CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei w î puctul e w coeficietul c di devoltre î serie Luret î veciătte puctului e{ w } c Avâd î vedere că c w d < < r i ρ π ρ reultă că w d πie w ρ ott { } { } Clculul reiduurilor fucţiei w î polii situţi l distţă fiită pote fi făcut şi fără devolt fucţi î serie Luret Astfel dcă este pol siplu l fucţiei w se pote scrie e{ w } li w ϕ Dcă w fucţiile ϕ şi ψ fiid oloorfe îtr-o veciătte puctului ψ şi ϕ ψ ψ reiduul î polul siplu se pote clcul pri ϕ ϕ e ψ ψ Dcă fucţi w re î puctul u pol de ordi tuci forul de clcul petru reiduul fucţiei w î este [ w ] d e{ w } li! d Fie fucţi w vâd u puct sigulr iolt l ifiit Î veciătte cestui puct fucţi dite o devoltre Luret de for c c w c c >
Cpitolul ME5 Se ueşte reiduu l fucţiei w î puctul de l ifiit uărul c c fiid coeficietul lui stfel că di devoltre Luret Se oteă e w c Di itegrre relţiei pe u cerc itegrl pe cercul ρ { } w ρ ρ > se oţie d πic { } w d πie w ρ ρ fiid lută î sesul celor de cesoric Teore 5 Teore reiduurilor Fie w o fucţie oloorfă î doeiul siplu coex D cu excepţi puctelor iolte şi fie γ o cură siplă îchisă sitută î D şi cre coţie î iterior puctele Atuci d πi γ { w } w e Oservţie Teore pote fi extisă l cul î cre doeiul D este ultiplu coex j ărgiit de cur exterioră γ şi curele iteriore γ j ir fucţi w este oloorfă î D \ { } şi cotiuă pe D { } \ γ γ i j w d w d πi Î cest c forul devie e{ w } curele γ γ γ fiid prcurse î ses direct î rport cu doeiul Teore 5 Fie w o fucţie oloorfă î tot plul coplex cu excepţi puctelor iolte Atuci su tuturor reiduurilor fucţiei w iclusiv reiduul î puctul este ulă e { w } e{ w } Coseciţă Fie γ o cură siplă îchisă ce coţie î iterior tote puctele Atuci γ w d πi e { w } Teore 53 Fie w o fucţie oloorfă î doeiul D cu excepţi puctelor sigulre iolte Fie de seee polii siplii frotier γ doeiului D Dcă cur γ e etedă î puctele ' ' e cotiuă î D { } \ tuci ' ' ' ' ' ' ' w d iπ e { w } iπ e { w j γ j i fucţiei w situţi pe ir fucti w }
Cpitolul ME5 5 Exeple eiduul fucţiei w e î origie se oţie di devoltre fucţiei î veciătte cestui puct e e e!! Mi reultă e d πiee πi ρ Fie de clcult reiduul î puctul - l fucţiei w cos Ave w [ ] cos!!! Deci e cos! [ ] 3 Fucţi e w w : C \ { } C 3 re u pol siplu î puctul şi u pol de ordiul doi petru Se oţie şi de seee e e e 3 3 { w} li li e e d e e 3 d { w} li li 4 Fie rur regultă fucţiei w w α defiită pe plul coplex cu tăietur [-] pe x relă Ave α
Cpitolul ME5 petru > w α α α α α α De ici reultă α { e w 5 Să se clculee itegrl > d I Itegrtul re u pol de ordiul î origie şi u pol siplu petru Se oţie e L ifiit i reultă > petru de ude deduce că e Di plicre teoreei se oţie şi reiduul î puctul e e Petru cul < ve e e i I π Petru i i i I π π π e e I sfârşit petru > i i I π π e
Cpitolul ME5 53 Aplicţii le reiduurilor l clculul itegrlelor defiite π I Itegrle de for ˆ cosθ si θ Fie xy I dθ ˆ o fucţie rţiolă î x y Itegrl I cosθ si θ π pote fi trsfortă îtr-o itegrlă curiliie coplexă pe cercul pri schire de vriilă e Se oţi e e e e s i cosθ d ie θ dθ i i Itegrl coplexă ˆ d ˆ d i i dθ se reduce l itegrl dcă se foloseşte pretrire eultă e θ π cercului I π i e ˆ i i ˆ situţi î iteriorul cercului Î cul î cre fiid polii itegrtului ˆ re poli sipli pe cercul cosidert itegrl treuie clcultă î vlore priciplă î sesul Cuchy ir î relţi treuie dăugte seireiduurile îulţite cu πi ˆ referitore l polii situţi pe cercul fucti le fucţiei II Itegrle de for x Itegrl I ˆ dx 3 x ude ˆ dx ˆ este o fucţie rţiolă coverge dcă grdul uitorului este cu cel puţi două uităţi i re decât grdul uărătorului şi polioul de l uitor u re rădăcii rele Dcă uitorul fucţiei ˆ re rădăcii siple itegrl pote fi clcultă î vlore priciplă
Cpitolul ME5 Le Dcă fucţi g este cotiuă pe rcele de cerc şi dcă 4 li g e uifor î rport cu [ ] tuci 5 li g d Deostrţie Folosid pretrire petru C e [ ] θ d g d g e C C { e θ θ θ } θ θ θ θ θ θ rcului C se oţie g dθ C C folosid relţi 4 se oţie li C θ θ θ g e * cu [ θ θ ] d w θ ; reultâd stfel forul 5 Petru evlure itegrlei 3 vo plic teore reiduurilor fucţiei ˆ pe Γ C fig 6 cu les suficiet de re stfel c tote sigulrităţile coturul [ ] fucţiei ˆ să fie coţiute î doeiul < eultă ude Γ { ˆ } { πi e ˆ j } ˆ d π i e sut polii fucţiei polii siplii i lui stfel C fiid seicercul j ˆ di seiplul superior ir costituie ' ' ' ˆ situţi pe x relă Itegrl pe coturul Γ se pote descopue d x dx Γ ˆ ˆ ˆ d θ π eultă C ˆ x dx π i e{ ˆ } ' { ˆ j j } π i e ˆ d j C C -
Grdul uitorului î ˆ uărătorului se oţie Petru ude reultă Cpitolul ME5 Fig 6 fiid cu cel puţi două uităţi i re decât cel l le ˆ d li ˆ li C { ˆ } πi e{ ˆ } ' x dx i e j j π sut polii fucţiei ˆ de pe x relă ˆ di seiplul superior ir iλx III Itegrle de for I e ˆ x Fie ˆ x o fucţie rţiolă Itegrl dx iλx 6 I e ˆ x dx repreită trsforre Fourier fucţiei rţiole ˆ x cest tip este ecesr urătorul reultt: Le Le lui C Jord Fie { } > C rcul cercului sut polii sipli i lui ' ' j x j I fixt şi g o fucţie cotiuă pe C şi stfel îcât li g uifor î rport cu rg Atuci petru orice λ poitiv li C g iλ e d Petru evlure itegrlelor de situt î seiplul iλ Petru clculul itegrlei 6 î cul λ > se itegreă fucţi w e ˆ pe cur îchisă Γ di fig 6 C Se oţie - Fig 6
Cpitolul ME5 iλ iλ iλ 7 ˆ e d π i e{ ˆ e } { πi e ˆ e j } Γ Deseee ve 8 i λ e d iλx iλ ˆ x e dx ˆ e d Γ Petru c itegrl 6 să fie covergetă este ecesr c li ˆ Dcă cestă codiţie C j este verifictă liit ultiului tere î relţi 8 petru lui Jord Di relţiile 7 şi 8 se oţie este ulă cofor leei iλx iλ iλ 9 ˆ x e dx π i e{ ˆ e } { πi e ˆ e j } ude puctele sut polii fucţiei ˆ di seiplul superior ir ' ' ' sut polii sipli i fucţiei situţi pe x relă Oservţie: I cul λ < se îlocuieşte coturul Γ cu Γ' sietricul său fţă de x Ox şi reultă forul iλx iλ iλ ˆ x e dx π i e{ ˆ e } { πi e ˆ e j } puctele fiid î cestă situţie polii fuţiei IV Itegrle de for I x Itegrl I x α α ˆ x dx ˆ x dx j j ˆ di seiplul iferior α fiid rel eîtreg şi ˆ x o fucţie rţiolă repreită trsfort Melli fucţiei ˆ x Cu î pre o sigulritte itegrdului petru x vo preet fără deostrţie o leă seăătore celor discutte îite referitore l coportre itegrlei curiliii coplexe pe u rc de cerc î veciătte sigulrităţii c şi g o fucţie cotiuă pe c ε şi stfel îcât i Le 3 Fie { ε θ θ θ } θ Atuci ε li g uifor pe rcul c ε d li g ε cε Petru evlure itegrlei 6 se cosideră fucţi coplexă w α ˆ Petru ve defiită o rură regultă fucţiei w e ecesră o tăietură î plul coplex ître ero şi ifiit Tăietur se fce pe x relă poitivă şi se cosideră rur α fucţiei defiită pri relţi α L e α ude L l i θ θ π
Cpitolul ME5 Se plică teore reiduurilor petru coturul Γ fig 63 lcătuit di cercul CD şi AB le xei rele şi cercul c ε α ˆ α d π i e{ ˆ } Γ α ' α ' [ e{ ˆ j } e{ ˆ j }] π i j C segetele fiid polii fucţiei $ situţi î fr xei rele poitive ir ' ' polii sipli de pe cestă seixă Fiecre ditre ceşti di ură este îtâlit de două ori l prcurgere curei Γ şi de ici u părut cele două sue de seireiduuri î erul l doile l relţiei α Petru fucţi pe x relă poitivă se oţie α e e α l x x α l x πi α πi α x α e petru petru x AB x CD C c ε c ε A B D C Fig 63 Î coseciţă itegrl pe coturul Γ se descopue după cu ureă: ˆ α ˆ ˆ Γ ε C α α 3 d x x dx ε α πi α α x e ˆ x dx ˆ cε d Petru c itegrl să fie covergetă este ecesr c li α ˆ li α ˆ Aceste relţii costituie codiţiile di ipoteele leelor şi 3 Cofor celor două lee itegrlele curiliii di relţi 3 clculte pe cercurile c ε şi C se uleă petru ε şi respectiv ir di relţiile şi 3 se oţie d
Cpitolul ME5 iπ α 4 I e ˆ e j πiα α - ' α - ' [ e ˆ e ˆ ˆ ] j j 54 Exeple Fie de clcult π dθ I cosθ Cu schire de vriilă e i θ reultă d id I i Ecuţi re rădăciile Dcă < reultă i I π i e π π li Petru > polul v fi situt î iteriorul cercului şi i I π ie li π π Să se clculee itegrl Fucţi ˆ d I x x 4 i 4 i 4 re î puctul i u pol de ordiul 4 situt î seiplul superior Mi ve 4
stfel că 5π I 6 Cpitolul ME5 4 i 5i 4 i i 3 3 d e i li 4 i 3 4 3! d 3 Fie de clcult cos λx I λ > dx x Cosideră şi itegrl si λx J dx Itegrl IiJ este de tipul III Î coseciţă x iλ e vo itegr fucţi w pe cur di fig 6 eluâd rţioetul vo oţie î coforitte cu relţi 9 iλx iλ λ e e e I ij dx πie i πi x i de ude deduce că λ cos λx πe I dx x 4 Petru clculul itegrlei si x I dx x i e vo itegr fucţi w cre re u pol siplu pe x relă î origie pe cur di e i fig 6 Deorece e procedâd c î cul itegrlelor de tipul III vo oţie dx πi x Seprâd prte relă şi ce igiră se găsesc si x cos dx π şi x x dx x 5 Să se clculee e ix α x I dx < α < x fiid rel Petru > > fucţi α w re u pol siplu î iteriorul doeiul ărgiit de cur Γ
Cpitolul ME5 α α α [ l iπ ] i α π α e e e Di relţi 4 se oţie iπ α α α πie π I > πiα e si απ ' Î cul < < fucti w re u pol siplu situt pe seix relă poitivă Ave α α α l α e [ ] e α α [ l πi] α π α i [ ] e e α e Aplicâd di ou relţi 4 se găseşte α [ ] πi α πi e α I π ctg πα < πiα e itegrl fiid cu clcultă î vlore priciplă î sesul lui Cuchy 55 Pricipiul vriţiei rguetului Presupue că f este o fucţie litică şi eidetic ulă îtr-u doeiu D Dcă f tuci există u îtreg stfel îcât f g ude g este litică î D şi g Itregul este uit ordiul de ultiplicitte l eroului Privid erourile uei fucţii litice pute euţ: Teore 54 Dcă o fucţie litică î doeiul D se uleă pe u şir distict de pucte di D şir cre coverge l u puct di D tuci f este idetic ulă î D { } De ici reultă că erourile uei fucţii litice ecostte î D sut iolte ître ele π Oservţie: Ipote c D este iporttă î cele de i sus Fie f si fucţie litică petru orice şi f Luă puct cre u prtie doeiului de liticitte lui f fucţie cre u e idetic ulă Să presupue că f este o fucţie eroorfă litică cu excepţi uui uăr fiit de poli î D doeiu siplu coex O plicţie teoreei reiduurilor se referă
Cpitolul ME5 l deterire uărului de erouri şi de poli i fucţiei f î doeiul D Acest se eă pe urătorele teoree: Teore 55 Fie w f o fucţie eroorfă î doeiul siplu coex D şi γ o cură siplă îchisă coţiută î D şi cre u trece pri ici uul di polii şi erourile fucţiei dte Atuci: ' f d N P πi f γ N şi P fiid uărul erourilor respectiv l polilor fucţiei f di iteriorul curei γ I relţi de i sus erourile şi polii sut cosiderţi de tâte ori cât este ordiul lor de ultiplicitte Avâd î vedere că πi γ ' f d f π γ rg f ude rg f repreită vriţi rguetului fucţiei f l prcurgere î ses direct γ curei γ se oţie: Teore 56 Pricipiul vriţiei rguetului I codiţiile teoreei 63 ve rg f π N P γ Petru deterire uărului de erouri l uei fucţii litice î doeiul liitt de cur îchisă γ este utilă Teore 57 Teore lui ouché Fie f şi g două fucţii îtr-u doeiu siplu coex ce coţie cur siplă îchisă γ şi stfel îcăt f ζ > g ζ oricre ζ γ Atuci fucţiile f şi F f g u celşi uăr de erouri î doeiul ărgiit de γ 56 Exeple Să se deterie uărul de erouri le ecuţiei 6 4 3 situte î < 9 4 9 Fie fucţiile f 6 g 3 Pe ve: 9 f 6 g 3 5
Cpitolul ME5 Di teore 633 v reult că uărul de erouri l ecuţiei dte î < este egl cu uărul soluţiilor ecuţiei f î cest doeiu deci egl cu ptru Gsiţi uărul de erouri l ecuţiei 3 4 flte î priul cdr 3 Vo exi fucţi f 4 pe coturul γ fig 64 fort de π segetele x y iy y şi rcul e θ ude este oricât de re i Fig 64 3 Pe segetul x y f x x x 4 este rel şi f x Pe rcul π e θ ve 3 3 4 3 3 f e e ζ θ 3 3 θ e i i e e 6 ude < θ ζ petru re Deci rg f e este proxitiv rg 3 i e 3θ petru re şi deci rg f e creşte de l l 3π/ câd θ creşte de l l π/ Pe segetul iy y ve 3 f iy iy y 4 puct ce se flă î cdrul 4 deorece e{ f iy } 4 y > I{ f iy } y 3 < Cu y descreşte de l l f iy se flă î cdrul 4 şi se işcă spre puctul w 4 I coseciţă câd prcurge coturul γ rg f creşte cu π şi deci f re exct o soluţie î priul cdr 3 Arătţi că tote erourile ecuţiei 3 f 3 i 8 se flă î coro circulră < < Pe cercul ve
Cpitolul ME5 f 8 7 < 8 ş îcât f şi 8 u celşi ur de erouri î < deci ici uul Pe de ltă prte petru ve 3 3 f 3 < 4 3 şi deci f şi 3 3 u celşi uăr de erouri î < dică trei V reult deci că f re tote rădăciile î < < 4 Arătţi că petru orice λ ecuţi re exct o rădăciă cu e > e λ Fie fucţiile f λ g e λ Atuci pe x igiră pute scrie g iy f iy e iy π π Pe seicercul e θ ve cosθ g e f e e < < λ y f iy petru > λ < λ λ cosθ f e i -i Fig 65 Deci f şi g u celşi uăr de erouri î iteriorul coturului di Fig 65 fort di seicercul de ră flt î seiplul e > şi cetrt î origie şi dietrul corespuãtor Deorece f re exct u erou ici dcă > λ reultă că g re exct u erou petru cul > λ 5 Găsiţi uărul de rădăcii di < le ecuţiei 4 4 6 Fie fucţiile 4 f 4 6 4 4 g 4 7 4
Petru ve f g 3 Deorece Cpitolul ME5 { f g } f f > g reultă că f şi f g u celşi uăr de erouri î < Dr cu f u re soluţii î < v reult că ecuţi propusă u re erouri î < 6 U polio de grdul cu coeficieţi coplexi re exct erouri î ulţie uerelor coplexe cosiderâd şi ordiele de ultiplicitte teore fudetlă lgerei Fie Petru vlori ri le lui petru Deorece f ve f v reult că f şi f u celşi uăr de erouri î < Cu exct erouri î < celşi lucru v fi vlil şi petru f re 57 Stilitte sisteelor diice Ave î vedere sistee diice liire ivrite î rport cu tipul cu o sigură itrre şi o sigură ieşire U siste diic se ueşte stil dcă l orice excitţie x t ărgiită corespude u răspus y t ărgiit Modelre tetică legăturii ditre excitţie şi răspus este relită pritr-o ecuţie difereţil liiră cu coeficieţi costţi de for d y d y dy y x t dt dt dt Fie A s s s s polioul crcteristic tşt ecuţiei difereţile Studiul stilităţii sisteului diic odelt pri ecuţi difereţilă de i sus se reduce l studiul locliării î plul coplex s σ iω rădăciilor ecuţiei crcteristice Dcă tote rădăciile sut situte î seiplul e { s } < sisteul este stil; î cul î cre există rădăcii le polioului A s cu prte relă poitivă sisteul este stil ir dcă A s re rădăcii cu prte relă ulă studiul stilităţii ecesită şi cosiderre excitţiei x t
Cpitolul ME5 Criterii de stilitte Teore 58 Criteriul lui Stodol O codiţie ecesră c tote rădăciile polioului A s să iă prte relă egtivă este c toţi coeficieţii ecuţiei să iă celşi se Teore 59 Criteriul lui outh-hurwit Petru c tote rădăciile polioului A s cu coeficieţii reli > să iă prte relă egtivă este ecesr şi suficiet să fie îdepliite ieglităţile D > D > D 3 3 > 3 3 D > ude petru > Criteriul lui outh-hurwit ecesită cuoştere exctă tuturor coeficieţilor polioului crcteristic A s lucru cre u este îtotdeu posiil Câd A s este deterit experietl tuci este utilă urătore teoreă: Teore 5 Criteriul lui Nyquist Petru c sisteul diic descris de fucţi eroorfă A s vâd P poli î seiplul e { s } > să fie stil este ecesr şi suficiet c tuci câd s prcurge coturul γ di fig 66 igie s w As să ocolescă de P ori origie î sesul celor de cesoric B 3 5 4 3 A B Fig 66 I cul sisteelor de reglre utotă fucţi de trsfer re for
Cpitolul ME5 G s H s G s G s fiid o fucţie rţiolă cu P erouri î e { s } > ir pretrul poitiv deseâd fctorul de plificre Studiul stilităţii coduce l codiţi c fucţi A s H s să u iă rădăcii î prte relă poitivă I cest c este utilă teore urătore: Teore 5 Criteriul lui Nyquist petru sistee cu recţie Petru c sisteul de reglre utotă vâd fucţi de trsfer H s să fie stil este ecesr şi suficiet c tuci câd puctul s prcurge coturul γ î ses direct vectorul W G s să ocolescă de P ori î ses ivers puctul W 58 Exerciţii reolvte Fie polioul crcteristic Aplicâd outh-hurwit găsi 4 3 A s s 4s s s 4 4 D 4 > D > 4 4 D 3 D 4 4 4 4 4 4 deci sisteul diic corespuător u este stil Fie G s ude costte poitive s s s I cest c P şi W s s s Să costrui igie coturului γ î plul W Pe rcul AB su W 3 3 e e e s e e rg W 3θ rg e π < θ < şi deci
de ude rgw 3θ ε cu li ε Cpitolul ME5 B' γ' A' B' Fig 67 Câd s prcurge rcul AB θ prcurge itervlul π şi deci puctul igie W prcurge rcul A'B' di fig 67 Petru igie segetului BO pue s iω de ude W iω iω iω su seprâd părţile relă şi igiră U ω ω V ω Vriţiile cestor fucţii pot fi urărite di telul urător ω B ' U - - - - - - - - - - - - - - V - - - - - - - - - - - - Ureă de ici că petru ω > puctul W se găseşte î cdrul trei ir petru < ω < î cdrul doi Ax relă o itersecteă î puctul U ir petru ω W Igie porţiuii AB O pote fi costruită pri sietrie V reult
Cpitolul ME5 γ ' rg{ W } 4π < < < De ici reultă că sisteul de reglre utotă studit v fi stil dcă fctorul de plificre este situt î itervlul