XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla

Teorijski uvod

Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura.

Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla sa 5 qvorova:

T. 5.7.1. Neka je Γ neorijentisan graf sa n qvorova. Slede i iskazi su ekvivalentni: 1 Γ je povezan graf koji ne sadrжi nijednu konturu. 2 Γ je povezan graf sa m = n 1 grana. 3 Γ nema konture i ima m = n 1 grana. 4 Γ je min. povezan graf. 5 Γ je maks. graf koji ne sadrжi konture. 6 Svaka dva qvora u Γ su povezana taqno jednim elementarnim putem i G ne sadrжi petʃe.

Definicija. Dijametar grafa G = (V, E) je dat sa D(G) = max u,v V d G(u, v). Ekscentricitet qvora u je ε G (u) = max v V d G(u, v). Radijus grafa G je r(g) = min v V ε G(v). Svi qvorovi v grafa za koje je ε G (v) = r(g) obrazuju centar grafa. Teorema. Centar stabla se sastoji ili od jednog qvora, ili od dva susedna qvora.

U svakom koraku izbacujemo listove sa sve granama koje vode do Ƭih.

U svakom koraku izbacujemo listove sa sve granama koje vode do Ƭih.

U svakom koraku izbacujemo listove sa sve granama koje vode do Ƭih.

U svakom koraku izbacujemo listove sa sve granama koje vode do Ƭih.

U svakom koraku izbacujemo listove sa sve granama koje vode do Ƭih.

Korenska stabla

Definicija 5.8.1. Korensko stablo je uređen par RT = (T, r), gde je T stablo, a r Ƭegov qvor, koji se naziva koren stabla.

Definicija 5.8.1. Korensko stablo je uređen par RT = (T, r), gde je T stablo, a r Ƭegov qvor, koji se naziva koren stabla. Definicija 5.8.2. Nivo qvora v, n(v), korenskog stabla RT = (T, r) je duжina elem. puta u stablu T od korena r do qvora v. Najve i nivo qvora u RT se naziva visina korenskog stabla RT i oznaqava se sa h.

Definicija 5.8.2. Nivo qvora v, n(v), korenskog stabla RT = (T, r) je duжina elem. puta u stablu T od korena r do qvora v. Najve i nivo qvora u RT se naziva visina korenskog stabla RT i oznaqava se sa h. 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4

0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 Definicija 5.8.3. Neka je RT = (T, r) korensko stablo sa skupom qvorova V. Svaki qvor iz V koji nema decu naziva se list stabla RT. Svaki qvor iz V, koji nije list, zove se unutraxƭi qvor stabla RT.

0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 Definicija 5.8.4. Korensko stablo je binarno stablo ako svaki Ƭegov un. qvor ima najvixe 2 deteta. Striktno binarno stablo je bin. stablo qiji svaki un. qvor ima taqno 2 deteta. Potpuno binarno stablo je striktno bin. st. kod koga svi listovi imaju isti nivo.

Definicija 5.8.4. Korensko stablo je binarno stablo ako svaki Ƭegov un. qvor ima najvixe 2 deteta. Striktno binarno stablo je bin. stablo qiji svaki un. qvor ima taqno 2 deteta. Potpuno binarno stablo je striktno bin. st. kod koga svi listovi imaju isti nivo.

Definicija 5.8.5. Balansirano korensko stablo je korensko stablo u kome se nivoi bilo koja dva Ƭegova lista razlikuju najvixe za 1, tj. oni su ili h ili h 1.

Primer 5.9.4. Neka je slovo a kodirano sa 10, b sa 101, e sa 11, m sa 1011 i n sa 110. Dekodirati niz bitova 1011110.

Primer 5.9.4. Neka je slovo a kodirano sa 10, b sa 101, e sa 11, m sa 1011 i n sa 110. Dekodirati niz bitova 1011110. RexeƬe. Da li e niz bitova 1011110 predstavʃati req bea (101 11 10) ili mn (1011 110) ili aen (10 11 110)? Ne moжemo odrediti!

Primer 5.9.4. Neka je slovo a kodirano sa 10, b sa 101, e sa 11, m sa 1011 i n sa 110. Dekodirati niz bitova 1011110. RexeƬe. Da li e niz bitova 1011110 predstavʃati req bea (101 11 10) ili mn (1011 110) ili aen (10 11 110)? Ne moжemo odrediti! Za jednoznaqno dekodiraƭe dovoʃno je da se svaki od ovih kodova ne sadrжi ni u jednom drugom kodu kao Ƭegov poqetni podniz. Skup kodova koji zadovoʃava ovaj uslov zove se prefiksni kôd.

Zadaci

4.33. 3. D grupa, II kolokvijum 2009. Date su frekvencije pojavʃivaƭa simbola: simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 a) Odrediti odgovaraju e Hafmanovo stablo T (un. qv. oznaqavati sa T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 ), kao i odgovaraju i Hafmanov kôd. b) h T =? n(v) =? T balans? T potpuno bin. st? v) KLD, LKD i LDK obilazak. g) Kodirati,,napred. d) Dekodirati: 011, 100, 000101, 101101001, 010000101.

simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 simbol r e d p n a frekvencija 7 8 9 10 11 12

15 T 1 0 1 7 r e 8 simbol r e d p n a frekvencija 7 8 9 10 11 12 } {{ } T 1 15

15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol d p n a T 1 frekvencija 9 10 11 12 15 } {{ } T 2 19

23 T 3 0 1 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol n a T 1 T 2 frekvencija 11 12 15 19 } {{ } T 3 23

23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol T 1 T 2 T 3 frekvencija 15 19 23 } {{ } T 4 34

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol T 3 T 4 frekvencija 23 34 } {{ } T 5 57

Kako crtamo Hafmanovo stablo?

Kako crtamo Hafmanovo stablo? Unazad, polaze i od korena stabla!

57 T T 5 23 T 3 T 4 34 simbol T 3 T 4 frekvencija 23 34 } {{ } T 5 57

57 T T 5 23 T 3 T 4 34 15 T 1 T 2 19 simbol T 1 T 2 T 3 frekvencija 15 19 23 } {{ } T 4 34

57 T T 5 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 simbol n a T 1 T 2 frekvencija 11 12 15 19 } {{ } T 3 23

57 T T 5 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 9 d p 10 simbol d p n a T 1 frekvencija 9 10 11 12 15 } {{ } T 2 19

57 T T 5 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol r e d p n a frekvencija 7 8 9 10 11 12 } {{ } T 1 15

0 57 T T 5 23 T 3 T 4 34 0 0 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 0 0 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Visina stabla?

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Visina stabla je h = 3 (r, e, d i p). Balansirano?

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Stablo je balansirano jer su svi listovi na nivou h ili h 1. Potpuno binarno?

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Nije potpuno binarno, jer nisu svi listovi na nivou h = 3 (npr. a i n: n(a) = n(n) = 2). Striktno binarno?

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Stablo je striktno binarno, jer svaki un. qvor (T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 ) ima taqno 2 deteta.

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Hafmanovo stablo je uvek striktno bin. Prefiksni kod?

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Hafmanov kôd je prefiksni kôd, jer nijedan kod nije sadrжan u poqetku nekog drugog koda (ni 01, ni 00).

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 b) Hafmanov kôd je uvek prefiksni kôd.

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 v) KLD:

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 v) KLD: T 5,T 3,n,a,T 4,T 1,r,e,T 2,d,p. LKD:

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 v) KLD: T 5,T 3,n,a,T 4,T 1,r,e,T 2,d,p. LKD: n,t 3,a,T 5,r,T 1,e,T 4,d,T 2,p. LDK:

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 v) KLD: T 5,T 3,n,a,T 4,T 1,r,e,T 2,d,p. LKD: n,t 3,a,T 5,r,T 1,e,T 4,d,T 2,p. LDK: n,a,t 3,r,e,T 1,d,p,T 2,T 4,T 5.

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 simbol a d e n p r frekvencija 12 9 8 11 10 7 kôd 01 110 101 00 111 100 nivo 2 3 3 2 3 3 g) n 00 a 01 p 111 r 100 e 101 d 110.

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 d) 1. req 011

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 d) 1. req 01 1 (at 4 ) nije req date azbuke, 2. req 100

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 d) 1. req 01 1 (at 4 ) nije req date azbuke, 2. req 100 je,,r, 3. req 000101

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 d) 1. req 01 1 (at 4 ) nije req date azbuke, 2. req 100 je,,r, 3. req 00 01 01 je,,naa, 4. req 101101001

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 d) 1. req 01 1 (at 4 ) nije req date azbuke, 2. req 100 je,,r, 3. req 00 01 01 je,,naa, 4. req 101 101 00 1 (eent 4 ) nije req date azbuke, 5. req 010000101

57 T T 5 0 1 23 T 3 T 4 34 11 n a 12 15 T 1 T 2 19 7 r e 8 9 d p 10 d) 1. req 01 1 (at 4 ) nije req date azbuke, 2. req 100 je,,r, 3. req 00 01 01 je,,naa, 4. req 101 101 00 1 (eent 4 ) nije req date azbuke, 5. req 01 00 00 101 je,,anne.

4.57. 3. oktobar ( 2014. Dat je izraz 3b+2c) : ( a+bc) u infiksnoj notaciji. a) Odrediti binarno stablo koje odgovara ovom izrazu. Kolika je visina ovog stabla? Odrediti nivo svakog lista u tom stablu. Da li je balansirano? Da li je striktno binarno? Da li je potpuno binarno stablo? b) Odrediti dijametar i centar stabla T. v) Odrediti redosled obilazaka qvorova stabla T pri KLD, LKD i LDK obilasku. g) Napisati u prefiksnoj i postfiksnoj notaciji dati izraz.

4.60. 3. septembar 2013. a) Nacrtati binarno uređeno stabla ako elementi dolaze slede im redom: 12, 5, 20, 8, 3, 4, 1,15,18, 22, 25,10,13,21, 7. b) h T =? nivo svakog qvora? T balansirano? T striktno binarno? T potpuno bin. stablo? v) KLD, LKD i LDK obilazak. g) Izraqunati sredƭi broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu broja x. (Smatra se da je qitaƭe jednog qvora jedan pristup.)

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x x < 2 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x x < 2 4 2 < x < 5 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x x < 2 4 2 < x < 5 4 5 < x < 7 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x x < 2 4 2 < x < 5 4 5 < x < 7 5 7 < x < 8 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 2 < x < 5 4 5 < x < 7 5 7 < x < 8 5 8 < x < 9 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 5 < x < 7 5 7 < x < 8 5 8 < x < 9 5 9 < x < 15 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 7 < x < 8 5 8 < x < 9 5 9 < x < 15 5 15 < x < 20 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 8 < x < 9 5 9 < x < 15 5 15 < x < 20 2 20 < x < 26 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 9 < x < 15 5 15 < x < 20 2 20 < x < 26 3 26 < x < 28 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 15 < x < 20 2 20 < x < 26 3 26 < x < 28 3 28 < x < 30 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 20 < x < 26 3 26 < x < 28 3 28 < x < 30 3 30 < x < 38 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 26 < x < 28 3 28 < x < 30 3 30 < x < 38 4 x > 38 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x 26 < x < 28 3 28 < x < 30 3 30 < x < 38 4 x > 38 4 br.pris.

broj pristupa qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x x < 2 4 2 < x < 5 4 5 < x < 7 5 7 < x < 8 5 8 < x < 9 5 9 < x < 15 5 br.pr. x 15 < x < 20 2 20 < x < 26 3 26 < x < 28 3 28 < x < 30 3 30 < x < 38 4 x > 38 4 br.pr.

broj.pris. qvorovima stabla pri neuspexnom traжeƭu za a < x < b je max{n(a), n(b)} + 1! 0 20 1 15 28 1 2 5 2 26 2 30 2 3 8 3 3 38 4 7 9 4 h=4 x x < 2 4 2 < x < 5 4 5 < x < 7 5 7 < x < 8 5 8 < x < 9 5 9 < x < 15 5 br.pr. x 15 < x < 20 2 20 < x < 26 3 26 < x < 28 3 28 < x < 30 3 30 < x < 38 4 x > 38 4 br.pr.

KRAJ QASA