Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Transcript

1

2 Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του ανθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύναμη αυτή δεν μπορείς πια να βρεις δικαιολογίες για τις ασήμαντες ή άναντρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμένη, ρίχνοντας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι ανθρώποι γύρα σου, εσύ μονάχα έχεις, ό,τι κι αν κάνεις, ότι κι αν γίνεις ακέραιη την ευθύνη Και ντρέπεσαι τότε να γελάς, ντρέπεσαι να περγελάς αν μια φλεγόμενη ψυχή ζητάει το αδύνατο Καλά πια καταλαβαίνεις πως αυτή είναι η αξία του ανθρώπου: να ζητάει και να ξέρεις πως ζητάει το αδύνατο και να ναι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως αν δεν λιποψυχήσει αν δεν ακούσει τι του κανοναρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δόντια την ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα να κυνηγάει το αδύνατο, τότε γίνεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοινός νους δε θα μπορούσε να το μαντέψει: το αδύνατο γίνεται δυνατό Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ MEΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Μορφές εξίσωσης ευθείας Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας: Α x+β y+γ= 0 με Α+Β 0 Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ: ε: y =λ x+β Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων : ε: y = λ x Εξίσωση ευθείας παράλληλης στον xx: ' ε: y = y0 Εξίσωση ευθείας κάθετης στον xx: ' ε: x = x0 Εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ που διέρχεται από το γνωστό σημείο Α ( x0, y0) : ε: y y0 = λ( x x0) H ε: Α x+β y+γ= 0: Είναι ευθεία αν Α 0 ή Β 0 Είναι παράλληλη στον xx αν Α= 0 (και Β 0) Είναι παράλληλη στον yy αν Β= 0 (και Α 0) Διέρχεται από το Ο ( 0,0) αν Γ= 0 Πώς βρίσκω το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε; Α) Αν σχηματίζει με τον x' x γωνία θ τότε λ = εφθ y y1 Β) Αν Α ( x1, y1) και Β ( x, y) δύο σημεία της τότε λ= x x1 Γ) Αν είναι παράλληλη σε γνωστή ευθεία δ ή διάνυσμα δ τότε λ ε =λ δ Δ) Αν είναι κάθετη σε γνωστή ευθεία δ ή διάνυσμα δ τότε λε λ δ = 1 E) Aν ε : y =α x+β τότε: λ ε =α Α ΣΤ) Αν ε: Α x+β y+γ= 0 τότε: λ ε = Β Πώς βρίσκω που μια ευθεία τέμνει τους άξονες; Για να βρω που μια ευθεία τέμνει τον yy ' λύνω το σύστημα που συγκροτούν η εξίσωση της και η x = 0 Για να βρω που μια ευθεία τέμνει τον xx ' λύνω το σύστημα που συγκροτούν η εξίσωσή της και η y = 0 Πώς βρίσκω αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία ε; Για να δω αν ένα σημείο Α ( x1, y1) ανήκει σε μια ευθεία ε, θέτω στην εξίσωσή της όπου x το x 1 και όπου y το y 1 Αν η σχέση που προκύπτει είναι αληθής, τότε το Α ανήκει στην ε, ενώ αν είναι ψευδής δεν ανήκει Πώς βρίσκω πού τέμνονται δύο ευθείες; Για να βρώ που τέμνονται δύο ευθείες, λύνω το σύστημα που συγκροτούν οι εξισώσεις τους

4 Αν το σύστημα έχει μία λύση, αυτή είναι το σημείο τομής τους Αν δεν έχει λύση, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες Αν έχει άπειρες λύσεις τότε ταυτίζονται Πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες; Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή ε1// ε λ 1 =λ Επίσης δύο ευθείες είναι παράλληλες αν δεν ορίζεται και για τις δύο ο συντελεστής διεύθυνσης (οπότε είναι κάθετες στον xx ') Πότε δύο ευθείες είναι κάθετες; Δύο ευθείες είναι κάθετες αν το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους ισούται με -1, δηλ ε1 ε λ1 λ = 1 Επίσης είναι κάθετες αν η μια τους έχει συντελ διεύθυνσης μηδέν και της άλλης δεν ορίζεται Σχέση ευθείας - διανύσματος Η ευθεία Αx + Βy + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = ( Β, Α) και κάθετη στο διάνυσμα δ ' = ( Α, Β) Πώς βρίσκω τη γωνία δύο ευθειών; Για να βρώ τη γωνία των ευθειών ε: Α x+β y+γ= 0 και ε': Α ' x+β ' y+γ ' = 0 βρίσκω τη γωνία των παράλληλών τους διανυσμά- των δ = ( Β, Α) και δ ' = ( Β', Α') με τον τύπο: δ δ' συν δ, δ ' = δ δ' Πώς βρίσκω την απόσταση σημείου από ευθεία; Η απόσταση του σημείου Μ ( x1, y1) από την ευθεία ε: Α x+β y+γ= 0 Α x1+β y1+γ δίνεται από τον τύπο d( Μ, ε ) = Α +Β Πώς βρίσκω το εμβαδόν τριγώνου; Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με Α ( x1, y1), Β ( x, y), Γ ( x, y) δίνεται 1 από τον τύπο Ε ΑΒΓ = det ( ΑΒ, ΑΓ) όπου det ( ΑΒ, ΑΓ) η ορίζουσα των συντεταγμένων των διανυσμάτων ΑΒ, ΑΓ Πώς αποδεικνύω ότι η Α x+β y+γ= 0 είναι εξίσωση ευθείας; Αρκεί να δείξω ότι Α 0 ή Β 0, οπότε θεωρώ ότι Α=Β= 0 και καταλήγω σε άτοπο Ποιες ευθείες περνούν από το σημείο Α ( x0, y0) ; Από το Α( x0, y0) περνούν οι ευθείες ε: y y0 =λ( x x0), αλλά και η ευθεία δ : x= x0 που δεν περιλαμβάνεται στις παραπάνω αφού δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσής της

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ TΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου: Κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ : x + y = ρ Κέντρου Κ ( x 0, y0 ) και ακτίνας ρ: ( x x0 ) + ( y y0 ) = ρ Η εξίσωση x + y + Αx + Βy + Γ = 0 είναι εξίσωση κύκλου αν και μόνο αν Α Β Α + Β 4Γ > 0 Το κέντρο του κύκλου είναι τότε Κ, και η 1 ακτίνα ρ = Α + Β 4Γ Εξίσωση εφαπτομένης Κύκλου εξίσωσης x + y = ρ στο σημείο του Α ( x 1, y1 ) : xx 1 + yy1 = ρ Για να είναι η ευθεία ε εφαπτομένη του κύκλου ( Κ, ρ) πρέπει: d ( Κ, ε ) = ρ ή το σύστημα ευθεία-κύκλος να έχει διπλή λύση Mε εστίες στον άξονα x'x ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Εξίσωση Εξίσωση Εξίσωση y = px x y x y + = 1 = 1 α β α β με β = α γ με β = γ α Εστία p Ε, 0 Διευθετούσα p x = Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Μ ( x 1, y1 ) yy = p( x + 1) 1 x Εστίες Ε '( γ,0), Ε (γ,0) Εκκεντρότητα γ ε = ( 0 < ε < 1) α Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Μ ( x 1, y1 ) xx1 yy1 + = 1 α β Εστίες Ε '( γ,0), Ε (γ,0) Εκκεντρότητα γ ε = ( ε > 1) α Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Μ ( x 1, y1 ) xx1 yy1 = 1 α β Aσύμπτωτες β y = ± x α

6 Mε εστίες στον άξονα yy' ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Εξίσωση Εξίσωση Εξίσωση x = py x y y x + = 1 = 1 β α α β με β = α γ με β = γ α Εστία Εστίες Ε 0, p Ε '(0, γ ), Ε ( 0, γ ) Διευθετούσα Εκκεντρότητα p γ y = ε = ( 0 < ε < 1) α Εξίσωση Εξίσωση εφαπτομένης στο εφαπτομένης στο σημείο Μ ( x 1, y1 ) σημείο Μ ( x 1, y1 ) xx 1 = p( y + y1) xx1 yy1 + = 1 β α Εστίες Ε '(0, γ ), Ε ( 0, γ,) Εκκεντρότητα γ ε = ( ε > 1) α Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο Μ ( x 1, y1 ) yy1 xx1 = 1 α β Ασύμπτωτες α y = ± x β Για να είναι μια ευθεία εφαπτομένη μιας κωνικής τομής πρέπει το σύστημα ευθεία-κωνική τομή να έχει μοναδική (διπλή) λύση (Η λύση του συστήματος καταλήγει στη λύση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, οπότε απαιτώ: = 0)

7 Bασικές εξισώσεις γραμμών Α x+β y+γ= 0 με Α 0 ή Β 0 Α Ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης: λ= Β y=α x+β Ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης: λ=α x= x0 Eυθεία κάθετη στον xx (δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσής της) y = y0 Eυθεία παράλληλη στον xx με συντελεστή διεύθυνσης λ= 0 ( x x ) ( ) 0 + y y0 =ρ Κύκλος κέντρου: ( x, y ) Κ και ακτίνας ρ 0 0 x + y =ρ Κύκλος κέντρου: ( 0,0) Ο και ακτίνας ρ x + y +Α x+β y+γ= 0 με Α +Β 4Γ> 0 Α Β Κύκλος κέντρου: Κ, και ακτίνας 1 ρ= Α +Β 4Γ x y + = 1 α β Έλλειψη x y = α β Υπερβολή 1 ή y α x = 1 β ή y = α x x y =α ή y x =α Ισοσκελής υπερβολή y = α x ή Παραβολή y=α x +β x+γ με α 0

8 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα Διανύσματα "Αυτοί που θα δουν καθαρά την αλήθεια των μαθηματικών, θα μπορέσουν να θαυμάσουν το μεγαλείο και τη δύναμη της φύσης, σ' αυτή τη διπλή απειρία που μας περιτριγυρίζει από παντού και να μάθουν από αυτή τη θαυμαστή θεώρηση πώς να γνωρίσουν τον εαυτό τους, βλέποντάς τον τοποθετημένο ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα κίνησης, ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα χρόνου Έτσι θα μπορέσουν να μάθουν να αξιολογούν δίκαια τον εαυτό τους και να σχηματίζουν συλλογισμούς που να αξίζουν εν τέλει περισσότερο από όλες τις μαθηματικές γνώσεις " Blaise Pascal ΒΗ/01 Το σημείο Μ είναι μέσο του τμήματος ΑΒ αν και μόνο αν ΑΜ = ΜΒ ΒΗ/0 Αν ΑΔ, ΒΕ,ΓΖ διάμεσοι του τριγώνου ΑΒΓ δείξτε ότι Α +ΒΕ+ΓΖ=0 ΒΗ/0 Αν, ΜΝ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ, 1 να αποδείξετε ότι ΜΝ = ΒΓ ΒΗ/04 Αν Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ τετραπλεύρου ΑΒΓ δείξτε ότι: A) ΒΓ + Α = ΜΝ B) ΑΓ + Β = ΜΝ ΒΗ/05 Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ Να αποδείξετε ότι Α + ΒΓ = ΑΓ + Β ΒΗ/06 Αν ΑΒΓ και ΑΒΓ δύο παραλληλόγραμμα με κέντρα Κ και Κ αντίστοιχα, να δείξετε ότι: ΑΑ +ΒΒ +ΓΓ + = 4ΚΚ ΒΗ/07 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και,, ΕΖ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ και Ε αντίστοιχα Για κάθε σημείο Μ του επιπέδου να αποδείξετε ότι ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = 4 ΜΖ ΒΗ/08 Αν Κ και Λ τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τότε ισχύει : ΑΒ + Α + ΓΒ + Γ = 4 ΚΛ ΒΗ/09 Αν,,, ΑΒΓ σημεία του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΑΓ + Ε = Γ + ΒΕ να δείξετε ότι τα σημεία ΑΒ, συμπίπτουν ΒΗ/10 Αν,,, ΑΒΜΡ σημεία του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΡΑ + ΡΒ = ΜΑ + ΜΒ να δείξετε ότι τα σημεία ΜΡ, συμπίπτουν Κ Αδαμόπουλος

9 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/11 Αν,,, Α Β Α Διανύσματα ΑΒΓ σημεία του επιπέδου, διαφορετικά μεταξύ τους, για τα οποία ισχύει ΟΑ + ΟΓ = ΟΒ + Ο, όπου Ο τυχαίο σημείο, δείξτε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα ΑΒΓ,,, είναι παραλληλόγραμμο ΒΗ/1 Δείξτε ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου ΒΗ/1 Αν οι διαγώνιοι κυρτού τετραπλεύρου διχοτομούνται να δειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ΒΗ/14 Αν Μ το μέσο της διαγωνίου ΑΓ τετραπλεύρου ΑΒΓ αποδείξτε ότι ΜΒ + Μ = ΑΒ Γ ΒΗ/15 Α) Αν Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ, αποδείξτε ότι το διάνυσμα ΡΑ + ΡΒ ΡΓ είναι σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης του Ρ) Β) Αν Α,Β,Γ τυχαία σταθερά σημεία, δείξτε ότι το διάνυσμα δ = ΜΑ ΜΒ ΜΓ είναι ανεξάρτητο από τη θέση του Μ ΒΗ/16 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου Δείξτε ότι το διάνυσμα f ( Ρ ) = ΡΑ 5 ΡΒ + ΡΓ είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Ρ, δηλαδή σταθερό Αποδείξτε το ίδιο αν ισχύει δ = ΡΑ ΡΒ + ΡΓ ΒΗ/17 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία,, ΕΖ που ορίζονται από τις σχέσεις: ΒΓ = Β, ΓΑ = ΓΕ και ΑΒ = ΑΖ Αποδείξτε ότι Α +ΒΕ+ΓΖ=0 ΒΗ/18 Δίνονται τα σημεία ΑΒΓ,, τέτοια που ΑΒ = ΒΓ Αν Μ 1 τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδειχθεί ότι : ΜΒ = ΜΑ + ΜΓ 4 4 ΒΗ/19 Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που τριχοτομείται από τα σημεία Γ και Δ και τυχαίο σημείο Ο εκτός του ΑΒ Αν ΟΑ = α, ΟΒ = β, να εκφραστούν τα ΟΓ, Ο συναρτήσει των α και β ΒΗ/0 Στο διπλανό σχήμα δείξτε ότι: Α) ΑΓ+ ΒΓ+ 5 Γ = Α + Β Β) 7 ΑΓ Β + 5 Α = ΑΒ + 7 Γ (Πάρτε σημείο αναφοράς το Α) ΒΗ/1 Αν ΟΑ + ΟΒ = 5 ΟΓ να δείξετε ότι Ττα σημεία ΑΒΓ,, είναι συνευθειακά Ο Δ Β Κ Αδαμόπουλος Γ Γ

10 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/ Δίνονται τα σημεία Ο,Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει: ΟΒ + ΟΓ = 4ΟΑ Να δειχθεί ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά ΒΗ/ Αν για τα σημεία Α, Β, Γ είναι: + ΒΓ + ΓΑ = 0 Διανύσματα ΑΒ να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά ΒΗ/4Αν για τα σημεία Α, Β, Γ είναι: ΡΑ + ΣΑ ΣΡ = ΣΒ + ΡΓ να δειχθεί ότι είναι συνευθειακά( όλα τα διανύσματα να έχουν αρχή το Α) ΒΗ/5 Δίνονται τα διανύσματα: ΟΑ = α + β, ΟΒ = α β και ΟΓ = α 5β Να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά ΒΗ/6 Δίνονται τα διανύσματα α, β Αν ΟΑ = α β, ΟΒ = α + β και ΟΓ = α + 11β να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά ΒΗ/7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ τέτοιο που να ισχύει Α = x ΑΒ + yαγ με x+ y = 1 Nα δειχθεί ότι το σημείο Δ ανήκει στην ευθεία ΒΓ ΒΗ/8 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και, Ε τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ Αν ΑΜ = xα + yαε με x+ y = να αποδειχθεί ότι τα σημεία ΜΒΓ,, είναι συνευθειακά ΒΗ/9Α) Αν ισχύει: κ ΟΑ + (1 κ ) ΟΒ = ΟΓ ΟΒ με κ R, να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, όπου Ο τυχαίο σημείο αναφοράς Β) Αν ισχύει: κοα + λοβ + µογ = 0 με κ+λ+µ= 0 και κλµ,, όχι όλα μηδέν, να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά ΒΗ/0 Δίνονται τα διανύσματα αβ,, xy, για τα οποία ισχύουν: x+ y = α+ 4β και 4x y =α+ β Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα x και y είναι ομόρροπα ΒΗ/1 (Άσκηση-μέθοδος) Αν αβ, μη συγγραμμικά και ισχύει κ α = λ β να δείξετε ότι κ = λ = 0 ΒΗ/ Αν αβ, μη συγγραμμικά διανύσματα και ισχύει η σχέση: x1α+ y1β= xα+ yβ δείξτε ότι x1 = x και y1 = y Αποδείξτε επίσης ότι κάθε διάνυσμα δ του επιπέδου γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των α και β ΒΗ/ Αν τα α, β δεν είναι συγγραμμικά, να δειχθεί ότι: α) τα διανύσματα u = α β και w = α β δεν είναι συγγραμμικά Κ Αδαμόπουλος

11 Μαθηματικά Β Λυκείου 5 β) τα y = 9α 5β και x = α β είναι συγγραμμικά ΒΗ/4 Έστω Ο Διανύσματα α, β μη συγγραμμικά διανύσματα του επιπέδου Έστω ακόμα τα διανύσματα u = α + β και w = α β και v = α β α) Να δειχθεί ότι τα διανύσματα u, w δεν είναι συγγραμμικά β) Να γράψετε το v ως γραμμικό συνδυασμό των u και w ΒΗ/5 Αν ΟΑ = α + β, ΟΒ = α β, ΟΓ = x α + β με αβ, μη συγγραμμικά, βρες το x ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά ΒΗ/6 Αν αβ, μη συγγραμμικά διανύσματα και ΟΑ = α + 5β, ΟΒ = ( κ + ) α β και ΟΓ = 4α + κβ, βρείτε το κ ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά ΒΗ/7 Δίνονται τα διανύσματα α= u v και β= xu + v, όπου uv, μη συγγραμμικά διανύσματα Να βρείτε τον x, ώστε τα διανύσματα α, β να είναι συγγραμμικά ΒΗ/8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ Αν ισχύει: x+ 1 ΑΒ + y ΑΓ = x ΒΓ + x y ΑΜ, βρείτε τα xy, ( ) ( ) ΒΗ/9 Αν ΟΜ διάμεσος του τριγ ΟΑΒ, 1 Ζ Ε το μέσο της ΟΜ και ΟΖ = ΟΒ να δείξετε E ότι τα σημεία Α, Ε, Ζ είναι συνευθειακά Α Μ ΒΗ/40 Στο τρίγωνο ΑΒΓ το είναι A το μέσο της πλευράς ΑΒ και το Μ μέσο της Ζ 1 1 πλευράς ΒΓ Αν ΑΕ = ΑΜ και ΑΖ = ΑΓ Δ Ε 4 να δείξετε ότι τα σημεία ΕΖ,, είναι συνευθειακά B Μ ΒΗ/41 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ΑΒ = α και ΑΓ = β Στην πλευρά ΑΒ παίρνω το σημείο ώστε 5 Α = α, στην πλευρά ΑΓ σημείο Ε ώστε ΑΕ = β και στην 6 5 προέκταση της πλευράς ΒΓ σημείο Ζ ώστε ΒΖ = ΒΓ Δείξτε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά Β Γ Κ Αδαμόπουλος

12 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία : Δ,Ε και Ζ στις ΑΒ, ΒΓ 1 και ΑΓ αντίστοιχα ώστε Α = ΑΒ, ΒΕ = ΒΓ και ΑΖ = ΑΓ Να 5 δειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ζ και Ε είναι συνευθειακά ΒΗ/4 Αν Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ τριγώνου ΑΒΓ και Ζ σημείο 1 της ΒΓ ώστε ΓΖ = ΒΓ, να δείξετε ότι Ζ = ΑΕ ΒΗ/44 A) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Μ το μέσο της ΑΔ και Ν το σημείο τομής των ΑΓ και ΒΜ Να δειχθεί ότι ΑΝ= 1 ΑΓ B) Αν Μ το μέσο της διαμέσου Α τριγώνου ΑΒΓ και η ΒΜ τέμνει την ΑΓ στο Ε να δείξετε ότι: ΑΓ = ΑΕ α=, β= και α+β να δειχθεί ότι α β ΒΗ/45 Αν 1 ΒΗ/46 Για τα διανύσματα α, β, γ γνωρίζουμε ότι α + β + γ = 0 και ότι α = β = γ, να δειχθεί ότι α β και β γ ΒΗ/47 Αν α + β + γ = 0 και α = β = γ, να αποδειχθεί ότι τα 4 διανύσματα α, β, γ είναι συγγραμμικά ΒΗ/48 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρείτε το γ τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία το διάνυσμα u = ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ είναι παράλληλο προς το ΒΓ ΒΗ/49 Αν,,, ΑΒΓ σταθερά σημεία βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ αν ισχύει ΜΑ + ΜΒ = ΜΓ + Μ ΒΗ/50 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΒ + ΜΓ + ΜΑ = ΜΒ + ΜΓ ΜΑ, βρείτε το ΒΗ/51 Αν Γ η διάμεσος του τριγώνου με Γ = γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΒ ΑΒ = ΜΑ + ΜΒ ΜΓ ΒΗ/5 Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΑ + ΜΒ = ΑΓ + ΜΓ ΑΜ Κ Αδαμόπουλος

13 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/5 Α) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : ΑΜ = (1 λ) ΑΒ + λ ΑΓ με A) λ B) λ ( 0, + ) Γ) λ [ 0,1] ΒΗ/54 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων ( λ+ 1) ΜΑ = λ ΜΓ + ΒΑ Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : ( ) ΒΗ/55 Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓ Βρείτε το γεωμετρικό τόπο ΜΒ + Μ = λ ΜΓ ΜΑ με των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : ( ) λ [ 1,1] Συντεταγμένες διανυσμάτων ΒΗ/56 Να βρείτε τους αριθμούς, xy, ώστε τα διανύσματα α= (x y+, x+ y 1) και β= ( x+ y 1,5x+ 4 y+ 1) να είναι ίσα Στη συνέχεια να βρείτε τις συντεταγμένες και το μέτρο του διανύσματος α β α= λ λ, λ λ+ ΒΗ/57 Δίνεται το διάνυσμα ( ) Για ποια τιμή του λ είναι: Α) α= 0 Β) α 0 και α //xx Γ) α 0 και α //yy ΒΗ/58 Δίνονται τα διανύσματα u = (1, ) και v = (,1) Βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α = ( xy, ) στις παρακάτω περιπτώσεις: 1 Α) α = u+ v Β) α = u+ v Γ) α = u v u α v Δ) u+ α = v Ε) u+ v α = 0 ΣΤ) + = ΒΗ/59 A)Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(6,8) και Δ(-,) Βρείτε το σημείο Γ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι παραλληλόγραμμο ΒΗ/60 Δίνεται παραλληλόγραμμο με κορυφές τα σημεία Β (4,5), Γ(, 1) και ( 1, ) Α) Να βρείτε την κορυφή Α Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου Γ) Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΑΓ Κ Αδαμόπουλος

14 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/61 Aν ( 1, ), (, ), ( 5,0 ) Διανύσματα Α Β Γ και (, x) βρείτε το x ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓ να είναι τραπέζιο με βάσεις ΑΒ, Γ ΒΗ/6 Α) Δίνονται τα σημεία (1,1) που τριχοτομούν το τμήμα ΑΒ ΒΗ/6 Δίνονται τα σημεία (,4) Α, Β (7,10) Bρείτε τα σημεία Γ, Α Β (, ) και Γ (,5) Βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ ΒΗ/64A) Δίνονται τα σημεία Α(0,4), Β(5,-) και Γ(-1,-) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ, αν ΑΒ = Γ ΒΗ/65 Αν ΑΒ = (1, 4) και ΑΓ = (,), να βρείτε τα διανύσματα ΒΓ και ΑΜ, όπου Μ το μέσο του ΒΓ Στη συνέχεια, αν Α ( 1, ) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών ΒΓ, ΒΗ/66 Αν (1,1) Α και Β (8,15) βρείτε σημείο Μ ώστε: 5 ΑΜ = ΜΒ ΒΗ/67 Δίνονται τα διανύσματα α = ( λ λ+, λ 1) και β = λ + λ+ 1, λ+ 1 Βρείτε τις τιμές του λ R ώστε τα αβ, να είναι ( ) ίσα Υπάρχει τιμή του λ τέτοια που τα παραπάνω διανύσματα να είναι αντίθετα; ΒΗ/68 A) Βρείτε διάνυσμα u παράλληλο στο α= (,1) με μέτρο 5 ΒΗ/69 Δίνεται το διάνυσμα α= ( 6,8) Να βρεθεί το μέτρο του α καθώς και ένα διάνυσμα β αντίρροπο του α με β= α ΒΗ/70 Δίνονται τα σημεία (1,) Α και Β (,1) Να βρείτε : Α) Το μέτρο του ΑΒ Β) Το μέσο του ΑΒ Γ) Το συμμετρικό του Α με κέντρο συμμετρίας το Β Δ) Το σημείο Ρ αν ισχύει : ΑΡ = ΡΒ α= x και β= (1, x ) Να ΒΗ/71 Δίνονται τα διανύσματα (, ) βρείτε τον x ώστε τα διανύσματα α και β να είναι συγγραμμικά α= x και β= (9, x) να είναι αντίρροπα ΒΗ/7 Βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα α= ( λ,1) και β= (λ, λ) να είναι συγγραμμικά ΒΗ/7 Να βρεθούν οι τιμές του x ώστε τα διανύσματα (,1) Κ Αδαμόπουλος

15 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/74 Αν (1,1) Α και Β ( 1, ) βρείτε σημείο Μ ( xy, ) ώστε το διάνυσμα ΑΜ να είναι συγγραμμικό με το α= (,1) και το ΒΜ συγγραμμικό με το β= (1, 1) ΒΗ/75 A) Αν ( 1,1) Α, Β (, ) και ( 5, x) Διανύσματα Γ, να βρεθεί ο x ώστε τα σημεία αυτά να είναι συνευθειακά ΒΗ/76 B) Αν ( 1,1) Γ +, να βρεθεί ο x ώστε τα σημεία αυτά να είναι συνευθειακά Α, Β (, x) και ( x 1,) ΒΗ/77 Δείξτε ότι τα σημεία (, ) Α α β+γ, Β( β, γ+α ), Γ(, γ α+β ) είναι συνευθειακά ΒΗ/78 Δίνονται τα διανύσματα α= ( xy, ) και β= ( y, x+ 6), με xy,, για τα οποία ισχύει ότι α β= ( 7, 6) Α) Να δείξετε ότι x = και y = Β) Να γράψετε το διάνυσμα γ= 10i + 4 j ως γραμμικό συνδυασμό των αβ, ΒΗ/79 Δίνονται τα σημεία Β(1,) και Γ(-1,6) Να βρείτε σημείο Α του άξονα xx ' ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με (ΑΒ)=(ΑΓ) ΒΗ/80 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(,0), Β(-1,1), Γ(0,-1) Δείξτε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ και ισοσκελές ΒΗ/81 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(4,5), Β(1,) και Γ(,κ) με κ Βρείτε τον κ ώστε Α = 90 ΒΗ/8 Το διάνυσμα α έχει τη διεύθυνση του γ= (1, ) μέτρο με το β= (4, ) και το ίδιο Βρείτε τις συντεταγμένες του ΒΗ/8 Δίνονται τα διανύσματα α= (λ 1, µ 1), β= ( λ+ 1,µ 5) x = (1,1), y = (,1) Να βρείτε τους λ, µ R ώστε να είναι: ( α+β) // x και ( α β) // y ΒΗ/84 Αν α= ( xy, + 1) και β= ( x+ y,y) βρείτε τα xy, ώστε: α// β και ( α β)// xx ΒΗ/85 Αν ΟΑ = (1, ), ΟΒ = (,1) και ΟΓ = ( x,) βρες το x R ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά Κ Αδαμόπουλος

16 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/86 Αν ΟΑ = (1,), ΟΒ = ( x,) και ΟΓ = ( x +,1) βρες το x ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά ΒΗ/87 Δίνονται τα σημεία Α(,-4) και Β(-6,8) Να βρεθούν το μέτρο του ΑΒ, το μέσο Μ του ΑΒ και το σημείο Ρ που χωρίζει το ΑΒ σε λόγο : ΒΗ/88 Δίνονται τα διανύσματα = ( 4, ) v, α = ( 1, ) και β = (,5) Εκφράστε το v ως γραμμικό συνδυασμό των α και β ΒΗ/89 Γράψτε το v = (4,1) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α = (,) και β = ( 1,) α=,, β= (,1) και γ= (1, 4) ΒΗ/90 Δίνονται τα διανύσματα ( ) Αναλύστε το γ σε δύο συνιστώσες κατά τη διεύθυνση των α και β ΒΗ/91 Να αναλύσετε το διάνυσμα u = (, 4) σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα διανύσματα α = (1,1) και β = ( 1, ) ΒΗ/9 Να αναλύσετε το διάνυσμα α= (, 6) σε δύο συνιστώσες κατά τη διεύθυνση των διανυσμάτων β= (, 1) και γ= (,1) ΒΗ/9 Να αναλύσετε το διάνυσμα = (,) δ σε δύο διανύσματα από τα οποία το ένα είναι παράλληλο με τον άξονα xx και το άλλο με το διάνυσμα v = ( 1,) ΒΗ/94 Δίνονται τα σημεία (,) Α και Β (,0) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ για το οποίο ισχύει ΒΜ = ΜΑ και τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Μ ως προς το Α ΒΗ/95 Αν το διάνυσμα = ( ηµθ, συνθ ) u είναι παράλληλο στη διχοτόμο της ης και 4 ης γωνίας των αξόνων να προσδιορίσετε το θ ΒΗ/96 Aν δ= ( 1, ) βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον xx ' ΒΗ/97 Δίνεται το διάνυσμα α= ( λ,7 λ) με λ Να βρείτε την τιμή του λ ισχύει α= 1 Να βρείτε διάνυσμα β ΒΗ/98 Δίνεται το διάνυσμα α= (, 1) αντίρροπο του α, το οποίο να έχει μέτρο ίσο με 4 5 Κ Αδαμόπουλος

17 Μαθηματικά Β Λυκείου ΒΗ/99 Δίνονται τα διανύσματα α= ( κ λ, ) β= λ + λ κ+ κ+ λ ( 4 1, ) βρείτε τους κ, λ και Διανύσματα Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα να ΒΗ/100 Να δείξετε ότι τα σημεία (, 1) είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λ ΒΗ/101 Βρείτε διάνυσμα που σχηματίζει με τον xx ' γωνία π και 4 έχει μέτρο ΒΗ/10 Αν το διάνυσμα δ σχηματίζει με τον ' x { 1} ώστε το u = ( x 1,x+ 1) ΒΗ/10 A) Αν = (,) = Α λ+, Β(1, λ ) και Γ (,) xx γωνία 5 π βρείτε το 4 να είναι συγγραμμικό με το δ α και β (, ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος v = α + β καθώς και η γωνία που σχηματίζει το v με τον άξονα xx ΒΗ/104 Αν Α (, ) και (, ) Β βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ΑΒ καθώς και τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα xx ΒΗ/105 Bρείτε διάνυσμα δ π που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 4 και έχει μέτρο 18 ΒΗ/106 Αν Α (1,1) βρείτε το σημείο Β ώστε το διάνυσμα ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία π /4και να έχει μέτρο ΒΗ/107 Αν α= ( µµ+, ) με µ 0 και β= (6,8): Α) Βρείτε το µ αν λ α = Β) Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα γ=α β με τον xx Γ) Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα δ= 5β 7α με τον xx ΒΗ/108 Αν α= ( xy, ) και β= ( x+, y) βρείτε τα xy, ώστε α // β και α = 5 ΒΗ/109 Α) Βρείτε το x ώστε τα σημεία ( x,1) Γ (7, x) να είναι συνευθειακά Α, ( 4, x 1) Β + και Κ Αδαμόπουλος

18 Μαθηματικά Β Λυκείου B(-,-4) Δ A(6,6) Κ Διανύσματα Β) Αν Ο (0,0), ΟΑ = ( 1,9), ΟΒ = (5, ), ΟΓ = ( x,5) βρείτε το x ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά ΒΗ/110 Να βρεθεί η γωνία φ την οπoία σχηματίζει το διάνυσμα ΑΒ όπου Α(,4) και Β(4,), με τον άξονα xx ' Α και ( ) Όμοια αν (,0) Β 0, α = x + 1, β= x,x+ 1, τότε: ΒΗ/111 Αν ( ) και ( ) Α) Δείξτε ότι τα α και β δεν είναι συγγραμμικά Β) Αν x = βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το α με τον άξονα xx Γ) Αν x = 1 γράψτε το διάνυσμα γ= i ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β Δ) Αν x = βρείτε ένα διάνυσμα αντίρροπο του α με μέτρο 5 ΒΗ/11 Αν Α ( µ,) και (, ) διάνυσμα ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα xx ΒΗ/11 Αν ( 1,1) Β µ µ βρείτε το µ ώστε το γωνία 7 4 Α και Β (5,1) βρείτε σημείο Μ ώστε ΜΑ = ΜΒ και το διάνυσμα ΑΜ π να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 4 ΒΗ/114 Να βρεθεί το σημείο Κ που να ισαπέχει από τα σημεία: Α(,), Β(0,4) και από τα Γ(1,-4), Δ(-,) ΒΗ/115 Δίνονται τα σημεία Α(1,0), Β(,), Γ(-,-1) και Μ τέτοιο 1 ώστε ΟΜ = ΑΒ + ΑΓ με Ο (0,0) 4 α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ β) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παρ/μο Α ΒΗ/116 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε ώστε: Α = 5 ΑΒ + ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ + 5 ΑΓ Γράψτε το Ε ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ Β Γ και ΑΓ, και δείξτε ότι Ε // ΒΓ ΒΗ/117 Αν στο διπλανό σχήμα το Μ είναι το μέσο της πλευράς ΑΓ και το Κ μέσο της διαμέσου ΒΜ, βρείτε τις συντεταγμένες του Κ και του ΑΚ π Μ Ε Κ Αδαμόπουλος Γ(4,)

19 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/118 Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α ( 11, ), Β( 6, 10), Γ( 6, 5) και ( 1, 7) είναι τετράγωνο ΒΗ/119 Βρείτε το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ με Α(6,4), Β(0,) και Γ(7,1) ΒΗ/10 Αν τα σημεία Κ(4,5), Λ(,8) και Μ(,6) είναι τα μέσα των πλευρών ΑB, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, τριγώνου ΑΒΓ να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του ΒΗ/11 Αν τα διανύσματα α= ( x,1), β= ( y + 4y 5, x+ ) είναι συγγραμμικά, να βρείτε τους xy, ΒΗ/1 Α) Αν Α (, ), Β( 4, 1) βρείτε σημείο Γ του άξονα xx ώστε τα ΑΒΓ,, να είναι συνευθειακά Β)Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ = ( x+ 1, x), ΟΒ = (x 1, x 1) και ΟΓ = ( 1,) Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε x ΒΗ/1 Αν ( 1, ), ΑΜ η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, το μέσο της ΑΜ και ισχύει ΑΕ = ΕΓ τότε: Α) βρείτε τα, Ε Β) Δείξτε ότι τα Β,, Ε είναι συνευθειακά Α, Β ( 1, 6), Γ ( 7,) ΒΗ/14 Αν ΑΒΓ παραλληλόγραμμο, Α( 1, ), (,), το Β ανήκει στον xx και το το κέντρο Κ του παραλληλογράμμου ανήκει στον yy, βρείτε τα ΒΚΓ,, ΒΗ/15 Αν Α ( x, y) ( 4x y,y) Β + βρείτε τα xy, ώστε το διάνυσμα ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 15 και να έχει μέτρο ΒΗ/16 Αν Α ( µ 1,0) και Β (,µ ) βρείτε το διάνυσμα α= ( µλ, ) που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία π και είναι παράλληλο στο ΑΒ 4 ΒΗ/17 Έστω = (1, ) σχηματίζει με τον άξονα συντεταγμένες του διανύσματος α και β = (, 1) και u = λ α + κ β Αν το u π x' x γωνία και έχει μέτρο 10,να βρείτε τις 4 Κ Αδαμόπουλος

20 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/18 Bρείτε διάνυσμα u που έχει μέτρο και σχηματίζει με π τον άξονα xx γωνία 4 να ΒΗ/19 Αν Α (,1) βρείτε σημείο Β τέτοιο που το διάνυσμα ΑΒ π έχει μέτρο 4 και να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 4 ΒΗ/10 Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(-1,0), Γ(4,-5) και Δ(6,) Να γράψετε το διάνυσμα ΑΒ ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων Γ και ΒΓ ΒΗ/11 Αν α = (1, ), β = (,1) και ΟΑ = α β, ΟΒ = α β, ΟΓ = x α + β, υπολογίστε το x R ώστε τα Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά ΒΗ/1 Aν Α(1,1), Β(,), Γ(1,), Δ(,) βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ ΒΗ/1 Αν Α(-,-1), Β(-5,-), Γ(-4,7) και Δ(-,) να αποδειχθεί ότι οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ τέμνονται και να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής τους ΒΗ/14 Βρείτε το διάνυσμα α= ( 4, α ) ΒΗ/15Αν Α ( 1, 0), Β(, ), ( 0,1) ισχύει: v= ΑΒ v ΑΓ Γ βρείτε το διάνυσμα v ώστε να ΒΗ/16 Aποδείξτε το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιώντας συντεταγμένες σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ΒΗ/17 Aποδείξτε ότι οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες ΒΗ/18 Θεωρώ τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α Στην πλευρά ΔΓ θεωρώ σημείο Ε και στην πλευρά ΔΑ σημείο Ζ ώστε αποδείξετε ότι ΑΕ = ΓΖ α ΔΕ = ΔΖ = Να ΒH/19Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι ίσο και παράλληλο με το μισό της τρίτης πλευράς Κ Αδαμόπουλος

21 Μαθηματικά Β Λυκείου Διανύσματα ΒΗ/140 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ε, Ζ,Η τα μέσα των πλευρών ΒΓ,ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, αποδείξτε ότι το ΗΖΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο ΒH/141Δείξτε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με τo μισό της υποτείνουσας Κ Αδαμόπουλος

22 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο Εσωτερικό γινόμενο Μαζεύω τα σύνεργά μου: όραση, ακοή, γέψη, όσφρηση, αφή, μυαλό, βράδιασε πια, τελεύει το μεροκάματο, γυρίζω σαν τον τυφλοπόντικα σπίτι μου, στο χώμα Όχι γιατί κουράστηκα να δουλεύω, δεν κουράστηκα, μα ο ήλιος βασίλεψε N Kαζαντζάκης ΒΘ/01Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με α=, ( ), β= αβ, = 60 Να βρείτε τα α β α β και ( α β) ( α+β) ΒΘ/0Δίνονται τα διανύσματα αβ, του επιπέδου τέτοια που α= β=5 π και ( αβ, ) = Να βρείτε το 5α+ 4β αβ είναι μοναδιαία διανύσματα και τα διανύσματα α+ β είναι κάθετα μεταξύ τους, να βρεθεί η γεωμ γωνία των αβ, π και β= και αβ,, =, βρείτε το α β π ΒΘ/0Αν, και 5α 4β ΒΘ/04Αν α= ΒΘ/05Αν α= 4 και β= ( ) ( ), και αβ =, βρείτε το ( ) συν α+β, α β ΒΘ/06 Δίνονται τα διανύσματα αβ, για τα οποία ισχύει ότι β= 7, 5π ( αβ, ) = και α β= 9 Α) Να δείξετε ότι α= 6 Β) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα: ( α+β) ( α β) και ( α β ) ΒΘ/07 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα αβ, π, με ( αβ, ) = Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ν= α+ 4β και w =α β και γ=α+ 5β, δ=β 5α, να δειχθεί ότι τα ΒΘ/08Αν α=β, α β διανύσματα γ και δ έχουν τα ίδια μέτρα και είναι μεταξύ τους κάθετα και α β+β γ = δείξτε ότι α=β=γ ΒΘ/09Α) Αν α=β=γ= 1 και Κ Αδαμόπουλος

23 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) β γ Β) Αν αβγ,, μη μηδενικά διανύσματα, α = = να δείξετε ότι: β= α και β γ Εσωτερικό γινόμενο και α+β+γ= 0 ΒΘ/10Για τα μοναδιαία διανύσματα αβγ,, ισχύει : α+β γ= 0 ( ) Να βρεθούν οι γωνίες αβ ( ), και αγ, ΒΘ/11Δίνονται τα διανύσματα αβ, με α=β= 1 που σχηματίζουν π γωνία θ= Βρείτε τη γωνία φ των x = α β και y =α β ΒΘ/1Έστω αβ, διανύσματα ώστε: α= Βρείτε τη γωνία α, α+ β, α, β = ΒΘ/1 A) Αν α= 1 ( ) π, β= 1 και α β = π και αβ, = βρείτε το β π B) Αν ( αβ, ) =, ( α+β) ( α β) και α+β = 7 υπολογίστε τα α, β ΒΘ/14A) Aν α=, β= 1 και α β = βρείτε το α β B) Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου τέτοια που α β, ( α+ β ) ( α β ) και α β = 4 Βρείτε τα α και β ΒΘ/15Έστω α, β δύο διανύσματα με α=β και α β α β α+ β και α β = α+ β Αποδείξτε ότι ( ) ( ) ΒΘ/16Αν Α) α, β δυο μη μηδενικά διανύσματα, να αποδείξετε ότι : 1 1 α+β + α β = α + β Β) α β= α+β α β 4 4 β= α και α+β = α δείξτε ότι α β α+β α β και α β = βρείτε τα α ΒΘ/17 Αν ΒΘ/18 Α) Αν α β και β, ( ) ( ) Κ Αδαμόπουλος

24 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ( ) π Β) Αν αβ, = τα α και β και α β = 19 19, ( α β) ( α+ β) Εσωτερικό γινόμενο υπολογίστε ΒΘ/19 Δίνονται τα διανύσματα αβ, π για τα οποία ισχύουν: ( αβ, ) =, α( α+ β ) = 8 και α α+ 15= 5α 1 Α) Να δείξετε ότι α= 4 Β) Να δείξετε ότι α β= 6 Γ) Να δείξετε ότι β= Δ) Βρείτε το εσ γινόμενο: ( α+ β) ( α β) ΒΘ/0Αν α = και β = 6, να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v = α + λβ και u = α λβ να είναι κάθετα π ΒΘ/1Αν α=β= 1 και ( αβ, ) = βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων u = α+ 4β και v =α β ΒΘ/Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύουν: π α = β =1 και ( α+β, α ) = Βρείτε τη γωνία ( αβ, ) ΒΘ/Αν α=, β= και ( αβ, ) = 45, βρείτε την ( αα β, ) ΒΘ/4Αν α = 1, β = και γ = και α+β γ= 0 να δείξετε ότι : α) α β β γ+γ α = 1 και β) β= α και γ= α ΒΘ/5Για τα μοναδιαία διανύσματα αβγ,, αποδείξτε ότι : 1 ( ) α β+β γ+γ α= α+β+γ ΒΘ/6Αν τα διανύσματα αβγ,, είναι μοναδιαία και μη συγγραμμικά και γ ( α+β), να δείξετε ότι ( γ, α ) + ( γβ, ) =π γ α β ΒΘ/7Αν β ( α+γ) και ( ) ΒΘ/8Δίνονται τα διανύσματα αβ, με α= δείξτε ότι α ( β+γ), β= π και ( αβ, ) = Να βρείτε το διάνυσμα x ώστε να ισχύουν: x //( α β) και α ( β+x) Κ Αδαμόπουλος

25 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΘ/9Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα, Εσωτερικό γινόμενο αβ ισχύει α β = α+β, να αποδειχθεί ότι α β και αντίστροφα ΒΘ/0Έστω αβγ,, μη μηδενικά συγγραμμικά διανύσματα Αν ισχύει: α β =β γ να αποδειχθεί ότι α=γ BΘ/1 Α) Αν α= (1,1) και β= (,1) να βρείτε τα: α β, ( α β) και ( α+β )( α β) Β) Αν α= (, ), β= (,8) και γ= (,) υπολογίστε τα α β, β γ και τα ( α β ) γ, α ( β γ ) Τι παρατηρείτε; α= µ 4,1+ µ β= µ, µ είναι ΒΘ/Αν τα διανύσματα ( ), ( ) κάθετα, να προσδιορίσετε τον µ ΒΘ/Έστω τα διανύσματα α= ( 1, ) και β= (4,) Να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα λα και α + λβ να είναι κάθετα και ΒΘ/4Α) Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο α= (1, ) έχουν μέτρο 40 Β) Να βρείτε τα διανύσματα v που είναι κάθετα στο α= (4,) και έχουν μέτρο 10 ΒΘ/5 Αν α= (,1) βρες διάνυσμα u ώστε u α και u = 0 ΒΘ/6 Α) Αν α= (,7) και β= (,5) βρείτε τη γωνία α, β Β) Αν α= ( 1,) και β= ( 1, 8) βρείτε τη γωνία α,α+β Γ) Αν α= (, ) και β= (, 1) βρείτε τη γωνία α, β ΒΘ/7Έστω α= (,1) και β= ( 1, ) βρείτε τη γωνία α, β και το συν α+β,α β ΒΘ/8 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα αβ,, για τα οποία π ισχύει: α β=α και ( αβ, ) = Α) Να δείξετε ότι β= α Κ Αδαμόπουλος

26 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο Β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ τα v = α+β και w = λα β είναι κάθετα ΒΘ/9 Δίνονται τα αβ, π, με α, β =, ώστε α ( α+β ) = και α ( α+ 4β ) = 4 Α) Να δείξετε ότι α= 4 και β= 5 Β) Να βρείτε το α+ β Γ) Να βρείτε το λ ώστε ( α+β) ( α+λβ ) = 4 Δ) Βρείτε το µ, ώστε τα ν = µα + β και w =α+ β να είναι κάθετα ΒΘ/40 Δίνονται τα διανύσματα αβγ,,, για τα οποία ισχύουν: α β+ 4γ= 0, α= β= 6 και α β= 54 Α) Να δείξετε ότι γ= 4 Β) Να βρείτε το α γ β γ ΒΘ/41 Αν α= v καθώς και τις γωνίες, β=, ( ) α,v ( ) π αβ, = και v, β ( ) και v = α+ β, να βρείτε το ΒΘ/4 Α) Αν Α(1, ), Β(, 1), Γ (,1) βρείτε τη γωνία Β του τριγώνου ΑΒΓ Β) Όμοια αν Α(4,), Β(1,), Γ (6,7) βρείτε τη γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ ΒΘ/4Δίνονται τα διανύσματα α= ( 1,1), β= (,1) και γ = λα + µ β με λ, µ R Αν α γ και γ= 6 βρείτε τα λ και µ ΒΘ/44 A) Αποδείξτε με τη βοήθεια του εσωτερικού γινομένου το Πυθαγόρειο Θεώρημα Α 1,1, Β, λ+, Γ λ, βρείτε το λ ώστε το τρίγωνο B)Αν ( ) ( ) ( ) ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Α Για τις παραπάνω τιμές του λ δείξτε ότι το τρίγωνο είναι και ισοσκελές ΒΘ/45Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ = ( 1, 7) και ΓΒ = (, ) Α) Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Β) Υπολογίστε το μήκος της διαμέσου ΑΔ ΒΘ/46Αν ΑΓ = (1, ) και Β = (5, 1) οι διαγώνιες ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να υπολογίσετε το συνα Κ Αδαμόπουλος

27 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Α Δ Β Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/47Σε τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσους ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ δείξτε ότι ισχύει: Α ΒΓ+ΒΕ ΓΑ+ΓΖ ΑΒ=0 ΒΘ/48Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνονται τα σημεία Α(1,1) και Β(4,) Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα x'x τέτοιο που το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ BΘ/49Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, του οποίου οι διάμεσοι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται κάθετα Bρείτε το συνa, Α = 1 και BΘ/50Σ ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = π Α= Αν η γωνία των διαγωνίων του, ΑΓ και ΒΔ είναι θ να δειχθεί ότι: 6 7 συνθ = 7 BΘ/51 Aν αβγ,, μη μηδενικά διανύσματα, α=β=γ και α+β+γ=0 α β γ να αποδείξετε ότι: ( ) BΘ/5 Αν ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο ( ) ΑΒ, ΑΓ πάρω αντίστοιχα τα σημεία Ε, ώστε ( ) ΑΒ = ΑΓ και στις πλευρές του 1 Α = ΑΒ και 1 ΑΕ = ΑΓ, να δείξετε ότι: ΒΕ = Γ ΒΘ/5Αποδείξτε ότι αν δύο διάμεσοι ενός τριγώνου είναι ίσες τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές BΘ/54 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ του επιπέδου του Αν ισχύει ΓΜ + ΓΑ ΓΒ = ΓΑ + ΓΒ ΓΜ να αποδείξετε ότι ΜΑ ΜΒ ΒΘ/55 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ = Αν Α το ύψος του υπολογίστε τα: Α) ΑΒ ΑΓ Β) ΒΑ ΑΓ Γ) Α Δ) ΑΒ Α Ε) ΓΑ Α ΣΤ) Α ( ΑΓ ΑΒ) ΒΘ/56 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓ πλευράς 1 και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του Υπολογίστε τα: Α Δ Ο Γ Β Γ Κ Αδαμόπουλος

28 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Α) ΑΓ Γ) ΑΒ ΓΑ Ε) ΑΟ ΒΓ Ζ) ΑΒ Γ Β) ΑΒ ΑΓ Δ) ΑΒ ΓΒ ΣΤ) Α ΒΓ Η) Α Γ Εσωτερικό γινόμενο Ανάλυση σε συνιστώσες ΒΘ/57Αναλύστε το διάνυσμα β = (,) σε δύο συνιστώσες κάθετες μεταξύ τους και έτσι που η μία να έχει τη διεύθυνση του α = (1, ) ΒΘ/58Αναλύστε το διάνυσμα γ = (5,10) σε δυο συνιστώσες, μιας παράλληλης στο α = ( 1,) και μιας κάθετης προς αυτό ΒΘ/59Δίνονται τα διανύσματα α = (1, ), = ( 4, 1) β και = (,6) Αναλύσετε το u σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α και η άλλη κάθετη στο β ΒΘ/60 Δίνονται τα διανύσματα = (,) ΒΘ/6 Aν α= (,5) u α, β = (,1) Aναλύστε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α ΒΘ/61 Δίνονται τα διανύσματα α = (,) και β = ( 1, 4) Να αναλυθεί το α σε δύο συνιστώσες α1, α ώστε α // 1 ( α β ) και α β ΒΘ/6 Aν α= (, 1) και β= (1, ), να βρεθούν δύο διανύσματα γ και δ τέτοια που α=γ+δ, δ// β και α γ, β= ( 1, ) και γ= (1, 5) να αναλύσετε το γ σε δύο συνιστώσες έτσι που η μια να είναι κάθετη στο α και η άλλη κάθετη στο β 1 ΒΘ/64 Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ώστε α =, β =, 5 π π γ = 10, ( α, γ ) = και ( β, γ ) = Αναλύστε το γ σε δύο συνιστώσες κατά 6 τις διευθύνσεις των α και β π π ΒΘ/65Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ με α, β = και γ, α = Αν α =, β = 5 και γ = 8, να εκφράσετε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β Κ Αδαμόπουλος

29 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/66Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ με: α =, β = 4, γ = 5, π π α, γ = και γ, β = Να αναλύσετε το γ σε δύο συνιστώσες 6 παράλληλες προς τα α και β ΒΘ/67 Α) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι (1, ) Α, Β ( 1, ), Γ (, 4) και ΑΜ η διάμεσός του υπολογίστε τη γωνία θ = ΒΑΜ Β)Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ =, ΑΓ = 4 και ΒΑΓ ˆ = 60 και ΒΜ η διάμεσός του να βρείτε το συνθ όπου ˆθ = ΑΒΜ ΒΘ/68Αν α=β= 1 και ( α+ 5β) ( α+β) : Α) Βρείτε το α β Β) βρείτε τη γωνία ( αβ, ) Γ) Αν u =α+ β και v =α+β βρείτε τη γωνία ( uv, ) Δ) Αν γ// ( α β ) και α ( α γ ) γράψτε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των αβ, ΒΘ/69Σε επίπεδο δίνονται τα σταθερά σημεία Ο,Α έτσι που ΟΑ = Να βρεθεί ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία είναι ΟΜ ΟΜ ΟΑ = 7 ( ) ΒΘ/70Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΑΒ ΑΜ + ΑΓ ΑΜ = 0 ΒΘ/71Δίνονται τα σταθερά σημεία ΑΒ, με ΑΒ = 4 Βρείτε το γεωμ τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΜΑ ΜΒ = 5 ΒΘ/7Δίνονται τα σταθερά σημεία ΑΒ, με ΑΒ = Βρείτε το γεωμ τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΑΜ ΑΒ = 9 ΒΘ/7 Αν Α διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ αν ισχύει: ΑΜ = Α ΑΜ ΑΒ ΑΓ ΒΘ/74 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ( ΑΒ ) = 6 σημείου Μ αν ΜΑ ΜΓ = 7 + ΜΑ ΒΓ Βρείτε το γεωμ τόπο του Κ Αδαμόπουλος

30 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/75Δίνονται τα διανύσματα α= (,1) και β= (1, ) Να βρείτε το διάνυσμα γ που ικανοποιεί τη σχέση: γ+ ( γ α) β=α ΒΘ/76Αν για τα διανύσματα α, β είναι α = 1, β = 4 και βρείτε διάνυσμα γ ώστε γ //( α β ) και α ( β γ ) ΒΘ/77 Αν α = β = α+β δείξτε ότι α β = α ΒΘ/78Να δειχθεί ότι το διάνυσμα διχοτόμο της γωνίας των διανυσμάτων α και β π α, β =, α β + είναι συγγραμμικό με τη α β α ΒΘ/79A)Δίνονται τα διανύσματα 0 = α Να αποδειχθεί ότι α γ B) Δείξτε ότι το διάνυσμα u = ( α β) γ ( α γ) β είναι κάθετο στο α π ΒΘ/80Αν α=, β= 1και ( αβ, ) = : Α) Δείξτε ότι α β 0 Β) Βρείτε το διάνυσμα x αν: x //( α β) και β ( α x) Γ) Βρείτε τo λ αν τα διανύσματα x + α και α + λβ είναι κάθετα ΒΘ/81Aν για τα διανύσματα αβ, ισχύουν α = 1, β = και ( α+β) ( α β ) = 1, τότε: Α) Να αποδείξετε ότι α β = 1 Β) Βρείτε τη γωνία ( αβ, ) Γ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α + β και 5α β είναι κάθετα Δ) Βρείτε την προβολή του α + β πάνω στο α ΒΘ/8 Α) Aν u = (,1) βρείτε τα διανύσματα v ώστε u v= και v = Β) Aν α= ( 1,1) και β= (, 1) βρείτε το διάνυσμα u ώστε u α= 5 και u β=1 ( α β ) α, β και γ β Κ Αδαμόπουλος

31 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο ΒΘ/8 Αν αβ, κάθετα μη μηδενικά διανύσματα και α= β βρείτε τα xy, ώστε: // ( x α β ), y ( α β ) και x y =α β ΒΘ/84 ( ) Α) Αν α= 1, β= και αβ, = 60 βρείτε το διάνυσμα v ώστε v α= και v β= 4 (Θέστε v = κ α+λ β ) ( ) π Β) Αν α=, β= και αβ, = βρείτε το διάνυσμα v ώστε 4 v α=4 και v β= 5 α=,1 βρες το v ώστε α v = και β v = 1 Γ) Αν ( ) και β= ( 1, ) ΒΘ/85Αν ισχύει η σχέση: + ( x α ) β = γ x και α β +1 0 να α γ αποδειχθεί ότι x α = και να βρεθεί το διάνυσμα x 1+ α β α= α, α 1 και α // xx : ΒΘ/86 Αν ( ) Α) Βρείτε τις συντεταγμένες του α Β) Αν α= (, 4) να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο γ= ( 1, ) Γ) Βρείτε τα v ώστε v α και v = 5 ΒΘ/87 Αν α= 1 και β = α β 1 δείξτε ότι β= α π ΒΘ/88Aν α =, β = 1 και ( αβ, ) = : 4 Α) Βρείτε το μέτρο του διανύσματος v =α β Β) Βρείτε το διάνυσμα x αν ( x + α) β και ( x +β) α Γ) Δείξτε ότι x +α = v π ΒΘ/89 Αν α+β = α και ( α+β, α ) = δείξτε ότι α β και 4 α = β ΒΘ/90 Aν α =, β = και ( α+ 7β) ( 6α+β) : Α) Βρείτε τη γωνία ( αβ, ) Β) Αν γ = λα + β και γ β: α) βρείτε το λ Κ Αδαμόπουλος

32 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) β) βρείτε το γ και γ) βρείτε τη γωνία ( αγ, ) ΒΘ/91 Aν α= ( α,4) και β= ( xy, ) με β= 5 Β Δ Εσωτερικό γινόμενο και το β α σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 45 Α) Δείξτε ότι α= 5 Β) Βρείτε το β Γ) Αν β= (1, ) να δείξετε ότι α // β Δ) Να γράψετε το γ= (, ) ως γραμμικό συνδυασμό των αβ, ΒΘ/9Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ Στην πλευρά του ΑΒ παίρνουμε σημείο Δ ώστε Α = ΑΒ και στην πλευρά ΒΓ σημείο Ε ώστε 1 ΒΕ = ΒΓ Α) Εκφράστε τα διανύσματα 5 ΒΓ, ΑΕ, Γ συναρτήσει των ΑΒ = α και ΑΓ = β Β) Αποδείξτε ότι ΑΕ Γ ΒΘ/9Για τα διανύσματα α, β ισχύουν: α + β = (4, ) και α β = ( 7,8) Α) Δείξτε ότι α = ( 1,) και β = (, ) Β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα κ α + β και α + β να είναι κάθετα Γ) Αναλύστε το διάνυσμα γ = (, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α ( ο θ Πανελληνίων 000) δίνεται ότι α= 1, β= και ΒΘ/94Για τα διανύσματα αβ, π αβ, = Αν u = α+ β, v =α β Να υπολογίσετε: Α το εσωτερικό γινόμενο α β Β τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v Γ το εσωτερικό γινόμενο u v Δ το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v ( ο θέμα Πανελληνίων 001) ΒΘ/95Δίνονται τα διανύσματα α = (1, ) και β = (,) Α Βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ = 5α β Ε Α Κ Αδαμόπουλος Γ

33 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Εσωτερικό γινόμενο Β Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το γ με τον άξονα xx ' υ= κ κκ, Γ Βρείτε τον αριθμό k R, ώστε το διάνυσμα ( ) να είναι κάθετο στο α ( ο θέμα Πανελληνίων 004) Κ Αδαμόπουλος

34 Eρωτήσεις Σ-Λ στα διανύσματα Xαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) 1 Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α,Β,Γείναι συνευθειακά Αν α = β, τότε α= β Αν ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ =0, τότε ΑΔ = 0 4 Αν α = λβ, τότε α / /β 5 Αν ΑΒ = ΒΑ, τότε ΑΒ = 0 6 Τα διανύσματα ΑΒ και ΟΑ ΟΒ είναι ίσα 7 Αν u = ( x, y 1 1) και v= ( x 1, y 1 ), τότε u = v 8 Το διάνυσμα α = (, ) είναι παράλληλο με το β = (, ) 9 Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα 10 Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετους συντελεστές διευθύνσεως 11 Αν α= β, τότε ( α,β ) + ( β,α ) =π 1 Αν το α+ β είναι συγγραμμικό του α, τότε το α+ β είναι συγγραμ- μικό του β 1 Αν α+ β = α + β, τότε τα α και β είναι πάντα συγγραμμικά 14 Αν γ = κα + λβ και κ,λ, τότε τα α,β,γ είναι συγγραμμικά 15 Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οxy το διάνυσμα ΟΑ = λi+ λ j, λ βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας xο y 16 Αν α β>0, τότε ( α,β ) είναι οξεία 17 Το ( αβ ) γ παριστάνει διάνυσμα 18 Το ( λ α) β, λ παριστάνει διάνυσμα 19 Το ( αβ ) ( λγ ) λ παριστάνει διάνυσμα 0 To ( α β) ( γ δ) είναι διάνυσμα 1 Για οποιαδήποτε διανύσματα α,β ισχύει: α+ β α + β Για τα ομόρροπα διανύσματα α,β ισχύει: α + β = α+ β Το διάνυσμα λ α, λ και λ < 0 είναι συγγραμμικό του α 4 Αν λ α=0, λ τότε οπωσδήποτε α = 0 5 Η ισότητα λ α = λ α ισχύει για κάθε λ

35 6 Αν κ α= λ α, τότε κ = λ για κάθε διάνυσμα α 7 Ισχύει η ισοδυναμία: ΑΜ = ΜΒ Μ μέσο του ΑΒ 8 Αν κα = λβ, κ,λ και α,β μη συγγραμμικά, τότε: κ = λ= 0 9 Αν κα + λβ = 0 και α,β μη συγγραμμικά, τότε κ = λ= 0 0 Με πλευρές οποιαδήποτε διανύσματα α,β,γ τέτοια ώστε α+ β+ γ=0 ορίζεται τρίγωνο ΑΒ + ΑΓ 1 Αν ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε ΑΜ = Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του Αν ΜΑ = ΜΒ όπου Α,Β σταθερά σημεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθετη ευθεία του ΑΒ 4 α = α 5 α = 0 α= 0 6 Μπορούμε να γράφουμε: α ( βγ ) = ( αβ ) γ 7 ( ) α β = α β Αν α = (,5) και β =, τότε α β 5 π 9 Αν α β 0τότε είναι πάντα ( α,β ) 40 Τα διανύσματα α = i+ j και β = + i j είναι κάθετα 41 Δυο διανύσματα με ίσους συντελεστές διευθύνσεως είναι ομόρροπα 4 Αν α = ( 1, ), β = ( 1, ) και γ = (, 6) είναι α β= γ 4 Τα ζεύγη α,β και α, βτων διανυσμάτων έχουν ίσα εσωτερικά γινόμενα π 44 Αν είναι ( α,β ) >, τότε α β< 0 45 Όταν οι συντελεστές δυο διανυσμάτων είναι αντίστροφοι αριθμοί τότε τα διανύσματα είναι κάθετα 46 Αν α β= αγ τότε είναι β= γ 47Αν ΑΒ = ΒΑ τότε ΑΒ = 0 48 α β αν και μόνο αν α = λβ με λ> 0

36 49 α β αν και μόνο αν α+β = α + β 50 Αν ΑΒ = λ ΑΓ, με λ τότε τα ΑΒΓ,, είναι συνευθειακά 51 Ισχύει: α+β = α + β 5 Ισχύει: λ α=λ β α=β για κάθε λ 5 Ισχύει: Αν ΑΒ = Γ τότε ΑΒ = // Γ 54 Τα διανύσματα u= ( xy, ) και v = ( x, y) 55 Αν v = ( x,0), τότε v// xx 56 Aν α = β α+β α β τότε ( ) ( ) είναι παράλληλα 57 Αν ΑΜ = ΜΒ το Μ είναι πάντα το μέσο του ΑΒ 58 Ισχύει: α = α είναι αριθμός 59 Το ( α+β) γ 60 α β = α β για κάθε αβ, 61 α β = ( α β) ( α+β) Alfons Mucha

37 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ευθεία Eυθεία " Όσοι δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν την ουσία και την ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman ΒΙ/01 α) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(1,) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = β) Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Α(1,) ΒΙ/0Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε και η γωνία φ που σχηματίζει με τον άξονα x' x όταν : α) Διέρχεται από τα σημεία Α(,-1) και Β(,5) β) Διέρχεται από τα σημεία Δ(-,7) και Ε(,) γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (1, ) ΒΙ/0 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,1) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = ΒΙ/04Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α, και είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = ( 1, ) ( ) ΒΙ/05Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α, 1 και είναι παράλληλη στην ευθεία α : y = x 1 ( ) ΒΙ/06Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(5,) και σχηματίζει με τον άξονα xx ' γωνία π / ΒΙ/07Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (1,1) και Β (4,) ΒΙ/08 Δίνεται το σημείο (,1) Α και η ευθεία ( ε ): y = x+ 1 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το Α και: Α) είναι παράλληλη στην ( ε ) Β) είναι κάθετη στην ( ε ) Γ) είναι κάθετη στον άξονα yy π Δ) σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία ω= ˆ 4 Ε) σχηματίζει με τον άξονα yy γωνία ˆ π θ= 6 ΣΤ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων Κ Αδαμόπουλος

38 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/09 A) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α (1, ) και είναι παράλληλη στον άξονα x' x B) Bρείτε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία: ε : x y+ 4= 0 με τον άξονα xx Α 4, Ευθεία Γ) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ( ) και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία π 4 ΒΙ/10Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(,-) και είναι παράλληλη στον άξονα yy ' ΒΙ/11Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το (,) Α και είναι κάθετη στο τμήμα ΑΒ με Β(-1,) λ+ λ 1 ΒΙ/1Βρείτε το λ ώστε οι ε : y = x 1 και δ : y = x+ 4 να είναι παράλληλες λ 1 ΒΙ/1Α) Βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε : y = x 5 και λ δ : y = x+ 1να είναι κάθετες Β) Να βρεθούν οι τιμές του µ ώστε οι ευθείες ε : y ( ) x 1 1 = µ + και : µ ε y = x+µ, να είναι κάθετες ΒΙ/14 Δίνονται τα σημεία (,) Α, Β (8,1) και Γ ( 10,6) Α) Να δείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου Β) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ Γ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους Α Δ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΒΜ Ε) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ ΒΙ/15Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(-,), Β(1,5) και Γ(,) Βρείτε τις εξισώσεις των υψών του ΒΙ/16Αν Α(,-), Β(4,) και Γ(,5) βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ καθώς και της διαμέσου ΑΜ 1 ΒΙ/17Αν ε : y = x βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(,) και είναι κάθετη στην ε Στην συνέχεια προσδιορίστε το σημείο τομής τους Κ Αδαμόπουλος

39 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/18Δίνεται η ευθεία : x y 1 0 Α, Βρείτε το συμμετρικό του Α με άξονα συμμετρίας την ε ε + = και το σημείο ( ) ΒΙ/19Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ ( 4,4) πάνω στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α ( 1,1) και Β (,) Βρείτε επίσης το συμμετρικό του Ρ ως προς την ευθεία ΑΒ ΒΙ/0Βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ με Α ( 1, ) και Β(, ) Ευθεία ΒΙ/1Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ τα οποία ισαπέχουν από τα σημεία : Α(0,) και Β(,-1) ΒΙ/Σε τρίγωνο δίνονται οι κορυφές του Α(,1) και Β(4,-1) Αν το ορθόκεντρό του είναι το Η(,5), να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του ΒΙ/ Δίνονται τα σημεία (,) Α, Β (8,1) και Γ ( 10,6) Α) Να δείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου Β) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ Γ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους Α Δ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΒΜ Ε) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ ΒΙ/4Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,1), Β(-1,-1) και Γ(-,) Να βρεθούν οι εξισώσεις του ύψους ΒΔ, της διαμέσου ΑΜ και της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ ΒΙ/5Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(,5), Β(5,) και Γ(,-1) Βρείτε τα μέσα των πλευρών του και τις εξισώσεις των διαμέσων του ΒΙ/6Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το Α(,1) και είναι κάθετη στο διάνυσμα δ = (, 1) Ποιο σημείο αυτής της ευθείας είναι πλησιέστερο στο Ο (0,0); ΒΙ/7Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα u = (1, 4) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε Ο 0,0 Βρείτε το σημείο της ευθείας ε που είναι πλησιέστερο στο σημείο ( ) ΒΙ/8Βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το Α(-1,-) και είναι κάθετη στην ευθεία α : y = x 1 Στη συνέχεια βρείτε το σημείο Σ της ευθείας που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το Ο (0,0) Κ Αδαμόπουλος

40 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/9Έστω Α(-,-1) και Β(,) κορυφές παραλ/μου ΑΒΓΔ και Μ(,0) το σημείο τομής των διαγωνίων του Βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του παραλληλογράμμου ΒΙ/0Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,) Αν οι ευθείες ε : x y = 0 1 και ε :x y =, είναι μεσοκάθετες των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ΒΙ/1Δίνονται οι ε : x+ y 1= 0 και 1 ε : x y = ευθείες και το σημείο Α(4,) Να βρεθεί σημείο Β της ε 1 ώστε η ε να περνά από το μέσο του ΑΒ ΒΙ/Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,) και έστω x y+ = 0 και x y 7= 0 οι εξισώσεις δύο υψών του τριγώνου Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ΒΙ/ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη στην ευθεία ( η ) : y = x+ 014 και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τμ Ευθεία ΒΙ/4Έστω ΑΒΓ παραλληλόγραμμο με σημείο τομής των διαγωνίων του το Κ( 4,) Αν ΑΒ : x y = 0 και ΒΓ :x+ y 4= 0, βρείτε το σημείο καθώς και τις εξισώσεις των Α, Γ ΒΙ/5A) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 6,) και τις εξισώσεις δύο υψών του: υ :x+ y 4= 0 και 1 υ : x y = Βρείτε τις κορυφές Β, Γ B) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 1, ) και τις εξισώσεις δύο διαμέσων του: µ : x y+ 1= 0 και 1 µ : y 1 = Βρείτε τις κορυφές Β, Γ ΒΙ/6 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, Κ (4, 4) είναι το μέσο της ΑΒ, Α : x y+ = 0 το ύψος του και ΑΜ :4x y+ 8= 0 η διάμεσός του Βρείτε τις συντεταγμένες του Α, του Β, την εξίσωση της ΒΓ και τις συντεταγμένες των Μ και Γ ΒΙ/7Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο ΒΙ/8Δίνεται η ευθεία ε:x y+ 6= 0 Βρείτε την συμμετρική της ευθεία ως προς τον άξονα x' x, ως προς τον άξονα yy ' και ως προς το Ο (0,0) Κ Αδαμόπουλος

41 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/9 Δίνεται η ευθεία : x y 1 0 ε + + = Βρείτε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα xx, καθώς και την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι δύο ευθείες Ευθεία ΒΙ/40A) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες : ε : x 7y+ = 0 και η :x+ 4y 1= 0 B) Όμοια για τις ευθείες: ε1 : x y + 6 = 0 και ε :4x y + 5= 0 Γ) Όμοια για τις : ε 1 : ( µ+ 1) x+ y = 0 και ε : ( µ+ ) x µ y 7 = 0 Δ) Όμοια για τις : ε1 : λx ( λ+ 1) y +µ= 0 και ε : (λ+ 1) x+ ( λ 1) y µ= 0 Ε) Όμοια για τις : ε 1 : y =µ x+ 1 και ε : ( µ+ 1) x+ ( µ 1) y = 0 ΒΙ/41Α)Δίνονται οι ευθείες y = x + 1 και y= x Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ(,) και τέμνει αυτές στα Α και Β, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ Β) Δίνονται οι ευθείες ε : x+ y = 0 και 1 ε :x y = Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ (,1) και τέμνει αυτές στα Α και Β, ώστε να ισχύει: ΑΜ = ΜΒ ΒΙ/4Αν η ευθεία ( ε ) : y = (λ ) x+ λ 1 σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 45 : Α) Βρείτε το λ Β) Βρείτε τα σημεία που η ( ε ) τέμνει τους άξονες καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται Γ) Βρείτε ευθεία ( η ) παράλληλη στην ( ε ) που να διέρχεται από το σημείο Α (, ) Ασκήσεις μεταβλητού σημείου ΒΙ/4Α) Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ( λ 1,λ+ 1), λ 1+ t B) Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ t,, t α 1 1 β Γ) Όμοια για το σημείο Ν, αν αβ, και α + β = 1 Ρ + ηµ θ, συν θ, θ Δ) Όμοια για το ( ) Ε) Όμοια για το 4+ Σ, ηµ θ συν θ, θ Κ Αδαμόπουλος

42 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΣΤ) Όμοια για το συν θ Μ συν θ,, θ ΒΙ/44Αν το σημείο Α( αβ, ) ανήκει στην ευθεία ( ε) : x y+ = 0 βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ( α, β+ ) Ποιό σημείο του γεωμετρικού τόπου είναι πλησιέστερο στο Σ (1,1) ; ΒΙ/45Α) Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ( λ 1, λ), 0 Β) Όμοια για το σημείο ( λ,) Γ) Όμοια για το Ρ ( 1, + 1) Ν αν 0 λ 6 λ, λ Δ) Όμοια για το Σ( ηµλ,), λ ΒΙ/46 Aν Ρ( λ, µ + ) και ( µλ, ) Σ λµ,, δύο σημεία: λ Α) δείξτε ότι ο γεωμ τόπος του μέσου Μ του ΡΣ είναι ευθεία έστω ε Β) αποδείξτε ότι ΡΣ ε ΒΙ/47 Αν Α( 1,) λ, Β( λ, λ + 1), (, ) το γεωμ τόπο των σημείων Μ αν ΑΜ = ΒΓ Ευθεία Γ λ λ, λ να βρείτε ΒΙ/48Α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,), Β(5,7) και Γ( λ 1,4λ 1) με λ R α) Δείξτε ότι λ, βρείτε το σημείο G αν GA + GB + GΓ= 0 (βαρύκεντρο του τριγώνου) και δείξτε ότι το G κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο Β) Δίνονται τα σημεία Α(-λ,), Β(-1,λ), Γ(λ,λ) όπου λ Δείξτε ότι: α) Τα σημεία Α,Β,Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λ β) Βρείτε το σημείο G αν GA + GB + GΓ= 0 (βαρύκεντρο) και να αποδείξετε ότι κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο ΒΙ/49Α) Αν το σημείο Α κινείται στην ευθεία : x y 0 ΑΜ + ΑΒ = ΒΜ με (,1) δ + = και Β, βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ Β) Αν το σημείο Α κινείται στην ευθεία δ:x y 1= 0 και ΑΜ = ΑΒ Β 1,, βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ με ( ) ΒΙ/50Α) Αν (1, ) Α και το σημείο Ρ κινείται στην ευθεία ε :x+ y 1= 0 και Μ το μέσο του ΑΡ, βρείτε το γεωμ τόπο του Ρ Β) Αν ΑΒΓ τρίγωνο με Β (1,1), Γ (,5) και Α(κ 1, κ+ ) i) Βρείτε το γεωμ τόπο του Α ii) Aν Μ το μέσο του ΒΓ βρείτε το γεωμ τόπο του βαρύκεντρου G του ΑΒΓ (Ισχύει: Α G = GΜ ) Κ Αδαμόπουλος

43 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ) Αν το σημείο Ρ κινείται στην ευθεία ε : x+ y = 0 και Α(1, 1) βρείτε το γεωμ τόπο του Μ αν ΑΜ = ΑΡ Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας ΒΙ/51 Θεωρώ την εξίσωση ( x y) ( x) y 1 0 µ + + µ + =, µ Α) Δείξτε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε µ Β) Βρείτε τα µ ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα xx Γ) Βρείτε τα µ ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη στον άξονα yy Δ) Βρείτε τα µ ώστε η ευθεία να διέρχεται από το Ο (0,0) Ε) Βρείτε τα µ ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ( η): x y 1= 0 ΒΙ/5 Δίνεται η εξίσωση ( ) x ( ) ( ε ): µ 1 + µ µ+ y+µ 5= 0 Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του µ η εξίσωση παριστάνει ευθεία Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του µ η εξίσωση παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του µ η εξίσωση παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα yy ΒΙ/5Δίνονται οι ευθείες: ε:( µ ) x+ ( µ+ 1) y+ = 0 και ζ : ( µ 1) x (µ 1) y+µ= 0 αντίστοιχα Α) Να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του µ Β) Να βρεθούν οι τιμές του µ, ώστε οι ε και ζ να είναι παράλληλες ΒΙ/54Δίνονται οι ευθείες ε :( µ 1) x+ ( µ 4) y+ = 0 και δ : ( µ ) x+ (µ 7) y+ µ = 0, µ Α) Αποδείξτε ότι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του µ Β) Βρείτε τις τιμές του μ, ώστε οι ευθείες αυτές να είναι κάθετες ΒΙ/55Δίνεται η εξίσωση (λ+ ) x+ (λ ) y (λ + ) = 0, λ Α) Να αποδειχθεί ότι παριστάνει ευθεία για κάθε λ Β) Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες αυτές διέρχονται από το ίδιο σημείο ΒΙ/56 Δίνεται η εξίσωση x+ y+ 7 +λ( x y+ 5) = 0 Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ Β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο και να βρείτε Ευθεία Κ Αδαμόπουλος

44 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/57 Δίνεται η εξίσωση ( ) x ( ) Ευθεία 1 1 y 0 λ +λ+ + λ λ+ λ λ= Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ Β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο και να βρείτε Γ) Να βρείτε το λ, ώστε η ευθεία ε που έχει εξίσωση την παραπάνω, να είναι κάθετη στην ευθεία ( η ): x+ 4y+ = 0 ΒΙ/58Δίνεται η ( α α + ) x+ ( α + α + ) y+ α 1 = 0 Δείξτε ότι: Α) Για κάθε α παριστάνει ευθεία Β) Τέμνει τους άξονες για κάθε α, και Γ) Όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το ίδιο σημείο ΒΙ/59Δίνεται η εξίσωση ( x+ y 5) + λ(x+ y 7) = 0, λ Α) Δείξτε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε λ Β) Δείξτε επίσης ότι η ευθεία με την παραπάνω εξίσωση διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ ΒΙ/60Αν ε: ( λ + λ+ ) x+ (λ + λ+ ) y λ λ 1 = 0 Α) Να δειχθεί ότι για κάθε λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί Β) Δείξτε ότι για κάθε λ η ευθεία τέμνει την ε ':x+ y 5= 0 ΒΙ/61Δείξτε ότι η ( λ λ ) x+ ( λ + λ ) y+λ 9 = 0 είναι μια εξίσωση που παριστάνει ευθεία για κάθε λ Για ποιες τιμές του λ η ευθεία αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων; ΒΙ/6 Δείξτε ότι η ( κ 1) x+ ( λ κλ+ 1) y+κ = 0 είναι μια εξίσωση που παριστάνει ευθεία για κάθε κ, λ Βρείτε τα κ, λ ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το Ο (0,0) και να σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία π 4 ΒΙ/6Δίνεται η εξίσωση ελ : x+ y + λ( x y+ 5) = 0, λ Α) Αποδείξτε ότι η παραπάνω παριστάνει ευθεία για κάθε λ και οι ευθείες ε λ διέρχονται από σταθερό σημείο Β) Βρείτε ποια από τις παραπάνω είναι κάθετη στην ε : x+ y 4= 0 ΒΙ/64Δίνεται η εξίσωση ελ : ( λ ) x+ λy λ + = 0, λ Α) Αποδείξτε ότι η παραπάνω παριστάνει ευθεία για κάθε λ και οι ευθείες ε διέρχονται από σταθερό σημείο λ Κ Αδαμόπουλος

45 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Ευθεία Β) Βρείτε ποια από τις παραπάνω απέχει από το Μ(0,) απόσταση 5 5 ΒΙ/65Δίνονται οι ευθείες ε : ( λ + 1) x+ λy = λ και ε : x+ y = 1 Αποδείξτε ότι : Α) Οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο Ρ για κάθε λ Β) Το σημείο Ρ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση ΒΙ/66Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει: Α) x + y xy x+ y+ = 0 Β) x y x 4y = 0 Γ) x 4xy + 4y 9= 0 Δ) ΒΙ/67Αποδείξτε ότι η εξίσωση ευθείες κάθετες x xy y x y = 0 y xy x = παριστάνει δύο ΒΙ/68Αποδείξτε ότι το σύνολο των σημείων ( xy, ) Μ τέτοια που y kxy x = 0, k R παριστάνει δύο ευθείες κάθετες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ΒΙ/69Αποδείξτε ότι η εξίσωση x + xy y + x + y + 1= 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους ΒΙ/70Αποδείξτε ότι η εξίσωση δύο ευθείες x y x y = 0 παριστάνει ΒΙ/71Δείξτε ότι η εξίσωση 6x xy y = 0 παριστάνει δύο ευθείες και βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν ΒΙ/7Δείξτε ότι η εξίσωση x xy 6y x + 14y 4 = 0 παριστάνει δύο ευθείες και βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν BΙ/7Δίνεται η εξίσωση x + y + 7xy + x y 1= 0 Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δυο ευθείες και να βρείτε την οξεία γωνία που αυτές σχηματίζουν ΒΙ/74Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου τομής των ευθειών: ε :x y+ α = 0 και δ : x y+ α 1= 0, α Ποιο σημείο αυτής της ευθείας απέχει τη μικρότερη απόσταση από το Ο (0,0); ΒΙ/75Δείξτε ότι η εξίσωση x y α x+ 4αy α = 0παριστάνει δύο κάθετες ευθείες για κάθε α Δείξτε επίσης ότι το σημείο τομής τους κινείται σε σταθερή ευθεία Κ Αδαμόπουλος

46 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/76Δίνονται οι ( ε) : λx+ ( λ ) y = λ 1 και ( η) : ( λ + )x+ λy = λ Να δείξετε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται για κάθε λ R Βρείτε επίσης το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής τους Απόσταση σημείου από ευθεία ΒΙ/77Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Μ(1,) από την ευθεία x 4y 11 = 0 ΒΙ/78Να βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχονται από το σημείο Α(1,) και απέχουν από το σημείο Β(,1) απόσταση d = ΒΙ/79Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην ευθεία x 4y+ 5= 0 και απέχουν από το σημείο Α(,) απόσταση d = ΒΙ/80Βρείτε τα σημεία της ευθείας ( ) : x y 0 την ευθεία ( ) : x 4y 10 0 ε + = απόσταση Ευθεία η + = που απέχουν από ΒΙ/81Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Ρ (0,1) και από την οποία ισαπέχουν τα σημεία Α (1, ) και Β (,1) ΒΙ/8Βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ( ε ): x+ y 6= 0 και ( η ) : x+ y+ 17 = 0 ΒΙ/8Α)Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών x y+ 7 = 0 και x y = 0 Β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών: ε : x y+ 1= 0 και ε :x 4y+ = 0 1 ΒΙ/84Να βρεθούν οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ( ε ): x+ y 5= 0 και ( η ):x+ y 7= 0 Ποια είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας; (Πάρτε ένα σημείο σε μια από τις πλευρές και υπολογίστε την απόστασή του από τις διχοτόμους Η μικρότερη απόσταση αντιστοιχεί στη διχοτόμο της οξείας γωνίας) ΒΙ/85Δίνεται η ευθεία ε : x y 4= 0 και το σημείο Α(4,1) Να βρείτε σημείο Μ του άξονα yy ' που ισαπέχει από το Α και την ε Εμβαδόν τριγώνου ΒΙ/86 Α) Αν Α (, 4), Β ( 0,1), ( 4,) Β) Αν Α ( x,0), Β ( 1, ), ( 4,) Γ βρείτε το Ε ΑΒΓ Γ βρείτε το x ώστε Ε ΑΒΓ = Κ Αδαμόπουλος

47 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΙ/87Σ'ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α(,), Β(5,4) και Δ(-4,-1) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Γ και το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΒΙ/88 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με (8,) Α, Β(6, 1) και Γ (,1) Α) Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ Β) Να βρείτε το εμβαδό του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, όπου (, 1) Γ) Να βρείτε σημείο Μ του άξονα xx ώστε το τρίγωνο ΑΒΜ να έχει εμβαδόν 7 τμ ΒΙ/89Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ( 1,1) Α (,) Β και ( 1, 1) Γ λ λ + Α) Αποδείξτε ότι τα ΑΒΓ,, είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λ Β) Βρείτε το λ ώστε ( ΑΒΓ ) = 6 Ευθεία π ΒΙ/90Βρείτε ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία και με 4 τους δύο άξονες τρίγωνο εμβαδού τμον ΒΙ/91Βρείτε ευθεία παράλληλη στην η :x+ y+ = 0 που να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 4 τ μον ΒΙ/9Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(1,) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν τμ ΒΙ/9Δίνεται το σημείο Α(1,) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση d = 1 ΒΙ/94Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( t ) x (1 + t) y+ t = 0 παριστάνει ευθεία (ε) για κάθε t που διέρχεται από ένα σταθερό σημείο Για ποια τιμή του t η απόσταση του σημείου Μ(,) από την (ε) είναι μονάδες; ΒΙ/95Δίνεται η εξίσωση y + 4x 4xy y + 4x = 0 Δείξτε ότι παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και βρείτε την απόστασή τους ΒΙ/96Δίνεται η εξίσωση x + y xy + kx ky = 0, k A) Δείξτε ότι παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και βρείτε την απόστασή τους B) Bρείτε το k αν οι δύο ευθείες απέχουν απόσταση Γ) Αν k = 4 βρείτε την εξίσωση της μεσοπαραλλήκου των δύο ευθειών ΒΙ/97Βρες τα λ, µ ώστε οι ευθείες ( ) : x y 0 ( ) : x y 0 ε µ + +λ= και η λ + = να είναι παράλληλες και να έχουν απόσταση 5 ΒΙ/98Δίνεται η εξίσωση x y + 4λx+ λy+ λ = 0 Κ Αδαμόπουλος

48 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Α) Δείξτε ότι παριστάνει δύο κάθετες ευθείες Β) Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου τομής τους Ευθεία ΒΙ/99Να βρεθεί ευθεία ε που περνά από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με την ευθεία x+ y = και τον yy ' τρίγωνο εμβαδού 9 τμ ΒΙ/100Δύο πλευρές ενός τετραγώνου έχουν εξισώσεις 5x 1y 65 = 0 και 5x 1y+ 6 = 0 Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΙ/101Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Β(7,4) και Γ(5,1) Αν Α( κ,κ + 1) να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Α Κατόπιν να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό ΒΙ/10Αν Α ( t,t+ ), Β ( 1,1) και (,5) Γ βρες το γ τόπο του Α και δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό ΒΙ/10Αν (1,1) Α, (, t 4) Β +, Γ ( t+,t) και ( t, t ) να αποδειχθεί ότι το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραμμο Βρείτε επίσης το t ώστε το εμβαδόν του ΑΒΓ να ισούται με 15 τμον ΒΙ/104Α) Αν (,) Β, (,5) Γ και το σημείο Α κινείται στην ευθεία ε :x y+ 4= 0 δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγ ΑΒΓ είναι σταθερό Β) Αν Β (1,1) και Γ (5, ), βρείτε σημείο της ευθείας ε:x y+ 1= 0 ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι 6 τμον ΒΙ/105Αν ΑΒΓ τρίγωνο με (1,1) Βρείτε το γεωμ τόπο του Α Β, Γ (5,) και ( ΑΒΓ ) = 4 τ μον ΒΙ/106Δίνονται οι ευθείες x y 6 + k( x y 4) = 0, k Να δειχθεί ότι καμία από τις ευθείες της οικογένειας δεν απέχει από το σημείο Ρ(,-1) απόσταση ίση με ΒΙ/107A) Βρείτε το σημείο της ευθείας : x y 0 ε + + = που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Ο (0,0) Β) Βρείτε το σημείο της ευθείας ε:x y 1= 0 που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Α (,1) ΒΙ/108Δίνεται ορθογώνιο ΟΑΒΓ με Ο(0,0), ( t,0) Α +, Γ(0,t) με t Nα δειχθεί ότι η κάθετος που φέρουμε από το Β προς την ΑΓ περνά από σταθερό σημείο για κάθε τιμή του t ΒΙ/109Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, η εξίσωση ευθείας ( λ 1) x+ ( λ + 1) y λ = 0, όπου λ πραγματικός αριθμός, Κ Αδαμόπουλος

49 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας φωτεινός φάρος Φ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(,), Λ(-1,5),Μ(1,) Βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ, Μ γ) Να υπολογίσετε ποιό από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το Μ δ) Υπολογίστε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ (4 ο θέμα Πανελλαδικές 000) Ευθεία MC Escher Κ Αδαμόπουλος

50 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος Kύκλος "ένας παράγοντας που μένει σταθερός παρ' όλες τις καμπές της ιστορίας της φυσικής επιστήμης είναι η αποφασιστική σημασία της μαθηματικής φαντασίας" Freeman Dyson BK/01α) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στο Ο(0,0) και διέρχεται από το σημείο Α(,4) β) Όμοια για τον κύκλο με κέντρο το Κ(-1,) που διέρχεται από το σημείο Β(,7) BK/0 Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΑΒ, με Α(1,) και Β(,4) BK/0Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΑΒ, με Α(-,-4) και Β(4,) BK/04Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στον άξονα xx και διέρχεται από τα σημεία Ο(0,0) και Γ(,) BK/05Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα ρ= 10 και διέρχεται από τα σημεία Α (,), Β(,5) BK/06Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(4,1) και Β(,-) και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία: ε : x+ y+ 1= 0 BK/07Βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από τα σημεία Α (,1), Β( 1,) και έχει το κέντρο του στην ευθεία : ε:x y = 0 BK/08Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(1,), Β(-1,-), Γ(,) BK/09Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α ( 1,1), Β(1,0), Γ(1,4) BK/10Βρείτε τον κύκλο με κέντρο το Κ(1,0) που εφάπτεται στην ευθεία ε : x+ y = 0 BK/11Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στο σημείο Κ(,) και εφάπτεται στην ευθεία: ε: 4x y+ 11 = 0 BK/1Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στο σημείο Κ(1,-1) και εφάπτεται στην ευθεία: ε: 5x 1y+ 9 = 0 ΒΚ/1Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(, 4), όταν: Α) Διέρχεται από την αρχή των αξόνων Β) Εφάπτεται στην ευθεία ( ε ):6x+ 8y 4= 0 Κ Αδαμόπουλος

51 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος Γ) Εφάπτεται στον άξονα xx Δ) Εφάπτεται στον άξονα yy ΒΚ/14 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του κύκλου x + y x+ 4y+ 1= 0 και εφάπτεται της ευθείας ( ε ):y = x ΒΚ/15Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών ( ε1 ) : 4x y+ 10 = 0 και ( ε ) : 4x y 0 = 0 και έχει το κέντρο του στην ευθεία ( ζ ): y = x BK/16 Δίνονται οι ευθείες :x y 0 ε + = και α:x y 1= 0 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ε και α και έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία x = 1 BK/17 Δίνονται οι ευθείες : x y 10 0 ε = και α :x y+ 5= 0 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ε και α και έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία : δ : y = x+ 1 BK/18Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους άξονες και διέρχεται από το σημείο Α (4,) BK/19Α) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους άξονες και διέρχεται από το σημείο Α (,) Β) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον άξονα yy και περνά από τα σημεία Σ (,1) και Ρ (,5) Γ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον άξονα xx και Α, 9 και Β(5, ) περνά από τα σημεία ( ) BK/0Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α (4,1) και Β (11,8) και εφάπτεται στον άξονα x' x BK/1Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις δύο παράλληλες ευθείες ε :x+ y 5= 0 και x+ y+ 15 = 0 και της μιας από αυτές στο σημείο Α(,1) BK/Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(,) που αποτέμνει από την ευθεία ε: x y+ 7= 0 χορδή μήκους 4 BK/Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 64 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Ρ (5,0) και αποκόπτει από τον κύκλο χορδή μήκους 15 BK/4Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 9 και το σημείο Α (1, ) Βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου η οποία έχει ως μέσο το σημείο Α Κ Αδαμόπουλος

52 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος BK/5Βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των παρακάτω κύκλων: α) x + y x 4y+ 1= 0 β) x + y 6x+ 10y 1 = 0 Γενική μορφή εξίσωσης κύκλου BK/6Προσδιορίστε ποια από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει κύκλο, του οποίου βρείτε το κέντρο και την ακτίνα α) x + y 5x+ y 1= 0 β) x + y + 6x 4y+ 14 = 0 γ) x + y 6x 6y+ 1= 0 δ) x + y αx+ 6βy+ 8β + α = 0 BK/7Δίνεται η εξίσωση x + y + x+ y+λ ( x+ y+ ) = 0 Δείξτε ότι: Α) Για κάθε λ παριστάνει κύκλο Β) Βρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου του β) Για κάθε λ ο κύκλος αυτός διέρχεται από δύο σταθερά σημεία BK/8 Δείξτε ότι η εξίσωση x y x ( x y ) + +λ + 1 = 0 παριστάνει κύκλο ο οποίος μάλιστα διέρχεται από δύο σταθερά σημεία Βρείτε επίσης το γεωμ τόπο του κέντρου του κύκλου BK/9Δίνεται η εξίσωση x + y y+ 4 λ(1 x) = 0, λ α) Να βρείτε για ποια λ η παραπάνω παριστάνει κύκλο β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων γ) Να δείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους σε σταθερό σημείο 9λ 1 BK/0Θεωρώ την εξίσωση: x + y 4λx λ y+ λ = 0 Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ { 1} του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Βρείτε επίσης το γεωμ τόπο των λ 1 κέντρων των κύκλων για κάθε { } ΒΚ/1Αν Ck : x + y + x 4+ k( x + y y) = 0 k R { 1} να δειχθεί ότι για κάθε k { 1} η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που περνά από σταθερά σημεία ΒΚ/Έστω C : x y kx ( k ) y = Να βρεθεί για ποιες τιμές του k R η εξίσωση παριστάνει κύκλο Κατόπιν να δειχθεί ότι τα κέντρα των κύκλων αυτών ανήκουν σε γνωστές ημιευθείες BK/Δειξτε ότι η x + y 4ηµθ x 4συνθ y 5= 0 είναι εξίσωση κύκλου για κάθε θ, βρείτε το κέντρο, την ακτίνα του και το γεωμ τόπο του κέντρου του Κ Αδαμόπουλος

53 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος BK/4A) Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 16 Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής του κύκλου η οποία έχει ως μέσο το σημείο Α (1,1) B) Δίνεται ο κύκλος C: x + y 4x 6y+ 4= 0 Βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου η οποία έχει ως μέσο το σημείο Α (, ) Σχετικές θέσεις ΒΚ/5Να βρεθεί η σχετική θέση των παρακάτω σημείων ως προς τον κύκλο C: x + y 4y = 0 Α) Α (,), Β) Β (1,), Γ) Γ (,1) ΒΚ/6Να βρεθεί η σχετική θέση των παρακάτω ευθειών ως προς τον κύκλο C: x + y x= 0 ( ε1 ) :x 4y+ = 0, ( ε ) :x 4y+ 1= 0, ( ε ) :x 4y+ = 0 ΒΚ/7 Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να βρείτε αυτές που εφάπτονται του κύκλου C: x + y + 10y+ 16 = 0 ΒΚ/8 Δίνεται ο κύκλος C: x + y + λx λ y = 0 και η ευθεία ( ε): x y 1= 0 Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η ευθεία ( ε ) τέμνει τον κύκλο C Β) Αν η ευθεία ( ε ) ορίζει στον κύκλο χορδή ΑΒ, να βρεθεί η τιμή του λ ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ορθογώνιο στο Ο ΒΚ/9Να δειχθεί ότι το σημείο Α(,0) είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου C: x + y 4x+ y+ 1= 0 Κατόπιν να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνάει από το Α και ορίζει χορδή του κύκλου, στην οποία το Α είναι το μέσο της ΒΚ/40 Α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι C : ( x ) + y = 4 και 1 C : x y x 0 + = εφάπτονται εσωτερικά Β) Να δείξετε ότι οι C : x + y = 5 και C 1 : x + y 14 x 14 y+ 7 = 0 τέμνονται και να βρείτε την κοινή χορδή τους Γ) Δείξτε ότι οι C 1 : ( x+ 1) + ( y ) = και C : ( x 4) + ( y+ ) = εφάπτονται εξωτερικά Κ Αδαμόπουλος

54 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γεωμετρικοί τόποι ΒΚ/41Αν (1, ) Κύκλος Μ + συνθ ηµθ, βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ 1 όταν θ R Όμοια για τα: + ηµθ, συνθ Ν, Ρ,1+ Σ ηµθ συνθ, ηµθ + συνθ ( ηµϕ συνϕ ) και ( ) ΒΚ/4Α) Βρείτε τον γεωμ τόπο των σημείων Μ(συνθ 1,ηµθ+ ) του επιπέδου, καθώς το θ μεταβάλλεται στο Β) Αν το σημείο Ακλ (, ) κινείται στον κύκλο C: x + y = 9, να 4 6 αποδείξετε ότι και το σημείο κ+, λ Β κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Γ) Αν το σημείο Ν κινείται στο μοναδιαίο κύκλο να βρείτε που κινείται το σημείο Μ ( xy, ) για το οποίο ισχύει ότι ΟΜ = ΟΝ ΒΚ/4 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων ( xy, ) Μ του επιπέδου των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από το σημείο Α (1, 0) είναι ίσο με το εξαπλάσιο της απόστασης από την ευθεία: y = 1 ΒΚ/44Α) Αν ( 1, 1) Α και Β (,) βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ αν ΑΜ ΒΜ Β) Αν Α ( 1, ) και Β (,4) βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ αν ΒΜ = ΑΜ Γ) Αν Α(1, ) και Β (, 4) βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ αν ΑΜ ΑΒ = ΑΜ ΒΚ/45Δίνονται τα σημεία Α (, 1) και Β (,1 ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία: α) ΜΑ ΜΒ = 6 β) ΜΑ ΜΒ = 5 Εφαπτόμενες κύκλου ΒΚ/46Δίνεται ο κύκλος C: x + y 4x+ y = 0 Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α(1,1) BK/47 Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C: x + y 4x y+ = 0 στο σημείο του Μ (, ) Κ Αδαμόπουλος

55 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΚ/48Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 9 και η ευθεία ε : y = x+λ, λ R Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η ευθεία ε να εφάπτεται στον κύκλο Κύκλος ΒΚ/49Α) Βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου C ( x ) ( y ) που διέρχονται από το σημείο Α ( 4,1) : 1 + = 5 Β) Δίνεται ο κύκλος C: x + y + x 6y+ 5= 0 Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(-4,4) ΒΚ/50Δίνεται ο κύκλος C: x + y 4x+ y = 0 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που είναι παράλληλη της ευθείας δ:x y+ 5= 0 ΒΚ/51 Α)Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C ( x ) ( y ) που είναι παράλληλη στην ευθεία δ :x 4y+ 1= 0 Β) Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C ( x ) ( y ) παράλληλη στην ευθεία δ : x+ y = 0 : 1 + = 4 : = 8 που είναι ΒΚ/5Δίνεται ο κύκλος C: x + y + x 4y+ 1= 0 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης που είναι κάθετη στην ευθεία δ: x y+ = 0 ΒΚ/5 Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C ( x ) ( y ) που είναι κάθετη στην ευθεία δ : x y+ 1= 0 ΒΚ/54 Α) Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου : = π C: ( x 1) + ( y+ ) = που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 4 Β) Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C: x + y x y = 0 που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 15 ΒΚ/55 Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 5 Να βρείτε: Α) Την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο σημείο του Μ(, λ ), λ< 0 Β) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ( ε) : 4x y 018 = 0 Γ) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Κ (5,10) BK/56Δίνεται η εξίσωση x + y λx+ 4λy 4= 0, λ Δείξτε ότι: A) Για κάθε λ παριστάνει κύκλο Κ Αδαμόπουλος

56 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος B) Bρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου του κύκλου Γ) Για λ= 0 βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου που είναι παράλληλη στην ευθεία η : y = x+ 1 Δ) Αν 0 Μ x, y σημείο του κύκλου βρείτε το γεωμ τόπο του λ= και ( 0 0) σημείου Σ( x, y + 1) 0 0 ΒΚ/57Δίνεται ο κύκλος C: x + y x+α y+ 1= 0 Να βρείτε την τιμή του α R, ώστε η ευθεία δ :x+ 4y 5= 0 να εφάπτεται του κύκλου ΒΚ/58Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 10 και το σημείο Μ (4,) Βρείτε: α) Τη θέση του Μ ως προς τον κύκλο β) οι εξισώσεις των εφαπτομένων από το Μ προς τον κύκλο γ) τη γωνία των εφαπτομένων (Υπόδειξη: Απόδειξε ότι είναι κάθετες) ΒΚ/59Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου: C: ( x 1) + ( y+ 1) = 10 που φέρονται από το σημείο: Ρ ( 1, ) καθώς και τη γωνία που σχηματίζουν ΒΚ/60Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 9 και το εξωτερικό του σημείο Ρ(,) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων από το Ρ στον κύκλο ΒΚ/61Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 4 και το εξωτερικό του σημείο Ρ(4,) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων από το Ρ στον κύκλο ΒΚ/6Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων x0 y0 Μ (, ) των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από το σημείο Ο (0,0) είναι ίσο με την απόστασή τους από την ευθεία ε : 4x+ y 10 = 0 ΒΚ/6Αν το σημείο ( x0, y0) βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου: ( x 1, y ) Μ ανήκει στον κύκλο: Ν C x y x : + = 0 ΒΚ/64Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 16 και το σημείο Ρ ( 4, ) Αν Σ τυχαίο σημείο του κύκλου, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του τμήματος ΡΣ ΒΚ/65 Aν το σημείο Σ κινείται στον κύκλο C: x + y 6x= 0, βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Μ για το οποίο ισχύει: ΟΜ = ΟΣ, όπου Ο (0,0) Κ Αδαμόπουλος

57 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΚ/66Ευθεία ε περνά από την αρχή των αξόνων Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των προβολών Μ του σημείου Α(,4) στην ε Β(1,0) Α(4,) H(,) Κύκλος ΒΚ/67Δίνεται ο κύκλος C: x + y = 5 Να βρεθεί ο γεωμ τόπος του μέσου των χορδών ΑΒ με Α(,4) ΒΚ/68Προσδιορίστε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου C: x + y = 16 που διέρχονται από το σημείο Σ (,) ΒΚ/69Βρείτε το γεωμ τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου C: x + y 4x = 0 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ΒΚ/70Δείξτε ότι το σημείο τομής των ευθειών ε : λx+ ( λ 1) y = λ + και ε : ( λ + 1) x+ λy = λ + 1, 1 λ R, ανήκει σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση (Υπόδ : Διατυπώστε τις εξισώσεις για το κοινό σημείο Μ και λύστε τις ως προς λ) ΒΚ/71Δίνονται οι ευθείες ε 1 : ( k + 1) x ( k 1) y = 4 k + 1 και ε :x ky = k + 1, k Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής τους ΒΚ/7Δίνονται τα σημεία Α (α,0) και Β(0, α) με α > 0 Αν Ο (0,0) να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο ΟΑΒ κύκλου και να αποδείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο, διαφορετικό της αρχής των αξόνων για κάθε α ΒΚ/7Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, 1), Β (,) και Γ( λ 1, λ ),λ Α) Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Γ Β) Αποδείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του λ Γ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την πλευρά ΑΒ Δ) Βρείτε την εφαπτομένη του παραπάνω κύκλου στο σημείο του Α ΒΚ/74 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α (4,) Β (1, 0) και ορθόκεντρο Η (,) Α) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΓ d Η, ΒΓ Β) Βρείτε την απόσταση ( ) Γ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Η και εφάπτεται στη ΒΓ Δ) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΗΒ Γ Κ Αδαμόπουλος

58 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος ΒΚ/75Α) Δίνεται ο κύκλος C: ( x ) + ( y ) = 8 Βρείτε τα σημεία του κύκλου που απέχουν την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο ( 0,0) Β) Όμοια για τον κύκλο C: x + y 6x 8y 11 = 0 ΒΚ/76A) Βρείτε τα σημεία του κύκλου: C: x + y 4x 4y+ 6= 0 που απέχουν τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη απόσταση από το Ο (0,0) Β) Βρείτε τα σημεία του κύκλου: C: ( x 4) + ( y ) = που απέχουν τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη απόσταση από το Α (,1) Γ) Αν το σημείο Μ κινείται στον κύκλο: C: ( x 4) + ( y ) =, και το Ν στην ευθεία ε : x+ y = 0 βρείτε τα σημεία για τα οποία η απόσταση ΜΝ να είναι ελάχιστη ΒΚ/77A)Αν το σημείο Μ κινείται στον κύκλο C: ( x ) + ( y 1) = 8 και το σημείο Ν στην ευθεία ε : x+ y+ 5= 0, βρείτε τα Μ, Ν ώστε το ΜΝ να είναι ελάχιστο B) Αν το σημείο Μ κινείται στον κύκλο: C: ( x 1) + ( y ) = και το Ν στην ευθεία: ε : x+ y+ = 0 βρείτε την ελάχιστη τιμή του ΜΝ και τα σημεία ΜΝ, όπου το ΜΝ παίρνει την ελάχιστη τιμή του Γ) Αν το σημείο Μ κινείται στον κύκλο: C 1 : ( x ) + ( y ) = 4 και το Ν στον κύκλο: C : ( x + 1) + ( y + ) = 1, βρείτε την ελάχιστη τιμή του ΜΝ Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου x + y + ( λ 1) x+ ( λ) y λ 1 = 0, ΒΚ/78 Δίνεται η εξίσωση λ Α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του λ Β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η παραπάνω εξίσωση ανήκουν σε μια ευθεία για τις διάφορες τιμές του λ Γ) Να βρείτε ποιοι από τους παραπάνω κύκλους έχουν ακτίνα ίση με 4 ΒΚ/79Θεωρούμε ένα πληθυσμό από 004 κινητά σημεία Κάθε κινητό χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό n = 1,,,, 004 και κινείται πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Ο xy διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση: x + y = + nx ( y+ 1) Να αποδείξετε ότι: Κ Αδαμόπουλος

59 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος α) Η τροχιά κάθε κινητού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου και η ακτίνα του β) Τα κέντρα των τροχιών των κινητών βρίσκονται πάνω σε μια σταθερή ευθεία γ) Κατά την κίνησή τους όλα τα κινητά διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β Ποια είναι η εξίσωση της ΑΒ; ΒΚ/80 Θεωρώ την εξίσωση C: x + y λx ( λ+ 1) y+ λ + λ = 0 Α) Δείξτε ότι είναι εξίσωση κύκλου, σταθερής ακτίνας, για κάθε λ Β) Αποδείξτε ότι το κέντρο του κύκλου κινείται σε μια ευθεία καθώς το λ διατρέχει το (Δηλαδή βρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου ) Γ) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η ευθεία ε:x 4y+ = 0 είναι εφαπτόμενη του κύκλου Δ) Αποδείξτε ότι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται δύο σταθερών ευθειών για κάθε λ τις οποίες να προσδιορίσετε ΒΚ/81 Θεωρώ τον κύκλο C: x + y x= 0 και την ευθεία ε :x+ y = 0 που τέμνονται στα σημεία ΑΒ, Α) Δείξτε ότι η εξίσωση: x + y x+ λ ( x+ y ) = 0, λ, είναι κύκλος και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του Β) Βρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου καθώς το λ διατρέχει το Γ) Δείξτε ότι ο δεύτερος κύκλος διέρχεται από τα σημεία ΑΒ, ΒΚ/8 Θεωρώ τον κύκλο C: x + y x+ y 5= 0 και την ευθεία ε :x+ y+ 1= 0 που τέμνονται στα σημεία ΑΒ, Α) Δείξτε ότι η εξίσωση: x + y x+ y 5+ λ ( x+ y+ 1) = 0, λ, είναι κύκλος και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του Β) Βρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου καθώς το λ διατρέχει το Γ) Δείξτε ότι ο δεύτερος κύκλος διέρχεται από τα σημεία ΑΒ, ΒΚ/8 Α) Δείξτε ότι η εξίσωση: x + y x+ 4y λ λ+ = 0 παριστάνει οικογένεια ομόκεντρων κύκλων Β) Βρείτε από τους παραπάνω, τον κύκλο C που εφάπτεται στην ευθεία: δ : x y+ 1= 0 Γ) Βρείτε τις εφαπτόμενες ε1, ε του C που είναι παράλληλες στην ευθεία η : x+ y = 0 Δ) Βρείτε την απόσταση των ευθειών ε 1, ε Κ Αδαμόπουλος

60 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΚ/84Δείξτε ότι το σημείο τομής των ευθειών ( ε ) : x+ y ηµθ συνθ+ 1= 0 και ( η) :x y ηµθ+συνθ 4= 0, θ, κινείται σε κύκλο ο οποίος και να βρεθεί ΒΚ/85Θεωρώ την οικογένεια ευθειών ( ) Κύκλος λ 1 x+ λ y+ = 0, λ Βρείτε το γεωμ τόπο των σημείων Μ από τα οποία διέρχεται μία ακριβώς ευθεία από τις παραπάνω ΒΚ/86 Θεωρώ την εξίσωση C: x + y α x+ 4y+ α= 0 A) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε α Β) Βρείτε το α ώστε η ακτίνα του να είναι Γ) Βρείτε το α ώστε το κέντρο του να ανήκει στην ευθεία ε :5x+ y + 1= 0 Δ) Βρείτε το α ώστε ο κύκλος να διέρχεται από το Ο (0,0) ΒΚ/87Δίνεται η εξίσωση x + y +λ (x+ y ) = 0 A) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ B) Βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του Γ) Βρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου Δ) Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από δυο σταθερά σημεία Ε) Βρείτε το λ ώστε ο κύκλος να διέρχεται από το σημείο Α (1, ) ΒΚ/88Δίνεται η εξίσωση x + y x+λ ( x+ y ) = 0 A) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ B) Βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του Γ) Βρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου Δ) Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από δυο σταθερά σημεία Ε) Βρείτε το λ ώστε ο κύκλος να διέρχεται από το σημείο Α (,1) Για λ=: ΣΤ) Γράψτε την εξίσωση του κύκλου, βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του καθώς και τις εφπτόμενές του που είναι παράλληλες στην ευθεία η : x+ y+ = 0 Ζ) Αν το Σαβ (, ) ανήκει στον κύκλο βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Ρ(α 1, β+ 1) ΒΚ/89Δίνεται η εξίσωση x + y +λ( x+ 4 y+λ ) = 0 A) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ B) Βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του Γ) Βρείτε το γεωμ τόπο του κέντρου Δ) Βρείτε το λ ώστε ο κύκλος να διέρχεται από το σημείο Α (1, 0) Για λ=1: Κ Αδαμόπουλος

61 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Κύκλος Ε) Γράψτε την εξίσωση του κύκλου, βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του καθώς και τις εφπτόμενές του που είναι παράλληλες στην ευθεία η:x 4y+ 1= 0 ΣΤ) Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που σχηματίζουν με τον άξονα xx γωνία π/4 Ζ) Αν το Ρ ( x0, y0) ανήκει στον κύκλο βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Σ ( x + 1, y ) 0 0 ΒΚ/90Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό n = 1,,,, 1999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Ο xy διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση: ( x 1) + y = nx ( + y 1) Να αποδείξετε ότι : α) Η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του β) Κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α (που είναι η φωλιά τους) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του Α; γ) Οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας x+ y 1= 0 στο σημείο Α (Πανελλαδικές 1999) ΒΚ/91Α Δίνεται η εξίσωση x + y + 6µ x+ 8λ y = 0,όπου µλ, πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός Να δείξετε ότι για κάθε τιμή των µλ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο Β Έστω ότι για τους πραγμ αριθμούς µλ, ισχύει η σχέση µ+ λ= 0 α Να δείξετε ότι,όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x + y + 6µ x+ 8λ y = 0 για τις διάφορες τιμές των µλ,,έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων β Να βρείτε τα µλ, έτσι, ώστε αν Α,Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία x+ y+ = 0, να ισχύει ΟΑ ΟΒ = 0 γ Για τις τιμές των µλ, που βρήκατε στο ερώτημα β να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ (4 ο θέμα Πανελλαδικών 001) ΒΚ/9Δίνεται η εξίσωση x + y xσυνθ yηµθ 1= 0, 0 θ< π A Nα αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα π Β Αν θ =, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ (1, ) Κ Αδαμόπουλος

62 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Γ Δείξτε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο (0,0) και ακτίνα ρ = 1 (4 ο θέμα Πανελλαδικών 00) Κύκλος ΒΚ/9Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(λ 1, λ+ ), Β (1, ) και Γ (,) όπου λ R με λ Α Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο Β Εάν λ = 1 να βρείτε : α το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την κορυφή Α (1, 5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ ( ο θέμα Πανελλαδικών 00) ΒΚ/94Δίνoνται οι παράλληλες ευθείες ε :x+ 4y+ 6= 0 και 1 ε : x+ 4y+ 16 = 0 Α: Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε 1 και ε Β Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε 1 και ε Γ Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας ε 1 με τον άξονα xx ' και αποκόπτει από την ευθεία ε χορδή μήκους d = 4 (4 ο θέμα Πανελλαδικών 004) Σχέδιο του Αlfons Mucha Κ Αδαμόπουλος

63 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παραβολή Παραβολή "Δεν μπορείς να ξεφύγεις από την αίσθηση πως αυτές οι μαθηματικές φόρμουλες έχουν από μόνες τους μια ανεξάρτητη ύπαρξη και μια ευφυΐα, πως είναι σοφότερες από μας, σοφότερες ακόμη από αυτούς που τις ανακάλυψαν, πως παίρνουμε περισσότερα από αυτές, απ' ό,τι ήταν βαλμένο αρχικά μέσα τους" Heinrich Hertz ΒΛ/01Βρείτε την εξίσωση της παραβολής, που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα x' x, στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Έχει εστία το Ε(,0) β) Έχει διευθετούσα την ευθεία x = γ) Διέρχεται από το σημείο Α (9,6) ΒΛ/0Βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Έχει εστία Ε (,0) β) Έχει άξονα συμμετρίας τον xx ' και περνά από το Α(8,4) γ) έχει διευθετούσα την ευθεία y = 1 ΒΛ/0Βρείτε την εξίσωση της παραβολής, που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y' y, στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Έχει εστία το Ε(0,-4) β) Έχει διευθετούσα την ευθεία y = γ) Διέρχεται από το σημείο Α (4,) ΒΛ/04Βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση: α) y = 6x β) x = 5y γ) y = 4x 1 δ) x = y ε) y = 8α x στ) y = x α ΒΛ/05Δείξτε ότι η ευθεία ε : y = x+ είναι εφαπτομένη στην παραβολή C: y = 8x ΒΛ/06A) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C: y = 4x στο σημείο της Α(1,4) B) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C: x = 8y στο σημείο της Α (4,) ΒΛ/07Βρείτε το k αν η ευθεία ε : y = x+ k είναι εφαπτομένη της παραβολής C: y = 4x ΒΛ/08Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C: y = 4x που είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y = x+ 4 Κ Αδαμόπουλος

64 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παραβολή ΒΛ/09Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C x που είναι παράλληλη στην ευθεία ε :x+ y 1= 0 : 6 = : 6 ΒΛ/10Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C y = x 1 που είναι κάθετη στην ευθεία ε : y = x+ ΒΛ/11Δίνεται η παραβολή C: y = 16x Να βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής, που διέρχεται από το Α(-1,-) ΒΛ/1Δίνεται η παραβολή C: y = x Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής η οποία: α) είναι παράλληλη στην ευθεία η : x+ y = 1 β) διέρχεται από το σημείο Α 1, γ) διέρχεται από το Α ( 4,) ΒΛ/1Βρείτε τις εφαπτόμενες της παραβολής C: y = 8x που διέρχονται από το Σ(,) και αποδείξτε ότι είναι κάθετες μεταξύ τους ΒΛ/14Βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συμμετρίας τον xx ' και εφάπτεται στην ευθεία y = x+ 1 ΒΛ/15Βρείτε την χορδή της παραβολής σημείο Α(,1) C: y 4x = που έχει μέσο το ΒΛ/16Δίνεται η παραβολή C: y = 10x Βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής που έχει μέσο το σημείο Μ(1,1) Βρείτε επίσης το μήκος της χορδής ΒΛ/17Δίνεται η παραβολή y = 4x Βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής που σχηματίζει με τον xx ' γωνία 15 Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής; ΒΛ/18Έστω η παραβολή C : y = px, με p > 0 και το σημείο της Μ Αν Ε η εστία της παραβολής, αποδείξτε ότι ο κύκλος με διάμετρο ΕΜ εφάπτεται του άξονα yy ' ΒΛ/19Δίνεται η παραβολή C: y = 8x Να βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής, που απέχει από την εστία της απόσταση d = 5 ΒΛ/0Δίνεται η παραβολή C: y = 8x και η οικογένεια των ευθειών με εξίσωση ( λ 1) x+λ y+ λ 1 = 0, λ R Να βρείτε την ευθεία της οικογένειας, η οποία εφάπτεται της παραβολής Κ Αδαμόπουλος y

65 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΛ/1 A) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων ( t, 6t) ( t,4 t) Ρ, t B) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων ( t, t 1 ) Ν ηµ συν,t Σ t ηµ Παραβολή Μ και 1, συνt, t και ΒΛ/Δίνεται η παραβολή y = 6x Αν Μ τυχαίο σημείο της να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Ν της χορδής ΟΜ όπου Ο (0,0) ΒΛ/Έστω C: y = 4x παραβολή και το σημείο της Μ Βρείτε το 1 γεωμ τόπο του σημείου Ρ αν ΟΡ = ΟΜ με Ο (0,0) Μ x, y κινείται στην παραβολή ΒΛ/4 Aν (,0) Α και το σημείο ( ) 0 0 C: x = 4y βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία κινείται το μέσο Ρ του τμήματος ΑΜ ΒΛ/5Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στον κύκλο C: x + y 4α x και στον άξονα yy ', α> 0 ΒΛ/6Δίνεται η οικογένεια ευθειών λ x λy+ 1= 0, όπου λ 0 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου από τα οποία διέρχεται μία μόνο ευθεία της οικογένειας ΒΛ/7Δίνεται η παραβολή C: y = 4α x και ένα σημείο της Σ ( x0, y0) Αν Τ η προβολή του Σ στη διευθετούσα, να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη στο Σ είναι μεσοκάθετη στο τμήμα ΤΕ ΒΛ/8Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή C: y = 4x και μία κορυφή του είναι το Ο(0,0) Βρείτε το εμβαδόν του ΒΛ/9Δίνεται η παραβολή C: y = 4α x και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο της Α ( x1, y1), που τέμνει την διευθετούσα της στο σημείο Β Αποδείξτε ότι Α Ε Β = 90 ΒΛ/0Θεωρούμε την εξίσωση ( ) x ( ) µ 1 + µ+ y µ+ = 0, µ Α Αποδείξτε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε µ Β Δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο Ε(,0) Γ Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το Ο(0,0), εστία το σημείο Ε Nα βρεθεί η διευθετούσα της Κ Αδαμόπουλος

66 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παραβολή Δ Βρείτε την εφαπτόμενη της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) με εξίσωση: y = 4x+ 1 ΒΛ/1Θεωρώ την παραβολή C y = px που έχει εστία το κέντρο του : 1 κύκλου C : x y x = Α) Να βρεθεί το p Β) Για p = βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής που διέρχονται από το σημείο Α (0,) και μετά προσδιορίστε εκείνη που εφάπτεται και στον κύκλο ΒΛ/ Θεωρώ την παραβολή C : y 4x 1 = και τον κύκλο C :8x + 8y 8x 7= 0 Α) Βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής ε, που διέρχεται από το Α (1, ) Β) Δείξτε ότι η παραπάνω ευθεία εφάπτεται και στον κύκλο Γ) Βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη των C1, C που φέρεται από το σημείο τομής της ε με τον άξονα xx Δ) Βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν οι δύο εφαπτόμενες ΒΛ/ Δίνεται η παραβολή C: y = 45x και το σημείο της Α ( x1, y1) με x1 = y1 Α) Βρείτε το Α Β) Βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής στο Α και τα σημεία τομής της ΒΓ, με τους άξονες xx και yy αντίστοιχα Γ) Βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο ΟΒΓ κύκλου Δ) Βρείτε την εξίσωση του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο ΟΒΓ κύκλου ΒΛ/4Έστω Μ τυχαίο σημείο της παραβολής C : y = px διάφορο του Ο(0,0) και Ν η προβολή του στον άξονα yy ' Να δείξετε ότι η ευθεία ε που φέρεται από το Ν κάθετη στην ευθεία ΟΜ, περνά από σταθερό σημείο ΒΛ/5Δίνεται η παραβολή y = 4x Να βρείτε: Α την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Β τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με Γ την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y = x 1 ( ο θέμα Πανελλαδικών 00) ΒΛ/6Δίνεται η εξίσωση x y + 6x+ 9= 0 α Δείξτε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες ε 1 και ε β Να δείξετε ότι οι ευθείες ε 1,ε είναι κάθετες Κ Αδαμόπουλος

67 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Παραβολή γ Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ,λ) με κ > 0 και λ > 0 τέτοιο που το διάνυσμα α = (, κ ) να είναι παράλληλο προς τη μία από τις δύο ευθείες ε1και ε και το διάνυσμα β = ( 16,4λ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία δ Γράψτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων Ο, άξονα συμμετρίας τον άξονα x' x και διέρχεται από το σημείο Μ ( ο θέμα Πανελλαδικών 001) Κ Αδαμόπουλος

68 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Έλλειψη Έλλειψη «και πάντα τα γιγνωσκόμενα αριθμόν έχοντι ου γαρ οίον τε ουδέν ούτε νοηθήμεν ούτε γνωσθήμεν άνευ τούτων» Φιλόλαος BM/01Να γραφεί η εξίσωση της έλλειψης η οποία έχει εστίες τα σημεία Ε '(,0), Ε (,0) και μεγάλο άξονα 10 BM/0Να γραφεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει τις εστίες της στον άξονα yy ', έχει κορυφές Β '(,0), Β (,0) και μεγάλο άξονα 6 BM/0Αποδείξτε ότι η εξίσωση 4x + 9y = 6 παριστάνει έλλειψη της οποίας να βρείτε τα μήκη των αξόνων και τις εστίες BM/04Βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστιακή απόσταση 1 και εκκεντρότητα /5 BM/05Να γραφεί η εξίσωση της έλλειψης που περνά από το σημείο Ρ (16,6) και έχει μεγάλο άξονα διπλάσιο από το μικρό BM/06Γράψτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, μεγάλο άξονα τον x' x και περνά από τα σημεία: Μ (, 4) και Ν ( 6,) BM/07 Γράψτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, μεγάλο άξονα τον x' x περνά από το σημείο Μ (, ) και έχει εκκεντρότητα ε = BM/08Βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κύριο άξονα τον άξονα x' x, μεγάλο άξονα 10 και εκκεντρότητα ε = 5 BM/09Βρείτε την εξίσωση της έλλειψης, που έχει κύριο άξονα τον άξονα yy ', κέντρο την αρχή των αξόνων, διέρχεται από το σημείο Ρ (,) και έχει εστιακή απόσταση ΕΕ '= 4 x y BM/10Δίνεται η έλλειψη C : + = 1 και το σημείο Μ (1,1 ) Βρείτε 9 4 την εξίσωση της χορδής που έχει το Μ ως μέσο και στη συνέχεια το μήκος αυτής Κ Αδαμόπουλος

69 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Έλλειψη x y 1 BM/11Δίνεται η έλλειψη C : + = 1 και το σημείο Μ 1, 4 1 Βρείτε την εξίσωση της χορδής που έχει το Μ ως μέσο BM/1 A) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης C: x + 4y = 10 που είναι παράλληλη στην ευθεία ε :x+ y+ = 0 B) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης είναι παράλληλη στην ευθεία ε : x 4y+ 4= 0 C x 4 : y 1 + = που Γ) Βρείτε τις εφαπτόμενες της έλλειψης C: 9x + 16y = 144 που είναι κάθετες στην ευθεία ( η ):y = x BM/1Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης x y C : + = 1 που διέρχονται από το σημείο Σ (,4) 9 16 BM/14Δίνεται η έλλειψη C: x + 4y = 4 και το σημείο Σ (,4) Αν ΣΑ, ΣΒ οι εφαπτόμενες από το Σ προς την C, βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ που ορίζουν τα σημεία επαφής BM/15 Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου ( συνθ,ηµθ ) BM/16Αν ( x, y ) Μ τυχαίο σημείο της 0 0 γεωμ τόπο του σημείου Ρ ( x0,4y0) BM/17 Αν το σημείο ( xm, ym ) βρες το γεωμ τόπο του σημείου ( x,y ) Μ x y C : + = 1, βρείτε το 16 9 Μ κινείται στον κύκλο Ρ M M C x : + y = 4 x y BM/18Αν Μ ( x0, y0) σημείο της έλλειψης C : + = 1, βρες το γτ 4 6 του σημείου Σ που έχει τετμημένη το ήμισυ της τετμημένης του Μ και την ίδια τεταγμένη x y BM/19Αν το σημείο Σ κινείται στην έλλειψη C : + = 1, βρείτε 6 9 το γεωμ τόπο του σημείου Μ αν ισχύει: ΟΜ = ΟΣ, με Ο (0,0) x y BM/0 Έστω έλλειψη C : + = 1 Αν Σ μεταβλητό σημείο της και 16 9 Μ τέτοιο που ΟΣ = ΣΜ με Ο (0,0), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ Κ Αδαμόπουλος

70 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) BM/1 Έστω έλλειψη x y C : + = 1 4 β Έλλειψη A) Aν η εκκεντρότητά της είναι ε = βρείτε το β Β) Βρείτε την εφαπτομένη της C που είναι παράλληλη στην ευθεία η : y = x+ 1 Μ x, y κινείται στην έλλειψη C βρείτε την γραμμή Γ) Αν το σημείο ( 0 0) πάνω στην οποία κινείται το σημείο ( x,y ) Σ 0 0 x y BM/ Έστω έλλειψη C : + = 1 α 1 A) Aν η εκκεντρότητά της είναι ε = δείξτε ότι: α= Β) Δείξτε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της χορδής ΑΒ που έχει μέσο το 1 σημείο Μ 1, είναι 1 λ= και να βρείτε την εξίσωσή της Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της C που είναι παράλληλη στη χορδή ΑΒ Μ x, y κινείται στην έλλειψη C βρείτε την γραμμή Δ) Αν το σημείο ( 0 0) πάνω στην οποία κινείται το σημείο ( x0, y0) Ρ ( x,y ) 0 0 BM/ Έστω έλλειψη x y C : + = 1 9 β Σ καθώς και το σημείο 5 A) Aν η εκκεντρότητά της είναι ε = δείξτε ότι β = Β) Βρείτε την εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, Μ x, y κινείται στην έλλειψη C βρείτε την εξίσωση Γ) Αν το σημείο ( 0 0) της γραμμής πάνω στην οποία κινείται το σημείο ( x,y ) Σ 0 0 BM/4Δίνεται η έλλειψη x + 4y = 4 και το σημείο Σ (,) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκουν τα μέσα των χορδών της έλλειψης, που περνούν από το Σ Κ Αδαμόπουλος

71 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Έλλειψη BM/5 Δίνεται η έλλειψη : x y C = και ο κύκλος C : x y 5 + = Αποδείξτε ότι οι εφαπτόμενες που φέρνουμε από κάθε σημείο του κύκλου προς την έλλειψη είναι κάθετες μεταξύ τους BM/6 Mεταβλητό σημείο ( x, y) Μ κινείται στο επίπεδο, ώστε οι 1 θ συντεταγμένες του να ορίζονται από τις σχέσεις x = α και 1 + θ θ y = β με α, β σταθερές και θ μεταβλητή, θ [ 0,π ) Αποδείξτε ότι 1 + θ x y το Μ κινείται στην C 1 : + = 1 α β BM/7Στους άξονες xx ' και yy ' κινούνται αντίστοιχα τα σημεία Α και Β, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να έχει σταθερό μήκος Βρείτε τη γραμμή στην οποία κινείται το σημείο Μ της ευθείας ΑΒ, αν ΑΜ = ΜΒ x y x y ΒM/8Δίνονται οι ελλείψεις: C1 : + = 1 και C α β : + = 1 λα λβ Αποδείξτε ότι είναι όμοιες (έχουν την ίδια εκκεντρότητα) ΒM/9 Υπολογίστε την εκκεντρότητα της x y έλλειψης C : + = 1 του διπλανού σχήματος α β ΒM/0 Στο διπλανό σχήμα τα σημεία, Ε Ε x y είναι οι εστίες της έλλειψης: C : + = 1 α β Αν το τρίγωνο Ε ΒΕ είναι ισόπλευρο, να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης x y BM/1Στην έλλειψη + = 1 με α > β, μεγάλο άξονα τον ΑΑ' και α β μικρό Β'Β, το τρίγωνο ΒΑ'Ε είναι ορθογώνιο στο Β Βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης BM/Σε μια έλλειψη η κάθετη στον άξονα xx στην εστία Ε, τέμνει την έλλειψη στο Γ Βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης, ώστε να είναι Α ' Β // ΟΓ ΒM/Δίνονται δύο κωνικές τομές : η παραβολή y = px και η έλλειψη 4x + y = p, p > 0 Κ Αδαμόπουλος

72 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Έλλειψη p p Α Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε 0,, Ε 0, είναι οι εστίες ΕΕ, της έλλειψης Β Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής Κ και Λ των δύο κωνικών τομών p είναι τα σημεία Κ, p και p, Λ p Γ Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών στο σημείο p Κ, p είναι κάθετες (4ο θέμα Πανελλαδικών 00) x y ΒM/4Δίνεται η έλλειψη C : + = 1 Έστω Μ το σημείο του 1 ου α β τεταρτημόριου όπου η διχοτόμος της 1 ης γωνίας των αξόνων τέμνει την έλλειψη C Αν η εφαπτομένη της C στο Μ έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 λ= : Α) Βρείτε την εκκεντρότητα της C 4 6,0 Ε 6,0 Β) Αν επιπλέον η έλλειψη έχει εστίες τα σημεία Ε ( ) και ( ) τότε να βρείτε: i) Tα μήκη του μικρού και του μεγάλου άξονα, ii) τις εφαπτόμενες της έλλειψης C που είναι κάθετες στην ευθεία η : y = x+ 01 Κ Αδαμόπουλος

73 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Υπερβολή Υπερβολή x y y x ΒΝ/01Δίνονται οι υπερβολές C : = 1 και C ': = Να βρείτε τα στοιχεία των υπερβολών, την εκκεντρότητα τους και τις εξισώσεις των ασυμπτώτων τους ΒΝ/0Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο Ρ (, ) και έχει κορυφές Α (0,) και Α '(0, ) ΒΝ/0 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες '( 5,0) 5 Ε, Ε (5,0) και εκκεντρότητα ε = ΒΝ/04Βρείτε την υπερβολή που έχει εστιακή απόσταση 4 1, ασύμπτωτες τις ευθείες y = ± x και κύριο άξονα τον xx ' x y ΒΝ/05Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C : = 1 με α β 10 ασύμπτωτες y = ± x, που διέρχεται από το Ρ,4 x y ΒΝ/06Δίνεται η έλλειψη C : + = 1 Να βρείτε την εξίσωση της 5 16 υπερβολής με εκκεντρότητα ε=, που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη x y ΒΝ/07Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής C : = 1 που έχει α β x y κορυφές της τις εστίες της έλλειψης C ': + = 1 και εστίες της τις 5 9 κορυφές της έλλειψης x y ΒΝ/08Βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής C : = 1 με α β α>β αν η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ασύμπτωτές της είναι 60 Κ Αδαμόπουλος

74 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) Υπερβολή x y ΒΝ/09Έστω η υπερβολή C : = 1 Αν έχει εκκεντρότητα ε=, α β να βρείτε την οξεία γωνία των ασυμπτώτων της ΒΝ/10Αν η εκκεντρότητα μιας υπερβολής είναι ε = βρείτε τη β γωνία που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες y = ± x α x y ΒΝ/11Δίνεται η υπερβολή C : = 1 και το σημείο Μ (1, ) Να 4 9 βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ που έχει μέσο το Μ, καθώς και το μήκος της x y ΒΝ/1Δίνεται η εξίσωση C : + = 1 Για ποιες τιμές του λ+ λ+ 7 λ R η εξίσωση παριστάνει υπερβολή και βρείτε τα στοιχεία της x ΒΝ/1Δίνεται η υπερβολή C: y = 1 και η ευθεία ε : y = x+ 5 Να 4 βρείτε την εφαπτομένη της υπερβολής που είναι παράλληλη προς την ευθεία ε ΒΝ/14Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής x C: y = 1 που είναι κάθετη στην ευθεία η : x+ y = 0 ΒΝ/15Δίνεται η υπερβολή x y = 5 και το σημείο Σ (5,5) στο εξωτερικό της Βρείτε τις εφαπτόμενες της υπερβολής που περνούν από το Σ ΒΝ/16Δίνεται η υπερβολή x y =α Δείξτε ότι κάθε χορδή παράλληλη προς τον άξονα της, φαίνεται από τις κορυφές της υπό ορθή γωνία 1 ΒΝ/17Δίνεται η υπερβολή x 4y = 4 και το σημείο Σ, που είναι μέσο χορδής ΓΔ της υπερβολής Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής που είναι παράλληλη προς τη ΓΔ ΒΝ/18Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις x y ασύμπτωτες της υπερβολής C : = 1 και την ευθεία ε : y = 16 9 Κ Αδαμόπουλος

75 Mαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης) ΒΝ/19Έστω σημείο x0 y0 Υπερβολή Μ (, ) σημείο του επιπέδου έτσι ώστε συνθ x 0 = και y0 = 5, όπου (0, ) ηµθ ηµθ θ π Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ όταν το θ μεταβάλλεται ΒΝ/0Δίνεται η υπερβολή C: x 4y = 4 και το σημείο Ρ(,1) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκουν τα μέσα των χορδών της υπερβολής, των οποίων οι ευθείες περνούν από το Ρ x y ΒΝ/1 Aν το σημείο Μ κινείται στην υπερβολή = 1 βρείτε το 6 16 Ο 0,0 γεωμτόπο του μέσου Σ του τμήματος ΟΜ με ( ) ΒΝ/Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων των οποίων η απόσταση από το σημείο Α(0,6) είναι τα της απόστασης από την ευθεία ε : y 8 = 0 x y ΒΝ/Δίνεται η υπερβολή C : = 1 και η ευθεία ε : y = x Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών ΓΔ της υπερβολής που είναι παράλληλες στην ε ΒΝ/4Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το σημείο Α(-,0) και εφάπτονται εξωτερικά του κύκλου C: x + y 4x = 0 ΒΝ/5Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες του κύκλου C: x + y = 1 και x της υπερβολής C': y = 1 9 ΒΝ/6 Δίνεται η υπερβολή C: β x α y =α β Αν η εφαπτομένη της C σε τυχαίο σημείο της Μ τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Ν και Γ η προβολή του Μ στον xx να δείξετε ότι ΟΓ ΟΝ = σταθερο x y 7 ΒΝ/7 Δίνεται η υπερβολή C : = 1 με εκκεντρότητα ε= α Α) Βρείτε το α Β) Βρείτε τη χορδή της ΑΒ που έχει ως μέσο το σημείο Μ, Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της C που είναι παράλληλη στην χορδή ΑΒ Κ Αδαμόπουλος

76 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης Ασκήσεις επανάληψης BO/01 Aν το διάνυσμα α με α= 10 5 αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες α1, α ώστε α 1 = ( 6,1), βρείτε τα α και α BO/0 Αν α= (4,) και β= (5,0) να βρείτε τα διανύσματα xy, ώστε: x // α, x+ y=β και x y π BO/0 Βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α, β, αν ( αβ, ) =, ( α+ β ) ( α β ) και α+β = 1 BO/04 Aν α= (,1) και α+β= (5,0) : Α) Δείξτε ότι α β Β) Βρείτε το κ αν ( α β) ( κα+β) A(4,) x // α+β με x = 40 Γ) Βρείτε διάνυσμα x ώστε ( ) BO/05 Υπολογίστε τη γωνία Α του διπλανού B(1,) Δ τριγώνου ΑΒΓ καθώς και τα διανύσματα Β και Α BO/06 Aν α = (1, ) και β = (,1) βρείτε τη γωνία α, β και το συν β,α β BO/07 Aν (1,1) Γ(6,7) Α, Β (4,) και Γ (, x), βρείτε το x ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Β BO/08 Έστω ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ και αβ, μοναδιαία και κάθετα διανύσματα Αν ΑΒ = α β και ΑΓ = α β βρείτε το ΑΜ, και τη γωνία ΜΑΓ BO/09 Aν Α (0,1), (1,) Β, Γ (, ) βρείτε τη γωνία Α του τριγώνου 1 ΑΒΓ και σημείο Ρ τέτοιο που ΒΡ = ΒΓ ΟΑ = α, ΟΒ = β, ΟΓ = γ, β = γ = 1 BO/10 Aν Κ Αδαμόπουλος

77 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου α = 1 και ( ) Β Ασκήσεις επανάληψης + 1 α = β + γ, απόδειξε ότι τα σημεία ΑΒΓ,, είναι συνευθειακά και ότι ΟΒ ΟΓ Βρείτε τη γωνία α, β BO/11 Αν ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ = Υπολογίστε τα : Α) ΒΑ ΒΓ Γ) ΓΑ Γ Β) ΑΒ ΒΓ Δ) ΑΒ Α BO/1Δίνεται η εξίσωση ( ) x ( ) λ 1 + λ λ+ y+λ 5= 0: Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα yy ΒΟ/1Δίνεται η εξίσωση: x y = x 1 (1) ε1 ε που είναι κάθετες Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( ζ ) που διέρχεται από το σημείο ε, ε και σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δυο ευθείες ( ),( ) τομής Α των ευθειών ( ) ( ) Γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθεία ( ε ) που διέρχεται από το σημείο Μ (1,1) και τέμνει τις ευθείες ( ε1),( ε ) στα σημεία Α και Β, έτσι ώστε το σημείο Μ να είναι μέσο του ΑΒ ΒΟ/14Δίνεται η εξίσωση x xy y x y = 0 ε, ε που είναι Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δυο ευθείες ( ) ( ) παράλληλες Β) Αν ( 1 ) : x y 0 μεσοπαράλληλης () ε + = και ( ) x ε των ( 1),( ) Α) Αν Α είναι ένα σημείο της ευθείας ( 1) σημείο της ευθείας ( ) 1 ε : + y 4= 0, να βρείτε την εξίσωση της ε ε ε με τεταγμένη και Β ένα ε με τετμημένη 1, να βρείτε τα σημεία Α και Β Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες δυο σημείων Γ και Δ της ευθείας ( ε ), έτσι ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο Α Δ Γ Κ Αδαμόπουλος

78 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒΟ/15Έστω τα σημεία (, 1) Α λ+ λ+, Β( λ,λ ) και Γ(0,λ 5) Α) Να δείξετε ότι για κάθε λ, τα σημεία Α,ΒΓ είναι κορυφές τριγώνου Β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ( xy, ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΑΜ = ΟΜ Γ) Να βρείτε το λ, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Β Δ) Να βρείτε το λ, ώστε ( ΑΒΓ ) = 8 ΒΟ/16 Δίνεται η ευθεία ( ε): ( α β) x α y+ = 0, η οποία είναι κάθετη στο διάνυσμα δ= (, 1) Α) Να δείξετε ότι: β Β) Αν το β παίρνει τη ελάχιστη τιμή του και Α,Β τα σημεία τομής της () ε με τους άξονες, να βρείτε: Β1) τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ( xy, ) του επιπέδου που είναι μέσα του ΑΒ Β) τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν ( xy, ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι ΝΑ = ΒΝ ΒO/17 Aν ( α β) ( α+β) και ( α β) ( α+β) υπολογίστε τη αβ, γωνία ( ) x ΒO/18 Βρείτε σημείο Μ της έλλειψης + y = 1 με μεγάλο άξονα 4 ΑΑ ώστε ΑΜΟ = 90 με Ο (0,0) y ΒO/19Aν η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείο της υπερβολής: x = 1 4 τέμνει τις ασύμπτωτές της στα ΑΒ, δείξτε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ x y ΒO/0Αν C : + = 1, βρείτε για ποιες τιμές του λ η C 9 λ 4 λ είναι έλλειψη, για ποιες υπερβολή και σε κάθε περίπτωση βρείτε τις εστίες ΒO/1 Aν μια χορδή ΒΓτης παραβολής C: y = 4x διέρχεται από το σημείο Α (4,0) να δείξετε ότι: ΟΒ ΟΓ Κ Αδαμόπουλος

79 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒO/ Αν η παραβολή C : y = px διέρχεται από το σημείο Α (1, ) βρείτε την εφαπτομένη της που σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 45 ΒΟ/ Δίνεται η εξίσωση x y xy 5x y + 4= 0 Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δυο παράλληλες ευθείες ε, ε ( ) ( ) 1 Β) Έστω ότι η ευθεία ( ): x y 8 0 ε1, ε στα σημεία Α και Β αντίστοιχα Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ, τότε Β1) να δείξετε ότι Μ( λ,5λ 1) Β) να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται στο, το σημείο Μ κινείται σε μια ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση ζ + λ= τέμνει τις ευθείες ( ) ( ) ΒΟ/4Δίνεται η εξίσωση x y 4λy λx λ = 0 με λ ( 1 ) Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 1 ) παριστάνει δυο ευθείες ( ε1),( ε ) κάθετες για κάθε λ Β) Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ( ε1),( ε ) Γ) Να βρείτε τη γραμμή πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ καθώς το λ μεταβάλλεται στο ΒΟ/5Θεωρούμε την εξίσωση x y + 4x+ 4= 0 Α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ( ε1),( ε ) Β) Αν ( ε 1 ) : x+ y+ = 0, ( ε ) : x y+ = 0, να βρεθεί το σημείο τομής Μ των ευθειών Γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι ευθείες ( ε1),( ε ) με τον άξονα yy Δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Μ (,0) και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με ΒΟ/6 Έστω τα σημεία (, 4) Α, Β (5,7) και Γ(λ+ 1,λ ), όπου λ Α) Να δείξετε ότι για κάθε λ, τα σημεία Α,Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου Β) Να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι ανεξάρτητο του λ Γ) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του λ το σημείο Γ κινείται σε ευθεία () ε παράλληλη στην ΑΒ Δ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό και ανεξάρτητο του λ Κ Αδαμόπουλος

80 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒΟ/7 Έστω η εξίσωση: ( x ) + yy ( 1) 5 +λ( x y+ 5) = y 1, λ, (1) Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του λ Β) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) διέρχονται από δυο σταθερά σημεία ΑΒ, και να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής ΑΒ Γ) Αν το κέντρο του κύκλου C που παριστάνει η (1) ανήκει στην ευθεία ( ε):x y 4= 0, να βρείτε τον λ ΒΟ/8 Θεωρούμε την εξίσωση: x + y (α+ ) x+α 4 = 0, (1) με α Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του α Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Γ) Έστω ο κύκλος C που προκύπτει από την (1) για α= και η ευθεία y = λ x, λ που τέμνει τον κύκλο σε σημείο Α διαφορετικό του Ο (0,0) Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του ΟΑ κινείται σε κύκλο σταθερής ακτίνας που διέρχεται από το Ο (0,0) ΒΟ/9 Δίνεται ο κύκλος C : x y 1 + = και η εξίσωση x + y +λ( x y+ ) = 0, λ, (1) Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( ε ) του κύκλου C 1 στο σημείο του Α ( 1, κ, ) κ Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η (1) παριστάνει κύκλο Γ) Να βρείτε τι παριστάνει η (1) για λ= Δ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) διέρχονται από σταθερό σημείο Ε) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) εφάπτονται στην ευθεία ( ε ) ΣΤ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που παριστάνει η (1) ΒO/0Δείξτε ότι η εξίσωση x y + 4kx + ky + k = 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους, βρείτε το σημείο τομής τους καθώς και το γεωμ τόπο του σημείου τομής τους ΒO/1A) Έστω C: x + y 4x y+ 1= 0 κύκλος και ε : x+ y+ 1= 0 ευθεία Α) Δείξτε ότι ο κύκλος και η ευθεία δεν τέμνονται Κ Αδαμόπουλος

81 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης Β) Αν το σημείο Μ κινείται στον κύκλο και το Ν στην ευθεία βρείτε την ελάχιστη τιμή του ΜΝ ΒO/ Οι ευθείες ( ε1) : ( λ 1) x+λ y+ 1 λ= 0 και ( ε ) :(4 λ ) x+ (6 λ) y λ= 0 είναι παράλληλες Α) Να δείξετε ότι λ= ε Β) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ( 1) Γ) Να βρείτε ευθεία ( η ) τέτοια ώστε η ( ) ευθειών ( ε 1) και ( η ) ΒΟ/ Δίνεται η ευθεία ( ): x 4y 7 0 ε και ( ) ε να είναι μεσοπαράληλλη των ε = και τα σημεία Α (,4) και Β (,6) Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ της ευθείας ( ε ) το οποίο ισαπέχει από τα Α και Β Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΜ Γ) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Κ ( xy, ) για τα οποία ισχύει: ( ΚΑΒ ) = ( ΜΑΒ ) είναι δυο ευθείες ΒO/4Δίνονται οι ευθείες: ( ) x ( ) ε x + ( λ+ ) y +λ+ = ε : 1 5 y λ λ+ = και : 1 0 Α) Βρείτε διανύσματα δ1// ε1 και δ// ε Β) Δείξτε ότι οι ε1, ε τέμνονται για κάθε λ Γ) Βρείτε τα λ ώστε ε1 ε ΒO/5Αν το Μ( αβ, ) ανήκει στον κύκλο C ( x ) ( y ) βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Ν( α 1,β+ ) : 1 + = 4 να ΒO/6Δίνεται η εξίσωση: x y x ( x y ) λ + 1 = 0 Α) Βρείτε τα λ ώστε να παριστάνει κύκλο Β) Δείξτε ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο Γ) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων τους ΒO/7 Αν (, 1) Α λ+ λ+, Β( λ,λ ), Γ(0,λ 5) και λ : Α) Δείξτε ότι τα σημεία ΑΒΓ,, είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λ Β) Βρείτε το γεωμτόπο του σημείου Μ ( xy, ) αν ΑΜ = ΟΜ με Ο (0,0) Γ) Βρείτε το λ ώστε: Β= 90 Δ) Βρείτε το λ ώστε: Ε ΑΒΓ = 8 τ µον Κ Αδαμόπουλος

82 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒO/8 Έστω ( 1, 5) Α λ λ+, Β ( 1,1) και Γ(11,5) με λ A(λ-1,λ+5) Α) Βρείτε το γεωμ τόπο του σημείου Α Κ Β) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό B(-1,1) Γ(11,5) Γ) Για λ= : i) Bρείτε το μέσο Κ της ΑΒ ii) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΑΒ iii) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου με διάμετρο ΑΒ στο σημείο του Α x y ΒO/9 Θεωρούμε την υπερβολή: C : = 1 με εκκεντρότητα α 7 ε= Α) Δείξτε ότι: α= Β) Βρείτε τη χορδή της υπερβολής που έχει ως μέσο το σημείο Μ, Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της υπερβολής που είναι παράλληλη στην ΑΒ ΒO/40 Θεωρούμε τον κύκλο C που έχει B ακτίνα ρ=, διέρχεται από το Ο (0,0) και K το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ( η ):y = x M A Α) Βρείτε το κέντρο του αν γνωρίζουμε ότι ανήκει O στο 1 ο τεταρτημόριο Β) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου C Γ) Βρείτε το σημείο του κύκλου που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από το Ο (0,0) Δ) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ των χορδών ΟΑ του κύκλου που έχουν ως ένα άκρο το Ο (0,0) ΒO/41 Θεωρούμε τον κύκλο C που έχει κέντρο (,) στην ευθεία: ( η): x y 4= 0 Α) Βρείτε την ακτίνα του ρ Β) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου C Γ) Βρείτε το σημείο Α του κύκλου που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το Ο (0,0) Δ) Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του Α O Κ και εφάπτεται ε A K ρ B η Κ Αδαμόπουλος

83 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης Ε) Αν το σημείο Σ κινείται στον κύκλο C, βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ που είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΟΣ ΒO/4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α ( 1, 1), Β(5,1) και Γ(λ 1, λ+ 1), λ Γ(λ-1,λ+1) Α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Γ Β) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό ε Κ Γ) Για λ= : i) Bρείτε το μέσο Κ του ΑΓ Α(-1,-1) Β(5,1) ii) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την πλευρά ΑΓ iii) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( ε) του κύκλου που είναι παράλληλη στην ΑΓ ΒΟ/4Δίνεται ο κύκλος C: ( x 1) + ( y 7) = 9 και το σημείο Α (1,1) Α) Να δείξετε ότι το σημείο Α είναι εξωτερικό σημείο του C ε, ε του C που Β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ( ) ( ) διέρχονται από το Α Γ) Να βρείτε την οξεία γωνία των ( ),( ) ε ε 1 1 ΒΟ/44 Έστω ο κύκλος C 1 με κέντρο Κ(1, ) που εφάπτεται εσωτερικά του C : x + y x 15 = 0 Α) Να βρείτε την εξίσωση του C 1 Β) Να βρείτε την κοινή εφαπτομένη των C 1 C ΒΟ/45 Δίνεται ο κύκλος C: x + y x+ 4y+ 4= 0 και η ευθεία ( ε) : x 4y 10 = 0 Α) Να βρείτε τη σχετική θέση της ευθείας ( ε ) ως προς τον κύκλο C Β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που απέχει η ευθεία () ε από ένα σημείο του κύκλου C BO/46 Δίνονται οι κύκλοι C : x + y = 1 και 1 C : x + y 6x 8y+ 1 = 0 Α) Να βρείτε τη σχετική θέση των δυο κύκλων Β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που μπορεί να απέχει ένα σημείο του C 1 από ένα σημείο του C ΒΟ/47 Δίνεται η εξίσωση x + y +λ x+ (λ 4) y 4λ 1 = 0, λ Κ Αδαμόπουλος

84 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης Α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του λ Β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η παραπάνω εξίσωση ανήκουν σε μια ευθεία για τις διάφορες τιμές του λ Γ) Αν ο κύκλος C που παριστάνει η παραπάνω εξίσωση διέρχεται από το σημείο Α (1, ), να βρείτε το λ και την εφαπτομένη του C στο Α ΒO/48 Έστω α= (,1) και β= (, 1) Α) Βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β Β) Βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων αβ, Γ) Αναλύστε το διάνυσμα β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α Δ) Βρείτε διάνυσμα u κάθετο στο α με μέτρο 10 ΒO/49 Δίνονται τα σημεία Α(0, ), Β ( 1,1) και Γ( κ 1, κ ) Α) Να αποδειχθεί ότι τα σημεία ΑΒΓ,, είναι κορυφές τριγώνου για κάθε κ Α) Να αποδειχθεί ότι το σημείο Γ κινείται σε σταθερή ευθεία καθώς το κ μεταβάλλεται στο Β) Να βρεθεί για ποια τιμή του κ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α Γ) Να βρεθεί για ποια τιμή του κ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ A(4,) ΒO/50 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α (4,), Β(1, ) και Γ (6,7) Μ Α) Βρείτε τη γωνία Α του τριγώνου Β) Αν ΒΜ η διάμεσος υπολογίστε το ΒΜ B(1,) Γ(6,7) Γ) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ x ΒO/51 Αν η έλλειψη: C: + y = 1 έχει εκκεντρότητα ε= : α Α) Δείξτε ότι: α= Β) Δείξτε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της χορδής ΑΒ της έλλειψης που 1 έχει μέσο το σημείο Μ 1, είναι 1 λ= και βρείτε την εξίσωσή της Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της υπερβολής που είναι παράλληλη στην ΑΒ Δ) Αν το σημείο Μ ( x0, y0) κινείται στην έλλειψη C βρείτε το γεωμετρικό Σ x, y τόπο του σημείου ( ) 0 0 Κ Αδαμόπουλος

85 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒO/5 Αν 1 :( ) x 4y 0 ε µ + µ= και ε : 4 x+ ( µ+ ) y + 1 = 0 βρείτε το µ ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες π ΒO/5 Αν α =, β = και ( αβ, ) =, βρείτε: Α) Το α β, Β) το v αν v = α β Γ) το v β v, β ΒO/54 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α (,) και κύκλος διαμέτρου ΑΒ με εξίσωση: C : x + y x y = 0 Α) Βρείτε το Β Β) Βρείτε το γεωμ τόπο του Γ αν το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι 6 τ μονάδες B και Δ) την ( ) Κ A(,) Γ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Α Δ) Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου που είναι παράλληλη στην ΑΒ ΒO/55 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x y λx 4λy λ = 0 παριστάνει δύο κάθετες ευθείες, να βρεθεί το σημείο τομής τους (συναρτήσει του λ) καθώς και ο γεωμ τόπος του σημείου τομής ΒO/56 Αν α= ( µ+ 1,1), β= (1, µ+ 1) και α β= 5: Α) δείξτε ότι µ= 1 Β) Υπολογίστε τη γωνία ( αβ, ) Γ) Βρείτε το λ αν τα διανύσματα: δ 1 = α + λβ και δ = α+β είναι κάθετα Δ) Αναλύστε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο γ= (,) ΒO/57 Θεωρούμε την ευθεία: ( ε) : (1 συνθ ) x+ (1 + συνθ) y 1 = 0 με θ (0, π ) Α) Δείξτε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε θ (0, π ) Β) Δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο Γ) Από τις παραπάνω ευθείες βρείτε εκείνη που απέχει από το Ο (0,0) απόσταση 10 5 Δ) Βρείτε το θ αν η ( ε ) εφάπτεται σε κύκλο κέντρου Κ (1,1) και Γ ρ= ΒO/58 Θεωρούμε την παραβολή C : y = px Φέρω την εφαπτομένη στο σημείο της Μ, που τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Α Αν η κάθετη Κ Αδαμόπουλος

86 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης στην εφαπτομένη στο Μ τέμνει τον xx στο σημείο Β, δείξτε ότι η εστία Ε είναι το μέσο του ΑΒ ΒO/59 Θεωρούμε την παραβολή C : y = px με εστία Ε Από τυχαίο σημείο Α του άξονα yy φέρουμε ευθεία ( ε ) κάθετη στην ΑΕ στο Α Να δείξετε ότι η ( ε ) είναι εφαπτομένη της παραβολής x y ΒO/60 Θεωρούμε την έλλειψη C : + = 1, με α>β Αν α = β 7 και η εκκεντρότητα είναι Α) Βρείτε τα αβ, α β ε= 5 5 Β) Δείξτε ότι η χορδή ΑΒ που έχει μέσο Μ, έχει συντελεστή 4 διεύθυνσης λ= και βρείτε την εξίσωσή της 5 Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της έλλειψης που είναι παράλληλη της ΑΒ x y ΒO/61 Θεωρούμε την έλλειψη C : + = 1 που εφάπτεται στην α 4 ευθεία ( ε ): y = x+ 4 Α) Βρείτε το α Β) Βρείτε τις εφαπτόμενες της έλλειψης που είναι κάθετες στην () ε ΒO/6Αν '( 0, ) Ε και ( 0, ) Ε οι εστίες μια έλλειψης C με εκκεντρότητα ε= : Α) Βρείτε την εξίσωσή της Β) Βρείτε τις εφαπτόμενές της που σχηματίζουν με τον άξονα xx ' γωνία 45 ΒO/6 Έστω 1 :x y 0 ε +α = και ε : β x+ 4y +γ= 0 δύο ευθείες που είναι κάθετες και τέμνονται στο σημείο Α (,1) Α) Βρείτε τους αριθμούς αβγ,, Β) Θεωρούμε τα σημεία Β (,8) και Γ(10, 1) : i) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα ΒΓ, ii) Βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1, ε iii) Βρείτε το σημείο Μ της ε που ισαπέχει από τις ε1, ε iv) Αν είναι Μ (5,) να βρείτε τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Μ και απέχουν από το σημείο Γ απόσταση ίση με 5 Κ Αδαμόπουλος

87 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου ΒΟ/64 Αν β= Α) Δείξτε ότι α = Β) Αν γ= α+ β :, ( αβ, ) = 10 και ( α β ) ( 6α+ 5β ) βρείτε το γ και τη γωνία ( αγ, ) Ασκήσεις επανάληψης ΒO/65 Θεωρώ την εξίσωση: x + y + ( λ 1) x+ ( λ) y λ 1 = 0, λ Α) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ Β) Δείξτε ότι ο γεωμ τόπος του κέντρου του είναι μια ευθεία ( ε ) Γ) Βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του να είναι 4 Δ) Αν ρ= 4 βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου που είναι παράλληλες στην ευθεία ( ε ) ΒO/66 Έστω η εξίσωση: ( ) x + y 4x+ y +λ ( x+ y ) = 0, λ Α) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ Β) Δείξτε ότι ο γεωμ τόπος του κέντρου του είναι μια ευθεία ( ε ) Γ) Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από δύο σταθερά σημεία A, B Δ) Αν λ= βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου που είναι παράλληλες στην ευθεία ( η):x 4y + 1= 0 Ε) Αν λ= βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΒ ΒO/67 Θεωρώ τα διανύσματα: α= ( y 1,1) και β= ( y+ 1,1 4 x) Α) Αν α β να δείξετε ότι ο γεωμ τόπος του Μ ( xy, ) είναι η παραβολή: C1 : y = 4x Β) Αν 5α β = να δείξετε ότι ο γεωμ τόπος του Ν ( xy, ) είναι ο 9 κύκλος: C : ( x+ 1) + y = 8 Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής C 1 που είναι παράλληλη στην ευθεία: ( η): x y + 4= 0 και αποδείξτε ότι εφάπτεται και στο κύκλο C Δ) Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής C 1 που διέρχονται από το κέντρο του κύκλου C Ε) Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής C 1 που απέχουν από την εστία της απόσταση 1 ΒO/68 Αν Ο (0,0) θεωρώ τα διανύσματα: ΟΑ = ( 1, y) και ΟΒ = ( x, y) Κ Αδαμόπουλος

88 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης Δ1) Αν ΟΑ ΟΒ να δείξετε ότι ο γεωμ τόπος των σημείων Μ ( xy, ) είναι η παραβολή: C1 : y = x και να βρείτε την εστία Δ) Αν ΟΑ + ΟΒ = 15 δείξτε ότι ο γεωμ τόπος των σημείων Μ ( xy, ) είναι ο κύκλος C κέντρου Ο (0,0) και ακτίνας ρ= Δ) Βρείτε τα κοινά σημεία Α και Β του κύκλου και της παραβολής, όπου Α το σημείο με θετικές συντεταγμένες Δ) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο ένα από τα κοινά σημεία είναι παράλληλη της εφαπτομένης της παραβολής στο άλλο από τα κοινά σημεία Δ4) Βρείτε τη χορδή του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α και έχει μήκος ΒO/69Αν α=, β= 1 και ( α+β) (α β) : Α) Δείξτε ότι α β= 1 Β) Βρείτε τη γωνία ( αβ, ) Γ) Δείξτε ότι α+β = α β ΒΚ/70 Δίνεται η εξίσωση: x + y = xln θ+ ln θ+ 4ln θ ( 1 ), όπου θ> 0 Α) Να βρείτε τις τιμές του θ για τις οποίες η ( 1 ) παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Για τις παραπάνω τιμές του θ, να βρείτε αυτές για τις οποίες: Β) Η ευθεία ( ε ) : x+ 015y = ln( θ ) διέρχεται από το κέντρο Κ του κύκλου Γ) Η ευθεία ( ζ ): y = x+ 4 εφάπτεται του κύκλου ΒO/71Αν α= ( x, y+ 1), β= ( x+, y 1) και α β= 1: Α) Δείξτε ότι ο γεωμ τόπος του σημείου Μ ( xy, ) είναι η έλλειψη x C: + y = 1 Β) Βρείτε την εκκεντρότητα της C 4 Γ) Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης που είναι παράλληλες στην ευθεία ΑΒ, ( ΑΑ ο μεγάλος και ΒΒ ο μικρός άξονας) Δ) Αν το σημείο Ρ ( x0, y0) κινείται στην έλλειψη C βρείτε το γεωμ τόπο x0 y0 του σημείου Σ, 4 Ε) Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της απόστασης ΡΣ Κ Αδαμόπουλος

89 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒO/7Θεωρούμε την εξίσωση + 6α + β 1= 0 με α, β x y x y και β = 6α Α) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε α, β και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του Β) Δείξτε ότι ο γεωμ τόπος του κέντρου του κύκλου είναι μια παραβολή της οποίας να βρείτε την εστία Βρείτε το α ώστε η ακτίνα του κύκλου να είναι 7 Γ) Βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία ( η) : x y+ 1 = 0 ΒO/7 Δίνεται η εξίσωση: x ( 1) y 4 0 λ + λ+ +λ = (1) Γ1) Δείξτε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε λ Γ) Δείξτε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνει η (1) για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο και να βρείτε Γ) Βρείτε το λ για το οποίο η ευθεία που παριστάνει η (1) 0 σχηματίζει με τον άξονα xx γωνία 45 ΒO/74 Θεωρούμε τα διανύσματα α= (,1) και β= (1, ) Β1) Βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β Β) Βρείτε τη γωνία ( αβ, ) Β) Βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα α και α + λβ να είναι κάθετα ΒO/75 Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ: Α) Βρείτε τις εξισώσεις της πλευράς ΒΓ και A(5,1) του ύψους ΑΔ Δ Β) Βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το Ο (0,0) άξονα συμμετρίας τον yy και διέρχεται από το σημείο Γ B(4,4) Γ) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στη ΒΓ Δ) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΒO/76 Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ: Α) Βρείτε το γεωμ τόπο του Α Για λ=1, βρείτε: Β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Γ) Την απόσταση του Α από την ευθεία ΒΓ Β(1,) A(λ-1,λ+) Δ Γ(,1) Γ(,) Δ) την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το Α που εφάπτεται στη ΒΓ Ε) Την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΓ Κ Αδαμόπουλος

90 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒO/77 Αν α // β : Α) Δείξτε ότι η εξίσωση C x + y + α x β y+ αβ = : παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Β) Αν ο κύκλος διέρχεται από το Ο (0,0) και η ευθεία ( ε ): y = x+ α+ 4β εφάπτεται του C στο σημείο Α ( α,4β) Β1) Δείξτε ότι α β Β) Δείξτε ότι: α= β α Β) Αν επιπλέον α=, βρείτε την εξίσωση του κύκλου, το κέντρο και την ακτίνα του Α BΟ/78 Έστω τρίγωνο ΟΑΒ ισοσκελές και ορθογώνιο στο Α Δ 1 Μ Στην ΑΒ παίρνουμε το σημείο Δ ώστε Α = ΑΒ Αν ΟΑ = α και ΟΒ = β: Ο Α) Να εκφράσετε τα Ο και ΒΜ συναρτήσει των αβ, Β) Να δείξετε ότι διάνυσμα Ο είναι κάθετο στο ΒΜ BΟ/79 Δίνεται η εξίσωση x y (λ 4) xλyλ 0 με λ Α) Δείξτε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Β) Δείξτε ότι το κέντρο του παραπάνω κύκλου κινείται σε μια ευθεία Γ) Θεωρούμε τον κύκλο C 1 που παριστάνει η παραπάνω εξίσωση και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία η:x y6 0, καθώς και την παραβολή C με κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συμμετρίας τον xx και εστία το σημείο Ε( 1, 0) Γ1) Βρείτε τις εξισώσεις των C1, C Γ) Βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των C1, C ΒO/80Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Ο xy θεωρούμε τις ευθείες ( ε λ ) με εξίσωση: ( ε λ ) : x+ ( λ+ ) y+ 1 λ= 0 και το διάνυσμα α= ( λ,1), λ Α) Να δείξετε ότι από τις παραπάνω ευθείες αυτή που είναι παράλληλη Β Κ Αδαμόπουλος

91 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης στο διάνυσμα α είναι η x+ y+ = 0 Στη συνέχεια να βρείτε το πλησιέστερο σημείο της από αρχή των αξόνων Β) Να αποδείξετε ότι d ( Οε, λ ) 10, για κάθε λ Γ) Να αποδείξετε ότι από τις παραπάνω ευθείες αυτή που απέχει τη μέγιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι η ( ε1 ) : x y+ 10 = 0 Δ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ α ε με τεταγμένη όπου α= ( 1,1) και απέχουν από το σημείο της ( ) 1 Α (1,1) απόσταση ίση με 8 ΒΚ/81 Θεωρούμε τον κύκλο C που διέρχεται από τα σημεία Α (,0), Β (,0) και Γ (0,6) Α) Να δείξετε ότι C: x + ( y 4) = 4 Β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του κύκλου C Γ) Από τα σημεία του κύκλου να βρείτε εκείνο που απέχει την μέγιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων και εκείνο που απέχει την ελάχιστη και στη συνέχεια να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων θέσης των σημείων αυτών Δ) Αν Μ1, Μ είναι τα σημεία επαφής του κύκλου με τις εφαπτομένες του ερωτήματος Β), να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το Ο (0,0) και διέρχεται από τα σημεία Μ 1 και Μ ΒΚ/8 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα αβ,, καθώς και η α β 1 x+ α β y+ 4= 0 ( 1 ) εξίσωση: ( ) ( ) Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( 1 ) παριστάνει ευθείες για κάθε τιμή του α β, οι οποίες διέρχονται από σταθερό σημείο Β) Να αποδείξετε ότι αν η ευθεία που παριστάνει η ( 1 ) διέρχεται από το σημείο Α (, ) τότε α β Αν για τα διανύσματα αβ, ισχύουν οι σχέσεις: α=β= και β α ( α+ β ) = : Γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( 1 ) παριστάνει την ευθεία ( ε): x y 8= 0 Δ) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε η ευθεία ( ε ) να εφάπτεται στον κύκλο C: ( x κ ) + ( y+ ) = 10 1 Κ Αδαμόπουλος

92 Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου Ασκήσεις επανάληψης ΒΚ/8 Δίνονται τα διανύσματα α= (x 1, y+ ), β= (x+ 1, y ) Α) Αν α β να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C 1 των σημείων Μ ( xy, ) είναι μια έλλειψη της οποίας να βρείτε τις εστίες και την εκκεντρότητα Β) Αν ισχύει: α+β + 1y 64 = 0 να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων Ν ( xy, ), είναι κύκλος του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Γ) Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που ανήκουν και στους δυο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους C1, C Δ) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που άγονται από το σημείο Α (,) ΒΚ/84 Δίνονται τα διανύσματα αβ, ώστε α=β= και ( α+ β) ( α β ) = 6 και ο κύκλος: C: x + y ( α β 5) x α β y+ 9= 0 π Α) Να δείξετε ότι ( αβ, ) = Β) Να δείξετε ότι β α 0 Γ) Να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C Δ) Να βρείτε τον αριθμό κ, ώστε τα διανύσματα γ = κα β και δ=α+ β να είναι κάθετα Ε) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του β Β + α,( γ δ ) + α Κ Αδαμόπουλος