elemente de geometrie euclidiană

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Fizică Algebră liniară şi elemente de geometrie euclidiană Adrian NECULAE - Curs pentru uzul studenţilor - Timişoara - 2010 Tipografia Universităţii de Vest din Timişoara

Cuprins Introducere 5 Noţiuni introductive 7 Mulţimi, relaţii binare şi aplicaţii................... 7 Legi de compoziţie interne....................... 10 Structuri algebrice........................... 12 Permutări................................ 15 Matrice................................. 16 Determinanţi.............................. 19 Sisteme de ecuaţii liniare........................ 25 1 Spaţii vectoriale 33 1.1 Spaţii vectoriale.......................... 33 1.2 Subspaţii vectoriale........................ 35 1.3 Dependenţă şi independenţă liniară............... 36 1.4 Baza şi dimensiunea unui spaţiu vectorial............ 37 1.4.1 Descompunerea unui vector în raport cu o bază.... 39 1.4.2 Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei............................ 40 1.5 Omomorfisme de spaţii vectoriale................ 41 1.6 Spaţii vectoriale euclidiene.................... 41 1.6.1 Produs scalar. Spaţii vectoriale euclidiene....... 41 1.6.2 Norma euclidiană..................... 43 1.6.3 Unghiul dintre doi vectori................ 44 1.6.4 Distanţa dintre doi vectori................ 44 1.7 Ortogonalitate........................... 45 1.7.1 Bază ortogonală. Bază ortonormată........... 45 1.7.2 Proiecţie ortogonală................... 48 1.7.3 Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazelor ortonormate................... 50 1

2 CUPRINS 1.8 Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt............ 51 1.9 Probleme............................. 54 2 Operatori liniari 61 2.1 Definiţii şi proprietăţi....................... 61 2.2 Operaţii cu operatori liniari................... 63 2.3 Nucleul şi imaginea unui operator liniar............. 64 2.4 Matricea unui operator liniar................... 66 2.5 Endomorfisme particulare.................... 69 2.6 Valori şi vectori proprii...................... 70 2.6.1 Definiţii şi proprietăţi................... 70 2.6.2 Polinom caracteristic................... 72 2.6.3 Forma diagonală..................... 73 2.6.4 Forma Jordan....................... 76 2.7 Operatori liniari pe spaţii euclidiene............... 77 2.8 Izometrii.............................. 81 2.9 Spectrul endomorfismelor pe spaţii euclidiene.......... 83 2.10 Probleme............................. 86 3 Forme liniare, biliniare, pătratice şi multiliniare 95 3.1 Forme liniare. Dualul unui spaţiu vectorial........... 95 3.2 Covarianţă şi contravarianţă................... 97 3.2.1 Transformări covariante şi transformări contravariante 97 3.2.2 Componente covariante şi contravariante ale unui vector100 3.3 Forme biliniare.......................... 102 3.4 Forme pătratice.......................... 104 3.4.1 Consideraţii generale................... 104 3.4.2 Reducerea formelor pătratice la expresia canonică... 106 3.4.3 Signatura unei forme pătratice reale........... 112 3.5 Forme multiliniare (p - liniare). Tensori............. 113 3.5.1 Forme p - liniare..................... 113 3.5.2 Tensori........................... 114 3.6 Elemente de algebră tensorială.................. 116 3.7 Probleme............................. 120 4 Geometrie analitică euclidiană în plan şi în spaţiu 125 4.1 Elemente de algebră vectorială.................. 126 4.1.1 Reper cartezian...................... 126 4.1.2 Vectori. Operaţii cu vectori............... 127 4.1.3 Schimbare de reper cartezian............... 131 4.1.4 Vectori şi pseudovectori................. 136

CUPRINS 3 4.2 Geometrie în plan......................... 137 4.2.1 Dreapta în plan...................... 137 4.2.2 Cerc. Elipsă. Hiperbolă. Parabolă............ 140 4.2.3 Conice........................... 142 4.3 Geometrie în spaţiu........................ 146 4.3.1 Dreapta în spaţiu..................... 146 4.3.2 Planul în spaţiu...................... 147 4.3.3 Sferă. Elipsoid. Hiperboloid. Paraboloid........ 151 4.3.4 Cuadrice.......................... 154 4.4 Probleme............................. 159

4 CUPRINS

Noţiuni introductive În cadrul acestui capitol cu caracter recapitulativ, sunt prezentate sintetic principalele noţiuni predate pe parcursul orelor de algebră în anii de liceu şi care stau la baza noţiunilor noi introduse în lucrarea de faţă. Din motive de spaţiu, prezentarea se rezumă doar la enunţuri si scurte observaţii, cititorii interesaţi de o tratare mai detaliată a acestor subiecte având la dispoziţie un vast material bibliografic în domeniu. Mulţimi, relaţii binare şi aplicaţii Mulţimi Noţiunile de elemente şi respectiv mulţime de elemente sunt noţiuni fundamentale, care nu se definesc cu ajutorul altor noţiuni mai generale. O mulţime se descrie cu ajutorul proprietăţii caracteristice elementelor ei (şi numai lor!) sau prin indicarea elementelor ei. Definiţie: Mulţimea care nu conţine niciun element se numeşte mulţimea vidă şi se notează cu Ø. Principalele relaţii care pot exista între două mulţimi sunt: Definiţie: Se spune că mulţimea A este egală sau identică cu mulţimea B dacă orice element din A se găseşte în B şi reciproc (A = B). Dacă A B, atunci există cel puţin un element diferit între cele două mulţimi. Definiţie: Se spune că mulţimea A este o submulţime a mulţimii B, sau că este inclusă în mulţimea B şi se notează A B, dacă orice element al mulţimii A se găseşte şi în mulţimea B. Mulţimea vidă poate fi considerată ca o submulţime a oricărei mulţimi. Incluziunea reciprocă a două mulţimi, A şi B, este echivalentă cu egali- 7

8 Noţiuni introductive tatea lor: A B şi B A A = B. Relaţii binare Definiţie: Se numeşte produs cartezian al mulţimii A cu mulţimea B ansamblul perechilor ordonate (x,y), cu x din A şi y din B: A B = {(x,y x A, y B)}. În mod similar se poate defini şi produsul cartezian al unui număr finit de mulţimi: Definiţie: Se numeşte produs cartezian al mulţimilor A 1,A 2,...,A n mulţimea sistemelor ordonate (x 1,x 2,...,x n ) cu x 1 A 1, x 2 A 2,...,x n A n. Această mulţime se notează A 1 A 2... A n. Produsul cartezian A A... A de n ori se mai notează cu A n. Definiţie: Se numeşte relaţie binară sau corespondenţă de la mulţimea A la mulţimea B un triplet R = {G,A, B}, unde G este o submulţime a produsului cartezian A B. G se numeşte graficul relaţiei binare, A se numeşte mulţimea de pornire, iar B mulţimea de sosire. Dacă A = B, o relaţie R = {G,A, A}, unde G A A, se numeşte relaţie binară în mulţimea A şi se notează R = {G, A}. Principalele tipuri de relaţii binare într-o mulţime sunt definite prin enunţurile de mai jos: Definiţie: O relaţie binară R într-o mulţime A se numeşte reflexivă dacă orice element al mulţimii este în acea relaţie cu el însuşi: x A : xrx. Dacă această proprietate nu este satisfăcută, relaţia binară se numeşte antireflexivă. Definiţie: O relaţie binară R într-o mulţime A se numeşte simetrică dacă din faptul că este verificată de perechea (x,y) rezultă că este verificată şi pentru perechea (y, x): xry yrx. O relaţie binară R în mulţimea A se numeşte antisimetrică dacă ea nu poate fi verificată simultan pentru perechile (x,y) şi (y, x) decât dacă x = y: (xry, yrx) x = y.

9 Definiţie: O relaţie binară R într-o mulţime A se numeşte tranzitivă dacă din faptul că este verificată pentru perechile (x,y) şi (y, z) rezultă că este verificată şi pentru perechea (x,z): (xry, yrz) xrz. În raport cu aceste enunţuri, se mai pot defini şi alte tipuri particulare de relaţii binare: O relaţie binară R într-o mulţime A se numeşte de echivalenţă dacă este în acelaşi timp reflexivă, simetrică şi tranzitivă. O relaţie binară R într-o mulţime A se numeşte de preordine dacă este în acelaşi timp reflexivă şi tranzitivă. O relaţie binară R într-o mulţime A se numeşte de ordine dacă este în acelaşi timp reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă. Aplicaţii Aplicaţiile (numite sî relaţii funcţionale, funcţii, reprezentări, transformări, corespondenţe univoce sau operatori) reprezintă o clasă foarte importantă de relaţii binare. Ele se definesc în modul următor: Definiţie: Se numeşte aplicaţie a mulţimii A în mulţimea B o corespondenţă f = {F, A,B} care asociază fiecărui element x din A un element unic determinat y din B. Mulţimea F A B se numeşte graficul aplicaţiei f. Pentru o aplicaţie f se foloseşte notaţia: f : A B. Elementul y din B care corespunde prin f unui element x dat din A se numeşte imaginea lui x prin f sau valoarea aplicaţiei f în elementul x şi se notează de obicei cu y = f(x). Elementul x se numeşte imaginea inversă, contraimaginea sau sursa lui y. Mulţimea A se numeşte mulţimea, câmpul sau domeniul de definiţie al aplicaţiei f. Mulţimea tuturor imaginilor f(x) obţinute când x parcurge mulţimea A este o submulţime a lui B şi se numeşte imaginea lui A prin f, mulţimea valorilor lui f, sau imaginea lui f. Ea se notează cu f(a) sau Imf. Avem deci: f(a) = {y B y = f(x), x A}. Principalele tipuri particulare de aplicaţii sunt descrise în următoarele definiţii:

10 Noţiuni introductive Definiţie: O aplicaţie f : A B se numeşte surjectivă sau surjecţie dacă imaginea mulţimii A prin f coincide cu mulţimea B: f(a) = B sau y B, x A : y = f(x). Definiţie: O aplicaţie f : A B se numeşte injectivă sau injecţie dacă imaginile oricăror două elemente distincte din A sunt elemente distincte în B: x 1,x 2 A, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), adică orice element y din B are cel mult o contraimagine x din A. Definiţie: O aplicaţie f : A B se numeşte bijectivă, bijecţie sau corespondenţă biunivocă dacă orice element y din B este imaginea unui element şi numai unul x din A: y B, x A : y = f(x). Cu alte cuvinte, o aplicaţie este bijectivă dacă este în acelaşi timp surjectivă şi injectivă. Oricărei aplicaţii bijective i se poate asocia în mod unic o aplicaţie, de asemenea bijectivă, numită aplicaţia inversă, definită după cum urmează: Definiţie: Se numeşte aplicaţie inversă a aplicaţiei bijective f : A B aplicaţia f 1 : B A definită prin condiţia ca fiecărui element y B să îi corespundă acel element x A care este contraimaginea lui y prin f, deci: y B, f 1 (y) = x y = f(x). Legi de compoziţie interne Definiţie: Se numeşte lege de compoziţie internă sau operaţie internă pe mulţimea A o aplicaţie a mulţimii A A în A. Această operaţie asociază fiecărei perechi ordonate (x, y) de elemente din A A un element z unic determinat din A, numit compusul lui x cu y. Exemple clasice de legi de compoziţie internă sunt adunarea, notată cu +, pentru care x şi y se numesc termeni iar compusul lor z se numeşte sumă şi înmulţirea, notată cu, pentru care x şi y se numesc factori iar compusul lor z se numeşte produs. Legile de compoziţie definite mai sus se numesc binare, dar conceptul poate fi extins la aplicaţii ale mulţimii A A... A de n ori în A, numite legi de compoziţie n-are.

11 Tipuri particulare de legi de compoziţie interne Definiţie: O lege de compoziţie în mulţimea A se numeşte asociativă dacă: x,y, z A : (x y) z = x (y z). Definiţie: O lege de compoziţie în mulţimea A se numeşte comutativă dacă: x,y A : x y = y x. Element regulat, element neutru şi element simetric Definiţie: Se spune că un element a A este regulat sau simplificabil faţă de legea de compoziţie dacă: x,y A : { a x = a y x = y, x a = y a x = y. Dacă este îndeplinită numai prima condiţie, elementul a se zice regulat la stânga, iar dacă este îndeplinită numai a doua condiţie, a se zice regulat la dreapta. Definiţie: Se spune că un element e al unei mulţimi A este neutru pentru legea de compoziţie dacă: x A : x e = e x = x. Se poate demonstra că dacă o lege de compoziţie admite element neutru, acesta este unic. Pentru operaţia de adunare, elementul neutru se numeşte element nul şi se notează de obicei cu 0, iar pentru operaţia de înmulţire se numeşte element unitate şi se notează de obicei cu 1. Definiţie: Se spune că un element a A este element simetric pentru elementul a A faţă de o lege de compoziţie definită pe A şi care are un element neutru e dacă: a a = a a = e. Dacă operaţia este o adunare, a se notează cu a şi se numeşte opusul lui a. Dacă operaţia este o înmulţire, a se notează cu a 1 şi se numeşte inversul lui a. Se poate arăta că dacă a este element simetric pentru a, atunci şi a este element simetric pentru a, iar dacă o lege de compoziţie pe A este asociativă, atunci orice element din A are cel mult un simetric.

12 Noţiuni introductive Omomorfisme Definiţie: Fie A şi B două mulţimi dotate respectiv cu legile de compoziţie şi. O aplicaţie h : A B se numeşte omomorfism pentru legile şi dacă şi numai dacă imaginea compusului a două elemente oarecare din A este egală cu compusul imaginilor corespunzătoare în B: x 1,x 2 A : h(x 1 x 2 ) = h(x 1 ) h(x 2 ). Un omomorfism bijectiv se numeşte izomorfism. Definiţie: O aplicaţie h : A A se numeşte endomorfism pentru o lege dată pe A dacă şi numai dacă satisface condiţia: x 1,x 2 A : h(x 1 x 2 ) = h(x 1 ) h(x 2 ). Un endomorfism bijectiv se numeşte automorfism. Structuri algebrice Înainte de a defini noţiunea de spaţiu vectorial, care reprezintă elementul central al acestui curs, ne propunem să reamintim câteva tipuri de structuri algebrice mai simple cum ar semigrupul, monoidul, grupul, corpul şi câmpul. Prin structură algebrică se înţelege o mulţime nevidă pe care s-au definit un număr finit de legi de compoziţie şi de relaţii, împreună cu proprietăţile lor. O lege de compoziţie poate fi o relaţie binară, ternară,..., n-ară, în funcţie de numărul de elemente din domeniul de definiţie pe care le relaţionează. În cea mai mare parte a acestui curs ne vom referi la legi de compoziţie binare. La rândul lor, acestea pot fi interne (care au fost prezentate în secţiunea anterioară) sau externe. Acestea din urmă se definesc în modul următor: Definiţie: Se numeşte lege de compoziţie externă sau operaţie externă pe mulţimea nevidă M faţă de mulţimea nevidă N o aplicaţie a mulţimii N M în M. Mulţimea N se numeşte domeniu de operatori. Semigrup Definiţie: O structură algebrică formată dintr-o mulţime nevidă S şi o lege de compoziţie internă binară definită peste tot pe S care este asociativă se numeşte semigrup.

13 Monoid Definiţie: O structură algebrică formată dintr-o mulţime nevidă S şi o lege de compoziţie internă binară definită peste tot pe S care este asociativă şi are element neutru se numeşte semigrup. Altfel spus, un monoid este un semigrup cu element neutru. Grup Definiţie: O mulţime nevidă G împreună cu o operaţie binară pe G poartă numele de grup dacă sunt satisfăcute condiţiile: (1) g 1,g 2,g 3 G : g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 (asociativitate), (2) g G, e G : e g = g e = g (element neutru), (3) g G, g G : g g = g g = e (element simetric). Dacă mai este satisfăcută şi condiţia suplimentară: (4) g 1,g 2 G : g 1 g 2 = g 2 g 1 (comutativitate), grupul G se numeşte comutativ sau abelian. Un grup se notează fie prin (G, ), fie mai simplu doar prin G, caz în care operaţia binară este subînţeleasă. Dacă operaţia este o adunare, grupul se numeşte grup aditiv şi se notează (G, +), iar dacă operaţia este o înmulţire, grupul se numeşte grup multiplicativ şi se notează (G, ). Exemple: (R,+), (Q\{0}, ) sunt grupuri; (N,+), (Q, ) nu sunt grupuri; Definiţie: Fie (G, ) un grup. O submulţime nevidă H a lui G se numeşte subgrup al lui G dacă sunt satisfăcute condiţiile: (1) g 1,g 2 H : g 1 g 2 H, (2) g H : g H, sau, într-o formă mai compactă, dacă g 1,g 2 H : g 1 g 2 H. Putem de asemenea spune că H este un subgrup al lui G dacă şi numai dacă H este grup în raport cu operaţia. Definiţie: Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri. O funcţie f : G 1 G 2 care satisface condiţia: f(g 1 g 2 ) = f(g 1 ) f(g 2 ), g 1,g 2 G 1

14 Noţiuni introductive se numeşte omomorfism de grupuri. Un omomorfism de grupuri bijectiv se numeşte izomorfism de grupuri. În cazul particular G 1 = G 2 şi = în loc de omomorfism folosim denumirea de endomorfism, iar în loc de izomorfism pe cea de automorfism. Corp Înainte de a defini structura algebrică de corp, amintim ce se înţelege prin legi de compoziţie distributive. Definiţie: Fie două legi de compoziţie interne, şi, definite peste tot pe o mulţime nevidă A. Se spune că legea de compoziţie este distributivă faţă de legea dacă: x,y,z A : { x (y z) = (x y) (x z), (y z) x = (y x) (z x). Cele două condiţii exprimă distributivitatea legii faţă de legea la stânga şi respectiv la dreapta. Dacă legea este comutativă, atunci distributivitatea la stânga este echivalentă cu cea la dreapta. Definiţie: O mulţime K împreună cu două legi de compoziţie interne definite pe produsul cartezian K K şi cu valori în K, numite adunare şi respectiv înmulţire, care satisfac condiţiile: I. Adunarea determină pe K o structură de grup comutativ: (I.1) a,b, c K : a + (b + c) = (a + b) + c, (I.2) a K, 0 K : 0 + a = a + 0 = a, (I.3) a K, a K : a + ( a) = ( a) + a = 0, (I.4) a,b K : a + b = b + a; II. Înmulţirea determină pe K\{0} o structură de grup: (II.1) a,b, c K : a (b c) = (a b) c, (II.2) a K, 1 K : 1 a = a 1 = a, (II.3) a K, a 1 K : a a 1 = a 1 a = 1; III. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare: a,b, c K : a (b + c) = a b + a c, se numeşte corp. Un corp pentru care şi înmulţirea este comutativă, adică: (II.4) a,b K : a b = b a, se numeşte câmp sau corp comutativ. Un corp se notează (K; +, ), sau mai simplu K. Dacă cele două operaţii, + şi satisfac numai condiţiile (I.1)-(I.4), (II.1) şi (III), se spune că ele definesc pe K o structură de inel.

Dacă, în plus, înmulţirea satisface şi condiţia (II.2), inelul se zice cu element unitate, iar dacă satisface condiţia (II.4) inelul se zice comutativ. Observaţie: Noţiunile de subcorpuri şi respectiv de corpuri omomorfe se definesc în mod absolut analog ca şi în cazul grupurilor. În cadrul acestui curs vom folosi în special câmpul numerelor reale R şi câmpul numerelor complexe C. Permutări Fie A mulţimea primelor n numere naturale, adică A = {1, 2,..., n}. Definiţie: O funcţie bijectivă σ : A A se numeşte permutare sau substituţie de gradul n. Mulţimea tuturor permutărilor de gradul n se notează cu S n. Numărul elementelor acestei mulţimi este egal cu n!. De obicei, o permutare σ de ordinul n se reprezintă sub forma tabloului următor: σ = ( 1 2 3... n σ(1) σ(2) σ(3)... σ(n) adică un tablou în care pe linia a doua se scot în evidentă toate valorile funcţiei σ. Fiind vorba de o funcţie bijectivă, toate aceste valori sunt distincte între ele şi reprezintă tot numerele de la 1 la n, eventual în altă ordine. O reprezentare mai simplă a unei permutări constă în scrierea directă a secvenţei σ(1)σ(2)...σ(n). ), O permutare remarcabilă este permutarea identică, notată: ( ) 1 2 3... n e = sau e = 123...n. 1 2 3... n Definiţie: Permutarea în care toate elementele rămân neschimbate în afară de două, care se schimbă unul cu celălalt, se numeşte transpoziţie. Definiţie: O pereche ordonată (i,j) de elemente din A se numeşte inversiune a permutării σ dacă avem σ(i) > σ(j). Numărul de inversiuni ale permutării σ se notează cu m(σ). Definiţie: Numărul ε(σ) = ( 1) m(σ) se numeşte signatura sau semnul permutării σ. 15

16 Noţiuni introductive Permutările se clasifică în pare sau impare în funcţie de paritatea numărului de transpoziţii necesare pentru a aduce permutarea la forma permutării identice. O regulă foarte simplu de aplicat în determinarea semnului unei permutări este sugerată în exemplu următor: Pentru a determina dacă secvenţa 612453 este o permutare pară sau impară a lui 123456, scriem cele două secvenţe una sub celaltă şi unim prin linii continue cifrele corespunzătoare de pe cele două rânduri, ca în figura de mai jos: Observăm că între linii există şapte intersecţii, ceea ce arată că sunt necesare şapte transpoziţii pentru a obţine permutarea identică. În consecinţă, secvenţa studiată este o permutare impară şi signatura sa este 1. Matrice Definiţii şi notaţii Definiţie: Se numeşte matrice de tipul m n sau matrice de dimensiuni m şi n peste un câmp K un tablou dreptunghiular A format din m n elemente din K situate pe m linii şi n coloane: A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn = (a ij), 1 i m, 1 j n, unde (a ij ) este elementul matricei situat pe linia i şi coloana j. Un astfel de tablou se mai numeşte şi matrice cu m linii şi n coloane. Cazuri particulare de matrice: - Dacă n = 1, o matrice de tipul m 1 se numeşte matrice coloană şi este de forma: a 11 A = a 21... a m1

17 - Dacă m = 1, o matrice de tipul 1 n se numeşte matrice linie şi este de forma: A = (a 11,a 12,..., a 1n ). - Dacă m = n, o matrice de tipul n n se numeşte matrice pătratică de ordinul n. Dacă A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn este o matrice pătratică de ordinul n, sistemul ordonat de elemente (a 11,a 22,....,a nn ) se numeşte diagonala principală a matricei A, iar sistemul ordonat de elemente (a 1n,a 2n 1,..., a n1 ) se numeşte diagonala secundară a matricei. O matrice pătratică A se numeşte triunghiulară dacă toate elementele situate dedesubtul sau deasupra diagonalei principale sunt nule. O matrice pătratică A se numeşte diagonală dacă toate elementele ei sunt nule, cu excepţia posibilă a celor de pe diagonala principală. Matricea diagonală de ordin n care are toate elementele de pe diagonala principală egale cu unitatea se numeşte matricea unitate de ordinul n şi se notează I n. Sub formă mai compactă putem scrie I n = (δ ij ), 1 i,j n,, unde δ ij este simbolul lui Kronecker. Mulţimea tuturor matricelor cu m linii şi n coloane având elemente din câmpul K se notează cu M m n (K). Două matrice A şi B din M m n (K) se zic egale dacă sunt identice, adică elementele corespunzătoare sunt egale: A = B a ij = b ij 1 i m, 1 j n. Operaţii cu matrice a) Adunarea matricelor Fie A = (a ij ) şi B = (b ij ) două matrice din M m n (K). Definiţie: Se numeşte suma matricelor A şi B, matricea C = (c ij ) din M m n (K) notată A + B, dată de regula: c ij = a ij + b ij 1 i m, 1 j n. Numim matrice nulă de tipul m n matricea notată O care are toate elementele egale cu 0.

18 Noţiuni introductive Numim opusa matricei A = (a ij ) matricea notată A, definită prin relaţia: A = ( a ij ). Este uşor de verificat că adunarea matricelor are următoarele proprietăţi: comutativitate, asociativitate, are element neutru matricea nulă O şi orice matrice A are element opus matricea A. Operaţia de scădere a două matrice A,B M m n (K) nu este altceva decât adunarea dintre A şi opusul matricei B. b) Înmulţirea cu scalari a matricelor Fie A = (a ij ) o matrice din M m n (K) şi a un scalar din K. Definiţie: Matricea B = (b ij ) M m n (K) ale cărei elemente sunt date de egalităţile: b ij = a a ij 1 i m, 1 j n, se numeşte produsul dintre scalarul a şi matricea A şi se notează B = a A. c) Înmulţirea matricelor Fie două matrice A = (a ij ) M m n (K) şi B = (b ij ) M n p (K). Definiţie: Se numeşte produsul matricelor A şi B, matricea C = (c ij ) din M m p (K), notată A B, dată de regula: c ij = a ik b kj 1 i m, 1 j p. k=1 adică pentru a obţine elementul din matricea A B de pe linia i şi coloana j, se face suma produselor elementelor corespunzătoare de pe linia i a matricei A cu cele de pe coloana j a matricei B. Mai pe scurt, dar mai puţin riguros, putem spune că se înmulţesc liniile cu coloanele. Este important să subliniem faptul că înmulţirea matricelor nu este definită pe mulţimea tuturor matricelor, ea fiind posibilă doar atunci când numărul coloanelor primei matrice este egal cu numărul liniilor celei de a doua. Dintre proprietăţile acestei operaţii amintim faptul că înmulţirea este asociativă: A (B C) = (A B) C, A M m n (K),B M n p (K),C M p q (K),

19 este distributivă la dreapta şi la stânga faţă de adunare: A (B + C) = (A B) + A C, (A + B) C = A C + B C, A M m n (K),B,C M n p (K) şi are element neutru (matricea unitate, I n ). Pentru orice matrice A = (a ij ) M m n (K) se pot verifica egalităţile: Transpusa unei matrice I m A = A, respectiv A I n = A. Fie A = (a ij ) o matrice din M m n (K). Definiţie: Matricea t A = ( t a kl ) M n m (K) ale cărei elemente sunt date de egalităţile: t a kl = a lk 1 k n, 1 l m, se numeşte transpusa matricei A. Se observă că transpusa unei matrice se obţine inversând liniile cu coloanele acesteia. În particular, în cazul matricelor pătratice, diagonala principală a matricei iniţiale este aceeaşi cu cea a matricei transpuse. În raport cu operaţia de transpunere, se pot defini următoarele tipuri particulare de matrice pătratice: - O matrice pătratică A se numeşte simetrică dacă satisface condiţia: A = t A. - O matrice pătratică A se numeşte antisimetrică dacă satisface condiţia: A = t A. De asemenea, se poate arăta că transpusa unui produs de matrice este egală cu produsul transpuselor luate în ordine inversă: t (A B) = t B ta. Această proprietate se poate generaliza şi pentru produsul dintre n matrice. Determinanţi Determinantul este un număr asociat unei matrice pătratice. Unei matrice pătratice de ordinul n i se poate asocia un determinant de ordinul n. Cazurile particulare cele mai des întâlnite sunt determinanţii de ordinul doi şi respectiv trei.

20 Noţiuni introductive Determinanţi de ordinul doi şi trei Fie o matrice pătratică de ordinul doi: ( a11 a A = 12 a 21 a 22 ). Definiţie: Numărul deta = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 se numeşte determinantul de ordinul doi asociat matricei A. Produsele a 11 a 22 şi a 12 a 21 se numesc termenii determinantului de ordinul doi. Fie matricea pătratică de ordinul trei: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 Definiţie: Numărul det A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32, se numeşte determinantul matricei de ordinul trei. Produsele de câte trei elemente ale matricei A care apar în această expresie se numesc termenii determinantului de ordinul trei. O metodă simplă pentru calculul determinantului de ordinul trei este dată de regula lui Sarrus. Se formează un tablou scriind mai întâi liniile matricei A şi apoi scriind încă odată primele linii ale lui A. Obţinem astfel un tablou cu cinci linii şi trei coloane: din care se pot identifica cu uşurinţa termenii din dezvoltarea determiantului: termenii cu semnul + sunt cei care se obţin din înmulţirea elementelor de

pe diagonala principală a matricei A şi respectiv de pe cele două diagonale paralele cu ea (trasate cu linie continuă), iar termenii cu semnul - sunt cei care se obţin din înmulţirea elementelor de pe diagonala secundară a matricei A şi respectiv de pe cele două diagonale paralele cu aceasta (trasate cu linie punctată). Determinantul unei matrice pătratice de ordinul n Definiţiile de mai sus pot fi extinse pentru cazul unei matrice pătratice de ordinul n. Fie o astfel de matrice: a 11 a 12... a 1n A = a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn Definiţie: Numărul a 11 a 12... a 1n det A = a 21 a 22... a 2n............ = ε(σ)a 1σ1 a 1σ2...a 1σn σ S a n1 a n2... a nn n se numeşte determinantul de ordinul n asociat matricei A. S n este mulţimea tuturor celor n! substituţii σ ale mulţimii {1, 2,..., n}, iar ε(σ) este signatura substituţiei σ. Proprietăţile determinanţilor Principalele proprietăţi ale determinanţilor sunt următoarele: - Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse, adică dacă A M n (K), atunci det A = det t A. În consecinţă, valoarea determinantului nu se modifică dacă se schimbă între ele liniile şi coloanele unei matrice pătratice. - Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul. - Dacă într-o matrice se schimbă între ele două linii (sau coloane), se obţine o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale. - Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul. 21

22 Noţiuni introductive - Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un scalar a, obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantul matricei iniţiale. - Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale, atucni determinantul matricei este nul. - Fie A = (a i,j ), 1 i,j n o matrice pătratică de ordinul n. Presupunem că elementele liniei i sunt de forma: a ij = a ij + a ij, 1 j n. Dacă A, respectiv A, sunt matricele care se obţin din A înlocuind elementele de pe linia i cu elementele a ij, respectiv a ij, 1 j n, atunci: deta = det A + det A. - dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei este zero. - Dacă la o linie (sau coloană) a matricei pătratice A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi scalar, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea A. Interpretarea geometrică a determinantului de ordinul trei Fie trei vectori necoplanari, u, v, t, având originea comună în punctul 0, aşa cum este prezentat în figura de mai jos. Volumul paralelipipedului constrit cu aceşti vectori este egal cu valoarea absolută a produsului mixt ( u v) t. Dacă notăm cu u x, u y, u z componentele scalare ale vectorului u, v x, v y, v z componentele scalare ale vectorului v şi respectiv t x, t y, t z componentele scalare ale vectorului t, ţinând cont de

formula determinantului de ordinul trei putem scrie: t x t y t z ( u v) t = u x u y u z v x v y v z, deci volumul paralelipipedului construit cu ajutorul celor trei vectori este egal cu valoarea absolută a determinantului care conţine ca elemente componentele scalare ale celor trei vectori. Calculul determinanţilor Utilizarea formulei de calcul pentru determiantul de ordinul n este destul de dificilă şi de aceea, din punct de vedere practic se preferă o metodă care constă în reducerea succesivă cu o unitate a ordinului determinantului. În cele ce urmează, descriem pe scurt această metodă. Fie det A un determinant de ordinul n: D = det A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn Determinatul de ordinul n 1 care se obţine suprimând linia i şi coloana j din acest determinant se numeşte minorul elementului a ij şi se notează cu d ij. Numărul: 23 D ij = ( 1) i+j d ij se numeşte complementul algebric al elementului a ij în determinatul d. Evident, unui determinant de ordinul n i se pot asocia n 2 minori de ordinul n 1 şi tot atâţia complemenţi algebrici. Pentru calculul determinantului de ordinul n prin reducerea ordinului cu o unitate, se foloseşte una dintre cele două teoreme enunţate mai jos: Teoremă: Fie D = a ij, 1 i,j n un determinant de ordinul n. Atunci, pentru orice 1 i n are loc egalitatea: D = a i1 D i1 + a i2 D i2 +... + a in D in. Această egalitate se numeşte dezvoltarea determinantului D după linia i. Teoremă: Fie D = a ij, 1 i,j n un determinant de ordinul n. Atunci, pentru orice 1 j n are loc egalitatea: D = a 1j D 1j + a 2j D 2j +... + a nj D nj.

24 Noţiuni introductive Această egalitate se numeşte dezvoltarea determinantului D după coloana j. Folosirea acestei teoreme se face în mod succesiv, până se ajunge la determinanţi de ordinul trei. Rangul unei matrice Fie o matrice A M m n (K). Definiţie: Dacă în matricea A alegem k linii, i 1,i 2,...,i k şi k coloane, j 1,j 2,..., j k, elementele care se găsesc la intersecţia acestor linii şi coloane formează o matrice pătratică de ordinul k, al cărui determinant de numeşte minor de ordin k al matricei A. Definiţie: Spunem că matricea A are rangul r şi scriem ranga = r dacă A are un minor nenul de ordin r, iar toţi minorii lui A de ordin mai mare decât r (dacă există) sunt nuli. Se poate arăta că rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecărei matrice. Dacă matricea A este nulă, spunem că ea are rangul 0. Inversa unei matrice nesingulare Înainte de a arăta cum se calculează inversa unei matrice, amintim condiţiile în care această operaţie este posibilă. Definiţie: O matrice pătratică se zice singulară, neregulată sau degenerată dacă determinantul său este nul, şi se numeşte nesingulară, regulată sau nedegenerată dacă determinantul său este nenul. Definiţie: Fie A o matrice pătratică de ordinul n. Se spune că A este inversabilă dacă există o matrice B pătratică de ordinul n astfel încât: A B = B A = I n, unde I n este matricea unitate de ordinul n. Matricea B se numeşte inversa maticei A. Inversa unei matrice A se notează de obicei cu A 1 şi se poate arăta că dacă aceasta există, atunci este unică. Calculul inversei unei matrice are la bază următoarea teoremă: Teoremă: Fie A o matrice pătratică de ordinul n cu elemente din câmpul K (R sau C). Matricea A este inversabilă dacă şi numai dacă A este nesingulară, adică dacă deta este nenul.

Pentru o matrice A de forma: A = definim o matrice ajutătoare: A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a n1 a n2... a nn A 11 A 21... A n1 A 12 A 22... A n2............ A 1n A 2n... A nn,, al cărei element A ji aparţinând liniei j şi coloanei i este complementul algebric al elementului a ij din matricea A. Această matrice se numeşte matricea adjunctă matricei A. Inversa matricei nesingulare A se obţine împarţind elementele matricei adjuncte A prin D = det A, deci: A 1 = 1 deta A. Este uşor de verificat că dacă A este inversabilă atunci şi A 1 este inversabilă şi avem (A 1 ) 1 = A. Sisteme de ecuaţii liniare Noţiuni generale În continuare vom reaminti principalele elemente legate de sistemele de ecuaţii algebrice de gradul întâi cu mai multe necunoscute, numite şi sisteme de ecuaţii liniare. Definiţie: Se numeşte sistem de m ecuaţii cu n necunoscute peste câmpul K un ansamblu de m relaţii de forma: 25 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 1... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m (1) care se scriu sub formă condensată: a ij x j = b i, 1 i m, j=1

26 Noţiuni introductive unde x j K se numesc necunoscutele sistemului, iar a ij,b i K sunt coeficienţii necunoscutelor şi respectiv termenii liberi ai sistemului. Matricea A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn se numeşte matricea sistemului, iar matricea: Ā = X = a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2............... a m1 a m2... a mn b m se numeşte matricea lărgită (extinsă, sau completă) a sistemului. Folosind notaţiile: x 1 b 1 x 2 b 2. x n şi B = sistemul (1) se poate scrie sub forma matriceală: A X = B.. b m Sistemul se zice neomogen dacă cel puţin un termen liber este diferit de zero şi omogen dacă toţi termenii liberi sunt nuli. Definiţie: Se numeşte soluţie a sistemului (1) orice ansamblu ordonat format din n elemente α 1,α 2,..., α n din K cu proprietatea că înlocuind în membrul stâng al sistemului x 1 = α 1,x 2 = α 2,...,x n = α n şi efectuând calculele, se obţin elementele corespunzătoare din membrul drept. Definiţie: Un sistem de ecuaţii liniare se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie şi incompatibil în caz contrar. Problema fundamentală care se pune în legătură cu un sistem de ecuaţii liniare este stabilirea faptului dacă sistemul este compatibil sau nu, iar în cazul în care este compatibil, să se spună dacă este determinat sau nu şi apoi să se găsească toate soluţiile sale.

27 Sisteme Cramer Un caz particular de sisteme liniare sunt aşa numitele sisteme Cramer. Definiţie: Se numeşte sistem Cramer un sistem liniar de n ecuaţii cu n necunoscute pentru care matricea A a sistemului este nesingulară, adică D = det A 0. Soluţiile unui astfel de sistem se calculează pe baza următoarei teoreme: Teoremă (Regula lui Cramer): Orice sistem Cramer este compatibil şi are soluţie unică dată de formulele: x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,..., x n = D n D, unde prin D i, 1 i n, am notat determinantul matricei obţinute din matricea sistemului prin înlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi. În concluzie, un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute al cărui determinant este nenul este întotdeauna compatibil determinat, iar soluţia sa este dată de formulele lui Cramer. Sisteme de m ecuaţii liniare cu n necunoscute În continuare vom trata cazul unui sistem oarecare de ecuaţii liniare, fără a impune ca numărul necunoscutelor să fie egal cu numărul ecuaţiilor. Rezultatele prezentate sunt valabile şi în cazul în care numărul ecuaţiilor este egal cu cel al necunoscutelor, iar determinantul sistemului este nul. Problema compatibilităţii unui sistem liniar se rezolvă cu ajutorul unui criteriu de compatibilitate dat de teorema următoare: Teorema lui Kronecker-Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare (1) este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului A este egal cu rangul matricei extinse Ā. Din punct de vedere practic, utilizarea acestei teoreme implică în primul rând calculul rangului matricei A. Aceasta înseamnă găsirea unui minor nenul d al lui A, astfel încât toţi minorii care îl conţin pe d să fie nuli. Orice minor de acest fel se numeşte minor principal. Apoi trebuie verificat că orice minor al matricei Ā care conţine pe d şi nu este minor al lui A este de asemenea nul. Un astfel de minor, obţinut prin bordarea unui minor principal cu elementele corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi şi cu cele ale uneia dintre liniile rămase se numeşte minor caracteristic. Pe baza acestor noţiuni, se poate enunţa o teoremă echivalentă teoremei lui Kronecker-Capelli:

28 Noţiuni introductive Teorema lui Rouché-Frobenius: Un sistem de ecuaţii liniare (1) este compatibil dacă şi numai dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli. Cele două teoreme sunt criterii de compatibilitate, dar nu spun nimic referitor la găsirea proriuzisă a soluţiilor. Pentru aceasta, se procedează în modul următor: Pentru a fixa ideile, presupunem că rangul minorului principal al sistemului este r şi că facem o rearanjare a sistemului de ecuaţii astfel încât minorul format din coeficienţii primelor r necunoscute să fie cel principal. În acest caz, necunoscutele x 1,x 2,...,x r se numesc necunoscute principale iar celelalte n r se numesc necunoscute secundare. Se păstrează din sistemul (1) doar ecuaţiile care corespund liniilor minorului principal. În aceste ecuaţii se trec în membrul drept termenii care conţin necunoscutele secundare şi se obţine un sistem liniar de r ecuaţii cu r necunoscute (cele principale). Se atribuie valori arbitrare necunoscutelor secundare şi se calculează cu ajutorul formulelor lui Cramer valorile necunoscutelor principale în funcţie de aceşti parametri ai problemei. Pentru ca sistemul compatibil (1) să aibă soluţie unică, este necesar şi suficient ca rangul matricei sistemului să fie egal cu numărul necunoscutelor. Sisteme de ecuaţii liniare omogene Definiţie: Un sistem de ecuaţii liniare se numeşte omogen dacă termenul liber al fiecărei ecuaţii este nul (adică fiecare ecuaţie este omogenă). Forma generală a unui astfel de sistem este următoarea: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = 0 sau sub formă condensată: a ij x j = 0, 1 i m. j=1 Referitor la aceste sisteme putem face următoarele observaţii: - Un sistem omogen este întotdeauna compatibil, deoarece admite întotdeauna soluţia banală (nulă) x 1 = x 2 =... = x n = 0. - Un sistem omogen de n ecuaţii cu n necunoscute are soluţii nenule dacă şi numai dacă determinantul său este nul. (2)

- Dacă rangul matricei sistemului omogen, r, este egal cu numărul necunoscutelor, n, atunci soluţia nulă este singura soluţie a sistemului. - Dacă r < n, sau dacă sistemul omogen are numărul ecuaţiilor mai mic decât cel al necunoscutelor, atunci el are şi soluţii nenule. Pentru găsirea acestora se procedează ca şi în cazul sistemelor arbitrare. Probleme 1. Fie matricele Să se calculeze: A = a) t A, A 2, t B, B 2 ; 1 2 1 0 3 1 2 0 1 b) t (A + B), A + B, A 2 B 2 ; şi B = 2 0 1 1 3 2 1 1 1 c) A B B A, t B A. ( ) 1 1 2. Fie matricea A M 2 (Q), A =. Să se determine toate 2 2 matricele X M 2 (Q) astfel încât A X = X A. 3. Să se determine x,y, z, u, v,w dacă este satisfăcută relaţia matriceală: ( ) ( ) ( ) x 2y 3z 1 2 2 5 2 18 2 + 3 =. 3 2 1 u v 3w 3 5 11. 29 4. Să se rezolve ecuaţia matriceală: ( 1 12 X 2 = 4 1 ). 5. Să se calculeze determinanţii de ordinul doi: a) 1 1 5 1, a b a b, cos α sin α sin α cos α b) sin α cos α 2 + 3 2 5 sin β cos β, 2 + 5 2 3, unde a, b, α, β sunt numere reale. ;

30 Noţiuni introductive 6. Să se calculeze determinanţii de ordinul trei: 0 1 7 2 1 1 3 2 1, 0 1 1 1 0 1 1 1 0, a b b b a b b b a. 7. Să se calculeze determinanţii: 2 1 0 0 1 2 3 4 2 1 1 1 a) 1 2 1 0 0 1 2 1, 2 3 4 1 3 4 1 2, 1 2 1 1 1 1 2 1 ; 0 0 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 4 2 5 0 1 1 2 4 5 b) 3 1 4 5 2 0 1 1, 1 0 3 7 3 1 0 5, 1 4 1 2 0 2 1 2. 6 5 4 4 2 6 4 1 4 3 2 1 ( ) ( ) 3 5 1 1 8. Fie matricele A = şi B =. Să se calculeze matricele X şi Y care sunt soluţii ale ecuaţiilor matriceale A X = B şi 1 2 3 2 respectiv Y A = B. Verificaţi dacă înmulţirea matricelor este comutativă. 9. Să se calculeze, dacă este posibil, inversele matricelor: 1 2 1 1 2 4 0 3 2, 3 3 10, 1 0 1 2 5 6 1 2 1 4 3 1 4 5 2 0 1 1 6 5 4 4 ; 10. Calculaţi inversa matricei de mai jos. Discuţie dupa parametrul α. 1 α 0 0 1 2 3 1 1. 11. Să se calculeze rangurile matricelor: ( ) ( ) ( 2 5 1 2 2 0 a),, 6 15 6 5 2 0 1 2 3 1 2 2 4 b) 4 5 8 10, 2 1 2 4 2 4 3 1 6 2 3 6 9 )., 1 3 1 1 3 0 2 1 3.

31 12. Calculaţi rangul matricelor ( ) 1 2 1 1 3, 1 3 0 2 α 2 α 3 pentru diferite valori ale lui α C., 2 α 2 2 4 1 2α 5 2 10 12 1, 13. Să se rezolve sistemele de ecuaţii liniare: 2x x 1 + x 2 + x 3 = 6 1 x 2 + x 3 x 4 = 1 2x a) 2x 1 x 2 + x 3 = 3 ; b) 1 x 2 3x 4 = 2 3x x 1 + x 2 x 3 = 0 1 x 3 + x 4 = 3 2x 1 + 2x 2 2x 3 + 5x 4 = 6. 14. Verificaţi compatibilitatea următorului sistem de ecuaţii liniare: x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 1 x 1 2x 2 + x 3 + 5x 4 = 6. 15. Să se calculeze soluţiile sistemului: x 1 + 2x 2 = 1 6x 1 8x 2 = 1 5x 1 + 2x 2 = 3. 16. Să se rezolve sistemul: 2x 1 + x 2 x 3 x 4 + x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 + x 4 2x 5 = 0 3x 1 + 3x 2 3x 3 3x 4 + 4x 5 = 2. 17. Să se rezolve sistemul de mai jos şi să se discute în funcţie de valorile parametrilor α, β C: x 1 + αx 2 + 2x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 x 3 = β. 18. Să se rezolve sistemul omogen:

32 Noţiuni introductive x 1 + 2x 2 + 4x 3 3x 4 = 0 3x 1 + 5x 2 + 6x 3 4x 4 = 0 4x 1 + 5x 2 2x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 8x 2 + 24x 3 19x 4 = 0 19. Să se rezolve următoarele sisteme de ecuaţii cu ajutorul regulii lui Cramer: x x 1 + x 2 x 3 = 0 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0 x a) 3x 1 2x 2 + 2x 3 = 5 ; b) 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0. x 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 2 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 0 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 0 20. Să se determine α,β şi γ astfel încât sistemele de ecuaţii liniare de mai jos să fie compatibile, iar matricea sistemului să aibă rangul doi: 2x 1 x 2 + x 3 x 4 = 1 2x 1 3x 2 + 4x 3 x 4 = 1 a) x 1 + x 2 + αx 3 + x 4 = 1 ; b) x 1 + 9x 2 + αx 3 + 3x 4 = 3. x 1 x 2 + x 3 + βx 4 = γ 5x 1 6x 2 + 10x 3 + βx 4 = γ 21. Să se rezolve sistemele liniare următoare. Discuţie după parametrii reali α, β, γ, λ. 2x 1 x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 αx 4x a) 1 2x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 7 1 + x 2 + x 3 = 1 ; b) x 6x 1 3x 2 + 7x 3 + 8x 4 = 9 1 + βx 2 + x 3 = 1. x λx 1 4x 2 + 9x 3 + 10x 4 = 11 1 + x 2 + γx 3 = 1 22. Să se determine α astfel încât sistemul următor să aibă soluţii nenule şi în acest caz să se rezolve: x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 0 2x 1 x 2 + 3x 3 3x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x 1 + (α 1)x 2 + 2x 3 + αx 4 = 0..

Capitolul 1 Spaţii vectoriale Având la bază noţiunile prezentate anterior în subcapitolul recapitulativ consacrat structurilor algebrice, vom introduce în continuare noţiunea de spaţiu vectorial sau spaţiu liniar, care reprezintă obiectul fundamental de studiu al algebrei liniare. 1.1 Spaţii vectoriale Fie K un câmp de elemente notate a,b,c, k,l,..., cu 0 elementul nul şi 1 elementul unitate şi V o mulţime oarecare ale cărei elemente le notăm cu v, w, x, y, z... Definiţia 1.1.1: Spunem că două legi de compoziţie definite peste tot pe V, una internă, numită adunare şi a doua externă faţă de K, numită înmulţire cu elemente din K, determină pe V o structură de spaţiu vectorial peste câmpul K dacă: I. Adunarea determină pe V o structură de grup comutativ, adică: (1) x, y, z V : x + ( y + z) = ( x + y) + z, (2) x V, 0 V : x + 0 = 0 + x = x, (3) x V, x V : x + ( x) = ( x) + x = 0, (4) x, y V : x + y = y + x; II. Înmulţirea cu elemente din K satisface condiţiile: (1) k, l K, x V : k(l x) = (kl) x, (2) k, l K, x V : (k + l) x = k x + l x, (3) k K, x, y V : k( x + y) = k x + k y, (4) x V : 1 x = x. Mulţimea V dotată cu aceste proprietăţi se numeşte spaţiu vectorial sau spaţiu liniar peste câmpul K. Elementele lui V se numesc vectori, iar cele ale câmpului K se numesc scalari. 33

34 Capitolul 1. Spaţii vectoriale În cazul particular K = R, V se numeşte spaţiu vectorial real, iar pentru K = C, V se numeşte spaţiu vectorial complex. Exemple de spaţii vectoriale: Mulţimea numerelor reale R împreună cu operaţia de adunare pe R şi cu înmulţirea cu numere raţionale Q formează un spaţiu vectorial peste câmpul Q. Mulţimea V a vectorilor liberi, împreună cu operaţiile de adunare geometrică a vectorilor (regula paralelogramului) şi de înmulţire a unui vector cu un număr real formează o structură de spaţiu vectorial peste R. Mulţimea M m n (K) a matricelor de tip m n cu elemente dintr-un câmp K, împreună cu operaţiile de adunare a matricelor şi înmultire a unei matrice cu un scalar din K formează un spaţiu vectorial peste K. Produsul cartezian K n = K K... K (de n ori) pe care se defineşte adunarea a două elemente x = (x 1,x 2,..., x n ), y = (y 1,y 2,..., y n ) din K n şi înmulţirea cu un scalar k K prin relaţiile: x + y = (x 1 + y 1,x 2 + y 2,..., x n + y n ) k x = (kx 1,kx 2,..., kx n ) formează o structură numită spaţiu vectorial artimetic cu n dimensiuni. Verificarea proprietăţilor acestor structuri o lăsăm drept exerciţiu cititorilor. Din proprietăţile spaţiului vectorial V peste câmpul K se pot deduce următoarele consecinţe: (c1) x V : 0 x = 0, (c2) k K : k 0 = 0, (c3) x V : ( 1) x = x. Pentru a demonstra relaţia (c1) scriem pe baza axiomelor II din definiţia spaţiului vectorial următorul şir de egalităţi: x + 0 x = 1 x + 0 x = (1 + 0) x = 1 x = x Ţinând seama de faptul că V este un grup aditiv şi deci elementul neutru 0 este unic, obţinem 0 x = 0. Celelalte consecinţe se demonstrează analog şi le lăsăm drept exerciţiu cititorilor.

1.2. Subspaţii vectoriale 35 1.2 Subspaţii vectoriale Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K. Definiţia 1.2.1: O submulţime S a lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă sunt satisfăcute condiţiile: (1) x, y S : x + y S, (2) k K, x S : k x S. Aceste condiţii pot fi înlocuite prin condiţia echivalentă: k, l K, x, y S : k x + l y S. Mulţimile { 0} şi V sunt şi ele subspaţii vectoriale ale lui V. Ele se numesc subspaţii improprii, iar orice alt subspaţiu vectorial al lui V se numeşte subspaţiu propriu. Definiţia 1.2.2: Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K şi S o submulţime nevidă a sa. Un vector v V de forma p v = k i v i, unde v i S, k i K, (1.1) se numeşte combinaţie liniară finită de elemente din S. Teorema 1.2.1: Dacă S este o submulţime nevidă a lui V, atunci mulţimea tuturor combinaţiilor liniare finite de elemente din S este un subspaţiu vectorial al lui V. Acest subspaţiu se numeşte subspaţiul generat de submulţimea S sau acoperirea liniară a lui S şi se notează cu L(S). Demonstraţie: Suma a două combinaţii liniare finite de elemente din S este o combinaţie liniară finită de elemente din S. Produsul dintre un scalar k K şi o combinaţie liniară finită de elemente din S este o combinaţie liniară finită de elemente din S. Teorema 1.2.2: Dacă S 1 şi S 2 sunt două subspaţii ale spaţiului vectorial V, atunci: (1) mulţimea S 1 + S 2 = { v = v 1 + v 2 v 1 S 1, v 2 S 2 }, numită suma dintre S 1 şi S 2, este un subspaţiu vectorial al lui V ; (2) mulţimea S 1 S 2 = { v v S 1 şi v S 2 }, numită intersecţia dintre S 1 şi S 2, este un subspaţiu vectorial al lui V ; (3) mulţimea S 1 S 2 = { v v S 1 sau v S 2 }, numită reuniunea dintre S 1 şi S 2, nu este un subspaţiu vectorial al lui V ; Demonstraţii: (1) Fie u, v S 1 + S 2, adică u = u 1 + u 2, v = v 1 + v 2, unde u 1, v 1 S 1 şi u 2, v 2 S 2. Deoarece u 1 + v 1 S 1 şi u 2 + v 2 S 2, rezultă că vectorul u + v = ( u 1 + v 1 ) + ( u 2 + v 2 ) aparţine lui S 1 + S 2.

36 Capitolul 1. Spaţii vectoriale Fie k K. Deoarece k u 1 S 1 şi k u 2 S 2, rezultă că vectorul k u = k u 1 + k u 2 aparţine lui S 1 + S 2. (2) Fie u, v S 1 S 2, adică u, v S 1 şi u, v S 2. S 1 şi S 2 sunt subspaţii vectoriale, deci, k,l K, avem k u+l v S 1 şi k u+l v S 2, şi în consecinţă rezultă k u + l v S 1 S 2. (3) Fie v 1 S 1 şi v 1 S 2, respectiv v 2 S 1 şi v 2 S 2. Rezultă că v 1 + v 2 S 1 şi v 1 + v 2 S 2, deci v 1 + v 2 S 1 S 2. Definiţia 1.2.3: Două subspaţii S 1 şi S 2 ale lui V se zic independente sau disjuncte dacă nu au în comun decât vectorul nul, adică S 1 S 2 = { 0}. Teorema 1.2.3: Fie S 1 şi S 2 două subspaţii vectoriale ale lui V şi un vector v S 1 +S 2. Descompunerea v = v 1 + v 2, v 1 S 1, v 2 S 2, este unică dacă şi numai dacă cele două subspaţii sunt independente. Demonstraţie: Fie v = v 1 + v 2 = v 1+ v 2, Deoarece v 1, v 1 S 1 şi v 2, v 2 S 2, vectorul u = v 1 v 1 = v 2 v 2 este conţinut în S 1 S 2. De aceea, S 1 S 2 = { 0} implică v 1 = v 1 şi v 2 = v 2, adică unicitatea descompunerii. Reciproc, unicitatea implică S 1 S 2 = { 0}, deoarece în caz contrar orice vector nenul v S 1 S 2 ar avea cel puţin două descompuneri: v = v + 0 = 0 + v. Definiţia 1.2.4: Fie S 1 şi S 2 două subspaţii vectoriale ale lui V. Dacă S 1 S 2 = { 0}, atunci suma S 1 + S 2 se numeşte sumă directă şi se notează S 1 S 2. Dacă în plus S 1 S 2 = V, atunci S 1 şi S 2 se numesc subspaţii suplimentare. Evident, noţiunile de sumă şi sumă directă definite mai sus pentru cazul a două subspaţii vectoriale se pot extinde pentru un număr finit de subspaţii vectoriale. 1.3 Dependenţă şi independenţă liniară Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K şi S o submulţime de elemente din spaţiul V. Definiţia 1.3.1: Mulţimea S se numeşte liniar dependentă dacă există o mulţime finită de elemente distincte din S, v 1, v 2,..., v p şi scalarii k 1,k 2,..., k p, cel puţin unul diferit de zero, astfel încât p k i v i = 0. Mulţimea S se zice liniar independentă dacă nu este liniar dependentă, adică dacă pentru orice alegere a vectorilor v i S şi a scalarilor k i K relaţia p k i v i = 0 implică k 1 = k 2 =... = k p = 0.