Teorija složenosti izračunavanja Teorija algoritama o o Odlučivi problemi Neodlučivi problemi Posmatrajući Čerčovu tezu, dolazimo do zaključka ka da p

Σχετικά έγγραφα
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

18. listopada listopada / 13

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Elementi spektralne teorije matrica

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Operacije s matricama

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Teorijske osnove informatike 1

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

Teorija algoritama, jezika i automata

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

radni nerecenzirani materijal za predavanja

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

7 Algebarske jednadžbe

Teorija izračunljivosti

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

5. Karakteristične funkcije

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

numeričkih deskriptivnih mera.

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Dijagonalizacija operatora

Vremenske i prostorne klase složenosti

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

Zadaci iz trigonometrije za seminar

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012.

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

Algoritmi i strukture podataka - 1.cas

5 Ispitivanje funkcija

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Zadaci iz Osnova matematike

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

IZVODI ZADACI (I deo)

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

4 Numeričko diferenciranje

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Uvod u teoriju brojeva

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

Uvod u teorijsko računarstvo

Kaskadna kompenzacija SAU

Algoritmi i strukture podataka

Granične vrednosti realnih nizova

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

Transcript:

SEMINARSKI RAD Predmet: Teorija Izračunljivosti Profesor: Zoran Ognjanović Student: Stefan Banović 177/06

Teorija složenosti izračunavanja Teorija algoritama o o Odlučivi problemi Neodlučivi problemi Posmatrajući Čerčovu tezu, dolazimo do zaključka ka da postoji razlika između: o o Praktično izračunljivih funkcija Funkcija koje se mogu izračunati u principu

Tjuringova mašina o Koristi se kao osnovna apstraktna mašina čiji se resursi procenjuju tokom rada programa o Jedina oblast teorije složenosti gde se ne koriste Tjuringove mašine se odnosi na paralelno izračunavanje Prednosti Tjuringove mašine o Relativna jednostavnost o Mogućnosti o Efikasnost (osnovne klase složenosti se ne menjaju)

U U nastavku ćemo govoriti o sledećim stvarima: o Složenost problema o Složenost skupa o Složenost izvršavanja programa (izračunavanja f-ja) f Praktično izračunljivi problemi o Problemi kod kojih je dužina rada odgovarajućeg programa limitirana nekim stepenom dužine ulaznih podataka. Praktično neizračunljivi problemi o Preostali odlučivi problemi, tj. Izračunljivi u principu o Ne konstruišemo opšte algoritme, već algoritme za pojedine slučajeve

Opis problema Formalni model izračunavanja koji ćemo koristiti u analizi složenosti su Tjuringove mašine sa više e traka: o Nedetrministička Tjuringova mašina o Deterministička Tjuringova mašina o Tjuringova mašina sa ulazom i izlazom o Pokazano je da mašina sa jednom trakom može simulirati gore navedene tipove Tjuringovih mašina. Njihovim korišćenjem se ne povećava izražajnost ajnost u odnosu na osnovni model.

Nederministička Tjuringova mašina o Konačnim nim brojem k 1 traka koje su ograničene sa leve strane i od kojih prva traka sadrži i ulazne podatke, a poslednja rezultat o Konačnim nim skupom S stanja, od kojih je q 0 početno, a {q z, q da, q ne } je skup završnih stanja koja redom označavaju avaju završetak rada, pozitivan odgovor na pitanje i negativan odgovor na pitanje o Alfabetom A koji sadrži i znake koji se upisuju u ćelije mašine među kojima su marker levog kraja trake i blanko znak i o Programom u kome se svakoj kombinaciji tekućeg eg stanja i sadržaja aja ćelija nad kojima se nalaze glave mašine pridružuju uju jedna, ili više e akcija; svaka akcija opisuje da li se ostaje u istom ili se prelazi u novo stanje, da li se upisuje novi sadržaj aj u ćelije iznad kojih se nalazi glava i da li se glava pomera Levo, Desno ili ostaje tu gde je.

Deterministička Tjuringova mašina o Od nederminističke se razlikuje samo po tome što se svakoj kombinaciji tekućeg eg stanja i sadržaja aja ćelija nad kojima se nalaze glave mašine pridružuje uje najviše e jedna akcija Tjuringova mašina sa ulazom i izlazom o Deterministička o Nedeterministička o Ima bar dve trake prva traka služi i samo za čitanje, a u poslednju se smesta rezultat (samo za pisanje). Kod poslednje trake glava se ne sme kretati u levo.

Završno stanje q z se koristi pri analizi složenosti izračunavanja funkcija. Prelazak u to stanje označava ava završetak rada programa. Ranije smo diskutovali o efikasnosti simulacije i zaključke ke možemo sumirati u naredne dve teoreme: o Teorema 1: Za datu Tjuringovu mašinu M sa k-traka k i vremenskom granicom složenosti f(n) može e se konstruisati deterministička Tjuringova mašina M M sa jednom trakom koja simulira rad mašine M i ima vremensku granicu složenosti O(f(n) 2 ). o Teorema 2: Za datu nedeterminističku Tjuringovu mašinu M sa k-k traka i vremenskom granicom složenosti f(n) može e se konstruisati deterministička Tjuringova M M sa jednom trakom koja simulira rad mašine M i ima vremensku složenost O(c f(n) ), za c>1 c koje zavisi od mašine M.

Pored nedeterminističkih i determinističkih mašina u opisima klasa složenosti se koriste i druge varijante Tjuringovih mašina Problemi koji se analiziraju u teoriji složenosti izračunavanja karakterišu u se pitanjima koja obično imaju odgovor da ili ne.. Npr. N Da li je određeni graf povezan? Svaki konkretan graf za koji se postavi ovo pitanje je primerak problema. U nekim situacijama, kod optimizacije recimo, rešenje enje problema je neki numerički izraz. Predstavljanje problema se vrši i u nekom formalnom jeziku na alfabetu neke Tjuringove mašine, što se formalno dokazuje sledećom definicijom:

Definicija : Problem L za koji se ispituje soženost je podskup skupa svih reči i nekog alfabeta. Komplement problema L, u oznaci L na nekom alfabetu je skup svih reči i na tom alfabetu koje nisu u L. Dokaz: Neka je dat alfabet A i neka je L problem. Tjuringova mašina prihvata ulazni podatak, odnostno reč x,, ako postoji izračunavanje u kome se, polazeći i od reči x upisane na ulaznoj traci u početnom stanju q 0, dolazi do završnog stanja q da, a odbacuje reč x ako uvek dolazi do završnog stanja q ne. Ako Tjuringova mašina M prihvata sve reči x jezika koje pripadaju problemu L, a odbacuje svaku reč koja nije u problemu L, kaže se da M odlučuje uje problem L. Ako Tjuringova mašina M za ulazni podatak x u izračunavanju dolazi do stanja q z, onda je sadržaj aj poslednje trake rezultat rada mašine u oznaci M(xM (x). Sa L(x) ćemo označavati avati primerak problema L za ulazni podatak x,, odnosno pitanje da li x pripada problemu L.

O notacija U teoriji složenosti izračunavanja često se razmatra brzina rasta funkcije. Brzina rasta se analizira asimptotski, pri čemu se često koriste različite ite aproksimacije koje opisujemo narednim definicijama i tvrđenjima: Definicija 1: Neka su f i g aritmetičke funkcije. Tada je funkcija f u velikom O od g (u oznaci f(x) = O(g(x))) ako postoje brojevi c i n takvi da za svaki x>n x n važi f(x) c g(x). Ako takvi brojevi ne postoje onda f(x) (x) O( O(g(x)). (x)). Umesto funkcija f je u velikom O od g kaže e se da je funkcija f reda funkcije g ili funkcija g je asimptotska gornja granica funkcije f. f

Definicija 2: Funkcija f raste brže od funkcije g ako f(x) O(g(x)). (x)). Funkcije rastu istom brzinom, u oznaci f(x) = Θ(g(x)), (x)), ako važi f(x) = O(g(x)) i g(x) = O(f(x)). (x)). Teoreme 1: Neka su f i g aritmetičke funkcije i neka je lim n- = β. > f(n) g(n) Ako je β pozitivan realan broj, onda funkcije f i g rastu istom brzinom. Ako je β =,onda važi g(x)=o( (x)=o(f(x))(x)) i f(x) O(g(x)) (x)), odnosno funkcija f raste brže e od g.

Teorema 2: Neka je P(n) = a 0 + a 1 n 1 +... +a r n r, a r 0, polinom stepena r sa celobrojnim koeficijentima. Tada za P(n) i n m važi: o ako je m = r, P(n) i n m rastu istom brzinom o ako je m < r, P(n) raste brže e od n m o ako je m > r, n m raste brže e od P(n) Teorema 3: Neka je k > 1. Funkcije k n raste brže od bilo kog polinoma sa celobrojnim vrednostima. Svaki polinom sa celobrojnim koeficijentima raste brže e od bilo koje logaritamske funkcije. Kako je log c x = log c d log d x, direktno sledi sledeća teorema.

Teorema 4: Za svake dve realne konstante c, d>1 važi log c (x) = Θ(log d (x)) Funkcije koje se javljaju u O-notaciji O prilikom analize složenosti su: logaritamska funkcija log 2 n 7, linearna funkcija k n, njihov proizvod nlogn 2 n, stepen funkcije n k, eksponencijalna funkcija k n itd. Svima njima je zajedničko: o lim f(n) n-> =, što ima razumljivo intuitivno opravdanje: što je problem većih dimenzija složenost izračunavanja je veća o funkcije su neopadajuće o postoje Tjuringove mašine koje ih izračunavaju u prostoru i vremenu koji su proporcionalni vrednostima funkcija. Ovakve funkcije se nazivaju prave funkcije složenosti i upotrebljavaju se u analizi složenosti izračunavanja.