Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Transcript

1 .Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα. Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του ανθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύναμη αυτή δεν μπορείς πια να βρεις δικαιολογίες για τις ασήμαντες ή άναντρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμένη, ρίχνοντας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι ανθρώποι γύρα σου, εσύ μονάχα έχεις, ό,τι κι αν κάνεις, ότι κι αν γίνεις ακέραιη την ευθύνη. Και ντρέπεσαι τότε να γελάς, ντρέπεσαι να περγελάς αν μια φλεγόμενη ψυχή ζητάει το αδύνατο. Καλά πια καταλαβαίνεις πως αυτή είναι η αξία του ανθρώπου: να ζητάει και να ξέρεις πως ζητάει το αδύνατο και να ναι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως αν δεν λιποψυχήσει αν δεν ακούσει τι του κανοναρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δόντια την ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα να κυνηγάει το αδύνατο, τότε γίνεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοινός νους δε θα μπορούσε να το μαντέψει: το αδύνατο γίνεται δυνατό. Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη ) - 1 -

2 FATA MORGANA Θα μεταλάβω με νερό θαλασσινό στάλα τη στάλα συναγμένο απ το κορμί σου σε τάσι αρχαίο, μπακιρένιο αλγερινό, που κοινωνούσαν πειρατές πριν πολεμήσουν. Στρείδι ωκεάνιο αρραβωνιάζεται το φως. Γεύση από φλούδι του ροδιού, στυφό κυδώνι κι ο άρρητος τόνος, πιο πικρός και πιο στυφός, που εναποθέτανε στα βάζα οι Καρχηδόνιοι Πανί δερμάτινο, αλειμμένο με κερί, οσμή από κέδρο, από λιβάνι, από βερνίκι, όπως μυρίζει αμπάρι σε παλιό σκαρί χτισμένο τότε στον Ευφράτη στη Φoινίκη.. Rosso Romano, πορφυρό της Δαμασκός, δόξα του κρύσταλλου, κρασί απ τη Σαντορίνη. Ο ασκός να ρέει, κι ο Απόλλωνας βοσκός να κολυμπάει τα βέλη του με διοσκορίνη. Σκουριά πυρόχρωμη στις μίνες του Σινά Οι κάβες της Γερακινής και το Στρατόνι. Το επίχρισμα. Η άγια σκουριά που μας γεννά, μας τρέφει, τρέφεται από μας και μας σκοτώνει. Καντήλι, δισκοπότηρο χρυσό, αρτοφόρι. Άγια λαβίδα και ιερή από λαμινάρια. Μπροστά στην Πύλη δυο δαιμόνοι σπαθοφόροι και τρεις Αγγέλοι με σπασμένα τα κοντάρια Πουθ έρχεσαι ; Απ τη Βαβυλώνα. Που πας ; Στο μάτι του κυκλώνα. Ποιαν αγαπάς ; Κάποια τσιγγάνα. Πως τη λένε ; Φάτα Μοργκάνα. Νίκος Καββαδίας «Τραβέρσο» - -

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ MEΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Μορφές εξίσωσης ευθείας Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας: x y 0 με 0. Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ: ε: y x Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων : ε: y x. Εξίσωση ευθείας παράλληλης στον x ' x: ε: y y0 Εξίσωση ευθείας κάθετης στον x ' x: ε: x x0 Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ που διέρχεται από το γνωστό σημείο ( x0, y0) : ε: y y0 ( x x0). H : x y 0: Είναι ευθεία αν 0 ή 0. Είναι παράλληλη στον xx αν 0 (και 0). Είναι παράλληλη στον yy αν 0 (και 0). 0,0 αν 0. Διέρχεται από το Πώς βρίσκω το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε; Α) Αν σχηματίζει με τον x' x γωνία θ τότε y y1 Β) Αν ( x1, y1 ) και ( x, y) δύο σημεία της τότε. x x 1 Γ) Αν είναι παράλληλη σε γνωστή ευθεία δ ή διάνυσμα τότε. Δ) Αν είναι κάθετη σε γνωστή ευθεία δ ή διάνυσμα τότε 1. E) Aν : y x τότε:. ΣΤ) Αν : x y 0 τότε:. Πώς βρίσκω που μια ευθεία τέμνει τους άξονες; Για να βρω που μια ευθεία τέμνει τον yy ' λύνω το σύστημα που συγκροτούν η εξίσωση της και η x 0. Για να βρω που μια ευθεία τέμνει τον x ' x λύνω το σύστημα που συγκροτούν η εξίσωσή της και η y 0. Πώς βρίσκω αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία ε; Για να δω αν ένα σημείο ( x1, y1 ) ανήκει σε μια ευθεία ε, θέτω στην εξίσωσή της όπου x το x 1 και όπου y το y 1. Αν η σχέση που προκύπτει είναι αληθής, τότε το Α ανήκει στην ε, ενώ αν είναι ψευδής δεν ανήκει. Πώς βρίσκω πού τέμνονται δύο ευθείες; Για να βρώ που τέμνονται δύο ευθείες, λύνω το σύστημα που συγκροτούν οι εξισώσεις τους. - -

4 Αν το σύστημα έχει μία λύση, αυτή είναι το σημείο τομής τους. Αν δεν έχει λύση, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Αν έχει άπειρες λύσεις τότε ταυτίζονται. Πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες; Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή 1 // 1. Επίσης δύο ευθείες είναι παράλληλες αν δεν ορίζεται και για τις δύο ο συντελεστής διεύθυνσης (οπότε είναι κάθετες στον xx ') Πότε δύο ευθείες είναι κάθετες; Δύο ευθείες είναι κάθετες αν το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους ισούται με -1, δηλ Επίσης είναι κάθετες αν η μια τους έχει συντελ. διεύθυνσης μηδέν και της άλλης δεν ορίζεται. Σχέση ευθείας - διανύσματος Η ευθεία x y 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ) και κάθετη στο διάνυσμα ' (, ). Πώς βρίσκω τη γωνία δύο ευθειών; Για να βρώ τη γωνία των ευθειών : x y 0 και ' : ' x ' y ' 0 βρίσκω τη γωνία των παράλληλών τους διανυσμάτων (, ) και ' ( ', ') με τον τύπο:, ' ' ' Πώς βρίσκω την απόσταση σημείου από ευθεία; Η απόσταση του σημείου ( x1, y1) από την ευθεία : x y 0 x1 y1 δίνεται από τον τύπο d(, ) Πώς βρίσκω το εμβαδόν τριγώνου; Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με ( x1, y1 ), ( x, y), ( x, y) δίνεται 1 από τον τύπο det, όπου det, η ορίζουσα των συντεταγμένων των διανυσμάτων,. Πώς αποδεικνύω ότι η x y 0 είναι εξίσωση ευθείας; Αρκεί να δείξω ότι 0 ή 0, οπότε θεωρώ ότι 0 και καταλήγω σε άτοπο. Ποιες ευθείες περνούν από το σημείο ( x0, y0) ; Από το ( x0, y0) περνούν οι ευθείες : y y0 ( x x0 ), αλλά και η ευθεία : x x0 που δεν περιλαμβάνεται στις παραπάνω αφού δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσής της

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ TΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου: Κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ : x y Κέντρου ( x 0, y0) και ακτίνας ρ: ( x x0 ) ( y y0) Η εξίσωση x y x y 0 είναι εξίσωση κύκλου αν και μόνο αν 4 0. Το κέντρο του κύκλου είναι τότε, και η 1 ακτίνα 4 Εξίσωση εφαπτομένης Κύκλου εξίσωσης x y στο σημείο του ( x 1, y1) : xx1 yy1 Για να είναι η ευθεία εφαπτομένη του κύκλου (, ) πρέπει: d(, ) ή το σύστημα ευθεία-κύκλος να έχει διπλή λύση. Mε εστίες στον άξονα x'x ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Εξίσωση Εξίσωση Εξίσωση y px x y x y 1 1 με με Εστία p, 0 Διευθετούσα p x Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο ( x 1, y1) yy p( x ) 1 1 x Εστίες '(,0), (,0) Εκκεντρότητα ( 0 1) Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο ( x 1, y1) xx1 yy1 1 Εστίες '(,0), (,0) Εκκεντρότητα ( 1) Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο ( x 1, y1) xx1 yy1 1 Aσύμπτωτες y x - 5 -

6 Mε εστίες στον άξονα yy' ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Εξίσωση Εξίσωση Εξίσωση x py x y y x 1 1 με με Εστία Εστίες 0, p '(0, ), ( 0, ) Διευθετούσα Εκκεντρότητα p y ( 0 1) Εξίσωση Εξίσωση εφαπτομένης στο εφαπτομένης στο σημείο ( x 1, y1) σημείο ( x 1, y1) xx1 p( y y1) xx1 yy1 1 Εστίες '(0, ), ( 0,,) Εκκεντρότητα ( 1) Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο ( x 1, y1) yy1 xx1 1 Ασύμπτωτες y x Για να είναι μια ευθεία εφαπτομένη μιας κωνικής τομής πρέπει το σύστημα ευθεία-κωνική τομή να έχει μοναδική (διπλή) λύση. (Η λύση του συστήματος καταλήγει στη λύση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, οπότε απαιτώ: 0)

7 Bασικές εξισώσεις γραμμών x y 0 με 0 ή 0 Ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης:. y x Ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης:. x x0 Eυθεία κάθετη στον x x (δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσής της) y y0 Eυθεία παράλληλη στον xx με συντελεστή διεύθυνσης 0 x x 0 y y0 Κύκλος κέντρου: x, y και ακτίνας. 0 0 x y Κύκλος κέντρου: 0,0 και ακτίνας. x y x y 0 με 4 0 Κύκλος κέντρου:, και ακτίνας 1 4. x y 1 Έλλειψη. x y 1 Υπερβολή. ή y x 1 ή y x x y ή y x Ισοσκελής υπερβολή. y x ή Παραβολή y x x με 0-7 -

8 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα Διανύσματα "Αυτοί που θα δουν καθαρά την αλήθεια των μαθηματικών, θα μπορέσουν να θαυμάσουν το μεγαλείο και τη δύναμη της φύσης, σ' αυτή τη διπλή απειρία που μας περιτριγυρίζει από παντού και να μάθουν από αυτή τη θαυμαστή θεώρηση πώς να γνωρίσουν τον εαυτό τους, βλέποντάς τον τοποθετημένο ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα κίνησης, ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα χρόνου. Έτσι θα μπορέσουν να μάθουν να αξιολογούν δίκαια τον εαυτό τους και να σχηματίζουν συλλογισμούς που να αξίζουν εν τέλει περισσότερο από όλες τις μαθηματικές γνώσεις ". Blaise Pascal ΒΗ/01. Το σημείο Μ είναι μέσο του τμήματος ΑΒ αν και μόνο αν. ΒΗ/0. Αν ΑΔ, ΒΕ,ΓΖ διάμεσοι του τριγώνου ΑΒΓ δείξτε ότι 0. ΒΗ/0. Αν, τα μέσα των πλευρών και τριγώνου, 1 να αποδείξετε ότι. ΒΗ/04. Αν Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ τετραπλεύρου δείξτε ότι: A) B). ΒΗ/05. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι. ΒΗ/06. Αν και δύο παραλληλόγραμμα με κέντρα και αντίστοιχα, να δείξετε ότι: 4. ΒΗ/07. Δίνεται τρίγωνο και,, τα μέσα των, και αντίστοιχα.για κάθε σημείο Μ του επιπέδου να αποδείξετε ότι 4. ΒΗ/08. Αν Κ και Λ τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τότε ισχύει : 4. ΒΗ/09. Αν,,, σημεία του επιπέδου για τα οποία ισχύει να δείξετε ότι τα σημεία, συμπίπτουν. ΒΗ/10. Αν,,, σημεία του επιπέδου για τα οποία ισχύει να δείξετε ότι τα σημεία, συμπίπτουν

9 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/11. Αν,,, σημεία του επιπέδου, διαφορετικά μεταξύ τους, για τα οποία ισχύει, όπου τυχαίο σημείο, δείξτε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα,,, είναι παραλληλόγραμμο. ΒΗ/1. Δείξτε ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΒΗ/1. Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου διχοτομούνται να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ΒΗ/14. Αν το μέσο της διαγωνίου τετραπλεύρου αποδείξτε ότι. ΒΗ/15. Α) Αν τυχαίο σημείο του επιπέδου ενός τριγώνου, αποδείξτε ότι το διάνυσμα είναι σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης του Ρ). Β) Αν Α,Β,Γ τυχαία σταθερά σημεία, δείξτε ότι το διάνυσμα f ( ) είναι ανεξάρτητο από τη θέση του Μ. ΒΗ/16. Έστω τρίγωνο και τυχαίο σημείο του επιπέδου. Δείξτε ότι το διάνυσμα f ( ) 5 είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου, δηλαδή σταθερό. Αποδείξτε το ίδιο αν ισχύει f ( ). ΒΗ/17. Έστω τρίγωνο και τα σημεία,, που ορίζονται από τις σχέσεις:, και. Αποδείξτε ότι 0. ΒΗ/18. Δίνονται τα σημεία,, τέτοια που. Αν 1 τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδειχθεί ότι :. 4 4 ΒΗ/19. Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που τριχοτομείται από τα σημεία Γ και Δ και τυχαίο σημείο Ο εκτός του ΑΒ. Αν,, να εκφραστούν τα, συναρτήσει των και. ΒΗ/0. Δίνονται τα σημεία Ο,Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει: 4. Να δειχθεί ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ΒΗ/1. Αν για τα σημεία Α, Β, Γ είναι: 0 δειχθεί ότι είναι συνευθειακά. να ΒΗ/.Αν για τα σημεία Α, Β, Γ είναι: να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά.( όλα τα διανύσματα να έχουν αρχή το Α) - 9 -

10 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/. Δίνονται τα διανύσματα:, και 5. Να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ΒΗ/4. Δίνονται τα διανύσματα,. Αν, και 11 να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ΒΗ/5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ τέτοιο που να ισχύει x y με x y 1. Nα δειχθεί ότι το σημείο Δ ανήκει στην ευθεία ΒΓ. ΒΗ/6. Έστω τρίγωνο και, τα μέσα των,. Αν x y με x y να αποδειχθεί ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. ΒΗ/7.Α) Αν ισχύει: (1 ) με, να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, όπου Ο τυχαίο σημείο αναφοράς. Β) Αν ισχύει: 0 με 0, να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ΒΗ/8. Δίνονται τα διανύσματα,, xy, για τα οποία ισχύουν: x y 4 και 4x y. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα x και y είναι ομόρροπα. ΒΗ/9. (Άσκηση-μέθοδος) Αν, μη συγγραμμικά και ισχύει να δείξετε ότι 0. ΒΗ/0. Αν, μη συγγραμμικά διανύσματα και ισχύει η σχέση: x1 y1 x y δείξτε ότι x1 x και y1 y. Αποδείξτε επίσης ότι κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των και. ΒΗ/1. Αν τα, δεν είναι συγγραμμικά, να δειχθεί ότι: α) τα διανύσματα u και w δεν είναι συγγραμμικά. β) τα y 9 5 και ΒΗ/. Έστω ακόμα τα διανύσματα 5 x είναι συγγραμμικά., μη συγγραμμικά διανύσματα του επιπέδου. Έστω u και w και v. α) Να δειχθεί ότι τα διανύσματα u, w δεν είναι συγγραμμικά. β) Να γράψετε το v ως γραμμικό συνδυασμό των u και w

11 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/. Αν Ο Διανύσματα,, x με, μη συγγραμμικά, βρες το x ώστε τα,, να είναι συνευθειακά. ΒΗ/4. Αν, μη συγγραμμικά διανύσματα και 5, ( ) και 4, βρείτε το ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. ΒΗ/5. Δίνονται τα διανύσματα u v και xu v, όπου uv, μη συγγραμμικά διανύσματα. Να βρείτε τον x, ώστε τα διανύσματα, να είναι συγγραμμικά. ΒΗ/6. Δίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του. Αν ισχύει: x 1 y x x y, βρείτε τα xy,. ΒΗ/7. Αν διάμεσος του, 1 Ζ το μέσο της και να δείξετε E ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. Α Μ ΒΗ/8. Στο τρίγωνο το είναι A το μέσο της πλευράς και το μέσο της Ζ 1 1 πλευράς. Αν και Δ Ε 4 να δείξετε ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. B Μ ΒΗ/9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστε και. Στην πλευρά παίρνω το σημείο ώστε 5, στην πλευρά ΑΓ σημείο Ε ώστε και στην 6 5 προέκταση της πλευράς σημείο Ζ ώστε. Δείξτε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά. ΒΗ/40. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία : Δ,Ε και Ζ στις ΑΒ, ΒΓ 1 και ΑΓ αντίστοιχα ώστε, και. Να 5 δειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ζ και Ε είναι συνευθειακά. ΒΗ/41. Αν Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ τριγώνου ΑΒΓ και Ζ σημείο 1 της ΒΓ ώστε, να δείξετε ότι Β Γ

12 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/4. A) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Μ το μέσο της ΑΔ και Ν το σημείο τομής των ΑΓ και ΒΜ. Να δειχθεί ότι ΑΝ= 1 ΑΓ. B) Αν το μέσο της διαμέσου τριγώνου και η τέμνει την στο να δείξετε ότι:. ΒΗ/4. Αν 1, και να δειχθεί ότι. ΒΗ/44. Για τα διανύσματα,, γνωρίζουμε ότι 0 και ότι 1 1 1, να δειχθεί ότι και ΒΗ/45. Αν 0 και, να αποδειχθεί ότι τα 4 διανύσματα,, είναι συγγραμμικά. ΒΗ/46. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε το γ. τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία το διάνυσμα u είναι παράλληλο προς το. ΒΗ/47. Αν,,, σταθερά σημεία βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων αν ισχύει. ΒΗ/48. Έστω τρίγωνο. Α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει:. ΒΗ/49. Αν η διάμεσος του τριγώνου με, βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει:. ΒΗ/50. Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει:. ΒΗ/51. Α) Έστω τρίγωνο. Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει : (1 ) με A) B) 0, Γ) 0,1. ΒΗ/5. Έστω τρίγωνο. Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει : ( 1)

13 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/5. Έστω παραλληλόγραμμο. Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων για τα οποία ισχύει : 1,1. με Συντεταγμένες διανυσμάτων ΒΗ/54. Δίνονται τα διανύσματα u (1, ) και v (,1). Βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ( xy, ) στις παρακάτω περιπτώσεις: 1 Α) u v Β) u v Γ) u v u v Δ) u v Ε) u v 0 ΣΤ) ΒΗ/55. A)Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(6,8) και Δ(-,). Βρείτε το σημείο Γ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο. ΒΗ/56. Aν 1,,,, 5,0 και (, x) βρείτε το x ώστε το τετράπλευρο να είναι ισοσκελές τραπέζιο, //. ΒΗ/57. Α) Δίνονται τα σημεία (1,1) που τριχοτομούν το τμήμα. ΒΗ/58. Δίνονται τα σημεία (,4), (7,10). Bρείτε τα σημεία, (, ) και (,5). Βρείτε το μήκος της διαμέσου του τριγώνου. ΒΗ/59.A) Δίνονται τα σημεία Α(0,4), Β(5,-) και Γ(-1,-). Να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ, αν. ΒΗ/60. Αν (1,1) και (8,15) βρείτε σημείο ώστε: 5. ΒΗ/61. Δίνονται τα διανύσματα, 1 1, 1 και. Βρείτε τις τιμές του ώστε τα, να είναι ίσα. Υπάρχει τιμή του τέτοια που τα παραπάνω διανύσματα να είναι αντίθετα; ΒΗ/6. A) Βρείτε διάνυσμα u παράλληλο στο,1 με μέτρο

14 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/6. Δίνεται το διάνυσμα ( 6,8). Να βρεθεί το μέτρο του καθώς και ένα διάνυσμα αντίρροπο του με. ΒΗ/64. Δίνονται τα σημεία (1,) και (,1). Να βρείτε : Α) Το μέτρο του Β) Το μέσο του Γ) Το συμμετρικό του με κέντρο συμμετρίας το. Δ) Το σημείο αν ισχύει :. ΒΗ/65. Δίνονται τα διανύσματα ( x, ) και (1, x ). Να βρείτε τον x ώστε τα διανύσματα και να είναι συγγραμμικά. ΒΗ/66. Να βρεθούν οι τιμές του x ώστε τα διανύσματα ( x,1) και (9, x) να είναι αντίρροπα. ΒΗ/67. Βρείτε το ώστε τα διανύσματα (,1) και (, ) να είναι συγγραμμικά. ΒΗ/68. Αν (1,1) και ( 1,) βρείτε σημείο ( xy, ) ώστε το διάνυσμα να είναι συγγραμμικό με το (,1) και το συγγραμμικό με το (1, 1). ΒΗ/69. A) Αν 1,1,, και 5, x, να βρεθεί ο x ώστε τα σημεία αυτά να είναι συνευθειακά. ΒΗ/70. B) Αν 1,1,, x και x 1, ώστε τα σημεία αυτά να είναι συνευθειακά. ΒΗ/71. Δείξτε ότι τα σημεία (, ) συνευθειακά., να βρεθεί ο x, (, ), (, ) είναι ΒΗ/7. Δίνονται τα σημεία Β(1,) και Γ(-1,6). Να βρείτε σημείο Α του άξονα ' xx ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με (ΑΒ)=(ΑΓ). ΒΗ/7. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(,0), Β(-1,1), Γ(0,-1). Δείξτε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ και ισοσκελές. ΒΗ/74. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(4,5), Β(1,) και Γ(,κ) με. Βρείτε τον κ ώστε 90. ΒΗ/75. Το διάνυσμα έχει τη διεύθυνση του (1, ) και το ίδιο μέτρο με το (4, ). Βρείτε τις συντεταγμένες του

15 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/76. Δίνονται τα διανύσματα ( 1, 1), ( 1, 5) x (1,1), y (,1). Να βρείτε τους, και // y. ΒΗ/77. Αν xy, 1 και x y,y // και // xx. ΒΗ/78. Αν (1, ) ώστε να είναι: // x βρείτε τα xy, ώστε:, (,1 ) και ( x,) βρες το x ώστε τα,, να είναι συνευθειακά. ΒΗ/79. Αν (1,), ( x,) και ( x,1) βρες το x ώστε τα,, να είναι συνευθειακά. ΒΗ/80. Δίνονται τα σημεία Α(,-4) και Β(-6,8). Να βρεθούν το μέτρο του, το μέσο Μ του ΑΒ και το σημείο Ρ που χωρίζει το ΑΒ σε λόγο :. ΒΗ/81. Δίνονται τα διανύσματα ( 4, ) v, ( 1, ) και (,5). Εκφράστε το v ως γραμμικό συνδυασμό των και. ΒΗ/8. Γράψτε το v (4,1) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων (,) και (1,). ΒΗ/8. Δίνονται τα διανύσματα,, (,1) και (1, 4). Αναλύστε το σε δύο συνιστώσες κατά τη διεύθυνση των και. ΒΗ/84. Να αναλύσετε το διάνυσμα u (,4) σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα διανύσματα (1,1) και ( 1,). ΒΗ/85. Να αναλύσετε το διάνυσμα (,6) σε δύο συνιστώσες κατά τη διεύθυνση των διανυσμάτων (, 1) και (,1). ΒΗ/86. Να αναλύσετε το διάνυσμα (,) σε δύο διανύσματα από τα οποία το ένα είναι παράλληλο με τον άξονα xx και το άλλο με το διάνυσμα v (1,). ΒΗ/87. Δίνονται τα σημεία (,) και (,0). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ για το οποίο ισχύει και τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Μ ως προς το Α. ΒΗ/88. Αν το διάνυσμα (, ) u είναι παράλληλο στη διχοτόμο της ης και 4 ης γωνίας των αξόνων να προσδιορίσετε το

16 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/89. Aν 1, βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον xx. ' ΒΗ/90. Βρείτε διάνυσμα που σχηματίζει με τον xx ' γωνία και έχει 4 μέτρο. ΒΗ/91. Αν το διάνυσμα σχηματίζει με τον x 1 ώστε το ΒΗ/9. A) Αν (,) xx ' γωνία 5 βρείτε το 4 u x 1, x 1 να είναι συγγραμμικό με το. και (, ). Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος v καθώς και η γωνία που σχηματίζει το v με τον άξονα xx. ΒΗ/9. Αν, και, βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος καθώς και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα xx. ΒΗ/94. Bρείτε διάνυσμα που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 4 και έχει μέτρο 18. ΒΗ/95. Αν (1,1) βρείτε το σημείο ώστε το διάνυσμα να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία / 4 και να έχει μέτρο. ΒΗ/96. Αν ( xy, ) // και 5. και ( x, y) βρείτε τα xy, ΒΗ/97. Βρείτε το x ώστε τα σημεία x,1 (7, x) να είναι συνευθειακά. ώστε, 4, x 1 και ΒΗ/98. Να βρεθεί η γωνία φ την οπoία σχηματίζει το διάνυσμα όπου Α(,4) και Β(4,), με τον άξονα Όμοια αν (,0) και 0,. xx. ' ΒΗ/99. Αν x 1, και x, x 1, τότε: Α) Δείξτε ότι τα και δεν είναι συγγραμμικά. Β) Αν x βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα xx. Γ) Αν x 1 γράψτε το διάνυσμα i ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων και. Δ) Αν x βρείτε ένα διάνυσμα αντίρροπο του με μέτρο

17 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/100. Αν, και, A(6,6) Κ Διανύσματα βρείτε το ώστε το διάνυσμα να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 7. 4 ΒΗ/101. Αν 1,1 και (5,1) βρείτε σημείο ώστε και το διάνυσμα να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία. 4 ΒΗ/10. Να βρεθεί το σημείο Κ που να ισαπέχει από τα σημεία: Α(,), Β(0,4) και από τα Γ(1,-4), Δ(-,). ΒΗ/10. Δίνονται τα σημεία Α(1,0), Β(,), Γ(-,-1) και Μ τέτοιο 1 ώστε με (0,0). 4 α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ. β) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παρ/μο. ΒΗ/104. Αν στο διπλανό σχήμα το είναι το μέσο της πλευράς και το μέσο της διαμέσου, βρείτε τις συντεταγμένες του και του. ΒΗ/105. Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με 11, 6, 10 6, 5 1,7 B(-,-4),, και είναι τετράγωνο. ΒΗ/106. Βρείτε το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ με Α(6,4), Β(0,) και Γ(7,1). ΒΗ/107. Αν τα σημεία Κ(4,5), Λ(,8) και Μ(,6) είναι τα μέσα των πλευρών ΑB, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, τριγώνου ΑΒΓ να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του. ΒΗ/108. Αν τα διανύσματα ( x,1), ( y 4y 5, x ) είναι συγγραμμικά, να βρείτε τους xy,. ΒΗ/109. Α) Αν,, 4, 1 βρείτε σημείο του άξονα xx ώστε τα,, να είναι συνευθειακά. Β)Δίνονται τα διανύσματα ( x 1, x), (x1, x 1) και Μ Γ(4,) (1,). Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε x

18 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/110. Αν 1,, 1,6, 7,, η διάμεσος του τριγώνου, το μέσο της και ισχύει τότε: Α) βρείτε τα,. Β) Δείξτε ότι τα,, είναι συνευθειακά. ΒΗ/111. Αν παραλληλόγραμμο, 1,,, Διανύσματα, το ανήκει στον xx και το το κέντρο του παραλληλογράμμου ανήκει στον yy, βρείτε τα,,. ΒΗ/11. Αν x, y 4x y, y βρείτε τα xy, ώστε το διάνυσμα να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 15 και να έχει μέτρο. ΒΗ/11. Αν 1,0 και, βρείτε το διάνυσμα, που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία και είναι παράλληλο στο. 4 ΒΗ/114. Έστω (1, ) σχηματίζει με τον άξονα και (, 1) και u. Αν το u x' x γωνία και έχει μέτρο 10,να βρείτε τις 4 συντεταγμένες του διανύσματος. ΒΗ/115. Bρείτε διάνυσμα u που έχει μέτρο και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία. 4 ΒΗ/116. Αν,1 βρείτε σημείο τέτοιο που το διάνυσμα να έχει μέτρο 4 και να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία. 4 ΒΗ/117. Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(-1,0), Γ(4,-5) και Δ(6,). Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων και. ΒΗ/118. Αν (1, ), (,1) και,, x, υπολογίστε το x ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. ΒΗ/119. Aν Α(1,1), Β(,), Γ(1,), Δ(,) βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ

19 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/10. Αν Α(-,-1), Β(-5,-), Γ(-4,7) και Δ(-,) να αποδειχθεί ότι οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ τέμνονται και να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής τους. ΒΗ/11. Βρείτε το διάνυσμα 4,. ΒΗ/1.Αν 1,0,,, 0,1 ισχύει: v v. βρείτε το διάνυσμα v ώστε να ΒΗ/1. Aποδείξτε ότι οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. ΒΗ/14. Θεωρώ τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Στην πλευρά ΔΓ α θεωρώ σημείο Ε και στην πλευρά ΔΑ σημείο Ζ ώστε ΔΕ ΔΖ. Να αποδείξετε ότι ΑΕ ΓΖ. ΒΗ/15. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ε,Ζ,Η τα μέσα των πλευρών ΒΓ,ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, αποδείξτε ότι το ΗΖΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΒH/16.Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι ίσο και παράλληλο με το μισό της τρίτης πλευράς. ΒH/17.Δείξτε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με τo μισό της υποτείνουσας

20 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο Μαζεύω τα σύνεργά μου: όραση, ακοή, γέψη, όσφρηση, αφή, μυαλό, βράδιασε πια, τελεύει το μεροκάματο, γυρίζω σαν τον τυφλοπόντικα σπίτι μου, στο χώμα. Όχι γιατί κουράστηκα να δουλεύω, δεν κουράστηκα, μα ο ήλιος βασίλεψε. N. Kαζαντζάκης ΒΘ/01.Έστω, 60, δύο διανύσματα του επιπέδου με, και. Να βρείτε τα, και. ΒΘ/0.Δίνονται τα διανύσματα, του επιπέδου τέτοια που 5 και,. Να βρείτε το 5 4. ΒΘ/0.Αν, είναι μοναδιαία διανύσματα και τα διανύσματα και 5 4 είναι κάθετα μεταξύ τους, να βρεθεί η γεωμ. γωνία των., ΒΘ/04.Αν και και,,, βρείτε το. ΒΘ/05.Αν 4 και και,, βρείτε το,. ΒΘ/06.Αν, και 5, 5, να δειχθεί ότι τα διανύσματα και έχουν τα ίδια μέτρα και είναι μεταξύ τους κάθετα. ΒΘ/07.Α) Αν 1 και δείξτε ότι. Β) Αν,, μη μηδενικά διανύσματα, να δείξετε ότι: και. και 0 ΒΘ/08.Για τα μοναδιαία διανύσματα,, ισχύει : 0. Να βρεθούν οι γωνίες, και,

21 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/09.Δίνονται τα διανύσματα, με 1 που σχηματίζουν γωνία. Βρείτε τη γωνία φ των διανυσμάτων x και y. ΒΘ/10.Έστω, διανύσματα ώστε:, 1 και,. Βρείτε τη γωνία,. ΒΘ/11. A) Αν 1,, και βρείτε το. B) Αν,, και 7 υπολογίστε τα,. ΒΘ/1.A) Aν, 1 και βρείτε το. B) Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου τέτοια που, και 4. Βρείτε τα και. ΒΘ/1.Έστω, δύο διανύσματα με και. Αποδείξτε ότι και. ΒΘ/14.Αν Α), δυο μη μηδενικά διανύσματα, να αποδείξετε ότι : Β) ΒΘ/15. Αν και δείξτε ότι. ΒΘ/16. Α) Αν, και βρείτε τα και. Β) Αν, τα και., και υπολογίστε ΒΘ/17.Αν και 6, να βρείτε το ώστε τα διανύσματα v και u να είναι κάθετα

22 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/18.Αν 1 και, βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων u 4 και v. ΒΘ/19.Δίνονται τα διανύσματα και για τα οποία ισχύουν: 1 και ΒΘ/0.Αν,,. Βρείτε τη γωνία,. και, 45, βρείτε την,. ΒΘ/1.Αν 1, και και 0 να δείξετε ότι : α) 1 και β) και. ΒΘ/.Για τα μοναδιαία διανύσματα,, αποδείξτε ότι : 1. ΒΘ/.Αν τα διανύσματα,, είναι μοναδιαία και μη συγγραμμικά, να δείξετε ότι,, και. ΒΘ/4.Αν και δείξτε ότι. ΒΘ/5.Δίνονται τα διανύσματα, με, Να βρείτε το διάνυσμα x ώστε να ισχύουν: // και,. x. x και ΒΘ/6.Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα, ισχύει, να αποδειχθεί ότι και αντίστροφα. ΒΘ/7.Έστω,, μη μηδενικά συγγραμμικά διανύσματα. Αν ισχύει: να αποδειχθεί ότι. BΘ/8. Α) Αν (1,1) και (,1). να βρείτε τα:, και Β) Αν,, (,8) και (,) υπολογίστε τα, και τα,. Τι παρατηρείτε; ΒΘ/9.Αν τα διανύσματα 4,1,, κάθετα, να προσδιορίσετε τον. είναι - -

23 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/0.Έστω τα διανύσματα ( 1,) και (4,). Να βρείτε το ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. ΒΘ/1.Α) Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο (1,) και έχουν μέτρο 40. Β) Να βρείτε τα διανύσματα v που είναι κάθετα στο (4,) και έχουν μέτρο 10. ΒΘ/. Αν (,1) βρες διάνυσμα u ώστε u και u 0. ΒΘ/. Α) Αν,7 και,5 Β) Αν 1, και 1, 8 Γ) Αν, και, 1 ΒΘ/4.Έστω,1 και 1,,. ΒΘ/5. Αν, βρείτε τη γωνία,. βρείτε τη γωνία,. βρείτε τη γωνία,. βρείτε τη γωνία, και το και v, να βρείτε το,, και, v καθώς και τις γωνίες,v v. ΒΘ/6. Α) Αν (1,), (, 1), (,1) βρείτε τη γωνία του τριγώνου. Β) Όμοια αν (4,), (1,), (6,7) βρείτε τη γωνία του τριγώνου. ΒΘ/7.Δίνονται τα διανύσματα 1,1,,1 και με,. Αν και 6 βρείτε τα και. ΒΘ/8. A) Αποδείξτε με τη βοήθεια του εσωτερικού γινομένου το Πυθαγόρειο Θεώρημα. 1,1,,,, βρείτε το ώστε το τρίγωνο B)Αν να είναι ορθογώνιο στο. Για τις παραπάνω τιμές του δείξτε ότι το τρίγωνο είναι και ισοσκελές. ΒΘ/9.Δίνονται τα διανύσματα 1, 7 και,. - -

24 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) A) Βρείτε τις συντεταγμένες του. Α) Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Β) Υπολογίστε το μήκος της διαμέσου ΑΔ. ΒΘ/40.Αν (1,) και (5, 1) οι διαγώνιες ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να υπολογίσετε το. Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/41.Σε τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσους ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ δείξτε ότι ισχύει: 0. ΒΘ/4.Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνονται τα σημεία Α(1,1) και Β(4,). Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα x'x τέτοιο που το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ. BΘ/4.Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, του οποίου οι διάμεσοι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται κάθετα. Bρείτε το συνa. BΘ/44.Σ ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι, 1 και. Αν η γωνία των διαγωνίων του, ΑΓ και ΒΔ είναι θ να δειχθεί ότι: BΘ/45. Aν,, μη μηδενικά διανύσματα, και 0 να αποδείξετε ότι:. BΘ/46. Αν ισοσκελές τρίγωνο ( ) και στις πλευρές του 1, πάρω αντίστοιχα τα σημεία, ώστε και 1, να δείξετε ότι:. ΒΘ/47.Αποδείξτε ότι αν δύο διάμεσοι ενός τριγώνου είναι ίσες τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. BΘ/48. Έστω τρίγωνο και σημείο του επιπέδου του. Αν ισχύει να αποδείξετε ότι. ΒΘ/49. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με. Αν το ύψος του υπολογίστε τα: Α) Β) Α Β Δ Γ

25 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ) Δ) Ε) ΣΤ). ΒΘ/50. Δίνεται τετράγωνο πλευράς 1 και το σημείο τομής των διαγωνίων του. Υπολογίστε τα: Α) Β) Γ) Δ) Ε) ΣΤ) Ζ) Η) Α Δ Εσωτερικό γινόμενο Β Ο Γ Ανάλυση σε συνιστώσες ΒΘ/51.Αναλύστε το διάνυσμα (,) σε δύο συνιστώσες κάθετες μεταξύ τους και έτσι που η μία να έχει τη διεύθυνση του (1, ). ΒΘ/5.Αναλύστε το διάνυσμα (5,10) σε δυο συνιστώσες, μιας παράλληλης στο (1, ) και μιας κάθετης προς αυτό. ΒΘ/5.Δίνονται τα διανύσματα (1, ), ( 4, 1) και,6 Αναλύσετε το u σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο και η άλλη κάθετη στο. ΒΘ/54. Δίνονται τα διανύσματα (,) u., (,1). Aναλύστε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο. ΒΘ/55. Δίνονται τα διανύσματα (,) αναλυθεί το σε δύο συνιστώσες 1, και ( 1,4). Να ώστε // 1 και. ΒΘ/56. Aν (, 1) και (1,), να βρεθούν δύο διανύσματα και τέτοια που, // και. ΒΘ/57. Aν (,5), ( 1,) και (1, 5) να αναλύσετε το σε δύο συνιστώσες έτσι που η μια να είναι κάθετη στο και η άλλη κάθετη στο

26 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο 1 ΒΘ/58. Δίνονται τα διανύσματα,, ώστε,, 5 10,, και,. Αναλύστε το σε δύο συνιστώσες κατά 6 τις διευθύνσεις των και. ΒΘ/59.Δίνονται τα διανύσματα,, με, και,. Αν, 5 και 8, να εκφράσετε το ως γραμμικό συνδυασμό των και. ΒΘ/60.Δίνονται τα διανύσματα,, με:, 4, 5,, και,. Να αναλύσετε το σε δύο συνιστώσες 6 παράλληλες προς τα και. Προβολές ΒΘ/61. Δίνονται τα διανύσματα (,4) συντεταγμένες του διανύσματος. και (1, ). Να βρείτε τις ΒΘ/6.Δίνονται τα διανύσματα (,1 ) και (,4). Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής του πάνω στο. ΒΘ/6. Δίνονται τα διανύσματα (,4) και (1,1). Να βρείτε τα διανύσματα και. ΒΘ/64. Bρείτε την προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα, αν, και,. 4 ΒΘ/65.Βρείτε την προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα, αν 4, και, 10 ΒΘ/66.Αν, και,,,.. βρείτε τα: - 6 -

27 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΘ/67.Αν (, 4) και (,1) βρείτε τα :,,. ΒΘ/68.Α)Αν (1,). Β) Αν 1,, (4, ) και,. και Εσωτερικό γινόμενο 4 βρείτε το 5 βρείτε το ώστε ΒΘ/69.Δίνονται τα διανύσματα i j, i j και u i j όπου i, j τα μοναδιαία των αξόνων. Α) Να βρείτε την προβολή του πάνω στο. Β) Να αναλυθεί το u σε δυο μη μηδενικές κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο. ΒΘ/70.Δίνεται τρίγωνο με 5,1, 1, 4,, και η διάμεσός του. Να βρείτε την προβολή του πάνω στο. ΒΘ/71.Δίνεται τρίγωνο με, 4, 10 και η διάμεσός του. Να υπολογίσετε την. ΒΘ/7.Δίνεται τρίγωνο με 1,0,,1 ύψος του. Βρείτε τα διανύσματα και. ΒΘ/7. Aν (,) ΒΘ/74. Σε τρίγωνο είναι και το και (, ) δείξτε ότι. και. Αν 4, και, υπολογίστε το μήκος της διαμέσου και της πλευράς καθώς και την προβολή του πάνω στο. ΒΘ/75. Αν,, και 7 να βρείτε τα μέτρα των., ΒΘ/76. Α) Αν σε τρίγωνο είναι (1,), ( 1, ), (,4) και η διάμεσός του υπολογίστε τη γωνία. Β)Σε τρίγωνο είναι, 4 και ˆ 60 και η διάμεσός του να βρείτε το όπου ˆ

28 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΘ/77.Αν, 1 Α) Δείξτε ότι 0. και, : Β) Βρείτε το διάνυσμα x αν: // Γ) Βρείτε την x. x και x. Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/78.Δίνονται τα διανύσματα (,1) και (1,). Να βρείτε το διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση:. ΒΘ/79.Αν για τα διανύσματα, είναι 1, 4 και βρείτε διάνυσμα ώστε // και. ΒΘ/80. Αν δείξτε ότι. ΒΘ/81.Να δειχθεί ότι το διάνυσμα διχοτόμο της γωνίας των διανυσμάτων και. ΒΘ/8.A)Δίνονται τα διανύσματα 0 Να αποδειχθεί ότι.,, είναι συγγραμμικό με τη, και. B) Δείξτε ότι το διάνυσμα u είναι κάθετο στο. ΒΘ/8.Aν για τα διανύσματα, ισχύουν 1, και 1, τότε: Α) Να αποδείξετε ότι 1 Β) Βρείτε τη γωνία, Γ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και 5 είναι κάθετα. Δ) Βρείτε την προβολή του πάνω στο. ΒΘ/84. Α) Aν,1 v. Β) Aν 1,1 και, 1 u 1. u βρείτε τα διανύσματα v ώστε uv και βρείτε το διάνυσμα u ώστε u 5 και - 8 -

29 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/85. Αν, κάθετα μη μηδενικά διανύσματα και βρείτε τα xy, ώστε: / / y και x y. x, ΒΘ/86. Α) Αν 1, και ώστε v και v 4. (Θέστε v ) Β) Αν, v 4 και v 5. Γ) Αν,1 και, και 1,, 60 βρείτε το διάνυσμα v βρείτε το διάνυσμα v ώστε 4 βρες το v ώστε v και v 1. ΒΘ/87.Αν ισχύει η σχέση: x αποδειχθεί ότι x και 1 0 να x και να βρεθεί το διάνυσμα x. 1 ΒΘ/88. Aν 0 και 0 και υπάρχουν, ώστε και, δείξτε ότι. ΒΘ/89. Αν, 1 και // xx : (Πολλαπλασιάζω την 1 η με και τη η με ) Α) Βρείτε τις συντεταγμένες του.,4 να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις Β) Αν οποίες η μία να είναι παράλληλη στο 1,. Γ) Βρείτε τα v ώστε v και v 5. ΒΘ/90. Αν 1 και 1 δείξτε ότι. ΒΘ/91.Aν, 1 και, : 4 Α) Βρείτε το μέτρο του διανύσματος v. Β) Βρείτε το διάνυσμα x αν Γ) Δείξτε ότι x v. ΒΘ/9. Αν. ΒΘ/9. Aν, x και και, x. δείξτε ότι και 4 και 7 6 : - 9 -

30 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Α) Βρείτε τη γωνία,. Β) Αν και : α) βρείτε το β) βρείτε το και γ) βρείτε τη γωνία,. Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/94.Αν το διάνυσμα ( x, y 1) σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία και είναι κάθετο στο διάνυσμα ( x, 4) : 4 Α) Δείξτε ότι x και y. Β) Αναλύστε το (,4) σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα., Γ) Βρείτε την προβολή του πάνω στο, ΒΘ/95.Για τα διανύσματα, ισχύουν: (4, ) και ( 7,8). Α) Δείξτε ότι (1,) και (, ). Β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. Γ) Αναλύστε το διάνυσμα (, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. ( ο θ. Πανελληνίων 000) ΒΘ/96.Για τα διανύσματα, δίνεται ότι 1, και,. Αν u, v. Να υπολογίσετε: Α. το εσωτερικό γινόμενο Β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v. Γ. το εσωτερικό γινόμενο u v. Δ. το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v. ( ο θέμα Πανελληνίων 001) ΒΘ/97.Δίνονται τα διανύσματα (1,) και (,). Α. Βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5. Β. Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το με τον άξονα xx. ' Γ. Βρείτε τον αριθμό k, ώστε το διάνυσμα, να είναι κάθετο στο. ( ο θέμα Πανελληνίων 004) - 0 -

31 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/98.Σε επίπεδο δίνονται τα σταθερά σημεία Ο,Α έτσι που. Να βρεθεί ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία είναι 7. ΒΘ/99.Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: 0. ΒΘ/100.Δίνονται τα σταθερά σημεία, με 4. Βρείτε το γεωμ. τόπο των σημείων για τα οποία ισχύει: 5. ΒΘ/101.Δίνονται τα σταθερά σημεία, με. Βρείτε το γεωμ. τόπο των σημείων για τα οποία ισχύει: 9. ΒΘ/10. Αν διάμεσος του τριγώνου βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου αν ισχύει:. ΒΘ/10. Έστω τρίγωνο με 6. Βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου αν

32 Eρωτήσεις Σ-Λ στα διανύσματα Xαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ, τότε τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.. Αν α β, τότε α β.. Αν ΑΒ ΒΓ ΓΔ 0, τότε ΑΔ Αν α λ β, τότε α / /β. 5. Αν ΑΒ ΒΑ, τότε ΑΒ Τα διανύσματα ΑΒ και ΟΑ ΟΒ είναι ίσα. u x, y v x 1, y 1, τότε u v. 7. Αν 1 1 και 8. Το διάνυσμα α (, ) είναι παράλληλο με το β (, ). 9. Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα. 10. Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετους συντελεστές διευθύνσεως. 11. Αν α β α,β β,α π., τότε 1. Αν το α β είναι συγγραμμικό του α, τότε το α β είναι συγγραμ- μικό του β. 1. Αν α β α β, τότε τα α και β είναι πάντα συγγραμμικά. 14. Αν γ κα λβ και κ,λ, τότε τα α,β,γ είναι συγγραμμικά. 15. Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy το διάνυσμα ΟΑ λi λ j, λ βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας xοy. 16. Αν αβ0, τότε 17. Το α β γ 18. Το λ α β 19. Το α β λ γ α,β είναι οξεία. παριστάνει διάνυσμα., λ παριστάνει διάνυσμα. λ παριστάνει διάνυσμα. 0. To είναι διάνυσμα. 1. Για οποιαδήποτε διανύσματα α,β ισχύει: α β α β.. Για τα ομόρροπα διανύσματα α,β ισχύει: α β α β.. Το διάνυσμα λ α, λ και λ 0 είναι συγγραμμικό του α. 4. Αν λα 0, λ τότε οπωσδήποτε α Η ισότητα λ α λ α ισχύει για κάθε λ. - -

33 6. Αν κ α λ α, τότε κ λ για κάθε διάνυσμα α. 7. Ισχύει η ισοδυναμία: ΑΜ ΜΒ Μ μέσο του ΑΒ. 8. Αν κ α λ β, κ,λ και α,β μη συγγραμμικά, τότε: κλ0. 9. Αν κ α λ β 0 και α,β μη συγγραμμικά, τότε κλ0. 0. Με πλευρές οποιαδήποτε διανύσματα α,β, γ τέτοια ώστε α β γ 0 ορίζεται τρίγωνο. ΑΒ ΑΓ 1. Αν ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε ΑΜ.. Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του.. Αν ΜΑ ΜΒ όπου Α,Β σταθερά σημεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθετη ευθεία του ΑΒ. 4. Ισχύει: 5. Ισχύει: Μπορούμε να γράφουμε: α β γ α β γ Ισχύει: 40. Αν α,5 και 41. Αν α β β, 5 τότε α β. π α,β. τότε είναι πάντα 4. Τα διανύσματα α i j και β i j είναι κάθετα. 4. Δυο διανύσματα με ίσους συντελεστές διευθύνσεως είναι ομόρροπα. α 1, β 1, γ, 6 είναι α β γ. 44. Αν, και 45. Τα ζεύγη α,β και α, β των διανυσμάτων έχουν ίσα εσωτερικά γινόμενα. π α,β, τότε α β Αν είναι 47. Όταν οι συντελεστές δυο διανυσμάτων είναι αντίστροφοι αριθμοί τότε τα διανύσματα είναι κάθετα. 48. Αν α β α γ τότε είναι β γ. - -

34 49.Αν τότε αν και μόνο αν με αν και μόνο αν 5. Αν, με τότε τα,, είναι συνευθειακά. 5. Ισχύει:. 54. Ισχύει: για κάθε. 55. Ισχύει: Αν τότε // 56. Τα διανύσματα u ( x, y) και v ( x, y) είναι παράλληλα. 57. Αν v ( x,0), τότε v // x x. 58. Aν τότε. 59. Αν το είναι πάντα το μέσο του. 60. Το είναι αριθμός. Alfons Mucha - 4 -

35 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ευθεία Eυθεία " Όσοι δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν την ουσία και την ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman ΒΙ/01. Α) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(1,) και έχει συντελεστή διεύθυνσης. Β) Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο (1,1) και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία. 4 Γ) Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο (,1) και είναι παράλληλη στην ευθεία : y x 1. Δ) Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο (1, 1) και είναι κάθετη στο διάνυσμα (1, ). Ε) Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (1,) και (4, ). ΣΤ) Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (1,5) και (4,5). Ζ) Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (,) και (,5). ΒΙ/0.Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και η γωνία φ που σχηματίζει με τον άξονα x' x όταν : α) Διέρχεται από τα σημεία Α(,-1) και Β(,5). β) Διέρχεται από τα σημεία Δ(-,7) και Ε(,) γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα (1, ) ΒΙ/0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,1) και έχει συντελεστή διεύθυνσης. ΒΙ/04.Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο, και είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 1,) ΒΙ/05.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο, 1 και είναι παράλληλη στην ευθεία : yx 1. ΒΙ/06.Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(5,) και σχηματίζει με τον άξονα xx ' γωνία /. ΒΙ/07.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (1,1) και (4,)

36 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/08. A) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το (1,) και είναι παράλληλη στον άξονα x' x. B) Bρείτε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία: : x y 4 0 με τον άξονα xx. 4, Ευθεία Γ) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία. 4 ΒΙ/09.Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(,-) και είναι παράλληλη στον άξονα yy '. ΒΙ/10.Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το, και είναι κάθετη στο τμήμα ΑΒ με Β(-1,). 1 ΒΙ/11.Βρείτε το ώστε οι : y x 1 και : y x 4 να είναι παράλληλες. 1 ΒΙ/1.Α) Βρείτε το ώστε οι ευθείες : y x 5 και : y x 1να είναι κάθετες. Β) Να βρεθούν οι τιμές του ώστε οι ευθείες : y ( ) x 1 και 1 : y x, να είναι κάθετες. ΒΙ/1.Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(-,), Β(1,5) και Γ(,). Βρείτε τις εξισώσεις των υψών του. ΒΙ/14.Αν Α(,-), Β(4,) και,5 βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ καθώς και της διαμέσου ΑΜ. 1 ΒΙ/15.Αν : y x βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,) και είναι κάθετη στην. Στην συνέχεια προσδιορίστε το σημείο τομής τους. ΒΙ/16.Δίνεται η ευθεία : x y 1 0,. Βρείτε το συμμετρικό του Α με άξονα συμμετρίας την. και το σημείο ΒΙ/17.Να βρεθεί η προβολή του σημείου 4,4 πάνω στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία 1,1 και,. Βρείτε επίσης το συμμετρικό του Ρ ως προς την ευθεία ΑΒ

37 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/18.Βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με ( 1,) και (, ). Ευθεία ΒΙ/19.Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ τα οποία ισαπέχουν από τα σημεία : Α(0,) και Β(,-1). ΒΙ/0.Σε τρίγωνο δίνονται οι κορυφές του Α(,1) και Β(4,-1). Αν το ορθόκεντρό του είναι το Η(,5), να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. ΒΙ/1.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,1), Β(-1,-1) και Γ(-,). Να βρεθούν οι εξισώσεις του ύψους ΒΔ, της διαμέσου ΑΜ και της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ. ΒΙ/.Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,5), Β(5,) και Γ(,-1). Βρείτε τα μέσα των πλευρών του και τις εξισώσεις των διαμέσων του. ΒΙ/.Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το Α(,1) και είναι κάθετη στο διάνυσμα (, 1). Ποιο σημείο αυτής της ευθείας είναι πλησιέστερο στο (0,0) ; ΒΙ/4.Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα u (1, 4). Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε. 0,0. Βρείτε το σημείο της ευθείας ε που είναι πλησιέστερο στο σημείο ΒΙ/5.Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το Α(-1,-) και είναι κάθετη στην ευθεία : y x 1. Στη συνέχεια βρείτε το σημείο της ευθείας που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το (0,0) ΒΙ/6.Αν (1,1) και (,) βρείτε την εξίσωση της ευθείας καθώς και το σημείο της που είναι πλησιέστερο στο (,6). ΒΙ/7.Έστω Α(-,-1) και Β(,) κορυφές παραλ/μου ΑΒΓΔ και Μ(,0) το σημείο τομής των διαγωνίων του. Βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του παραλληλογράμμου. ΒΙ/8.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,). Αν οι ευθείες : x y 0 1 και : x y 5 0, είναι μεσοκάθετες των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. ΒΙ/9.Δίνονται οι : x y1 0 και 1 : x y 4 0 ευθείες και το σημείο Α(4,). Να βρεθεί σημείο Β της 1 ώστε η να περνά από το μέσο του ΑΒ

38 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/0.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,) και έστω x y 0 και x y 7 0 οι εξισώσεις δύο υψών του τριγώνου. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. ΒΙ/1.Έστω παραλληλόγραμμο με σημείο τομής των διαγωνίων του το 4,. Αν : x y 0 και : x y 4 0, βρείτε το σημείο καθώς και τις εξισώσεις των,. Ευθεία ΒΙ/.A) Έστω τρίγωνο με 6, και τις εξισώσεις δύο υψών του: : x y 4 0 και 1 : x y 1 0. Βρείτε τις κορυφές,. και τις εξισώσεις δύο διαμέσων του: B) Έστω τρίγωνο με 1, : x y1 0 και 1 : y 1. Βρείτε τις κορυφές,. ΒΙ/. Σε τρίγωνο, (4,4) είναι το μέσο της, : x y 0 το ύψος του και : 4x y8 0 η διάμεσός του. Βρείτε τις συντεταγμένες του, του, την εξίσωση της και τις συντεταγμένες των και. ΒΙ/4.Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. ΒΙ/5.Δίνεται η ευθεία : xy 6 0.Βρείτε την συμμετρική της ευθεία ως προς τον άξονα x' x, ως προς τον άξονα yy ' και ως προς το (0,0). ΒΙ/6. Δίνεται η ευθεία : x y 1 0. Βρείτε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα xx, καθώς και την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι δύο ευθείες. ΒΙ/7.A) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες : : x 7y 0 και :x 4y1 0. B) Όμοια για τις ευθείες: 1 : x y 6 0 και : 4x y 5 0 Γ) Όμοια για τις : 1 : ( 1) x y 0 και : ( ) x y 7 0 Δ) Όμοια για τις : 1 : x ( 1) y 0 και : ( 1) x ( 1) y 0. Ε) Όμοια για τις : 1 : y x 1 και : ( 1) x ( 1) y 0 ΒΙ/8.Α)Δίνονται οι ευθείες y x 1 και y x. Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ(,) και τέμνει αυτές στα Α και Β, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ

39 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Β) Δίνονται οι ευθείες : x y 0 και 1 : x y 1 0. Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (,1) και τέμνει αυτές στα Α και Β, ώστε να ισχύει:. Ευθεία ΒΙ/9.Α) Βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου 1, 1, 1 t B) Βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου t,, t. 1 1 Γ) Όμοια για το σημείο, αν, και 1.,,. Δ) Όμοια για το 4 Ε) Όμοια για το,,. ΣΤ) Όμοια για το,,. ΒΙ/40.Αν το σημείο, ανήκει στην ευθεία : x y 0 βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου,. Ποιό σημείο του γεωμετρικού τόπου είναι πλησιέστερο στο (1,1) ; ΒΙ/41.Α) Βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου 1,, 0 Β) Όμοια για το σημείο, Γ) Όμοια για το 1, 1 αν 0 6.,. Δ) Όμοια για το,,. ΒΙ/4. Aν, και,.,, δύο σημεία: Α) δείξτε ότι ο γεωμ. τόπος του μέσου του είναι ευθεία έστω. Β) αποδείξτε ότι. ΒΙ/4. Αν 1,,, 1,, το γεωμ. τόπο των σημείων αν., να βρείτε ΒΙ/44.Α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,), Β(5,7) και 1, 4 1 με. α) Δείξτε ότι, βρείτε το σημείο G αν GA GB G 0 (βαρύκεντρο του τριγώνου) και δείξτε ότι το G κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο. Β) Δίνονται τα σημεία Α(-λ,), Β(-1,λ), Γ(λ,λ) όπου. Δείξτε ότι: α) Τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λ

40 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) β) Βρείτε το σημείο G αν GA GB G 0 (βαρύκεντρο) και να αποδείξετε ότι κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο. ΒΙ/45.Α) Αν το σημείο κινείται στην ευθεία : x y 0 με,1 Ευθεία και, βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου. Β) Αν το σημείο κινείται στην ευθεία :x y1 0 και 1,, βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου. με ΒΙ/46.Α) Αν (1,) και το σημείο κινείται στην ευθεία : x y1 0 και το μέσο του, βρείτε το γεωμ. τόπο του. Β) Αν τρίγωνο με (1,1), (,5) και ( 1, ). i) Βρείτε το γεωμ. τόπο του. ii) Aν το μέσο του βρείτε το γεωμ. τόπο του βαρύκεντρου G του. (Ισχύει: G G ). Γ) Αν το σημείο κινείται στην ευθεία : x y 0 και (1, 1) βρείτε το γεωμ. τόπο του αν. ΒΙ/47. Θεωρώ την εξίσωση ( x y) ( x) y 1 0,. Α) Δείξτε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε. Β) Βρείτε τα ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα xx. Γ) Βρείτε τα ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα yy. Δ) Βρείτε τα ώστε η ευθεία να διέρχεται από το (0,0). Ε) Βρείτε τα ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ( ) : x y1 0. ΒΙ/48.Δίνονται οι ευθείες: ε:( ) x ( 1) y 0 και :( 1) x ( 1) y 0 αντίστοιχα. Α) Να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του. Β) Να βρεθούν οι τιμές του, ώστε οι ε και ζ να είναι παράλληλες. ΒΙ/49.Δίνονται οι ευθείες : ( 1) x ( 4) y 0 και :( ) x ( 7) y 0,. Α) Αποδείξτε ότι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του. Β) Βρείτε τις τιμές του μ, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι κάθετες. ΒΙ/50.Δίνεται η εξίσωση ( ) x ( ) y ( ) 0,. Α) Να αποδειχθεί ότι παριστάνει ευθεία για κάθε λ. Β) Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες αυτές διέρχονται από το ίδιο σημείο

41 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/51.Δίνεται η ( ) x ( ) y 1 0. Δείξτε ότι: Α) Για κάθε παριστάνει ευθεία. Β) Τέμνει τους άξονες για κάθε α, και Γ) Όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΒΙ/5.Δίνεται η εξίσωση ( x y 5) (x y 7) 0,. Α) Δείξτε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ Β) Δείξτε επίσης ότι η ευθεία με την παραπάνω εξίσωση διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε. ΒΙ/5.Αν :( ) x ( ) y 1 0 Α) Να δειχθεί ότι για κάθε η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί. Β) Δείξτε ότι για κάθε λ η ευθεία τέμνει την ': x y 5 0. Ευθεία ΒΙ/54.Δείξτε ότι η ( ) x ( ) y 9 0 είναι μια εξίσωση που παριστάνει ευθεία για κάθε. Για ποιες τιμές του λ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων; ΒΙ/55. Δείξτε ότι η ( 1) x ( 1) y 0 είναι μια εξίσωση που παριστάνει ευθεία για κάθε,. Βρείτε τα, ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το (0,0) και να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία. 4 ΒΙ/56.Δίνεται η εξίσωση : x y ( x y 5) 0,. Α) Αποδείξτε ότι η παραπάνω παριστάνει ευθεία για κάθε λ και οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο. Β) Βρείτε ποια από τις παραπάνω είναι κάθετη στην : x y 4 0. ΒΙ/57.Δίνεται η εξίσωση : ( ) x y 0,. Α) Αποδείξτε ότι η παραπάνω παριστάνει ευθεία για κάθε λ και οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο. Β) Βρείτε ποια από τις παραπάνω απέχει από το (0,) απόσταση 5 5. ΒΙ/58.Δίνονται οι ευθείες : ( 1) x y και : xy. 1 Αποδείξτε ότι : Α) Οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο Ρ για κάθε. Β) Το σημείο Ρ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΒΙ/59.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει:

42 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Α) Γ) x y xy x y 0 Β) x 4xy 4y 9 0 Δ) ΒΙ/60.Αποδείξτε ότι η εξίσωση ευθείες κάθετες. x y x y 4 0 x xy y x y y xy x 0 Ευθεία 0 παριστάνει δύο ΒΙ/61.Αποδείξτε ότι το σύνολο των σημείων xy, τέτοια που y kxy x 0, k παριστάνει δύο ευθείες κάθετες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. ΒΙ/6.Αποδείξτε ότι η εξίσωση x xy y x y 1 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. ΒΙ/6.Αποδείξτε ότι η εξίσωση δύο ευθείες. x y x y παριστάνει ΒΙ/64.Δείξτε ότι η εξίσωση 6x xy y 0 παριστάνει δύο ευθείες και βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν. ΒΙ/65.Δείξτε ότι η εξίσωση x xy 6y x 14y 4 0 παριστάνει δύο ευθείες και βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν. ΒΙ/66.Βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου τομής των ευθειών: : x y 0 και : x y 1 0,. Ποιο σημείο αυτής της ευθείας απέχει τη μικρότερη απόσταση από το (0,0) ; ΒΙ/67.Δείξτε ότι η εξίσωση x y x 4y 0 παριστάνει δύο κάθετες ευθείες για κάθε. Δείξτε επίσης ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία. ΒΙ/68.Δίνονται οι ( ) : x ( ) y 1 και ( ) : ( )x y. Να δείξετε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται για κάθε. Βρείτε επίσης το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής τους. ΒΙ/69.Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Μ(1,) από την ευθεία x 4y11 0. ΒΙ/70.Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,) και απέχουν από το σημείο Β(,1) απόσταση d. ΒΙ/71.Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην ευθεία x 4y 5 0 και απέχουν από το σημείο Α(,) απόσταση d

43 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/7.Βρείτε τα σημεία της ευθείας : x y 0 την ευθεία :x 4y 10 0 απόσταση. Ευθεία που απέχουν από ΒΙ/7.Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (0,1) και από την οποία ισαπέχουν τα σημεία (1,) και (,1). ΒΙ/74.Βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ( ) : x y 6 0 και ( ) : x y17 0. ΒΙ/75.Α)Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών x y 7 0 και x y 0. Β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών: : x y1 0 και : x 4y 0. 1 ΒΙ/76.Να βρεθούν οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ( ) : x y 5 0 και ( ) : x y 7 0. Ποια είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας; (Πάρτε ένα σημείο σε μια από τις πλευρές και υπολογίστε την απόστασή του από τις διχοτόμους. Η μικρότερη απόσταση αντιστοιχεί στη διχοτόμο της οξείας γωνίας) ΒΙ/77.Δίνεται η ευθεία : x y 4 0 και το σημείο Α(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα yy ' που ισαπέχει από το Α και την. ΒΙ/78. Α) Αν,4 βρείτε το. Β) Αν x,0, 1,, 4, βρείτε το x ώστε. ΒΙ/79.Σ'ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α(,), Β(5,4) και Δ(-4,-1). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Γ και το εμβαδόν του παραλληλογράμμου., 0,1, 4, ΒΙ/80.Σε τρίγωνο είναι 1,1, και 1, 1. Α) Αποδείξτε ότι τα,, είναι κορυφές τριγώνου για κάθε. Β) Βρείτε το ώστε 6. ΒΙ/81.Α) Βρείτε ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία και 4 με τους δύο άξονες τρίγωνο εμβαδού τ.μον. Β) Βρείτε ευθεία παράλληλη στην : x y 0 που να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τ. μον. ΒΙ/8.Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(1,) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν τ.μ

44 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/8.Δίνεται το σημείο Α(1,). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση d 1. ΒΙ/84.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( t ) x (1 t) y t 0 Ευθεία παριστάνει ευθεία (ε) για κάθε t που διέρχεται από ένα σταθερό σημείο. Για ποια τιμή του t η απόσταση του σημείου Μ(,) από την (ε) είναι μονάδες; ΒΙ/85.Δίνεται η εξίσωση y 4x 4xy y 4x 0. Δείξτε ότι παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και βρείτε την απόστασή τους. ΒΙ/86.Δίνεται η εξίσωση x y xy kx ky 0, k A) Δείξτε ότι παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και βρείτε την απόστασή τους. B) Bρείτε το k αν οι δύο ευθείες απέχουν απόσταση. Γ) Αν k 4 βρείτε την εξίσωση της μεσοπαραλλήκου των δύο ευθειών. ΒΙ/87.Βρες τα, ώστε οι ευθείες : x y 0 : x y 0 και να είναι παράλληλες και να έχουν απόσταση 5. ΒΙ/88.Δίνεται η εξίσωση x y 4x y 0. Α) Δείξτε ότι παριστάνει δύο κάθετες ευθείες. Β) Βρείτε το γεωμ. τόπο του σημείου τομής τους. ΒΙ/89.Να βρεθεί ευθεία ε που περνά από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με την ευθεία x y και τον yy ' τρίγωνο εμβαδού 9 τ.μ.. ΒΙ/90.Δύο πλευρές ενός τετραγώνου έχουν εξισώσεις 5x1y 65 0 και 5x1y 6 0. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου. ΒΙ/91.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Β(7,4) και Γ(5,1). Αν, 1 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του. Κατόπιν να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό. ΒΙ/9.Αν t, t, 1,1 και,5 βρες το γ. τόπο του και δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό. ΒΙ/9.Αν (1,1), (, t 4) να αποδειχθεί ότι το είναι παραλληλόγραμμο. Βρείτε επίσης το t ώστε το εμβαδόν του να ισούται με 15 τ.μον.. ΒΙ/94.Α) Αν,, t, t και t, t,,5 και το σημείο κινείται στην ευθεία : x y 4 0 δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγ. είναι σταθερό