Mate matička Š e s t i c a --------------------------------------------------------------------------------------- BROJ 2 GODINA 2004. CIJENA X kn --------------------------------------------------------------------------------------- MATEMATIČKI ČASOPIS 6. OSNOVNE ŠKOLE VARAŽDIN TEMA BROJA: Četverokut REPORTAŽA: Trogir - državno natjecanje iz matematike Kalnik regionalno natjecanje iz matematike - 1 -
UREDNIK: Adam Trstenjak NOVINARI: Dijana Marinčić Marija Gužvinec Silvija Skorupan Una Mihajlović Mia Maltar Iva Kocman Daria Vlah Ana Habek Ivan Topić Marko Ruža Adam Trstenjak Vjekoslav Sraga SURADNICI:Nives Filipović Ana Šumiga Filip Cingesar Mateja Rozman Zahvaljujemo se svima koji su pomogli da ovaj časopis bude što bolji. Ako imate kakav komentar, prijedlog ili želite sudjelovati u stvaranju idućeg broja matematičke šestice, obratite se uredniku (Adamu Trstenjaku) ili mentoru (nastavnici Katici Kalajdžiji). Zabranjeno je kopirati ili na bilo kakav drugi način umnožavati ovaj časopis bez dozvole uredništva - 2 -
SADRŽAJ. TEMA BROJA: četverokuti 5 Adam Trstenjak, Marija Gužvinec REPORTAŽA: državno natjecanje: Trogir 8 Dijana Marinčić Regionalno natjecanje: Kalnik 16 NAGRADE: Imam žicu. 12 Nagrada HEP-a DOGAĐANJA: Klokan bez granica...18 natjecanja iz matematike..17 DODATAK: plakati: osna simetrija i rotacija 36 ČLANCI: Trogir: grad-muzej 10 Što je matka.. 19 Kako su stari narodi zapisivali brojeve.20 Izometrija ravnine. 22 Stvarajte svijet po vlastitoj mjeri. 14 Što je reverzibilna hidroelektrana 15 Zbornik radova. 22 Osna simetrija... 23 Geometrijska tijela 27 ZABAVNA MATEMATIKA:... 34-3 -
RIJEČ UREDNIKA Prije godinu dana realizirali smo ideju učenika šestog razreda izdali smo prvi dječji matematički list pod nazivom Matematička šestica. Isti je učenik osmislio i pripremio naslovnicu lista te priredio nekoliko priloga. List je izdan u okviru projekta MULTIMEDIJA U MATEMATICI za koji smo putem natječaja dobili financijsku potporu Ministarstva prosvjete i športa. U realizaciji projekta i izradi samog lista sudjelovalo je tridesetak učenika od petog do osmog razreda naše škole. Na tridesetak stranica prezentirane su različite teme, intervjui, prilozi o natjecanjima, zanimljivosti iz područja zabavne matematike s rebusima i stripom. List je pobudio interes medija, jer se smatra jedinim takve vrste u Hrvatskoj. Za realizaciju ovog i drugih projekata iz matematike učenici su koristili svoje slobodno vrijeme, što je vrlo rijedak slučaj, jer se matematika uglavnom svodi na pisanje domaćih zadaća i uvježbavanje zadataka za natjecanja. U ovom broju prezentirani su samo neki radovi koji su nastali u okviru projekta Izometrija ravnine u prirodi, graditeljstvu i kulturi. U svojim radovima učenici su se izražavali na različite načine, koristili različite tehnike, a posebno suvremenu tehnologiju (računalo) i različite izvore znanja. Nalaze se tu i radovi učenika koji nisu nikada bili uspješni u matematici. Naprotiv, često su zanemarivali svoje školske obaveze. Ovakav pristup matematičkim sadržajima pobudio je interes stručne javnosti koja je imala priliku dječje radove sakupljene u obliku ZBORNIKA RADOVA vidjeti na 2. kongresu nastavnika matematike Hrvatske. Postignuti rezultati i interes učenika i javnosti stvorio je jedno novo ozračje u kojem je nastao drugi broj Matematičke šestice koji upravo čitate. Pozivam sve učenike na suradnju. Mi ćemo biti počašćeni Vašim radovima, idejama i sugestijama, a Vi, dragi učenici, zadovoljstvom urađenim. Uvjerena sam da će slijedeći broj Lista bio još zanimljiviji i kvalitetniji. «Predstavljanje prošlog broja «Matematičke šestice» - 4 -
T E M A B R O J A Č E T V E R O K U T I Adam Trrssttenjjak Marriijja Gužviinec d D c C b Čettverrokutt jje diio rravniine odrređen ss čettiirrii ttočke ((A,, B,, C,, D)) ii omeđen ss čettiirrii dužiine ((AB,, BC,, CD,, DA)).. Označavanjje čettverrokutta:: A a B Vrrsstte čettverrokutta:: ČETVEROKUT DELTOID PARALELOGRAM JEDNAKOKRAČNI TRAPEZ ROMB PRAVOKUTNIK KVADRAT Zbrrojj kuttova čettverrokutta:: D c C d b m ABC = 85,93 m BCD = 116,70 m CDA = 84,37 A a B m DAB = 72,99 α + β + γ + δ = 360 Zbrrojj kuttova u ssvakom čettverrokuttu iiznossii 360.. - 5 -
KVADRAT D a C Opsseg Povrrššiina O = 4 a P = a b a A e a f a B Kvadrratt iima 4 prrava kutta ii ssve 4 ssttrraniice jjednake.. Diijjagonalle ssu mu jjednake dulljjiine,, ssiijjeku sse pod prraviim kuttom ii rrasspollovlljjujju sse.. IIma 4 ossii ssiimettrriijje.. PRAVOKUTNIIK Opsseg Povrrššiina O = 2 ((a + b)) P = a b b D e a f C b Prravokuttniik iima 4 prrava kutta ii nassuprrottne ssttrraniice jjednake.. Diijjagonalle ssu mu jjednake dulljjiine ii rrasspollovlljjujju sse.. IIma 2 ossii ssiimettrriijje.. A a B ROMB a D a Opsseg Povrrššiina O = 4a P = a va A a f e B a C Romb iima ssve 4 ssttrraniice jjednake.. Diijjagonalle mu niissu jjednake dulljjiine,, ssiijjeku sse pod prraviim kuttom ii rrasspollovlljjujju sse.. IIma 2 ossii ssiimettrriijje.. PARALELOGRAM Opsseg Povrrššiina O = 2 ((a + b)) P = a va Parrallellogrram iima nassuprrottne ssttrraniice jjednake.. Diijjagonalle ssu mu jjednake dulljjiine ii rrasspollovlljjujju sse.. A b D e a a f B b C - 6 -
A D Nema ossii ssiimettrriijje.. TRAPEZ d e f c a C b B Opsseg Povrrššiina O = a + b + c + d P = ((a + c//2)) v Trrapez nema jjednake ssttrraniice.. JJedan parr nassuprrottniih ssttrraniica mu jje parrallellan.. Diijjagonalle mu niissu jjednake dulljjiine ii ne rrasspollovlljjujju sse.. Nema ossii ssiimettrriijje.. JJEDNAKOKRAČNII TRAPEZ Opsseg Povrrššiina O = a + 2b + c P = [[((a + c)) :: 2]] v JJednakokrračnii ttrrapez iima jjedan parr nassuprrottniih ssttrraniica jjednak,, a drrugii parrallellan.. Diijjagonalle ssu mu jjednake dulljjiine,, allii sse ne rrasspollovlljjujju.. IIma 1 oss ssiimettrriijje.. A b D e c a e C b B DELTOIID Opsseg Povrrššiina O = 2 ((a + b)) P = a b//2 Dellttoiid iima ssussjjedne ssttrraniice jjednake.. Diijjagonallnu niissu jjednake dulljjiine ii ne rrasspollovlljjujju sse,, allii sse ssiijjeku pod prraviim kuttom.. IIma 1 oss ssiimettrriijje.. A b a e f D B b a C Učenički radovi (plakati, modeli geometrijskih tijela i panoi) daju posebno ozračje matematičkoj učionici koja tada odiše vedrinom i životom. - 7 -
D R Ž A V N O N A T J E C A N J E I Z M A T E M A T I K E T R O G I R Diijjana Marriinčiić Državno natjecanje iz matematike održano je od petog do osmog svibnja u Trogiru. Najbolji matematičari od sedmog razreda osnovne do četvrtog razreda srednje škole našli su se u isto vrijeme na istom mjestu. Prvog dana bilo je otvorenje 13. DRŽAVNOG SUSRETA iz matematike, kojeg je organiziralo Hrvatsko matematičko društvo, pod pokroviteljstvom Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa. Nakon svečanog otvorenja slijedio je odmor, uoči velikog dana. Drugi dan, šesti svibanj bio je napet i važan dan za sve nas matematičare, dvjestotinjak, koliko nas je bilo. U kasnim poslijepodnevnim satima bili su objavljeni rezultati. Slijedio je najsretniji trenutak u mom životu. Prvo mjesto na državnom natjecanju iz matematike, moj najveći uspjeh, nagrada za rad i trud. Nagradom smatram i sve nove prijatelje koje sam stekla u Trogiru, te odličan provod u ta četiri dana. No, svima nama ne bi bilo tako dobro da nije bilo odlične organizacije: izleti, zabava, planovi Druženje nam je bilo glavno zadovoljstvo natjecanja (pored uspjeha, naravno) i trebalo bi biti dobar motiv za uporan rad i dolazak na Državno natjecanje, jer tu nitko nije gubitnik. Velik je uspjeh među tisućama najboljih biti pozvan na državno natjecanje, biti u društvu četrdesetorice najboljih matematičara u državi u svojoj generaciji. Važno je sudjelovati, a ne pobijediti iako je super biti POBJEDNIK. - 8 -
USPJEH Osmašica Dijana Marinčić nakon pobjede na državnom prvenstvu: Pobijedila sam u matematici i više me nitko ne zove štrebericom VARAŽDIN Dijana Marinčić, učenica 8.c razreda VI. OŠ Varaždin, postala je državna prvakinja u znanju iz matematike na Državnom natjecanju u Trogiru. Iznenađenje je to veće što je Dijana prvi put bila na državnom natjecanju. Volim matematiku i računanje od prvog razreda. Uvijek sam išla na dodatnu nastavu iz matematike, a natječem se od 4. razreda, no ni prošle godine, kad sam bila u 7. razredu, nisam se uspjela plasirati na državno natjecanje. Ove godine to mi je uspjelo i čak sam uspjela postati državna prvakinja kaže Dijana. Na natjecanju kaže da joj je bili predivno. Upoznala se s mnogo novih prijatelja, a s desetak se nastavila dopisivati i nakon završetka natjecanja. Prijatelji u razredu čestitali su joj i svi su se veselili njezinu uspjehu. U razredu je više ne zezaju da je «štreberica», jer su već prije, kaže Dijana, shvatili da se matematika ne štreba. Matematiku ili znaš ili ne znaš, a sve se može postići vježbanjem. Prijateljima iz razreda često pokazujem nešto iz matematike, što ne razumiju, ali im neću pisati zadaće. To nema smisla, radije im to objasnim, a zadaću neka si prepišu sami, s tim da bi bilo najbolje kada bi je i sami napisali dodaje Dijana. Od matematičkih područja kaže da sva voli podjednako i da ne bi mogla izdvojiti dio koji joj se više sviđa ili koji više voli proučavati i vježbati. U slobodno vrijeme rado trenira odbojku u školskoj ekipi i Klubu Barok. Voli slušati rockglazbu, a od filmova najdraži su joj filmovi katastrofe, oni snimljeni po istinitim događajima i komedije. Kada je lijepo vrijeme, vozi se biciklom do Drave, a u gradu se često može vidjeti na rolama. Internet koristi za dopisivanje s novim i starim prijateljima iz Osijeka, Rijeke, Dubrovnika, Zagreba i drugih gradova te najčešće posjećuje stranice posvećene rock-glazbi. Namjerava se upisati u varaždinsku Gimnaziju na matematički smjer, a na tu odluku nagovaraju je i mnogi nastavnici, uključujući i profesoricu iz matematike Katicu Kalajdžiju, koja joj je bila mentorica na natjecanju. Damir Ivančić Na velike se vrhunce ponekad može uspeti s različitih padina planine, no one koji stignu na vrh obasjava isto Sunce. V. Devide - 9 -
G R A D - M U Z E J T R O G I R Priča o Trogiru počinje prije više od 2 000 godina. Njegova burna povijest, puna fascinirajućih događaja i čudesnih legendi, još je uvijek urezana u kameno lice grada. Ako prošećete Trogirom, dodirnut ćete prošlost i sadašnjost, stvarnost i san. Trogir po noći Grad se nalazi sjeverozapadno od Splita. Smješten je na otočiću koji leži između kopna i otoka Čiova, s kojima je spojen mostovima. U IV. stoljeću na mjestu današnjeg grada Grci su osnovali naselje TRAGURION (mjesto gdje pasu koze). U I. stoljeću dolazi pod vlast Rima, a nakon propasti Zapadnog Rimskog Carstva pod vlast Bizanta, hrvatskih vladara i velikaških obitelji, Venecije i Austrije tako da je grad dijelio sudbinu ostalih dalmatinskih gradova. U XII. i XIII. st. Trogir doživljava privredni procvat. U to vrijeme grad je imao veliku autonomiju. Godine 1322. pada opet pod vlast Venecije, od 1358. priznaje vlast hrvatsko-ugarskog kralja Ludovika I. Godine 1420. Venecija osvaja Trogir i pod vlašću Venecije ostaje sve do njene propasti 1797. godine. Nakon toga, za kratko vrijeme pada pod vlast Francuske, zatim ga ponovno zauzima Austrija pod čijom vlašću ostaje sve do 1918. godine. Oslobođen je 1945. godine, kada postaje sastavni dio Hrvatske. Gradska jezgra na otoku formirala se uglavnom u vremenu od XII. do XV. stoljeća. U to vrijeme Venecija obnavlja zidine i gradi dvije još uvijek sačuvane kule: Kamerlengo i Sv. Marko. Gradske zidine porušene su u XX. stoljeću. Trogir je u prošlosti bio jedno od najznačajnijih kulturnih središta, o čemu svjedoče brojni spomenici kulturne baštine kao što su: Katedrala Sv. Lovre, Gradska loža, Knežev dvor, palača Ćipiko, Kula Kamerlengo, te Muzej grada Trogira i još brojni drugi spomenici. - 10 -
KAIROS Među umjetninama izloženim u samostanskoj zbirci Sv. Nikole najvredniji je grčki mramorni reljef s likom božanstva KAIROSA. Goli mladić s krilima, božanstvo sretnog trenutka i nekadašnji simbol olimpijskih igara u Grčkoj, otkriven je 1928. godine, što je izazvalo senzaciju u znanstvenim krugovima. Kairos je uvijek u letu i treba ga uhvatiti za kosu odatle mu čuperak nad čelom, no na zatiljku nema kose, tj. neuhvatljiv je, kao sretna prigoda. Reljef je izrađen u 4. 3. stoljeću prije Krista. Veliki grčki kipar iz tog vremena, Lizip nastojao je izraditi novi umjetnički ideal, novu koncepciju pokreta. Na trogirskom reljefu, koji je kopija nestalog Lizipovog djela, modulacijom sjena i uzbibanošću muskulature ostvaren je umjetnički ideal tog vremena: sklad, ne samo proporcija već i koordinacija pokreta. S amostanska zbirka Sv. Nikole, Šibenik: Reljef boga Kairosa Dijana nije uspjela dohvatiti čuperak kose Boga sreće (kako još nazivaju Kairosa), no na 13. Državnom natjecanju iz matematike uz malo sreće pokazala je veliko znanje zahvaljujući dugogodišnjem radu. Čestitamo Dijani i njezinoj mentorici na postignutom uspjehu, te joj želimo puno uspjeha u budućem školovanju i životu. Uredništvo - 11 -
I M A M Ž I C U Prestižnu nagradu HEP-a ove godine dobila je Dijana Marinčić, učenica naše škole. Nagrade HEP a učenicima osnovnih i srednjih škola, koji su postigli najbolje rezultate na državnim natjecanjima iz matematike i fizike održanim tijekom svibnja u Trogiru i Malom Lošinju ove desete jubilarne godine dodijeljene su 18. lipnja u Hrvatskoj kazališnoj kući u Zadru. Pod sloganom Imam žicu i u nazočnosti predstavnika Grada, Županije, Ministarstva prosvjete i športa i HEP-a kroz prigodni program dodjele nagrada je vodio rukovoditelj Odjela za odnose s javnošću Mihovil Bogoslav Matković, koji je pozdravivši sve prisutne, a posebice sve učenike i njihove mentore i roditelje rekao: Deset godina zaredom nagrađujemo učenike hrvatskih osnovnih i srednjih škola, pobjednike na državnim natjecanjima iz matematike i fizike. Ove godine i ti možeš reći: IMAM ŽICU. Evo, slijedeći žice Hrvatske elektroprivrede, nakon deset godina došli smo u grad Zadar, grad vrijedan vašeg poštovanja i časti, kao što i on, grad, uzvraća svima nama svojim gostoprimstvom i svojom čašću. Ima toga u izobilju u starom hrvatskom mudrom Zadru. Na razini dnevnih dojmova, često se učini da su naši mladi tek sudionici loših događaja i vijesti. Da stradaju od droge, alkohola, u prometu da su tamo gdje nije zastupljen život. Evo jednog događaja koji poručuje da to nije tako, koji demantira takve dojmove. Ovdje je danas čitava Hrvatska na poseban način, koji je realan i simboličan istodobno, ovdje je Hrvatska zastupljena po - 12 -
svojim mladim veleposlanicima znanja čiji primjer svijetli ovim događajem što nam ga daruje Hrvatska elektroprivreda. Dragi mladi prijatelji, dragi učenici, draga djeco: vi ovim uspjehom upućujete iznova staru istinu, šaljete poruku kako su genijalnost i sreća jednostavni, a stradanje i nesreća vrlo složeni, komplicirani s druge strane. Znamo li se zaustaviti, primiti i razumjeti tu poruku svi mi? Oni mladi i mi stariji, takozvani, zreliji? Vi niste izabrali estradu: izabrali ste teži način, teži put. Put samoodricanja, napora, upravljanja sobom, kao što reče antički mudrac. Takav način nije tipičan za naše vrijeme, stoga je dragocjen. Zato smo istinski počašćeni druženjem s vama, vašim nastavnicima, i roditeljima. Svima čestitamo koji ste ovdje, a vašim roditeljima prenesite naše čestitke, pozdrave i vrsne komplimente za činjenicu da vi imate njih i da oni imaju vas. Budite sretni ovakvim izborom i svim vašim budućim izborima. Na kraju, imajte svoju žicu, slijedite svoju žicu, i ne bojte se. Vidjet će vas pravi ljudi, evo kao što vas je vidjela i prepoznala Hrvatska elektroprivreda. Nagrađeni najbolji matematičari i fizičari osnovnih i srednjih škola 2003. godine. Za razliku od većine njihovih vršnjaka, najbolji matematičari i fizičari su za svoj put u život odabrali mukotrpan i dugogodišnji rad koji će u konačnici i njih učiniti superstarovima, ali na jednom drugom, trajnijem i sjajnijem nebu koje će ovoj našoj zemlji omogućiti daljnji znanstveni i tehnološki razvoj, a HEP može biti ponosan da je, ustanovivši ovu nagradu, među prvima usmjerio svoju pozornost na pravu stvar. - 13 -
STVARAJTE SVIJET PO VLASTITOJ MJERI Ovom je rečenicom Branka Radman, pročelnica odjela za školstvo i kulturu grada Zadra, pozdravila učenike i njihove mentore, pohvalivši ovu vrijednu akciju HEP-a kao primjer da i gospodarstvo prepoznaje školstvo i učenički rad i trud, jer upravo je ta sprega prava formula za uspjeha za sve nas. U ime Župana i Županije, mlade goste je pozdravio pročelnik Upravnog odjela za društvene djelatnosti Pavle Račić i čestitao im na hvalevrijednom uspjehu u kojem se prepoznaje njihov veliki trud, kao i zalaganje njihovih mentora i ravnatelja škola: HEP je prepoznao sutrašnje znanstvenike i nagradio vas. U ime HEP-a prvi se obratio glasnogovornik Radomir Milišić rekavši kako je uvjeren da će i ova nagrada biti jedan od poticaja za njihovu buduću uspješnu karijeru: HEP, kao najsloženiji tehničko-tehnološki sustav, ulazi doslovce u svaku kuću, a nadam se da se barem neki od vas u budućnosti vide u HEP-u, bilo da će kod nas stjecati svoja prva radna iskustva ili se pak odlučiti za nas kao trajnu radnu destinaciju. Zamjenik ravnatelja Zavoda za školstvo mr. sci. Ivan Mrkonjić pohvalio je nastojanje HEP-a da potpomaže izvrsnost u temeljnim znanstvenim područjima kao što su matematika i fizika koja se njeguje u hrvatskom školstvu. Ovu elitnu ekipu u ime Predsjednika Uprave i HEP-a pozdravila je i čestitala im predstojnica Ureda Uprave Marija Modrić, koja u ovoj akciji vidi promociju intelektualnih potencijala: znanje je istinski neotuđiv kapital, stoga vas pozivamo da i dalje kročite putem znanja, budete krojači svoje sreće i pomognete u stvaranju svijeta po vlastitoj mjeri. Upućujem, danas kao prijateljica, a sutra nadam se kao vaša kolegica, iskrene komplimente vašem uspjehu za čije postignuće treba Imati žicu, kao što to domišljato kaže naš ovogodišnji slogan. Nakon pozdravnih govora i kraćeg glazbenog programa, koji je izveo zbor OŠ Šimuna Kožičića Benje iz Zadra, M. Modrić i mr. sci. I. Mrkonjić dodijelili su učenicima sedmih i osmih razreda osnovne škole te učenicima svih razreda srednje škole, a bilo ih je 25, prigodne nagrade za postignute rezultate na natjecanjima iz matematike (14 učenika), fizike (8 učenika), kao i za uspješno obavljene eksperimentalne radove iz fizike (3 učenika). Prigodni pokloni uručeni su i mentorima nagrađenih učenica i učenika. Na nagradama, kao i na ideji da se one dodjeljuju, zahvalila je prof. Zdenka Sedmak iz Zagrebačke V. gimnazije. Maštovitim kratkom igrokazom Grad gradujem, dramska skupina OŠ Š. K. Benje, koju vodi prof. Jadranka Miliša, plijenila je pozornost prisutnih, vodeći ih svojim monolozima kroz tisućljetnu povijest nastanka i stvaranja svoga grada. Nakon ponovnog nastupa zbora pod ravnanjem prof. Asje Vuković, uslijedila je prava poslastica za sve one kojima je sluh razvijenije čulo. Naime, učenik već spomenute škole Šime Košta svojim zvonkim glasom otpjevao nam je vječnu O sole mio i tako nas još jednom uvjerio da će svijet, srećom, ostati i na pametnim, darovitim i duhom zdravim mladim ljudima poput ovih koji su toga 18. lipnja bili nagrađeni, slušani i gledani - 14 -
ŠTO JE REVERZIBILNA HIDROELEKTRANA P I T A N J E J E S A D A onda su sunca naša, koja će paliti i žariti na poljima prirodnih znanosti već u slijedećem naraštaju, nastavila s druženjem prema programu koji je za njih osmislio Odjel za odnose s javnošću, a organizacijski podupro domaćin susreta, DP Elektra iz Zadra i njen direktor mr. sci. Nikola Dellavia, koji je također bio nazočan svečanosti dodjele nagrada. Zadnji sadržaj tog jednodnevnog druženja bio je obilazak naše jedine reverzibilne HE Velebit u Muškovcima kraj Obrovca. U društvu ljubaznih i susretljivih domaćina, direktora Ivana Vrkića, vođe smjene Damira Jisića i voditelja održavanja Kuzmana Karamarka, znatiželjni predstavnici naše tehničke inteligencije i njihovi još znatiželjniji profesori obišli su hidroelektranu, spustili se u njenu utrobu, sve do generatorskog i turbinskog trakta, želeći svojim očima vidjeti te moćne strojeve koji im u kuću šalju svjetlo i energiju koja pokreće sve aparate i sva informatička pomagala kojima upravo mladi vladaju tako suvereno i moćno. Pitanja su se najčešće odnosila na režime rada hidroelektrane, a posebno im je bio zanimljiv noćni crpni rad. HEP Vjesnik 161, lipanj 2004.: Ove godine i ti možeš reći: imam žicu Čestitamo Dijani na postignutom uspjehu iz matematike i na nagradi, kao i njezinoj mentorici Katici Kalajdžiji, te se zahvaljujemo svima koji su prepoznali naše znanje, trud i postignuća na području najstarije ljudske znanosti bez, koje bi zamrle sve aktivnosti današnjice. Posebno se zahvaljujemo HEP-u na nagradama koje motiviraju i ostale učenike na veći rad, trud, zalaganje i odricanje. Uredništvo Dijana Marinčić, 8.c ZADAR, 17. i 18. lipnja 2004. godine HEP, Hrvatska elektroprivreda svake godine nagrađuje najbolje matematičare i fizičare vrlo vrijednim nagradama. Ove godine HEP nas je vodio na dvodnevni izlet u Zadar. Kao i kod svakog izleta i ekskurzije i na ovom su se sklopila razna prijateljstva, družili smo se, zabavljali 18. 06. 2004. godine je ujutro HNK Zadar bila podjela nagrada. Podjeli su prisustvovali predstavnici HEP-a, predstavnik Ministarstva prosvjete i športa, predstavnici Županije o Grada, te nagrađeni učenici i njihovi mentori. Na povratku smo obišli HE Velebit. Eto, još jednu nagradu za sav napor, rad i trud dali su nam HEP-ovci. - 15 -
R E G I O N A L N O N A T J E C A N J E I Z M A T E M A T I K E K A L N I K Adam Trrssttenjjak 15. regionalno natjecanje održano 21. 5. 2004. u prostorijama OŠ Kalnik u mjestu Kalniku u Virovitičko-podravskoj županiji. Budući da sam osvojio dovoljan broj bodova, Hrvatsko matematičko društvo pozvalo me na regionalno natjecanje. Nije mi bilo druge do upustiti se u borbu znanjem. Pogotovo mi nije bio lako večer prije, kad sam htio iskočiti iz svoje kože. No, ipak sam uspio dočekati jutro te se ranom zorom uputiti pred I. OŠ gdje nas je čekao autobus. Tijekom vožnje pokušao sam ne misliti na natjecanje već promatrati prirodu. Oko 9 sati smo stigli u malo mjestašce podno brda Kalnik. Nakon uvodnog programa i otvaranja natjecanja otišli smo do učionica u kojima smo rješavali zadatke. Poslije smo razgledavali mjesto i zabavljali se iščekujući privremene rezultate. Kad sam ih ugledao, radosti i veselje. Prvo mjesto s maksimalnih 50 bodova dijelio sam s još četvero učenika. Nakon toga radosti nije bilo kraja. Oko 18 sati dodijeljene su nam nagrade i natjecanje je zatvoreno. Razišli smo se i, više ili manje sretni, otišli svojim kućama. Pritom valja napomenuti da je već doći na ovo natjecanje velik uspjeh te da smo svi u neku ruku pobjednici. - 16 -
REZULTATI S NATJECANJA Gradsko natjecanje iz matematike Gradsko natjecanje iz matematike održalo se 5. ožujka 2004. godine u VI. osnovnoj školi Varaždin s početkom u 9.00 sati. Oko stotinu natjecatelja od četvrtih do osmih razreda nestrpljivo je dočekalo podjelu zadataka. Natjecanje je završilo u 11 sati i svi su učenici bili pozvani na mali domjenak u blagovaonici. Nakon domjenka svi su otišli kući nestrpljivo očekujući privre mene rezultate. Najuspješniji učenici iz naše škole na ovom natjecanju bili su: ČETVRTI RAZRED: Dino Golubić, Ivan Topić, Marko Ruža, Ana Habek, Daria Vlah i Mia Maltar. PETI RAZRED: Mislav Selec, Ivan Vujec, Martina Habulan i Una Mihajlović. ŠESTI RAZRED: SEDMI RAZRED: OSMI RAZRED: Adam Trstenjak, Luka Zrinski, Lukrecija Oreški, Ana Gabarić i Marija Gužvinec Marko Erlač, Mateja Jagić, Mihaela Bahun i Luka Hojski Dijana Marinčić, Marta Topić i Donat Grgurović. Najuspješniji učenici su bili pozvani na Županijsko natjecanje. Marija Gužvinec, 7.d Županiijjssko nattjjecanjje iiz mattemattiike Županijsko natjecanje iz matematike održalo se 2. travnja 2004. godine u II. osnovnoj školi Varaždin. Svi su bili jako uzbuđeni prije natjecanja. U 9.00 sati natjecateljima su podijeljeni zadaci i rješavanje teških zadataka je počelo. U vremenu od 120 minuta trebao je svaki učenik riješiti pet zadataka, no samo tri ili četiri točno riješena zadatka bila su dovoljna za poziv na Regionalno ili Državno natjecanje iz matematike za učenike osnovnih i srednjih škola. Nakon natjecanja, oko 11 sati, učenike i njihove mentore dočekao je domjenak. Kada je domjenak završio učenici su otišli kući raspravljajući o natjecanju i jedva očekujući privremene rezultate. Najbolji učenici iz naše škole koji su se plasirali na regionalno natjecanje iz matematike za učenike četvrtih, petih i šestih razreda bili su: 4. razred: Ana Habek, Daria Vlah i Mia Maltar 5. razred: Ivan Vujec 6. razred: Adam Trstenjak 8. razred: Dijana Marinčić Marija Gužvinec, 7.d - 17 -
M E Đ U N A R O D N O N A T J E C A N J E KLOKAN BEZ GRANICA Adam Trrssttenjjak,, VII OŠ Varraždiin 2004. I prošle se godine u našoj školi, kao i u mnogim drugim školama svijeta, 18. rujna 2004. održalo međunarodno matematičko natjecanje «Klokan bez granica». Zadatke su rješavali učenici od 4. do 8. razreda, i to u odvojenim starosnim skupinama. Tako su se 4. i 5. razredi natjecali u skupini «Ecoliers», 6. i 7. razredi su bili «Benjamini», a 8. razredi su se u skupini «Cadets» natjecali s prvim razredima srednjih škola. U našoj školi nagrađeni su: Ecolieri: 1. Dino Golubi ć 2. Ana Habek 3. Sarah Duspara 4. Mia Maltar 5. Iva Kocman 6. Josip Rajić 7. Mislav Selec Benjamini: 1. Adam Trstenjak 2. Luka Zrinski 3. Lukrecija Oreški 4. Vanja Nonković 5. Luka Hojski 6. Zoran Tanasić 7. Nives Vidaček Cadeti: 1. Dijana Grd 2. Marta Topić 3. Tomica Kralj 4. Dijana Marinčić 5. Alen Korpar - 18 -
Š T O J E M A T K A? MATKA-ČASOPIS ZA MLADE MATEMATIČARE U Matki se nalaze mnoge zanimljive stvari:-članci -mozgalice -nagradni natječaji -zadaci s natječaja -kutak za najmlađe Kako se pretplatiti na Matku i kako se učlaniti u matematički pomladak HMD-a (Hrvatskog matematičkog društva)? - učlanjenjem u pomladak HMD-a dobivate člansku iskaznicu i pravo na primanje časopisa MATKA (4 broja godišnje) te popust pri kupnji ostalih izdanja HMD-a. Kako se učlaniti? - dostavom osobnih podataka (ime, prezime, JMBG, mjesto i nadnevak rođenja, ime škole i razred, adresa stana i telefon) i uplatom iznosa od 60 kn na žiro račun HMD-a, broj 2360000-1101530802 (s naznakom: za Matematički podmladak) postajete punopravnim članom. - adresa HMD-a: HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO BIJENIČKA CESTA 30 p.p. 335 10002 ZAGREB - 19 -
KAKO SU STARI NARODI ZAPISIVALI BROJEVE Egipatske brojke hijeroglifi Oko 3 000 godina prije Krista postojao je stari Egipat, poznat kao vrlo moćna i bogata država poznata po graditeljstvu (gradili su veličanstvene grobnice piramide), astronomiji i matematici. Poznavali su pismo hijeroglife, koje se je sastojalo od raznih sličica i simbola. Svaki znak pisma imao je svoje značenje pa tako i brojevi. Evo osnovnih znakova pomoću kojih su stari Egipćani zapisivali brojeve: Okomiti štapić broj 1 Potkova broj 10 Uže broj 100 Lotosov cvijet 1 000 Prst - 10 000 Gušterica (punoglavac) 100 000 Božanstvo 1 000 000 Postoje i objašnjenja zašto su Egipćani za brojeve koristili baš ove oznake. Za broj deset koristili su znak potkove jer je svaka potkova na sebi imala deset rupica. Nacrtano mjerno uže označavalo je broj sto, jer se njime mjerilo sto lakata. Slikom lotosovog cvijeta zapisivao se broj tisuću, jer je lotos u tisućama prekrivao močvare oko Nila. Slika savijenog prsta označavala je broj deset tisuća, a sto tisuća se je zapisivao slikom gušterice koje su se nakon poplave Nila mogle u stotinama tisuća naći na muljevitim obalama. Za milijun korišten je znak čovjeka koji raširenih ruku gleda prema zvijezdama i kao da govori: «toliko je zvijezda na nebu» ili «toliki je Bog». Marko Ruža, 5.a i Ivan Topić, 5.a Brojevni sustav indijanskog plemena Maya Indijansko pleme Maya živjelo je u srednjoj Americi na području Meksika i Gvatemale između 3. i 10. stoljeća. Imali su vrlo razvijenu kulturu i znanost, a većina njihovog pisma znanstvenicima je do danas ostala nerazumljiva. Arheolozi su ipak uspjeli i razumjeti brojevni sustav plemena Maya. Taj sustav nije baš jednostavan, pogotovo kada se radi o većim brojevima. Ovdje je tablica prvih 19 brojeva. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Iz tablice je vidljivo da točkica označava broj jedan, a crtica broj pet. Ana Habek, 5. i Daria Vlah 5. b - 20 -
Rimski brojevi Potreba za računanjem i korištenjem brojeva pojavila se vrlo rano, prije više tisuća godina. Ljudi su počeli koristiti brojeve zbog razmjene roba, a prvo računanje bilo je pomoću prstiju. Pojavom pisma, razvili su se i različiti sustavi za označavanje brojeva. U drevnom Egiptu (prije više od tri tisuće godina) brojevi su zapisivani specijalnim simbolima piktografima. Kasnije su stari Rimljani otkrili sustav brojeva, a za njihove su oznake koristili slova. Slova i njihove brojevne vrijednosti prikazuje slika. Te oznake za RIMSKE BROJEVE sačuvane su i do današnjih dana i danas se koriste. Oznaka V za broj pet, zapravo simbolizira ruku koja ima pet prstiju, dok oznaka X za broj deset simbolizira dvije ruke. Evo nekih pravila koja su bitna za pisanje i čitanje rimskih brojeva: - Znamenke I, X, C smiju se napisati uzastopce najviše tri puta. - Znamenke V, L, D ne smiju se pisati više puta uzastopce - Ako su znamenke napisane jedna do druge tako da desna nije veća od lijeve onda se znamenke zbrajaju - Ako su znamenke napisane tako da je vrijednost lijeve znamenke manja od desne onda se vrijednost lijeve znamenke oduzima od desne. Svakodnevni život, u današnje tzv. moderno vrijeme, ne može se ni zamisliti bez upotrebe brojeva (pa tako ni rimskih). Oni se koriste u svim dijelovima društvenog života, a ne samo u matematičkim izrazima. Iva Kocman, 5. a i Mia Maltar, 5.a Arapski brojevi Brojke kojima se danas koristimo zovu se arapske brojke. Zapisuju se pomoću deset znamenaka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10 koje se zovu arapske jer su ih Arapi u srednjem vijeku svojim osvajanjima i kulturom donijeli u Europu. Sarah Duspara i Vjekoslav Sraga Ove zadatke možete riješit arapskim brojkama. Literatura: Dubravka Glasnović Gracin MATEMATIKA 5+ - 21 -
ZBORNIK RADOVA Poznato je da svi volimo raditi ono što nije obavezno i u tome uživamo, dok nekim obavezama prilazimo s manje zadovoljstva ponekad čak i s otporom. U nastavku slijede radovi učenika koji su nastali kao neobavezni dio matematičkih sadržaja, prezentirani na različite načine koje su učenici sami odabrali. Zadani su bili samo matematički sadržaji pod nazivom Izometrija ravnine u prirodi, graditeljstvu i kulturi. Nakon izvjesnog vremena nastali su plakati, crteži izrađeni rukom ili pomoću računala, slike, i prezentacije. Zadovoljni urađenim učenici su i slijedeću cjelinu realizirani i na taj način. Sve radove smo skupili u Zborniku radova koje čuvamo u školi kao sjećanje na jednu generaciju učenika koja je obilježila jedno vrlo uspješno razdoblje u povijesti naše škole. Cjelina koju su učenici obradili je Preslikavanje ravnine. U svakodnevnom životu preslikavanja omogućavaju bolje i lakše razumijevanje tekstova u knjigama i novinama. U matematici pod preslikavanjem podrazumijevamo način na koji od originala nastaje slika. Nije lako prikazati zakrivljenu Zemljinu površinu na ravnom papiru zemljovida. Puno su jednostavnija preslikavanja kod kojih slika poput kopije zadržava oblik i veličinu originala. O simetričnosti govorimo ako original možemo tako preslikati da se slika i original mogu podudarati. U graditeljstvu se često primjenjuje simetrija. Na simetriju često nailazimo u vrtnoj arhitekturi. Mnogi ornamenti su nastali preslikavanjem nekog lika. IZOMETRIJA RAVNINE Slike prikazuju radove učenice koja je svoje likovne sklonosti iskoristila u matematici, a otkrila je i svoje buduće zanimanje dizajner. Silvija Skorupan 8.b - 22 -
Malo umjetničko djelo također u sebi sadrži matematičke (geometrijske) zakonitosti koje vladaju svuda oko nas. Uvjerena sam da će autor ove slike koja prikazuje centralnu simetriju ponovno doživjeti trenutke sreće kao i u vrijeme kada je slika nastala zajedno s još nekoliko radova. - 23 -
RADOVI U MS POWER POINTU Geometrijski lik u ravnini i njegov osnosimetrični lik, međusobno su jednaki! Ako se neki lik preslika osnom simetrijom s obzirom na pravac, pravac je njegova os simetrije! C C B B A o A - 24 -
OSNA SIMETRIJE U SVAKODNEVNOM ŽIVOTU Kod životinja : Biljaka: Na zgradama: Na zastavi: ROTACIJSKI LIKOVI 90 S Rotacijski lik podudarit će se sa svojom slikom ako ga zarotiramo za odgovarajući kut. Ovaj kut rotacije nazivamo kutom rotacijskog lika. - 25 -
- 26 -
Okom kamere zabilježili smo plakate na kojem je prezentirana izometrija ravnine u prirodi, našem baroknom gradu i bližoj okolini kao plakate koji opisuju geometrijska tijela - 27 -
GEOMETRIJSKA TIJELA I priroda i čovjek neprekidno stvaraju mnoštvo geometrijskih tijela. U arhitekturi nailazimo na samo na zamršene i složene, nego i na jednostavne geometrijske oblike. Vjetar i kiša u prirodi su stvorili najčudnovatije geometrijske oblike. Dugo se je vjerovalo da je Zemlja ravna ploča. Bilo je teško uvjeriti ih da Zemlja nije ravna ploča, nego da je okrugla. Predodžba o Zemlji kao ravnoj plohi promijenila se tek u vrijeme velikih putovanja. KOCKA je najsavršenije geometrijsko tijelo: - naglasili su Grci prilikom otvaranja Ljetnih olimpijskih igara. Slijede radovi učenika. PODIJELA GEOMETRIJSKIH TIJELA GEOMETRIJSKA TIJELA PRIZME PIRAMIDE VALJCI STOŠCI KUGLE KVADRI OSTALE PRIZME TROSTRANE KVADRATSKE OSTALE KOCKE KVADRATSKA PIRAMIDA MREŽA PIRAMIDE Čine je baza i pobočke položene u istu ravninu Slika prikazuje mrežu prav ilne četv erostrane piramide - 28 -
KOCKA Ovo je Rubickova kocka. Možemo je uzeti kao model kocke, a sastavljena je od mnogo manjih kocaka. Stari grad Dubovac kula i vidikovac, izgrađen u 13. st. ima oblik kvadra. - 29 -
PIRAMIDA Piramida je geometrijsko tijelo koje ima jednu bazu (osnovku) i pobočje. Baza je mnogokut, a pobočje se sastoji od toliko pobočaka (trokuta) koliko baza ima stranica. Zajednička točka svih pobočaka piramide naziva se vrh. Ovo je muzej Louvre u Parizu u kojem se čuva poznata Mona Lisa. Ima oblik piramide. - 30 -
Ovo je Keopsova piramida, izgrađena negdje oko 2900 god p.n.e. u Gizi u Egiptu za faraona Keopsa. Gradnja je trajala oko 20 godina, a kada je izgrađena bila je visoka 145.75 m. Tijekom godina vrh piramide se urušio za oko 10 m, a ona je bila najviša građevina na Zemlji tokom 4300 godina. VALJAK Valjak je geometrijsko tijelo omeđeno dvama krugovima (bazama) i plaštom koji se u ravnini može razmotati u pravokutnik. - 31 -
Cibonin toranj u Zagrebu izgrađen 1987. godine ima oblik valjka. Korneti sladoleda imaju oblik stošca. - 32 -
Iz ovih je priloga vidljivo da su učenici dobro primijenili matematičko znanje i suvremenu tehnologiju. Priče iz geometrije obogatili su znanjem stečenim na satovima povijesti, biologije i zemljopisa, a pravi primjer za to je slijedeći plakat. Učenici su izrađivali modele različitih geometrijskih tijela, te je tako nastala vrijedna zbirka geometrijskih tijela Nadam se da su vas radovi, sada već bivših učenika naše škole potaknuli da o matematici razmišljate i na drugačiji način, te da se uvjerite da matematika nije bauk, već može biti zanimljiv predmet. Koristim priliku i pozivam sve učenike da svoja matematička znanja pokažu kroz drugačije oblike rada, a mi ćemo ih čitateljima predstaviti u trećem broju šestice. - 33 -
Z A B A V N A M A T E M A T I K A GDJE JE FUNTA? Tri su žene ušle u trgovinu i kupile su radio koji košta 30 funti. Svaka je žena dala 10 funti. Kada su već bile na odlasku, direktor trgovine je pozvao prodavača i rekao mu da snizi cijenu radija za 5 funti. Došao je do blagajne, izvadio novac, 2 funte stavio sebi u džep, a svakoj ženi dao jednu funtu. Znači svaka žena je platila 9 funti, to jest, ukupno 27 funti. 2 funte su u džepu prodavača, a gdje je preostala jedna funta? Učiteljica nam danas kaže dok po ploči brojke slaže: «Zadat ću vam sad zadatak al uopće nije kratak: MATEMATIČKA ZAVRZLAMA Jelena Košćak, 8. a «Okrugle se prvo riješim i pazim da ne pogriješim. Uglate su tad na redu!» Ploči priđem, uzmem kredu. 2+{30-[4+2 5-6+(10-1 9)+5]-15- Nakon uglatih još osta -3:3+1}= vitičasta, duga dosta. Da li dobrovoljca ima da pokaže ostalima? A slijedi i nagrada Riješi li se zagrada» Nitko ruku sad ne diže, ja sve glavu spuštam niže. Odjednom ideja sine, U redoslijedu ja ne griješim i zadatak točno riješim. Tad se imenik zanjiše i petica se upiše. Riješio sam zagrade, pa evo i nagrade! (Računajte sada svi, ruka mi se u zrak vine. rezultat je 3!) ČOKOLADNA MATEMATIKA Koliko puta u tjednu te obuzme želja za čokoladom? (broj mora biti veći od 1 a manji od 10. tj. 1 > 0) 1. Pomnoži taj broj s 2. 2. Dodaj mu 5 (za nedjelju) 3. Taj broj pomnoži s 50! OK, čekam da otiđeš po kalkulator 4. Ako si proslavio/la rođendan ove godine dodaj broj 1753 a ako nisi dodaj 1752 5. Oduzmi godinu tvog rođenja! Trebao bi dobiti troznamenkasti broj Prva znamenka je broj koji si zamislio, a druge dvije broj tvojih godina. Mladen Roginek, 8. a - 34 -
Matematička ispunjalka Otkrij koja se riječ skriva u označenim kvadratima: 1. Broj koji umanjuje? 2. Brojevi koji se množe 3. Lik od tri dužine i tri zajednička vrha 4. Znanost koja se bavi proučavanjem geometrijskih likova 5. 100 * ( ( 11-3)*1) 6. a + b= c to je? 7. Brojevi 2,5,7,11,13,17,. su? 8. Nakon obrađenog gradiva piše se- s - t 9. Jednadžba 2*(a+b) je jednadžba za opseg.? 10.Najgora ocjena u školi je? 1. Marija, Sara i Goran skupljali su kovanice od 5 kuna. Marija je skupila 60 kovanica više od Sare, a Sara je 12 kovanica više od Gorana. Koliko kovanica je skupila Marija, Sara i Goran ako su zajedno skupili 420 kovanica? - 35 -
2. Ante, Miro i Ivan imaju papige Kikija, Rikija i Brbljivka. Antov nije Kiki, Mirijev nije Riki, Ivanov nije Brbljivko. Miro se svaki dan poslije škole igra sa svojim Brbljivkom. Koje dijete ima kojeg papagaja? Una Mihajlović, 6.d ZABILJEŽILI SMO TRENUTAK NEPOSREDNO PRED MEĐUNARODNO NATJECANJE KLOKAN BEZ GRANICA U ČETIRI GODINE DOBILI SMO BROJNE NAGRADE I IMALI SMO DVA POBJEDBNIKA - 36 -
- 37 -
- 38 -
- 39 -