da, i ukoliko imaju unutrašnju strukturu ona je svakako dobro sakrivena od nas i nalazi se na 10 18 metara. Ukoliko bi uspeli da, u daljem deljenju materije, odvojimo jezgra od atoma ustanovili bi da im je veličina oko 10 14 metara a ako bi kojim čudom uspeli njih da iseckamo na parčiće veličine manje od 10 19 metara dobili bi kvarkove. Ovim zamišljenim seckanjem je prikazana današnja predstava o strukturi materije, naime poznato je da ono što danas nazivamo atomom ima unutrašnju strukturu - svaki atom se sastoji od jezgra koje je okruženo elektronima. Jezgro atoma je otkriveno 1911. godine i prirodno se odmah postavilo pitanje njegove unutrašnje strukture, odnosno da li je ono nedeljivo ili se pak sastoji od nekih novih čestica. Iako se ne može reći da je u potpunosti poznata struktura jezgra, ipak se može dosta toga o njemu reći. Još od 30 godina prošlog veka je poznato da se u njemu nalaze dve vrste čestica, protoni i neutroni. Protoni su pozitivno naelektrisani i od njihovog broja zavisi o kom je (hemijskom) elementu reč. Taj broj se naziva atomski broj elementa. Na primer, jezgro vodonika ima jedan proton (atomski broj mu je jednak 1), jezgro helijuma ima dva protona (atomski broj 2), jezgro urana ima 92 protona (atomski broj 92). Osim atomskog broja postoji i maseni broj koji predstavlja zbir protona i neutrona u jezgru. Kao što ćemo videti, broj protona u jezgru datog hemijskog elementa se ne menja (kada se promeni onda je reč o jezgru drugog elementa), dok se maseni broj može menjati (broj neutrona može da se menja). Dva ili više atoma jednog istog elementa, različitog masenog broja se nazivaju izotopi. Postojanje neutrona je dokazano 1932. godine. Neutron nema naelek-

1.3. GUSTINA 17 trisanje a masa mu je približno jednaka masi protona. Obzirom na to da su protoni pozitivni i da se usled istoimenog naelektrisanja odbijaju, može se reći da neutroni imaju ulogu neke vrste lepka koja drži jezgro da se ne raspadne. Da li su elektroni, protoni i neutroni Leukipovi i Demokritovi atomi, odnsono, da li su oni nedeljivi? Za elektrone je to izgleda tačno, ali kada je reč o protonima i neutronima ispostavilo se da oni, kao i još neke druge čestice koje su od tada otkrivene, sastoje od 6 varijeteta jedne nove vrste čestica koje se nazivaju kvarkovi. Oni su dobili imena gornji, donji, čudni, šarmirani, vrh i dno. 18 Gornji, šarmirani i vrh kvark nose naelekrisanje od + 2 3 naelektrisanja protona, dok donji, čudni i dno kvark imaju naelekrisanja 1 3 naelekrisanja protona. Proton se sastoji od dva gornja i jednog donjeg kvarka, 19 dok neutron čine dva donja i jedan gornji kvark. 1.3 Gustina Veoma važna osobina supstance je gustina, definisana kao količina mase sadržane u jediničnoj zapremini. Označava se obično grčkim slovom ρ ρ = m V. (1.1) Na primer, aluminijum ima gustinu 2,70 g/cm 3, a olovo 11,3 g/cm 3. Zbog toga, komad aluminijuma zapremine 10,0 cm 3 ima masu 27 g dok ista zapremina olova ima masu 113 g. Razlika u gustini izmedju aluminijuma i olova je posledica njihove razližite atomske mase. Atomska masa nekog elementa je srednja masa jednog atoma u uzorku tog elementa koja sadrži sve izotope datog elementa u iznosu u kome se nalaze u prirodi. Jedinica atomske mase je atomska jedinica mase i označava se sa u. Pri tome je 1 u= 1, 6605402 10 27 kg. U ovim jedinicama, atomska masa olova je 207 u, a aluminijuma 27,0 u. Može da se primeti da odnos atomskih masa 207 u/27,0 u = 7,67 ne odgovara odnosu gustina, 11,3 g/cm 3 /2,70 g/cm 3 = 4, 19. Razlika je izazvana razlikom medjuatomskim rastojanjia i različitim rasporedom atoma u kristalnoj strukturi olova i aluminijuma. Mase jezgara se mere u odnosu na masu jezgra izotopa ugljenika C-12, 18 Njihovi nazivi na engleskom su up, down, strange, charm, bottom i top. 19 Lako se vidi da se, kada se iskombinuju njihova naelektrisanja, dobija upravo naelektrisanje protona.

18 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA Supstanca Gustina ρ (10 3 kg/m 3 ) Zlato 19,3 Uranijum 18,7 Olovo 11,3 Bakar 8,92 Gvoždje 7,86 Aluminijum 2,70 Magnezijum 1,75 Voda 1,00 Vazduh 0,0012 Tabela 1.5: Gustina nekih supstanci. što se označava kao 12 C. 20 Praktično sva masa atoma je skoncentrisana u jezgru. Kako je po definiciji masa jezgra ugljenika 12 C jednaka 12 u, proton i neutron imaju mase oko 1 u. Jedan mol (mol) supstance je količina supstance u kojoj ima onoliko elementarnih jedinki (atoma, molekula i drugih čestica) koliko ima u atoma 0,012 kg atoma 12 C. Jedan mol susptance A sadrži isti broj čestica kao i 1 mol neke druge supstance B. Na primer 1 mol aluminijuma sadrži jednak broj atoma kao i 1 mol olova. 21 Eksperimentalno je dokazano da je taj broj, poznat pod nazivo Avogadrov broj, N A, jednak N A = 6, 022 137 10 23 čestica /mol. Avogadrov broj je dakle defnisan tako da je masa 1 mola ugljenika 12 C jednaka 12 grama. Zapravo, masa 1 mola ma kog elementa je atomska masa tog elementa izražena u gramima. Na primer 1 mol gvoždja (atomske mase 55,85 u) ima masu 55,85 g (molarna masa mu je 55,85 g/mol), a 1 mol olova (atomske mase 207 u) ima masu od 207 g (molarna masa mu je prema tome 207 g/mol). Kako u 1 molu bilo koje supstance ima 6, 02 10 23 čestica (atoma), masa jednog atoma datog elementa je m atoma = molarna masa N A. (1.2) 20 Ovaj izotop ugljenika ima u jezgru 6 protona i 6 neurona, dok ostali imaju 6 protona ali različit broj neutrona. 21 Masa jednog mola aluminijuma naravno nije jednaka masi jednog mola olova.

1.4. DIMENZIONA ANALIZA 19 Na primer, masa atoma gvoždja je m F e = 55, 85 g/mol 6, 02 10 23 atoma/mol = 9, 28 10 23 g/atom. P r i m e r 1.1 Kocka aluminijuma (gustina 2,7 g/cm 3 ) ima zapreminu 0,20 cm 3. Koliko atoma aluminijuma ima u njoj? R e š e nj e. Kako je gustina jednaka masi jedinice zapremine, masa m kocke je m = ρv = (2, 7 g/cm 3 )(0, 20 cm 3 ) = 0, 54 g. Da bi našli broj atoma N u toj masi aluminijuma iskoristićemo sledeću proporciju: ako 6,02 10 23 atoma aluminijuma (1 mol) ima masu 27 g, onda se N atoma nalazi u masi od 0,54 g, odnosno Odavde je traženi broj atoma N N A 27 g = N 0, 54 g. N = (0, 54 g)(6, 02 1023 atoma) 27 g = 1, 2 10 22 atoma. 1.4 Dimenziona analiza Reč dimenzija ima poseban značaj u fizici. Ona obično ukazuje na fizičku prirodu date veličine. Nezavisno od toga da li neko rastojanje koje merimo izražavamo u stopama ili metrima, reč je o merenju dužine. Kaže se da je dimenzija - fizička priroda - rastojanja dužina. Simboli koji se obično koriste da se označe dužina, masa i vreme su L, M i T. A kada želimo da ukažemo da prikazujemo dimenziju neke fizičke veličine obično se koriste uglaste zagrade [ ]. Na primer, ako želimo da označimo dimenziju brzine v, to ćemo označiti kao [v] =L/T. Dimenzija površine, S, je [S] = L 2, zapremine, V, [V ] = L 3 a ubrzanja a je [a] = L/T 2 a. Često se za rešavanje problema u fizici koristi procedura pod nazivom dimenzionalna analiza. Ova procedura je uvek primenljiva i može da se iskoristi u najmanju ruku za svodjenje pamćenja formula na najmanju moguću meru. U okviru dimenzionalne analize, dimenzije fizičkih veličina se tretiraju kao algebarske promenljive. Jasno je da to znači da veličine mogu da se sabiraju samo ako imaju iste dimenzije, kao i to da leva i desna strana jednačina moraju da imaju iste dimenzije.

20 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA Recimo da nas zanima formula koja povezuje rastojanje x koje je prešao automobil za vreme t, krećući iz stanja mirovanja ubrzanjem a. Na osnovu ovoga se može pretpostaviti da je veza ovih triju veličina opšteg oblika x a n t m, odnosno predjeni put je proporcionalna ubrzanju na m i vremenu kretanja na stepen n. Ovde su n i m nepoznati koeficijenti koje tek treba odrediti. Ova relacija je tačna jedino ako su dimenzije leve i desne strane jednake. Kako je dimenzija leve strane dužina, dimenzija desne takodje mora da bude dužina, odnosno [a n t m ] = L = L 1. Kako je dimenzija ubrzanja L/T 2 a dimenzija vremena T, dobija se ( ) L n T 2 T m = L 1, L n T m 2n = L 1. Da bi obe strane jednačina imale iste dimenzije, eksponenti moraju biti isti. Na desnoj strani nedostaje T, ali uvek kada nam nedostaje neka veličina možemo smatrati da je imamo dignutu na stepen nula, što znači da su odgovarajuće jednačine za eksponenete: m 2n = 0 i n = 1, odakle se odmah dobija da je m = 2. Time je odredjena funkcionalna zavisnost predjenog puta x, ubrzanja a i vremena t kao x at 2. Ovaj reuzltat se, od tačnog rezultata za ovaj tip kretanja x = 1 2 at2, razlikuje samo za faktor 2. Budući da je ovaj faktor bezdimenzionalan njega i nije moguće odrediti na ovaj način. 1.5 Konverzija jedinica Često nam je neophodno da znamo da konvertujemo jedan tip jedinica u druge. Počnimo sa prostim konvertovanjem 80 metara u kilometre (km), koje se vrši na sledeći način 80 m 1 km = 0, 080 km. 1 000 m Primetimo da se neželjenja jedinica (m) skratila i da je ostala samo željena jedinica (km). Faktor 1 km/1 000 je primer konverzionog faktora. Evo još nekoliko primera konverzionih faktora 1 km = 1 000 m

1.5. KONVERZIJA JEDINICA 21 1 dan = 86 400 s 1 godina = 3, 16 10 7 s. P r i m e r. Pretpostavimo da ste 10 km od vaše kuće do fakulteta prešli vozeći automobil za 20,0 minuta. Izračunati prosečnu brzinu vašeg kretanja (a) u kilometrima na sat (km/h), (b) u metrima u sekundi (m/s. R e š e nj e. Zgodno je prvo izračunati prosečnu brzinu u jedinicama u kojima su dati podaci (km/min), a zatim je dobiti u traženim jedinicama množeći prethodno dobijeni izraza odgovarajućim konverzionim faktorom. (a) Prosečna brzina v sr predstavlja količnik predjenog puta s i intervala vremena t za koji se to desilo, odnosno v sr = s t 10, 0 km km = = 0, 500 20, 0 min min. Konvertovanje km/min u km/h se izvodi množenjem konverzionim faktorom koji će dovesti do toga da se pokrate minute a da ostanu sati. Traženi konverzioni faktor je 60 min/h, 22 odnosno v sr = 0, 500 km 60 min = 30, 0 km min 1 h h. (b) Ima više načina da se dobije brzina u m/s. Krenimo recimo od rezultata popd (a) i konvertujmo km/h u m/s. Ovde su potrebna dva konverziona faktora, jedan koji će prevesti sate u sekunde a drugi koji će prevesti kilometre u metre. Množenje njima daje v sr = 30, 0 km h 1 h 3 600 s 1 000 m 1 km = 8, 33m s. P r i m e r. Vozač iz Evrope vozeći putevima kroz SAD je video da kraj puta stoji znak za ograničenje brzine na kome piše 75 mi/h (jedna milja je 1 609 m). Kolikoj brizni u km/h odgovara ta brzina? R e š e nj e. Konverzion faktor je 1, 609 km/mi pa se dobija 75 mi h 1, 609 km 1 mi = 137 km h. 22 Kako možemo da budemo sigurni da je konverzioni faktor napisan na pravi način? Odgovor je da mora da se proba i da se vidi da li se nepotrebne jedinice skraćuju. Ukoliko je napravljena greška, jedinice se neće skratiti i daće pogrešne jedinice za izračunavanu veličinum na primer: km/min 1 h/60 min=(1/60) (km h/min 2 ).

22 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA 1.6 Procena reda veličine Često je moguće dati približan odgovor na dato pitanje iako imamo na raspolaganju malo informacija. Takve aproksimacije su obično zasnovane na odredjenim pretpostavkama koje mogu biti modifikovane ako je potrebno dati precizniji odgvor. Ovakav tretman problema se obično svodi na odredjivanje reda veličine odredjene fizičke veličine se odnosi na to na koji stepen treba dići broj 10 da bi se dobila vrednost veličine. Ukoliko se za fizičku veličinu kaže da se povećala za tri reda veličine, to znači da se njena vrednost povećala približno 10 3 odnosno 1000 puta. Za označavanje reda veličine se koristi simbol. Evo i nekoliko primera 0, 0086 10 2, 0, 0021 10 3, 720 10 3. P r i m e r. Proceniti udisaja tokom prosečnog ljudskog veka. R e š e nj e. Krenimo od toga da je prosečan životni vek 70 godina. Jedina druga pretpostavka koju ćemo učiniti se odnosi na prosečan broj udisaja tokom 1 minuta. Broj udisaja tokom minuta varira u zavisnosti od toga da li se osoba bavi nekom fizičkom aktivnošću, spava, zavisi od raspoloženja,... Uzme li se sve to u obzir, može se uzeti da je prosečan broj udisaja za jedan minut oko 10. Broj minuta u godini je približno 1 godina ( 400 dana 1 godina ) ( 25 h 1 dana ) ( ) 60 minuta = 6 10 5 min. 1 h Primetimo da je, da bi se izračunavanja uprostila, uzeto da je broj dana u godini 400 (tačna vrednost je 365,25) i da je broj sati u danu 25. Greška koja je pri tome učinjena je veoma mala i ne utiče na krajnju procenu. U 70 godina će prema tome biti 70 godina 6 10 5 min/godina = 4 10 7 minuta. Ukoliko se načini prosečno po 10 udisaja tokom minute, za 70 godina će ih biti oko 4 10 8. 1.7 Značajne cifre. Zaokruživanje Pri merenju neke fizičke veličine, izmerene vrednosti su poznate samo unutar odredjene eksperimentalne greške. Vrednost te greške zavisi od više faktora, kao što su kvalitet instrumenata, umešnosti eksperimentatora, od broja izvršenih merenja, itd. Broj takozvanih značajnih cifara u merenju moše da se iskoristi za iskazivanje neodredjenosti dobijenog rezultata. Pretpostavimo da je cilj da izračunamo površinu pravougaone nalepnice na kompakt disku koristeći metarsku traku kao merni instrument. Neka je

1.7. ZNAČAJNE CIFRE. ZAOKRUŽIVANJE 23 greška sa kojom merimo dužinu nalepnice ±0, 1 cm. Ako smo pri merenju dužine dobili 5,5 cm, to znači da možemo da kažemo samo da je dužina nalepnice izmedju 5,4 i 5,6 cm. U ovom slučaju izmerena vrednost ima 2 značajne cifre pri čemu je jedna od njih procenjena, odnosno takozvana nesigurna cifra dok su ostale sigurne. Recimo da je merenje širine dalo kao rezultat 6,4 cm, to znači da prava vrednost leži negde izmedju 6,3 i 6,5 cm. Rezultat se stoga zapisuje u uobliku (5, 5 ± 0, 1) cm i (6, 4 ± 0, 1) cm. Površinu pravougaone nalepnice ćemo naći množenjem njene dužine i širine. Ako površinu nadjemo kao (5,5 cm)(6,4 cm)=35,2 cm 2, odgovor neće biti pouzdan jer sadrži tri značajne cifre, dok su merenja dala samo dve. Iz tog razloga se pri radu sa rezultatima merenja primenjuje sledeće pravilo: Pri množenju i deljenju veličina, broj značajnih cifara u konačnom rezultatu je isti kao i broj značajnih cifara u veličini koja ima najmanji broj značajnih cifara. Primenjujući ovo pravilo na prethodni primer množenja dvaju rezultata merenja, zaključujemo da rezultat ne sme da sadrži više od dve značajne cifre jer su toliko imale obe izmerene veličine. Na osnovu toga zaključujemo da je površina nalepnice 35 cm 2, što predstavlja vrednost koja leži izmedju vrednosti (5,4 cm)(6,3 cm)=34 cm 2 i (5,6 cm)(6,5 cm)=36 cm 2. Nule ne moraju ali i mogu biti značajne cifre. One koje se koriste da ukažu na položaj decimalne zapete u na primer brojevima 0,03 i 0,0075 nisu značajne. Jasno je da u ova dva slučaja imamo jednu odosno dve značajne cifre. Moguće greške u odredjivanju da li su nule značajne cifre ili ne su moguće onda kada one dolaze iza drugih cifara, na primer masa kada kažemo da je masa nekog tela 1 500 g. Ovaj iskaz je dvosmislen jer se na osnovu njega ne može reći da li su poslednje dve nule iskorišćene da definišu mesto decimalne zapete ili predstavljaju značajne cifre merenja. Da bi se otklonile takve nejasnoće obično se za zapisivanje rezultata koristi takozvana naučna notacija u kojoj je naglašen broj značajnih cifara. Ukoliko u ovom slučaju imamo dve značajne cifre, masu ćemo zapisati u obliku 1, 5 10 3 g, ako ih imamo tri pisaćemo 1, 50 10 3 g, a ako ih je četiri 1, 500 10 3 g. Ista pravila važe za brojeve manje od 1, tako da će broj 2, 3 10 4 (ovo je naravno broj 0,00023) imati dve značajne cifre, dok broj 2, 30 10 4 (odnosno 0,000230) ima tri značajne cifre. Može se reći da su značajne cifre u zapisu rezultata merenja sigurne cifre (različite od nule koja se koristi za odredjivanje mesta decimalnog zareza) i prva nesigurna cifra. Kada imamo posla sa oduzimanjem i sabiranjem pravilo za rad sa ciframa se bitno razlikuje od pravila za množenje i deljenje. Naime, u ovom slučaju mora da se vodi računa o broju decimalnih mesta, tako da pravilo glasi

24 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA : kada se brojevi sabiraju ili oduzimaju, broj decimalnih mesta u rezultatu treba da bude jednak najmanjem broju decimalnih mesta u sabircima. Ako na primer želimo da izračunamo 123+5,35, rezultat je 128 a ne 128,35 jer manji broj decimalnih mesta ima prvi broj. Ako računamo zbir 1,0001+0,0003, rezultat je 1,0004, odnosno on ima pet značajnih cifara, iako jedan od sabiraka (0,0003) ima samo jednu značajnu cifru. Slično, ako izvršimo oduzimanje 1,002-0,998=0,004, rezultat ima samo jednu značajnu cifru iako jedan sabirak ima četiri a drugi tri. Ukoliko broj značajnih cifara u rezultatu sabiranja ili oduzimanja mora da se smanji, postoje opšta pravila za zaokruživanje 1. Aako je prva cifra iza poslednje značajne cifre manja od 5 prethodna cifra ostaje nepromenjena. 2. Kada je odbačena cifra veća od 5, prethodna se povećava za 1. 3. U slučaju kada odbačena cifra ima vrednost 5, prethodna ostaje nepromenjena ako je paran broj, dok se povećava za 1 ako je neparan broj. Ukoliko pri odredjivanju finalne vrednosti treba obaviti više aritmetičkih operacija, zaokruživanje treba odložiti za kraj računanja i tek onda ostaviti potreban broj značajnih cifara. P r i m e r. Treba kupiti tepih za sobu čija je dužina 12,71 m a širina 3,46 m. Odrediti površinu sobe. R e š e nj e. Ako pomnožimo ove dve vrednosti, dobićemo 43,9766 m 2. Medjutim ne možemo rezultat da ostavimo u ovom obliku jer moramo da vodimo računa o broju sigurnih cifara. Prema pravilima treba ostaviti onoliko cifara koliko ih ima u množitelju sa manje sigurnih cifara a to je tri. Prema tome, vodeći računa i o pravilima zaokruživanja, rezultat je 44,0 m 2. P r i m e r. Dimenzije ploče su (a = 21, 3 ± 0, 2) cm i (b = 9, 80 ± 0, 1) cm. Odrediti njenu površinu kao i grešku sa kojom je odredjena. R e š e nj e. Površina pločice je S = ab = (21, 3 ± 0, 2 cm) (9, 80 ± 0, 1 cm) (21, 3 9, 80 ± 21, 3 0, 1 ± 0, 2 9, 80) cm 2 (209 ± 4) cm 2.

1.8. ZADACI 25 1.8 Zadaci 1. Pokazati da je izraz v = at, koji povezuje brzinu v, ubrzanje a i vreme t, dimenzionalno korektan. Da li je to slučaj i sa jednačinom v = at 2? 2. Pretpostavimo da je ubrzanje kružnog kretanja koje se odvija po kružnici poluprečnika r, brzinom v, proporcionalno sa r n i v m. Odrediti ove izložioce. 3. Masa kocke dužine ivice 5,35 cm je 856 g. Odrediti njenu gustinu u osnovnim jednicama SI. 4. Proceniti udisaja tokom prosečnog ljudskog veka ukoliko se pretpostavi da on iznosi 80 godina. 5. Proceniti koliko koraka treba načiniti ukoliko se hoda od Beograda do Novog Sada. 6. Proceniti broj litara benzina koje svake godine potroše automobili u Srbiji. 1.9 Rešenja 1. Dimenzija brzine i ubrzanja su pa je dimenzija proizvoda at [v] = L/T, [a] = L/T 2 [at] = ( ) L T 2 (T ) = L T, što znači da je navedena jednačina dimenziono korektna. Na analogana način se pokazuje da izraz v = at 2 dimenzionalno nekorektan. 2. Preme pretpostavci, ubrzanje može da se zapiše kao a = kr n v m, gde je k bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti. Kako su dimenzije a, r i v poznate, prethodna jednačina ima dimenzije ( ) L L m T 2 = Ln = Ln+m T T m.

26 GLAVA 1. FIZIKA I MERENJA Iz uslova da su dimenzije leve i desne strane jednake dobija se n + m = 1, m = 2, odakle sledi da je n = 1. Na osnovu ovoga je ubrzanje a = kr 1 v 2 = k v2 r. U kinematici rotacionog kretanja se pokazuje da je bezdimenzinalna konstanta k = 1. 3. Kako je 1 g= 10 3 kg a 1 cm= 10 2 m, masa i zapremina u osnovnim jedinicama SI su m = 856 g 10 3 kg/g = 0, 856 kg, V = l 3 = (5, 35 cm 10 2 m/cm) 3 = (5, 35) 3 10 6 m 3 = 1, 53 10 4 m 3. Odavde je sada ρ = m V = 0, 856 kg 1, 53 10 4 m 3 = 5, 59 103 kg/m 3. 4. Računajući kao u primeru... dobija se da je rezultat 5 10 8, što je istog reda veličine kao rezultat dobijen u primeru. 5. I bez poznavanja tačnog rastojanja izmedju ova dva grada može se reći da je to oko 100 km. Naredna procena će se odnositi na dužinu jednog koraka. Ona se svakako razlikuje od čoveka do čoveka ali se može uzeti da iznosi oko 0,6 m. Da bi prešao 1 kilometar, sa ovom dužinom koraka, treba načiniti 1 000/0,6 m = 1 666,66 koraka, odnsono, ako zaokružimo ovaj izraz 1 700 koraka/km, odnosno 1, 7 10 3 koraka/km. Potreban broj koraka da se predje 100 km je sada (1 10 2 km)(1, 7 10 3 koraka/km) = 1, 7 10 5 koraka 10 5 koraka. Dakle, ako se ide peške od Beograda do Novog Sada treba načiniti po redu veličine 100 000 koraka. 6. Kao u Srbiji živi oko 8 miliona ljudi, može da se proceni da je broj automobila oko 2 miliona (uzeto je da na svaka kola dolazi po četvoro ljudi). Prosečan automobil u Srbiji prelazi oko 5 000 km za godinu dana pri čemu troši oko 10 litara na 100 kilometara. To znači da

1.9. REŠENJA 27 će u jedan automobil da potroši oko 500 litara/god. Svih 2 miliona automobila će potrošiti 2 10 6 automobila 5 10 2 litara/god. = 10 9 litara. Prosečna potrošnja benzina u Srbiji je reda veličine milijardu litara.