Str. 67 Terija vervatnće i terijski raspredi vervatnća Predavač: Dr Mirk Savić savicmirk@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs
Šta je pdstakl razvj terije vervatnće? Blaise Pascal
Osnvni pjmvi Str. 67 Terija vervatnće je matematička disciplina kja izučava zaknitsti slučajnih pjava. Slučajni dgađaj je naj dgađaj čija se realizacija ne mže puzdan predvideti. Skup svih elementarnih dgađaja se naziva sigurni dgađaj: Ω={ ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 }
Vervatnće mgu biti: klasična vervatnća*, gemetrijska vervatnća, statistička vervatnća, aksimatska vervatnća. itd Str. nema u knjizi Vervatnće slučajng dgađaja
Str. 69 Klasična (Laplasva) vervatnća p A m n gde je: A slučajni dgađaj ka skup pvljnih elementarnih dgađaja D 1, D 2,..., D n, m brj pvljnih realizacija dgađaja A, n brj eksperimenata. Suprtna vervatnća q A 1 pa
Osbine klasične vervatnće: Klasična vervatnća je uvek nenegativna vrednst: Ak je m=0, dgađaj je nemguć: Ak je m=n, nda je dgađaj A puzdan: Vrednst klasične vervatnće je u granicama: Vervatnća da se dgađaj A ne realizuje je suprtna vervatnća: p(a) 0. p(a)=0. p(a)=1. 0 p(a) 1. m qa 1. n
Statistička definicija vervatnće Ak je n brj pnavljanja eksperimenta a m brj uspešnih realizacija dgađaja A, tada relativna frekvencija m/ n predstavlja statističku vervatnću dgađaja A, tj m P( A). n Primer. Kckica se baca 1200 puta. Rezultat eksperimenata prikazan je u tabeli: x i 1 2 3 4 5 6 f i 205 196 193 195 207 204 Ak dgađaj A predstavlja kckica pkazuje paran brj, nda je 196 195 204 595 1 P ( A) 1200 1200 2
Nezavisni dgađaji Definicija: Dgađaji A i B su nezavisni ak važi P( A B) P( A) P( B) Primer. Kckica se baca dva puta. Klik iznsi vervatnća da prvi put pkazuje brj 5 a drugi put brj 2? (Da li se lgika menja ak prvi put pkazuje brj 5 a drugi put brj 5?)
Uslvna vervatnća 0 ) (, ) ( ) ( ) ( B P B P B A P B A P Princip prizvda za uslvne vervatnće. ) ( ) ( ) ( B A P B P AB P ili ) ( ) ( ) ( A B P A P AB P Primer: U kutiji ima r crvenih lpti i b plavih. a) Klik iznsi vervatnća da pri izbru dve lpte bez vraćanja, prva izabrana lpta bude crvena a druga plava. b) Klik iznsi vervatnća da pri izbru dve lpte bez vraćanja, prva izabrana lpta bude plava a druga crvena. a) 1 r b b r b r p ; b) 1 r b r r b b p
Bejsva frmula Iz relacije ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P AB P A B P A P se lak izvdi Bejsva frmula: ) ( ) ( ) ( ) ( B P A P A B P B A P U eknmiji se Bejsva frmula čest kristi za ažuriranje vervatnće nvim infrmacijama.
Primer. Pretpstavim da cena akcija raste u 900 dana i pada u 1100. Sa kjm vervatnćm cena akcija pada? (P(A) = 0,55 a priri vervatnća) Pretpstavim da rasplažem sa ddatnim infrmacijama kretanju kamatne stpe: Cena Kamatna stpa akcija Pada Raste Pada 200 900 Raste 800 100 Sa kjm vervatnćm cena akcija pada ak imam infrmaciju da kamatna stpa raste?
Označim: Treba izračunati P(A B) =? B kamatna stpa raste, B kamatna stpa pada, A cena akcija pada. P ( A B) P(B) = 0,5; P( B A) P( A) P( B) P( B A) = (900/1100) = 0,81818 P(A B) = (0,81818 0,55)/0,5= 0,9 a psteriri vervatnća
Permutacije i kmbinacije Permutacija k elemenata iz skupa n elemenata predstavlja uređenu sekvencu k elemenata. Brj permutacija računa se prema brascu P k n n! ( n k)! n( n 1)... ( n k 1) Primer. Čvek svakg dana čita nvine A, B, C, D. Na klik načina se mže drediti redsled čitanja a) sve 4 nvine, b) 3 nvine, Rešenje: c) 2 nvine, 4 d) 1 nvine? a) P4 24; 3 b) P4 24; 2 c) P4 12; 1 d) P4 4.
Primer: Na klik načina se 5 ljudi mže rasprediti u jednm vzilu? P = 120 Primer: Na klik načina se 5 ljudi mže rasprediti u jednm vzilu s tim da se vzač ne menja? P = 24
Kmbinacija pdrazumeva frmiranje pdskupa d k elemenata iz skupa d n elemenata (0 k n), pri čemu redsled izabranih elemenata nije bitan. Brj kmbinacija dređuje se prema brascu C k n n k n! k!( n k)! n( n 1)... ( n k k ( k 1)... 1 1) Primer. U prethdnm primeru na klik načina se mže izabrati X nvina kje će biti prčitane (redsled nije bitan), ak je a) X = 4, b) X = 3, c) X = 2, d) X = 1, e) X = 0?. Rešenje: 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 a) C4 1; b) C4 4; c) C4 6; d) C4 4; d) C4 1. 4 3 2 1 0
Str. 71 Vervatnća dređeng brja realizacija dgađaja pri višestrukm pnavljanju eksperimenta binmna vervatnća*, Puasnva (Pissn) vervatnća*, hipergemetrijska vervatnća.
Binmna vervatnća Str. 71 Pkazuje klika je vervatnća da će se u n nezavisnih eksperimenata dgađaj A realizvati x puta, a da se neće realizvati n x puta, pd uslvm da je 0 x n. Kada se izračunava vervatnća p(n;x): kada je vervatnća realizacije dgađaja A, p(a), velika (p(a)>0,05) brj nezavisnih eksperimenata mali (n 20)
Frmule: Binmna vervatnća: pn x n x nx ; x pq ; x = 0, 1, 2,...,n, n x 1 p n; x p n; x1 x q p, Rekurentni brazac: Binmna vervatnća ak je p=q: Binmni brazac x-te klase d n elemenata: p n; x n x n x 2 n, x! x! n x! Napmena za binmni brazac: n 0 1. n n, VER-040 Binmna vervatnća VER-004 K:3-1 Binmna vervatnća VER-027 Z(06)5-1 Binmna vervatnća
Puasnva vervatnća Str. 73 Puasnva vervatnća se izračunava kada je vervatnća p 0,05 i n>20. Puasnva vervatnća: m m pn; x e ; x = 0, 1, 2,...; m>0 x! Parametar m: m=np=cnst, m>0 Rekurentni brazac: m p n; x pn; x1 x Pslednja vervatnća: pn; n 1 pn; x x n1 i1 VER-041 Puasnva vervatnća VER-006 K:3-2 Puasnva vervatnća VER-029 Z(06)5-4 Puasnva vervatnća
Zakni velikih brjeva Str. 86 Zakn velikih brjeva se zasniva na pretpstavci da u velikm brju slučajnih pjava njihva srednja vrednst prestaje da bude slučajna veličina i da se mže predvideti sa velikm puzdanšću. Primer: Bacanje nvčića
Str. 74 Centralna granična terema Centralna granična terema je skup uslva pri kjima se empirijski raspredi približavaju nrmalnm zaknu raspreda vervatnća.
Primer:Ocene studenata p ispitnim rkvima: 35 30 25 fi Brj studenata x 7 20 15 10 5 X 0 5 6 7 8 9 10 Ocena
35 30 25 fi Brj studenata 20 15 10 5 X 0 5 6 7 8 9 10 Ocena
35 fi Brj studenata x 8 30 25 20 15 10 5 X 0 5 6 7 8 9 10 Ocena
35 fi Brj studenata 30 25 20 15 10 5 X 0 5 6 7 8 9 10 Ocena
Slučajne prmenljive Str. 75 Slučajna prmenljiva X je takva prmenljiva kja mže primati različite brjčane vrednsti sa dređenm vervatnćm. Ona je u ptpunsti definisana ak se pred saznanja tme kje vrednsti na mže uzimati, zna i sa kjim vervatnćama na mže te vrednsti uzimati.
Razlikuju se: prekidna (diskntinualna, diskretna) prmenljiva, neprekidna (kntinualna) prmenljiva.
Str. 76 Jedndimenzinalna prekidna slučajna prmenljiva Prekidna slučajna prmenljiva X je na slučajna prmenljiva kja za svju vrednst uzima cele nenegativne brjčane vrednsti, sa pzitivnim vervatnćama p i, i=1,2,...,n. X= x 1 x 2... x i... x n p 1 p 2... p i... p n n ; i1 p i =1 VER-031 Jedndimenzinalna prekidna slučajna prmenljiva
Str. 76 Pdela svih raspreda vervatnća u dve velike grupe: empirijski i terijski raspredi. Terijski prekidni raspredi (nema u knjizi): Bernulijev raspred vervatnća. Binmni raspred vervatnća*. Puasnv raspred vervatnća*. Hipergemetrijski raspred vervatnća. Negativni binmni raspred vervatnća. Gemetrijski raspred vervatnća.
Str. 77 Binmni raspred vervatnća Vervatnće binmng raspreda se izračunavaju na snvu već pminjanih frmula! Uslvi: n x0 0<p<1, p+q=1, n; x 1 P. (p>0,05); n 20.
Str. 78 Puasnv raspred vervatnća (n ); (p(a)0) (p 0,05); n>20.
Str. 79 Jedndimenzinalna neprekidna slučajna prmenljiva Ak slučajna prmenljiva X mže na slučajan način uzimati bil kju prizvljnu brjčanu vrednst, u dređenm intervalu, na primer, u intervalu (a,b).
Terijski neprekidni raspredi vervatnća Str. 80 Vrste: Nrmalni raspred vervatnća*. Studentv raspred vervatnća*. Hi-kvadrat raspred vervatnća*. Snedekrv F-raspred vervatnća (Fišerv raspred)*. Ravnmerni raspred vervatnća. Ekspnencijalni raspred vervatnća. Lgnrmalni raspred vervatnća.
Nrmalan raspred vervatnća Karl Fridrih Gaus XIX vek Str. 80
Zašt je nrmalni raspred tlik važan? Veliki brj masvnih pjava ima približn nrmalan raspred vervatnća. Mngi prekidni raspredi vervatnća mgu se aprksimirati nrmalnim raspredm vervatnća. Na snvu njega razvijen je veći brj neprekidnih raspreda, ka št su Studentv, Hi-kvadrat, Snedekrv F-raspred itd. Predstavlja snvu za parametarsk zaključivanje. Veliki brj statističkih prblema se rešava ili se mže rešavati sam uz pretpstavku da snvni skup, iz kga je frmiran uzrak, ima nrmalan raspred.
Osbine nrmalng raspreda vervatnća f(u) Str. 82 3 0 4 3 0 Oblik simetričng zvna. Keficijent asimetrije je α 3 =0 i keficijent spljštensti je α 4 =3. Ukupna pvršina ispd krive nrmalng raspreda jednaka je jedinici. Frekvencije raspreda padaju istim tempm i ptpun su simetričn raspređene. Nrmalni raspred je u ptpunsti definisan parametrima μ i σ 2. Uklik su pznate μ i σ, mže se izračunati pvršina ispd nrmalne krive. M e M u
VER-042 Nrmalizvani raspred VER-017 Z(06)6-1 Nrmalizvani raspred VER-022 Nrmalizvani raspred
Str. 83 Studentv t-raspred vervatnća W. S. Gsset (1908)
f(t) (u) Nrmalni raspred Studentv raspred u 0 t Ovaj raspred se kristi kd malih uzraka za cenjivanje parametara snvng skupa i za testiranje hipteza parametrima snvng skupa. Mali uzrak je naj kji ima manje d 30 jedinica (n<30).
2 f 2 (hi-kvadrat) raspred vervatnća Str. 82 0 Hi-kvadrat raspred se najviše kristi u blasti neparametarskih testva.
Snedekrv F-raspred vervatnća Str. 84 f(f) R. A. Fisher 0 F Ovaj raspred se najviše kristi u statističkm metdu pd nazivm ''analiza varijanse''.
Izbr dgvarajućeg terijskg raspreda Str. 85 2 rasp n i1 rasp 2 f f i i n 1 Najblji terijski raspred je naj kji ima najmanju varijansu!
Aprksimacija nrmalnim raspredm Str. 86 Prvi uslv za aprksimaciju: α 3 0. Drugi uslv za aprksimaciju: α 4 3. VER-008 K:3-3 Aprksimacija nrmalnim raspredm VER-009 Z(06)7-1 Aprksimacija nrmalnim raspredm
VER-003; K(05)z 3-1 Binmna vervatnća VER-005; K(05)z 3-2 Puasnva vervatnća VER-007; K(05)z 3-3 Aprksimacija nrm. raspredu
=NORM.S.DIST(B2,FALSE) pdf 0.4500 0.4000 0.3500 0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4
Vervatnća gustine f(z) =NORM.S.DIST(B3,TRUE) -3.5-3.25-3 -2.75-2.5-2.25-2 -1.75-1.5-1.25-1 -0.75-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 Nrmalizvan dstupanje (z)
Vervatnća gustine f(z) -3.5-3.25-3 -2.75-2.5-2.25-2 -1.75-1.5-1.25-1 -0.75-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 Nrmalizvan dstupanje (z)