Promatramo dva koordinatna S i S sa zajedničkim ishodištem z x z k i x k i j j y y
jedinične vektore koordinatnog S možemo izraziti pomoću jediničnih vektora koordinatnog S i = ( i i) i + ( i j) j + ( i k) k (1) j = ( j i) i + ( j j) j + ( j k) k (2) k = ( k i) i + ( k j) j + ( k k) k (3) uvodimo prikladnije oznake i, j, k e 1, e 2, e 3 (4) i, j, k e 1, e 2, e 3 (5) skalarne produkte jediničnih vektora označimo kao elemente matrice e i e j a ij (6)
jedn. (1-3) poprimaju sljedeći oblik e 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 + a 13 e 3 e 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 + a 23 e 3 e 3 = a 31 e 1 + a 32 e 2 + a 33 e 3 = e i = Einsteinova konvencija o sumaciji: po indeksima koji se u izrazu ponavljaju sumiramo, iako znak sume nije eksplicitno napisan primjeri upotrebe ove konvencije a ik e k k e i = k a ik e k e i = a ik e k (7) (abc) mn = ij a mi b ij c jn (abc) mn = a mi b ij c jn (8)
z z k k j x y i i j y x x svaki vektor možemo raspisati koristeći jedinične vektore bilo S ili S x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (9)
pomnožimo jedn. (9) s e i x i = x e i = k x k ( e i e k ) = k x k a ik (10) norma vektora mora biti jednaka u oba x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 (11) = k x 2 k = j x 2 j (12) uvrstimo transformaciju (10) u jedn. (12) xk 2 = a jm x m a jn x n k j m n = x m x n a jm a jn (13) mn j
da bi relacija (13) bila ispunjena mora vrijediti a jm a jn = δ mn = a T mj a jn = δ mn (14) j j svaka linearna = A T A = 1 (15) x i = k a ik x k (16) za koju vrijedi a jm a jn = δ mn (17) j zove se ortogonalna
uvjet j a jm a jn = δ mn daje 6 linearnih jednadžbi a 11 a 11 + a 21 a 21 + a 31 a 31 = 1 (18) a 12 a 12 + a 22 a 22 + a 32 a 32 = 1 (19) a 13 a 13 + a 23 a 23 + a 33 a 33 = 1 (20) a 11 a 12 + a 21 a 22 + a 31 a 32 = 0 (21) a 11 a 13 + a 21 a 23 + a 31 a 33 = 0 (22) a 12 a 13 + a 22 a 23 + a 32 a 33 = 0 (23) od 9 koeficijenata a ij samo 3 su nezavisna trebamo tri kuta da bi parametrizirali rotaciju u prostoru
Primjer: rotacija u ravnini x 2 x 2 e 2 φ e 2 x 1 e 1 e 1 φ x 1 Skalarni produkti: e 1 e 1 = cosφ e 1 e 2 = cos(90 0 φ) = sinφ e 2 e 1 = cos(90 0 + φ) = sin φ e 2 e 2 = cosφ elementi matrice a 11 = cosφ a 12 = sin φ a 21 = sin φ a 22 = cos φ (24)
provjerimo da li je matrica ortogonalna ( ) ( ) cosφ sin φ cosφ sin φ AA T = sin φ cos φ sin φ cos φ ( ) cos = 2 φ + sin 2 φ 0 0 cos 2 φ + sin 2 φ ( ) 1 0 = (25) 0 1
pretpostavimo da su A i B ortogonalne takve da vrijedi x k = j x i = k b kj x j (S S ) (26) a ik x k (S S ) (27) promotrimo ukupnu transformaciju x i = a ik x k = a ik b kj x j k k j = kj a ik b kj x j = j (AB) ij x j (28)
provjeravamo da li je ukupna tranformacija C = AB još uvijek ortogonalna c mi c mj = [ ] [ ] a mk b ki a ml b lj m m k l = [ ] b ki b lj a mk a ml kl m = kl = k b ki b lj δ kl b ki b kj = δ ij (29)
komutativnost općenito ne vrijedi asocijativnost vrijedi uvijek AB BA (30) (AB)C = A(BC) (31) ako A prevodi sustav S u S onda njena inverzna tranformacija vraća sustav S u S inverznu transformaciju označavamo s A 1, a njene elemente s a ij jednadžba inverzne x i = j a ij x j (32) mora biti konzistentna s početnom transformacijom x k = m a km x m (33)
uvrstimo izraz (33) u jedn. (32) x i = a ij a jm x m = j m m j = j a ija jm x m (34) a ija jm = δ im = A 1 A = 1 (35) uvrstimo sada izraz (32) u jedn. (33) x k = a km a mj x j = [ ] a km a mj x j m j j m (36) = a km a mj = δ kj = AA 1 = 1 (37) m = A 1 A = AA 1 = 1 (38)
pomnožimo uvjet ortogonalnosti s A 1 AA T = 1 = A 1 AA T = A 1 = A 1 = A T (39) inverzna matrica jednaka je transponiranoj matrici uvjet ortogonalnosti fiksira vrijednost determinante ortogonalne matrice det(aa T ) = det(1) = 1 (40) za transponiranu matricu vrijedi det(a T ) = det(a) (41) za produkt matrica vrijedi det(aa T ) = deta deta T = (deta) 2 = 1 (42)
determinanta ortogonalne matrice može poprimiti samo vrijednosti ±1 može se pokazati da rotacijama odgovara vrijednost +1
definicija a ǫ 123 = ǫ 231 = ǫ 312 = 1 ǫ 132 = ǫ 213 = ǫ 321 = 1 ǫ ijk = 0 za sve ostale kombinacije 3 3 determinanta možemo napisati pomoću a a 11 a 12 a 13 D = a 21 a 22 a 23 a 31 a 23 a 33 = ǫ ijk a 1i a 2j a 3k (43) ijk
da li doista reproduciramo formulu za determinantu? D = ǫ 123 a 11 a 22 a 33 + ǫ 231 a 12 a 23 a 31 + ǫ 312 a 13 a 21 a 32 + ǫ 213 a 12 a 21 a 33 + ǫ 132 a 11 a 23 a 32 + ǫ 321 a 13 a 22 a 31 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) formulu za vektorski produkt tako der možemo napisati pomoću a ( a ) b = ǫ ijk a i b j (44)
produkt Kroneckera i a iščezava δ ij ǫ ijk = 0 (45) jer je δ ij simetričan, a ǫ ijk antisimetričan s obzirom na zamjenu indeksa i, j produkt dva a ij ǫ ijk ǫ lmn = δ il δ jm δ kn + δ im δ jn δ kl + δ in δ jl δ km δ im δ jl δ kn δ il δ jn δ km δ in δ jm δ kl (46) iz produkta a slijede neke korisne relacije ǫ ipq ǫ jpq = [δ ij δ pp δ qq + δ ip δ pq δ qj + δ iq δ pj δ qp ] pq pq pq [δ ip δ pj δ qq + δ ij δ pq δ qp + δ iq δ pp δ qj ] (47)
izračunamo sume u prethodnom izrazu ǫ ipq ǫ jpq = 9δ ij + δ ij δ ij 3δ ij 3δ ij 3δ ij pq = 2δ ij (48) sljedeći izraz ǫ ijk ǫ pqk = [δ ip δ jq δ kk + δ iq δ jk δ kp + δ ik δ jp δ kq ] k k [δ iq δ jp δ kk + δ ip δ jk δ kq + δ ik δ jq δ kp ] k + 3δ ip δ jq + δ iq δ jp + δ iq δ jp 3δ iq δ jp δ ip δ jq δ ip δ jq = δ ip δ jq δ iq δ jp (49)
još jedan koristan izraz ǫ ijk ǫ ijk = [δ ii δ jj δ kk + δ ij δ jk δ ki + δ ik δ ji δ kj ] ijk ijk ijk [δ ij δ ji δ kk + δ ii δ jk δ kj + δ ik δ jj δ ki ] = 27 + 3 + 3 9 9 9 = 6 (50) Primjer 1: koristimo Einsteinovu konvenciju o sumaciji ( a b) 2 = ( a b) k ( a b) k = a i b j ǫ ijk a m b n ǫ mnk = a i a m b j b n ǫ ijk ǫ mnk = a i b j a m b n (δ im δ jn δ in δ jm ) = a i b j a i b j a i b j a i b j = a 2 b 2 ( a b) 2
Primjer 2: koristimo Einsteinovu konvenciju o sumaciji c ( a b) = c k ( a b) k = c k a i b j ǫ ijk = b j c k ǫ ijk a i = b j c k ǫ jki a i = ( b c) i a i = a ( b c)
koristimo dva koordinatna nepomični sustav O s osima x, y i z sustav vezan uz kruto tijelo O s osima x, y i z z z r n P n r n y R O O x y x
označimo s R položaj ishodišta O u nepomičnom sustavu položaj proizvoljne točke P u sustavu O označimo s r n, a u sustavu O s r n r n = R + r n (51) infinitezimalni pomak možemo rastaviti na translaciju i rotaciju translacijom se sve točke pomaknu za isti iznos d R infinitezimalnu rotaciju definiramo pomoću osi rotacije i infinitezimalnog kuta rotacije uvedemo vektor d φ = dφ φ 0, usmjeren duž osi rotacije s iznosom jednakim kutu dφ smjer odre dujemo pravilom desne ruke
dφ = dφφ 0 r n sin θ dφ P r n os rotacije postavimo kroz ishodište O točka P se zbog rotacije pomakne okomito na os φ 0 za iznos r n sin θdφ pomak točke P zbog rotacije θ d r rot,n = d φ r n O
ukupni pomak čestice koristimo sljedeće oznake d r n = d R + d φ r n (52) brzina točke P u odnosu na O : v n kutna brzina : Ω = d φ dt translatorna brzina : V = d R dt podijelimo jedn. (52) s dt v n = V + Ω r n (53) točka P je nepomična u odnosu na O jer je dio
odaberimo sada za ishodište vezanog uz tijelo neku drugu točku O a tako da vrijedi uvrstimo izraz (54) u jedn. (53) r n = r n,a + a (54) v n = V + Ω a + Ω r n,a (55) da smo krenuli direktno od O i O a dobili bi v n = V a + Ω a r n,a (56) usporedbom zadnje dvije jednadžbe dolazimo do zaključka V a = V + Ω a (57) Ω a = Ω (58)
kutna brzina ne ovisi o izboru koordinatnog vezanog uz tijelo, dok translatorna brzina ovisi o tom izboru
Primjer 1: sustav dva štapa duljine l y O θ l A φ y c.m. B x x kraj gornjeg štapa je fiksiran u ishodištu nepomičnog direktnim računom želim pokazati da je kutna brzina donjeg štapa φ ishodište pomičnog u prvom primjeru smjestimo u centar mase donjeg štapa
koordinate točke A u nepomičnom sustavu x A = l sin θ, y A = l cos θ, z A = 0 (59) komponente brzine točke A u nepomičnom sustavu ẋ A = l cosθ θ, ẏ A = l sin θ θ, (60) koordinate centra mase u nepomičnom sustavu x c.m. = l sin θ + l sin φ 2 (61) y c.m. = l cos θ l cos φ 2 (62) z c.m. = 0 (63)
komponente brzine centra mase u nepomičnom sustavu ẋ c.m. = l cosθ θ + l 2 cosφ φ (64) ẏ c.m. = l sin θ θ + l 2 sin φ φ (65) brzina točke A dana je jedn. (53) v A = V + Ω r A (66) ishodište pomičnog nalazi se u centru mase pa je V zapravo brzina centra mase položaj točke A u odnosu na ishodište pomičnog r A = (x A x c.m. ) i + (y A y c.m. ) j (67)
položaj točke A r A = l 2 sin φ i + l 2 cos φ j (68) štap se njiše u ravnini pa samo z komponenta kutne brzine može biti različita od nule Ω r A = Ω k ( l2 sin φ i + l2 ) cosφ j = lω ( sin φ 2 j cosφ ) i (69) brzina ishodišta pomičnog V = ẋ c.m. i + ẏ c.m. j ( = l cosθ θ + φ ) ( 2 cos φ i + l sin θ θ + φ ) 2 sin φ j (70)
brzina točke A v A = ẋ A i + ẏ A j = l cosθ θ i + l sin θ θ j (71) izjednačimo komponente u jedn. (66) izrazi uz i l cos θ θ = l cosθ θ + l 2 cosφ φ lω 2 cos φ = Ω = φ (72) izrazi uz j daju isti rezultat l sinθ θ = l sin θ θ + l 2 sin φ φ lω 2 sin φ = Ω = φ (73)
centar mase donjeg štapa giba se brzinom ( V = l cosθ θ + φ ) ( 2 cos φ i +l sin θ θ + φ ) 2 sin φ j (74) štap istovremeno rotira oko centra mase kutnom brzinom φ
Primjer 2: promatramo isti sustav, ali sad ishodište pomičnog smjestimo u točku A y O θ l A φ c.m. B x y x brzina centra mase dana je izrazom (53) v c.m. = V + Ω r c.m. (75)
ishodište pomičnog nalazi se u točki A pa je V brzina točke A položaj centra mase u odnosu na ishodište pomičnog r c.m. = (x c.m. x A ) i + (y c.m. y A ) j = l 2 sin φ i l 2 cos φ j (76) štap se njiše u ravnini pa samo z komponenta kutne brzine može biti različita od nule ( Ω r c.m. = Ω l k 2 sin φ i l ) 2 cos φ j = lω (sin φ 2 j cos φ ) i (77)
brzina ishodišta pomičnog V = ẋ A i + ẏ A j = l cos θ θ i + l sin θ θ j (78) brzina centra mase v c.m. = ẋ c.m. i + ẏ c.m. j ( = l cos θ θ + φ ) 2 cos φ i ( + l sin θ θ + φ ) 2 sin φ j (79) izjednačimo komponente u jedn. (75)
usporedimo izraze uz i ( l cos θ θ + φ ) 2 cosφ = l cos θ θ + lω 2 cos θ = Ω = φ (80) usporedba izraza uz j vodi na isti rezultat ( l sin θ θ + φ ) 2 sinφ = l sin θ θ + lω 2 sinθ = Ω = φ (81) kraj donjeg štapa giba se brzinom V = l cos θ θ i + l sin θ θ j (82) štap istovremeno rotira oko tog kraja kutnom brzinom φ
iz ova dva primjera vidimo da brzina translacije ishodišta pomičnog ovisi o položaju ishodišta kutna brzina rotacije ne ovisi o položaju ishodišta pomičnog
devet elemenata matrice a ij ne možemo koristiti kao generalizirane koordinate jer nisu nezavisni uvjet ortogonalnosti matrice aa T = 1 vodi na šest linearnih jednadžbi pa od devet koeficijenata a ij preostaju samo tri nezavisna jedan mogući izbor za parametrizaciju matrice su tri Eulerova kuta φ, θ i ψ ukupnu rotaciju ćemo napisati kao kompoziju tri elementarne rotacije matrica jednaka je produktu tri matrice a = BCD (83)
nepomični sustav S transformiramo u prvi pomoćni sustav S 1 transformacijom D sustav S 1 transformiramo u drugi pomoćni sustav S 2 transformacijom C sustav S 2 transformiramo u konačni rotirani sustav S transformacijom B koristit ćemo sljedeće oznake nepomični sustav: x, y, z rotirani sustav: x, y, z prvi pomoćni sustav: x 1, y 1, z 1 drugi pomoćni sustav: x 2, y 2, z 2
Prva : rotacija za kut φ oko osi z nepomičnog S z, z 1 y 1 y x φ x 1 osi z i z 1 se poklapaju jer početni sustav rotiramo oko osi z
Projekcija rotacije na ravninu x y y 1 y φ x 1 j1 j i i1 φ x veza jediničnih vektora u dva i1 = ( i 1 i ) i + ( i 1 j ) j = i cos φ + j cos (90 0 φ) = i cosφ + j sin φ (84) j1 = ( j 1 i ) i + ( j 1 j ) j = i cos (90 0 + φ) + j cosφ = i sin φ + j cosφ (85)
jedinični vektor k se ne mijenja jer sustav rotiramo oko osi z ukupna glasi i1 j1 k1 = cos φ sin φ 0 sin φ cosφ 0 0 0 1 i j k (86) prva matrica cos φ sin φ 0 D = sin φ cosφ 0 (87) 0 0 1
Druga : rotacija za kut θ oko osi x 1 pomoćnog S 1 z 2 θ z, z 1 y 2 y 1 y x x 1, x 2 osi x 1 i x 2 se poklapaju jer sustav S 1 rotiramo oko osi x 1
Projekcija rotacije na ravninu y 1 z 1 z 1 z 2 θ k2 j1 k1 y 2 j2 j2 = ( j 2 j 1 ) j 1 + ( j 2 k 1 ) k 1 θ y 1 = j 1 cosθ + k 1 cos (90 0 θ) = j 1 cosθ + k 1 sin θ (88) k2 = ( k 2 j 1 ) j 1 + ( k 2 k 1 ) k 1 = j 1 cos(90 0 + θ) + k 1 cos θ = j 1 sin θ + k 1 cos θ (89)
jedinični vektor i 1 se ne mijenja jer sustav rotiramo oko osi x 1 ukupna glasi i2 j2 k2 = 1 0 0 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ i1 j1 k1 (90) prva matrica 1 0 0 C = 0 cos θ sin θ (91) 0 sin θ cos θ
Treća : rotacija za kut ψ oko osi z 2 pomoćnog S 2 z 2, z z, z 1 y y 2 y 1 ψ x y x x 1, x 2 osi z 2 i z se poklapaju jer sustav S 2 rotiramo oko osi z 2
Projekcija rotacije na ravninu x 2 y 2 y y 2 ψ x j j2 i2 i ψ x 2 i = ( i i2 ) i 2 + ( i j 2 ) j 2 = i 2 cos ψ + j 2 cos(90 0 ψ) = i 2 cos ψ + j 2 sin ψ (92) j = ( j i2 ) i 2 + ( j j 2 ) j 2 = i 2 cos (90 0 + ψ) + j 2 cosψ = i 2 sinψ + j 2 cos ψ (93)
jedinični vektor k 2 se ne mijenja jer sustav S 2 rotiramo oko osi z 2 ukupna glasi i j k = cosψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1 i2 j2 k2 (94) treća matrica cos ψ sin ψ 0 B = sin ψ cos ψ 0 (95) 0 0 1
množenje matrica B, C i D daje ukupnu transformaciju A = BCD i = (cos φ cosψ sin φ cosθ sin ψ) i + (sin φ cosψ + cos φ cosθ sin ψ) j + sin θ sin ψ k (96) j = (cosφsinψ + sin φ cosθ cos ψ) i + ( sin φ sin ψ + cosφcosθ cos ψ) j + sin θ cos ψ k (97) k = sinφ sin θ i cosφsinθ j + cosθ k (98)
inverznu transformaciju dobijemo transponiranjem matrice A i = (cos φ cosψ sin φ cosθ sin ψ) i (cos φ sinψ + sin φ cosθ cosψ) j + sin φ sin θ k (99) j = (sin φ cosψ + cos φ cosθ sin ψ) i + ( sin φ sin ψ + cosφcosθ cos ψ) j cos φ sinθ k (100) k = sinθ sin ψ i + sin θ cosψ j + cos θ k (101)
kutna brzina ima tri doprinosa rotacija oko osi k brzinom φ rotacija oko osi i 1 brzinom θ rotacija oko osi k brzinom ψ vektor kutne brzine možemo napisati kao zbroj Ω = φ k + θ i 1 + ψ k (102) prvo računamo komponente kutne brzine u bazi nepomičnog izraz (102) moramo svesti na oblik Ω = Ω x i + Ω y j + Ω z k (103) jedinične vektore i 1 i k moramo raspisati pomoću i, j i k
iz prethodnih razmatranja znamo i1 = i cos φ + j sin φ (104) k = sin φ sinθ i cos φsinθ j + cos θ k (105) kutna brzina Ω = φ k + θ ( i cosφ + ) j sin φ (106) + ψ (sin φ sinθ i cos φsinθ j + cosθ ) k ( ) = θ cos φ + ψ sin θ sin φ i ( ) + θ sin φ ψ sin θ cos φ j ( ) + φ + ψ cos θ k (107)
komponente kutne brzine u fiksnom sustavu Ω x = θ cosφ + ψ sin θ sin φ (108) Ω y = θ sinφ ψ sin θ cos φ (109) Ω z = φ + ψ cos θ (110) koristeći matricu rotacije kutnu brzinu Ω možemo transformirati u bazu vezanog uz tijelo Ω = ( φ sin θ sin ψ + θ cos ψ ) i (111) + ( φ sin θ cosψ θ sin ψ ) j (112) + ( φ cosθ + ψ) k (113)
kompnente kutne brzine u pomičnom sustavu Ω x = φ sin θ sin ψ + θ cosψ (114) Ω y = φ sin θ cos ψ θ sin ψ (115) Ω z = φ cos θ + ψ (116)