9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka
|
|
- Νικίας Ευταξίας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 9. kapitola Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika 1
2 Úvodné poznámky o viachodnotových logikách V klasickej logike existujú prípady, keď dichotomický pravdivostný charakter nepostihuje všetky situácie nášho každodenného života. Nie každý výrok sme schopný jednoznačne klasifikovať ako pravdivý alebo nepravdivý. Uvažujme výrok na Marse existuje život, ktorý môže byť časťou zloženého výroku implikácie: ak na Marse existuje život, potom musí byť podobný životu na Zemi. Snaha dosiahnuť čo najväčšiu zhodu medzi bežným jazykom a logikou, viedli k vytvoreniu celej rady nových netradičných logík, ktoré sú nazývané neklasické logiky, v ktorých sú buď zavádzané nové logické spojky, alebo sú skúmané výroky o ktorých nemôžeme s určitosťou povedať, či sú pravdivé alebo nepravdivé a ktorým pripisujeme ďalšie pravdivostné hodnoty. 2
3 Obor pravdivostných hodnôt je v klasickej logike reprezentovaný dvojprvkovou množinou {0,1}, môžeme rozšíriť o ďalšie hodnoty, ktorých počet nie je zhora ohraničený. Pôvodná formulácia viachodnotových logík bola založená na princípu trojhodnotovosti. Jej tvorca, poľský logik Łukasiewicz, ukázal, že v bežnom živote často používame legitímne výroky, ktoré nemožno ohodnotiť pomocou jednej z dvoch pravdivostných hodnôt a preto je špecifikovaná treťou pravdivostnou hodnotou, ktorú interpretujeme ako neviem. Neskoršie dokonca bola zostrojená viachodnotová neklasická logika s rozšíreným oborom pravdivostných hodnôt na celý uzavretý interval [0,1]. Tento prístup nazývame "fuzzy" logika, ktorá bola formulovaná koncom 60. rokov americkým kybernetikom a informatikom L. Zadehom. 3
4 Trojhodnotová Łukasiewiczova logika Poľský filozof a logik Jan Łukasiewicz ( ) 4
5 Poľský filozof a logik Jan Łukasiewicz v r poukázal na skutočnosť, že v prirodzenom jazyku sa často stretávame so zmysluplnými výrokmi, ktorých pravdivosť nevieme dobre vyhodnotiť (ako príklad takého výroku je na planéte Mars existuje život alebo budúci týždeň bude pekné počasie ). Łukasiewicz navrhol túto situáciu riešiť tak, že množina pravdivostných hodnôt {0,1} je rozšírená na trojhodnotovú množinu {0,½,1}, kde nová pravdivostná hodnota ½ je interpretovaná ako neviem. V informatike takéto rozšírenie klasickej výrokovej logiky môže byť významné v prípadoch, keď objekty sú popísané binárnymi údajmi, v niektorých prípadoch nám buď chýbajú potrebné údaje alebo existujú principiálne dôvody pre ich neexistenciu, takže chýbajúce údaje doplníme neutrálnou pravdivostnou hodnotou ½. 5
6 Funkčné vyjadrenie pravdivostných hodnôt logických spojok v 3-hodnotovej Łukasiewiczovej logike logická spojka funkčné vyjadrenie pravdivostnej hodnoty p val p = 1 val p ( ) ( ) q val ( p q) = min{ val ( p ),val ( q) } q val ( p q) = max{ val ( p ),val ( q) } q val ( p q) = min 11, val ( p) + val ( q) p p p { } 6
7 Pravdivostné hodnoty logických spojok pre trojhodnotovú Łukasiewiczovu logiku Konjunkcia p q 0 ½ ½ 0 ½ ½ 1 0 ½ 1 Implikácia p q 0 ½ ½ ½ ½ 1 Disjunkcia p q 0 ½ ½ 1 ½ ½ ½ Negácia p p 0 1 ½ ½ 1 0 7
8 Príklad Zistite pomocou tabuľkovej metódy, či formula ( p q p) ( p p q) tautológia. je # p q p q p q p p q p p q (p q p) ( p p q) ½ 0 1 ½ ½ ½ ½ ½ ½ 1 ½ ½ 1 ½ ½ ½
9 Platnými formulami v trojhodnotovej Łukasiewiczovej logike sú tieto formuly: (1) Zákon totožnosti ( p p). (2) Zákon dvojitej negácie ( p p). (3) De Morganov zákon pre konjunkciu ( ( p q) ( p q) ). (4) De Morganov zákon pre disjunkciu ( ( p q) ( p q) ). (5) Zákon tranzitívnosti implikácie ( p r) ( r q) ( p q) (6) Distribúcia konjunkcie (( p ( q r) ) ( ( p q) ( p r) )). (7) Distribúcia disjunkcie (( p ( q r) ) ( ( p q) ( p r) )). (8) Zákon kontrapozície (( p q) ( q p) ) (9) Zákon modus ponens p ( ( p q) q) (10) Zákon modus tollens q ( p q) p ( ) ( ) 9
10 Príklad Dokážte pomocou tabuľkovej metódy, že formuly pre zámenu implikácie disjunkciou (ktoré platia v klasickej výrokovej logike) ( p q) ( p q) a ( p q) ( p q) nie sú tautológie (t. j. nemôžu sa využívať v tejto logike). (1) ( p q) ( p q) # p q p q p p q ( p q) ( p q) ½ ½ 0 ½ ½ ½ 1 5 ½ ½ 1 ½ ½ ½ 6 ½ 1 1 ½ ½ ½ 0 ½
11 (2) ( p q) ( p q) # p q p p q p q ( p q) ( p q) ½ ½ 0 ½ ½ ½ 1 5 ½ ½ ½ ½ ½ 1 ½ ½ 0 ½ ½ To znamená, že druhá formula ( p q) ( p q) je tautológia, zatiaľ čo prvá formula ( p q) ( p q) nie je tautológia, potom formula ( p q) ( p q) nie je tautológia. Hlavný dôsledok tejto skutočnosti je, že formula ( p q) ( p q) sa nesmie používať pri úprave formúl 3-hodnotovej Łukasiewiczovej logiky. 11
12 Nech {,,..., } Sémantické vyplývanie Φ = ϕ1 ϕ2 ϕ a je teória trojhodnotovej Łukasiewiczovej logiky, ktorá obsahuje a formúl, ktoré majú n premenných. Modelom tejto teórie je množina interpretácii premenných x 1,x 2,...,x n, QΦ U = { τ1, τ2,..., τb}, kde τ { 0121} n i,, (pre i = 1,2,,b), pre ktoré platí, že pravdivostná hodnota každej funkcie ϕ i Φ je nenulová, ( τ QΦU )( i { 12,,...,a})( val τ ( ϕ i ) > 0). Minimálnu hodnotu týchto pravdivostných hodnôt pre danú interpretáciu τ Φ označíme val QΦ U = val ϕ ϕ... ϕ = min val ϕ ( ) ( 1 2 a) τ τ τ i { 1,...,a} Tieto úvahy sú zosumarizované pomocou tejto definície. { ( i) } 12
13 Definícia. Ľubovoľná neprázdna množina formúl, {,,..., } Podľa teória Φ je konzistentná, ak pre každú interpretáciu τ QΦU platí val ( ) τ QΦ U > 0; alebo, ak teória Φ je nekonzistentná, potom existuje aspoň jedna interpretácia τ pre ktorú platí val τ ( QΦ U ) = 0 ( Φ je konzistentá teória) = ( τ QΦU) ( QΦ U ) > 0 ( ) { } def val τ ( n ) ( Q U ) Φ je nekonzistentá teória = τ 0½1,, val τ Φ = 0 def Φ = ϕ ϕ ϕ, sa nazýva 1 2 a teória. Ak pre teóriu Φ existuje taká interpretácia τ, pre ktorú všetky formuly val τ ϕ >, pre i = 12,,...,a, potom táto interpretácia τ sa vyhovujú podmienke ( ) 0 i nazýva model teórie. Teória Φ sa nazýva konzistentná, ak má model. Ak teória nemá model, potom sa nazýva nekonzistentná 13
14 Definícia. Hovoríme, že formula ψ sémantický vyplýva z teórie Φ, Φ vtedy a len vtedy, ak pre každú interpretáciu τ QΦU platí ( ) τ τ ( Φ ψ ) = τ QΦU ( QΦU ) ( ψ) def val val ψ, Predpokladajme, že Φ ψ, t. j. funkcia ψ sémanticky vyplýva z konzistentnej teórie Φ = { ϕ1, ϕ2,..., ϕ a}, potom formula χ =ϕ1 ϕ2... ϕa ψ je tautológia, o čom sa môžeme priamo presvedčiť výpočtom pravdivostnej hodnoty funkcie χ. τ 0121,, n je ľubovoľná interpretácia premenných, potom Nech { } ( ) ( ) val val... τ χ = τ ϕ1 ϕn ψ = ( pre val τ( 1... n ) valτ( )) ( ináč ) 1 ϕ ϕ ψ 0 14
15 ( 1) To znamená, že funkcia χ je tautológia (t. j. val τ ( ) je splnená podmienka val (... ) val ( ) τ χ = ) ak pre každé τ QΦU τ ϕ1 ϕn τ ψ, táto podmienka musí byť splnená, pretože vyplýva z predpokladu sémantického vyplývania Φ ψ. Tieto vlastnosti môžeme zosumarizovať do formy nasledujúcej vety. Veta. (1) Ak je teória Φ konzistentná, potom existuje taká formula ψ, že z teórie Φ sémanticky vyplýva buď Φ ψ alebo Φ ψ, ale nie súčasne oboje, formálne Φ je konzistentná ψ Φ ψ Φ ψ. ( ) ( )( ) ( ) (2) Ak je teória Φ nekonzistentná, potom pre každú formula ψ platí, že sémanticky vyplýva z teórie Φ, Φ ψ, formálne Φ je nekonzistentná ( ψ)( Φ ψ) Podobne, ako v dvojhodnotovej výrokovej logike, platí aj v trojhodnotovej Łukasiewiczovej logike platí ekvivalencia ( Φ ψ) ( Φ ψ) t. j. táto logika je úplná. 15
16 Ohodnotené sémantické tablá pre trojhodnotovú Łukasiewiczovú logiku Metóda ohodnotených sémantických je aplikovateľná aj v rámci 3-hodnotovej výrokovej logiky. Táto metóda môže byť použitá na zistenie toho, či existujú také pravdivostné hodnoty premenných, aby formula ϕ mala pravdivostnú hodnotu rovnú požadovanej hodnote val ( ϕ ) =α { 0½,1, }, čo budeme značiť α: ϕ. V sémantickom table sled hrán medzi vrchol tabla a koncovými vrcholmi (listami) sa nazývajú vetva. Ak vetva obsahuje výrokové premenné, ktoré nemajú kontradiktórne ohodnotenie, potom danú vetvu nazývame otvorenú; v opačnom prípade, ak obsahuje dvojicu rovnakých premenných, ktoré sú ohodnotené rôznymi pravdivostnými hodnotami (napr 0 : p a ½ : p), potom vetvu nazývame uzavretá. 16
17 Veta. Formula ϕ je tautológia, ak sémantické tablo priradené ohodnotenej 0½, : ϕ obsahuje len uzavreté vetvy. formule { } Základné módy tvorby stromu sémantického tabla, kde každá formula je ohodnotená pravdivostnou hodnotou. Tieto expanzie jednotlivých logických spojov vyplývajú bezprostredne z tabuliek pravdivostných hodnôt všetkých logických spojok 3-hodnotovej logiky. 17
18 Príklad Pre lepšie pochopenie postupu konštrukcie sémantického tabla študujme jednoduchú formulu ϕ = ( p q p q), ktorej tabuľka pravivostných hodnôt má tvar Pravdivostné hodnoty formuly p q p q p q p q p q p q p q ½ ½ 0 ½ ½ 0 ½ 0 ½ 5 ½ ½ ½ ½ 1 6 ½ 1 1 ½ ½ ½ 1 ½ ½
19 19
20 Tri sémantické tablá priradené ohodnoteným formulám α : p q p q, kde α { 0½1,, }. Vetvy, ktoré obsahujú rovnakú výrokovú premennú ohodnotenú dvoma rôznymi spôsobmi sú uzavreté; v opačnom prípade, keď rovnaké premenné sú ohodnotené rovnakou hodnotou, vetvy sú otvorené. Každá otvorená vetva sa ľahko identifikuje s príslušným riadkom v tabulke pravdivostných hodnôt. 20
21 Príklad Zistite pomocou metódy sémantického tabla, či formula p q p p p q je tautológia, ohodnotené sémantické tablo 0½, p q p p p q produkuje tablo ( ) ( ) { }( ) ( ) 21
22 Príklad Zistite, či formule ( p q) ( p q) a ( p q) ( p q). sú tautológie. 22
23 23
24 Fuzzy logika a fuzzy množiny Lotfi A. Zadeh ( 1921), University of California Berkeley 24
25 Úvodné poznámky Náš svet je plný nejasne ohraničených pojmov, s ktorými však vieme pomerne dobre intuitívne narábať prostredníctvom nášho prirodzeného jazyka. Špecifikácia pojmu mladý. Okamžite zistíme, že obsah tohto pojmu je silne závislý od subjektívnej interpretácie a len veľmi ťažko by sme našli úplnú zhodu v interpretácií tohto pojmi od dvoch rôznych ľudí. Práve takéto a podobné problémy sú študované pomocou fuzzy množín, ktorá ponúka teoretický aparát, ktorý umožňuje jednoduché modelovanie týchto problémov a ich implementáciu na počítačoch. 25
26 Termín fuzzy logika vznikol ako vedľajší produkt rozvoja teórie fuzzy množín, ktoré boli zavedené americkým (narodeného v azarbejdžanskom Baku) kybernetikom Lotfi A. Zadeh, keď v roku 1965 publikoval prácu Fuzzy sets v časopise Information and Control. Fuzzy množiny tvoria neobyčajne efektívny teoretický rámec pre modelovanie vágnosti pojmov, pomocou ktorého je možné špecifikovať nejasne ohraničené pojmy. Zadehove idey sa rýchlo ujali a stali sa štandardnou súčasťou nielen informatiky ale aj kybernetiky (vedy o riadení a regulácii procesov) ako efektívny inžiniersky prostriedok pre formalizáciu, modelovanie a riadenie systémov, ktoré sú popísané pomocou vágnych pojmov. 26
27 fuzz y (f¾z ) adj. fuzz i er, fuzz i est. 1. Covered with fuzz. 2. Of or resembling fuzz. 3. Not clear; indistinct: a fuzzy recollection of past events. 4. Not coherent; confused: a fuzzy plan of action. [Perhaps from Low German fussig, spongy. See pü- below.] --fuzz i ly adv. --fuzz i ness n. Fuzzy girl 27
28 Fuzzy množiny 28
29 Ilustratívny príklad kopy piesku Nech U je univerzum tvorené zo zrniek piesku, U { z,z,...,z...} =, kde z i je i-té 1 2 n zrnko piesku. Rekurentne budeme vytvárať podmnožinu K { z 1,z 2,...,zp} k nej budeme pridávať jedno zrnko piesku, K K { z p+ 1 } = tak, že. Od určitého počtu zrniek piesku (kardinality), množinu K môžeme nazývať kopa. (1) Taxatívne kritérium kopy K ϑ K je kopa (2) Taxatívne kritérium pre kopu piesku je silne zaťažené subjektívnym pohľadom jej tvorcu na to čo, aké množstvo zrniek piesku sa považuje za kopu. 29
30 Priebeh charakteristickej funkcie ( x ) μ A () x 1 mladý μ fuzzy množiny A mladý. A roky 30
31 Koncepcia fuzzy množín nám poskytuje možnosť ako formalizovať fuzzy pojem mladosti. Nech U je univerzum tvorené prirodzenými číslami od 1 do 100, U = { 12,,..., 100}. Fuzzy množina A vyjadrujúca adjektívum mladý je špecifikovaná charakteristickou funkciou s oborom funkčných hodnôt z uzavretého intervalu [ 01, ] μ : U A [ 01, ] s kvalitatívnym priebehom znázorneným na obrázku Alternatívny názov charakteristickej funkcie μ A ( x ) je stupeň príslušnosti prvku - argumentu x do fuzzy množiny mladý Definícia Fuzzy množina A je definovaná A = x, μ x ; x U ( A ( )) kde U je univerzum a μ ( x ) príslušnosti x do A). { } A je charakteristická funkcia (stupeň 31
32 Poznámka. Pojem fuzzy množiny A splýva s pojmom jej charakteristickej funkcie μ A ( x ), ktorá ju spolu s univerzom U jednoznačne určuje. Zápis x A (čítame ako x je A) sa v teórii fuzzy množín interpretuje pomocou príslušnej charakteristickej funkcie μ A ( x ) tak, že stupeň príslušnosti elementu x do fuzzy množiny A je učený μ x. hodnotou ( ) A Operácia na fuzzy množinamy = ( μa ( )) ; a B ( ) { } A x, x x U ( ) { ; } B = x, μ x x U (1) Zjednotenie fuzzy množín A B= x, μ x ;x U ( A B( )) ( x) max ( x ), ( x) { } { } μ = μ μ A B A B 32
33 (2) Prienik fuzzy množín ( A B( )) ( x) min ( x ), ( x) { } A B= x, μ x ;x U { } μ = μ μ A B A B (3) Doplnok fuzzy množíny ( A ( )) ( ) ( ) { } A = x, μ x ;x U μ = μ x 1 x A A (4) Podmnožina fuzzy množín A B= x U μ x μ x ( ) ( ) ( ) ( ) def A B 33
34 Priebehy charakteristických funkcií fuzzy množín A a B, ich komplementov, prieniku a zjednotenia. μ A () x μ B () x 1 1 A x B x 1 μ A () x 1 μ B () x C x D x 1 μ A B () x 1 μ A B () x E x F x 34
35 Ktoré vzťahy platné pre klasické crisp množiny platia aj pre fuzzy množiny? (1) Zákon vylúčenia tretieho A A= U pre fuzzy množiny je neplatný. { A } { A( ) A( )} ( ) ( ) ( ) μ x = max μ x, μ x = max μ x, 1 μ x = 1 A A A Táto podmienka evidentne nie je splnená pre fuzzy množiny, kde môže nastať prípad 0 < μ A ( x ) < 1, potom napr. pre μ ( x A ) = 09. dostaneme 09. = 1, čo je spor. 35
36 (2) Zákon sporu A A = je pre fuzzy množiny neplatný { A } { A( ) A( )} ( ) ( ) ( ) μ x = min μ x, μ x = min μ x, 1 μ x = 0 A A A Podobne ako v predchádzajúcom príklade tento vzťah neplatí pre fuzzy množiny, 0 < μ x < 1. kde ( ) A (3) Distributívny zákon A ( B C) = ( A B) C je platný pre fuzzy množiny. { A B C } A( ) { B( ) C( )} { A B } { A( ) C( )} ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = min{ μa B( x ), μa C( x) } =μ( A B) ( A C)( x ) A B C { } μ x = max μ x, μ x = max μ x,min μ x, μ x { } = min max μ x, μ x,max μ x, μ x 36
37 Fuzzy relácie Binárna relácia v klasickej (crisp) teórie množín je definovaná ako ľubovolná podmnožina karteziánskeho súčinu dvoch množín {( ) ; } R = x,z x A y B A B Crisp relácia R je definovaná pomocou charakteristickej funkcie takto { } { } {( ) R ( ) 1} R= x,y ;x A y B μ x,y = Príklad {( ) ( )( )( ) ( ) ( )} 123,, p,q = 1,p, 2,p, 3,p, 1,q, 2,q, 3,q 123 { A B Relácia R je ľubovolná podmnožina tejto množiny, napr. R = 1,p, 3,p, 1,q, 3,q A B {( ) ( ) ( )( )} 37
38 Inverzná relácia R -1 (k relácii R) je definovaná pomocou usporiadaných dvojíc y,x R x,y R 1 ( ), ktorých inverzia patrí do relácie ( ) {( ) ( ) } 1 R = y,x ; x,y R B A Diagramatická reprezentácia inverznej relácie sa zostrojí jednoduchým spôsobom z diagramatickej reprezentácie pôvodnej R tak, že jednotlivé hrany (zobrazenia) zmenia svoju orientáciu. A A B p q B p q R R -1 38
39 Zložená relácia Majme tri množiny A, B a C, pre tieto množiny nech sú definované dve relácie P A B a Q B C, Zložená relácia (kompozícia) R = Po Q je definovaná ako nový relácia R A Ctakto {( ) ; :( ) ( ) } R = Po Q= x,z x A z C y B x,y P y,z Q A C A q P B Q p α β 1 2 R γ 3 A B C α β γ 39
40 Charakteristická funkcia kompozície R = Po Q je určená vzťahom { } ( x,z) maxmin ( x,y ), ( y,z) μ = μ μ PQ o P Q y B Význam tohto vzťahu priamo vyplýva z definície kompozície dvoch relácií P a Q. A a b c min{ μ P ( a,p), μq( p, α)} B p μ P ( a,p) μq( p, α) q C α β γ A a b c max min{ μ P ( a,x), μq( x, α)} x B μ P ( a,p) B p μq( p, α) μ P ( a,q) q μq( q, α) C α β γ A B 40
41 Diagonálna relácia Nech P A A je diagonálna relácia, ktorej charakteristická funkcia pre nediagonálne elementy je nulová, μ ( x,y ) = 0, pre x y. Tento typ relácie je formálne určený vzťahom P ( x,x) x A ( x,x) ( x) P { ; P P 1} = μ =μ =. Potom kompozícia diagonálnej relácie P A A s reláciou Q A B je určená takto { } ( y) max min ( x ), ( x, y) μ = μ μ PQ o P Q x A min{ μ P ( x), μ Q ( x,y)} A x A x μ Q ( x,y) B y relácia P relácia Q 41
42 Fuzzy relácia R je definovaná Definícia (( ) R ( )) ; ( ) { } R = x,y, μ x,y x,y A B kde A, B sú dané množiny a μ ( x,y ) príslušnosti dvojice (x,y) do relácie R). R je charakteristická funkcia (stupeň Kompozícia dvoch fuzzy relácií P A B a Q B C je určená analogickými vzťahmi, ktoré boli pôvodne definované pre crisp relácie { } ( x,z) maxmin ( x,y ), ( y,z) μ = μ μ PQ o P Q y B 42
43 Príklad Nech fuzzy relácie P a Q sú definované nad dvojicami množín A,B resp. B,C, pričom tieto množiny majú tvar A = { x,x,x 1 2 3}, B= { y 1,y2}, C = { z 1,z 2,z3} a príslušné charakteristické funkcie sú určené tab (pozri taktiež obr. 10.8) Špecifikácia charakteristických funkcií relácií P a Q ( x,y ) μ P y 1 y 2 x x x ( x,y ) μ Q z 1 z 2 z 3 y y
44 x 1 A P B y 1 Q C z 1 x y z 2 x 3 z 3 { } { ( ) ( )} { { 0407} { 0510} } { 0405} 05 { } ( ) ( ) ( ) μ x,z = max min μ x,y, μ y,z,min μ x,y, μ y,z PQ o 1 1 P 1 1 Q 1 1 P 1 2 Q 2 1 = max min.,.,min.,. = max.,. =. Výsledná charakteristická funkcia relácie R ( x,y ) μ R z 1 z 2 z 3 x x x = Po Q 44
45 Pretože fuzzy relácia bola definovaná ako fuzzy množina, môžeme nad množinou fuzzy relácií, ktoré sú špecifikované nad rovnakou dvojicou množín A a B definovať operácie zjednotenia a prieniku fuzzy relácií. Nech P,Q A B sú dve fuzzy relácie s charakteristickými funkciami μ P ( x,y ) resp. a μ Q ( x,y ), potom ich prienik a zjednotenie sú definované v súhlase s definíciami týchto operácii pre fuzzy množiny pre každé ( x,y) A B. { } ( x, y) min ( x, y ), ( x, y) μ = μ μ P Q P Q { } ( x, y) max ( x, y ), ( x,y) μ = μ μ P Q P Q 45
46 Veta. Nech P, Q a R sú fuzzy relácie definované nad takými množinami, aby nasledujúce operácie boli prípustné, potom platí ( ) P oq = P o Q ( P oq) or= Po( Qo R) Po( Q R) = ( PoQ) ( Po R) ( Q R) op= ( QoP) ( Ro P) P o( Q R) = ( PoQ) ( Po R) ( Q R) op= ( QoP) ( Ro P) 46
47 Logické spojky Vzťah medzi klasickou dvojhodnotovou logikou a teóriou (crisp) množín je veľmi blízky, jednotlivé množinové operácie môžu byť vyjadrené pomocou logických spojok: { } (1) konjunkcia - A B= def x; ( x A) ( x B) (2) disjunkcia - A B= def { x; ( x A) ( x B) } (3) negácia - A = def { x; ( x A) } (4) implikácia - A B= { x;x A x B} def 47
48 Priradenie medzi množinovými operáciami a výrokovými spojkami konjunkcie, disjunkcie, implikácie a negácie. A B A B ( A B)= def ( A B) ( A B)= def ( A B) A B A ( A B) = ( A B)= ( A B) def def A= ( A) def 48
49 Predpoklad fuzzy logiky Fuzzy logika je založená na predpoklade, že každému výroku p je priradená val p, z uzavretého intervalu [0,1]. pravdivostná hodnta ( ) [0 1] Fuzzy negácia. Fuzzy negácia je unárna operácia :[0, 1] [0, 1], ktorá vyhovuje týmto podmienkam p p val p val q val p val q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) val p val p 49
50 Fuzzy konjunkcia 2 Fuzzy konjunkcia je binárna operácia :[01], [01],, ktorá vyhovuje týmto podmienkam (1) komutatívnosť p q q p (2) asociatívnosť p ( q r) ( p q) r (3) okrajová podmienka - identita p 1 p val q val r val p q val p r (4) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) = ( ) ( ) val p q min val p,val q 50
51 Fuzzy disjunkcia 2 Fuzzy disjunkcia je binárna operácia :[0, 1] [0, 1], ktorá vyhovuje týmto podmienkam (1) komutatívnosť p q q p (2) asociatívnosť p ( q r) ( p q) r (3) okrajová podmienka - identita p 0 p val q val r val p q val p r (4) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) = ( ) ( ) val p q max val p,val q Operácie konjunkcie a disjunkcie sú duálne vzhľadom k operácii štandardnej negácie (De Morganove vzťahy). 51
52 Fuzzy implikácia Fuzzy implikácia je binárna operácia okrajovým podmienkam 2 :[01], [01],, ktorá vyhovuje týmto ( val ( p) ) ( val ( q) ) ( val ( p) = val ( q) = ) ( ) 1 pre = 0 alebo = 1 val ( p q) = 0 pre 1a 0 { } ( val ( p) val ( q) ) ( ) = 11 ( ) + ( ) val p q min, val p val q 1 = 1 val p + ináč ( ) val ( q) ( ) 52
53 3D grafy logických spojok vo fuzzy logike konjunkcia disjunkcia implikácia ekvivalencia 53
54 Implikácia bola pôvodne Zadehom špecifikovaná pomocou negácie a disjunkcie, ( p q) = def ( p q). Tento jednoduchý prístup je skoro nepoužiteľný, pretože produkuje fuzzy logiku veľmi chudobnú, kde skoro neexistujú tautológie. Tento nedostatok je odstránený tým, že používane implikáciu zavedenú do logiky Łukasiewiczom v jeho 3- hodnotovej logike. Závažný problém fuzzy logiky je systematické a úplné určenie pravdivostných hodnôt formúl pre dve alebo viac výrokových premenných. Formula fuzzy logiky s n premmenými p,p,...,p 1 2 n sa môže chápať ako funkcia n premenných definovaná na hyperkocke [0, 1] n. Funkcia formula sa nazýva tautológia, ak sa rovná 1 pre ľubovolnú F p,p,...,p = 1pre, p,p,...,p [01], n. hodnotu argumentov, ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n 54
55 Fpq (, )=(( p q) ( p q)) Gpq (, )=(( p q) ( p q)) 0 Povrchy výrokových funkcií F(p,q) a G(p,q) pre spojité argumenty p,q [0,1]. Z priebehov týchto funkcií vyplýva, že funkcia F(p,q) je tautológia, zatiaľ čo, funkcia G(p,q) nie je tautológia. 55
56 Sémantické tablá pre formuly fuzzy logiky ( p q) ( p q)=1 ( p q) ( p q)=1 ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) min{ p,q} max{ p,q} p q p>q max{ p,q} min{ p,q} p q p>q p q q p q p p q A p>q p=q F( p,q) = ( p q) ( p q) G( p,q) = ( p q) ( p q) F ( p,q) = 1 p,q [ 01, ] G( p,q) = 1( len pre p= q) B 56
57 Príklad (p ( p q) q)=1 (p ( p q) q))=1 p ( p q) q p ( p q) q (p q) q (p q)> q p q min{ p,p q} q p>q min{ p, 1} q min{ p, 1 -p+q} q p 1 p 1-( p q)+ q p q p>q p+q 0 q=0 p q 1-p+q q p q p=0 q=0 1 1 p q p p=
58 Usudzovanie vo fuzzy logike V klasickej logike je jedným zo základných modov usudzovania pravidlo modus ponens p p q q Táto schéma môže byť verbálne formulovaná takto ak p je pravdivý výrok a ak p q je pravdivá implikácia, potom q je pravdivý výrok Modus ponens môže byť alternatívne vyjadrený pomocou výrokovej formuly - tautológie p p q q (( ) ) 58
59 Pri fuzzy odvodzovaní dôležitým pojmom je jazyková premenná, ktorý bol zavedený Zadehom. Jazyková premenná je taký typ premennej, ktorej hodnoty sú slová z prirodzeného jazyka. Ako ilustračný príklad jazykovej premennej uvedieme vek, ktorej hodnoty sú špecifikované slovnými hodnotami mladý, stredný a starý. Definícia. Jazyková (lingvistická) premenná je určená usporiadanou štvoricou X,T X,U,M ( ( ) ) kde X je meno jazykovej premennej, T ( X ) { A,B,... } = je množina slovných hodnôt jazykovej premennej, U je univerzum jazykovej A T X je premennej, pričom každá slovná premenná ( ) špecifikovaná fuzzy množinou A x, ( x) ; x U fuzzy množín tvorí množinu M. ( A ) { } = μ, súbor týchto 59
60 Príklad Študujme jazykovú premennú X=vek, definovanú nad univerzom rokov reprezentovaným množinou uzavretým intervalom U =[0,100]. Množina slovných hodnôt obsahuje tri slovné hodnoty, T ( vek ) = { mladý,stredný,starý}. Každá slovná hodnota je špecifikovaná fuzzy množinou s charakteristickou funkciou μ( x) 1 mladý stredný starý roky 60
61 Znázornenie zovšeobecneného modus ponens, ktorý na základe analógie s reláciou x A x BY vytvára zo vstupnej slovnej premennej A výstupnú slovnú premennú B, pričom sa predpokladá, že slovné premenné A a A sú si podobné. x A x A y B y B 61
62 Uvažujme dve slovné premenné A T(X) a B T(Y) reprezentované A = x, μ x ; x X a ( A ) { } príslušnými fuzzy množinami ( ) B= ( y, μb ( Y) ) ; x Y. { } Stupeň pravdivosti fuzzy výroku x je A, formálne vyjadrený vzťahom μ x ; podobne stupeň x A, je popísaný charakteristickou funkciou ( ) A pravdivosti výroku y B ( y je B ) je charakterizovaný charakteristickou μ x. funkciou ( ) B Tieto dva fuzzy výroky x A a y B sú vo vzájomnej (môžeme povedať príčinnej alebo asociačnej) relácii x A x B, podľa ktorej vlastnosť x A je doprevádzaná výskytom vlastnosti y B. 62
63 Zovšeobecnený modus ponens v relačnom tvare je x A x A x B x B kde A T(X) a B T(Y) sú nové slovné premenné, Budeme predpokladať, že nová slovná premenná A (fuzzy množina) je podobná pôvodnej slovnej premennej A, čo môžeme vyjadriť pomocou charakteristických funkcií napr. takto max μ x μ x <δ, kde δ je dané malé kladné číslo. x A ( ) ( ) A Tento predpoklad je veľmi dôležitý k odôvodneniu používania zovšeobecneného modus ponens ako nástroja pre odvodenie výstupnej novej slovnej premennej B zo vstupnej slovnej premennej A pomocou relácii x A x B(analógie). Okrajová podmienka: A = A B= B 63
64 Znázornenie zobrazenia fuzzy slovnej premennej A na slovnú premennú B pomocou fuzzy relácie R(x,y). y B ( x A y B ) = R X Y def A x 64
65 Rezultujúca charakteristická funkcia B ( y) charakteristickej funkcie μ ( x) a charakteristickej funkcie ( x,y ) A μ je určená ako kompozícia μ fuzzy relácie R, ktorá reprezentuje vzťah x A x B (kde symbol znázorňuje fuzzy reláciu R) { } ( y) max min ( x ), ( x, y) μ = μ μ B A R x A alebo v zjednodušenom tvare B = A o R. Požadujeme, aby kompozícia (11.9a) vyhovovala okrajovej podmienke, ktorá požaduje, že ak A =A, potom B =B, t.j. { } ( y) max min ( x ), ( x, y) μ = μ μ B A R x A R 65
66 Ebrahim Mamdani, University of London Realizácia relácie R Kompozície B = A o R pre Mamdaniho špecifikáciu relácie R { } ( ) ( ) ( ) ( ) R =μ x μ y = min μ x, μ y A B A B 66
67 A A B B Dokážeme, že pre tento typ relácie je okrajová podmienka kompozície splnená. μ y = max min μ x,min μ x, μ y { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } B A A B x X Táto formula môže byť jednoducho upravená použitím asociatívnosti operácie min μ B ( y) = min max min{ μa ( x ), μa( x )}, μb( y) x X w = min w, μ { B ( y) } kde w sa nazýva váha pravidla alebo stupeň zapálenia pravidla. Potom rezultujúca charakteristická funkcia μ B ( y) vyhovuje podmienke μb ( y) μ B( y), μ y =μ y. pre A=A dokonca platí ( ) ( ) B B 67
68 The End 68
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1
3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori:
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori: doc. PhDr. Ján Šefránek,
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότερα3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda.
3. Výroková logika Výroková logika patrí do klasickej logiky - do jednej z dvoch oblastí, na ktoré môžeme rozdeliť súčasnú logiku. 22 Sochor (2011, 21) prirovnáva výrokovú logiku ku gramatickému rozboru
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec.
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραVladimír Kvasnička. Úvod do logiky pre informatikov
Vladimír Kvasnička Úvod do logiky pre informatikov Ústav aplikovanej informatiky Fakulta informatiky a informačných technológií Slovenská technická univerzita v Bratislave 202 2 Úvod V tejto knihe, ktorá
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραLogické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.
Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότερα5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky
5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky Priesvitka 1 Gottlob Frege (1848-1925) Bertrand Russell (1872-1970) Priesvitka 2 Intuitívny prechod od výrokovej logiky k predikátovej logike
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραVýroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety
Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,
Διαβάστε περισσότεραZbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY
Zbierka úloh z VÝROKOVEJ LOGIKY Martin Šrámek 0 OBSAH Úvod...2 Výrok...3 Výroková premenná...3 Logické spojky...4 Formula výrokovej logiky...4 Logická ekvivalencia...4 Tabuľková metóda riešenia úloh...4
Διαβάστε περισσότεραPrednáška 1. Logika, usudzovanie a teória dôkazu
Prednáška 1 Logika, usudzovanie a teória dôkazu Logika je charakterizovaná ako analýza metód používaných v ľudskom myslení alebo uvažovaní. Logika nie je dôležitá len v matematike a informatike, ale aj
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότερα9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody
9. kapitola Boolove funkcie a logické obvody Priesvitka 1 Boolova algebra Elektronické obvody v počítačoch a v podobných zariadeniach sú charakterizované binárnymi vstupmi a výstupmi (rovnajúcimi sa 0
Διαβάστε περισσότεραRiešenie cvičení z 5. kapitoly
Riešenie cvičení z 5. kapitoly Cvičenie 5.1. Vety prepíšte pomocou jazyka predikátovej logiky, použite symboly uvedené v úlohách. (a Niekto má hudobný sluch (H a niekto ho nemá. ( H( ( H( (b Niektoré dieťa
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z
Διαβάστε περισσότεραMatematická logika. Emília Draženská Helena Myšková
Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραRudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I
Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I Rudolf Blaško MATEMATICKÁ ANALÝZA I 007 c RNDr Rudolf Blaško, PhD, 007 beerb@frcatelfriunizask Obsah Základné pojm 3 Logika 3 Výrazavýrok 3 Logickéoperácie 3 3 Výrokovéform
Διαβάστε περισσότεραÚvod do diskrétnych matematických štruktúr. Daniel Olejár Martin Škoviera
Úvod do diskrétnych matematických štruktúr Daniel Olejár Martin Škoviera 24. augusta 2007 i This book was developed during the project Thematic Network 114046-CP-1-2004-1-BG- ERASMUS-TN c Daniel Olejár,
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA PRE FARMACEUTOV
V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N I C A Farmaceutická fakulta Univerzity Komenského Vladimír Frecer MATEMATIKA PRE FARMACEUTOV UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE 1 V Y S O K O Š K O L S K Á U Č E B N
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραRiešenia. Základy matematiky. 1. a) A = { 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3}, b) B = {4; 9; 16}, c) C = {2; 3; 5},
Riešenia Základy matematiky 1. a) A = { ; ; ; 1; 0; 1; ; }, b) B = {; 9; 16}, c) C = {; ; 5}, d) D = { 1}, e) E =.. B, C, D, F (A neobsahuje prvok 1, E obsahuje navyše prvok 1, G neobsahuje prvok 1)..
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραPredikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy. 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku
6. kapitola Predikátová logika II prirodzená dedukcia a sylogizmy 6.1 Metóda prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku Jednoduché rozšírenie metódy prirodzenej dedukcie pre predikátovú logiku uskutočníme
Διαβάστε περισσότεραPravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα2-UMA-115 Teória množín. Martin Sleziak
2-UMA-115 Teória množín Martin Sleziak 20. septembra 2011 Obsah 1 Úvod 5 1.1 Predhovor...................................... 5 1.2 Sylaby a literatúra................................. 6 1.2.1 Literatúra..................................
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραAlgebra a diskrétna matematika
Algebra a diskrétna matematika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Algebra a diskrétna matematika Slovenská technická univerzita v Bratislave 008 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., prof. RNDr. Jiří Pospíchal,
Διαβάστε περισσότεραAutomatizácia technologických procesov
Téma: Logické obvody. Základné pojmy. Logická algebra,logické funkcie. Znázornenie logických funkcií a základy ich minimalizácie. - sú častým druhom riadenia, ktoré sa vyskytujú ako samostatné ako aj v
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky Eduard Toman Bratislava 2005 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky..................................
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA
1 LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA Termíny výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý výrok, nepravdivý výrok, zložený výrok označujú základné pojmy logiky. Význam slov každý,
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότερα1.1 Zobrazenia a funkcie
1 Teória vypočítateľnosti poznámky z prednášky #1 1.1 Zobrazenia a funkcie Definícia. Čiastočné (totálne) zobrazenie trojice (A, B, f) pre ktoré platí: f A B Ku každému vstupu a A existuje najviac jeden
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia
ÚVOD DO MATEMATICKEJ LOGIKY Podporné učebné texty pre vyučovanie matematiky v 1.ročníku gymnázia 1. VÝROKY Pod pojmom "výrok" rozumieme v bežnom živote čosi ako VÝsledok ROKovania ( napr. súdu, alebo komisie
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραzlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov (tento proces môžeme nazvat formalizácia), jej hlavnou úlohou je potom
0 Úvod 1 0 Úvod 0 Úvod 2 Matematika (a platí to vo všeobecnosti pre každú vedu) sa viac či menej úspešne pokúša zachytit istý zlomok poznatel nej časti skutočnosti. Robí tak prostredníctvom svojich pojmov
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραXVIII. ročník BRKOS 2011/2012. Pomocný text. Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú
Pomocný text Číselné obory Číselné obory Kde by bola matematika bez čísel? Čísla predstavujú jednu z prvých abstrakcií, ktorú ľudia začali vnímať. Abstrakcia spočívala v tom, že množstvo, ktoré sa snažili
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραKatedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava. Lucia Haviarová
Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Čiastočné boolovské funkcie (Bakalárska práca) Lucia Haviarová Vedúci: doc. RNDr. Eduard Toman, CSc. Bratislava,
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραNededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 1/35
Nededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 1/35 Úvodné poznámky Americký filozof a logik Charles S. Peirce (čítaj ako pers ), sa stal známym svojou klasifikáciou nededuktívnych metód inferencie,
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότερα