TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane kružnice polumjer upisane kružnice poluopseg FORMULE potrebne u ovoj Površina: lekciji: P = a = b = = c P = ab sin γ = bc sin α = ac sin β P = rs Visina trokuta (dužina koja je o a : b = : Težišnica (dužina koja spaja vrh trokuta sa polovištem nasuprotne stranice): Simetrala kuta: x : y = b : c Polumjer opisane kružnice: okomita na stranicu a prolazi suprotnim vrhom):
ZADACI: 1. Izračunaj površinu trokuta ABC ako je a = 22,5 cm, c = 30 cm i γ = 30. (zadatak 1.3. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 2. Izračunaj površinu trokuta ABC ako je c = 25,2 cm, α = 77 30' i β = 53. (zadatak 2.3. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 3. Ne rabeći računalo izračunaj površinu trokuta ABC ako je b = 2, c = 3 1 i β = 135. (zadatak 3,3. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 4. Površina trokuta iznosi 20 cm 2, dva su njegova kuta jednaka 30 i 45. Kolike su duljine stranica toga trokuta? (zadatak 7. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 5. Površina trokuta jednaka je 30,2 cm 2, zatim je a b = 64 cm 2, te α = 42 25'. Odredi duljine stranica i kutove trokuta. (zadatak 11. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 6. Trokut ABC zadan je sa a = 18 cm, b = 20 cm i v = 11 cm. Kolika je duljina treće stranice trokuta? (zadatak 16. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 7. Izračunaj duljine stranica trokuta ABC ako je α = 36 25', β = 51 28', a duljina polumjera trokutu opisane kružnice iznosi 24 cm. (zadatak 22. str. 151, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 8. Odredi duljinu stranice b trokuta ABC ako je s α = 11 cm, c = 15 cm i β = 41 20'. (zadatak 32. str. 152, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 9. Izračunaj duljinu stranice c trokuta ABC ako je a = 32 cm, b = 20 cm i t = 18 cm. (zadatak 39. str. 152, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović) 10. Izračunaj duljinu stranice b trokuta ABC ako je a = 70 mm, t = 82 mm i t = 58 mm. (zadatak 42. str. 152, Matematika 3, 1. dio autori: Dakić, Elezović)
RJEŠENJA: 1. Izračunaj površinu trokuta ABC ako je a = 22,5 cm, c = 30 cm i γ = 30. a = 22,5 cm c = 30 cm γ = 30 P =? P = ac sin β P 22,5 30 sin30 22,5 30 P = 168,75 cm 2 2. Izračunaj površinu trokuta ABC ako je c = 25,2 cm, α = 77 30' i β = 53. c = 25,2 cm α = 77 30' β = 53 P =? γ = 180 α β = 180 77 30' 53 γ = 49 30' P, P = 325,58 cm 2,,,,
3. Ne rabeći računalo izračunaj površinu trokuta ABC ako je b = 2, c = 3 1 i β = 135. b = 2 c = 3 1 β = 135. P =? Po poučku o sinusu izračunamo druga dva kuta. sinγ sinγ sinγ 2 2 sinγ 2 sinγ 2 2 sinγ 2 3 2 1 sinγsin45 cos30 cos45 sin30 sinγsin45 30 sinγsin15 γ = 15 α = 180 β γ α = 180 135 15 α = 30 svođenje na I. kvadrant sin 135 = sin (180-135 ) = sin 45 = ±± P = bc sin α P 2 3 1
4. Površina trokuta iznosi 20 cm 2, dva su njegova kuta jednaka 30 i 45. Kolike su duljine stranica toga trokuta? P = 20 cm 2 α = 30 γ = 180 α β β = 45 γ = 180 30 45 a, b, c =? γ = 105 a sinβsinγ2psinα a α βγ a b a b,, 2 a 29,28 b, 2 c c, c,, a = 5,41 cm b = 7,65 cm c = 10,45 cm 5. Površina trokuta jednaka je 30,2 cm 2, zatim je a b = 64 cm 2, te α = 42 25'. Odredi duljine stranica i kutove trokuta. P = 30,2 cm 2 42 25' a b = 64 cm 2 + 70 41'28'' 179 59'60'' α = 42 25' 112 66'28'' = 113 06'28'' a, b, c, β, γ =? 66 53'32'' P = ab sin γ β sinγ, 0,94375 γ = 70 41'28'' = 180 α γ β = 180 42 25' 70 41'28'' β = 66 53'32''
a sinβsinγ2psinα a α, a a,,,, a 46,94 a = 6,85 cm a b = 64 b b, b = 9,34 cm c c, c,,, c = 9,58 cm Zadatak ima još jedno rješenje zato što sin γ ima dva rješenja. Jer kada gledamo trigonometrijsku kružnicu, vidimo da sinus ima 2 rješenja (lijevo i desno od osi y). Dakle jedno rješenje je γ 180 γ 180 70 41 28 109 18 32 β = 180 α γ = 180 42 25' 109 18'32'' β = 28 16'28'' a α, a a,,,, a 91,14 a = 9,55 cm a b = 64 b b, b = 6,70 cm = 70 41'28'' a drugo c c, c,,, c = 13,36 cm
6. Trokut ABC zadan je sa a = 18 cm, b = 20 cm i v = 11 cm. Kolika je duljina treće stranice trokuta? v = 11 cm a = 18 cm b = 20 cm c =? P = b P = ab sin γ sinγ 0,6111 γ = 37 40'12'' P 20 11 ili γ 180 P = 110 cm 2 γ 142 19 48 c 18 20 2 18 20 cos37 40 12 c 324400720 0,79154 c 154,08 c = 12,4 cm ili c 18 20 2 18 20 cos142 19 48 c 324400720 0,79154 c 1293,9088 c = 36 cm 7. Izračunaj duljine stranica trokuta ABC ako je α = 36 25', β = 51 28', a duljina polumjera trokutu opisane kružnice iznosi 24 cm. α = 36 25' β = 51 28' γ = 180 α β R = 24 cm γ = 180 36 25' 51 28' a, b, c =? γ = 92 07'
a = 2R sin α a = 2 24 sin 36 25' a = 48 0,59365 a = 28,50 cm b = 2R sin β c = 2R sin γ b = 2 24 sin 51 28' c = 2 24 sin 92 07' b = 48 0,78225 c = 48 0,99932 b = 37,55 cm c = 47,97 cm 8. Odredi duljinu stranice b trokuta ABC ako je s α = 11 cm, c = 15 cm i β = 41 20'. s α = 11 cm c = 15 cm β = 41 20' b =? Prema poučku o sinusu izračunat ćemo kut δ, a onda kutove α i γ. Kada izračunamo sve kutove, opet po poučku o sinusu izračunamo duljinu stranice b. α sinδ β α sinδ sinδ, sinδ0,9006 δ = 115 45'48'' 180 115 45 48 41 20 b 22 57 12 α = 45 54'24'' γ 180 α β γ 180 45 54 24 41 20 γ 93 43 36 b b,, b = 9,92 cm
9. Izračunaj duljinu stranice c trokuta ABC ako je a = 32 cm, b = 20 cm i t = 18 cm. t = 18 cm a = 32 cm b = 20 cm c =? c 2a 2b 4t c 2 32 2 20 4 18 c 2 10242 4004 324 c 1552 c = 39,40 cm 10. Izračunaj duljinu stranice b trokuta ABC ako je a = 70 mm, t = 82 mm i t = 58 mm. t = 82 mm t = 58 mm a = 70 mm => b 2a 2c 4t => c 2a 2b 4t b 2a 22a 2b 4t 4t b 2a 4a 4b 8t b 4b 2a 4a 8t 3b 6a 8t 4t /: 3 b b = 90,2 cm 4t 4t 8136