ΚΟΤΛΟΤΡΗ ΑΝΓΡΔΑ ΙΣΟΡΙΚΗ ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΗΝ ΔΠΙΣΗΜΗ ΣΟΤ ΥΑΟΤ

Transcript

1 ΚΟΤΛΟΤΡΗ ΑΝΓΡΔΑ ΙΣΟΡΙΚΗ ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΗΝ ΔΠΙΣΗΜΗ ΣΟΤ ΥΑΟΤ Σίπνηε ζηε θχζε δελ είλαη ηπραίν. Έλα πξάγκα κπνξεί λα θαίλεηαη ηπραίν κφλν εμαηηίαο ηεο ειιηπνχο καο γλψζεο. Μ. πηλφδα Πεπίλητη: Η Δπηζηήκε ησλ Γπλακηθψλ πζηεκάησλ θαη ηνπ Υάνπο κειεηά ηε ζπκπεξηθνξά νξηζκέλσλ κε γξακκηθψλ δπλακηθψλ ζπζηεκάησλ, ηα νπνία θάησ απφ νξηζκέλεο ζπλζήθεο παξνπζηάδνπλ επαίζζεηε εμάξηεζε ζηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Η επαηζζεζία απηή έρεη σο απνηέιεζκα ηελ θαηλνκεληθή ηπραηφηεηα ηεο παξαηεξνχκελεο ζπκπεξηθνξάο ησλ ζπζηεκάησλ θαη ηελ αδπλακία πξφβιεςεο, παξφιν πνπ ηα ζπζηήκαηα απηά είλαη αηηηνθξαηηθά (ληεηεξκηληζηηθά), κε ηελ έλλνηα φηη είλαη θαιψο νξηζκέλνη νη λφκνη εμέιημήο ηνπο θαη δελ πεξηέρνπλ ηπραίεο παξακέηξνπο. Η αδπλακία πξφβιεςεο είλαη ζεκειηψδεο ηδηφηεηα απηψλ ησλ ζπζηεκάησλ θαη δελ νθείιεηαη ζηελ αηέιεηα ησλ επηζηεκνληθψλ καο γλψζεσλ. ηελ παξνχζα εξγαζία ζθηαγξαθείηαη ε εμέιημε ηεο επηζηήκεο απφ ηε λεπηψλεηα επαλάζηαζε σο ηε ζχγρξνλε αλαθάιπςε ηεο έλλνηαο ηνπ ληεηεξκηληζηηθνχ ράνπο, ην νπνίν θαίλεηαη λα δηέπεη κηα ζεηξά θαηλνκέλσλ πνπ κειεηψληαη απφ ην ζχλνιν ζρεδφλ ησλ επηζηεκνληθψλ θιάδσλ. 1. Η Ανάπηςξη ηος Γιαθοπικού Λογιζμού και ηυν Γςναμικών ςζηημάηυν Γηα ηνπο πξντζηνξηθνχο αλζξψπνπο ηα θπζηθά θαηλφκελα θαη ν θφζκνο φινο παξνπζηάδνληαλ ζαλ ράνο. Με ηελ πάξνδν ηνπ ρξφλνπ θαη ηελ αλάπηπμε ησλ επηζηεκψλ άξρηζε λα κπαίλεη κηα ηάμε ζην ράνο απηφ, θαζψο φιν θαη πεξηζζφηεξα θαηλφκελα εμεγνχληαλ κηαο θαη δηαηππψλνληαλ λφκνη πνπ ηα εξκήλεπαλ. Παξάιιεια κε ηηο θπζηθέο επηζηήκεο αλαπηχζζνληαλ θαη ηα καζεκαηηθά θαη ε θαηαλφεζε ελφο θπζηθνχ θαηλνκέλνπ ζπκπεξηιάκβαλε θαη κηα θαηάιιειε καζεκαηηθή πεξηγξαθή ηνπ. Μηα απφ ηηο πξψηεο θαη ζεκαληηθφηεξεο εθαξκνγέο ησλ καζεκαηηθψλ ήηαλ πάλσ ζε έλα πξσηαξρηθφ εξψηεκα πνπ απφ θαηαβνιήο θφζκνπ έθαλε ηνλ άλζξσπν λα πξνβιεκαηηζζεί, ζρεηηθά µε ηνπο λφκνπο θαη ηελ πξνβιεςηκφηεηα ηεο θχζεο. Πξφθεηηαη γηα ηελ θίλεζε ησλ νπξαλίσλ ζσκάησλ. Υξεηάζηεθαλ πνιιέο ρηιηεηίεο θαη έλαο νιφθιεξνο ζεζαπξφο παξαηεξήζεσλ ζπζζσξεπκέλσλ απφ ηελ αξραηφηεηα, νη νπνίεο κεηαδφζεθαλ κε ζξεζθεπηηθή επιάβεηα απφ ηε κηα γεληά αζηξνλφκσλ ζηελ άιιε, ψζπνπ λα αλαθαιπθζνχλ νη λφκνη ηεο θίλεζεο ησλ πιαλεηψλ απφ ηνλ Γηφραλ Κέπιεξ. Παξάιιεια, ηελ ίδηα πεξίπνπ επνρή, πξηλ απφ ηξαθφζηα πεξίπνπ ρξφληα, πξαγκαηνπνηήζεθε έλα κλεκεηψδεο επίηεπγκα, ε αλάπηπμε ηνπ δηαθνξηθνχ ινγηζκνχ αλεμάξηεηα απφ ηνλ Isaac Newton θαη ηνλ Wilhelm Leibniz. ηε ζπλέρεηα, ην 1687 ν Νεχησλαο, ζην βηβιίν ηνπ κε ηίηιν «Φηινζνθία ησλ Φπζηθψλ Δπηζηεκψλ» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), κε βάζε ην λφκν ηεο παγθφζκηαο έιμεο, ηελ χπαξμε δειαδή ηεο βαξπηηθήο δχλακεο απέδεημε ηνπο ηξεηο λφκνπο ηνπ Κέπιεξ γηα ηελ θίλεζε ησλ πιαλεηψλ. Οη ειιεηπηηθέο ηξνρηέο ησλ πιαλεηψλ, νη ηαρχηεηεο δηαδξνκήο ηνπο θαη ηα πιαλεηηθά έηε εκθαλίδνληαη ζην εμήο σο θνηλφηνπεο ζπλέπεηεο ηνπ απινχ απηνχ λφκνπ. Οη θπθιηθέο, ειιεηπηηθέο θαη παξαβνιηθέο ηξνρηέο ηεο αζηξνλνκίαο έπαςαλ λα είλαη ζεκειηψδεηο θηλήζεηο, αιιά πξνέθππηαλ σο ιχζεηο δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ. Έηζη, ζχκθσλα κε ηε λεπηψλεηα θπζηθή, ε γλψζε ηεο παξνχζαο θαηάζηαζεο ηνπ ειηαθνχ ζπζηήκαηνο καο επηηξέπεη λα πξνβιέςνπκε ηε κειινληηθή ηνπ εμέιημε. Οη λφκνη

2 ηνπ Νεχησλα δηαηππψλνληαη ππφ ηε κνξθή ζπλήζσλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ θαη είλαη λφκνη θαζαξά αηηηνθξαηηθνί. Απηφ ζεκαίλεη φηη ζε κηα ζπγθεθξηκέλε αηηία αληηζηνηρεί έλα θαη κνλαδηθφ απνηέιεζκα, ην νπνίν είλαη πάληνηε ην ίδην, εθφζνλ μεθηλνχκε κε ηελ ίδηα αξρηθή θαηάζηαζε (αηηία). Δηδηθφηεξα, ζηελ πεξίπησζε ηνπ Ηιηαθνχ ζπζηήκαηνο, σο αηηία ζεσξνχκε κηα αξρηθή θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο (ζέζε θαη ηαρχηεηα ησλ πιαλεηψλ) ζε θάπνηα αξρηθή ρξνληθή ζηηγκή θαη ην απνηέιεζκα είλαη ε θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο (δειαδή ζέζε θαη ηαρχηεηα ησλ πιαλεηψλ) κηα θαζνξηζκέλε επφκελε ρξνληθή ζηηγκή, φπσο πξνθχπηεη απφ ηε ιχζε ησλ ζρεηηθψλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ. Με απηφ ηνλ ηξφπν κπνξνχλ λα ππνινγηζζνχλ νη ζέζεηο ησλ πιαλεηψλ ζηελ ηξνρηά ηνπο γχξσ απφ ηνλ Ήιην γηα ηα επφκελα ρξφληα θαη έηζη λα πξνβιέςνπκε ηα δηάθνξα αζηξνλνκηθά θαηλφκελα πνπ ζα ζπκβνχλ ζην κέιινλ, φπσο π.ρ. κηα έθιεηςε Ηιίνπ ή ειήλεο, ηελ εκθάληζε ελφο θνκήηε ή αθφκε θαη ηελ ηξνρηά ελφο αζηεξνεηδή ν νπνίνο αθνινπζεί κηα πνξεία ζπγθξνχζεσο κε ηε Γε. ε φιεο απηέο ηηο πεξηπηψζεηο ε ηξνρηά ππνινγίδεηαη αθξηβψο, κε ηε βνήζεηα ησλ αηηηνθξαηηθψλ λφκσλ ηνπ Νεχησλα, θαη εζεσξείην απηνλφεην φηη αξθεί λα αλαπηχμνπκε ηελ θαηάιιειε καζεκαηηθή ζεσξία θαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηζρπξνχο ειεθηξνληθνχο ππνινγηζηέο γηα ηνπο αξηζκεηηθνχο ππνινγηζκνχο, ψζηε λα πξνβιέςνπκε, κε φζε αθξίβεηα επηζπκνχκε, ηελ θίλεζε ελφο ζψκαηνο, είηε πξφθεηηαη γηα ηε ειήλε, έλαλ πιαλήηε, ή έλα δηαζηεκφπινην, θαη κάιηζηα γηα νζνδήπνηε κεγάιν ρξνληθφ δηάζηεκα. Οη επηζηήκνλεο πξνζπάζεζαλ λα απνδείμνπλ φηη απηφο ν κνλαδηθφο λφκνο ήηαλ αξθεηφο γηα λα εξκελεπζνχλ φιεο νη θηλήζεηο ησλ άζηξσλ θαη φηη ε ζεσξία ηνπ Νεχησλα καο επηηξέπεη λα πξνβιέπνπλ κε αθξίβεηα φια ηα νπξάληα θαηλφκελα. Οη επηηπρίεο ησλ Μαζεκαηηθψλ ζηελ πεξηγξαθή ησλ θπζηθψλ θαηλνκέλσλ δηαδέρνληαλ ε µία ηελ άιιε µε εληππσζηαθνχο ξπζκνχο θαηά ηνπο αηψλεο πνπ αθνινχζεζαλ θαη ε κέζνδνο απηή ηεο κνληεινπνίεζεο ρξεζηκνπνηψληαο ηηο δηαθνξηθέο εμηζψζεηο θαη ηηο εμηζψζεηο δηαθνξψλ ρξεζηκνπνηήζεθε έθηνηε ζηηο πεξηζζφηεξεο επηζηήκεο κε εμαηξεηηθά απνηειέζκαηα.. Με βάζε ην παξάδεηγκα ηεο Νεπηψλεηαο θπζηθήο θαη ρξεζηκνπνηψληαο ην παλίζρπξν εξγαιείν ησλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ θαηέζηε δπλαηφ λα κνληεινπνηεζνχλ θαηλφκελα απ φιν ην θάζκα ησλ επηζηεκψλ. Απηφ δεκηνχξγεζε ηελ εηθφλα, θπξίσο θαηά ην δέθαην έλαην θαη ηηο αξρέο ηνπ εηθνζηνχ αηψλα, ελφο θαζαξά κεραληζηηθνχ θφζκνπ, φπνπ ηα πάληα είλαη πξνβιέςηκα, κε επηπηψζεηο αθφκα θαη ζηε θηινζνθηθή αληίιεςε ηνπ θφζκνπ. Γεκηνπξγήζεθε η εικόνα ενόρ ζύμπανηορ πος λειηοςπγεί με απόλςηη ηάξη, όπωρ ο μησανιζμόρ ενόρ πολογιού ακπιβείαρ, φπνπ ε παξνχζα θαηάζηαζε είλαη απιψο κηα ζπλέπεηα ηεο πξνγελέζηεξεο θαηάζηαζεο θαη ε αηηία ηεο θαηάζηαζεο πνπ ζα αθνινπζήζεη. Ο ήιηνο θαη νη πιαλήηεο πνπ πεξηζηξέθνληαη γχξσ απφ απηφλ απνηεινχλ έλα δπλακηθφ ζχζηεκα, ην νπνίν κειεηήζεθε ηθαλνπνηεηηθά κε ην παλίζρπξν καζεκαηηθφ εξγαιείν ησλ ζπζηεκάησλ ησλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ. 2. Νηεηεπμινιζμόρ και ο Γαίμοναρ ηος Λαπλάρ Η επηηπρία απηψλ ησλ ππνινγηζκψλ ζηελ πξφβιεςε ηεο ζέζεσο ελφο ζψκαηνο γηα κεγάια ρξνληθά δηαζηήκαηα απεηέιεζε ηνλ ζξίακβν ηεο αηηηνθξαηίαο. Δθφζνλ ε εμέιημε ελφο θαηλνκέλνπ πνπ δηέπεηαη απφ θαζαξά αηηηνθξαηηθνχο λφκνπο, φπσο είλαη νη λφκνη ηνπ Νεχησλα, έρεη θαηαλνεζεί πιήξσο θαη κπνξεί λα πξνβιεθζεί, εηζήρζε κε ηνλ ηξφπν απηφ ζηελ επηζηήκε ε έλλνηα ηνπ ληεηεξκηληζκνχ θαη ηαπηφρξνλα επηθξάηεζε ε πεπνίζεζε φηη νη φξνη ληεηεξκηληζκφο θαη πξνβιεςηκφηεηα είλαη ηζνδχλακνη. Νηεηεπμινιζμόρ ή αιηιοκπαηία είλαη ε ζεσξία πνπ ηζρπξίδεηαη πσο νηηδήπνηε ζπκβαίλεη ζην ζχκπαλ θαζνξίδεηαη επαθξηβψο απφ πξφηεξεο ζπλζήθεο. Αλ απηή ε ζεσξία είλαη ζσζηή, ηφηε νηηδήπνηε ζπκβαίλεη ζην ζχκπαλ, είηε αλήθεη ζην παξειζφλ, είηε ζην παξφλ είηε ζην κέιινλ, είλαη θαη αξρήλ παξαγσγηθά εμεγήζηκν. Η έλλνηα απηή δηαθέξεη απφ ην κνηξαίν, ηελ εηκαξκέλε ησλ Αξραίσλ Διιήλσλ θαη απφ ην θαηαιηζκφ, γηαηί ελψ γηα ην θαηαιηζκφ ε αλάγθε είλαη έμσ απφ ηα πξάγκαηα, είλαη ππεξβαηηθή θαη ε θχζε ππαθνχεη 2

3 ζε κηα δχλακε δπλαηφηεξε απφ ηελ ίδηα γηα ην ληεηεξκηληζκφ είλαη κέζα ζηα πξάγκαηα, ζχκθσλα κε κηα αιχγηζηε λνκνηέιεηα (Θενδσξίδεο, 1955). χκθσλα κε ηε θηινζνθηθή απηή ηάζε, ε νπνία επεξέαζε ηδηαηηέξσο ηελ επηζηεκνληθή ζθέςε απφ ηελ αξραηφηεηα κέρξη θαη ζήκεξα, είλαη απνδεθηή ε χπαξμε κηαο θαζνιηθήο αηηηψδνπο θαη λνκνηειεηαθήο ζπλάθεηαο φισλ ησλ θαηλνκέλσλ. Γελ ππάξρνπλ αλεμήγεηα ή ηπραία γεγνλφηα. Η θαη εμνρήλ δηαηχπσζε ηνπ ληεηεξκηληζηηθνχ δφγκαηνο πνπ ζηεξηδφηαλ ζηελ καζεκαηηθή αλάπηπμε ηνπ δηαθνξηθνχ ινγηζκνχ θαη πνπ αλαθέξεηαη πην ζπρλά είλαη απηή πνπ πξνέξρεηαη απφ ην έξγν ηνπ Λαπιάο «Αλαιπηηθή Θεσξία ησλ Πηζαλνηήησλ», ε νπνία απνηέιεζε ην ζχκβνιν κηαο νιφθιεξεο επνρήο θαη απνθαιείηαη διάνοια ή δαίμοναρ ηος Λαπλάρ έρεη σο εμήο: Αλ ππήξρε κηα δηάλνηα πνπ λα δηαζέηεη ηε γλψζε ηνπ ζπλφινπ ησλ δπλάκεσλ πνπ θπβεξλνχλ ηε θχζε, θαζψο θαη ηεο αληίζηνηρεο θαηάζηαζεο ησλ φλησλ πνπ ηελ απαξηίδνπλ, κηα δηάλνηα ηέηνηνπ κεγέζνπο πνπ λα είλαη ζε ζέζε λα ππνβάιιεη φια απηά ηα δεδνκέλα ζε αλάιπζε, ηφηε ζα κπνξνχζε λα ζπκπεξηιάβεη κέζα ζηνλ ίδην καζεκαηηθφ ηχπν ηφζν ηελ θίλεζε ησλ κεγαιχηεξσλ ζσκάησλ ηνπ ζχκπαληνο φζν θαη απηή ησλ κηθξφηαησλ αηφκσλ. Γηα κηα ηέηνηα δηάλνηα ηίπνηα δελ ζα ήηαλ αβέβαην, ην κέιινλ αιιά θαη ην παξειζφλ, ζα μαλνηγφηαλ νινθάζαξα κπξνζηά ζηα κάηηα ηεο (Λαπιάο, 1814/1951) Ο δαίκνλαο ηνπ Λαπιάο απνηειεί κηα απφ ηηο δσεξφηεξεο εηθφλεο πνπ αλαδχζεθε κέζα απφ ην ζχλνιν ηεο βηβιηνγξαθίαο γηα ηνλ ληεηεξκηληζκφ θαη πξνυπνζέηεη φηη ην παξειζφλ, ην παξφλ θαη ην κέιινλ είλαη ζπλδεδεκέλα κε ζρέζεηο αηηηφηεηαο. Καηά ζπλέπεηα, ην πξφβιεκα ηεο αθξηβνχο πξφγλσζεο βξίζθεηαη ζηε δπζθνιία ηεο θαηαγξαθήο ησλ ζρεηηθψλ δεδνκέλσλ θαη κφλν. Σν πξψην ηζρπξφηαην πιήγκα, ηνπιάρηζηνλ γηα ηηο θπζηθέο επηζηήκεο, δέρζεθε ην ληεηεξκηληζηηθφ απηφ δφγκα απφ ηελ αξρή ηεο απξνζδηνξηζηίαο ηνπ Werner Heisenberg. 3. Η Απσή ηηρ Απποζδιοπιζηίαρ ηος Heisenberg Σν 1927 ν Werner Heisenberg δηαηχπσζε ηελ πεξίθεκε απσή ηηρ απποζδιοπιζηίαρ (indeterminacy principle) ή απσή ηηρ αβεβαιόηηηαρ (uncertainty principle). χκθσλα κε ηελ αξρή απηή είλαη αδχλαην λα κεηξήζνπκε κε απεξηφξηζηε αθξίβεηα, ηε ζέζε θαη ηελ νξκή ελφο ζσκαηηδίνπ ηαπηφρξνλα. Δάλ κεηξάκε ηε ζέζε ελφο ζσκαηίνπ κε αβεβαηφηεηα Γx θαη ηαπηφρξνλα κεηξάκε ηελ νξκή ηνπ κε αβεβαηφηεηα Γp, ηφηε ην γηλφκελν ησλ δχν κεγεζψλ δελ κπνξεί λα είλαη κηθξφηεξν απφ έλαλ αξηζκφ, δειαδή: x p φπνπ h είλαη ε κεησκέλε ζηαζεξά ηνπ Planck (δειαδή ε ζηαζεξά ηνπ Planck δηαηξνχκελε κε ην 2π). Η ειάρηζηε αβεβαηφηεηα ζηε κέηξεζε ησλ Γx θαη Γp δελ είλαη πεηξακαηηθφ ζθάικα, δελ νθείιεηαη δειαδή ζηηο αηέιεηεο ησλ πεηξακαηηθψλ ζπζθεπψλ, αιιά πξνθχπηεη απφ ηελ δνκή ηεο χιεο θαη ε ζρέζε αβεβαηφηεηαο είλαη άκεζε ζπλέπεηα ηνπ θπκαηνζσκαηηδηαθνχ δπτζκνχ ηεο χιεο. Πην ζπγθεθξηκέλα, γηα λα κπνξέζνπκε λα πξνβιέςνπκε ηε κειινληηθή ζέζε θαη ηαρχηεηα ελφο ζσκαηηδίνπ πξέπεη λα κπνξνχκε λα κεηξήζνπκε επαθξηβψο ηελ ησξηλή ηνπ ζέζε θαη ηαρχηεηα. Γηα λα ην επηηχρνπκε απηφ είλαη απαξαίηεην λα θσηίζνπκε ην ζσκαηίδην. Κάπνηα απφ ηα θχκαηα ηνπ θσηφο ζα αλαθιαζηνχλ πάλσ ηνπ θαη ζα ππνδείμνπλ ην ζεκείν φπνπ βξίζθεηαη. Γελ ζα κπνξνχκε φκσο λα πξνζδηνξίζνπκε ηε ζέζε ηνπ κε κεγαιχηεξε πξνζέγγηζε απφ ηελ απφζηαζε κεηαμχ ησλ θνξπθψλ ησλ θπκάησλ ηνπ θσηφο πνπ ρξεζηκνπνηνχκε. πκπεξαίλνπκε ινηπφλ φηη, γηα λα κεηξήζνπκε κε πνιχ κεγάιε αθξίβεηα ηε ζέζε ελφο ζσκαηηδίνπ, ρξεηάδεηαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θσο κε πνιχ κηθξφ κήθνο θχκαηνο (δειαδή κε πνιχ κηθξή απφζηαζε κεηαμχ ησλ θνξπθψλ ησλ θπκάησλ). Αιιά απφ ηελ ππφζεζε ησλ θβάλησλ ηνπ Plank πξνθχπηεη φηη δελ κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε νζνδήπνηε κηθξή πνζφηεηα θσηφο. Θα πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνπιάρηζηνλ έλα θβάλην. Απηφ ην θβάλην ζα πξνθαιέζεη κηα απξφβιεπηε δηαηαξαρή ζηε ζέζε θαη ηελ h 2 3

4 ηαρχηεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ. Δπηπιένλ, φζν κεγαιχηεξε είλαη ε απαηηνχκελε αθξίβεηα κέηξεζεο ηεο ζέζεο ηνπ ζσκαηηδίνπ ηφζν κηθξφηεξν είλαη ην κήθνο θχκαηνο ηνπ θσηφο πνπ ρξεηάδεηαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη ηφζν κεγαιχηεξε ε ελέξγεηα ηνπ θβάληνπ θαη θαηά ζπλέπεηα ε ηαρχηεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ ζα ππνζηεί αθφκε κεγαιχηεξε δηαηαξαρή. Με άιια ιφγηα, φζν πην κεγάιε είλαη ε αθξίβεηα κε ηελ νπνία πξνζπαζνχκε λα κεηξήζνπκε ηε ζέζε ηνπ ζσκαηηδίνπ ηφζν πην κηθξή είλαη ε αθξίβεηα κε ηελ νπνία κπνξνχκε λα κεηξήζνπκε ηελ ηαρχηεηά ηνπ θαη αληίζηξνθα. Ο Υάηδελκπεξγθ έδεημε φηη αλ πνιιαπιαζηάζνπκε ηελ απξνζδηνξηζηία ζηε ζέζε ηνπ ζσκαηηδίνπ επί ηελ απξνζδηνξηζηία ζηελ ηαρχηεηά ηνπ επί ηε κάδα ηνπ, ζα έρνπκε έλαλ αξηζκφ πνπ δελ κπνξεί πνηέ λα γίλεη πην κηθξφο απφ νξηζκέλε πνζφηεηα, ηε ιεγφκελε κεησκέλε ζηαζεξά ηνπ Planck. Απηή ε πνζφηεηα κάιηζηα δελ εμαξηάηαη απφ ηνλ ηξφπν κε ηνλ νπνίν πξνζπαζνχκε λα κεηξήζνπκε ηε ζέζε ή ηελ ηαρχηεηα ηνπ ζσκαηηδίνπ ή απφ ην είδνο ηνπ ζσκαηηδίνπ θαη δελ νθείιεηαη ζε αηέιεηα ησλ επηζηεκνληθψλ καο νξγάλσλ. Η αξρή ηεο απξνζδηνξηζηίαο ηνπ Χάηδελκπεξγθ είλαη ζεκειηώδεο, αλαπόδξαζηε, ραξαθηεξηζηηθή ηδηόηεηα ηνπ θόζκνπ (Hawking, 1996). Παξφια απηά, ε ζπλεζηζκέλε εκπεηξία δελ παξέρεη θακηά έλδεημε γηα ηελ αιήζεηα ηεο αξρήο απηήο. Φαίλεηαη λα είλαη εχθνιν λα ππνινγίζεη θαλείο κε αθξίβεηα ηελ ηαρχηεηα θαη ηε ζέζε ελφο απηνθηλήηνπ ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή. Απηφ φκσο ζπκβαίλεη δηφηη γηα ηα αληηθείκελα απηνχ ηνπ κεγέζνπο νη αβεβαηφηεηεο πνπ νξίδεη ε αξρή ηεο απξνζδηνξηζηίαο είλαη πνιχ κηθξέο γηα λα παξαηεξεζνχλ έμσ απφ έλα πεηξακαηηθφ εξγαζηήξην θπζηθήο. Σν πιήγκα πνπ δέρζεθε ν θιαζζηθφο ληεηεξκηληζκφο απφ ηελ αξρή ηεο απξνζδηνξηζηίαο ήηαλ πνιχ κεγάιν, παξφια απηά δε ζήκαλε θαη ην ηέινο ηνπ ληεηεξκηληζκνχ. ηελ πξαγκαηηθφηεηα θαλείο επηζηήκνλαο δελ είρε πηζηέςεη σο απφιπηα εθηθηφ ην ληεηεξκηληζηηθφ δφγκα ηνπ Λαπιάο (Peitgen et all, 1992). Αθφκα θαη ην πην πξνζεθηηθά κειεηεκέλν πείξακα πνηέ δελ είλαη εληειψο απνκνλσκέλν απφ ηηο επηδξάζεηο ηνπ πεξηβάιινληνο θαη ε θαηάζηαζε νπνηνπδήπνηε ζπζηήκαηνο δελ είλαη πνηέ απφιπηα γλσζηή κηα ζπγθεθξηκέλε ρξνληθή ζηηγκή. Απηφ πνπ πξαγκαηηθά πίζηεπαλ νη επηζηήκνλεο είλαη φηη από ζσεδόν ηιρ ίδιερ αιηίερ ακολοςθούν ζσεδόν ηα ίδια αποηελέζμαηα, ηφζν ζηε θχζε φζν θαη ζε νπνηνδήπνηε πείξακα (Gleick, 1987). Αλ δειαδή γλσξίδνπκε πξνζεγγηζηηθά ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ελφο ζπζηήκαηνο θαη θαηαλννχκε ηνπο θπζηθνχο λφκνπο, ηφηε κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε πξνζεγγηζηηθά ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ ζπζηήκαηνο. Η ππφζεζε απηή βξίζθεηαη ζηελ θαξδηά ηεο θηινζνθίαο ηεο επηζηήκεο. Αλ ηα πξάγκαηα δελ είραλ έηζη, ηφηε θαλείο δε ζα κπνξνχζε λα βεβαηψζεη ηελ ηζρχ νπνηνπδήπνηε θπζηθνχ λφκνπ. Γε ρξεηάδεηαη λα ιάβεη ππφςε ηνπ θαλείο ηελ πηψζε ελφο ραιηθηνχ ζε θάπνηνλ πιαλήηε ελφο άιινπ γαιαμία, φηαλ πξνζπαζεί λα κειεηήζεη ηελ θίλεζε ηεο κπάιαο ηνπ κπηιηάξδνπ ζε έλα ηξαπέδη πάλσ ζηε Γε. Οη πνιχ κηθξέο επηδξάζεηο κπνξνχλ λα παξαιεηθζνχλ. Έλα ειάρηζην ζθάικα ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο ζέζεο ηνπ θνκήηε ηνπ Υάιιευ ην 1910 ζα κπνξνχζε λα πξνθαιέζεη έλα κηθξφ κφλν ιάζνο ζηελ πξφβιεςε ηεο άθημήο ηνπ ην 1986 θαη ην ζθάικα απηφ ζα παξέκελε κηθξφ γηα εθαηνκκχξηα ρξφληα. Τπάξρεη κηα ζχγθιηζε ζηνλ ηξφπν πνπ δνπιεχνπλ ηα πξάγκαηα θαη νη ηπραίεο κηθξέο επηδξάζεηο δελ εληζρχνληαη ψζηε λα δίλνπλ κεγάια ηπραία απνηειέζκαηα. Δπζηπρώο όκωο, νύηε απηή ε ηόζν εύινγε επηζηεκνληθή απαίηεζε απνδείρζεθε εθηθηή αιιά θινλίζηεθε εθ λένπ ηε δεθαεηία ηνπ 1970, απφ ηελ αλαθάιπςε ηνπ αηηηνθξαηηθνχ ράνπο (αλ θαη ε ζχιιεςή ηεο έλλνηαο απηήο είρε δηαηππσζεί θαη πξνγελέζηεξα) ζηε κνληεινπνίεζε ησλ δπλακηθψλ ζπζηεκάησλ κε δηαθνξηθέο εμηζψζεηο θαη εμηζψζεηο δηαθνξψλ. 4

5 4. Γςναμικά ςζηήμαηα Η έλλνηα ελφο δπλακηθνχ ζπζηήκαηνο νθείιεη ηελ πξνέιεπζή ηεο ζηε Νεπηψλεηα κεραληθή αιιά σο ζήκεξα δελ ππάξρεη άιινο θιάδνο ησλ καζεκαηηθψλ κε ηφζεο πνιιέο εθαξκνγέο, φζν απηφο ησλ δπλακηθψλ ζπζηεκάησλ. Σα δπλακηθά ζπζηήκαηα είλαη ηα θπζηθά θαηλφκελα ή νη δηεξγαζίεο εθείλεο πνπ πεξηγξάθνληαη απφ ζπζηήκαηα δηαθνξηθώλ εμηζώζεωλ ή εμηζώζεωλ δηαθνξώλ, ησλ νπνίσλ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή είλαη ν ρξφλνο. (Μπνχληεο, 1995). Γηα ηα ζπζηήκαηα γξακκηθώλ δηαθνξηθώλ εμηζώζεωλ έρεη αλαπηπρζεί νιφθιεξε ζεσξία θαη επηηεχρζεθε ε πιήξεο επίιπζή ηνπο. Γπζηπρψο, αθφκε θαη ζήκεξα δελ ππάξρεη θακηά γεληθή ζεσξία, αληίζηνηρε κε εθείλε ησλ γξακκηθψλ, πνπ λα καο επηηξέπεη λα ιχλνπκε αλαιπηηθά ζπζηήκαηα κε γξακκηθψλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ. Η δηεξεχλεζε ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ κε γξακκηθψλ ζπζηεκάησλ έρεη ηνπηθφ ραξαθηήξα, κηα πνπ ηηο πεξηζζφηεξεο θνξέο ε εχξεζε γεληθήο ιχζεο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη αδχλαηε. Σν ελδηαθέξνλ κηαο ηέηνηαο δηεξεχλεζεο, εζηηάδεηαη ζηε κειέηε ησλ ζεκείσλ ηζνξξνπίαο, ζηελ πεξηνρή ησλ νπνίσλ δηελεξγείηαη γξακκηθνπνίεζε ηνπ ζπζηήκαηνο. Γηα ηνλ θαζνξηζκφ ηεο θαηάζηαζεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζην απψηεξν κέιινλ απαηηείηαη ε δηαδνρηθή επαλάιεςε ηνπ ππνινγηζκνχ πνπ πξνθχπηεη απφ ηηο ζρέζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο πνιιέο θνξέο, φπνπ θάζε θνξά δίλεηαη έλαο ρξφλνο πξνψζεζεο, έλα κηθξφ βήκα. Η δηαδηθαζία απηή νλνκάδεηαη αξηζκεηηθή επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο θαη απαηηεί πάξα πνιινχο ππνινγηζκνχο, αιιά κε ηε ρξήζε ησλ ειεθηξνληθψλ ππνινγηζηψλ απέδσζε εμαηξεηηθά απνηειέζκαηα. Λακβάλνληαο ππφςε έλα αξρηθφ ζεκείν είλαη δπλαηφ κε ηε κέζνδν απηή λα θαζνξηζηνχλ φια ηα κειινληηθά ζεκεία ηνπ, ε ηξνρηά δειαδή ηνπ ζεκείνπ. Σν πην ζεκαληηθφ ίζσο εξψηεκα ζηα δπλακηθά ζπζηήκαηα είλαη πνηα είλαη ε ζπκπεξηθνξά ησλ ιχζεψλ ηνπο θαζψο ν ρξφλνο t ηείλεη ζην άπεηξν, πνχ θαηαιήγνπλ δειαδή νη ηξνρηέο, απφ νπνηνδήπνηε ζεκείν αθεηεξίαο. Αλάινγα κε ηελ αξρηθή ζπλζήθε, νη ηξνρηέο έιθνληαη απφ έλα ζεκείν ή ζχλνιν ζεκείσλ ή δηαθεχγνπλ ζην άπεηξν. Σν ζχλνιν ησλ ζεκείσλ πνπ έιθεη έλαλ αξηζκφ ηξνρηψλ νλνκάδεηαη ειθπζηήο. Σα θαηλφκελα πνπ κνληεινπνηνχληαη απφ ζπζηήκαηα ησλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ ή εμηζψζεσλ δηαθνξψλ αλήθνπλ ζε φινπο ηνπο ηνκείο ηνπ επηζηεηνχ, φπσο θαηξηθά θαηλφκελα, νη θηλήζεηο ησλ πιαλεηψλ, ε εμέιημε ηνπ πιεζπζκνχ, ε θαξδηαθή ιεηηνπξγία, ε αιιειεπίδξαζε ρεκηθψλ νπζηψλ θαη πνιιά άιια. Οη δηαθνξηθέο εμηζψζεηο δηαδξακαηίδνπλ εμέρνληα ξφιν ζηε θπζηθή, ηε ρεκεία, ηε βηνινγία, ηα νηθνλνκηθά θαη ζε πνιινχο αθφκε ηνκείο ηεο επηζηήκεο θαη ηεο ηερλνινγίαο. Δκθαλίδνληαη φπνηε ππάξρεη κηα αηηηνθξαηηθή ζρέζε πνπ ζπζρεηίδεη κεξηθέο ζπλερψο κεηαβαιιφκελεο πνζφηεηεο, πνπ κνληεινπνηνχληαη απφ ζπλαξηήζεηο, θαη ην ξπζκφ κεηαβνιήο ηνπο, πνπ εθθξάδεηαη απφ ηελ παξάγωγν ησλ ζπλαξηήζεσλ απηψλ, έλα θαηλφκελν δειαδή πνπ εμειίζζεηαη αηηηνθξαηηθά ζην ρξφλν. Μέζα ζηνλ ελζνπζηαζκφ θαη ηελ επθνξία πνπ πξνθάιεζαλ νη εληππσζηαθέο αλαθαιχςεηο θαη εθαξκνγέο ησλ παλίζρπξσλ απηψλ καζεκαηηθψλ εξγαιείσλ, µηα κηθξή αλεζπρεηηθή ιεπηνκέξεηα θαίλεηαη φηη πέξαζε ζην πεξηζψξην: Οη πεξηζζφηεξεο δηαθνξηθέο εμηζψζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ξεαιηζηηθά ηα σο άλσ θπζηθά θαηλφκελα είλαη µε γξαµµηθέο θαη επνκέλσο πνιχ δχζθνιν έσο αδχλαην λα επηιπζνχλ αλαιπηηθά εθηφο απφ ειάρηζηεο εμαηξεηηθέο πεξηπηψζεηο. Γηα ην ιφγν απηφ, νη επηζηήκνλεο αλαγθαδφληνπζαλ λα θαηαθχγνπλ ζε γξαµµηθνπνηήζεηο θαη ζεκαληηθέο απινπζηεχζεηο ησλ πξνβιεκάησλ ηνπο, νη νπνίεο κπνξνχζαλ λα δψζνπλ ελδηαθέξνληα απνηειέζκαηα. Η αλαγθαηφηεηα ηεο αληηκεηψπηζεο µε επηιύζηκωλ εμηζώζεωλ δελ είρε πξνθχςεη αθφκα. Γελ πξέπεη λα καο εθπιήζζεη ην γεγνλφο φηη γηα ζρεδφλ ηξεηο αηψλεο δε ζεκεηψζεθε νπνηαδήπνηε ζεκαληηθή πξφνδν ζηελ αληηκεηψπηζε ησλ δχζθνισλ απηψλ πξνβιεκάησλ. Η επίιπζε κε ρξήζε γλσζηψλ καζεκαηηθψλ ζπλαξηήζεσλ, απνθάιππηε κφλν θαλνληθή θαη νκαιή ζπκπεξηθνξά θαη ε πίζηε ηνπ αλζξψπνπ ζηελ αηηηνθξαηία θαη ηελ πξνβιεςηκφηεηα εδξαησλφηαλ φιν θαη πεξηζζφηεξν (Μπνχληεο, 1995). 5

6 5. Η Ππώηη Ένδειξη για ηηρ Ύπαπξη Υάοςρ από ηον Henri Poincare Μέρξη ηα ηέιε ηνπ 19νπ αηψλα ε εχξεζε ηεο ηξνρηάο θάζε νπξάληνπ ζψκαηνο γηλφηαλ πξνζεγγηζηηθά, κε ηε βνήζεηα ησλ λφκσλ ηνπ Νεχησλα θαη Κέπιεξ, αθνχ δελ ππήξραλ ειεθηξνληθνί ππνινγηζηέο γηα κεγαιχηεξε αθξίβεηα. Οη θηλήζεηο ησλ πιαλεηψλ θαη ησλ άιισλ νπξαλίσλ ζσκάησλ ζεσξνχληαλ πεξηνδηθέο θαη θαλνληθέο ζαλ ηε θίλεζε ελφο ηέιεηνπ εθθξεκνχο. ηα ηέιε φκσο ηνπ 19νπ αηψλα, ν Γάιινο καζεκαηηθφο θαη αζηξνλφκνο Henri Poincare ( ), έθαλε κηα αλαθάιπςε πνπ έκειιε λα αιιάμεη ηα ζεκέιηα ηεο Νεπηψλεηαο κεραληθήο, θαη λα ζπληειέζεη ζηε γέλλεζε ελφο λένπ επηζηεκνληθνχ θιάδνπ, ηεο επηζηήκεο ησλ δπλακηθψλ ζπζηεκάησλ θαη ηνπ ράνπο. ε απηφλ απνδίδεηαη ε αξρηθή ζχιιεςε ηεο έλλνηαο ηνπ αηηηνθξαηηθνύ ράνπο φπσο ην ελλννχκε ζήκεξα θαη ζα αλαιπζεί ζηε ζπλέρεηα, κνινλφηη ε έλλνηα απηή δελ έγηλε πιήξσο θαηαλνεηή παξά πεξίπνπ έλα αηψλα αξγφηεξα. Η αλαθάιπςε απηή έγηλε κε αθνξκή έλα δηαγσληζκφ πνπ πξνθήξπμε ην 1889 ν βαζηιηάο ηεο νπεδίαο θαη ηεο Ννξβεγίαο Όζθαξ ν Γεχηεξνο γηα ηελ θαιχηεξε εξγαζία πνπ αθνξνχζε ζηε ζηαζεξφηεηα ηνπ ειηαθνχ καο ζπζηήκαηνο θαη ην πξφβιεκα ησλ ηξηψλ ζσκάησλ. Νηθεηήο αλαδείρζεθε ν Αλξχ Πνπαλθαξέ, θαζεγεηήο ζην Παλεπηζηήκην ηνπ Παξηζηνχ, ππνβάιινληαο κηα εξγαζία γεκάηε πξσηνπνξηαθέο ηδέεο. Ο Πνπαλθαξέ εξγάζηεθε ζηα πιαίζηα ηνπ καζεκαηηθνχ θνξκαιηζκνχ ησλ ζπζηεκάησλ ησλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ πνπ είρε επηθξαηήζεη απφ ηελ επνρή ηνπ Νεχησλα κε ηφζν ζεκαληηθά απνηειέζκαηα. Γηα λα αληηκεησπίζεη ηε κεγάιε δπζθνιία ηνπ πξνβιήκαηνο ππέζεζε φηη ππάξρνπλ κφλν 3 ζψκαηα πνπ θηλνχληαη ζε έλα επίπεδν (θαη φρη ζηνλ ηξηζδηάζηαην ρψξν). Σα δχν έρνπλ κεγάιε κάδα θαη ην ηξίην έρεη απεηξνειάρηζηα κηθξή κάδα, ακειεηέα ζε ζρέζε κε ηα άιια δχν, φπσο γηα παξάδεηγκα δχν αζηέξηα θαη έλαο αζηεξνεηδήο. Ο Πνπαλθαξέ ππέζεζε αθφκε φηη νη αξρηθέο ζπλζήθεο, νη ζέζεηο δειαδή θαη νη ηαρχηεηεο ησλ δχν άζηξσλ ήηαλ ηέηνηεο ψζηε απηά λα θηλνχληαη κε ζηαζεξή ηαρχηεηα ζε ειιείςεηο γχξσ απφ ην θέληξν ηεο κάδαο ηνπο. Η εηθφλα ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ ηξηψλ ζσκάησλ παξνπζηάδεηαη ζην ζρήκα ). Δικόνα 1: Η ηξνρηά ηνπ αζηεξνεηδνχο κε ηα δχν άζηξα αθίλεηα (Alligood et all, ηελ εηθφλα απηή ππνζέηνπκε φηη θνηηάκε ηα δχν άζηξα απφ ςειά, πάλσ απφ ην επίπεδν πνπ θηλνχληαη, πεξηζηξεθφκελνη θαη εκείο καδί ηνπο έηζη ψζηε λα εκθαλίδνληαη ζηαζεξά. ην αξηζηεξφ άθξν ηεο επζείαο γξακκήο βξίζθεηαη ην ζψκα κε ηε κεγαιχηεξε κάδα θαη ζην δεμί άθξν ην δεχηεξν κεγάιν ζψκα, κε κάδα φκσο κηθξφηεξε απφ ηελ πξψηε. ηε ζπγθεθξηκέλε ηξνρηά, ην κηθξνζθνπηθφ ζψκα θηλείηαη κπξνο θαη πίζσ αλάκεζα ζηα δχν κεγαιχηεξα ζψκαηα γηα έλα κεγάιν ρξνληθφ δηάζηεκα θαη απνθηά κεγάιε ηαρχηεηα θαζψο ηειηθά μεθεχγεη πξνο ηα δεμηά, έηζη ψζηε λα κελ επηζηξέςεη πάιη. Αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε κηα δηαθνξεηηθή αξρηθή ζέζε ηνπ αζηεξνεηδνχο, απηφο παξακέλεη γηα πάληα άιιεο θνξέο θνληά ζην κεγάιν άζηξν θαη άιιεο θνληά ζην κεζαίν. Μηα απεηξνειάρηζηε αιιαγή ζηελ αξρηθή ζέζε ή ηαρχηεηα ηνπ αζηεξνεηδνχο καο δίλεη ζαλ απνηέιεζκα κηα ηειείσο δηαθνξεηηθή ηξνρηά. Ωο ζπλέπεηα είλαη αδχλαην λα πξνβιεθζεί ε ηξνρηά ηνπ αζηεξνεηδνχο, παξφηη ην θαηλφκελν είλαη πιήξσο ληεηεξκηληζηηθφ θαη νη λφκνη πνπ ην δηέπνπλ έρνπλ πιήξσο 6

7 δηαηππσζεί θαη κάιηζηα κε καζεκαηηθφ ηξφπν. Ο Poincare, ζηε καζεκαηηθή αλάιπζε πνπ έθαλε απέδεημε φηη δελ κπνξεί λα πξνβιεθζεί ε ηξνρηά νπνηνπδήπνηε νπξάληνπ ζψκαηνο πνπ δέρεηαη ηελ επίδξαζε δχν ε πεξηζζνηέξσλ άιισλ ζσκάησλ (Peterson, 1993), κνινλφηη απηή είλαη ληεηεξκηληζηηθά πξνθαζνξηζκέλε θαη πεξηγξάθεηαη πιήξσο απφ καζεκαηηθέο εμηζψζεηο. Σν πξφβιεκα ησλ ηξηψλ ζσκάησλ, ε πξφβιεςε ηεο ηξνρηάο ηνπο δειαδή ήηαλ θαη παξακέλεη άιπην. Ο Poincare απνθάιπςε ην ράνο ζην Ηιηαθφ ζχζηεκα θαη καδί αλαθάιπςε ηελ απξφβιεπηε εμέιημε ελφο κε γξακκηθνχ ζπζηήκαηνο 1. Δίρε θαηαλνήζεη πσο πνιχ κηθξέο επηδξάζεηο κπνξνχλ λα κεγεζπλζνχλ κέζσ ηεο αλάδξαζεο. Γη' απηφ θαη δηαηχπσζε ηελ άπνςε φηη κηα ειάρηζηε αηηία πνπ δηαθεχγεη ηεο πξνζνρήο κπνξεί λα πξνθαιέζεη έλα ζεκαληηθφ απνηέιεζκα. Σν ζχζηεκα απηφ, θαηά ζπλέπεηα, δηαζέηεη ηελ ηδηφηεηα πνπ πνιχ αξγφηεξα νλνκάζηεθε επαηζζεζία ζηηο αξρηθέο ζπλζήθεο, ηδηφηεηα πνπ πξψηνο ν Αλξχ Πνπαλθαξέ ζπλέιαβε θαη κάιηζηα ρσξίο ηε ρξήζε ειεθηξνληθψλ ππνινγηζηψλ, νη νπνίνη δελ είραλ αλαθαιπθζεί ηελ επνρή εθείλε. Υξεηάζηεθε φκσο λα πεξάζνπλ πεξίπνπ 80 ρξφληα ηφηε γηα λα γίλεη θαηαλνεηή πιήξσο απφ ηελ επηζηεκνληθή θνηλφηεηα ε ζπνπδαηφηεηα απηήο ηεο αλαθάιπςεο. Απηφ ζπλέβε φκσο θαη κε ηνλ επφκελν κεγάιν ζηαζκφ ζηελ αλάπηπμε ηεο επηζηήκεο ηνπ ράνπο, ηελ αλαθάιπςε ηνπ πξψηνπ ρανηηθνχ ειθπζηή θαη ηεο ρανηηθήο θίλεζεο απφ ην κεηεσξνιφγν Edward Lorenz ζηε δεθαεηία ηνπ 1960 ζην ΜΙΣ. 6. Η Ανακάλςτη Αιηιοκπαηικού Υάοςρ από ηον Edward Lorenz Πξψηνο αλαθάιπςε ηελ αδπλακία γηα καθξνπξφζεζκε πξφβιεςε ζηα ληεηεξκηληζηηθά ζπζηήκαηα δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ πνπ κνληεινπνηνχζαλ ηελ εμέιημε ηνπ θαηξνχ, ν κεηεσξνιφγνο Edward Lorenz. Σν 1963, δεκνζηεχηεθε έλα άξζξν ηνπ κε ηίηιν «Νηεηεξκηληζηηθή, κε Πεξηνδηθή Ρνή» (Deterministic, non Periodic Flow), ζε έλα φρη ηφζν ζεκαληηθφ κεηεσξνινγηθφ πεξηνδηθφ, ην Journal of Atmospheric Sciences. Σν πεξηνδηθφ απηφ δε δηαβαδφηαλ απφ καζεκαηηθνχο ή θπζηθνχο θαη έηζη ε έξεπλα ζηελ επηζηήκε ηνπ ράνπο θαζπζηέξεζε πεξηζζφηεξν απφ κηα δεθαεηία, ψζπνπ λα γίλνπλ θαηαλνεηέο πιήξσο νη ζπλέπεηεο ηεο αλαθάιπςεο ηνπ άξζξνπ απηνχ (Peitgen et all, 1992). Ο Lorenz είρε δεκηνπξγήζεη έλα κνληέιν γηα λα πξνζνκνηψζεη ηελ εμέιημε ηνπ θαηξνχ, ζε έλα πξσηφγνλν ειεθηξνληθφ ππνινγηζηή εθείλεο ηεο επνρήο. Μεηά απφ αξθεηέο δνθηκέο είρε θαηαιήμεη ζε έλα ζχζηεκα 12 δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ πνπ εμέθξαδαλ ηηο ζρέζεηο αλάκεζα ζηηο κεηαβιεηέο απφ ηηο νπνίεο εμαξηάηαη ε εμέιημε ηνπ θαηξνχ φπσο ε ζεξκνθξαζία, ε πίεζε, ε ηαρχηεηα ηνπ αλέκνπ θ.α. Υξεζηκνπνηψληαο ηελ αξηζκεηηθή κέζνδν επίιπζεο ηνπ ζπζηήκαηνο, θάζε έλα ιεπηφ εξγαζίαο ν ππνινγηζηήο ηχπσλε κηα ζεηξά αξηζκνχο, νη νπνίνη αληηζηνηρνχζαλ ζηελ εμέιημε ηνπ θαηξνχ κηαο νιφθιεξεο κέξαο. Η εμέιημε ηνπ θαηξνχ, κε ηνλ ηξφπν απηφ, ήηαλ ληεηεξκηληζηηθά πξνδηαγεγξακκέλε απφ ηηο δηαθνξηθέο εμηζψζεηο θαη ηελ αξρηθή ζπλζήθε. Όπνηνο κπνξνχζε λα θαηαιάβεη ηηο ζειίδεο εθείλεο ζα κπνξνχζε λα δεη γηα παξάδεηγκα έλα (ςεθηαθφ) δπηηθφ άλεκν λα ζηξέθεηαη απφ ην λφην πξνο ην βνξξά ή έλα (ςεθηαθφ) θπθιψλα λα πεξηζηξέθεηαη αξγά γχξσ απφ κηα ηδεαηή πδξφγεην (Gleick,1987). Η πξφγλσζε ηνπ θαηξνχ πεξίκελε δχν αηψλεο γηα λα δεκηνπξγεζεί κηα κεραλή πνπ ζα κπνξνχζε λα επαλαιακβάλεη ζπλερψο εθαηνκκχξηα ππνινγηζκνχο θαη λα ηνπο νινθιεξψλεη ζε εχινγν ρξνληθφ δηάζηεκα. Κάπνηα κέξα ν Lorenz, ζέινληαο λα εθηππψζεη κηα αθνινπζία ηεο εμέιημεο ηνπ θαηξνχ πνπ λα έρεη κεγαιχηεξν κήθνο αληί λα αξρίζεη απφ ηελ αξρή, άξρηζε απφ ηε κέζε ησλ 1 Πσο είλαη δπλαηή ε χπαξμε ράνπο ζην ειηαθφ ζχζηεκα, ζην νπνίν, παξφια απηά, ε Νεπηψλεηα θπζηθή επηηξέπεη ηφζν αθξηβείο πξνβιέςεηο; Η απάληεζε είλαη φηη ν ραξαθηεξηζηηθφο ρξφλνο ηνπ ρανηηθνχ απηνχ ζπζηήκαηνο, ν ρξφλνο δειαδή πνπ κπνξνχκε λα πξαγκαηνπνηνχκε «βξαρππξφζεζκεο» πξνβιέςεηο κε θάπνηα ειεγρφκελε αθξίβεηα είλαη πεξίπνπ 20 εθαηνκκχξηα ρξφληα, ρξφλνο κηθξφο φζνλ αθνξά ζηελ ειηθία ηνπ ζχκπαληνο αιιά κεγάινο φζνλ αθνξά ηα αλζξψπηλα δεδνκέλα. Άξα παξφηη ην ζχζηεκα είλαη ρανηηθφ είλαη αζθαιείο νη πξνβιέςεηο γηα ηα επφκελα 20 εθαηνκκχξηα ρξφληα, αιιά είλαη αδχλαηεο γηα ρξνληθά δηαζηήκαηα κεγαιχηεξα (Ekeland, 1995). 7

8 ππνινγηζκψλ ηεο πξνεγνχκελεο κέξαο. Πιεθηξνιφγεζε ηνπο αξηζκνχο θαηεπζείαλ απφ ηελ πξνεγνχκελε ηππσκέλε ζειίδα θαη πήγε λα πηεη έλα θαθέ ψζπνπ λα ηειεηψζεη ν ππνινγηζηήο ηηο εθηππψζεηο ηνπ. Όηαλ γχξηζε κηα ψξα αξγφηεξα, είδε θάηη απξφζκελν, θάηη πνπ έξηρλε ην ζπφξν κηαο λέαο επηζηήκεο (Gleick,1987). Η θαηλνχξγηα εθηέιεζε, πνπ θαλνληθά έπξεπε λα είλαη ίδηα κε ηελ παιηά, δηέθεξε απφ θάπνην ζεκείν θαη κεηά εληειψο, ψζηε ν (ςεθηαθφο) θαηξφο έπεηηα απφ ιίγνπο κήλεο είρε ράζεη θάζε νκνηφηεηα κε απηφλ πνπ είρε ππνινγίζεη ν ππνινγηζηήο ηελ πξνεγνχκελε κέξα (εηθφλα 4.2). Δικόνα 2: ηελ εηθφλα θαίλεηαη κηα εθηχπσζε πνπ πήξε ν Lorenz ην Απφ ην ίδην ζρεδφλ ζεκείν εθθίλεζεο ν Lorenz είδε ηνλ θαηξφ πνπ έδηλε ν ππνινγηζηήο λα δεκηνπξγεί ζρήκαηα πνπ εμειίζζνληαλ φιν θαη πην δηαθνξεηηθά κέρξη πνπ θάζε νκνηφηεηα εμαθαλίζηεθε (Gleick,1987). Η απφθιηζε ησλ απνηειεζκάησλ νθεηιφηαλ ζην γεγνλφο φηη ηα λνχκεξα πνπ μαλαεηζήγαγε "κε ην ρέξη" ν Lorenz είραλ κηθξφηεξε αθξίβεηα (ιηγφηεξα δεθαδηθά ςεθία) απφ εθείλα πνπ εζσηεξηθά απνζήθεπε ν ππνινγηζηήο. Γηα ηελ ηζηνξία, αλαθέξνπκε πσο αληί λα βάιεη ηνλ αξηζκφ κε έμη δεθαδηθά ςεθία, ηνλ νπνίν είρε ζηε κλήκε ν ππνινγηζηήο ηελ πξνεγνχκελε κέξα, απηφο πιεθηξνιφγεζε ηνλ αξηζκφ Ο Lorenz είρε πιεθηξνινγήζεη ηνλ αξηζκφ ζηξνγγπιεκέλν, ππνζέηνληαο φηη ε δηαθνξά ηνπ ελφο ρηιηνζηνχ δε ζα είρε ζπλέπεηεο. Σν ζπκπέξαζκα ήηαλ φηη, ζην ζπγθεθξηκέλν κνληέιν, θαη ε ειάρηζηε αθφκε έιιεηςε αθξίβεηαο είλαη θαζνξηζηηθή, θάηη πνπ αξγφηεξα απνθαιχθζεθε φηη είλαη γεληθφ ραξαθηεξηζηηθφ κηαο νιφθιεξεο θιάζεο ζπζηεκάησλ, ησλ ιεγφκελσλ ρανηηθψλ. ηε ζπλέρεηα ν Lorenz απινπνίεζε ην κνληέιν ηνπ, θαηαζθεπάδνληαο έλα ζχζηεκα δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ πνπ λα αλήθεη ζην ρψξν ησλ ηξηψλ δηαζηάζεσλ θαη φρη ησλ δψδεθα. Μνινλφηη ηξηζδηάζηαην δηαηεξεί ηελ πνιχπινθε ζπκπεξηθνξά ηνπ αξρηθνχ κε ηηο δψδεθα εμηζψζεηο, γεγνλφο πνπ νθείιεηαη ζηε κε γξακκηθφηεηά ηνπ. Σν θιαζηθφ κνληέιν, πνπ ζπλήζσο απνθαιείηαη ζχζηεκα ησλ εμηζψζεσλ ηνπ Lorenz θαη αλαιχεηαη ζην άξζξν ηνπ 1963, είλαη ην εμήο: dx/dt=10(y-x) dy/dt=xz+28x-y dz/dt=xy-(8/3)z Παξαηεξνχκε φηη απνηειείηαη απφ ηξεηο δηαθνξηθέο εμηζψζεηο πνπ πεξηέρνπλ δχν κε γξακκηθνχο φξνπο (ηνπο xz θαη xy) θαη κνληεινπνηνχζαλ ξεχκαηα κεηαθνξάο ζεξκφηεηαο κέζα ζε έλα ξεπζηφ. ηελ εηθφλα 3 παξνπζηάδεηαη έλα κέξνο ηεο ηξνρηάο ηεο ιχζεο, πνπ ζήκεξα νλνκάδεηαη Διθπζηήο ηνπ Lorenz. 8

9 Δικόνα 3: Ο Διθπζηήο ηνπ Lorenz. Κάζε ηξνρηά, παξόηη θηλείηαη κέζα ζε κηα θξαγκέλε πεξηνρή ηνπ ρώξνπ, ζπλερίδεη ηελ θίλεζή ηεο επ άπεηξνλ (δελ ηεξκαηίδεη πνηέ!) δεκηνπξγώληαο βξόγρνπο θαη δελ ηέκλεη πνηέ ηνλ εαπηό ηεο, άξα θαλέλα ηκήκα ηεο δελ επαλαιακβάλεηαη. Δκθαλίδεη δειαδή έλα είδνο άπεηξεο πνιππινθφηεηαο. Η παξαπάλσ εηθφλα απηή έγηλε ην ζχκβνιν ηεο επηζηήκεο ηνπ ράνπο. Απνθαιχπηεη ηε κηθξνζθνπηθή δνκή πνπ ήηαλ θξπκκέλε κέζα ζε κηα άηαθηε ξνή δεδνκέλσλ. Η ηξνρηά απηή πξνζδηνξίδεηαη κε ηε κέζνδν ηεο αξηζκεηηθήο επίιπζεο θαη απνηειεί κέξνο ηνπ ειθπζηή ηνπ Lorenz. Δίλαη ε απεηθφληζε κηαο ιχζεο ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ κε ηηο ηξείο κεηαβιεηέο γηα κηα δεδνκέλε αξρηθή ζπλζήθε. Κάζε ζηηγκή νη ηξείο κεηαβιεηέο πξνζδηνξίδνπλ ηε ζέζε ελφο ζεκείνπ ζηνλ ηξηζδηάζηαην ρψξν. Καζψο ην ζχζηεκα κεηαβάιιεηαη, ε θίλεζε ηνπ ζεκείνπ παξηζηάλεη ηελ εμέιημε ηνπ ζπζηήκαηνο ζην ρξφλν. Η ηξνρηά ηνπ ζεκείνπ έρεη ζρεδηαζηεί γηα έλα πεξηνξηζκέλν ρξνληθφ δηάζηεκα θαη κνηάδεη κε πεηαινχδα ή ζαλ έλα είδνο δηπιήο έιηθαο. Οιφθιεξνο ν ειθπζηήο είλαη αδχλαην λα ζρεδηαζηεί κηαο θαη νπνηαδήπνηε ηξνρηά είλαη άπεηξε, δειαδή δελ ηεξκαηίδεη θάπνπ, ζε έλα ζεκείν δειαδή ή ζε κηα πεξηνδηθή θίλεζε. Παξφηη νη ηξνρηέο θηλνχληαη επ άπεηξνλ ζην ρψξν ησλ ηξηψλ δηαζηάζεσλ, παξακέλνπλ παγηδεπκέλεο ζε κηα πεπεξαζκέλε πεξηνρή θαη "θνπινπξηάδνληαη" ρσξίο πνηέ λα ηέκλνπλ ε κία ηελ άιιε ή λα θιείλνπλ, λα επαλαιακβάλνληαη δειαδή πεξηνδηθά. Η θίλεζε απηή ζπλερίδεη λα δεκηνπξγεί βξφγρνπο επ άπεηξνλ κέζα ζε κηα θξαγκέλε πεξηνρή ηνπ ρψξνπ αιιά θαλέλα ηκήκα ηεο δελ επαλαιακβάλεηαη θαη δελ ηέκλεη πνηέ ηνλ εαπηφ ηεο, εκθαλίδεη δειαδή έλα είδνο άπεηξεο πνιππινθφηεηαο. Γηα παξάδεηγκα πεξηζηξέθεηαη δχν θνξέο αξηζηεξά, κεηά ηξεηο δεμηά, κεηά δέθα αξηζηεξά, κία δεμηά θιπ. Η αθνινπζία ησλ αξηζκψλ πνπ παξάγεη ηελ ηξνρηά δελ επαλαιακβάλεηαη πνηέ, πξφθεηηαη γηα θαζαξή αηαμία αιιά ηαπηφρξνλα απνηειεί θαη έλα λέν είδνο ηάμεο. Όιεο νη ηξνρηέο, κεηά απφ αξθεηφ ρξφλν, ζπγθεληξψλνληαη ηειηθά ζε κηα πεξηνρή πνπ απνηειεί ηνλ ειθπζηή ηνπ ζπζηήκαηνο. Γελ πξφθεηηαη φκσο γηα θαλνληθφ ειθπζηή πνπ λα αλήθεη ζε νπνηνδήπνηε είδνο απφ απηά πνπ πεξηγξάθεθαλ ζε πξνεγνχκελε παξάγξαθν. Σν γεσκεηξηθφ απηφ ζχλνιν δελ έρεη θακηά απφ ηηο ζπλήζεηο ηδηφηεηεο θαη αξγφηεξα ην είδνο απηνχ ηνπ ειθπζηή νλνκάζηεθε απφ ηνπο David Ruelle θαη Floris Takens παπάξενορ ελκςζηήρ θαη είλαη κνξθνθιαζκαηηθφ ζχλνιν ή αιιηψο ζχλνιν θξάθηαι. Ο φξνο θξάθηαι πξνηάζεθε απφ ηνλ Benoît Mandelbrot ην 1975 θαη πξνέξρεηαη απφ ηε ιαηηληθή ιέμε fractus, πνπ ζεκαίλεη "ζπαζκέλνο", "θαηαθεξκαηηζκέλνο". Με ηνλ φξν θξάθηαι νλνκάδεηαη έλα γεσκεηξηθφ ζρήκα πνπ επαλαιακβάλεηαη απηνχζην ζε άπεηξν βαζκφ κεγέζπλζεο θαη ζπρλά αλαθέξεηαη σο απείξσο πνιχπινθν. Σν θξάθηαι παξνπζηάδεηαη σο "καγηθή εηθφλα" πνπ φζεο θνξέο θαη λα κεγεζπλζεί νπνηνδήπνηε ηκήκα ηνπ ζα ζπλερίδεη λα παξνπζηάδεη έλα εμίζνπ πεξίπινθν ζρέδην κε κεξηθή ή νιηθή επαλάιεςε ηνπ αξρηθνχ. Υαξαθηεξηζηηθφ επνκέλσο ησλ θξάθηαι είλαη ε ιεγφκελε απην-νκνηόηεηα ζε θάπνηεο δνκέο ηνπο, ε νπνία εκθαλίδεηαη ζε δηαθνξεηηθά επίπεδα κεγέζπλζεο. Η πην ραξαθηεξηζηηθή ηδηφηεηα ησλ θξάθηαι είλαη φηη είλαη γεληθά πεξίπινθα σο πξνο ηε κνξθή ηνπο, δειαδή εκθαλίδνπλ αλσκαιίεο ζηε κνξθή ζε ζρέζε κε ηα ζπκβαηηθά 9

10 γεσκεηξηθά ζρήκαηα θαη θαηά ζπλέπεηα δελ είλαη αληηθείκελα ηα νπνία κπνξνχλ λα νξηζηνχλ κε ηε βνήζεηα ηεο επθιείδεηαο γεσκεηξίαο. Αλ κεγεζχλνπκε θάπνην αληηθείκελν ην νπνίν κπνξεί λα νξηζηεί κε ηελ επθιείδεηα γεσκεηξία, παξαδείγκαηνο ράξηλ ηελ πεξηθέξεηα ελφο θχθινπ, απηή κεηά απφ αιιεπάιιειεο κεγεζχλζεηο ζα εκθαλίδεηαη σο επζχγξακκν ηκήκα. Αληίζεηα, ζε έλα ζρήκα θξάθηαι, ζα εκθαλίδνληαη θαηφπηλ κεγεζχλζεσλ ιεπηνκέξεηεο πνπ δελ ήηαλ νξαηέο ζε κηθξφηεξε θιίκαθα κεγέζπλζεο θαη ε πνιππινθφηεηα ζα παξέκελε ε ίδηα. Φξάθηαι απαληψληαη θαη ζηε θχζε φπσο γηα παξάδεηγκα νη ληθάδεο ηνπ ρηνληνχ, ηα θχιια ησλ θπηψλ, νη δηαθιαδψζεηο ησλ αηκνθφξσλ αγγείσλ, ηα ζχλλεθα θ.α., ρσξίο φκσο λα ππάξρεη άπεηξε ιεπηνκέξεηα ζηε κεγέζπλζε, φπσο ζηα θξάθηαι πνπ πξνθχπηνπλ απφ καζεκαηηθέο ζρέζεηο, φπσο δελ απαληψληαη ζηε θχζε αθξηβψο θαη ηα γεσκεηξηθά ζηεξεά (πρ. ν θχβνο, ε ζθαίξα θιπ.) Δθηφο απφ ηελ απείξσο πνιχπινθε απηή γεσκεηξηθή δνκή φκσο, ν ειθπζηήο ηνπ Lorenz επηδεηθλχεη θαη ηελ ηδηφηεηα ηεο επαηζζεζίαο ζηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ή αιιηψο θαηλφκελν ηεο πεηαινχδαο. 7. Σο Φαινόμενο ηηρ Πεηαλούδαρ Αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ίδηα «ζρεδφλ» αξρηθή ζπλζήθε, αλ γηα παξάδεηγκα κεηαθηλήζνπκε ην αξρηθφ ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηεο ιχζεο ηνπ δηαθνξηθνχ ζπζηήκαηνο ηνπ Lorenz θαηά έλα εθαηνκκπξηνζηφ, ηφηε ε θαηλνχξγηα ηξνρηά πνπ ζα πξνθχςεη, κεηά απφ έλα αξρηθφ ρξνληθφ φξην πνπ ζα αθνινπζεί ηελ παιηά, ζα εμειηρζεί εληειψο δηαθνξεηηθά απφ πξνεγνχκελε. Η ηξνρηά απηή αλαπαξηζηά ηελ εμέιημε ηνπ θαηξνχ, θαηά ζπλέπεηα ε παξακηθξή απφθιηζε, ηεο ηάμεο ηνπ εθαηνκκπξηνζηνχ ή θαη κηθξφηεξε αθαηξεί ηε δπλαηφηεηα πξφβιεςεο, παξφηη ην ζχζηεκα είλαη απνιχησο ληεηεξκηληζηηθφ. ην θαηλφκελν απηφ δφζεθε ε νλνκαζία θαινόμενο ηηρ πεηαλούδαρ 2 θαη αξγφηεξα ν πην ηερληθφο φξνο εςαίζθηηη εξάπηηζη από ηιρ απσικέρ ζςνθήκερ. χκθσλα κε κηα απφ ηηο δηαηππψζεηο, ιέγεηαη φηη "αλ κηα πεηαινχδα θηλήζεη ηα θηεξά ηεο ζηνλ Ακαδφλην, κπνξεί λα θέξεη βξνρή ζηελ Κίλα". Γηαθνξεηηθέο παξαιιαγέο εθθξάδνπλ νπζηαζηηθά ηελ ίδηα ηδέα: κηα απεηξνειάρηζηε κεηαβνιή ζηε ξνή ησλ γεγνλφησλ νδεγεί, κεηά απφ ηελ πάξνδν αξθεηνχ ρξφλνπ, ζε κηα εμέιημε ηεο ηζηνξίαο ηνπ ζπζηήκαηνο δξακαηηθά δηαθνξεηηθή απφ εθείλε πνπ ζα ιάκβαλε ρψξα, αλ δελ είρε ζπκβεί ε κεηαβνιή απηή. Σν θαηλφκελν ηεο πεηαινχδαο δελ ήηαλ εληειψο θαηλνχξηα έλλνηα, αιιά είρε ηε ζέζε ηεο ζηε ιατθή παξάδνζε: Γηα έλα θαξθί, ράζεθε ην πέηαιν Γηα έλα πέηαιν, ράζεθε ην άινγν Γηα έλα άινγν, ράζεθε ν θαβαιάξεο Γηα έλαλ θαβαιάξε, ράζεθε ε κάρε Γηα κηα κάρε, ράζεθε ε απηνθξαηνξία! (Gleick, 1987) 8. Υάορ: Μια Νέα Δπιζηήμη Η Δπηζηήκε ησλ Γπλακηθψλ πζηεκάησλ θαη ηνπ Υάνπο κειεηά ηε ζπκπεξηθνξά νξηζκέλσλ κε γξακκηθψλ δπλακηθψλ ζπζηεκάησλ, ηα νπνία θάησ απφ νξηζκέλεο ζπλζήθεο παξνπζηάδνπλ επαίζζεηε εμάξηεζε ζηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Η επαηζζεζία απηή έρεη σο απνηέιεζκα ηελ θαηλνκεληθή ηπραηφηεηα ηεο παξαηεξνχκελεο ζπκπεξηθνξάο ησλ ζπζηεκάησλ, παξφιν πνπ ηα ζπζηήκαηα απηά είλαη αηηηνθξαηηθά (ληεηεξκηληζηηθά), κε ηελ έλλνηα φηη είλαη θαιψο νξηζκέλνη νη λφκνη εμέιημήο ηνπο θαη δελ πεξηέρνπλ ηπραίεο 2 Ο Lorenz αξρηθά ρξεζηκνπνίεζε ηελ εηθφλα ελφο γιάξνπ. Σν κφληκν φλνκα θαίλεηαη πσο πξνήιζε απφ ηνλ ηίηιν ηνπ άξζξνπ ηνπ Lorenz «Predictability: Does the Flap of a Butterfly s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?», πνπ ζηάιζεθε ζην εηήζην ζπλέδξην ηεο Ακεξηθαληθήο Έλσζεο γηα ηελ Πξφνδν ηεο Δπηζηήκεο ζηελ Οπάζηγθηνλ, ζηηο 29 Γεθεκβξίνπ 1979 (Gleick, 1987). 10

11 παξακέηξνπο, ελψ είλαη κε πξνβιέςηκα. ηα ζπζηήκαηα απηνχ ηνπ είδνπο πεξηιακβάλνληαη ε αηκφζθαηξα, ην ειηαθφ ζχζηεκα, νη ηεθηνληθέο πιάθεο, ηα νηθνλνκηθά ζπζηήκαηα θαη ε εμέιημε (κεηαβνιή) ησλ πιεζπζκψλ θα. Η έιιεηςε πξνβιεςηκφηεηαο δελ νθείιεηαη ζε αλεπάξθεηα ηεο καζεκαηηθήο πεξηγξαθήο ησλ θαηλνκέλσλ ή ζε ειιηπή γλψζε ησλ θπζηθψλ λφκσλ πνπ ηα δηέπνπλ αιιά απνξξέεη θαηά θχξην ιφγν απφ ην γεγνλφο φηη ηα πεξηζζφηεξα θπζηθά θαηλφκελα πεξηγξάθνληαη απφ εμηζψζεηο πνπ είλαη κε γξακκηθέο θαη πεξηέρνπλ πνιιέο κεηαβιεηέο πνπ εμαξηψληαη ε κία απφ ηελ άιιε κε ηδηαίηεξα πεξίπινθν ηξφπν. Σέηνηα κε γξακκηθά ζπζηήκαηα δηαζέηνπλ, γηα πνιιέο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ ηνπο, κεγάιεο πεξηνρέο ζηηο νπνίεο ε θίλεζε εμαξηάηαη εμαηξεηηθά επαίζζεηα απφ ηελ επηινγή ησλ αξρηθψλ ζπλζεθψλ. Σα ζπζηήκαηα απηά νλνκάδνληαη ρανηηθά θαη κνινλφηη ππάξρεη αδπλακία καθξνπξφζεζκεο πξφβιεςήο ηεο εμέιημεο ησλ θαηλνκέλσλ απηψλ ζην ρξφλν, έρνπλ αλαπηπρζεί ηα ηειεπηαία ρξφληα κηα ζεηξά απφ εξεπλεηηθά εξγαιεία ζηα νπνία ζα αλαθεξζνχκε ζε κειινληηθή εξγαζία, ψζηε λα νινθιεξσζεί ε ζχληνκε απηή παξνπζίαζε ηεο επηζηήκεο ηνπ ράνπο. Βιβλιογπαθία: Alligood, K. T., Sauer, T. D. & Yorke, J. A. (2000). Chaos, an Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer-Verlag. Θενδσξίδεο, Υ. (1955). Δηζαγσγή ζηε Φηινζνθία. Αζήλα: Βηβιηνπσιείν ηεο Δζηίαο. Ekeland, I. (1995). Le Chaos. Paris: Flammarion. Gleick, J. (1990). Χάνο, Μηα Νέα Επηζηήκε. Δθδ. Κάηνπηξν: Αζήλα. (Viking Penguin, New York, 1987). Hawking, S. (1996). Σν Υξνληθφ ηνπ Υξφλνπ. Δθδφζεηο Κάηνπηξν: Αζήλα. Laplace, P.S. (1814/1951). A philosophical Essay on Probabilities. Translated by Frederick Wilson Truscott and Frederick Lincoln Emory. New York: Dover. Μπνχληεο, Α. (1995). πλαµηθά Σπζηήµαηα θαη Χάνο. Σφµνο Α. Δθδ. Γ. Παπαζσηεξίνπ: Αζήλα. Peitgen, H-O. Jurgens, H. & Saupe, D. (1992). Chaos and Fractals, New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag. Peterson, I. (1993). Newton s Clock: Chaos in the Solar System. New York: Freeman. 11