Logické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.

Transcript

1 Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.

2

3 KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré sú potrebné pre štúdium logických systémov. V prvom rade sa dohodnime na tomto označení číselných množín: N={0,1,2,...,n,...}, N + = {1,2,...,n,...}, Z množina všetkých celých čísel, R množina všetkých reálnych čísel, R + množinavšetkýchkladnýchreálnychčísel. 1. Zobrazenia a operácie Definícia 1.1. Nech A, B sú množiny. Pravidlo(predpis) f, ktoré každému prvku x Apriradíjedenprvok y B,sanazývazobrazenie množiny A do množiny Baoznačujesa f: A B.Prvok ypriradenýprvku xnazývameobrazomprvku x apíšeme y=f(x)(tiež x y).prvok xnazývamevzoromprvku y.množina Asa nazývaobor(tieždefiničnýobor)amnožina Bkooborzobrazenia f. Príklad1.1.Nech A={a,b,c},B= {0,1}.Potom f: A B;a 1,b 0,c 1 jezobrazeniemnožiny Adomnožiny B,lebokaždýprvokmnožiny Amálenjedenobraz. Definícia1.2.Zobrazenie f: A Bsanazýva injektívne (tiežprosté),akprekaždé x 1,x 2 A,platí:ak x 1 x 2,potom f(x 1 ) f(x 2 ); surjektívne,akkaždýprvok y Bmávzor(t.j.kukaždému y Bexistujetaké x A,že y= f(x)); bijektívne, ak je injektívne aj surjektívne. Príklad 1.2. Zobrazenie f z predchádzajúceho príkladu nie je injektívne, lebo a c, ale f(a)=1=f(c).jevšaksurjektívne,lebokaždýprvokmnožiny Bmávzor,konkrétne vzoromprvku0je bavzoromprvku1je a. Definícia1.3.Karteziánskymsúčinommnožín M 1,M 2,...,M n nazývamemnožinu M 1 M 2 M n = {(x 1,x 2,...,x n );x 1 M 1,x 2 M 2,...,x n M n }. Vprípade,že M 1 = M 2 = =M n = M,namiesto M M Mpíšeme M n. Prvok(x 1,x 2,...,x n )sanazývausporiadaná n-tica. Usporiadané n-tice(x 1,x 2,...,x n ),(y 1,y 2,...,y n )súrovnaképrávevtedy,keď x 1 = y 1, x 2 = y 2,...,x n = y n. Príklad1.3.Karteziánskymsúčinommnožín A={a,b,c},B= {0,1}jemnožina A B= {(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)}. 3

4 4 1. ÚVODNÉ POJMY Definícia1.4.Nech Ajemnožina, njeprirodzenéčíslo.každézobrazenie h:a n A nazývame n-árnou operáciou na množine A.Špeciálnepre n=1saoperácia h nazývaunárnaapre n=2binárna. Príklad1.4.Funkcia f(x,y)=x+yjebinárnaoperácianamnožiner,pretožeje definovanáprekaždé x,y Ratiež f(x,y) R. Funkcia g(x,y)=x yjetiežbinárnouoperáciounar,pretožejejdefiničnýoborje R Raprekaždé x,y Rplatí g(x,y) R. Funkcia h(x,y)=x yniejebinárnaoperácianar +,pretožerozdielkaždýchdvoch kladnýchreálnychčíselnemusíbyťkladnéreálnečíslo,napr.2 3= 1 / R +,pričom 2,3 R +. Funkcia k(x)=x+3jeunárnaoperácianar,pretožeprekaždé x Rplatí x+3 R. Poznámka1.1.Nech :A 2 Ajebinárnaoperácianamnožine A.Potomobraz dvojice(a,b) A 2 namiesto (a,b)častooznačujemesymbolom a b. Definícia1.5.Binárnaoperácia :A 2 Asanazýva komutatívna,akprekaždé a,b Aplatí a b=b a, asociatívna,akprekaždé a,b,c Aplatí(a b) c=a (b c). Prvok e Asanazývaneutrálny prvok binárnejoperácie namnožine A,akpre všetky x Aplatí x e=e x=x. Poznámka 1.2. Binárnu operáciu, ktorú označujeme, obvykle nazývame súčin a jej neutrálny prvok(pokiaľ existuje) nazývame jednotkový prvok. Binárnu operáciu, ktorú označujeme +, obvykle nazývame súčet a jej neutrálny prvok (pokiaľ existuje) nazývame nulový prvok. Príklad1.5.Binárnaoperácia :R 2 R,x y=x 3 y 3 jekomutatívna,lebopre všetky x,y R x y= x 3 y 3 = y 3 x 3 = y x, aleniejeasociatívna,lebonapr.pre x= 3 2,y=1,z= 9 2 (x y) z=( 3 2 1) 9 2=(2 1) 9 2=8 3 2 x (y z)= 3 2 (1 9 2)= 3 2 (1 3 2)=2 2=4 Preneutrálnyprvok e Rbymaloplatiť x e=x,teda x 3 e 3 = xapoúprave(za predpokladu,že x 0) e= 3 x 2.Prvok emusíbyťprevšetky xrovnaký,čovnašom prípade nenastáva. To znamená, že táto operácia nemá neutrálny prvok. Definícia 1.6. Nech, sú binárne operácie na množine A. Hovoríme, že binárna operácia je distributívna vzhľadom k binárnej operácii, ak pre všetky x,y,z A x (y z)=(x y) (x z), (y z) x=(y x) (z x). Príklad1.6.NamnožineN + uvažujmebinárneoperácie: +:(N + ) 2 N + štandardnésčitovanie, :(N + ) 2 N +,x y= x,

5 2. JAZYK NAD ABECEDOU 5 :(N + ) 2 N +,x y= y. Binárnaoperácia jedistributívnavzhľadomkoperácii,leboprevšetky x,y,z N + x (y z)=x z= x, (x y) (x z)=x x=x=x (y z), (y z) x=z x=z, (y x) (z x)=y z= z=(y z) x. Analogicky sa dá ukázať, že operácia je distributívna vzhľadom k operácii. Naproti tomuoperácie, niesúdistributívnevzhľadomkoperácii+,čovyplývazfaktu 1 (2+3)=1 5=1, (1 2)+(1 3)=1+1=2 1 (2+3), (2+3) 1=5 1=1 (2 1)+(3 1)=1+1=2 (2+3) Jazyk nad abecedou Jedným z prostriedkov výmeny informácií medzi ľuďmi je ľudská reč. Jej významové jednotkysúvety.vetysaskladajúzoslovaslovázpísmen.vtejtočastizovšeobecníme tieto pojmy z prirodzených jazykov. Definícia 1.7. Neprázdnu množinu X nazývame abecedou. Prvky množiny X nazývame písmenami (abecedy X). Konečnú postupnosť písmen abecedy X nazývame slovomnad X.Početpísmenvslove wnadabecedou Xnazývamedĺžkouslova wa označujemeju w.množinuvšetkýchslovnadabecedou Xoznačujeme X +. Nech / X +.Symbol nazývameprázdnymslovomnad Xapriraďujememudĺžku nula.množinuvšetkýchslovnadabecedou Xspolusprázdnymslovomoznačujeme X. Príklad 1.7.Nech X = {a,b,c,d,e}. X jeabeceda,jejpísmenamisú a,b,c,d,e. Slovamisúnapr. aa,baba,cda,e,dedaeccb.slovo aamádĺžku2,slovo babamádĺžku4 ( baba =4), cda =3, e =1, dedaeccb =8. Príklad1.8.Nech X= {0,1}.Napíšemepostupnevšetkyslovánad Xdĺžok1,2,3. Riešenie. Dĺžku1majúdveslová:0,1. Dĺžku2majúštyrislová:00,01,10,11. Dĺžku3máosemslov:000,001,010,100,110,101,011,111. Poznamenajme,ževšetkýchslovsdĺžkou nnaddvojprvkovouabecedouje2 n. Definícia1.8.Binárnuoperáciu namnožine X definovanú: x 1 x 2...x n y 1 y 2...y m x 1 x 2...x n = x 1 x 2...x n y 1 y 2...y m = x 1 x 2...x n = x 1 x 2...x n = kde x 1 x 2...x n X +,y 1 y 2...y m X + a jeprázdneslovo,nazývamezreťazenímslov z X.Množinu X + spolusbinárnouoperáciou zreťazenianazývamevoľnápologrupa nadmnožinou X(množina X spolusoperáciouzreťazeniaslovsanazývavoľnápologrupasjednotkoualebotiežmonoid).každúpodmnožinumnožiny X nazývame jazykom nad abecedou X.

6 6 1. ÚVODNÉ POJMY Poznamenajme, že tak ako pri násobení reálnych čísel namiesto x.y píšeme xy, tak aj pre binárnu operáciu namiesto x y píšeme xy. Potom môžeme definíciu zreťazenia slov z X prepísaťtakto: (x 1 x 2...x n )(y 1 y 2...y m ) = x 1 x 2...x n y 1 y 2...y m x 1 x 2...x n = x 1 x 2...x n = x 1 x 2...x n = Príklad1.9.Slovo01100nadabecedou X= {0,1}jezreťazenímslov0a1100,tiež zreťazenímslov01a100,aleniejezreťazenímslov000a11. Príklad1.10.Ak X= {0,1},takzreťazenímslov1101, jeslovo1101 =1101. Slovo1101jezreťazenímslov11,01,akoajzreťazenímslov1,,101,pretože(1 )101= Veta1.1.Prebinárnuoperáciuzreťazeniaslovnamnožine X platíasociatívnyzákon (xy)z= x(yz). Dôkaz.Ak x,y,z X,takpodľadefiníciezreťazeniapreslová xy, z, x, yz platí (xy)z= xyz, x(yz)=xyz,teda(xy)z= x(yz). Tak, ako je obvyklé v prípade platnosti asociatívneho zákona, budeme označovať xyz=(xy)z= x(yz). Príklad 1.11.Nech X = {0,1,2}.Potomzreťazenímslov01,210,,22jeslovo 01(210( 22))=01(21022)= Slovo120021jezreťazenímslov12, 00,, 21, ale aj zreťazením slov 12,, Výroková logika 3.1. Výroky. Mnohé vety, ktoré používame v prirodzených jazykoch(slovenčina, angličtina, atď.) alebo v jazykoch vedných odborov sú pravdivé, mnohé sú nepravdivé(i keď o ich pravdivosti či nepravdivosti nemusíme vedieť práve rozhodnúť) a sú vety, o pravdivosti ktorých nemázmyselvôbecuvažovať(napr. Neotravujtemasmatematikou! ).Vtejtočastisa budeme zaoberať vetami, o pravdivosti ktorých má zmysel uvažovať. Definícia 1.9. Vety, ktoré sú pravdivé a vety, ktoré sú nepravdivé, majú pravdivostnú hodnotu. Vety, ktoré majú pravdivostnú hodnotu a tá sa nemení, sa nazývajú výroky. Pravdivostná hodnota pravdivého výroku je 1, pravdivostná hodnota nepravdivéhovýrokuje0. Na označenie pravdivostnej hodnoty výroku A budeme používať symbol ph(a). Príklad1.12.Vteóriiprirodzenýchčíseljeveta Súčetčísladvaačíslatriječíslo päť. pravdivýmvýrokom. Trijepárnečíslo. jenepravdivývýrok. Číslo xjenepárne číslo. niejevýrok,lebotátovetaniejeanipravdivá,aninepravdivá.pravdivoualebo nepravdivousastaneažpodosadeníkonkrétnehočíslaza xatoužbudeináveta.veta Číslotrijenepárnečíslo. jepravdivývýrok. Výroky môžeme spájať pomocou špeciálnych slovných spojení a vytvárať tak zložitejšie výroky, hovoríme im zložené výroky.

7 3. VÝROKOVÁ LOGIKA 7 Definícia1.10.Ak A, Bsúvýroky,tak negáciou výroku Anazývamevýrok Niejepravda,že A aoznačujemeho Aalebo A, konjunkciouvýrokov A, Bnazývamevýrok AaB aoznačujemeho A B, disjunkciouvýrokov A, Bnazývamevýrok Aalebo B aoznačujemeho A B, implikáciouvýrokov A, Bnazývamevýrok Ak A,potom B aoznačujemeho A B, ekvivalenciouvýrokov A, Bnazývamevýrok Avtedyalenvtedy,keď B aoznačujeme ho A B. Okrem uvedených slovných spojení sa pri vytváraní zložených výrokov používajú aj iné.napríklad,ak Ajevýrok Číslo2jeväčšieako3.,takjehonegáciu Amôžeme vyjadriť: Niejepravda,žečíslo2jeväčšieako3. alebo Číslo2niejeväčšieako3. alebo Číslo2jemenšiealebosarovnáčíslu3. Tietotrivýrokysamozrejmepovažujeme za rovnaké. Konjunkciudvochvýrokov A,Bmôžemevyjadriťaj Aasúčasne B.,ichimplikáciuzas Ak A, B. alebo Ak A,tak B.. Aký je súvis medzi pravdivostnými hodnotami výrokov A, B a pravdivostnými hodnotamivýrokov A, A B, A B, A B, A B?Priichurčovanísavychádzalozozaužívaných spôsobov hodnotenia myslenia. Napríklad, ak výrok A je pravdivý, tak na otázku Jepravdivývýrok Aalebo B? odpovieme Áno,jepravdivý..Tedaph(A B)=1, keď ph(a) = 1. Pravdivostné hodnoty negácie, konjunkcie, disjunkcie, implikácie a ekvivalencie uvádzame v tab. 1. Tabuľka 1. Pravdivostné hodnoty zložených výrokov A A A B A B A B A B A B A B A B A B Definícia Tieto tabuľky sa nazývajú pravdivostné tabuľky postupne negácie, konjunkcie, disjunkcie, implikácie, ekvivalencie. Znaky negácie, konjunkcie, disjunkcie, implikácie, ekvivalencie, t.j. znaky,,,, a im zodpovedajúce slovné spojenia nazývame logické spojky alebo funktory. Výroky A,Bsanazývajúekvivalentné,ak ph(a B)=1. Uvažujmeterazovýroku Akzajtrabudeunáspekne,takpôjdemekjazerualebo pôjdemedohory. Skladásazvýrokov Zajtrabudeunáspekne., Pôjdemekjazeru alebopôjdemedohory..kebysmeprvývýrokoznačili A,druhý B,takpôvodnývýrok je A B.Aledruhývýroksazasaskladásdvochvýrokov,ato Pôjdemekjazeru. a Pôjdemedohory..Keďichoznačímepostupne C, D,takpôvodnývýrokmôžemezapísať vtvare A (C D).Výroky A,C,Dsaužďalejnedajúrozkladaťnajednoduchšievýroky. Definícia Výroky, ktoré sa nedajú rozložiť na jednoduchšie výroky, alebo výroky ktoré vždy vystupujú ako celok, sa nazývajú atomické(alebo atomárne). Príklad1.13. Číslo12delíčíslo24ačíslo4číslo12,apretočíslo4delíčíslo24 je výrok v teórii prirodzených čísel. Skladá sa z atomických výrokov Číslo 12 delí číslo 24, Číslo4delíčíslo12, Číslo4delíčíslo24.Akbysmesioznačilitietoatomické výrokypostupne A,B,C,môžemepôvodnývýrokzapísať(A B) C.

8 8 1. ÚVODNÉ POJMY 3.2. Kvantifikované výroky. Užsmespomenuli,ževeta(výraz) Číslo xjenepárnečíslo. niejevýrok.aleakza x dosadíme konkrétne celé číslo, dostaneme výrok. Výraz, ktorý obsahuje jednu alebo viac premenných, z ktorého po dosadení prípustných hodnôtzapremennévzniknevýrok,sanazývavýroková forma.ak A(x 1,...,x k )je výrokováforma kpremenných x 1,...,x k,takmnožina k-ticprípustnýchhodnôtsanazývadefiničný obor výrokovej formy A(x 1,...,x k ).Množinavšetkých(q 1,...,q k ) zdefiničnéhooboru Dvýrokovejformy A(x 1,...,x k ),prektoréjevýrok A(q 1,...,q k ) pravdivý,sanazývaoborpravdivostivýrokovejformy A(x 1,...,x k )aoznačujesa {(x 1,...,x k ) D;A(x 1,...,x k )}. Príklad1.14. x 2 + y 2 0jevýrokováformadvochpremenných x,y.jejdefiničný oborjer 2.Dooborupravdivostipatrílendvojica(0,0),teda {(x,y) R 2 ;x 2 + y 2 0}={(0,0)}. Výrokové formy môžeme spájať pomocou logických spojok, a tak vytvárať nové výrokové formy. Príklad1.15.Negáciouvýrokovejformy x 2sdefiničnýmoboromRjevýroková forma x <2srovnakýmdefiničnýmoborom. Konjunkciouvýrokovýchforiem x 2 x 6=0, x >0jevýrokováforma x 2 x 6=0 x >0. Zvýrokovejformysadávytvoriťvýrokajinýmspôsobomakojedosadeniehodnôtza premenné. Môžeme vytvoriť výrok, v ktorom sa hovorí o počte prvkov, ktoré keď dosadíme za premenné do výrokovej formy, dostaneme pravdivý výrok. Takéto výroky nazývame kvantifikované výroky. Nech A(x) je výroková forma jednej premennej x s definičným oborom D. Potom môžeme vytvoriť takéto kvantifikované výroky: Existuje(existuje aspoň jedno) x, že A(x). Existujú aspoň štyri x, že A(x). Existuje najviac päť x, že A(x). Existujúprávetri x,že A(x). Pre všetky x(platí) A(x). Výrazy vytlačené polotučnou kurzívou sa nazývajú kvantifikátory. V matematike sa najčastejšie používajú prvý a posledný. Ten prvý sa nazýva existenčný(alebo malý) kvantifikátor a posledný všeobecný(alebo veľký) kvantifikátor. Existenčný kvantifikátor sa označuje symbolom (otočené písmeno E). Kvantifikovaný výrok môžeme stručne zapísať Existuje x,že A(x). x D A(x) alebo x D A(x) Akjeznámyoborpremennej x,môžemepoužiťajzápis x A(x) alebo x A(x). Všeobecný kvantifikátor sa označuje symbolom (otočené písmeno A). Kvantifikovaný výrok Prevšetky x A(x).

9 3. VÝROKOVÁ LOGIKA 9 stručne zapisujeme x D A(x) alebo A(x) x D alebo,akjeznámyoborpremennej x, x A(x) alebo x A(x). Príklad Rozhodnite o pravdivosti výrokov (1) n Z n 2 =9, (2) n Z n 2 =9, (3) n Z n 2 =2, (4) n Z n 2 =2. Riešenie.Prvývýrokjepravdivý,lebopre n= 3je( 3) 2 =9. Druhývýrokjenepravdivý,leborovnosť n 2 =9neplatíprekaždéceléčíslo n,napr. pre n=0je n 2 =0 2 =0 9. Tretíajštvrtývýroksúnepravdivé,lebolenpredvereálnečíslaplatí,žeichdruhá mocninaje2.sútočísla 2a 2,noanijednoznichniejeceléčíslo. Kvantifikované výroky môžeme vytvoriť aj z výrokových foriem dvoch, troch a viac premenných. Napr. výraz x Z y R x+y 2 4 je výrok, ktorý čítame: Existujeceléčíslo xtak,žeprevšetkyreálnečísla yje x+y 2 4. Výrok y R x Z z R x+y 2 z 4 čítame Prekaždéreálnečíslo yexistujeceléčíslo xtak,žeprevšetkyreálnečísla zje x+y 2 z 4. Nech A(x,y)jevýrokováformadefinovanápre x D,y E.Výraz x D A(x,y) resp. x D A(x,y)niejevýrok.Akvšakzapremennú ydosadímekonkrétnyprvok množiny E, dostaneme výrok. Uvedené výrazy sú teda výrokové formy premennej y. Príklad Rozhodnite o pravdivosti výrokov (1) x R y R x y=1, (2) y R x R x y=1. Riešenie. (1)Nech xjeľubovoľnéreálnečíslo.ksplneniurovnosti x y=1stačízvoliť y= x 1. Kukaždému x Rsmenašli(tedaexistuje) y R(y= x 1)tak,žeplatí x y=1. To znamená, že výrok je pravdivý. (2)Malobyexistovať ytaké,žeprevšetkyreálnečísla xje x y=1.označmetočíslo y 0.Pokiaľexistuje,mápreňplatiť x y 0 =1prevšetky x R.Lenžepre x=y 0 platí x y 0 = y 0 y 0 =0 1.Znamenáto,žetaké y 0 neexistuje,atedavýrokjenepravdivý. Poznámka 1.3. Výroky z predchádzajúceho príkladu sa od seba líšia len poradím kvantifikátorov. Aby bol prvý výrok pravdivý, je potrebné, aby pre každé x existovalo y tak,že x y=1.uvedommesi,žeprerôznečísla xajzodpovedajúcečísla ymôžubyť rôzne. Naproti tomu, aby bol pravdivý druhý výrok, je potrebné, aby existovalo jedno ytak,žeprevšetky xje x y=1.tedato yjeprevšetky xstáletoisté.vidíme,že

10 10 1. ÚVODNÉ POJMY zmenou poradia malého a veľkého kvantifikátora dostávame odlišné výroky, ktoré nemusia byť ekvivalentné. Poradie za sebou idúcich kvantifikátorov rovnakého typu(oba sú všeobecné alebo oba súexistenčné)môžememeniťavýroksapritomnezmení.pretoajvýrazy x D y D resp. x D y Dskracujemena x,y Dresp. x,y D. Venujme sa teraz tomu, ako tvoriť negácie kvantifikovaných výrokov. Nech A(x) je výrokováformadefinovanánamnožine D.Negáciouvýroku x D A(x)jevýrok Nie jepravda,žeexistuje x D,prektoréplatí A(x). Tojetoistéako Neexistuje x D, prektoréplatí A(x). atiežako Prevšetky x Dplatínegácia A(x),,čomôžeme zapísať takto: x D A(x). Podobnými úvahami by sme utvorili aj negácie ďalších typov kvantifikovaných výrokov. Uvádzame ich v tabuľke 2. Číslo k je tu jedno konkrétne ale ináč ľubovoľné prirodzené číslo väčšie ako 1. x D A(x) Tabuľka 2. Negácie kvantifikovaných výrokov Výrok x D A(x) Negácia výroku Existujeaspoň kprvkov x,že A(x). Existujenajviac k 1prvkov x,že A(x). Existujenajviac kprvkov x,že A(x). Existujeaspoň k+1prvkov x,že A(x). Existujepráve kprvkov x,že A(x). x D A(x) Existujenajviac k 1aleboaspoň k+1prvkov x,že A(x). x D A(x) Negáciu výroku, ktorý obsahuje niekoľko malých a veľkých kvantifikátorov získame tak, že každý malý kvantifikátor zmeníme na veľký, veľký kvantifikátor zmeníme na malý a výrokovú formu negujeme. Príklad Napíšte negácie výrokov (1) y R x R xy y, (2) x N + y N + z N + x 2 + y 2 = z 2. Riešenie. (1) y R x R xy > y, (2) x N + y N + z N + x 2 + y 2 z Výrokové formuly. Výroková logika pri skúmaní pravdivostných hodnôt zložených výrokov si nevšíma obsah jednotlivých atomických výrokov ale ich pravdivostnú hodnotu a tiež tvar(štruktúru) zloženého výroku. Preto je vhodné zaviesť výrokové premenné premenné, za ktoré je možné dosadzovať výroky a pomocou nich, logických spojok a zátvoriek vytvárať výrazy, ktoré majú vlastnosť, že keď do nich za výrokové premenné dosadíme výroky, vzniknú z týchto výrazov výroky. Ako výrokové premenné budeme používať písmená p, q, r, s, t, poprípadetietopísmenasindexaminapr. p 1,p 2,q 4.Výrazy,oktorýchsmeterazhovorili, nazývame výrokové formuly. Ich presná definícia je takáto:

11 3. VÝROKOVÁ LOGIKA 11 Definícia Formula výrokového počtu(skrátene výroková formula alebo formula)jekaždéslovonadabecedou {,,,, (,),p,q,r,s,t,p 1,q 1,r 1,s 1,t 1,...}, ktoré vzniklo podľa pravidiel: (1) Každá výroková premenná je formula. (2)Ak a,bsúformuly,tak sú formuly. (3)Žiadneinéslovániesúformuly. a,(a b),(a b),(a b),(a b) Formulu a nazývame negáciou formuly a, formulu(a b) nazývame konjunkciou formúl a,b,formulu(a b)nazývamedisjunkciou formúl a,b,formulu(a b) nazývame implikáciou formúl a, b a formulu(a b) ekvivalenciou formúl a, b. Príklad1.19. p,q,rsúvýrokovépremenné,atedaajformuly,preto(p q),(p r)sú tiež formuly. Keď použijeme opakovane postup z bodu 2 definície formuly, tak dostaneme ajtietoformuly:(p (q r)),((p q) (r (r q))). Keby sme v definícii formuly nepoužili zátvorky, tak by formuly z predchádzajúceho príkladumalitvar p q, p r,aleužpriposlednýchdvochformulách p q r, p q r r qbysmepodosadenívýrokovzavýrokovépremennémohlidostaťvetu, ktorá nie je po obsahovej stránke jednoznačná a teda nie je výrok. Napríklad veta Keď Vladohovorí,vtedyJanomlčíaleboIvanplače vzniknedosadenímdo p (q r),ale tieždo(p q) r.vhovorovejrečisaobvyklepoužívajúnepísanédohodyaväčšinaby tútovetupriradilakp (q r)aniek(p q) r.vmatematike,aleajinýchodboroch, je takáto nejednoznačnosť neprípustná. Situácia, aby veľa zátvoriek nebolo na ujmu prehľadnosti, ale pritom nevznikala nejednoznačnosť, sa rieši buď alebo - dohodou, že zátvorky vynechávame, keď nemôže prísť k nejednoznačnosti - dohodou o vynechávaní zátvoriek a priorite logických spojok. Dohoda o vonkajších zátvorkách: V samostatne stojacich formulách budeme vonkajšie zátvorky vynechávať. Princíp priority logických spojok: Ak logické spojky usporiadame do postupnosti,,,,, tak každá logická spojka, stojaca vľavo od uvažovanej, viaže silnejšie. Nech p,q,rsúvýrokovépremenné.logickáspojka Lviaže silnejšie akologickáspojka K znamená,že p Lq K rjeformula(p Lq) K r. Poznamenajme,žetentoprincíppoznámezreálnychčísel,kde krát viažesilnejšie ako plus,čiženapr.2.3+1znamená(2.3)+1anie2.(3+1). Príklad p q rznamenáformulu(p q) r, p q r pznamenáformulu(p (q r)) p, p r p q rznamenáformulu(p r) ((p q) r). Definícia1.14.Postupnosťformúl a 1,a 2,...,a n sanazývavytvárajúca postupnosťformuly a,ak a=a n aprekaždé k {1,2,...,n}je a k buďvýrokovápremenná aleboexistujú i,j {1,2,...,k 1}tak,že a k jejednazformúl a i,a i a j,a i a j, a i a j, a i a j.

12 12 1. ÚVODNÉ POJMY Príklad Vytvárajúcou postupnosťou formuly a=((p q) p r) (p (q r)) jepostupnosť p, q, r, p, q, p q, p r, p r, q r,(p q) p r, p (q r), ((p q) p r) (p (q r)). Definícia 1.15.Akformula bobsahujevýrokovépremenné p 1,p 2,...,p n ažiadne iné,takformulu boznačíme b(p 1,p 2,...,p n )ahovoríme,že bjeformula npremenných p 1,p 2,...,p n. Definícia Výrok, ktorý vznikne z formuly, keď za všetky jej výrokové premenné dosadíme výroky, sa nazýva interpretácia formuly. Poznámka1.4.Ak A 1,...,A n súvýrokyab(p 1,p 2,...,p n )jeformula,takdosadením výroku A 1 zapremennú p 1, A 2 za p 2 až A n za p n dostanemevýrok b(a 1,A 2,...,A n ),ktorý je interpretáciou formuly b. Príklad Vezmime formulu r s t. Jej interpretácie v teórii prirodzených čísel sú napríklad: Keď2delí12aj3delí12,takaj6delí12. Akčíslo3jeväčšieakočíslo2ačíslo7jeväčšieakočíslo32,takčíslo3jeväčšieako číslo32. Ak5jemenšieako6a15jeväčšieako13,tak5jemenšieako3. Formula r s tjeformuloutrochpremenných r,s,t,môžemejutedaoznačiťnapr. a(r,s,t). Výroková formula nie je výrok, nemá teda pravdivostnú hodnotu. Každej výrokovej formule a(p 1,p 2,...,p n )všakmôžemepriradiťfunkciu,ktorávyjadrujezávislosťpravdivostnýchhodnôtinterpretácií a(a 1,A 2,...,A n )tejtoformulyodpravdivostnýchhodnôt výrokov A 1, A 2 až A n dosadenýchzajednotlivévýrokovépremenné. Definícia1.17.Nech a(p 1,p 2,...,p n )jeformula npremenných.funkcia ph a : {0,1} n {0,1},ph a (x 1,x 2,...,x n )=ph(a(a 1,A 2,...,A n )), kde A 1,A 2,...,A n súvýroky,prektoréph(a 1 )=x 1,ph(A 2 )=x 2,...,ph(A n )=x n,sa nazýva pravdivostné ohodnotenie formuly a. Všetkýchusporiadaných n-tícprvkov0,1je2 n.označmeich β 1 =(0,0,...,0,0), β 2 =(0,0,...,0,1),β 3 =(0,0,...,1,0),...,β 2 n =(1,1,...,1).Potommôžemepravdivostnéohodnotenieformuly a(p 1,p 2,...,p n )zapísaťvtvaretabuľky(pozritab.3),ktorú nazývamepravdivostnoutabuľkouformuly a(p 1,p 2,...,p n ). Tabuľka 3. Pravdivostná tabuľka formuly a (p 1,p 2,...,p n ) a(p 1,p 2,...,p n ) β 1 ph a (β 1 ) β 2 ph a (β 2 ).. β 2 n ph a (β 2 n)

13 Príklad Pravdivostné tabuľky formúl súvtab VÝROKOVÁ LOGIKA 13 r s s r,(r s) t (s t) Tabuľka 4 (r,s) r s s r (r,s,t) (r s) t (s t) (0,0) 0 (0,0,0) 1 (0,1) 0 (0,0,1) 1 (1,0) 0 (0,1,0) 1 (1,1) 0 (0,1,1) 1 (1,0,0) 1 (1,0,1) 1 (1,1,0) 0 (1,1,1) 1 Pri ich tvorbe je vhodné postupovať tak, že do hlavičky tabuľky zapíšeme vytvárajúcu postupnosť danej formuly(pozri tab. 5 a 6), pod premenné dáme všetky možné zoskupenia pravdivostných hodnôt a postupne po stĺpcoch vyplňujeme pravdivostné ohodnotenia jednotlivých formúl vytvárajúcej postupnosti na základe pravdivostných tabuliek zložených výrokov(tab. 1). Tabuľka 5 r,s s r s r s r (r s) (s r) 0, , , , Tabuľka 6 r,s,t r s (r s) t s t (r s) t (s t) 0,0, ,0, ,1, ,1, ,0, ,0, ,1, ,1,

14 14 1. ÚVODNÉ POJMY Definícia Formula sa nazýva tautológia, ak jej pravdivostným ohodnotením je konštantná funkcia s hodnotou 1; kontradikcia, ak jej pravdivostným ohodnotením je konštantná funkcia s hodnotou 0; splniteľná, ak nie je kontradikciou. Príklad Formula p p je tautológia. Formula p p je kontradikcia. Formula p qjesplniteľná. Formula(p (p q)) qjetautológia. Výsledok vidíme z tab. 7. Tabuľka 7 p p p p p p p q p q p (p q) (p (p q)) q Tautológia(p (p q)) qjezákladompresprávneusudzovanie.ukazujenám,ako z pravdivosti jedného výroku usúdiť, že je pravdivý druhý výrok. Z pravdivostnej tabuľky tejtoformulyvidieť,žekeď A,Bsúvýroky,pričomvýroky A, A Bsúpravdivé,potom je pravdivý aj výrok B. Na usúdenie pravdivosti výroku B nepostačuje len pravdivosť implikácie A B. Vidieť to z prvého riadku pravdivostnej tabuľky formuly p q. Výrok A Bmôžebyťpravdivýapritomvýrok Bjenepravdivý. Definícia Dve formuly a, b s rovnakými premennými sa nazývajú tautologicky ekvivalentné, ak majú rovnaké pravdivostné ohodnotenie. Tautologicky ekvivalentné formuly označujeme a b. Príklad1.25.Dokážte,žeformuly p qa p qsútautologickyekvivalentné. Riešenie. Napíšeme pravdivostné tabuľky(tab. 8) týchto formúl. Obidve formuly majú dve premenné, a to p, q. Tabuľkami sú definované rovnaké funkcie, teda formuly sú tautologicky ekvivalentné. Tabuľka 8 p q p q p q p q Príklad1.26.Zistite,čiplatí(p q) r p (q r). Riešenie.Urobímepomocnútabuľku(tab.9)aznejužbudevidieť,keďsipozrieme prvý, predposledný a posledný stĺpec, či formuly majú rovnaké pravdivostné ohodnotenie.

15 3. VÝROKOVÁ LOGIKA 15 Tabuľka 9 p,q,r p q q r (p q) r p (q r) 0,0, ,0, ,1, ,1, ,0, ,0, ,1, ,1, V nasledujúcej vete uvedieme základné tautologické ekvivalencie. Veta1.2.Nech a,b,csúformulysrovnakýmipremennými.potomplatiatietotautologické ekvivalencie: E1. a b b a, a b b a, E2. (a b) c a (b c), (a b) c a (b c), E3. (a b) c (a c) (b c), (a b) c (a c) (b c), E4. a b a b, a b a b, E5. a a a, a a a, E6. a (b b) a, a (b b) a, E7. a a, E8. a (a b) a, a (a b) a, E9. a b a b, a b a b, E10. a b (a b) (a b), a b (a b) (a b). Dôkaz tejto vety neurobíme, necháme na čitateľa, aby urobil a porovnal príslušné pravdivostné tabuľky. Príklad1.27.Dokážte p q p q,druhúzekvivalenciíe9zpredchádzajúcej vety. Riešenie. Uvedený vzťah môžeme dokázať buď pomocou pravdivostných tabuliek o- boch formúl, alebo využitím tabuľky tautologických ekvivalencií. Použijeme tautologické ekvivalencie. Nad znak tautologickej ekvivalencie napíšeme ktoré pravidlo z tabuľky tautologických ekvivalencií sme použili. Z E9 sme použili prvú ekvivalenciu. p q E9 p q E7 p q E4 p q Definícia Hovoríme, že množina logických spojok S je úplný systém logických spojok(skrátene USLS), ak pre každú formulu a existuje formula b, ktorá obsahuje ibalogickéspojkyzmnožiny Saplatí a b.vtedytiežhovoríme,žeformula asadá vyjadriť pomocou S. Príklad Ukážte, že množiny {,, }, {, } sú úplné systémy logických spojok.

16 16 1. ÚVODNÉ POJMY Riešenie. Pre každé formuly c, d platí c d c d, c d (c d) (c d). Pomocou týchto ekvivalencií môžeme každú formulu a upraviť na ekvivalentnú formulu b, ktorá neobsahuje logické spojky,, teda obsahuje iba logické spojky z množiny {,, }.Týmsmedokázali,že {,, }jeusls. Aby sme dokázali, že {, } je USLS, stačí dokázať, že každá formula a, ktorá obsahuje logické spojky len z množiny {,, } je ekvivalentná niektorej formule b, ktorá obsahuje logické spojky len z množiny {, }. Pravdivosť tohto tvrdenia vyplýva z toho, že pre každé formuly c, d platí c d c d, c d c d c d c d. Príklad Vyjadrite formulu p q pomocou a) {,, }, b) {, }. Riešenie. a) p q (p q) (q p) (p q) (p q). b)použijeme c d c d c d.potomplatí p q (p q) (q p) (p q) q p. 4. Relácie Definícia Binárnou reláciou(stručne len reláciou) na množine A nazývameľubovoľnúpodmnožinukarteziánskehosúčinu A 2. Poznámka1.5.Ak σ A 2 jebinárnarelácianamnožine Aa(x,y) σ,takhovoríme,žeprvok xjevrelácii σsprvkom yanamiesto(x,y) σpíšemeaj xσ y. Definícia Relácia σ na množine A sa nazýva reflexívna,ak x A(x,x) σ, symetrická,ak x,y A(x,y) σ (y,x) σ, antisymetrická,ak x,y A(x,y) σ (y,x) σ x=y, tranzitívna,ak x,y,z A(x,y) σ (y,z) σ (x,z) σ. Príklad1.30.Zistite,čirelácia σ R 2,σ= {(x,y);x y}jereflexívna,symetrická, antisymetrická, tranzitívna. Riešenie.Relácia σjereflexívna,leboprekaždé x Rplatí x x,teda(x,x) σ. Relácianiejesymetrická,pretoženapríklad(2,3) σ,ale(3,2) / σ. Reláciajeantisymetrická:Nech(x,y) σ,(y,x) σ,teda x y, y x.zvlastností reálnychčíselvieme,žepotomplatí x=y. Reláciajetranzitívna:Ak(x,y) σazároveň(y,z) σ,teda x yazároveň y z, potomzvlastnostíreálnychčíselvyplýva x z,teda(x,z) σ. Definícia Binárna relácia na množine A, ktorá je reflexívna, symetrická a tranzitívna, sa nazýva ekvivalencia alebo relácia ekvivalencie na množine A.

17 4. RELÁCIE 17 Príklad1.31.Jerelácia ={(x,y) Z 2 ;3 (y x)}ekvivalenciounamnožinez všetkých celých čísel?(a b znamená: číslo b je deliteľné číslom a.) Riešenie. x x=0,čoječíslodeliteľnétromi,preto(x,x).relácia jeteda reflexívna. Nech(x,y).Toznamená,že3delíčíslo y x.vtakomprípade y x=3k,kde k Z.Potom x y= (y x)=3( k),čoznamená,že3 (x y)ateda(y,x). Z toho vyplýva, že relácia je symetrická. Nech(x,y),(y,z).Existujútedatakéceléčísla m,n,že y x=3m,z y=3n. Potom z x=z x y+ y=(z y)+(y x)=3m+3n=3(m+n).číslo z xje deliteľnéčíslom3,toznamená(x,z) atedarelácia jetranzitívna. Relácia má požadované vlastnosti, je preto ekvivalenciou na množine Z. Poznámka1.6.Ak jereláciaekvivalenciea(x,y),takbudemehovoriť,že xje ekvivalentné s y. Definícia1.24.Nech σjereláciaekvivalencienamnožineaaa A.Potommnožinu σ(a)={x A;aσ x}nazývametriedouekvivalencieprvku a. Príklad Pre reláciu ekvivalencie definovanú v predchádzajúcom príklade nájdime triedy ekvivalencie prvkov 0, 1, 2. Riešenie. (0)={x Z;0 x}={x Z;3 (x 0)}={x;x=3k,k Z}={3k;k Z}, (1)={x Z;1 x}={x Z;3 (x 1)}={x;x=3k+1,k Z}={3k+1;k Z}, (2)={x Z;2 x}={x Z;3 (x 2)}={x;x=3k+2,k Z}={3k+2;k Z}. Veta1.3.Nech σjereláciaekvivalencienamnožine A.Potomprekaždé x,y A (1) x σ(x), (2) x σ(y)právevtedy,keď σ(x)=σ(y), (3)ak σ(x) σ(y),tak σ(x) σ(y)=. Dôkaz. (1)Relácia σjereflexívna,pretoprekaždé x Aplatí(x,x) σ,čoznamená,že x σ(x). (2)Nech x σ(y)t.j.(y,x) σ.ukážeme,žekaždýprvok z σ(x)jeprvkomaj množiny σ(y).nechteda z σ(x),čoznamená,že(x,z) σ.keďže(y,x) σasúčasne (x,z) σ,ztranzitívnostirelácie σvyplýva(y,z) σ,ateda z σ(y).ukázalisme,že σ(x) σ(y).analogickysaukáže,že σ(y) σ(x).potomvšakplatí σ(x)=σ(y). (3)(nepriamo)Nech σ(x) σ(y).potomexistuje z σ(x) σ(y)apretentoprvok platí(x,z) σ,(y,z) σ.keďžerelácia σjesymetrickáatranzitívna,tak(x,y) σčiže x σ(y)apodľa(2) σ(x)=σ(y),čojespor. Príklad1.33.Vreláciiekvivalencie ={(x,y) Z 2 ;3 (y x)}jedinýmitriedami ekvivalenciesú (0)={3k;k Z}, (1)={3k+1;k Z}, (2)={3k+2;k Z},lebo ľubovoľnéceléčíslomátvar3m,3m+1alebo3m+2(m Z)apotom (3m)= (0),lebo 3m (0); (3m+1)= (1),lebo3m+1 (1); (3m+2)= (2),lebo3m+2 (2). Definícia1.25.Nech AjeneprázdnamnožinaaTjesystémpodmnožínmnožiny A, pre ktorý platí (1) X T X, (2) X,Y T X Y X Y=,

18 18 1. ÚVODNÉ POJMY (3) X T X= A. Potom Tsanazývarozkladmnožiny Aaprvkymnožiny Tsanazývajútriedyrozkladu množiny A. Príklad1.34.Nech A={a,b,c,d,e}, A 1 = {a}, A 2 = {b,d,e}, A 3 = {c}, B 1 = {a,b,c}, B 2 = {b,d,e}.potom T= {A 1,A 2,A 3 }jerozkladmnožiny A,lebomnožiny A 1, A 2, A 3 súneprázdne,prienikkaždýchdvochrôznychznichjeprázdnamnožina azjednotenievšetkýchtrochmnožínjemnožina A.Naprotitomu S= {B 1,B 2 }nieje rozkladmnožiny A,lebo B 1 B 2 ale B 1 B 2 = {b} =. Príklad Triedy ekvivalencie (0), (1), (2) relácie ekvivalencie ={(x,y) Z 2 ;3 (y x)}tvoriarozkladmnožinyz,pretože (0)={0, ±3, ±6,...}, (1)={1, 2,4, 5,7, 8,10,...}, (2)={2, 1,5, 4,8, 7,11,...},čosúneprázdne množiny, (0) (1)=, (0) (2)=, (1) (2)= a (0) (1) (2)=Z. Veta 1.4. Nech σ je ekvivalencia na množine A. Potom triedy ekvivalencie σ(a), pre a A tvoria rozklad množiny A. Triedami rozkladu sú triedy ekvivalencie relácie σ. Dôkaz.Zvety1.3vyplýva,žekaždátriedaekvivalencie σ(a)prvku a Ajeneprázdna, lebo a A.Vtretejvlastnostitejtovetysapriamohovorí,žeprienikdvochrôznychtried ekvivalencie je prázdna množina. Každá trieda ekvivalencie obsahuje len prvky množiny A,preto σ(a) A.Nadruhejstranepreľubovoľnýprvok a Aplatí a σ(a),ateda a A aj a σ(a),preto A σ(a). V spojení s predchádzajúcou inklúziou dostávame a A a A σ(a)=a. a A Poznámka 1.7. O rozklade, ktorý je tvorený triedami ekvivalencie, hovoríme, že je to rozklad indukovaný danou ekvivalenciou. Veta 1.5. Ku každému rozkladu množiny A existuje jednoznačne určená ekvivalencia na množine A, ktorá tento rozklad indukuje. Dôkaz.1.Nech Tjerozkladmnožiny A.Definujmenamnožine Areláciu σtakto: a σ bprávevtedy,keďexistuje X Ttaké,že a,b X. Je zrejmé, že táto relácia je reflexívna, symetrická a tranzitívna. Teda je to ekvivalencia. Ďalej vidíme, že prvky patriace do jednej triedy rozkladu sú navzájom ekvivalentné. Preto každá trieda rozkladu X je podmnožinou jednej triedy ekvivalencie relácie σ. Táto trieda ekvivalencie už nemôže obsahovať ďalšiu triedu rozkladu Y (Y X), lebo v opačnom prípadebypreprvky x X,y Y nazákladedefinícierelácie σplatilo(x,y) / σana druhejstrane(x,y) σ,pretože xaj ypatriadotejistejtriedyekvivalencie,atojespor. Tým sme ukázali, že každá trieda rozkladu T je triedou ekvivalencie σ. 2. Z časti 1 vyplýva, že existuje aspoň jedna ekvivalencia, ktorá indukuje rozklad množiny A,ktorýjezhodnýsT.Terazukážeme,žetátoekvivalenciajejediná. Predpokladajme,žeexistujeeštejednaekvivalencia τ A Anamnožine A,ktorou indukovaný rozklad množiny A na triedy ekvivalencie je opäť T. Nech a τ b.tedaexistuje X T také,že X= τ(a)=τ(b).toznamená,že a,b X, ateda a σ b,kde σjeekvivalenciazprvejčastidôkazu.ztohovyplýva,žepodmienka (a,b) τimplikuje(a,b) σ,ateda τ σ. Nechnaopak(a,b) σ.tedaexistuje X Ttaké,že a,b X.Alepretože Tjerozklad indukovanýajekvivalenciou τ, Xjejednouztriedekvivalencie τ.preto(a,b) τ.ztohovyplýva,že σ τ,atedaspoluspredošloučasťoudostávame σ=τ.týmjeveta dokázaná.

19 5. ORIENTOVANÉ GRAFY 19 Dokázali sme, že medzi ekvivalenciami na množine A a rozkladmi množiny A je vzájomne jedno-jednoznačné priradenie. Túto skutočnosť budeme využívať tak, že ekvivalenciu budeme definovať pomocou k nej patriaceho rozkladu. Príklad1.36.Nechsystémmnožín T = {{a,b,c}, {d,e}, {f}}jerozkladmnožiny A={a,b,c,d,e,f}.Potomreláciaekvivalencie σ,ktorátentorozkladindukuje,je σ= {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b),(d.d)(e,e),(d,e),(e,d),(f,f)}. Vidíme, že zápis ekvivalencie pomocou príslušného rozkladu je oveľa prehľadnejší. 5. Orientované grafy Teraz uvedieme základné pojmy z teórie grafov, ktoré využijeme pri štúdiu teórie konečných automatov. Definícia1.26.Orientovanýgraf jeusporiadanátrojica G=(V,H,e),kde V,H súkonečnémnožiny, V,V H= aejezobrazenie e:h V 2.Prvkymnožiny V sa nazývajú vrcholy, prvky množiny H sa nazývajú orientované hrany a zobrazenie esanazývaincidencia.ak u,vsúvrcholy, hjeorientovanáhranaae(h)=(u,v),tak u, v sa nazývajú krajné vrcholy orientovanej hrany h, špeciálne: vrchol u sa nazýva začiatočný vrchol orientovanej hrany h a vrchol v koncový vrchol orientovanej hrany h. Príklad1.37.Nech V = {1,2,3,4}, H= {h 1,h 2,h 3,h 4,h 5,h 6 } e:e(h 1 )=(1,4), e(h 2 )=(4,2), e(h 3 )=(3,2), e(h 4 )=e(h 5 )=(3,4), e(h 6 )=(2,2).Potom G=(V,H,e) je orientovaný graf. Definícia1.27.Grafy G=(V,H,e),G =(V,H,e )súrovnaké,ak V = V,H= H,e=e. Orientované grafy budeme znázorňovať aj graficky a to takýmto spôsobom: vrcholy orientovaného grafu G znázorníme ako body roviny, ktoré označíme rovnako ako samotné vrcholy. Nech h je orientovaná hrana s krajnými vrcholmi a, b. Potom orientovanú hranu Obr.1 hspočiatočnýmvrcholom aakoncovým bznázornímeakočiaruspájajúcubody a,bso šípkou pri koncovom vrchole b(obr. 1). Takto vytvorený objekt budeme nazývať diagram orientovanéhografu G.Častovšaknamiesto diagramgrafu G budemehovoriťiba graf G. Poznámka 1.8. Tu sa budeme zaoberať iba orientovanými grafmi, preto slovo orientovaný budeme často vynechávať. Príklad Diagram orientovaného grafu z príkladu 1.37 je na obr. 2. Definícia Ak hrana h orientovaného grafu G inciduje s dvoma rôznymi vrcholmi, nazýva sa orientovaná linka a ak inciduje len s jedným vrcholom, nazýva sa orientovaná slučka.

20 20 1. ÚVODNÉ POJMY Obr.2 Príklad1.39.Vgrafe G(obr.2)hrany h 1,h 2,h 3,h 4,h 5 súlinkyahrana h 6 jeslučka. Definícia Násobnosťou orientovanej hrany so začiatočným vrcholom u a koncovým vrcholom v v orientovanom grafe G nazývame počet orientovaných hrán, ktorých začiatočný vrchol je u a koncový je v. Toto číslo budeme označovať m(u, v). Orientovaný graf nazývame jednoduchý (tiež prostý) orientovaný graf, ak pre každédvajehovrcholy u,vje m(u,v) 1.Orientovanýgraf,ktorýniejejednoduchýsa nazýva orientovaný multigraf. Obr.3 Jednoduché grafy, presnejšie ich diagramy, nám umožňujú grafické znázornenie binárnychreláciínamnožine.dejesatotakto: Nech Ajemnožinaaσ A Ajebinárnarelácianamnožine A.Definujmegraf G=(A,σ,e),ktoréhovrcholmisúprvkymnožiny A,hranamisúusporiadanédvojice patriacedorelácie σaincidencioujezobrazenie e:σ A A, e(x,y)=(x,y).graf G=(A,σ,e)sanazývaorientovanýgrafbinárnejrelácie σ. Príklad1.40.Namnožine A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}jedefinovanárelácia ={(x,y) A 2 ;x y}.orientovanýgrafrelácie (presnejšiejehodiagram)jenaobr.3. Všimnimesidiagramygrafov G 1,G 2 a G 3 naobr.4.grafy G 1 a G 2 súrovnaké(majú rovnakémnožinyvrcholov,množinyhránatiežincidencie).grafy G 1 a G 3 súrôzne.ale

21 5. ORIENTOVANÉ GRAFY 21 keďporovnámeichdiagramy(g 1 naobr.4aresp.4b,lebo G 1 = G 2 a G 3 naobr.4c), G 1 : G 2 : G 3 : Obr.4 vidíme, že medzi týmito grafmi nie je podstatný rozdiel, líšia sa iba v pomenovaní vrcholov a hrán. Takéto grafy budeme nazývať izomorfné. Presná definícia je takáto: Definícia1.30.Orientovanégrafy G=(V,H,e),G =(V,H,e )sanazývajúizomorfné,akexistujúbijektívnezobrazenia ϕ:v V, ψ: H H také,žeprekaždú hranu h Hplatí:ak e(h)=(u,v),tak e (ψ(h))=(ϕ(u),ϕ(v))(obr.5). Obr.5 Veta 1.6.Nech G = (V,H,e),G = (V,H,e )sújednoduchéorientovanégrafy. Potom nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné: (a) GaG súizomorfné. (b)existujebijekcia ϕ:v V tak,žeprevšetky u,v Vplatí: ujezačiatočnýav koncový vrchol jednej hrany práve vtedy, keď ϕ(u) je začiatočný a ϕ(v) koncový vrchol jednej hrany. Dôkaz. Priamo z definície izomorfizmu grafov je zrejmé, že z(a) vyplýva(b). Dokážeme,žez(b)vyplýva(a).Nechteda ϕ:v V jebijekciasplňujúcapodmienku: u jezačiatočnýavkoncovývrcholjednejhranyvgrafe Gprávevtedy,keď ϕ(u)jezačiatočnýaϕ(v)koncovývrcholjednejhranyvgrafe G.Uvedenávlastnosťzobrazenia ϕnám umožňujedefinovaťzobrazenie ψmedzimnožinamihrángrafov GaG týmtospôsobom: ψ: H H, ψ(h)=h,pričomplatí:ak e(h)=(u,v),tak e (h )=(ϕ(u),ϕ(v)) Keďže ϕjebijekciaahjehranavgprávevtedy,keď h jehranavg,je ψtiežbijekcia. Predchádzajúcu vetu je možné zovšeobecniť aj pre multigrafy.

22 22 1. ÚVODNÉ POJMY Veta1.7.Orientovanégrafy G=(V,H,e),G =(V,H,e )súizomorfnéprávevtedy, keďexistujebijekcia ϕ : V V aprekaždévrcholy u,v orientovanéhografugje m(u,v)=m(ϕ(u),ϕ(v)). Dôkaz.Nechtedaorientovanégrafy GaG súizomorfné.toznamená,žeexistujútaké bijekcie ϕ:v V, ψ:h H,žeprekaždúhranu h Hplatí:ak e(h)=(x,y), tak e (ψ(h))=(ϕ(x),ϕ(y)).nech u,v V a m(u,v)=k.ak k=0,znamenáto,že v grafe G neexistuje hrana so začiatočným vrcholom u a koncovým v. Potom ani v grafe G neexistujehranasozačiatočnýmvrcholom ϕ(u)akoncovým ϕ(v),vopačnomprípade by ψnebolabijekcia.ak k 1,takexistuje korientovanýchhrán h 1,...,h k,prektoréje Vzhľadomnato,že e(h i )=(u,v), i {1,...,k}. e (ψ(h i ))=(ϕ(u),ϕ(v)),pre i {1,...,k} a ψjebijekcia,je m(ϕ(u),ϕ(v))=k. Dokážemeopačnúimplikáciu.Nechtedaexistujebijekcia ϕ:v V tak,žeprevšetky x,y V je m(x,y)=m(ϕ(x),ϕ(y)).nech ujezačiatočnýavkoncovývrcholniektorej orientovanejhranygrafu Ganech m(u,v)=k 1.Existujetedapráve korientovaných hrán h 1,...,h k sozačiatočnýmvrcholom uakoncovým v.keďže m(ϕ(u),ϕ(v))=m(u,v), existujevgrafe G korientovanýchhrán g 1,...,g k sozačiatočnýmvrcholom ϕ(u)akoncovým ϕ(v). To nám umožňuje definovať zobrazenie ψ takto: ψ: H H, ψ(h i )=g i pre i {1,...,k}. Ľahko sa ukáže(prenechávame to čitateľovi), že ψ je bijektívne zobrazenie a že zobrazenia ϕaψzachovávajúincidenciu.grafy GaG sútedaizomorfné. Definícia1.31.Orientovanýgraf G =(V,H,e )sanazývapodgraforientovaného grafu G=(V,H,e),ak V V, H H,ae jezúženímincidencie enamnožinuhrán H,t.j.prekaždúhranu h H je e (h)=e(h). Príklad1.41.Naobr.6b,6csúpodgrafygrafu G,ktoréhodiagramjenaobr.6a. Obr.6 Definícia1.32.Nech G=(V,H,e)jeorientovanýgraf, V V, V.Podgraf G(V )orientovanéhografu G,ktoréhomnožinavrcholovje V amnožinahrán H je určenávlastnosťou:ak u,v V,tak H obsahujevšetkyhranyzh,ktoréincidujú s oboma vrcholmi u, v, sa nazýva indukovaný podgraf.

23 5. ORIENTOVANÉ GRAFY 23 Príklad1.42.Nech Gjegrafzobr.6a, V = {a,b,c}.indukovanýpodgraf G(V ) grafu Gjenaobr.7. Obr.7 Definícia Nech u, v sú vrcholy orientovaného grafu G, k N. Orientovaným sledomdĺžky kzvrchola udovrchola vnazývamepostupnosť v 0,h 1,v 1,h 2,v 2,...,v k 1,h k,v k, kde 1. v 0,v 1,...,v k súvrcholyorientovanéhografu G, 2. h 1,...,h k súhranyorientovanéhografu G, 3.pre i {1,...,k}je v i 1 začiatočnýav i koncovývrcholhrany h i, 4. v 0 = u, v n = v. Vrchol u sa nazýva začiatočný a vrchol v koncový vrchol tohto sledu. Príklad1.43.Vgrafezobr.6aje a,h 1,a,h 2,b,h 5,d orientovanýmsledomzvrcholu adovrcholu ddĺžky3, a,h 2,b,h 5,d orientovanýmsledomzvrcholu adovrcholu ddĺžky2, a,h 1,a orientovanýmsledomzvrcholu adovrcholu adĺžky1, a orientovaným sledom z vrcholu a do vrcholu a dĺžky 0. Definícia Orientovaný sled, v ktorom sa každá hrana grafu vyskytuje najviac raz, sa nazýva orientovaný ťah. Orientovaný sled, v ktorom sa každý vrchol grafu vyskytuje najviac raz, sa nazýva orientovaná cesta. Definícia1.35.Graf G=(V,H,e)sanazývasilnesúvislýgraf,akprekaždédva vrcholy u,v V existujeorientovanýsledzvrchola udovrchola v. Definícia Podgraf F grafu G sa nazýva silne súvislý komponent grafu G, ak platí: 1. Fjeindukovanýpodgrafgrafu G. 2. Fjesilnesúvislýgraf. 3.Ak F F jetakýpodgrafgrafu G,že F jejehopodgrafom,tak F užnieje silne súvislým grafom. V aplikáciách často k adekvátnemu opisu študovaného systému nestačí orientovaný graf, ale je potrebné k hranám a vrcholom pripísať nejaké údaje(najčastejšie číselné hodnoty). Graf, ktorého hrany a(alebo) vrcholy sú označené číselnými(alebo inými) hodnotami, sa nazýva ohodnotený graf.

24

25 KAPITOLA 2 Booleovské funkcie V úvode sme sa stretli s pravdivostnými ohodnoteniami výrokových foriem, čo sú funkcie,ktorézobrazujúprvkymnožiny {0,1} n domnožiny {0,1}.Takýmitofunkciamisa budeme v tejto kapitole podrobnejšie zaoberať. Dohodnime sa, že ďalej budeme používať označenieb={0,1}. 1. Booleovské funkcie a booleovské výrazy Definícia2.1.Každáfunkcia f : B n B, n N + sanazývabooleovská(tiež logická) funkcia n premenných. Dohoda. Ako premenné v booleovských funkciách budeme používať x, y, z, u, v, resp. tieto premenné s indexami. Funkcie jednej premennej sú uvedené v tab. 1. Tabuľka 1. Booleovské funkcie jednej premennej x f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) f 4 (x) Existujú aj ďalšie booleovské funkcie jednej premennej? Ak by sme chceli do tabuľky 1 pridať ďalšiu funkciu, t.j. vložiť do tabuľky ďalší stĺpec núl a jednotiek, zistíme, že je rovný niektorému z predchádzajúcich štyroch stĺpcov. Znamená to, že booleovské funkcie jednej premennej sú iba štyri. Koľko existuje booleovských funkcií dvoch premenných? Zapíšme tieto funkcie do tabuľky. Keďže definičný obor booleovskej funkcie dvoch premenných má štyri prvky, bude mať tabuľka(okrem hlavičky) štyri riadky. Funkcií bude toľko, koľko existuje rôznych stĺpcovnúlajednotiek.vkaždomriadkujejednazdvochhodnôt0,1,pretomôžeme vytvoriť =2 4 =2 22 =16rôznychbooleovskýchfunkciídvochpremenných. Uvádzameichvtab.2. Veta2.1.Booleovskýchfunkcií npremennýchje2 2n. Dôkaz.Početvšetkých n-tícprvkovzmnožinybje2 n.abysmedefinovalibooleovskú funkciu npremenných,musímeprekaždúztýchto2 n n-tíczvoliťjednufunkčnúhodnotu zdvochprvkovmnožinyb.každátakátofunkciajetedaurčená2 n -ticounúlajednotiek atýchjemožnévytvoriť2 } 2... {{ 2} =2 2n. 2 n Poznámka 2.1. Takéto sú počty booleovských funkcií pre niektoré hodnoty n: n=1, 2 21 =2 2 =4 n=4, 2 24 =2 16 =65536 n=2, 2 22 =2 4 =16 n=5, 2 25 =2 32. =4, n=3, 2 23 =2 8 =256 n=10, = =1,

26 26 2. BOOLEOVSKÉ FUNKCIE Tabuľka 2. Booleovské funkcie dvoch premenných (x,y) f 5 (x,y) f 6 (x,y) f 7 (x,y) f 8 (x,y) f 9 (x,y) f 10 (x,y) f 11 (x,y) f 12 (x,y) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (x,y) f 13 (x,y) f 14 (x,y) f 15 (x,y) f 16 (x,y) f 17 (x,y) f 18 (x,y) f 18 (x,y) f 20 (x,y) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) Každá booleovská funkcia n premenných je n-árnou operáciou na množine B. Všimnimesišpeciálnejednuunárnu f 3 (tab.1)advebinárne f 6,f 16 (tab.2).akporovnáme tabuľkytýchtofunkciíapravdivostnétabuľkyvýrokovýchformúl p,p g,p q,zistíme,že pravdivostnýmiohodnoteniamitýchtoformúlvdanomporadísúfunkcie f 3,f 6,f 16,čiže ph p (x)=f 3 (x),ph p q (x,y)=f 6 (x,y),ph p q (x,y)=f 16 (x,y). Definícia 2.2. Logickým súčtom nazývame binárnu operáciu na množine B, ktorú označujeme + a definujeme takto: x+y= f 16 (x,y). Logickým súčinom nazývame binárnu operáciu na množine B, ktorú označujeme a definujeme takto: x y= f 6 (x,y). Negáciou(alebo komplementom) nazývame unárnu operáciu na množine B, ktorú označujeme a definujeme takto: x=f 3 (x). Ztabuliekfunkcií f 6 a f 16 vidieť,že 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1, 0 0=0,0 1=0,1 0=0,1 1=1, čo môžeme zapísať aj pomocou Cayleyho multiplikačných tabuliek, ktoré v tomto prípade majú tvar: Ztabuľkyfunkcie f 3 zasezistíme,že 0=1, 1=0.

27 1. BOOLEOVSKÉ FUNKCIE A BOOLEOVSKÉ VÝRAZY 27 Poznámka 2.2. Množinu B spolu s binárnymi operáciami logický súčet, logický súčin a unárnou operáciou negácia nazývame Booleova algebra. Práve definované operácie nám umožňujú zapísať mnohé booleovské funkcie šikovnejšímspôsobomnežsútabuľky,napr. f 17 (x,y)=x+(x y).oplatnostitejtorovnostisa ľahko presvedčíme: 0+(0 0)=0+(1 1)=0+1=1=f 17 (0,0), 0+(0 1)=0+(1 0)=0+0=0=f 17 (0,1), 1+(1 0)=1+(0 1)=1+0=1=f 17 (1,0), 1+(1 1)=1+(0 0)=1+0=1=f 17 (1,1), Veta2.2.Prekaždé x,y,z Bplatí 1. x+y= y+ x x y= y x komutatívnezákony 2. (x+y)+z= x+(y+ z) (x y) z= x (y z) asociatívnezákony 3. (x+y) z=(x z)+(y z) (x y)+z=(x+z) (y+ z) distributívnezákony 4. x+y= x y x y= x+y demorganovezákony 5. x+x=x x x=x zákonyidempotentnosti 6. x+x=1 x x=0 zákonykomplementárnosti 7. x=x zákoninvolúcie 8. x+(x y)=x x (x+y)=x zákonyabsorpcie 9. x+0=x x 1=x zákonyidentity 10. x+1=1 x 0=0 zákonjednotkovéhosčitovaniaa nulového násobenia Dôkaz.Dokážemenapr.vlastnosť x+(x y)=x.ostatnévlastnostisadajúdokázať analogicky.označmel(x,y)=x+(x y)ap(x,y)=x.potom L(0,0)=0+(0 0)=0+0=0=P(0,0), L(0,1)=0+(0 1)=0+0=0=P(0,1), L(1,0)=1+(1 0)=1+0=1=P(1,0), L(1,1)=1+(1 1)=1+1=1=P(1,1), Z tabuliek operácií logického súčtu a súčinu priamo vidieť, že platí nasledujúce tvrdenie. Veta2.3.Prekaždé x,y Bplatí x+y=1 x=1 y=1 x+y=0 x=0 y=0 x y=1 x=1 y=1 x y=0 x=0 y=0 Označme F n množinuvšetkýchbooleovskýchfunkcií npremenných.namnožine F n definujme operácie súčet, súčin a negáciu, ktoré budeme označovať v poradí +,,. Definícia2.3.Nech f,g:b n Bsúbooleovskéfunkcie,potom súčtom booleovských funkcií f, g nazývame funkciu f+ g:b n B,(f+ g)(x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n )+g(x 1,...,x n ), súčinom booleovských funkcií f, g nazývame funkciu f g:b n B,(f g)(x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n ) g(x 1,...,x n ), negáciou funkcie f nazývame funkciu f:b n B, f(x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n ).

28 28 2. BOOLEOVSKÉ FUNKCIE Príklad2.1. f(x,y,z)=x+(y z), g(x,y,z)=y+ zsúbooleovskéfunkcietroch premenných.akýjepredpisfunkcie h=f g? Riešenie. h(x,y,z)=(f g)(x,y,z)=f(x,y,z) g(x,y,z)=f(x,y,z) g(x,y,z)= = x+(y z) (y+ z). Poznámka Vlastnostizvety2.2zostanúvplatnostiajvprípade,keby x,y,zbolibooleovské funkcie npremenných.množina F n spolusprávedefinovanýmioperáciamisúčtu,súčinua negácie je tiež Booleova algebra.(booleovu algebru by sme mohli definovať ako ľubovoľnú množinub,naktorejsúdefinovanéoperácie+,, tak,žesúsplnenévlastnostivety2.2.) 2. V každej Booleovej algebre platí princíp duality: Ak v pravdivom tvrdení zmeníme+na,0na1anaopak,dostanemeopäťpravdivétvrdenie.overtesi,žejetento princíp splnený vo všetkých desiatich vlastnostiach vety 2.2. Podľazákonaabsorpciesúfunkciedvochpremenných f(x,y)=x, g(x,y)=x+(x y) rovnaké,ajkeďvýrazy x, x+(x y),pokiaľsanepozerámeakonapostupnostiznakov, sú rôzne. Vidíme, že niektoré funkcie sa dajú vyjadriť viacerými výrazmi vytvorenými z premenných, znakov operácií +,, a zátvoriek. Na druhej strane sa vynára otázka, či je možné pomocou takýchto výrazov vyjadriť každú booleovskú funkciu. Poďme sa týmito výrazmi zaoberať podrobnejšie. Definícia2.4.Booleovský výraz (krátkob-výraz) npremenných x 1,...,x n je slovonadabecedou {+,,,(,),0,1,x 1,...,x n }definovanétakto: (1) x 1,...,x n,0,1súbooleovskévýrazy. (2)Ak U,V súbooleovskévýrazy,takaj U,(U+ V),(U V)súbooleovskévýrazy. (3) Iné slová nie sú booleovské výrazy. Dohoda. (1) V samostatne stojacom B-výraze vynechávame vonkajšie zátvorky. (2)Princíppriority pred+ : x y+ zznamená(x y)+z. (3) Znak logického súčinu budeme často vynechávať, teda namiesto x y budeme písať xy. (4)B-výraz U npremenných x 1,...,x n označujemeaj U(x 1,...,x n ). Poznamenajme,žebody1a2tejtodohodysúanalogickéakovdohodeoformulách. Príklad 2.2. (1)Premenné x,y,zsúb-výrazy. (2) x+y,xy,yz, zxsúb-výrazy. (3)(x+y)z,xyz,yz+ xsúb-výrazy. (4) x+y++zniejeb-výraz. Poznámka2.4.KeďžeB-výrazysúslová,takrovnosťB-výrazovjerovnosťslov,čiže dvab-výrazysúrovnaké,akmajúrovnakýpočetpísmenarovnaképrvépísmená,atď., rovnaké posledné písmená. Napríklad nerovnajú sa B-výrazy(x + y)z, xz + yz. Pritom, ako ľahko zistíme z tabuliek, ako booleovské funkcie sú rovnaké. Preto je vždy potrebné vedieť, či ide o B-výraz, alebo booleovskú funkciu. KaždýB-výraz U(x 1,...,x n )určujejednoznačnebooleovskúfunkciu.jejhodnotu vbode(β 1,...,β n ) B n určímetak,žezapremenné x 1,...,x n dosadímeprvky β 1,...,β n a vykonáme uvedené operácie s týmito prvkami. Túto funkciu môžeme označiť takisto U(x 1,...,x n ).Akvšakchceme,abybolopriamozoznačeniavidieť,žejetofunkciaurčená

29 1. BOOLEOVSKÉ FUNKCIE A BOOLEOVSKÉ VÝRAZY 29 B-výrazom U,použijemeoznačenie f U resp. f U (x 1,...,x n ).Tiežhovoríme,žeB-výraz U(x 1,...,x n )reprezentujefunkciu f U (x 1,...,x n ). Príklad2.3.B-výraz U(x,y,z)=(x+y)zurčujefunkciu f U (x,y,z)=(x+y)z.jej hodnotavbode(0,0,1)je f U (0,0,1)=(0+0) 1=(0+1) 1=1. Definícia 2.5.B-výrazy U(x 1,x 2,...,x n ), V(x 1,x 2,...,x n )sanazývajúekvivalentné, ak určujú rovnakú booleovskú funkciu. Označujeme to U = V,resp. U(x 1,x 2,...,x n ) = V(x 1,x 2,...,x n ). Poznámka 2.5. Predchádzajúcu definíciu môžeme stručne zapísať takto: U = V f U = f V. Príklad2.4.Dokážte,že xz+ yz =(x+y)z. Riešenie. Vytvorme tabuľky funkcií určených týmito B-výrazmi(tab. 3). Tabuľka 3. Tabuľka funkcií z príkladu 2.4 x,y,z xz yz xz+ yz x+y (x+y)z 0,0, ,0, ,1, ,1, ,0, ,0, ,1, ,1, Príklad 2.5. Dokážte, že pre B-výrazy platí (1) x+y = x.y, (2) x.y = x+y. Riešenie.Stačíukázať,žeB-výrazy x+y, x.yab-výrazy y, x+yurčujúrovnaké booleovské funkcie. Vidíme to z nasledujúcej spoločnej tab. 4. Tabuľka 4. Tabuľka funkcií z príkladu 2.5 x,y x, y x+y x.y x+y x.y x.y x+y 0,0 1, ,1 1, ,0 0, ,1 0, Veta2.4.(TabuľkaekvivalenciíB-výrazov.)Nech U,V,WsúB-výrazyspremennými x 1,x 2,...,x n.potomplatí:

30 30 2. BOOLEOVSKÉ FUNKCIE E1. U+ V = V+ U UV = V U komutatívnezákony E2. (U+ V)+W = U+(V+ W)(UV)W = U(V W) asociatívnezákony E3. (U+ V)W = UW+ V W UV+ W =(U+ W)(V+ W)distributívnezákony E4. U+ V = U V UV = U+ V demorganovezákony E5. U+ U = U U U = U zákonyidempotentnosti E6. U+ U =1 UU =0 zákonykomplementárnosti E7. U = U zákoninvolúcie E8. U+(UV) = U U(U+ V) = U zákonabsorpcie(pohltenia) E9. U+0 = U U 1 = U zákonyidentity E10.U+1 =1 U 0 =0 zákony jednotkového sčitovania a nulového násobenia Dôkaz. f U+V = f U + f V = f V + f U = f V+U.Ztohovyplýva U+ V = V+ U.Ostatné vlastnosti sa dokážu podobne. Veta2.5.(zákonystability)PrekaždéB-výrazy U,V,Wplatí:ak U = V,tak U+ W = V+ W UW = V W U = V Dôkaz. B-výrazy U, V sú ekvivalentné, preto nimi určené booleovské funkcie sú rovnaké,t.j. f U = f V.Potom f U+W = f U + f W = f V + f W = f V+W f UW = f U f W = f V f W = f V W f U = f U = f V = f V odkiaľ už vyplýva tvrdenie vety. Dohoda. Dohodneme sa na ďalších zjednodušeniach pri zápise B-výrazov. 1.NebudemerozlišovaťmedziB-výrazmi U+ V, V+ Uatiežmedzi UV, V U. 2.B-výrazy(U+ V)+W, U+(V+ W)budemepovažovaťzarovnakéamiestonich budemepísať U+ V+ W.Podobnenamiesto(UV)Wči U(V W)budemepísať UV W. 3.ZarovnakébudemepovažovaťajB-výrazy1 U,0+U, U,tiež1+U,1atiež0 U, 0. Príklad 2.6.NapíšteB-výraz xyzu+xyzu+xyzupomocounajviac5výskytov písmen x,y,z,u. Riešenie. xyzu+xyzu+xyzu E5 E1 E3,E1 = xyzu+xyzu+xyzu+xyzu = xyzu+xyzu+xyzu+xyzu = E6 E3,E1 = xyz(u+u)+xzu(y+ y) = xyz+ xzu = xz(y+ u). Definícia2.6.Nech f:b n B.Prvok(α 1,...,α n ) B n sanazýva jednotkovýbodfunkcie f,ak f(α 1,...,α n )=1, nulovýbodfunkcie f,ak f(α 1,...,α n )=0. Množinu všetkých jednotkových resp. nulových bodov funkcie f budeme označovať J(f) resp. N(f).TietopojmybudemevzťahovaťajnaB-výrazy,ktorýmijefunkcia furčená. Veta 2.6. Nech f, g sú booleovské funkcie n premenných. Potom