Telekomunikacije. Filip Brqi - 2/ februar 2003.

Telekomunikacije Filip Brqi - 2/99 14. februar 2003.

Sadrжaj 1 Signali i spektri 2 1.1 Periodiqni signali...................... 2 1.1.1 Amplitudski i fazni spektri signala....... 2 1.1.2 Spektri najqex ih signala............. 3 1.1.3 Kroskorelacija..................... 4 1.2 Aperiodiqni signali..................... 4 1.2.1 Spektar aperiodiqnog signala........... 4 1.2.2 Spektri najqex ih signala............. 4 1.2.3 Pomeranje signala u vremenu............ 5 2 Diskretizacija signala 6 2.1 Odabiranje............................ 6 2.2 Diskretna Furijeova Transformacija........... 6 3 Prenos signala kroz linearne sisteme 8 3.1 Filtri.............................. 8 3.1.1 Idealni filtar propusnik niskih uqestanosti - NF (LowPass Filter - LP)................ 8 3.1.2 Idealni filtar propusnik visokih uqestanosti - VF (HighPass Filter - HP).............. 8 4 Sistemi prenosa sa amplitudskom modulacijom 9 4.1 Amplitudska modulacija................... 9 5 Sistemi prenosa sa ugaonom modulacijom 10 5.1 Fazna modulacija (PM).................... 10 5.2 Frekvencijska modulacija (FM)............... 10 5.2.1 Karsonov obrazac (Carson s rule)........... 11 6 Sistemi prenosa sa impulsnom modulacijom 12 1

Glava 1 Signali i spektri 1.1 Periodiqni signali 1.1.1 Amplitudski i fazni spektri signala Svaka periodiqna funkcija moжe se prikazati u obliku Furijeovog reda kao f(t) = F n e jnω0t = ili u obliku trigonometrijskog Furijeovog reda kao f(t) = F 0 + n=1 gde se F n dobija Furijeovom transformacijom: F n e j(nω0t+θn) (1.1) 2 F n cos (nω 0 t + θ n ) (1.2) F n = F n e jθn = 1 T T 2 T 2 f(t) e jnω0t d t, n = 0, ±1, ±2 (1.3) pri qemu je ω 0 = 2π T osnovna frekvencija. Dvostrani spektaj qine F n i θ n za n = 0, ±1, ±2,..., a jednostrani spektar F 0, 2 F n i θ n za n = 1, 2,.... Poxto je funkcija f(t) realna, na osnovu 1.3 mora da vaжi F n = F n, n = 0, ±1, ±2,... (1.4) xto znaqi da je amplitudski spektar parna funkcija a fazni spektar neparna funkcija F n = F n, n = 0, ±1, ±2,... (1.5) θ n = θ n, n = 0, ±1, ±2,... (1.6) 2

1.1.2 Spektri najqex ih signala Povorka pravougaonih impulsa Ako je opxti oblik funkcije u intervalu jedne periode 0, 0 < t < t 1 f(t) = E, t 1 t t 1 + τ 0, t 1 + τ t T (1.7) tada je najopxtiji oblik amplitudskog spektra F n = Eτ T sin (nω 0 τ/2) nω 0 τ/2, n = 0, ±1, ±2,... (1.8) gde je ω 0 = 2π T. Fazni spektar je tada gde je θ n = nω 0 (t 1 + τ/2) + θ n, n = 0, ±1, ±2,... (1.9) θ n = θ n = { 0, sin (nω0 τ/2) > 0 π, sin (nω 0 τ/2) < 0 n = 1, 2, 3,... (1.10) Povorka rastu ih funkcija Ako je opxti oblik funkcije u intervalu jedne periode f(t) = 2E T t, T 2 t < T 2 (1.11) tada je F n = ( 1) n E nπ ej π 2, n = ±1, ±2,... (1.12) F 0 = 0 (1.13) odnosno amplitudski spektar je F n = E nπ (1.14) F 0 = 0 (1.15) a spektar snage je Mnoжenje sa cos (ω a t) E2 S 11 (nω 0 ) := F n 2 = (nπ) 2 (1.16) Neka je f(t) = f 1 (t) f 2 (t), pri qemu je f 2 (t) = E cos (ω a t), a f 1 (t) je povorka unipolarnih pravougaonih impulsa amplitude 1. Tada je f 2 (t) = E cos (ω a t) = E 2 ejωat + E 2 e jωat (1.17) 3

a f 1 (t) = τ T sin (nω 0 τ/2) e jnω0t (1.18) nω 0 τ/2 pa je finalno f(t) = + Eτ 2T Eτ 2T sin (nω 0 τ/2) e j(ωa+nω0)t + (1.19) nω 0 τ/2 sin (nω 0 τ/2) e j( ωa+nω0)t (1.20) nω 0 τ/2 1.1.3 Kroskorelacija Kroskorelacija ili unakrsna korelacija dve periodiqne funkcije f 1 (t) i f 2 (t) je funkcija R 12 (τ) := 1 T T 0 f 1 (t) f 2 (t + τ) d t (1.21) 1.2 Aperiodiqni signali 1.2.1 Spektar aperiodiqnog signala Neka je f(t) neki aperiodiqni signal. Tada je furijeova transformacija tog signala F (jω) = F (jω) e jθ(ω) = F [f(t)] := + f(t)e jωt d t (1.22) Funkcija F (jω) predstavlja kompleksni spektar signala f(t). Apsolutna vrednost kompleksnog spektra F (jω) je spektralna gustina amplituda dok je θ(ω) spektralna gustina faza. Inverzna furijeova transformacija glasi: f(t) = F 1 [F (jω)] := 1 2π + F (jω)e jωt d ω (1.23) 1.2.2 Spektri najqex ih signala Pravougaoni impuls Ako je funkcija definisana sa 0 < t < τ/2 f(t) = E τ/2 t τ/2 0 τ/2 < t < + (1.24) njen spektar je sin (ωτ/2) F (jω) = Eτ ωτ/2 (1.25) 4

njena spektralna gustina amplituda je F (jω) = Eτ sin (ωτ/2) ωτ/2 (1.26) a njena spektralna gustina faza je { 0, sin(ωτ/2) ωτ/2 > 0 θ(ω) = sin(ωτ/2) ±π, ωτ/2 < 0 (1.27) Dirakov impuls Dirakov impuls δ(t) se dobija kada u pravougaonom impulsu τ 0, a Eτ = 1. Njegova furijeova transformacija je Konstanta (jω) = 1 (1.28) Konstanta se dobija kada u pravougaonom impulsu τ i njen kompleksni spektar je 2πEδ(ω). Eksponencialno opadaju i signal Ako je signal f(t) = e at, za t 0 i a > 0, tada je odnosno F (jω) = F (jω) = 1 a + jω (1.29) 1 a2 + ω 2 (1.30) Hevisajdova funkcija Spektar Hevisajdove funkcije se dobija kad se u eksponencialno opadaju u funkciju ubaci da a 0 X H (jω) = { 1 jω, ω 0 πδ(ω), ω = 0 (1.31) 1.2.3 Pomeranje signala u vremenu Ako je poznat spektar F (jω) signala f(t), tada je spektar signala f 1 (t) = f(t t 0 ) F 1 (jω) = F (jω)e jωt0 (1.32) Ako je poznat spektar F (jω) signala f(t), tada je spektar signala f 2 (t) = f(at) F 2 (jω) = 1 ( a F j ω ) (1.33) a 5

Glava 2 Diskretizacija signala 2.1 Odabiranje Diskretizacija signala po vremenu, odn. odabiranje se vrxi mnoжenjem signala sa unipolarnom povorkom impulsa trajanja τ, periode T i amplitude 1 (u ve ini sluqajeva). Time se spektar signala, koji je bio ograniqen na ω ω m, preslikava u okolinu ω = 0, ±ω 0, ±2ω 0,..., sin(nω 0τ/2) nω 0τ/2. samo pomnoжen sa nekim koeficijentima C 0 = 1 i C n = τ T Da bi se posle diskretizacije, filtriranjem kroz LowPass filter koji propuxta ω ω m, dobio poqetni signal, mora da vaжi ω 0 2ω m (ovo pravilo se naziva Teorema odabiranja odn. Sampling Theorem). 2.2 Diskretna Furijeova Transformacija Ako funkcija f(t) ima spektar F (jω), on se moжe numerv cki odrediti diskretnom Furijeovom transformacijom (DFT): F d (jnω d ) = 1 N N 1 m=0 f d (m t)e jnω dm t, n = 0, 1,..., N 1 (2.1) gde je f(m t) = f(t = m t) za m = 0, 1,..., N 1, t = T N korak diskretizacije u vremenu, a ω d = 2π T korak diskretizacije u spektru. Inverzna Furijeova transformacija (IDFT) glasi: f d (m t) = N 1 n=0 F d (jnω d )e jnω dm t, m = 0, 1,..., N 1 (2.2) Funkcija F d (jnω d ) je periodiqna sa periodom Nω d, a funkcija f d (m t) sa periodom N t. Ako je funkcija f(t) ograniqena po trajanju na interval 0 t < T, a spektar F (jω) zanemarljivo mali za ω > ω m, tada vaжi da je { T Fd (jnω F (jnω d ) = d ), nω d ω m (2.3) 0, nω d > ω m 6

Ako je spektar F (jω) ograniqen u opsegu uqestanosti ω ω m, a vrednosti f(t) su zanemarljivo male za t < 0 i t T, tada vaжi da je F (jnω d ) = T F d (jnω d ), ω ω m (2.4) 7

Glava 3 Prenos signala kroz linearne sisteme 3.1 Filtri 3.1.1 Idealni filtar propusnik niskih uqestanosti - NF (LowPass Filter - LP) Funkcija prenosa idealnog NF je H N (jω) = A N (ω)e jθ N (ω) A N (ω) = { 1, ω ωn 0, ω > ω N (3.1) θ N (ω) = ωt 0 3.1.2 Idealni filtar propusnik visokih uqestanosti - VF (HighPass Filter - HP) Funkcija prenosa idealnog VF je H V (jω) = A V (ω)e jθ V (ω) A V (ω) = { 0, ω ωv 1, ω > ω V (3.2) θ V (ω) = ωt 0 8

Glava 4 Sistemi prenosa sa amplitudskom modulacijom 4.1 Amplitudska modulacija Nose i talas (carrier wave) je definisan u obliku c(t) = A c cos (2πf c t) (4.1) Neka je m(t) signal u osnovnom opsegu koji nosi жeljenu poruku. Amplitudski modulisan signal je tada s(t) = A c [1 + k a m(t)] cos (2πf c t) (4.2) gde je k a stepen modulacije (amplitude sensitivity) 9

Glava 5 Sistemi prenosa sa ugaonom modulacijom 5.1 Fazna modulacija (PM) Ako je poruka signal u m (t), a nosilac signal u 0 (t) = U 0 cos (ω 0 t), tada je fazno modulisan signal u(t) = U 0 cos [ω 0 t + φ(t)], φ(t) = k φ u m (t) (5.1) Trenutna devijacija frekvencije (instantaneous frequency) je f i (t) = 1 d φ(t) 2π d t (5.2) 5.2 Frekvencijska modulacija (FM) Ako je poruka signal u m (t), a nosilac signal u 0 (t) = U 0 cos (ω 0 t), tada je frekvencijski modulisan signal t ] u(t) = U 0 cos [2πf 0 t + 2πk f u m (t) d t (5.3) Trenutna devijacija faze je tada φ(t) = 2πk f t Iz teorije Beselovih funkcija znamo da je e jm sin φ = pa se odatle dobija da je cos (ω 0 t + m sin φ) = u m (t) d t (5.4) J n (m) e jnφ, J n (m) = ( 1) n J n (m) (5.5) 10 J n (m) cos (ω 0 t + nφ) (5.6)

Kad se to primeni na FM signal, dobija se da je u(t) = U 0 + J n (m) cos [(ω 0 + nω m ) t] (5.7) gde je m = kωum ω m se napixe da je = ω0 ω m = f0 f m indeks modulacije. Drugaqije moжe da u(t) = U 0 J 0 (m) cos ω 0 t + + U 0 J n (m) cos [(ω 0 + nω m ) t] + (5.8) n=1 + U 0 ( 1) n J n (m) cos [(ω 0 nω m ) t] n=1 5.2.1 Karsonov obrazac (Carson s rule) Empirijsko pravilo za određivanje xirine opsega frekvencija (bandwidth) korisnog FM signala je Karsonov obrazac. On kaжe da je ta xrina ( B T 2 f 0 + 2f m = 2 f 0 1 + 1 ) (5.9) m Drugaqije pravilo za korisnu xirinu FM signala je broj znaqajnih frekvencija (B T = 2n max f m ) u zavisnosti od indeksa modulacije (preciznije, J n (m) > 0.01 za n n max ). To pravilo je dato na tabeli 5.1, koja je preuzeta iz knjige [1]. Indeks modulacije Broj znaqajnih frekvencija m 2n max 0.1 2 0.3 4 0.5 4 1.0 6 2.0 8 5.0 16 10.0 28 20.0 50 30.0 70 Tabela 5.1: Xirina FM signala u zavisnosti od indeksa modulacije 11

Glava 6 Sistemi prenosa sa impulsnom modulacijom 12

Bibliografija [1] Simon Haykin. Communication Systems. John Wiley & Sons, Inc., 4th edition, 2001. ISBN 0-471-17869-1. 13