Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis u bazi A označavat ćemo s α α v = = α a + α a + + α n a n, ( α n (A a zapis u bazi B s v = β β β n (B = β b + β b + + β n b n ( Cilj nam je opisati metodu za prijelaz iz jedne u drugu bazu Ilustrirat ćemo metodu na primjeru Primjer Zadan je vektor v = (,, 4 u kanonskoj bazi E = {e, e, e } Odredite koordinatni prikaz vektora v u bazi F = {(,,, (,,, (,, } Rješenje Zadatak ćemo riješiti na tri načina Koordinatni zapis od v u bazi E dan je s v = 4 = e + e + 4e ( (E Da bismo odredili koordinatni zapis u bazi F, moramo odrediti skalare α, β i γ takve da vrijedi: α v = β γ = αf + βf + γf, (4 (F gdje je f = (,,, f = (,, i f = (,, Pošto je dan prikaz vektora u bazi E, dovoljno je vektore baze iz E prikazati pomoću vektora iz F, tj odrediti skalare a ij takve da vrijedi: e = a f + a f + a f e = a f + a f + a f (5 e = a f + a f + a f
Svaka od jednadžbi u (5 je sustav od tri jednadžbe od tri nepoznanice Kada odredimo skalare a ij rješenje uvrštavamo u jednakost ( i grupiramo po vektorima f, f i f Rezultat je koordinatni prikaz u bazi F : v = e + e + 4e = = (a f + a f + a f + (a f + a f + a f + +4(a f + a f + a f = = (a + a + 4a f + (a + a + 4a f + (a + a + 4a f = a + a + 4a = a + a + 4a a + a + 4a (F Vektor na desnoj strani jednak je umnošku matrice A = (a ij i vektora v (E : a + a + 4a a + a + 4a a + a + 4a (F = a a a a a a a a a Preostaje riješiti sustave (5 Sustave zapisujemo u proširene matrice: 0 0 0 0 0 0 Prvi sustav dat će nam rješenja a, a, a, drugi a, a, a, a treći a, a, a Nije potrebno rješavati svaki sustav posebno pošto svi imaju iste koeficijente, može se kao kod traženja inverza proširiti sustav da bude oblika (f f f e e e : 0 0 0 0 0 0 Elementarnim transformacijama po recima matrice slijedi da je matrica A jednaka: ( 0 4 pa je vektor v u bazi F jednak: v F = Av E = 0 4 =
način Postupak ima i teorijsko objašnjenje: prisjetimo se pojma matrice prijelaza općenito iz baze E = {e, e,, e n } (ne nužno kanonske u bazu F = {f, f,, f n } Kažemo da je T [E,F ] matrica prijelaza iz baze E u F ako vrijedi: T [E,F ] e i = f i za svaki i {,,, n} Sustave (5 možemo matrično zapisati u obliku: e = Af, e = Af, e = Af, pa prema definicije slijedi da je A matrica prijelaza iz baze F u bazu E, tj A = T [F,E] Matrica prijelaza iz E u F je inverz matrice A i nju možemo direktno odrediti Ta matrica (označimo je sa T [E,F ] je dana s: T [E,F ] = Direktnom provjerom slijedi da je T [E,F ] f i = e i za i iz skupa {,, } Matrica prijelaza iz baze F u E je inverz matrice T [E,F ] (jer je f i = T [E,F ] e i Inverz matrice T [E,F ] odredimo elementarnim transformacijama na recima: 0 0 0 0, 0 0 Gaussovom metodom dobivamo rješenje: 0 0 0 0 0 0 0 Slijedi da je zapis vektora v u bazi F jednak: v (F = T [F,E] v (E = 0 4 = način Općenito, kada baza E nije kanonska, teže je odrediti matricu prijelaza T [E,F ] Prema predavanjima, poglavlje o regularnim operatorima, točka, matrice prijelaza T [E,F ] i T [F,E] izmedu baza (e,, e n i (f,, f n možemo odrediti tako da vektora baza napravimo matrice E = (e e n i F = (f f n čiji su stupci vektori baze Slijedi da su matrice prijelaza dane s T [E,F ] = E F i T [F,E] = F E Provedimo postupak na primjeru (matricu T [E,F ] nije potrebno računati: 0 0 E = (e e e = 0 0 F = (f f f = 0 0
Slijedi da su matrice prijelaza: 0 0 T [E,F ] = E F = 0 0 0 0 T [F,E] = F E = 0 0 0 0 0 0 = = 0 (7 (8 Inverze smo već odredili pomoću prethodnog načina Slijedi da je vektor v (F jednak: v (F = T [F,E] v (E = = 0 4 Promjena baze operatora Prvo pročitajte predavanja, poglavlje o regularnim operatorima, točka 4 Neka je dan matrični zapis A F operatora l : R n R n u bazi F = {f, f,, f n }, opišimo postupak odredivanja matričnog zapisa A G operatora l u bazi G, pomoću promjena baza Odredimo kako djeluje operator l na proizvoljan vektor x R n, čiji koordinatni zapis u bazi G označimo s x G Neka je T = T [F,G] matrica prijelaza iz F u G, tada je T = T [G,F ] matrica prijelaza iz baze G u bazu F Odredimo matrični zapis vektora x u bazi F : jer je T matrica prijelaza if F u G vrijedi x (F = T x (G Kada na vektor x F djelujemo matricom A F dobivamo koordinatni zapis u bazi F vektora l(x: vrijedi l(x (F = A (F x (F Pošto želimo odrediti zapis od l(x u bazi G vrijedi moramo još djelovati matricom prijelaza iz baze G u bazu F : l(x (G = T l(x (F Zapišimo sve jednakosti u jednom redu u bazi G: A G x G = l(x (G = T l(x (F = T A (F x (F = T A (F T x (G ( Slijedi da je matrica A G jednaka T A F T Primjer Linearni operator f : R R u bazi F = {f = (,, f = (, } dan je matričnim zapisom: ( 0 A F = Odredite mu matrični zapis A G u bazi G = {g, g } gdje je g = (,, g = (0, 4
Rješenje Da bi iskoristili pravilo A G = T A F T, moramo odrediti matricu prijelaza T iz F u G i njen inverz T Prema trećem načinu rješavanja prethodnog zadatka definirajmo matrice: ( F = i Inverz od F jednak je: G = F = pa je matrica prijelaza iz F u G dana s: T = F G = ( 0 ( ( Inverz možemo izračunati direktno prema pravilu o prijelazu iz baze G u F ( po kojem je T = G F ili Gaussovim algoritmom iz matrice T Slijedi da je T = Konačno matrični zapis A G operatora f u bazi G dan je s: A G = T AT = ( ( 0 ( = ( 0 5