Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
|
|
- Ἀπφία Παπαδάκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani kut α, ima: prilezecu stranicu, suprotnu stranicu i hipotenuzu. suprotna stranica prilezeca stranica sinα cosα hipotenuza r hipotenuza r suprotna stranica prilezeca stranica tanα cotα prilezeca stranica suprotna stranica hipotenuza r hipotenuza secα cosecα prilezeca stranica suprotna stranica Na donjoj slici, prikazan je jedinicna kruznica, sa radijusom r. To je pomagalo pomocu kojeg se jednostavnim putem mogu prikazati vrijednosi za trigonometrijske funkcije. Promatrajmo slijedece trokute u kruznici: Trokut OCE za kut od α i trokut OAB za kut α 6 sin CE cos OC tan DF cot JG sin 6 AB cos 6 OA tan 6 DH cot 6 JK r Triginometrija
2 Vrijednosti za kut α 45 nije nacrtana radi preglednosti. Lako je zakljuciti, da je presjeciste tangens i kotangens pravaca u tocki L. Promatrajmo kvadrat ODLJ. Dijagonala (nije nartana), je duzina OL. Nagib dijagonale kvadrata je α 45. Vrijednosti za funkcije su slijedece: sin 45 nije nacrtano cos 45 tan 45 DL cot 45 JL U praksi se najcesce koriste funkcije : sin, cos i tan. Ostale funkcije se lako izvedu iz osnovnih. 5. Trigonometrijske funkcije specificnih kuteva Promatrajmo donju jedinicnu kruznicu i odredimo pojednie trigonometrijske funkcije : ( α) Analizirajmo kut ϕ 9 + : Iz sukladnosti trokuta OCE i OPT vrijedi i OVP moze se definirati: TP OC sinϕ TP sin 9 + α OC cosα CE OT cosϕ OT cos 9 + α CE sinα DW JG tanϕ DW tan 9 + α JG cotα DF JM cotϕ JM cot 9 + α DF tanα ili nakon sto sredimo, funkcije imaju slijedeci oblik: ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) sin 9 + α cosα odnosno:sin 9 α cosα cos 9 α sinα cos 9 α sinα tan 9 α cotα tan 9 α cotα cot 9 α tanα cot 9 α tanα Slicnim putem dolazimo do slijedecih izraza: ( α) α ( α) α ( α) ( α) α ( α) α ( α) ( α) α ( α) α ( α) ( ± α) ± α ( α) α ( α) sin 8 ± sin sin 7 ± cos sin 6 sinα cos 8 ± cos cos 7 ± ± sin cos 6 cosα tan 8 ± ± tan tan 7 ± cot tan 6 tanα cot 8 cot cot 7 ± tan cot 6 cotα Triginometrija
3 5. Funkcije slozenih kuteva, duzina luka, povrsina kruznog isjecka. sin sin ( 8 + ) sin. cos 5 cos sin 45. tan tan 8 7 tan π π radijana se u pravilu ne pise π π π π 8 6 π 7. π π π 8. 5π 5π π 9. 7π 7π π. π Nadji duzinu kruznog luka koji pripada kruznici radijusa r m i kuta α 6 π π l r ϕ(u radijanima).57m 6. π Nadji radijus kruznice koja ima duzinu luka l 7. cm, koji pripada kutu od α 6 l r ϕ 5 7. π π 6. Nadji pvrsinu kruznog isjecka, odredjenog kutem α 8 i radijusa r 5.5 cm π P r ϕ cm 8. Odredi kut koji pripada kruznom isjecku povrsine 75.5 cm i radijusa r. cm P P r. π r ϕ ϕ 4. Nadji duzinu centralne crte na autoputu, koji ima radijus r m i zatvara π kut od α6 l r ϕ 6 46 m 8 Triginometrija
4 5. Nadji povrsinu koju poda koju zahvate vrata kada se otvore za α a imaju sirinu r75. cm. 76. π c P r ϕ m 8 6. Plinovod duzine l.5 km ima oblik kruznog luka radijusa r 8.5 km. Odredi koji kut zahvata taj luk. l.5 8 ϕ r 8.5 π 7. Rotirajuci rasprsivac za zalijevanje trave zahvaca kut od α5 i baca vodu na udaljenost od r5 m. Odredi povrsinu trave koju zalijeva. π P r ϕ m 8 8. Zeljeznicka pruga ima oblik luka, pod kutem od α 8.Ako je radijus unutarnjeg ruba r 8.55 m a sirina pruge.44 m, nadji razmak u duzini izmedju vanjskog i unutarnjeg dijela pruge: π lu ruϕ m 8 π lv rvϕ ( ) m 8 l m 9. Komunikacijski satelit je uvijek iznad iste tocke ekvatora, na visini od h 59 km. Ako je radijus zemlje r 67 km odredi brzinu satelita. z ( ω ) [ ], ω[ ] Odnos obodne brzine v i kutne brzine v ω r v m s rad s, je definirana sa okret π Odredimo kutnu brzinu zemlje: ω.68 rad / h dan 4sata Radijus na kome se krece satelit: r r + h km Brzina satelita je: v ω r km/ h z. Automobil napravi "U" zaokret u vremenu t 6 s. Izracunaj kutnu brzinu ω automobila. rπ Put je jednak polovici opsega kruznice, rπ: rπ v t v t rπ π π Brzina iznosi: v ω r Izjednacimo: ω r ω.5 rad/s t t 6 Triginometrija 4
5 . Dionica ceste ima oblik kruznog luka, radijusa r 85 m, i zatvara kut od α 5.6. Izracunaj kolicinu potrosenog asfalta, ako je sirina ceste 5. m a debljina asfalta δ.5 m. Povrsina isjecka iznosi: P r ϕ; Cesta ima dvije mjere: unutarnji radijus r 85 m i vanjski radijus r m u π Povrsina isjecka: P ( rv ru ) ϕ (. 85) m 8 Volumen asfalta iznosi: V P v δ m 5.4 Trigonometrijski identiteti Iz ranije izlozene jedinicne kruznice, mogu se izvesti slijedece identicnosti: α + α sinα α α α cscα secα cosα cosα sinα sin cos sin cos tan cotα tanα cotα + tan α sec α + cot α csc α Identicnosti za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija sin i cos : α + β α β α + β α β sinα + sin β sin cos sinα sin β cos sin α + β α β α + β α β cosα + cos β cos cos cosα cos β sin sin Identicnosti za produkt trigonometrijskih funkcija sin i cos : sinαcos β sin sin cos sin sin sin α + β + α β α β α + β α β cosαcos β cos( α + β) + cos( α β) sinαsin β cos( α + β) cos( α β ) Ne ulazeci u dokazivanje istinitosti, u nastavku su identiteti za gornje spomenute funkcije: sin α ± β sinαcos β ± cosαsin β cos α ± β cosαcos β sinαsin β tan tanα + tan β ± tanαtanβ ( α β) sin α sinαcosα cos α cos α sin α ta cos cos cos sin α α α α α cosα α + cosα sin ± cos ± tanα nα tan α Triginometrija 5
6 α + β α β sinα cos β sin sin sin sin sin cos α + β + α β α + β α + β α β cosα sin β sin ( α β) sin ( α β) sinα sin β cos sin + α + β α β cosα cos β cos( α + β) + cos( α β) cosα + cos β cos cos α + β α β sinα sin β cos( α + β) sin ( α β) cosα cos β sin sin cos csc. Dokazi da je: tan cot cos cos csc sin cos sin sin tan cot cos sin cos cos sin sec ϕ cotϕ. tan ϕ tan ϕ sec ϕ sec ϕ tan ϕ tan ϕ sec ϕtanϕ tan ϕ cotϕ tanϕ tanϕ sec ϕ tan ϕ tanϕ ϕ ϕ sec tan po gornjoj definiciji 4. sinϕ cosϕ sinϕcotϕ + sinϕ ( + ) ( + ) ( sinϕ) sinϕ ( sinϕ) ( + sinϕ) ( + ) ( + ) sinϕ sinϕ sin ϕ sinϕcotϕ cosϕ sinϕcosϕ cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ sinϕ sinϕ cos ϕ cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ csc 5. cos tan + cot csc sin sin tan + cot sin cos sin + cos + cos sin sin cos sin cos cos sin Triginometrija 6
7 6. sec csc sec + csc sin ( + tan ) csc csc + csc tan csc + csc + cos sin cos sec + csc 7. sin csc sin cos sin ( csc sin ) sin csc sin sin sin sin cos sin 8. sin tan + cos sec sin sin + cos sin tan + cos sin + cos sec cos cos cos 9. sec tan csc tan + sin cos csc sec tan csc sec csc sec csc sec sec tan +. tan cos + cot sin sin cos tan cos + cot sin cos + sin sin + cos cos sin ( α β) sin. cotα cot β sinαsin β ( ) sin α β sinαcos β cos βsinα sinαcos β cos βsinα cot β cot β sinαsin β sinαsin β sinαsin β sinαsin β π π. sin + cos + ( cos sin ) 4 4 π π π π π π sin + cos + sin cos + cos sin cos cos sin sin π π π π π π sin cos cos sin sin cos + cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin ( cos sin ) + Triginometrija 7
8 . sec + cos + cos + cos + cos cos cos ( ) sec sin cos cos sin cos sin cos sin cos+ cossin sin + sin 4 + sin cos sin cos sin sin ( sincos) 4cos sin α α sin + cos α α 5. sec + csc sinα α α α α sin cos sin cos α α + + sin cos + + sinα α α α α α α α α sin cos sin cos sin cos cos sin α α sec + csc sec tan 6. cos cot sec tan sec tan sec tan po definiciji sec + tan cos cot sec tan cos 7. tan cot sin cos sin cos cos cos + sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos tan cot cos sin 8. cos csc tan csc cot Triginometrija 8
9 sin po definiciji csc sin cos cos csc tan cos + cot + sin 9. sec + tan + cot sin cos sin cos sin sin cos sin sec + tan + cot + + cos cos sin sin cos sin cos cos + sin 4. cos + tan cos + sin cos + sin cos + sin cos + tan sin cos + sin + cos cos 4. tan + cot sin cos sin cos sin cos sin + cos tan + cot sin cos + sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos 4 4. sin 4 cot sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cot cos sin cos sin cos sin 4 4 sin 4 4 cos sin 4. sec ( sec cos ) + + tan sec cos cos sin sin cos sin sec sec cos + + cos + + cos cos cos cos cos sin cos + cos + cos sin + cos sin + sec cos cos cos ( + ) + ( + ) 44. cos cos sin sin cos + cos + sin + sin cos cos sin sin cos + + sin cos + cos sin sin cos cos sin sin cos + sin sin cos cos sin cos cos sin cos Triginometrija 9
10 ( π) ( π) ( ( π π) 45. sin cos cos sin sin cos π cossin π sin coscosπ + sin sinπ cos sin cos cossin sin cos+ cossin cosπ sinπ 46. sin cos cos sin sin sin cos cos 48 sin sin 48 cos + 48 cos6 π sin + cos 48. sin + 4 π π π sin + sin cos + cos sin cos + sin cos + sin cos + sin ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 49. sin sin sin sin sin + sin sin cos + cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin + sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin ( sin ) sin ( sin ) sin sin sin sin + sin sin sin sin 5. sin cos + cos sin sin + cos + csc + cos sin ( + cos) sin cos cos cos cos csc + cos sin + cos sin + cos sin sin 5. Izrazi sin sa faktorima jednostrukog kuta : sin sin + sin cos + cos sin cos cos ( sin ) sin sin cos sin cos + + sin sin sin sin + sin sin sin sin + sin sin sin 4sin Triginometrija
11 5. Dokazi identicnost: + cos α + cos 4α + cos 6α 4 cosα cos α cos α 4α + α 4α α + cos α + cos 4α + cos 6α + cos 6α + cos cos + cos cos cos cos cos cos cos cos α α + α α α + α α + α α α cosαcos cos 4cosαcos αcosα sin 4+ sin 5. Dokazi identicnost: tan cos4+ cos 4+ 4 sin cos sin 4+ sin sin cos sin tan cos 4+ cos 4+ 4 coscos cos cos cos 5. Dokazi identicnost: cos sin ( cos cos cos 5) 6 ( sin cos ) cos sin cos sin cos sin cos 4 sin sin cos sin ( sin cos ) sin ( sin + sin ) ( sin sin + sin sin ) ( c os 5 cos ) + ( cos cos ) 8 ( cos 5+ cos cos + cos ) ( cos cos cos 5) 6 6 tan sin sin 5 4. Dokazi identicnost: sin + sin + tan + cos sin tan tan sin sin + cot tan sin + sin sin cos tan tan Dokazi jednakost: cos 465 cos cos 465 cos65 cos cos cos 5 cos5 6 cos( 7 45 ) cos( 8 ) cos 45 cos Triginometrija
12 sin 75 sin Dokazi jednakost: cos 75 + cos cos sin sin 75 sin5 sin tan cos 75 + cos cos cos cos 5.5 Trigonometrijske jednadzbe Rijesiti trigonometrijsku jednadzbu podrazumijeva pronaci odgovarajuce vrijednosti funkcije za zadani interval nezavisne promijenjive, obicno zadane u radijanima. Dobijena rjesenja imaju, opcenito gledano, beskonacno mnogo rjesenja, jer su trigonometrijske funkcije periodicne, sa slijedecom periodom: Funkcije sin i cos imaju periodu π odnosno ( ) π odnosno kπ; ( k,,,... n) kπ; k,,,... n,funkcije tan i cot imaju periodu U nastavku, sva rjesenja trigonometrijskih jednadzbi, biti ce za interval < π. 5. Rijesi jednadzbu: cosϕ - π 5π cosϕ cosϕ ϕ ( 6 ), ( ) π 5π Rjesenje jednadzbe je: ϕ ( 6 ), ( ) jer zadovoljava postavljene uvjete. 5. Rijesi jednadzbu: cos - sin ϕ ( ) (-) sin sin sin sin + + sin sin sin sin π 5π 6 6 π π 5π π Rjesenje jednadzbe je:, 5, ( sin ) sin ( ), ( 5 ) ( sin + ) sin ( 7 ) 54. Rijesi jednadzbu: sec + tan 6 + tan + + tan 6 tan tan 5 ± 4 4 ± 4 tan, ±.4495 Triginometrija
13 tan , tan , Rjesenje jednadzbe je: , , , ( ) 55. Rijesi jednadzbu: 7sin sin 7sin 6 + sin sin 8 sin Rjesenje jednadzbe je: Rijesi jednadzbu: 4sin sin sin, ± 4 π π 4π 5π sin 6, sin 4, π π 4π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( 6 ), ( ), ( 4 ), ( ) 57. Rijesi jednadzbu: sin 4 cos sincos cos cos sin π π π π cos, ( 45 ), ( 5 ) 4 4 π 5π π 5π sin sin, 5, π π 4π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( 6 ), ( ), ( 4 ), ( ) 58. Rijesi jednadzbu: sin sin + cos sin cos sin + cos cos sin + π π cos 9, 7 π π Rjesenje jednadzbe je: 9, 7 sin + sin, ± Nema smisla. Rjesenje je imaginarni broj. Triginometrija
14 59. Rijesi jednadzbu: cos ( cos sin ) cos cos cos cos sin sin + π π 5π 7π sin, ± ± 45, 5 5, π π Rjesenje jednadzbe je: ( 9 ), ( 7 ) 6. Rijesi jednadzbu: cos sin + sin sin + cos sin sin sin sin k ± k k k k, sin nema smisla π 5π k sin, π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( ), b b 4ac a 6. Rijesi jednadzbu: sin csc sin sin sin sin sin 7π π sin sin, b± b 4ac 6 6 sin, a π sin sin ( 9 ) 7π π π Rjesenje jednadzbe je: ( ), ( ) ( 9 ) Rijesi jednadzbu: tan + sin sin sin cos + sin + sin cos cos cos cos + cos sin, π ( 8 ) sin + sin cos cos sin cos + cos b± b 4ac cos cos + cos cos, a cos Triginometrija 4
15 π 5π, ( 6 ), ( ) Rjesenje jednadzbe je:, π 8 π 5π, 6, 5.6 Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija Funkcije asin d + c acos b + c Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija se u pravilu daje u pravokutnom koordinatnom sistemu, u radijanima, kao jedinici mjere. Na taj nacin funkcijske vrijednosti, zavisne promijenjive, poprimaju realne vrijednosti. Svaka trigonometrijska funkcija ima osnovne karakteristike, za podrucje koje se obicno zadaje u domeni nezavisne promijenjive od π : AMPLITUDA a Maksimalna vrijednost funkcije koja moze biti pozitivna ili negativna. Ta je vrijednost jednaka apsolutnoj vrijednosti a. Promatrajmo funkcije acos 4cos Amplituda funkcije iznosi a 4 asin sin Amplituda funkcije iznosi a PERIODA P Perioda funkcije je definirana kao udaljenost dviju tocaka nezavisno promijenjive, kada funkcija ponavlja svoju vrijednost. Za funkcije sin i cos, perioda iznosi π. To znaci da se vrijdn e osti funkcije ponavljaju svakih π odnosno nakon punog okretaja. π π π Promatranmo funkcije: a sin b sin 4 a, P b 4 π π a cosb cos a, P b Triginometrija 5
16 FAZNI POMAK faza Fazni pomak funkcije je definirana kao pomak pocetne tocke funkcije u odnosu na ishodiste. Taj pomak moze biti pozitivan ili negativan a izrazen je u radijanima ili stupnjevima. c Fazni pomak se racuna faza b π π c Promatrajmo funkcije: sin sin 4 π a b+ c + faza 4 b 8 c π π asin ( b+ c) sin ( π ) faza b π Za zadanu funkciju a cos( b + c) cos odredi amplitudu, periodu i fazni pomak. 6 π π π c Amplituda iznosi: a Perioda iznosi: P 4 faza 6 π π b b Triginometrija 6
17 π π Vodeni val ima oblik funkcije asin ( b+ c).7sin + 4 Odredi amplitudu, periodu i fazni pomak izrazenu u metrima. π π Amplituda iznosi: a.7 m Perioda iznosi: P 4 m b π π c faza 4.5 m b π Funkcije tan; cot; sec; csc Ove trigonometrijske funkcije imaju periodu π, sto znaci da se funkcijska vrijednost ponavlja svakih pola kruga (vidi jedinicnu kruznicu). Triginometrija 7
18 ( ϕ) ( ϕ + ϕ) ( ϕ ) ( ϕ) 6. Izraz sin + 4cos preuredi u oblik acos i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza sin + 4cos acos u intervalu π. acos a cos cos sin sin 4 a cosϕ 4 cosϕ a sin + 4cos asinϕ sinϕ a 4 cos ϕ + sin ϕ + a 5 a ± 5 a a 4 4 a 5 cosϕ ϕ cos a 5 cosϕ ϕ cos sin 4cos 5cos.645 Nase jednadzbe inaju slijedeci izgled: sin + 4cos 5cos(.785) + Triginometrija 8
19 Maksimalna vrijednost: 5cos.645 je za: i ma : 5cos 5 Minimalna vrijednost: 5cos.645 je za:.645 π.785 min : 5cosπ 5 ( ϕ) ( ϕ ϕ) ( ϕ ) 64. Izraz 5sin + sin preuredi u oblik acos i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu π. acos a coscos + sin sin 5sin + sin 5 a cosϕ 5 cosϕ a 5 cos ϕ + sin ϕ + a a a sinϕ sinϕ a + + ± cos ϕ sin ϕ 5 44 a a 5 5 Jednadzba izgledaju ovako: acos cos.76 cosϕ ϕ cos.76 ( ϕ ) ( ).76 Ma: cos(.76 ) je za:.76.9 ma π +.76 Min: cos(.76 ) je za:.76 π.49 min Triginometrija 9
20 66. Izraz sin cos preuredi u oblik asin ( ϕ) ( ϕ ϕ ) cos ϕ + ( ϕ ) i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu π. asin a sin cos cos sin sin cos a cosϕ cosϕ a asinϕ sinϕ a ϕ + ϕ ± cos sin a a sin + ϕ a a π asin ( ϕ) sin ( ϕ) ϕ sin ϕ 4 π Jednadzba izgledaju ovako: asin ( ϕ ) sin 4 π π π π Maksimum: sin je za: ma π π π 7π Minimum: sin je za: min U nastavku su prikazani grafovi za razlicite kombinacije krivulja. Radi lakseg razumijevanja, svaka krivulja je prikazana drugacijom bojom. Eventualni pomak u fazi, se moze vidjeti na mjestu. Rezultirajuca funkcija nacrtana je plavom bojom. Triginometrija
21 sin cos sin + π sin sin + cos sin cos tan cos cosπ sin Triginometrija
22 sin+ cos 5.7 Inverzne trigonometrijske funkcije Za trigonometrijsku funkciju sin kazemo da je sinus luka koji zatvara kut. Inverzna funkcija toj funkciji je arcsin, Arcus sinus. To znaci, da je luk kome je sinus jednak. Trigonometrijska funkcija sin Inverzna funkcija arcsin obicno se pise, arcsin 75. arctan je kut ciji je tangens 76. arccot je kut ciji je cotangens 77. arcsin je dvaput kut ciji je sinus π 78. arccos koji luk ima cosinus α arcsin koji luk ima sinus α π ( ) α ( ) 8. arctan koji luk ima je tangens - 6 π π 8. arctan koji luk ima tangens ( ), jer je tan 6 6 π π 8. arcsin koji luk ima tangens ( 45 ), jer je tan 4 4 π 8. arccsc koji luk ima kosecans ( 45 ), jer je csc 4 sin π sin π π arcsin koji luk ima sinus ( 6 ), jer je sin 85. π cos arctan ( ) koji luk ima tangens( -) ( 45 ), 4 Triginometrija
23 π koliko iznosi cos 4 π π 86. cos( arcsin) koji luk ima je sinus ( 9 ),koliko iznosi cos 87. Rijesi zadanu jednadzbu po : arcsin sin arcsin 88. arctan arctan 4 tan 4 4 arcsec sec sec arc sec( ) 9. arccos cos cos ( ω ϕ) 9. Rijesi pomocu arcus funkcije, po t: Acos t + cos( ωt + ϕ) ( ωt+ ϕ) arccos ωt + ϕ arccos A A A ϕ ϕ t arccos t arccos ω A ω ω A ω 9. Rijesi po t: i Ima sin ωt + α cosϕ + cos ωt+ α sinϕ i i Ima sin ( ωt + α + ϕ) I sin ( ωt+ α + ϕ) i i ωt + α + ϕ arcsin t arcsin α ϕ Ima ω Ima cos 9. Rijesi na nacin koji znas: sec + tan sin ( ) ( ) ma ) ( ) ( ) sin + sin sin ( sin sec + tan + cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin 94. tan + tan 7 tan 6 tan tan 7 tan , Triginometrija
24 ( ) 95. sin, ± 4 π 5π 7π π sin sin sin 96. cos ( ), ( 5 ), ( ), ( ) cos cos, ±, π 8 9, cos π π π 5π 7π π ± cos cos, 5,, 98. cos sin sin cos sin sin cos π 5π sin,π 6 cos cos 6, 99. sin cos + sin cos sin + sin cos + sin sin + sin + sin + sin. Rijesi jednadzbu ako je cos : sin 4 sin 4 cos 4 4cos cos sin. Rijesi jednadzbu ako je sec : 4 tan sec 4 4sec 4 sec tan. Rijesi jednadzbu ako je tan : sin + Triginometrija 4
25 sin tan tan tan cos sin cos + + ( tan) + tan sec cos cos sin 5.8 Sinusov i kosinusov poucak Sinusov poucak: Omjer izmedju stranice trokuta i sinusa kuta suprotnog toj stranici, je konstantan. a b c sinα sin β sinγ Dodajmo jos slijedece: Zbroj stranica s a+ b+ c Povrsina trokuta Upisana kruznica Opisana kruznica Kosinusov poucak: P s s a s b s c P ρ s P abc r sinα 4P Kvadrat nad stranicom trokuta jednak je zbroju kvadrata drugih dviju stranica, umanjenog za dvostruki produkt tih dviju stranica i kosinusa kuta izmedju tih stranica. a b + c bccos( bc, ) Prilikom rjesavanja zadataka, posebno treba voditi racuna o kutu izmedju stranica, kada je kut o veci od ϕ > 9. Tada funkcija cos ϕ mijenja vrijednost i predznak pa se dvostruki produkt zbroji kvadratima drugih dviju stranica.. Dva promatraca medjusobno udaljena 7,45 m, promatraju helikopter istocno od njih, pod kutem: prvi promatrac α, drugi promatrac β v 44. Odredi udaljenost helikoptera od prvog promatraca i visinu helikoptera. α, unutarnji kut drugog promatraca iznosi β 8 β Kut na vrhu, gdje je helikopter iznosi γ 8 α + β 8 + a b c 754sin6 Iz sinusovog poucka: b sin α sin β sin γ si n Visina helikoptera iznosi: h bsin 5,9sin,9 m v 5,9 m Triginometrija 5
26 4. Rijesi trokut: a 45.7, α 65, β 49 γ 8 α + β Iz sinusovog poucka: a b c 45.7 b c sin α sin β sin γ sin65 sin49 sin sin sin 66 b 8.55 c 46.6 sin 65 sin Stol u obliku peterokuta ima dijagonalu duzine. m. Kolika je duzuna stranice. 6 Kut pri vrhu peterokuta iznosi α 7 5 a b c d a Iz sinusovog poucka: a.8 m sinα sin β sinγ sin 7 7 sin 6. Stup je usidren sa dva uzeta. Sila u desnom je 85 kp. Kut koji uzad cine na vrhu stupa je α5 a kut desnog uzeta prema zemlji iznosi β5.7. Odredi silu u lijevom uzetu. Treci kut iznosi γ 8 ( α β) a b c F 85 F kp sinα sin β sinγ sin 7.8 sin Rijesi trokut: a.76, c.54, β 9. b a + c ac β b a + c ac Iz kosinusovog poucka: cos cos9. b ac b cos a b c Iz sinusovog poucka: sin α sin β sin γ sinα sin9. sinγ.76sin9. sinα.68 α sin9. sinγ.696 γ Rijesi trokut: a 9.5, b 45., c 67.5 b + c a Iz kosinusovog poucka: a b + c bccosα cosα bc cosα.888 α a b bsinα Iz sinusovog poucka: sin β 45.sin sinα sin β a 9.5 Triginometrija 6
27 β 4.65 γ 8 α + β γ Cjevovod je zbog prirodne prepreke mijenjao pravac. Prvi dio je dug,756 km a drugi 4,675 km. Kut skretanja trase iznosi γ Koliko je povecana duzina cjevovoda zbog te prepreke. c a + b c ab 7, 48,87.5 cosγ, , 675, 765 4, 675cos68.85 Duzina zamisljene trase iznosi: c 8,9.59 km Duzina trase iznosi:, , 675 8, 4 km Razlika u duzini iznosi: l 8,4 8, km. Rijecni brod putuje brzinom.5 km/h ali zbog strujanja vode, ta je brzina.7 km/h u odnosu na obalu. Koja je brzina vode, ako brod putuje pod kutem γ.6. c a b abcosγ cos.6 c 5.87 c 5.86 Brzina vode iznosi: 5.86 km/h 5.9 Trigonometrijske funkcije u parametarskom i polarnom obliku Trigonometrijske funkcije zadane u parametarskom obliku ( ) () () Ako se tocka, moze zadati u ovisnosti o trecoj promjenjivoj t, tada se jednadzbe f t i f t zovu parametarske jednadzbe a parametar je t.. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu cos t, sin t u pravokutnom koordinatnom sistemu: cost cost t + t sint sint Rjesenje predstavlja jednadzbu elipse. cos sin. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu + t, + t u pravokutnom koordinatnom sistemu: + t t t t Rjesenje predstavlja jednadzbu pravca Triginometrija 7
28 . Izrazi parametarski zadanu jednadzbu t, t + u pravokutnom koordinatnom sistemu: + + ( ) + + t + t t t Rjesenje predstavlja jednadzbu parabole t t 4. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu e, e u pravokutnom koordinatnom sistemu: t e t t e e t e Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole 5. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu cos ϕ, sin ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: cosϕ cosϕ cos ϕ + sin ϕ + sinϕ sinϕ Rjesenje predstavlja jednadzbu kruznice Triginometrija 8
29 6. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu 4 + tan ϕ, + sec ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: 4 4+ tanϕ tanϕ 4 tan ϕ + sec ϕ secϕ secϕ ( 4) ( + ) Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole 7. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu tan ϕ, cot ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: tanϕ tanϕ cotϕ tanϕ cotϕ Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole Trigonometrijske funkcije zadane u polarnim koordinatama Polarni koordinatni sistem ima dvije koordinate sa kojima je odredjen polozaj tocke u ravnini. r udaljenost tocke od ishodsta ili r radijvektor. Ishodiste se zove i pol polarnog koordinatnog sistema. ϕ kut rotacije, kut izmedju nultog polozaja r (pozitivni dio osi) Na slici je prikazan odnos velicina u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. Za pretvaranje jednog sistema u drugi koristimo slijedece relacije: rcosϕ rsinϕ r + ϕ Arc tan Triginometrija 9
30 8. Odredi pravokutne koordinate tocke zadane u polarnom obliku. T 4, 4 r 4, ϕ4 r cosϕ 4 cos 4 4( cos 6 ) 4 rsinϕ 4sin 4 4( sin 6 ) 4 T ( 4, 4 ) T(, ) 9. Pretvori pravokutne koordinate tocke T T,, (, ) (,9 ), (, 7 ) ( ), u polarne ± ϕ tan tan ϕ 9 r r Arc Arc T T T ( ). Pretvori pravokutne koordinate tocke T, u polarne. T,, r r ± ϕ Arc tan Arc tan 5 ϕ 5 (,) (,5 ), (, ) T T T ( + i ). Pretvori u polarne koordinate:, 4 + i + i r + + ϕ Arc tan Arc tan 6 ( ϕ ) (,6 ), T(,4 ) + i + i r cos + isin ± cos6 + isin 6 + i T. Pretvori u pravokutne koordinate: rsinϕ rcosϕ Rjesenje je: T, Triginometrija
31 ( + i ). Pretvori u pravokutne koordinate: 6 cos sin rcosϕ 6 cos 6 ( sin ) 6 6 rsinϕ 6 sin 6 cos 6 8 ( + i ) ( + i ) 6 cos sin 6 Triginometrija
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I
Διαβάστε περισσότερα5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa
1 Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 1. Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije su omjeri stranica u pravokutnom trokutu. Mjerenjem je utvrdeno - da medusobni - omjeri stranica
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραZI. NEODREðENI INTEGRALI
ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα(r, φ) φ x. Polarni sustav
olarnom u oložaj točke u ravnini možemo definirati omoću udaljenosti r od ishodišta i kuta φ koji sojnica ishodišta i točke zatvara s osi φ r (r, φ) kut φ je o konvenciji ozitivan ako ga mijenjamo u smjeru
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα( + ) ( ) Derivacija funkcije y = f x, u tocki x, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza:
. DERIVACIJA FUNKCIJE. Pojam derivacije Derivacija funkcije f, u tocki, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza: f lim ili f lim Funkcija je u tocki Obrat
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραDužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραPOPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *
POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij matematike zadaci za maturu 2008.
Repetitorij matematike zadaci za maturu 008 Izračunaj : 7 : 5 + : = 5 5 8 Izračunaj : a ( 05 y ) = y b 8 n 7 9 n+ n n Rastavi na faktore : 5 a + a 8a 6= Skrati razlomke : a ( ) + + a b a b a + a b+ ab
Διαβάστε περισσότερα