UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA ANIMACIJA U INŽENJERSTVU BOJE I OSVETLJENOST RAČUNSKI ZADACI

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA ANIMACIJA U INŽENJERSTVU Dušan Ilić BOJE I OSVETLJENOST RAČUNSKI ZADACI NOVI SAD 06

S A D R Ž A J. SVETLOST KAO ELEKTROMAGNETNI TALAS... Zadaci za samostalni rad... 5. KORPUSKULARNA PRIRODA SVETLOSTI... 6 Zadaci za samostalni rad... 4 3. BOROV MODEL ATOMA...6 Zadaci za samostalni rad... 0 4. ODBIJANJE I PRELAMANJE SVETLOSTI... Zadaci za samostalni rad... 6 5. APSORPCIJA ELEKTROMAGNETNOG ZRAČENJA... 8 Zadaci za samostalni rad... 9 6. INTERFERENCIJA... 30 Zadaci za samostalni rad... 3 7. DIFRAKCIJA... 33 Idealni gasovi... 37 8. POLARIZACIJA... 38 Zadaci za samostalni rad... 40 9. OGLEDALA...4 Zadaci za samostalni rad... 48 0. SOČIVA.....50 Zadaci za samostalni rad... 59

. FIZIKA OKA I VIḌENJA...6 Zadaci za samostalni rad... 64. FOTOMETRIJA... 65 Zadaci za samostalni rad... 73 Vrednosti nekih konstanti... 74

. Svetlost kao elektromagnetni talas.. Intenzitet magnetnog polja ravnog monohromatskog talasa u vakuumu dat je izrazom: ( B = B 0 sin ω t x ), c pri čemu je B 0 = 0 9 T i ω = π 0 5 rad/s. Izračunati: a) frekvenciju, talasnu dužinu i talasni broj ovog talasa; b) jačinu električnog polja. Najjednostavniji oblik talasnog kretanja je ravni harmonijski talas kod koga se intenziteti električnog i magnetnog polja menjaju na sledeći način: ( E y = E 0 sin ω t x ) = E 0 sin (ωt kx), v B z = B 0 sin ω ( t x ) = B 0 sin (ωt kx), v gde je k = ω/v = π/λ talasni broj, a ω = πν ugaona frekvencija (indeksi,,y i,,z odnose se na ose Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema i ukazuju da su vektori E i B normalni kako med usobno, tako i na pravac prostiranja talasa u ovom slučaju to je pravac x ose). Kao i kod mehaničkih talasa i ovde je v = λ ν = ω/k, pri čemu je: v = ε0 ε r µ 0 µ r = c εr µ r. Veza izmed u električnog i magnetnog polja u elektromagnetnom talasu je: B = v E. a) Iz relacije ω = πν,

dobija se da je: ν = ω π = π 05 rad/s π Talasna dužina talasa je: = 05 = 5 0 4 Hz. a talasni broj: λ = c ν = 3 08 m s 5 0 4 Hz = 6 0 7 m = 600nm, k = π λ = 3,4 6 0 7 m =,05 07 m. b) Amplituda električnog polja jednaka je: E 0 = c B 0 = 0,6 V m, tako da se električno polje menja u skladu sa jednačinom: ( E [V/m] = 0,6 sinπ 0 5 t x ). c.. Talasna dužina žute natrijumove svetlosti u vakuumu iznosi λ = 589 nm. Koliko iznose odgovarajuća frekvencija i talasni broj? Iz relacije: sledi: dok na osnovu veze: sledi: ν = c λ = λ ν = c, 3 08 m s 589 0 9 m = 5,09 04 Hz, k = π λ k = 3,4 589 0 9 m =,07 07 m.

.3. Koliko iznose brzina širenja i talasna dužina elektromagnetnog talasa čija je frekvencija ν = 600MHz u benzolu (ε r =,3)? S obzirom da je : sledi: v = c εr µ r = 3 08 m/s,3 =,98 0 8 m/s, λ = v ν =,98 08 m/s 600 0 6 Hz = 0,33m..4. Elektromagnetni talas frekvencije 9 M Hz prelazi iz vakuuma u nemagnetnu sredinu (µ r = ) relativne dielektrične konstante ε r = 8 (voda). Kolika je promena talasne dužine ovog talasa pri prelasku iz jedne sredine u drugu? Talasna dužina u vakuumu iznosi: λ 0 = c ν, a u nemagnetnoj sredini relativne permitivnosti ε r : λ = v ν, gde je: pa je: odnosno: v = c εr µ r, λ = λ λ 0 = c ν c ε r ν = c ( ) = ν εr = 3 ( ) 08 m/s 9 0 6 = 9,6m, Hz 8 λ λ = = 0,89 = 89%. εr 3

.5. Električno polje svetlosnog talasa dato je izrazom: ( ) E [V/m] = 0,5 sin π, 0 5 t 4 0 6 x. Odrediti amplitudu, frekvenciju, talasnu dužinu, period i brzinu ovog talasa. Upored ivanjem date jednačine sa jednačinom ravnog harmonijskog talasa: ( E = E 0 sin ω t x ) = E 0 sin (ωt kx) v može se zaključiti sledeće: Amplituda talasa je: E 0 = 0,5 V m, frekvencija: talasna dužina: λ = π k = ν = ω π =, 05 π π = 6 0 4 Hz, π 4π 0 6 m = 5 0 7 m = 500nm, period: i brzina: T = π ω = ν =,67 0 5 s, v = λ ν = 5 0 7 m 6 0 4 Hz = 3 0 8 m s. 4

Zadaci za samostalni rad:.6. Dato je električno polje elektromagnetnog talasa u vakuumu: ( E y = E 0 sin ω t x ), c gde je E 0 = 50N/C i ω =,0π 05 rad s (žuta svetlost). Odrediti frekvenciju, talasnu dužinu i period ovog talasa..7. Ravni elektromagnetni talas frekvencije,5 0 4 Hz prostire se kroz vakuum. Amplituda električnog polja ovog talasa iznosi 60 V/m. Napisati jednačine za jačine električnog i magnetnog polja tog talasa..8. U homogenoj nemagnetnoj sredini relativne dielektrične propustljivosti ε r = 3 prostire se elektromagnetni talas. Amplituda jačine električnog polja iznosi 0 V/m. Kolika je amplituda jačine magnetnog polja?.9. U nemagnetnoj sredini prostire se ravan elektromagnetni talas. Jačina električnog polja talasa menja se po zakonu: ( ) E = 0 sin 0 0 t 66,7x (u jedinicama SI). Kolika je brzina talasa u toj sredini? Kolika je relativna dielektrična propustljivost sredine? 5

. Korpuskularna priroda svetlosti.. Koliko fotona emituje svake sekunde radio-odašiljač snage kw koji radi na talasnoj dužini 05m? Emitovana energija jednaka je celobrojnom umnošku elementarnog kvanta energije (fotona): E = N hν = N hc λ, a pošto je: E = P t = 0 3 W s =, 0 4 J, sledi: N = E λ h c =, 0 4 J 05m 6,66 0 34 J s 3 0 8 m/s =,4 03... Izračunati frekvenciju fotona koji nastaje kada se elektron kinetičke energije E = 0 kev zaustavi pri sudaru sa teškim jezgrom, pod pretpostavkom da se 80% kinetičke energije elektrona transformiše u energiju fotona. Pod uslovima zadatka sledi da je: a odavde je: 0,8 E k = h ν, ν = 0,8 E k h = 0,8 04,6 0 9 J 6,66 0 34 J s = 3,86 0 8 Hz..3. Monohromatska svetlost talasne dužine 450nm pada normalno na površinu S = 4cm. Ako je intenzitet svetlosti I = 0,5 W m, odrediti koliko dugo površina treba da bude izložena svetlosti da bi na nju palo 0 0 fotona. 6

Intenzitet svetlosti: a energija emitovanih fotona: Kombinacijom ovih relacija dobija se: t = I = P S = E S t, E = N hν = N hc λ. E I S = N hc I S λ = 00 6,66 0 34 J s 3 0 8 m s 0,5 W m 4 0 4 m 450 0 9 m = = 7,36 0 5 s = 8,5dana..4. Spektralna gustina Sunčevog zračenja ima maksimum za talasnu dužinu 480nm. a) Izračunati temperaturu Sunčeve površine pod pretpostavkom da Sunce zrači kao crno telo. b) U kom delu spektra bi spektralna gustina bila maksimalna kada bi se temperatura Sunca smanjila na jednu trećinu sadašnje vrednosti? a) Iz Vinovog zakona se dobija: T = b λ m =,9 0 3 K m 480 0 9 m = 604,7K. b) Na temperaturi: T = T 3 = 03,9K maksimum zračenja bio bi na talasnoj dužini: λ m = b T =,9 0 3 K m 03,9K =,44 0 6 m. 7

.5. Užarena ploča površine 0cm zrači 0,5kWh energije u minuti. a) Odrediti temperaturu ploče ako pretpostavimo da zrači kao apsolutno crno telo. b) Da li je ta ploča zaista crna? a) Iz Štefan Bolcmanovog zakona: I = P S = σ T 4, dobija se da je ukupna izračena energija: E = P t = S σ T 4 t, a odavde je: E T = 4 Sσ t = 0,5 0 3 3600J 4 0 0 4 m 5,67 0 8 W m K 60s 4 T = 4033K. b) Talasna dužina na kojoj je spektralna gustina maksimalna dobija se iz Vinovog zakona: λ m = b T =,9 0 3 K m 4033K = 7,9 0 7 m = 79nm. Ova talasna dužina pripada krajnjem crvenom delu vidljivog spektra, tako da će ploča imati tamnocrvenu boju..6 Apsolutno crno telo zagrejano je do temperature T = 900K. U procesu hlad enja ovog tela, talasna dužina na kojoj je spektralna gustina zračenja maksimalna promeni se za λ = 9µm. Do koje se temperature T ohladilo telo? 8

Prema Vinovom zakonu, za temperaturu T je: λ () m = b T, a za temperaturu T : λ () m = λ () m + λ, b = b + λ = b + λt, T T T pa je tražena temperatura: T = bt b + λt = 90K..7. Temperatura čovekovog tela je Tč = 30K, a okoline T o = 300K. a) Izračunati efektivnu snagu zračenja koju čovek gubi pod tim uslovima ako je površina kože S = m. b) Izračunati i talasnu dužinu λ m maksimuma spektralnog zračenja. a) Prema Štefan-Bolcmanovom zakonu, intenzitet zračenja koje čovek emituje sa površine od m na temperaturi Tč = 30K je: I = σt 4 č. Sa druge strane na njega pada zračenje iz okoline čiji je intenzitet: I = σt 4 o. Snaga koju čovek gubi po jedinici površine jednaka je razlici intenziteta zračenja koje emituje i koje prima od okoline: ( ) I = I I = σ T 4 č T o 4. Ukupna snaga koju čovek gubi sa celog tela je: ( ) P = IS = σ T 4 č T o 4 S P = 5,67 0 8 W [ m K 4 (30K) 4 (300K) 4] m = 9W. 9

b) Talasna dužina koja odgovara maksimumu spektralnog zračenja računa se pomoću Vinovog zakona: λ m = b T, gde je b Vinova konstanta. Za čoveka: λ mč = b Tč =,9 0 3 m K 30K = 9,35 0 6 m, a za okolinu: λ mo = b =,9 0 3 m K T o 300K = 9,67 0 6 m..8. Odrediti minimalnu frekvenciju zračenja koja će izazvati fotoelektrični efekat na materijalu čiji je izlazni rad 3eV. Kom delu spektra pripada to zračenje? Prema Ajnštajnovoj jednačini fotoelektričnog efekta: hν = A + m ev, minimalna (granična) frekvencija (ν g ) je ona za koju je kinetička energija izbijenih fotoelektrona jednaka nuli, te je: ødavde sledi: hν g = A, ν g = A h = 3,6 0 9 J 6,66 0 34 J s = 7,4 04 Hz. S obzirom da je odgovarajuća talasna dužina (,,crvena granica fotoefekta ): λ g = c ν g = 3 08 m s 7,4 0 4 Hz = 44,4nm, zračenje pripada vidljivom delu spektra (ljubičasta boja). 0

.9. Prilikom osvetljavanja površine platine ultraljubičastim zračenjem talasne dužine λ = 04nm, izmereno je da napon pri kome prestaje fotoelektrični efekat (napon zaustavljanja) iznosi U k = 0,8V. Na osnovu ovih podataka izračunati: a) maksimalnu brzinu emitovanih fotoelektrona; b) izlazni rad elektrona iz platine; c) maksimalnu talasnu dužinu (crvenu granicu fotoefekta) pri kojoj je još moguć fotoelektrični efekat. a) Fotoelektrični efekat prestaje pri onom naponu U k pri kome se početna kinetička energija fotoelektrona potroši na rad sile električnog polja, tj: m e v = eu k, a odavde je: v = eu k m e =,6 0 9 C 0,8V 9, 0 3 kg = 5,3 0 5 m s. b) Ajnštajnova relacija za fotoelektrični efekat može se napisati u obliku: odakle sledi: hc λ = A + eu k, A = hc λ eu k = 8,45 0 9 J = 5,3eV. c) U ovom slučaju se energija kvanta elektromagnetnog zračenja utroši samo na izbijanje elektrona, njihova kinetička energija jednaka je nuli, te važi: hc = A λ g = hc λ g A = 6,66 0 34 J s 3 0 8 m/s 8,45 0 9 = 35nm. J.0. Pri osvetljavanju površine nekog metala svetlošću talasnih dužina λ = 350nm i λ = 540nm, maksimalne brzine emitovanih fotoelektrona razlikuju se med usobno n = puta. Izračunati izlazni rad za ovaj metal.

Ajnštajnova relacija za fotoelektrični efekat, primenjena u oba slučaja, ima oblik: hc = A + mv, () λ hc = A + mv. () λ Pošto je energija fotona hc λ > hc λ, sledi da je v = nv, te izraz () postaje: hc λ = A + mn v. (3) Množenjem izraza () sa n i oduzimanjem od izraza (3), dobija se: ( ) hc n ( = A n ). λ λ Rešavanje prethodne jednačine po izlaznom radu daje: A = hc λ n λ ( n ) λ λ = 3 0 9 J =,9eV... Eksperimentalno je ustanovljeno da najveća talasna dužina za koju je moguće ostvariti fotoelektrični efekat na metalu barijumu iznosi λ g = 496nm. Koliki je napon neophodno primeniti da bi se zaustavili fotoelektroni koji izlaze iz katode od barijuma, ako se ona osvetli zračenjem talasne dužine λ = 300nm? Kolika je pri tome brzina izbijenih fotoelektrona? Polazeći od Ajnštajnove jednačine fotoelektričnog efekta u obliku: hc λ = A + eu k i uzimajući u obzir vezu izmed u izlaznog rada i crvene granice fotoefekta: A = hc λ g, dobija se da je: hc λ = hc λ g + eu k,

odakle sledi: Brzina izbijenih fotoelektrona iznosi: U k = hc e λg λ λ g λ =,64V. eu k mv = eu k v = m = 7,6 05 m/s... Svetlost talasne dužine λ = 350nm pada na fotokatodu i pri nekom naponu U dolazi do prekida fotoelektrične struje. Ako se talasna dužina svetlosti smanji za λ = 50nm, odrediti za koliko treba promeniti zakočni napon da bi ponovo došlo do prekida fotoelektrične struje. Analiza Ajnštajnove jednačine fotoelektričnog efekta: hc λ = A + eu k pokazuje da smanjenje talasne dužine odgovara povećanju zakočnog napona: hc λ λ = A + e(u k + U k ). Kombinovanjem gornjih jednačina dobija se: na osnovu čega konačno proizilazi: hc λ λ = hc λ + e U k, U k = hc λ eλ(λ λ) = 0,59V. 3

Zadaci za samostalni rad:.3. Radio-antena emituje radio talase frekvencije ν = M Hz snagom P = kw. Koliko fotona u sekundi emituje ova antena?.4. Lopta poluprečnika r = 0cm nalazi se na temperaturi t = 7. Kolika se energija izrači sa ove lopte za vreme τ = 0s? Loptu smatrati apsolutno crnim telom..5. Pretpostavljajući da Sunce zrači kao apsolutno crno telo, izračunati ukupnu energiju koju m površine Sunca emituje u jednoj godini. Uzeti da je temperatura površine Sunca T = 6000K..6. Otvor na šupljoj, toplotno izolovanoj kugli ima površinu cm. Temperatura zidova kugle je T = 000K. a) Odrediti talasnu dužinu na kojoj je spektralna gustina zračenja maksimalna. O kojoj se vrsti zračenja radi? b) Izračunati intenzitet zračenja kao i ukupnu snagu koju zrači otvor kugle..7. Pod dejstvom ultraljubičastog zračenja frekvencije ν =, 5 0 5 Hz izleću elektroni iz nekog metala brzinom v = 800km/s. a) Koliki je izlazni rad elektrona? b) Kolika je njihova energija u ev?.8. Kolika je brzina fotoelektrona emitovanih iz srebra osvetljenog ultraljubičastim zračenjem talasne dužine λ = 50 nm. Crvena granica fotoelektričnog efekta za srebro je λ g = 60nm. 4

.9. Pri nekoj odred enoj vrednosti zakočnog napona fotostruja sa površine volframa prestaje da teče. Kada se talasna dužina upotrebljene svetlosti promeni a =, 5 puta, za prestanak toka fotostruje neophodno je povećati zakočni napon b = 4 puta. Uzimajući da je,,crvena granica fotoelektričnog efekta za volfram λ g = 75nm, odrediti prvobitnu talasnu dužinu upadne svetlosti. 5

3. Borov model atoma 3.. Koristeći Borove postulate, izračunati za atom vodonika i jon He + : a) poluprečnik prve Borove orbite (osnovno stanje) i brzinu elektrona na njoj; b) ukupnu energiju elektrona u osnovnom stanju; c) talasnu dužinu fotona nastalog prelaskom elektrona sa prvog pobud enog u osnovno stanje. a) Polazne relacije za Borov model atoma su uslov kvantovanja momenta impulsa: m e v n r n = n h ; n =,,3,... () i činjenica da ulogu centripetalne sile ima privlačna Kulonova sila izmed u jednog elektrona u elektronskom omotaču i Z protona u jezgru: m e vn = Ze r n 4πε 0 rn m e v n = 4πε 0 Ze r n. () Ako se izraz () u obliku v n = n h m er n uvrsti u (), dobija se: i konačno: ( ) n h m e = Ze n h m e r n 4πε 0 r n m e r r n = 4πε 0 h Zm e e n = n = 4πε 0 Ze r n, ε 0 h πzm e e n, (3) gde je u poslednjem koraku uzeto u obzir da je: h = h π. Slično tome, ako se iz () izrazi r n u obliku r n = n h m ev n uvrsti u (), dobija se: m e vn = m e v n Ze 4πε 0 n h 6,

odnosno: v n = Ze 4πε 0 h Zamena brojnih vrednosti daje: - za vodonik (Z =, n = ) - za He + (Z =, n = ) n = Ze ε 0 h r = 5,9 0 m ; v =,8 0 6 m s, r =,65 0 m ; v = 4,36 0 6 m s. n. (4) b) Ukupna energija elektrona (energija veze) jednaka je zbiru kinetičke energije i potencijalne energije elektrona u elektrostatičkom polju jezgra: E n = m ev n Ze 4πε 0 r n. Zamenom relacija (3) i (4) u prethodni izraz dobija se: E n = m ez e 4 3ε 0 π h n = m ez e 4 8ε 0 h n, (5) E = 3,6eV (za vodonik), E = 54,4eV (za He + ). Činjenica da je energija veze negativna je posledica okolnosti da je negativna potencijalna energija veća (po apsolutnom iznosu) od pozitivne kinetičke energije. c) Energija fotona emitovanog pri prelasku elektrona sa n-te na k-tu orbitu jednaka je razlici ukupne energije na tim putanjama (5): ( ) hc = E n E k = m ez e 4 ( λ n k 8ε 0 h n ) k odakle sledi: ( ) = m ez e 4 ( λ n k 8cε 0 h 3 k ) n., 7

Uvod enjem Ridbergove konstante: R H = m ee 4 8cε 0 h 3 = m e e 4 64ε 0 π 3 h 3 c =,097 07 m, prethodni izraz postaje: ( ) λ n k = Z R H ( k n ) Za k = i n =,3,4,... dobija se Lajmanova spektralna serija koja odgovara svim mogućim prelazima elektrona sa pobud enih stanja u osnovno. Prelazak elektrona sa prvog pobud enog (n = ) u osnovno stanje (k = ) odgovara spektralnoj liniji Lajmanove serije sa najvećom talasnom dužinom: λ = Z R H ( ). Zamenom dobijenih vrednosti dobija se: λ = 0nm (za vodonik), λ = 30nm (za H + e ).. 3.. Primenom Borove teorije atoma vodonikovog tipa izračunati talasnu dužinu fotona koji se emituje pri prelasku elektrona iz drugog u prvo pobud eno stanje atoma vodonika, a zatim odrediti: a) da li se svetlošću te talasne dužine može izvršiti fotoelektrični efekat na kalijumu, čiji je izlazni rad A K =,5eV ; b) da li je emitovana svetlost vidljiva ljudskom oku. Pri prelasku elektrona iz k tog u n to energijsko stanje atoma vodonika (Z = ) emituje se foton čija je talasna dužina odred ena formulom: λ = R H ( n k ), a odavde, s obzirom da je u našem slučaju k = 3 i n =, proizilazi: ( λ = R H 4 ) = 5 9 36 R λ = 36 H = 656,3nm. 5R H 8

a) Crvena granica fotoelektričnog efekta na kalijumu dobija se na osnovu relacije: A K = hc λ g i iznosi: λ g = hc = 6,66 0 34 Js 3 0 8 m/s A K,5,6 0 9 = 577,8nm. J Budući da je λ > λ g, do fotoefekta neće doći. b) Talasna dužina λ = 656,3nm spada u vidljivi deo spektra (crvena boja). 3.3. Pri prelasku elektrona sa jednog od viših pobud enih stacionarnih nivoa u osnovno energijsko stanje dvostruko jonizovanog atoma litijuma, sukcesivno se emituju dva fotona sa talasnim dužinama λ = 7,9nm i λ = 3,5nm. U kom se pobud enom kvantnom stanju nalazio elektron pre emisije? Pri prelasku elektrona sa n-tog u neko niže (k-to) stacionarno energijsko stanje dvostruko jonizovanog atoma litijuma (Z = 3) emituje se foton čija je talasna dužina odred ena formulom: λ = Z R H ( k n ) = 9R H ( k n ), () dok je pri prelasku sa k-tog u osnovno stanje: ( = 9R λ H ) k. () Sabiranjem jednačina () i () dobija se da je: + ( = 9R λ λ H ) n i konačno: n = λ + λ 9R H λ λ = 3. 9

3.4. Kod kog je atoma vodonikovog tipa razlika talasnih dužina glavnih linija Balmerove i Lajmanove serije jednaka λ = 33,4nm?. Glavna linija Balmerove serije (k = ) nastaje elektronskim prelazom 3 i odred ena je formulom: λ B = Z R H ( ) 3 = 5 36 Z R H, () dok se glavna linija Lajmanove serije dobija pri prelazu : ( = Z R λ H L ) = 3 4 Z R H. () Prema uslovu zadatka i jednačinama () i () dalje sledi: λ = λ B λ L = 88 5Z R H i konačno: Z = 88 5R H λ = 4. Radi se, dakle, o trostruko jonizovanom atomu berilijuma. Zadaci za samostalni rad: 3.5. Polazeći od Borovog modela atoma vodonikovog tipa, odrediti period rotacije elektrona u prvom pobud enom energijskom stanju dvostruko jonizovanog atoma litijuma ( Li +). 3.6. Izračunati talasnu dužinu fotona koji se emituje pri prelasku elektrona iz drugog pobud enog u osnovno stanje dvostruko jonizovanog atoma litijuma. 0

3.7. U spektru nekog vodoniku sličnog jona talasna dužina treće linije Balmerove serije iznosi 08, 5 nm. O kom se elementu radi i koliko iznosi talasna dužina glavne (prve) linije Lajmanove serije za taj element? 3.8. Iz Lajmanove serije vodonikovog spektra izdvaja se jedna linija i njome se osvetljava fotoćelija. Katoda fotoćelije je od rubidijuma, čiji je izlazni rad A =,3eV. Ako je poznato da zakočni napon izmed u katode i anode iznosi U k = 0V, odrediti kom prelazu odgovara ta linija i kolika je brzina emitovanih fotoelektrona.

4. Odbijanje i prelamanje svetlosti 4.. Stub je zakucan u dno reke tako da visina dela koji se nalazi iznad površine vode iznosi h = m. Naći dužinu senke ovog stuba na površini i na dnu reke, ako je,,visina Sunca nad horizontom α = 30, a dubina reke na tom mestu H = m. Indeks prelamanja vode iznosi n =,33. n 0 & n h H Sa slike se vidi da je dužina senke stuba na površini reke: r tg α = h x x = h tg α =,73m. Na osnovu zakona prelamanja sledi: [ sin(90 sin (90 ] α) α) = n sin β β = arcsin = 40,63 n te je: tg β = y H y = H tg β

i konačno: r = x + y = h + H tg β = 3,45m, tg α što predstavlja dužinu senke stuba na dnu reke. 4.. Posuda u obliku kocke sa neprovidnim zidovima postavljena je tako da oko posmatrača ne vidi njeno dno, ali vidi stranu CD. Kolika količina (zapremina) vode se mora usuti u sud da bi posmatrač mogao da vidi predmet P, koji se nalazi na rastojanju b = 0cm od ugla D? Ivica suda je a = 40cm, dok je indeks prelamanja vode n = 4/3. B A P b C D n 0 & n h a Na osnovu postavke zadatka jasno je da je α = 45. Polazeći od zakona prelamanja svetlosti na graničnoj površini vazduh/voda sledi: ( ) sin α sin α = n sin β β = arcsin 3. n c b 3

Sa slike se vidi da je: tg β = c b h tg α = c h = c = h ; = h b h Prema tome, imamo da je: te je tražena zapremina vode: = b h h = h = 6,7cm, V = a h = 0,043m 3. b tg β = 6,7cm. 4.3. Zrak svetlosti pada na planparalelnu staklenu pločicu debljine d = 5cm i indeksa prelamanja n =,5 pod uglom α = 60. Odrediti rastojanje x za koje je zrak koji izlazi iz pločice pomeren u odnosu na upadni zrak. Uvedimo oznake: AB = l i BC = x, kao što je prikazano na slici Zakon prelamanja daje: sin α sin β = n, odnosno: ( ) sin α β = arcsin = 35,6. () n Iz ADB vidi se da je: cos β = d l l = d cos β. () x d A C n D B 4

Konačno, iz ABC proizilazi veza: sin(α β) = x l, odakle se, korišćenjem () i () za traženo rastojanje x dobija: x = dsin(α β) cos β =,56cm. 4.4. Na slobodnu površinu ulja indeksa prelamanja n =, 4 naleže staklena planparalelna pločica kao što je prikazano na slici. Iznad pločice se nalazi vazduh (n 0 = ). Pod kojim najmanjim upadnim uglom svetlosni zrak treba da padne na graničnu površinu ulje-staklo (dolazeći iz ulja) da bi se na graničnoj površini staklo-vazduh totalno reflektovao? n A N N N Za graničnu površinu ulje-staklo (tačka A na slici) zakon prelamanja glasi: B N n n n 0 sin α sin β = n n, () gde je n indeks prelamanja stakla, dok za graničnu površinu staklo-vazduh (tačka B), važi: sin β sin γ = n 0, () n pri čemu je n 0 indeks prelamanja vazduha, a γ prelomni ugao pod kojim svetlost ulazi u vazduh. Na osnovu relacija () i () proizilazi da povećanjem ugla α rastu i odgovarajući prelomni uglovi β i γ u staklu i vazduhu. Do totalne refleksije na graničnoj površini staklo-vazduh dolazi kada prelomni ugao γ postane prav (γ = 90 ), odnosno: sin γ =. (3) 5

Uvrštavajući izraze () i (3) u izraz () konačno se dobija: α = arcsin ( ) n0 = 45,6, n što predstavlja najmanju vrednost ugla α pri kojoj će na granici staklovazduh doći do totalne refleksije. Zadaci za samostalni rad: 4.5. Ako sa nekog mesta iznad površine vode posmatramo predmet P koji se nalazi na dnu bazena dubokog H = m, izgleda nam bliži nego što zaista jeste. Odrediti koliko iznosi prividna dubina h na kojoj vidimo predmet: a) ako se nalazimo tačno iznad njega; b) ako ga gledamo pod uglom α = 60 prema normali. Indeks prelamanja vode iznosi n =,33. d h H P 6

4.6. Snop paralelnih svetlosnih zraka, širok x = 3 cm, pada na ravnu debelu staklenu ploču pod uglom α = 45. Kolika je širina snopa u staklu (y), ako je indeks prelamanja stakla n =, 5? x 4.7. Za koliko će biti pomerena slova ako ih čitamo kroz staklenu planparalelnu ploču debljine d = cm i pri tome gledamo pod uglom α = 45 u odnosu na normalu? Indeks prelamanja stakla iznosi n =, 5. 4.8. Dolazeći iz staklene planparalelne pločice indeksa prelamanja n =, 55, svetlosni zrak pada na graničnu površinu staklo/vazduh pod uglom α = 50. a) da li će ovaj zrak izaći iz pločice? b) da li bi zrak izašao iz pločice kada bi se ona potopila u vodu (n v =,33)? 4.9. Roneći pri dnu mora na dubini 6 m, ronilac gleda gore i vidi likove stena koje leže na dnu. Na kom minimalnom rastojanju od ronioca su stene čije likove vidi? Uzeti da je indeks prelamanja morske vode n =, 4. (Uputstvo: Ronilac vidi likove stena zahvaljujući zracima koji se totalno reflektuju od granične površine voda/vazduh.) 7

5. Apsorpcija elektromagnetnog zračenja 5.. Povećanjem sloja vode na putu elektromagnetnih zraka za cm intenzitet zračenja se smanji tri puta. Naći koeficijent apsorpcije vode. Polazeći od Lamberovog zakona: imamo da je: I t = I 0 e kx, I () t = I 0 e kx, I () t = I 0 e k(x+ x) = I 0 e kx e k x = I () t e k x, I () t I () t = e k x, a pošto je na osnovu uslova zadatka I () t = I () t /3, sledi: i konačno: 3 = e k x ln 3 = k x, k = ln 3 x = 55,m. 5.. Pred snop X-zraka postavlja se olovna folija debljine 0,5cm sa koeficijentom apsorpcije k Pb = 5,5cm. Kolika treba da bude debljina aluminijumske folije da bi efekat slabljenja bio isti, ako se zna da je koeficijent apsorpcije aluminijuma k Al = 0,765cm. Za olovnu pločicu je: a za aluminijumsku: I Pb = I 0 e k Pb x, I Al = I 0 e k Al x. 8

Iz uslova zadatka: I Al = I Pb sledi: I 0 e k Al x = I 0 e k Pb x, a odavde je: odnosno: k Al x = k Pb x, x = k Pb k Al x = 0,343m. Zadaci za samostalni rad: 5.3. Sloj vode debljine 0, cm smanjuje intenzitet γ zraka, čija je energija MeV, na polovinu od upadne vrednosti. a) Odrediti koeficijent apsorpcije vode za γ zrake date energije. b) Izračunati koliki sloj olova je potreban da bi se intenzitet takvog zračenja sveo na polovinu, ako je koeficijent apsorpcije olova k Pb = 5,5cm. 9

6. Interferencija 6.. Paralelan snop polihromatske svetlosti, koji sadrži boje u intervalu talasnih dužina od 360nm do 780nm, pada pod pravim uglom na sloj ulja debljine d = 0,6µm i indeksa prelamanja n =,5 koji pliva na vodi (n vode =,33). Koje boje ovog spektra će biti maksimalno pojačane u snopu reflektovane svetlosti? vazduh( n 0 ) d n =,5 voda ( n vode=,33 ) Optička razlika puteva zraka reflektovanih od gornje i donje granične površine sloja ulja iznosi: δ = nd λ, jer zrak reflektovan od gornje površine sloja trpi skok u fazi. Uslov za maksimalno pojačanje ovih zraka pri interferenciji glasi: odakle se konačno dobija: δ = k λ nd λ = k λ λ = 4nd k + (k = 0,,,3...). U snopu reflektovane svetlosti maksimalno će biti pojačane: crvena boja (λ = 70nm za k = ), zelena boja (λ = 54,3nm za k = 3), ljubičasta boja (λ = 400nm za k = 4). 30

6.. Na staklenu pločicu indeksa prelamanja (n stakla =,6) nanesen je tanki providni antirefleksioni sloj debljine d = 0,µm i indeksa prelamanja n =, 4. Koja će se talasna dužina minimalno reflektovati ako se sloj obasja belom (polihromatskom) svetlošću pod pravim uglom? vazduh( n 0 ) d n =,4 staklo ( n stakla=,6) Optička razlika puteva zraka reflektovanih od gornje i donje granične površine antirefleksionog sloja iznosi: δ = nd + λ λ = nd, jer oba zraka pri refleksiji trpe skok u fazi. Uslov za njihovo maksimalno slabljenje pri interferenciji glasi: δ = (k + ) λ nd = (k + ) λ (k = 0,,,...), odakle se konačno (za k = 0) dobija: λ = 4nd k + = 560nm. 6.3. Na površini morske vode, indeksa prelamanja n =,4, nalazi se mrlja od kerozina debljine d = 70nm i indeksa prelamanja n =,5. Svetlost koja pada vertikalno odozgo na mrlju delimično se propušta kroz nju, a delom se dvostruko reflektuje u sloju kerozina i zatim se propušta kroz vodu. Koja boja (talasna dužina iz opsega vidljive svetlosti) ima najveći intenzitet ako je posmatra ronilac koji se nalazi direktno ispod mrlje? 3

Optička razlika puteva svetlosnih zraka iznosi: δ = n d + λ, d jer se pri refleksiji drugog zraka od optički gušće sredine (vode) unosi fazni pomeraj od λ/. Uzimajući u obzir uslov za maksimalno interferentno pojačanje svetlosnih zraka δ = k λ dobijamo: n d + λ = k λ λ = 4n d k. Tražena talasna dužina dobija se za k = i iznosi: n =,5 n =,4 λ = 450nm. Zadaci za samostalni rad: 6.4. Za podatke iz zadatka 6.3. odrediti koja će se boje maksimalno pojačati u snopu reflektovane svetlosti koju posmatra ribar iz čamca iznad mrlje, a ne ronilac koji se nalazi ispod nje. 6.5. Na ravnu opnu od sapunice, koja se nalazi u vazduhu, pada u pravcu normale snop bele svetlosti. Pri kojoj minimalnoj debljini opne će se u reflektovanoj svetlosti pojačati svetlost talasne dužine λ = 550nm? Da li se pri toj debljini opne u reflektovanoj svetlosti maksimalno pojačava svetlost još neke talasne dužine? Indeks prelamanja svetlosti za sapunicu je n =,3. 3

7. Difrakcija 7.. Monohromatska svetlost talasne dužine λ = 589 nm pada normalno na difrakcionu rešetku. Rastojanje izmed u zaklona i rešetke iznosi l = m, dok je rastojanje izmed u dva maksimuma prvog reda z = 48,485cm. Odrediti konstantu difrakcione rešetke, a potom proveriti da li je ispunjen uslov sin θ tg θ koji važi za male vrednosti uglova difrakcije. a - - 0 3 z Položaji glavnih maksimuma pri difrakciji koherentnog snopa monohromatske svetlosti talasne dužine λ koja pada normalno na optičku rešetku odred eni su jednačinom: nλ = asin θ n (n = 0, ±, ±,...). Sa slike se vidi da je: sin θ = z ( z ) + l, tako da prethodna jednačina dobija oblik: nλ = a z ( z ) + l, a odavde je (n = ): a = nλ ( z ) + l z =,5 0 4 cm = 4000 cm. 33

Za male vrednosti ugla difrakcije važi aproksimacija: sin θ tg θ, jer je u tom slučaju cos θ, pa je tg θ = sin θ cos θ je: tg θ = z, l tako da polazna jednačina dobija oblik: sin θ. Sa slike se vidi da a odavde konačno sledi: nλ = a z l a = nλl z =,43 0 4 cm = 45 cm. S obzirom na malu razliku u rezultatima može se zaključiti da je učinjena aproksimacija opravdana., 7.. Snop monohromatske svetlosti talasne dužine λ = 50 nm pada normalno na difrakcionu rešetku koja ima 400 zareza po milimetru. a) Naći ukupan broj difrakcionih maksimuma koje daje ova rešetka. b) Odrediti rastojanje difrakcionog maksimuma najvišeg reda u odnosu na difrakcioni maksimum nultog reda ( z max ), ako je poznato da udaljenost zaklona od optičke rešetke iznosi l = 00cm. 34

a max n = - - 0 + +... +n z max max a) Polazeći od jednačine koja opisuje difrakciju na optičkoj rešetki: nλ = asin θ n nλ = N sin θ n i imajući u vidu da je sin θ n, može se zaključiti da je maksimalni red difrakcije koji se može dobiti pri datim eksperimentalnim uslovima odred en uslovom: n max Nλ n max Nλ 4,8. Kako n može biti samo ceo broj, za n max uzima se vrednost prvog manjeg celog broja: n max = 4. Prema tome, na zaklonu će se javiti ukupno devet difrakcionih maksimuma (centralni maksimum nultog reda i po četiri sa svake strane). b) Maksimalni ugao difrakcije odred en je jednačinom: n max λ = N sin θ max sin θ max = n max N λ θ max = arcsin (n max N λ) = 56,3. Sa slike se vidi da je tg θ max = z max l z max = l tg θ max =,5m., te je traženo rastojanje: 35

7.3. Kroz difrakcionu rešetku koja se nalazi na rastojanju l = 0,6m od zaklona propušta se svetlost talasne dužine λ = 700nm. Izmereno rastojanje izmed u difrakcionih maksimuma trećeg reda iznosi z 3 = 0,4m. Kako i za koliko treba promeniti rastojanje rešetka-zaklon da bi se difrakcioni maksimumi drugog reda (za svetlost iste talasne dužine) pojavili na rastojanju z = 0,m? a 3-3 - - 0 3 Polazeći od jednačine: z z 3 nλ = asin θ n = a dobija se da je za n = 3: z n ( zn ) + l nλ = a z n zn + 4l, tako da je za n = : a = 3λ z 3 + 4l z 3 =,07 0 5 m, (a z ) z = 0,45m. l = λ Prema tome, rastojanje izmed u rešetke i zaklona traba smanjiti za: l = l l = 0,5m. 36

Zadaci za samostalni rad: 7.4. Optička rešetka ima 600 zareza po jednom milimetru. Odrediti ugao θ izmed u dva difraktovana zraka prvog reda za svetlost talasnih dužina λ = 40nm i λ = 434nm, kao i rastojanje z izmedu odgovarajućih difrakcionih maksimuma na zaklonu udaljenom l = 50 cm od rešetke. 7.5. Normalno na optičku rešetku koja ima 00 zareza po milimetru pada snop monohromatske svetlosti talasne dužine λ = 650 nm. Odrediti ugao difrakcije koji odgovara maksimumu trećeg reda. Koliki je ukupan broj difrakcionih maksimuma koji će se javiti na zaklonu? 37

8. Polarizacija 8.. Koliki je najpogodniji upadni ugao zraka nepolarizovane svetlosti na graničnu površinu vazduh/led da bi se izvršila maksimalna polarizacija reflektovanog zraka. Granični ugao totalne refleksije za ove dve sredine je α g = 60. Prema Brusterovom zakonu je: tg α B = n n 0 = n. B 90 n0 Za totalnu refleksiju na graničnoj površini vazduh/led, pri čemu svetlosni zrak dolazi iz leda, važi zakon prelamanja: n n sinα g = n 0 sin 90 sin α g = n. Kombinacija prethodne dve jednačine daje: ( ) n0 n g = 90 o α B = arctg sin α g = 49,. 8.. Najbolja polarizacija prelomljenog odnosno reflektovanog zraka svetlosti na graničnoj površini vazduh/staklo obrazuje se pri prelomnom uglu β = 3. Koliki je indeks prelamanja stakla? Indeks prelamanja stakla je, prema Brusterovom zakonu: n = tg α B, dok je, na osnovu zakona prelamanja i činjenice da je α B + β = 90 : n 0 sin α B = n sin β n = sin (90 β) sin β = cos β sinβ = ctg β =,6. 38

8.3. U kojim granicama treba da se kreće veličina upadnog ugla na graničnu površinu vazduh/staklo, da bi se izvršila najbolja polarizacija svetlosti pri odbijanju odnosno prelamanju na ovoj graničnoj površini? Indeks prelamanja stakla nalazi se u granicama od n =,5 do n =,90. Prema Brusterovom zakonu je: n = tg α B = sin α B cos α B, odnosno: i konačno: n = sin α B cos α B = sin α B = n sin α B = n + n sin α B sin α B = sin α B sin = α B n + = + n n α B = arcsin n + n. Za n =,5 je α () = B 56,5, a za: n =,9 je α () B granicama treba da se kreće upadni ugao. = 6,4. U tim 8.4. Koji deo svetlosti prolazi kroz analizator ako je ugao izmed u glavnih polarizacionih ravni analizatora i polarizatora θ = 30, θ = 60 i θ = 90? Prema Malusovom zakonu je: I = I 0 cos θ, gde je I 0 jačina svetlosti koja pada na analizator, I jačina koja prod e kroz njega, a θ ugao izmed u ose polarizatora i analizatora. Kroz analizator ne prod e deo svetlosti: δ = I 0 I I 0 = cos θ = sin θ, 39

a prod e: σ = δ = cos θ. Za: θ = 30 σ = 0,75 (75%), θ = 60 σ = 0,5 (5%), θ = 90 σ = 0 (0%). Zadaci za samostalni rad: 8.5. Pod kojim uglom prema horizontu treba da se nalazi Sunce da bi se reflektovani svetlosni zraci od slobodne površine vode najbolje polarizovali? Indeks prelamanja vode je n =,33. 8.6. Snop prirodne svetlosti pada na staklenu prizmu indeksa prelamanja n =,6. Odrediti ugao prizme ϕ, ako se zna da je reflektovana svetlost potpuno polarizovana. 8.7. Intenzitet svetlosti koja dolazi iz polarizatora pri prolasku kroz analizator smanji se dva puta. Koliki je ugao izmed u ravni polarizacije polarizatora i analizatora? 40

9. Ogledala 9.. Koliku najmanju visinu treba da ima i na kojoj visini na zidu mora biti postavljeno ravno ogledalo, da bi čovek visok H =,7m mogao u njemu da vidi ceo svoj lik? Čovekove oči nalaze se na visini h =,60m od poda. Visina ogledala i njegov položaj moraju da budu takvi da svetlosni zraci iz krajnjih tačaka A i B, posle refleksije od ogledala, stignu do čovekovih očiju (tačka O). A F O E H h D B C Na osnovu zakona odbijanja može se zaključiti da je: CD = OB = h i EF = OA = H h, a sa slike se vidi da je visina ogledala DE: DE = H CD EF = H h H h Gornja ivica ogledala treba da se nalazi na visini: = H =,7m = 0,86m. CE = h + EF = h + H h = H + h =,7m +,6m =,66m. 4

9.. Mali predmet se nalazi izmed u dva ravna ogledala postavljena pod uglom α = 30, na rastojanju l = 8cm od linije preseka ogledala. Na kom med usobnom rastojanju x se nalaze prvi imaginarni likovi ovog predmeta u ogledalima? Imaginarni likovi L i L nalaze se na istoj udaljenosti od ogledala kao i predmet P. O P O L x L To znači da je: a takod e i da je ugao i konačno: C CL = l i CL = l, L CL = α. Na osnovu kosinusne teoreme je: x = l + l l cos α x = l ( cos α) = 8cm. 9.3. Konkavno sferno ogledalo daje realan lik koji je tri puta veći od predmeta. Kolika je žižna daljina ogledala, ako je rastojanje izmed u predmeta i njegovog lika d = 0cm? Žižna daljina ogledala dobija se iz jednačine konkavnog sfernog ogledala: odakle je: f = p + l, Kako je uvećanje ogledala: f = p l p + l. () u = L P = l p = 3 () \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ p F P d L 4

i kako se sa slike vidi veza: rešavanjem sistema jednačina () i (3) dobija se: p = d u l p = d, (3) i l = d u u. Zamenom ovih izraza u (), za žižnu daljinu se dobija: f = u d (u + )(u ) = 7,5cm. 9.4. Svetao predmet nalazi se na rastojanju p = 4,7cm od konkavnog ogledala (p > f). Ako se predmet udalji od ogledala za p = 0 cm, rastojanje lika u odnosu na ogledalo promeni se za l = 60cm. Odrediti žižnu daljinu ogledala. p p P F L L Za predmet koji se nalazi na rastojanju p od ogledala, važi relacija: p + l = f. () Kada se predmet udalji od ogledala za p, imamo da je: p + p + l l = f. () 43

Kombinovanjem izraza () i () dobija se kvadratna jednačina po l oblika:: p l p l l p (p + p) l = 0, čija su rešenja: l (,) = l [ ± + ] 4p (p + p) p l l = 50cm (negativno rešenje odbacujemo, jer zbog uslova p > f lik ne može biti imaginaran!) Sada je na osnovu (): f = p l 4,7cm 50cm = p + l 4,7cm + 50cm = 33,4cm. 9.5. Svetao predmet nalazi se na rastojanju p = 3 f od konveksnog ogledala. Kakav će biti i gde će se nalaziti lik ovog predmeta? Jednačina konveksnog ogledala ima oblik: f = p l, p P p jer su žiža i lik koji daje konveksno ogledalo imaginarni. Udaljenost lika od temena ogledala je, prema tome: F L L l = p f p + f, tj. l = 5 f. Uvećanje ogledala je: u = L P = l p = 3 5 <, što znači da je lik umanjen. 9.6. Konkavno i konveksno ogledalo jednakih poluprečnika krivine postavljena su na med usobnom rastojanju d (d > R) tako da im se optičke ose poklapaju. Na kom rastojanju p od temena konkavnog ogledala treba postaviti predmet P da bi njegovi likovi u oba ogledala bili jednakih veličina? 44

p \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ F L F P p \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ L F C d Polazi se od izraza za uvećanje ogledala: u = L P = l p, u = L P = l p. Prema uslovu zadatka L = L, sledi: Na osnovu jednačine za konkavno ogledalo: l p = l p. () f = R = p + l i konveksno ogledalo: sledi: f = R = p l, l = f p p f, () Ako se jednačine () i (3) uvrste u (), dobija se: l = f p p + f. (3) p + f = p f. 45

S obzirom da je d = p + p, sledi p = d p. Tada je: d p + f = p f p = f + d i konačno: p = f + d. 9.7. Dva jednaka konkavna sferna ogledala žižnih daljina f = 30cm postavljena su jedno naspram drugog na rastojanju d = 5f, tako da im se optičke ose poklapaju. Na rastojanju p = 50cm od jednog ogledala nalazi se svetao predmet veličine P = cm. a) Odrediti gde se nalazi konačni lik predmeta, ako je poznato da njega formiraju svetlosni zraci koji se odbijaju najpre od bližeg, a potom od daljeg ogledala. b) Kolika je veličina ovog lika? p P F L F f L p d = 5f a) Položaji likova L i L odred eni su jednačinama: p + l = f l = p f p f = 75cm i p + l = f. Sa slike se vidi da je p = d l = 5f l, tako da dobijamo: l = p f p f = (5f l ) f 4f l = 50cm. 46

b) Uvećanja prvog i drugog ogledala su: u = L P = l p L = l p P, u = L = l = l, L p 5f l na osnovu čega proizilazi: L = l 5f l L = l 5f l l p P = cm. 9.8. Za odred ivanje žižne daljine konveksnog sfernog ogledala O koristi se eksperiment prikazan na slici. Ravno ogledalo O pomera se duž ose sfernog ogledala sve dok se likovi predmeta P u oba ogledala ne poklope, pri čemu su rastojanja a = 30cm i b = 0cm. Kolika je žižna daljina sfernog ogledala? O P O \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ F C a b Konstrukcija likova L pomoću konveksnog i L pomoću ravnog ogledala prikazana je na slici. O P O \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ L F L C a b 47

Polazeći od jednačine konveksnog ogledala: i slike, sa koje se vidi da je: f = p l f = p l p l p = a + b i a = b + l l = a b, dobija se: f = (a + b) (a b) a + b (a b) = a b b = 40cm. Zadaci za samostalni rad: 9.9. Horizontalni zrak svetlosti pada na vertikalni ekran. Ako se na put zraka postavi ravno ogledalce, udaljeno od ekrana za l = 0,5m, svetla tačka na ekranu pomeri se za h = 3,5cm. Pod kojim uglom pada zrak na ogledalce? O h 9.0. Svetao predmet nalazi se na rastojanju p = 3R od temena konkavnog sfernog ogledala poluprečnika krivine R. Za koliko puta će se povećati veličina lika predmeta u ogledalu ako se njegov poluprečnik krivine poveća dva puta? 9.. Predmet veličine P = 3mm postavljen je na udaljenosti p = f/4 od temena sfernog ogledala. Kolika će da bude veličina lika ovog predmeta ako je ogledalo konkavno, a kolika ako je konveksno? 48

9.. Konkavno sferno ogledalo poluprečnika zakrivljenosti R = 0cm i konveksno ogledalo poluprečnika krivine R = 30cm nalaze se na med usobnom rastojanju d = 40cm tako da im se optičke ose poklapaju. Svetao predmet veličine P = 5cm postavljen je na rastojanje p = 5cm od temena konkavnog ogledala. Odrediti položaj, veličinu i prirodu konačnog lika koji grade zraci kada se odbiju najpre od konkavnog, a zatim od konveksnog ogledala. 9.3. Za odred ivanje žižne daljine konkavnog sfernog ogledala O koristi se eksperiment prikazan na slici. Ispred ogledala O postave se dva predmeta P i P i ravno ogledalo O. Ravno ogledalo i predmet P pomeraju se duž ose sfernog ogledala sve dok se likovi predmeta P i P u oba ogledala ne poklope, pri čemu su rastojanja a = 30cm i b = 5cm i c = 6cm. Kolika je žižna daljina sfernog ogledala? a P O C F P O c b 49

0. Sočiva 0.. Plankonveksno sočivo poluprečnika krivine R = 0 cm načinjeno je od stakla indeksa prelamanja n =,5. Kolika je žižna daljina ovog sočiva: a) u vazduhu ; b) u vodi indeksa prelamanja n = 4/3? c) Šta će se desiti ako se sočivo nalazi u sredini čiji je indeks prelamanja n = 3/, isti kao indeks prelamanja materijala od kojeg je napravljeno sočivo? d) Kolika bi bila žižna daljina sočiva ako bi spoljna sredina imala indeks prelamanja n =,6, dakle veći nego što je indeks prelamanja materijala sočiva? Kakav karakter bi imalo ovo sočivo? a) U opštem slučaju žižna daljina sočiva se odred uje iz relacije: j = f = n ( n + ). n R R Kako je u ovom slučaju R = R, R =, n = n i n =, to je žižna daljina ovog sočiva u vazduhu: f = R n = 0cm. b) Žižna daljina sočiva u vodi iznosi: f = R n n = 80cm. c) Žižna daljina sočiva u sredini čiji je indeks prelamanja isti kao i indeks prelamanja sočiva (n = n ) je: f = n R =, n 50

što znači da sočivo gubi svoje osobine i da mu optička moć postaje jednaka nuli. d) U sredini koja ima veći indeks prelamanja od sočiva, žižna daljina sočiva bi bila: f = n R = 60cm. n Dakle, ovom slučaju se pomenuto sočivo ponaša kao rasipno. 0.. U prozorskoj staklenoj ploči ostao je prilikom izrade prostor ispunjen vazduhom oblika bikonveksnog sočiva, čije granične površine imaju jednake poluprečnike krivina R = mm. Koliko iznosi žižna daljina ovog,,sočiva, ako je indeks prelamanja stakla n =,5? Ponovo polazimo od jednačine: f = n n n ( R + R ) ali je u ovom slučaju n =, n n i R = R R: te je tražena žižna daljina: f = ( n ) R,, f = R ( ) n = mm ( ),5 3mm, što znači da se opisani vazdušni prostor ponaša kao rasipno sočivo. 0.3. Pomoću simetričnog sabirnog sočiva čiji je poluprečnik krivine R = 30cm dobija se realan lik nekog predmeta uvećan pet puta. Sočivo se nalazi u vazduhu, a načinjeno je od materijala čiji je indeks prelamanja n =, 50. Odrediti rastojanje predmeta i lika u odnosu na sočivo. 5

p P F F f f L Polazeći od jednačine sabirnog sočiva u obliku: p + l = n n ( + ) = (n ) n R R R, jer je R = R R (simetrično sočivo) i n = i uzimajući u obzir da je: u = l p = 5, dobija se: i konačno: p + 5p = (n ) R 6 (n ) = 5p R p = 3R = 36cm, l = 5p = 80cm. 5(n ) 0.4. Visina plamena sveće iznosi 5 cm. Sočivo, čiji je položaj fiksiran, pokazuje na zaklonu njegov lik visine 5cm. Sveća se potom udalji za p =,5cm od sočiva i pomeranjem zaklona ponovo se dobije oštar lik plamena visine 0 cm. Odrediti žižnu daljinu sočiva. 5

p P p p F F L L Prema uslovu zadatka je: f = p + l = p + l, pri čemu je: i p = p + p, Dakle: odnosno: u = L P = l p = 3 l = 3p, u = L P = l p = l = p = (p + p). + = p 3p p + p + (p + p), p = 8 p = cm i l = 3p = 36cm, na osnovu čega konačno proizilazi: f = p l p + l = 9cm. 53

0.5. Optički sistem se sastoji iz dva tanka sočiva od kojih je jedno sabirno žižne daljine f = 0,8m, a drugo rasipno žižne daljine f =,m. Optičke ose sočiva se poklapaju, a med usobno rastojanje sočiva je jednako zbiru njihovih žižnih daljina. Na rastojanju p =,4m ispred sabirnog sočiva, izvan med usobnog rastojanja sočiva, postavljen je osvetljen predmet. Gde se nalazi krajnji lik predmeta? Da li bi se od datog predmeta mogao dobiti isti ovakav lik, na istom mestu, upotrebom samo jednog sočiva? p p P F F F L L Na osnovu jednačine za sabirno sočivo: sledi: f = p + l f + f l = p f p f =,87m. Lik L je predmet rasipnog sočiva i udaljen je od optičkog centra sočiva za: Koristeći jednačinu za rasipno sočivo: p = f + f l = 0,3m. f = p l, dobija se konačno: l = p f f + p = 0,m. 54

Krajnji lik je imaginaran i obrnut u odnosu na predmet P. Kako su imaginarni likovi uvek uspravni, jasno je da se ovakav lik ne može dobiti na istom mestu upotrebom samo jednog sočiva. 0.6. Dva simetrična bikonveksna sočiva nalaze se u vazduhu. Prvo sočivo ima žižnu daljinu f = 0cm i indeks prelamanja n =,44, a drugo sočivo je žižne daljine f = 0cm i indeksa prelamanja n =,54. Ako se sočiva postave u tečnost indeksa prelamanja n, odrediti: a) kolika mora biti vrednost indeksa prelamanja n da bi u posmatranoj tečnosti oba sočiva imala istu žižnu daljinu f ; b) kolika je vrednost žižne daljine f. a) Kada se sočiva nalaze u vazduhu, važe jednačine: f = (n ) f = (n ) R = R R = R f (n ), f (n ), dok je u slučaju kada se sočiva nalaze u tečnosti indeksa prelamanja n : = n n n, R f f = n n n R. Prema uslovu zadatka je f = f, na osnovu čega sledi: odnosno: i konačno: n n n R = n n n R, n n n f (n ) = n n n f (n ) n = n f (n ) n f (n ) f (n ) f (n ) =,37. 55

b) Polazeći od relacija: dobija se da je: f = n n n f (n ) = n n n f (n ) f = n f (n ) n n = n f (n ) n n = 87,5cm. 0.7. Sabirno sočivo žižne daljine f s daje realan lik nekog predmeta na rastojanju l = 5cm od svog optičkog centra. Kada se neposredno uz njega postavi jedno rasipno sočivo i napravi kombinacija sočiva, rastojanje lika poveća se za l = 5cm. Odrediti žižnu daljinu rasipnog sočiva. P f s f s F s F s L p P f k f k F k F k p + L Jednačina sabirnog sočiva je: p + l = f s, 56

a kombinovanog: = + = f k f s f r p + l + l. Na osnovu ovih relacija proizilazi: i konačno: = l f r l(l + l) l(l + l) f r = = 66,7cm. l 0.8. Objektiv mikroskopa ima optičku moć j = 40 dioptrija, a okular j = 0 dioptrija. Ispod objektiva nalazi se osvetljeni predmet (preparat) veličine P = 0,0mm na rastojanju p =, 8 cm od optičkog centra objektiva. Konačan lik koji daje mikroskop formira se na daljini jasnog vida s = l = 5cm od okulara. Konstruisati konačni lik i odrediti ukupno uvećanje mikroskopa, kao i veličinu L konačnog lika. F okular d p L l l F F p P F objektiv Konstrukcija konačnog lika je prikazana na slici. Žižna daljina objektiva iznosi: f = j = 40 m = 0,05m, L 57

a okulara: Na osnovu jednačine: f = j = 0 m = 0,05m. f = p + l, udaljenost lika L koji formira objektiv imaće vrednost: l = p f p f =,8,5 cm = 3,3cm.,8,5 Lik L igra ulogu predmeta za okular koji deluje kao lupa, tako da na osnovu jednačine: f = p l i uslova zadatka l = s, sledi: p = f s f + s = 5 5 cm = 4,7cm. 5 + 5 Prema tome, ukupno uvećanje mikroskopa može se odrediti kao: u = u u = l s = 49,9 50. p p Kako je uvećanje odred eno i relacijom: veličina konačnog lika biće: u = L P L L = L P, L = u P = 50 0,0mm = mm. 0.9. Mikroskop ima objektiv žižne daljine f = cm, a okular žižne daljine f = 3cm. Razmak izmed u objektiva i okulara je d = 0cm. Na kojoj udaljenosti od objektiva treba postaviti predmet da bi ga, gledajući kroz okular, videli na udaljenosti l = cm? Koliko je linearno uvećanje mikroskopa? 58

Lik koji daje objektiv je predmet za okular i od njega je udaljen za p (pogledati sliku u prethodnom zadatku). Pošto je po uslovu zadatka lik koji daje okular udaljen od njegovog optičkog centra za l = cm, sledi: = p = f l = 3 cm =,64cm. f p l f + l 3 + Lik koji daje objektiv mora biti udaljen od objektiva za: Iz jednačine: sledi da je: l = d p = (0,64)cm = 7,36cm. f = p + l, p = f l l f =,06cm. Linearno uvećanje mikroskopa iznosi: u = u u = l p l p = 36,5. Zadaci za samostalni rad: 0.0. Tankim plankonveksnim sočivom poluprečnika krivine R = 50cm dobija se realan lik koji je tri puta veći od predmeta. Odrediti rastojanja predmeta i lika od ovog sočiva, ako je indeks prelamanja materijala od kojeg je ono načinjeno n =, 50. Koliko bi iznosila ova rastojanja ako bi lik bio imaginaran? 0.. Sabirno sočivo žižne daljine f s = 0cm i rasipno sočivo nepoznate žižne daljine postavljeni su na med usobnom rastojanju d = 50cm tako da im se optičke ose poklapaju. Na udaljenosti p = 5cm ispred sabirnog sočiva nalazi se osvetljeni predmet veličine P. Odrediti žižnu daljinu rasipnog sočiva ako je poznato da je konačni lik ovog predmeta umanjen dva puta. 59

0.. Bikonveksno sočivo daje realni lik posmatranog predmeta sa uvećanjem,5. Ako se sočivo pomeri za cm duž svoje glavne ose, dobija se imaginarni lik istog predmeta sa uvećanjem,5. Kolika je žižna daljina ovog sočiva? 0.3. Odrediti položaj, veličinu i prirodu lika koji nastaje kada se osvetljeni predmet visine P = 5mm postavi na rastojanje p = 4 cm od centra bikonveksnog sočiva. Sočivo je simetrično (R = R R = 0cm), napravljeno je od stakla indeksa prelamanja n =,65, a nalazi se u vodi čiji je indeks prelamanja n v =,33. 0.4. Predmet koji je udaljen 0 cm od centra tankog simetričnog sabirnog sočiva daje na zaklonu lik veličine 4,5cm. Kada se isti predmet pomeri na rastojanje 8 cm od ovog sočiva, veličina lika iznosi 9cm. Odrediti: a) žižnu daljinu sočiva; b) veličinu predmeta. 60

. Fizika oka i vid enja.. Mrežnjača u ljudskom oku se nalazi na rastojanju 4mm od očnog sočiva. Oko se fokusira na predmet udaljen m i visine 40cm. Odrediti žižnu daljinu očnog sočiva, kao i veličinu lika u mrežnjači. Polazeći od jednačine: f = p + l i uzimajući da je p = 00cm, l =,4cm (lik se stvara u mrežnjači), sledi: f = p l p + l =,37cm. Kao što se vidi, žižna daljina očnog sočiva je veoma bliska rastojanju lika l, a to je posledica mnogo većeg rastojanja predmeta (p l). Zbog toga i relativno velike promene veličine p ne zahtevaju znatnu promenu žižne daljine. Veličinu lika u mrežnjači odredićemo polazeći od definicije uvećanja: u = L P = l p L = l p P =,4cm 40cm = 0,48cm = 4,8mm. 00cm.. Kolika je akomodacija (izražena u dioptrijama) neophodna, da bi normalno oko dobro videlo i daleke i bliske predmete? Daljina jasnog vida iznosi s = 5cm. Daljnja tačka akomodacije je beskonačno udaljena, te je: + l = j daleko, gde je l rastojanje lika koji se formira u mrežnjači od očnog sočiva, dok je za blisku tačku: s + l = j blisko. 6

Prema tome, akomodacija oka jednaka je: j = j blisko j daleko = s + l l = s = 5 0 m = 4D..3. Kratkovid čovek može jasno da vidi predmet ako se nalazi na udaljenosti 50cm od oka. Kolika treba da bude optička moć naočara koje on mora da nosi? Uloga sočiva naočara je da,,pomeri predmet iz beskonačnosti na rastojanje sa koga se on jasno vidi. Dakle, čovek treba da koristi naočare koje će davati imaginarni lik beskonačno udaljenog predmeta na rastojanju najmanje 50cm. Iz: l = f, dobija se: f = l = 50cm j = f = D..4. Kakve naočare treba da nosi: a) dalekovid čovek kome je daljina jasnog vida 50cm; b) kratkovid čovek kome je daljnja tačka akomodacije 40 cm? a) Sa naočarima, daljina jasnog vida je s = 5cm, a bez njih s = 50cm. Prema tome, ako se predmet nalazi na rastojanju s, njegov imaginarni lik u sočivu naočara treba da bude na rastojanju s od oka: j = s s j = +D. b) Sa naočarima, daljnja tačka akomodacije je beskonačno daleka, a bez naočara je x = 40 cm. Dakle, imaginarni lik beskonačno dalekog predmeta u sočivu naočara treba da se formira na rastojanju x od oka: x = f = j j = x =,5D. 6