ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 200113"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙΩΝ Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΝΕΤΡΙΝΩΝ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΑΝΙΧΝΕΥΤΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ MINOS ΣΕ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΕΙΣ ΝΕΤΡΙΝΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ Κύριος επιβλέπων: Γεώργιος Σ. Τζνάκος, Ανπληρωτής Κθηγητής ΑΘΗΝΑ 004

2

3 ii

4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ iii

6

7 Περιεχόµεν Εισγωγή Η σπουδιότητ της φυσικής των νετρίνων.. 1 Κεφάλιο 1o : Μάζ κι µίξη των νετρίνων 1.1. Τ νετρίν στο Κθιερωµένο Πρότυπο (Standard Model) Μάζ κι µίξη των νετρίνων Επεκτάσεις του Κθιερωµένου Προτύπου Μηχνισµός see saw Κεφάλιο ο : Τλντώσεις νετρίνων.1. Η σύλληψη της ιδές των τλντώσεων νετρίνων Τλντώσεις νετρίνων στο κενό Η γενική περίπτωση των τριών γεύσεων Η περίπτωση των δύο γεύσεων Τλντώσεις νετρίνων στην ύλη Η γενική περίπτωση των τριών γεύσεων Η περίπτωση των δύο γεύσεων Πειρµτικές ενδείξεις γι τλντώσεις νετρίνων Πειράµτ τµοσφιρικών νετρίνων Το πείρµ Super Kamiokande Το πείρµ SODAN Το πείρµ MACRO Το πείρµ ΙΜΒ Πειράµτ ηλικών νετρίνων Το πείρµ του Davis (Homestake) Το πείρµ GALLEX.. 49 iv

8 Το πείρµ SNO Πειράµτ ντιδρστήρων Το πείρµ CHOOZ Το πείρµ KamLAND Πειράµτ επιτχυντών Το πείρµ ΚΚ Το πείρµ LSND Το πείρµ MiniBooNE Το πείρµ OPERA Το πείρµ MINOS 6 Κεφάλιο 3ο : Το πείρµ MINOS 3.1. Εισγωγή έσµη νετρίνων (NuMI Facility) Αρχική δέσµη πρωτονίων Στόχος Μγνητικές χοάνες Σωλήνς διάσπσης κι πορροφητές δρονίων κι µιονίων Συστήµτ πρκολούθησης της δέσµης Ανιχνευτές του πειράµτος MINOS Ο κοντινός νιχνευτής Ο µκρινός νιχνευτής Η φυσική του πειράµτος MINOS Στόχοι του πειράµτος MINOS Υπογρφές τλντώσεων νετρίνων Μέτρηση των πρµέτρων τλάντωσης στην ν µ ν µ ηµιουργί του ενεργεικού φάσµτος των νετρίνων Το ενεργεικό φάσµ των νετρίνων στον µκρινό νιχνευτή Αποτελέσµτ της σύγκρισης των δύο φσµάτων Ο υπολογιζόµενος πρµετρικός χώρος των τλντώσεων log( m ) sin (θ) Η σηµσί της ενεργεικής δικριτικής ικνότητς v

9 Κεφάλιο 4ο : Ο µκρινός νιχνευτής του πειράµτος ΜΙΝΟS 4.1. Περιγρφή των στοιχείων του νιχνευτή Μγνητισµέν επίπεδ σιδήρου Επίπεδ σπινθηριστή Κουτιά πολυπλεξίς Φωτοευίσθητοι νιχνευτές Οπτικές ίνες Ηλεκτρονικά του µκρινού νιχνευτή Σύστηµ χρονισµού του µκρινού νιχνευτή Μηχνισµός σκνδάλης Σύστηµ ελέγχου Σύστηµ προχής υψηλής τάσης Βθµονόµηση 116 Κεφάλιο 5ο : Ανάλυση της πόκρισης του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος ΜΙΝΟS 5.1. Η σηµσί της τυτοποίησης των λληλεπιδράσεων των νετρίνων στον µκρινό νιχνευτή γι τη φυσική του πειράµτος MINOS Οργάνωσης της µελέτης τυτοποίησης γεγονότων MC γεγονότ λληλεπιδράσεων νετρίνων στον µκρινό νιχνευτή ιχωρισµός λληλεπιδράσεων νετρίνων Νευρωνικά δίκτυ Βιολογικός νευρώνς Τεχνητά νευρωνικά δίκτυ Τ πκέτ SNNS κι MLPfit Νευρωνικά δίκτυ γι κτηγοριοποίηση MC λληλεπιδράσεων νετρίνων γι διάφορες τιµές της ενέργειάς τους Μετβλητές εισόδου των νευρωνικών ιχωρισµός ν µ CC (ν µ ΝC, ν e CC, ν e NC) ιχωρισµός ν e CC (ν µ ΝC, ν e NC) ιχωρισµός ν µ CC ν µ NC Μετβολή ευισθησίς νευρωνικού δικτύου µε την ενέργει των λληλεπιδράσεων των νετρίνων Τυτοποίηση γεγονότων λληλεπιδράσεων νετρίνων µε κριτήριο την ενποτιθέµενη ενέργει στον µκρινό νιχνευτή. 198 vi

10 Κεφάλιο 6ο : Συµπεράσµτ 6.1. Συµπεράσµτ κι προοπτικές στο µέλλον. 13 Πράρτηµ Ι Η µέθοδος Newton. 17 Πράρτηµ ΙI GMINOS MC. 19 Πράρτηµ ΙΙI Έλεγχος της ρχιτεκτονικής των νευρωνικών δικτύων 1 Βιβλιογρφί Ανφορές. 33 vii

11 Κτάλογος Σχηµάτων Σχ..1 ιάγρµµ που πριστά τις σχέσεις µετξύ των διφόρων βάσεων [1] Σχ.. Το διάγρµµ Feynman της λληλεπίδρσης φορτισµένου ρεύµτος (.18). Γι τη συγκεκριµένη λληλεπίδρση το µποζόνιο που ντλλάσσετι είνι το W + Σχ..3 Το τετράγωνο των µζών των ιδιοκτστάσεων µζών των νετρίνων µέσ στην ύλη συνρτήσει της πρµέτρου Α. Το σηµείο προσέγγισης των δύο κµπύλων είνι το σηµείο συντονισµού MSW. Στο σηµείο συντονισµού η γωνί µίξης στην ύλη θ m γίνετι µέγιστη [19] Σχ..4 Σύνοψη της προύσς πειρµτικής κτάστσης στο πεδίο τλντώσεων νετρίνων. Φίνοντι περιοχές του χώρου πρµέτρων τλάντωσης που έχουν ποκλειστεί ή έχουν επιβεβιωθεί πό διάφορ πειράµτ κθώς κι οι περιοχές ευισθησίς µερικών νέων πειρµάτων [] Σχ..5 Η επιτρεπόµενη περιοχή του πρµετρικού χώρου γι ν µ ν τ τλντώσεις νετρίνων πό τις µετρήσεις πειρµάτων τµοσφιρικών νετρίνων γι διάφορ επίπεδ εµπιστοσύνης Σχ..6 Μί κττοπιστική εικόν του νιχνευτή του πειράµτος SNO κι της τοποθεσίς στην οποί βρίσκετι. Φίνετι η κυλινδρική δεξµενή νερού κι η σφιρική δεξµενή βρέως ύδτος [7] Σχ..7 Αποκλειόµενη περιοχή του πρµετρικού χώρου πό την πρτηρούµενη ροή ηλεκτρονικών ντινετρίνων στο πείρµ KamLAND (νοιχτή πράσινη περιοχή). Στο ίδιο διάγρµµ φίνοντι οι επιτρεπόµενες τιµές των πρµέτρων τλάντωσης πό τη συνδυσµένη νάλυση της ροής κι του ενεργεικού φάσµτος των νετρίνων στο ίδιο πείρµ σε 95% επίπεδο εµπιστοσύνης (µπλε περιοχές). Στην κορυφή του διγράµµτος φίνοντι οι ποκλειόµενες περιοχές σε 95% επίπεδο εµπιστοσύνης των πειρµάτων CHOOZ κι Palo Verde. Τέλος, στο ίδιο διάγρµµ φίνετι η επιτρεπόµενη LMA MSW λύση του προβλήµτος των ηλικών νετρίνων σε 95% επίπεδο εµπιστοσύνης (κόκκινη περιοχή) [4] Σχ..8 Ο κοντινός νιχνευτής του πειράµτος KK [30] Σχ..9 Η επιτρεπόµενη περιοχή των πρµέτρων τλάντωσης πό τ δεδοµέν των πειρµάτων τµοσφιρικών νετρίνων Kamiokande [31] Σχ..10 Ο νιχνευτής του πειράµτος OPERA [38] Σχ.3.1 Όρι των πρµέτρων τλάντωσης που µπορεί ν µελετήσει το πείρµ MINOS µε τη χρήση του λόγου λληλεπιδράσεων φορτισµένου ρεύµτος προς ουδετέρου ρεύµτος (θ το δούµε πρκάτω). Φίνοντι κι οι τρεις διτάξεις viii

12 δέσµης, στ χρκτηριστικά των οποίων θ νφερθούµε ργότερ, όπως επίσης κι τ ποτελέσµτ των πειρµάτων Kamiokande κι Super Kamiokande (όρι υπολογισµέν γι 10kt yr) [39] Σχ.3. Η πργωγή της δέσµης νετρίνων. Από ριστερά προς τ δεξιά, ο στόχος πργωγής µεσονίων, ο σωλήνς διάσπσης, ο πορροφητής δρονίων, το σύστηµ πρκολούθησης της δέσµης κι ο κοντινός νιχνευτής [40] Σχ.3.3 Η γεωγρφική διάτξη του πειράµτος MINOS στην περιοχή του Fermilab Σχ.3.4 Η όλη διάτξη του πειράµτος MINOS [] Σχ.3.5 Οι τρεις διτάξεις της δέσµης NuMI (σχετικές θέσεις στόχου µγνητικών χοάνων). Από πάνω προς τ κάτω, διάτξη υψηλής, µέσης κι χµηλής ενέργεις. Στη διάτξη χµηλής ενέργεις ο στόχος είνι µέσ στην πρώτη µγνητική χοάνη [40] Σχ.3.6 Ενεργεικό φάσµ της δέσµης νετρίνων NuMI γι τις τρεις διτάξεις των στοιχείων της δέσµης. Φίνετι κι το φάσµ γι την Perfect focusing το οποίο νφέρετι στην περίπτωση της ιδνικής εστίσης Σχ.3.7 Μί πλάγι άποψη του κοντινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS, στην οποί φίνοντι τ διφορετικής λειτουργικότητς τµήµτά του. Τ µήκη είνι σε m [] Σχ.3.8 Κάθετη τοµή του κοντινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS στο τµήµ του στόχου. Γρµµοσκισµένη είνι η περιοχή πό την οποί θ χρησιµοποιηθούν τ γεγονότ λληλεπιδράσεων νετρίνων γι σύγκριση µε τον µκρινό νιχνευτή [] Σχ.3.9 Μί συνολική εικόν ενός super module του µκρινού νιχνευτή, στην τελική του µορφή, σε στοά του ορυχείου Soudan στη Minnesota Σχ.3.10 Απεικόνιση του µγνητικού πεδίου σε έν επίπεδο σιδήρου του µκρινού νιχνευτή [] Σχ.3.11 Απεικόνιση ενός supermodule του µκρινού νιχνευτή [] Σχ.3.1 Η ρχή λειτουργίς µις οπτικής ίνς µεττόπισης φάσµτος (WLS) [] Σχ.3.13 Ανπράστση ενός scintillator module [] Σχ.3.14 Επίπεδ του κοντινού νιχνευτή, των οποίων η κτσκευή έχει ολοκληρωθεί. Αριστερά: επίπεδο του φσµτογράφου µιονίων κι εξιά: επίπεδο του στόχου Σχ.3.15 Αποτελέσµτ υπολογισµών Monte Carlo γι την ευισθησί του µκρινού νιχνευτή του MINOS γι 7.4ÿ10 0 (πάνω γρµµή) κι 5ÿ10 0 (κάτω γρµµή) πρωτόνι στο στόχο. (a) Οι λόγοι των τλντωµένων προς τ µη τλντωµέν ν µ CC γεγονότων γι sin θ=1, m =0.005 ev (στυρωτές γρµµές) κι m = ev (δικεκοµµένες γρµµές). Οι συνεχείς γρµµές νφέροντι στη διάσπση του νετρίνου (µπλε) κι στην decoherence (γκρι). (b) Ευισθησί στον προσδιορισµό των πρµέτρων τλάντωσης σε 90% κι 99% επίπεδο εµπιστοσύνης σε σύγκριση µε το S K [61] Σχ.3.16 Ευισθησί του πειράµτος MINOS [39] ix

13 Σχ.3.17 Η πιθνότητ τλάντωσης P(ν µ ν µ ) συνρτήσει της ορµής p των νετρίνων, γι πρµέτρους τλάντωσης m = ev /c 4 κι sin θ=1 Σχ.3.18 Το ενεργεικό φάσµ των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων των µιονικών νετρίνων στον κοντινό νιχνευτή Σχ.3.19 Το ενεργεικό φάσµ των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων των µιονικών νετρίνων στον κοντινό νιχνευτή µετά την προβολή του στον µκρινό νιχνευτή (µύρη κµπύλη). Το ενεργεικό φάσµ των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων των µιονικών νετρίνων στον µκρινό νιχνευτή γι πρµέτρους τλάντωσης sin θ=1 κι m =0.005eV /c 4 (κόκκινη κµπύλη) κι sin θ=1 κι m =0.0035eV /c 4 (µπλε κµπύλη) Σχ.3.0 Το ενεργεικό φάσµ των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων των τυ νετρίνων στον µκρινό νιχνευτή γι πρµέτρους τλάντωσης sin θ=1 κι m =0.005eV /c 4 (κόκκινη κµπύλη) κι sin θ=1 κι m =0.0035eV /c 4 (µπλε κµπύλη) Σχ.3.1 Η µύρη κι η µπλε κµπύλη του Σχ.3.19 µε µεγλύτερη σττιστική. Φίνοντι κθρά οι τλντώσεις του φάσµτος στις χµηλές ενέργειες στον µκρινό νιχνευτή Σχ.3. Η εύρεση του κέντρου P i κι των περιεχόµενων γεγονότων N i στο bin i του φάσµτος των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων µιονικών νετρίνων στον κοντινό νιχνευτή µετά την προβολή του στον µκρινό νιχνευτή Σχ.3.3 Τιµή του χ συνρτήσει των πρµέτρων τλάντωσης log( m ), sin θ, γι nominal πρµέτρους τλάντωσης m ο =0.003 ev /c 4 κι sin θ ο =1. Σηµειώνουµε ότι έχουν ληφθεί υπ όψιν µόνο σττιστικά σφάλµτ, βάση της έκφρσης του σ i στη σχέση (3.8). Οι τιµές του x δίνοντι σε χρωµτική κλίµκ Σχ.3.4 Το διάγρµµ ευισθησίς του πειράµτος MINOS γι επίπεδ εµπιστοσύνης 68%, 90% κι 99% κι γι nominal πρµέτρους τλάντωσης m ο =0.003 ev /c 4 κι sin θ ο =1. Σηµειώνουµε ότι έχουν ληφθεί υπ όψιν µόνο σττιστικά σφάλµτ, βάση της έκφρσης του σ i στη σχέση (3.8). Οι πολύ κλειστές κµπύλες που µοιάζουν µε ευθείες σε µεγάλες τιµές του m ντιστοιχούν σε δευτερεύοντ ελάχιστ του χ Σχ.3.5 Το ενεργεικό φάσµ των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων των µιονικών νετρίνων στον κοντινό νιχνευτή µετά την προβολή του στον µκρινό νιχνευτή γι ιδνική ενεργεική δικριτική ικνότητ του κοντινού νιχνευτή (µύρη κµπύλη), το ίδιο φάσµ στον µκρινό νιχνευτή γι την ίδι ενεργεική δικριτική ικνότητ (κόκκινη κµπύλη) κι την πρµετροποίηση (3.6) κι το ίδιο φάσµ µε το τελευτίο, υτή τη φορά µε ενεργεική δικριτική ικνότητ 10% του µκρινού νιχνευτή (πράσινη κµπύλη) x

14 Σχ.3.6 Το ενεργεικό φάσµ των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων των µιονικών νετρίνων στον µκρινό νιχνευτή γι την πρµετροποίηση (3.6) κι γι ενεργεική δικριτική ικνότητ του µκρινού νιχνευτή 10%, 0% κι 70% Σχ.3.7 Το ενεργεικό φάσµ των φορτισµένου ρεύµτος λληλεπιδράσεων των µιονικών νετρίνων στον κοντινό κι µκρινό νιχνευτή γι την πρµετροποίηση (3.6) κι γι ενεργεική δικριτική ικνότητ του µκρινού κι κοντινού νιχνευτή 10%, 0% κι 70% Σχ.3.8 Τιµή του χ συνρτήσει των πρµέτρων τλάντωσης log( m ), sin θ, γι nominal πρµέτρους τλάντωσης m ο =0.003 ev /c 4 κι sin θ ο =1 κι γι ενεργεική δικριτική ικνότητ του µκρινού νιχνευτή 5%. Σηµειώνουµε ότι έχουν ληφθεί υπ όψιν µόνο σττιστικά σφάλµτ, βάση της έκφρσης του σ i στη σχέση (.53). Οι τιµές του χ δίνοντι σε χρωµτική κλίµκ Σχ.4.1 Σχηµτική νπράστση του ρευµτοφόρου γωγού δηµιουργίς του µγνητικού πεδίου του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS. Με γλάζιο φίνοντι οι χάλκινοι σωλήνες νερού γι την ψύξη [] Σχ.4. Η δοµή ενός strip κι η οπτική ίν µεττόπισης φάσµτος (WLS) Σχ.4.3 Φωτογρφική πεικόνιση του τρόπου νάγνωσης των WLS fibers του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS. Από ριστερά προς τ δεξιά το strip σπινθηρισµού στον WLS fiber, ο οπτικός σύνδεσµος, οι λευκές οπτικές ίνες µε το cookie στην δεξιά τους άκρη κι ο φωτοπολλπλσιστής M 16 στην άκρη δεξιά Σχ.4.4 ύο φωτογρφίες σε διφορετική οπτική γωνί του R M16 M 16 φωτοπολλπλσιστή του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS (πάνω) κι µί φωτογρφί της βάσης τροφοδοσίς του (κάτω). Στην πάνω ριστερή εικόν δικρίνοντι τ 16 pixels κι στην κάτω εικόν δικρίνοντι οι υποδοχές γι τ κλώδι σήµτος (µύρη κι λευκή υποδοχή), όπου περιέχοντι κι οι δύνοδοι κι η υποδοχή γι το κλώδιο υψηλής τάσης (κόκκινη µικρή υποδοχή) Σχ.4.5 Σχηµτική νπράστση του ολοκληρωµένου κυκλώµτος VA3 του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS [1] Σχ.4.6 Σχηµτική νπράστση µις εµπρόσθις κάρτς ηλεκτρονικών (FEB) κι µις VME µονάδς νάγνωσης (VARC) του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS [1] Σχ.4.7 Η ρχιτεκτονική του ηλεκτρονικού συστήµτος νάγνωσης του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS. Οι τρεις βσικές µονάδες φίνοντι µε διφορετικό χρώµ. Με µοβ τ ηλεκτρονικά πρώτης γρµµής (εµπρόσθιες κάρτες ηλεκτρονικών (FEB) µε τ VA3 ολοκληρωµέν κυκλώµτ κι VME κάρτες νάγνωσης), µε κίτρινο το σύστηµ χρονισµού (GPS) κι µε πράσινο το δίκτυο µηχνισµού σκνδάλης (Trigger Farm) xi

15 Σχ.5.1 Από πάνω προς τ κάτω: Έν τυπικό γεγονός ν µ CC, ν e NC κι ν e CC στον µκρινό νιχνευτή µε E ν =0.5 GeV (ριστερά) κι έν τυπικό γεγονός ν µ CC, ν µ NC κι ν e CC στον µκρινό νιχνευτή µε E ν =1 GeV (δεξιά) Σχ.5. Από πάνω προς τ κάτω: Έν τυπικό γεγονός ν µ CC, ν e NC κι ν e CC στον µκρινό νιχνευτή µε E ν = GeV (ριστερά) κι έν τυπικό γεγονός ν µ CC, ν e NC κι ν e CC στον µκρινό νιχνευτή µε E ν =3 GeV (δεξιά) Σχ.5.3 Από πάνω προς τ κάτω: Έν τυπικό γεγονός ν µ CC (πάνω ριστερά), ν e CC (πάνω δεξιά) κι ν µ NC (κάτω) στον µκρινό νιχνευτή µε E ν =5 GeV Σχ.5.4 Η βσική ρχή λειτουργίς ενός τεχνητού νευρών [4] Σχ.5.5 Σχηµτική νπράστση ενός βιολογικού νευρών [43] Σχ.5.6 Σχηµτική νπράστση τεχνητού νευρωνικού δικτύου (Artificial Neural Network, ANN). Φίνετι σε µεγέθυνση ένς νευρώνς Σχ.5.7 Η συνάρτηση σφάλµτος συνρτήσει των κύκλων εκπίδευσης (training cycles) γι το training ρχείο κι το testing ρχείο κτά την εκπίδευση του νευρωνικού. Φίνετι κριβώς το σηµείο όπου πρέπει ν στµτήσουµε την εκπίδευση προκειµένου ν ποφύγουµε την υπερεκπίδευση (over training) [43] Σχ.5.8 Η κτνοµή της συνάρτησης εξόδου του νευρωνικού γι το σήµ (κόκκινο) κι το υπόβθρο (µπλε). Γρµµοσκισµένες είνι οι ντίστοιχες περιοχές πάνω πό την cut Σχ.5.9 Τ τέσσερ κύρι τµήµτ του πκέτου SNNS: Simulator Kernel, γρφική επιφάνει γι το χρήστη xgui, batchman κι compiler snnsc [45] Σχ.5.10 Η δοµή του νευρωνικού γι διχωρισµό ν µ CC (ν e CC, NC) στην ενέργει των 3 GeV. Η δοµή υτή είνι ενός επιπέδου εισόδου, τριών hidden επιπέδων µε 1 νευρώνες το κθέν κι ενός µόνο νευρών εξόδου. Φίνοντι κι τ ντίστοιχ βάρη. Η ίδι δοµή χρησιµοποιείτι γι όλ τ νευρωνικά που κτσκευάστηκν µε τη χρήση του πκέτου προσοµοίωσης SNNS Σχ.5.11 Μετβλητές εισόδου γι κάθε νευρωνικό κι γι κάθε ενέργει έως Σχ.5.5 Σχ.5.6 έως Σχ.5.7 Σχ.5.8 έως Σχ.5.9 Σχ.5.30 έως Σχ.5.34 Η συνάρτηση εξόδου του νευρωνικού ν µ CC (ν e CC, NC) γι τ training samples στις ενέργειες 0.5, 1,, 3 κι 5GeV Η συνάρτηση εξόδου του νευρωνικού ν µ CC (ν e CC, NC) γι όλ τ MC γεγονότ στις ενέργειες 0.5, 1,, 3 κι 5GeV Οι efficiency (ε), purity (p) κι contamination (c) του νευρωνικού ν µ CC (ν e CC, NC) συνρτήσει της cut στην ενέργει 0.5, 1,, 3 κι 5 GeV πό το SNNS (πάνω) κι το MLPfit (κάτω) xii

16 Σχ.5.35 έως Σχ.5.39 Σχ.5.40 έως Σχ.5.41 Η efficiency (ε) κι η purity (p) του νευρωνικού ν µ CC (ν e CC, NC) συνρτήσει της cut στην ενέργει 0.5, 1,, 3 κι 5 GeV πό το SNNS (µπλε) κι το MLPfit (κόκκινη) Η συνάρτηση εξόδου του νευρωνικού ν e CC NC γι τ training samples στις ενέργειες 0.5, 1,, 3 κι 5GeV Σχ.5.4 έως Σχ.5.43 Σχ.5.44 έως Σχ.5.48 Σχ.5.49 έως Σχ.5.53 Σχ.5.54 έως Σχ.5.55 Σχ.5.56 έως Σχ.5.57 Σχ.5.58 έως Σχ.5.6 Σχ.5.63 έως Σχ.5.67 Η συνάρτηση εξόδου του νευρωνικού ν e CC NC γι όλ τ MC γεγονότ στις ενέργειες 0.5, 1,, 3 κι 5GeV Οι efficiency (ε), purity (p) κι contamination (c) του νευρωνικού ν e CC NC συνρτήσει της cut στην ενέργει 0.5, 1,, 3 κι 5 GeV πό το SNNS (πάνω) κι το MLPfit (κάτω) Η efficiency (ε) κι η purity (p) του νευρωνικού ν e CC NC συνρτήσει της cut στην ενέργει 0.5, 1,, 3 κι 5 GeV πό το SNNS (µπλε) κι το MLPfit (κόκκινη) Η συνάρτηση εξόδου του νευρωνικού ν µ CC ν µ NC γι τ training samples στις ενέργειες 0.5, 1,, 3 κι 5GeV Η συνάρτηση εξόδου του νευρωνικού ν µ CC ν µ NC γι όλ τ MC γεγονότ στις ενέργειες 0.5, 1,, 3 κι 5GeV Οι efficiency (ε), purity (p) κι contamination (c) του νευρωνικού ν µ CC ν µ NC συνρτήσει της cut στην ενέργει 0.5, 1,, 3 κι 5 GeV πό το SNNS (πάνω) κι το MLPfit (κάτω) Η efficiency (ε) κι η purity (p) του νευρωνικού ν µ CC ν µ NC συνρτήσει της cut στην ενέργει 0.5, 1,, 3 κι 5 GeV πό το SNNS (µπλε) κι το MLPfit (κόκκινη) Σχ.5.68 Η efficiency (πάνω) κι η purity (κάτω) σν συνάρτηση της cut γι τον διχωρισµό ν µ CC (ν e CC, NC) σε κάθε τιµή της ενέργεις πό τ ποτελέσµτ του MLPfit. Πρτηρούµε ότι στην περιοχή cut>0.4 η efficiency κι η purity γίνοντι ύξουσες µε την ενέργει Σχ.5.69 Η efficiency (πάνω) κι η purity (κάτω) σν συνάρτηση της cut γι τον διχωρισµό ν e CC NC σε κάθε τιµή της ενέργεις πό τ ποτελέσµτ του MLPfit. Πρτηρούµε ότι στην περιοχή cut>0.6 η efficiency κι η purity γίνοντι ύξουσες µε την ενέργει Σχ.5.70 Η efficiency (πάνω) κι η purity (κάτω) σν συνάρτηση της cut γι τον διχωρισµό ν µ CC ν µ NC σε κάθε τιµή της ενέργεις πό τ ποτελέσµτ του MLPfit. Πρτηρούµε ότι στην περιοχή cut>0.7 η efficiency κι η purity γίνοντι ύξουσες µε την ενέργει xiii

17 Σχ.5.71 Η κτνοµή της ενποτιθέµενης ενέργεις όλων των MC γεγονότων που φτιάξµε γι τον διχωρισµό ν µ CC ν µ NC µε κριτήριο την ενποτιθέµενη ενέργει Σχ.5.7 έως Σχ.5.80 Σχ.5.81 έως Σχ.5.8 Η έξοδος του νευρωνικού ν µ CC ν µ NC γι τις περιοχές [0,100), [100,00), [00,300), [300,400), [400,500), [500,600), [600,800), [800,1000) κι [1000,00)PEs της ενποτιθέµενης ενέργεις (πάνω) κι η efficiency (ε), purity (p), contamination (c) κι efficiencyµpurity συνρτήσει της cut πό τ ποτελέσµτ του SNNS (κάτω) Οι efficiencies κι οι purities των νευρωνικών ν µ CC ν µ NC γι όλες τις περιοχές της ενποτιθέµενης ενέργεις Σχ.5.83 Η efficiency purity των νευρωνικών ν µ CC ν µ NC γι όλες τις περιοχές της ενποτιθέµενης ενέργεις xiv

18 Κτάλογος Πινάκων Πίνκς.1 Τυπικές τιµές µεγεθών σε διάφορ πειράµτ τλντώσεων νετρίνων [19] Πίνκς 3.1 Γενικά λειτουργικά κι κτσκευστικά χρκτηριστικά του πειράµτος MINOS (υποθέτοντς πρωτόνι στο στόχο νά χρόνο) [] Πίνκς 3. Χρκτηριστικά της δέσµης νετρίνων της NuMI Facility [1] Πίνκς 3.3 Βσικά χρκτηριστικά των δύο νιχνευτών του πειράµτος MINOS [41] Πίνκς 4.1 Χρκτηριστικά των επιπέδων πθητικού υλικού του µκρινού κι του κοντινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS [] Πίνκς 4. Βσικά χρκτηριστικά των R M16 PMTs του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS [] Πίνκς 5.1 Οι ριθµοί των MC γεγονότων που κτσκευάσµε σε κάθε ενέργει νετρίνου Πίνκς 5. Οι ριθµοί των MC γεγονότων που χρησιµοποιήσµε γι τον διχωρισµό ν µ CC (ν e CC, NC) σε κάθε ενέργει. Με κόκκινο φίνοντι τ γεγονότ σήµτος κι µε µπλε τ γεγονότ υποβάθρου Πίνκς 5.3 Οι ριθµοί των MC γεγονότων που χρησιµοποιήσµε γι τον διχωρισµό ν e CC NC σε κάθε ενέργει. Με κόκκινο φίνοντι τ γεγονότ σήµτος κι µε µπλε τ γεγονότ υποβάθρου Πίνκς 5.4 Οι ριθµοί των MC γεγονότων που χρησιµοποιήσµε γι τον διχωρισµό ν µ CC ν µ NC σε κάθε ενέργει. Με κόκκινο φίνοντι τ γεγονότ σήµτος κι µε µπλε τ γεγονότ υποβάθρου Πίνκς 5.5 Η τιµή της efficiency γι κάθε νευρωνικό ότν η cut είνι 0.5 σν συνάρτηση της ενέργεις. Φίνετι, όπως είνι νµενόµενο, η ύξηση της efficiency µε την ενέργει. Οι τιµές υτές της efficiency είνι πό τ ποτελέσµτ του SNNS Πίνκς 5.6 Οι ριθµοί των ν µ CC κι ν µ NC γεγονότων MC που δηµιουργήσµε σε κάθε ενέργει νετρίνων Πίνκς 5.7 Οι ριθµοί των ν µ CC κι ν µ NC γεγονότων MC σε κάθε περιοχή της ενποτιθέµενης ενέργεις. Σε κάθε µί περιοχή θ γίνει προσπάθει διχωρισµού ν µ CC ν µ NC γεγονότων xv

19 Εισγωγή Εισγωγή Η σπουδιότητ της φυσικής των νετρίνων Η µελέτη των νετρίνων κι των χρκτηριστικών τους είνι µί πό τις ιδιίτερης βρύτητς πτυχές της σύγχρονης επιστήµης κι έρευνς, µι κι πολύ λίγ πράγµτ γνωρίζουµε γι υτά. Τ τελευτί χρόνι ίσως το σηµντικότερο πρόβληµ που πσχολεί τους φυσικούς είνι η διτήρηση της CP συµµετρίς στ λεπτόνι. Πολλοί θεωρητικοί µάλιστ προχωρούν έν βήµ πρπέρ κι θέτουν το πρόβληµ της διτήρησης της CPT συµµετρίς στ λεπτόνι. Γενικά, τ νετρίν είνι πό τ περισσότερο άφθον σωµτίδι στο Σύµπν. Υπάρχουν 300 νετρίν νά cm 3 στο Σύµπν, δηλδή περίπου 10 7 νετρίν υπάρχουν µέσ στον όγκο που κτλµβάνει το νθρώπινο σώµ. Από την πρώτη φορά που νιχνεύθηκν τ νετρίν (το 1956 οι F. Reines κι C. Cowan χρησιµοποίησν ηλεκτρονικά ντινετρίν πό τον πυρηνικό ντιδρστήρ Savannah River, τ οποί κι νίχνευσν µέσω της ντίδρσης + ν e + p e + n [1]) µέχρι κι σήµερ, πολλά πειράµτ φυσικής νετρίνων έπιξν σηµντικό ρόλο στην κτνόηση των θεµελιωδών ρχών που διέπουν τ στοιχειώδη σωµάτι κι τις λληλεπιδράσεις τους κι συνεισέφερν σε µεγάλο βθµό (κυρίως µε τη µέτρηση στθερών δοµής κι ενεργών διτοµών) στη διµόρφωση του Κθιερωµένου Προτύπου, όπως το γνωρίζουµε σήµερ. Πρόλ υτά, όπως είδµε, γνωρίζουµε ελάχιστ γι τ νετρίν ή τουλάχιστον γνωρίζουµε πολύ λιγότερ πό ότι γι τ φορτισµέν λεπτόνι. εν γνωρίζουµε ν τ νετρίν έχουν µάζ κι ποι είνι η ιερρχί τους, όπως δεν γνωρίζουµε ν είνι στθερά σωµάτι ή δισπώντι σε νετρίν άλλης γεύσης ή άγνωστ σωµτίδι ή ν έχουν ηλεκτροµγνητική δοµή (όπως γι πράδειγµ µγνητική ροπή). Εν ντιθέσει, γι πράδειγµ, το κλσµτικό σφάλµ στις µετρήσεις της µάζς είνι 4ÿ10 8 γι το ηλεκτρόνιο κι το µιόνιο [5] κι ÿ10 4 γι το τ λεπτόνιο [5], οι µετρήσεις του χρόνου ζωής του µιονίου κι του τ λεπτονίου έχουν κλσµτικό σφάλµ ÿ10 5 κι 4ÿ10 3 ντίστοιχ [5] κι οι µγνητικές ροπές του ηλεκτρονίου κι του µιονίου είνι γνωστές µε κρίβει 10 1 κι ντίστοιχ [5]. Σήµερ, το ενδιφέρον γι τη φύση των νετρίνων κι τη σχέση τους µε τ φινόµεν της στροφυσικής έχει υξηθεί, όπως µρτυρεί ο ριθµός των σχετικών πειρµάτων που σχεδιάζοντι, προετοιµάζοντι ή λειτουργούν κι στ οποί θ νφερθούµε µε λεπτοµέρει στο δεύτερο κεφάλιο. Σε όλ σχεδόν τ πειράµτ υτά κύριος στόχος είνι η µελέτη του φινοµένου των τλντώσεων των νετρίνων. Όπως θ δούµε, νγκί προϋπόθεση γι ν τλντώνοντι τ νετρίν είνι υτά ν έχουν µάζ. Στο πρώτο κεφάλιο θ δούµε ότι στο Κθιερωµένο Πρότυπο τ νετρίν δεν έχουν µάζ, εποµένως ο έλεγχος των τλντώσεων των νετρίνων 1

20 Εισγωγή συνεπάγετι κι έλεγχο του Κθιερωµένου Προτύπου, γεγονός που µρτυρεί, πέρν όλων των άλλων, την ξί της µελέτης των νετρίνων. Στο ίδιο κεφάλιο θ δούµε κι τις δυντές επεκτάσεις του Κθιερωµένου Προτύπου, ώστε ν ποδίδετι µάζ στ νετρίν. Τ πειράµτ νετρίνων στο πρελθόν νέδειξν σηµντικά προβλήµτ, όπως η πρτηρούµενη νωµλί των τµοσφιρικών νετρίνων (Super Kamiokande [6], IMB [6], Kamiokande[51]) κι το έλλειµµ των ηλικών νετρίνων (Davis [19], SNO [5]), γι τ οποί θ µιλήσουµε στο δεύτερο κεφάλιο κι τ οποί λύνοντι µε την υπόθεση των τλντώσεων νετρίνων. Μάλιστ, όπως θ δούµε, το πείρµ SNO πρότεινε την LMA MSW λύση [5], φού βρήκε µη ηλεκτρονική συνιστώσ στη ροή των ηλικών νετρίνων κι µάλιστ υπολόγισε γι τη ροή υτή τιµή που συµφωνεί µε τις προβλέψεις του Κθιερωµένου Ηλικού Προτύπου (βλ. κεφάλιο ). Όσον φορά τ τµοσφιρικά νετρίν, το πείρµ SK βρήκε ότι τ µιόνι που έρχοντι πό πάνω πό τον ορίζοντ είνι περισσότερ πό υτά που έρχοντι πό κάτω, επιβεβιώνοντς την ύπρξη τλντώσεων νετρίνων (βλ. κεφάλιο ). Στο δεύτερο κεφάλιο περιγράφοντι τ σηµντικότερ πειράµτ νετρίνων, όπως κι γίνετι µί προσπάθει θεωρητικής προσέγγισης του φινοµένου των τλντώσεων των νετρίνων τόσο στην ύλη όσο κι στο κενό. Στο τέλος του κεφλίου υτού, όπως κι σε όλ τ επόµεν κεφάλι, θ επικεντρωθούµε στο πείρµ MINOS. Στο τρίτο κι τέτρτο κεφάλιο γίνετι µί γενική περιγρφή του πειράµτος, µε ιδιίτερη βρύτητ στην περιγρφή του µκρινού νιχνευτή κι στη φυσική που επιδιώκετι ν επιτευχθεί. Στο πέµπτο κεφάλιο περιγράφετι η βσική µς δουλειά, που ποτελεί µί προσπάθει νάλυσης της πόκρισης του µκρινού νιχνευτή του πειράµτος MINOS. Κύριος στόχος µς είνι ν νδείξουµε τον τρόπο µε τον οποίο µπορεί ν γίνει τυτοποίηση των λληλεπιδράσεων νετρίνων στον µκρινό νιχνευτή. Θ χρησιµοποιήσουµε την τεχνική των νευρωνικών δικτύων γι τυτοποίηση γεγονότων MC, µε µετβλητές διχωρισµού που έχουν ν κάνουν µε την τοπολογί των γεγονότων νετρίνων κι την µετρούµενη ενέργειά τους. Θ επιχειρήσουµε µετξύ των άλλων κι τον διχωρισµό ν µ CC ν µ NC γεγονότων, που είνι πολύ σηµντικός γι το πείρµ MINOS δεδοµένου ότι πρόκειτι γι έν πείρµ εξφάνισης µιονικών νετρίνων κι ότι το κύριο υπόβθρο στην νίχνευση ν µ CC γεγονότων είνι γεγονότ ν µ NC. Εφ όσον, λοιπόν, είνι εφικτή η τυτοποίηση ν µ CC γεγονότων, κθίσττι δυντή η εύρεση των ενεργεικών φσµάτων των ν µ CC λληλεπιδράσεων κι στους δύο νιχνευτές, η σύγκριση των οποίων µπορεί ν οδηγήσει (όπως θ δούµε) στον προσδιορισµό των πρµέτρων τλάντωσης. Αν κι είνι προφνές ότι τ νετρίν δεν έχουν φορτίο, σηµντικές είνι οι ηλεκτροµγνητικές τους ιδιότητες ς θεωρήσουµε το οικείο πράδειγµ της κβντικής ηλεκτροδυνµικής, όπου η µγνητική ροπή ενός φερµιονίου προέρχετι πό κβντικά loops. Στην ηλεκτρσθενή θεωρί, σε πρόµοι loops µπορούν ν οφείλοντι οι ηλεκτροµγνητικές ιδιότητες των νετρίνων. Το

21 Εισγωγή θέµ ποκτά ιδιίτερο ενδιφέρον εάν τ νετρίν έχουν µάζ. Γι έν Dirac νετρίνο µπορούν ν οριστούν τέσσερις ηλεκτροµγνητικοί πράγοντες µορφής ενώ ντίθετ, γι έν Majorana νετρίνο (τ Dirac κι Majorana νετρίν θ τ δούµε νλυτικά στις επεκτάσεις του Κθιερωµένου Προτύπου στο πρώτο κεφάλιο) ορίζετι µόνο ένς [19]. Η σπουδιότητ εποµένως των νετρίνων είνι άρρηκτ συνδεδεµένη µε όλους τους χώρους της σύγχρονης φυσικής κι επιστήµης γενικότερ. 3

22

23 Κεφάλιο 1 Μάζ κι µίξη των νετρίνων Κεφάλιο 1: Μάζ κι µίξη των νετρίνων 1.1. Τ νετρίν στο Κθιερωµένο Πρότυπο (Standard Model) Το Κθιερωµένο Πρότυπο (Standard Model) S() L x(1) Y των ηλεκτρσθενών λληλεπιδράσεων περιλµβάνει τρί ριστερόστροφ νετρίν (κι τρί δεξιόστροφ ντινετρίν). Αν γι τ νετρίν υποθέσουµε µηδενική µάζ, τότε η εξίσωση Dirac πίρνει τη µορφή: H ψ = a pψ = Eψ (1.1) όπου a είνι ο γνωστός πίνκς στην εξίσωση του Dirac που συνδέετι µε τους πίνκες του Pauli κι (Ε, p ) είνι η τετρορµή του νετρίνου. Ας γράψουµε το σπίνορ ψ στη µορφή: χ(x) ψ= φ(x) Αν στην (1.1) ντικτστήσουµε τον σπίνορ υτόν κι χρησιµοποιήσουµε την νπράστση Weyl γι τον a, τότε κτλήγουµε στη σχέση [3]: 1 1 p σ p ˆχ= χ,pˆ = E Ο τελεστής 1/ σ pˆ είνι ο τελεστής ελικότητς του νετρίνου. Κτά τ γνωστά, στη φύση τ νετρίν είνι ριστερόστροφ κι τ ντινετρίν δεξιόστροφ. Ο τελεστής της chilarity είνι ο πίνκς γ 5 του Dirac κι στο υπερσχετικιστικό όριο είνι ίσος µε τον τελεστή ελικότητς [3]. Οι ηλεκτροµγνητικές λληλεπιδράσεις δεν διχωρίζουν τις διάφορες κτστάσεις chilarity, σε ντίθεση µε τις σθενείς λληλεπιδράσεις. Τ νετρίν ως γνωστόν έχουν µόνο σθενείς λληλεπιδράσεις 5

24 Κεφάλιο 1: Μάζ κι µίξη των νετρίνων κι εµφνίζοντι στο Κθιερωµένο Πρότυπο µόνο σε ριστερόστροφες κτστάσεις (δεξιόστροφες γι τ ντινετρίν). Οι κτστάσεις υτές των νετρίνων κττάσσοντι µζί µε τις ντίστοιχες ριστερόστροφες κτστάσεις των φορτισµένων λεπτονίων στις διπλέτες σθενούς ισοσπίν. Οι δεξιόστροφες κτστάσεις των φορτισµένων λεπτονίων είνι singlet κτστάσεις. εξιόστροφες κτστάσεις των νετρίνων δεν υπάρχουν στο κθιερωµένο πρότυπο. Εποµένως, τ λεπτόνι στο Κθιερωµένο Πρότυπο έχουν ως εξής: ν e e L ν µ ντ,,, e R, µ R, τ (1.) R µ τ L L Τ νετρίν, όπως είδµε, έχουν µόνο σθενείς λληλεπιδράσεις. Οι σθενείς λληλεπιδράσεις φορτισµένου ρεύµτος, µέσω ντλλγής W ± κι ουδετέρου ρεύµτος, µέσω ντλλγής Z 0, των νετρίνων περιγράφοντι ντιστοίχως πό τις Lagrangians [4]: g CC CC L = j W + h.c. NC g (1.3) NC L = j Z cosθ W όπου g είνι η S() gauge στθερά σύζευξης, θ W είνι η σθενής γωνί, W κι Z είνι τ πεδί των φορτισµένων (W ± ) κι ουδετέρων (Z 0 ) νυσµτικών µποζονίων, j CC είνι το φορτισµένο ρεύµ των λεπτονίων κι j NC είνι το ουδέτερο ρεύµ των νετρίνων. Τ δύο τελευτί ρεύµτ δίνοντι πό τις εκφράσεις [1]: CC j = νllγll l j NC = ν γ ν l ll ll (1.4) Όπως είδµε, τρεις γεύσεις νετρίνων υπάρχουν στη φύση, οι ν e, ν µ κι ν τ. Από τ πειράµτ του LEP γι τον υπολογισµό του πλάτους της διάσπσης Z ν +ν 6

25 Κεφάλιο 1: Μάζ κι µίξη των νετρίνων προκύπτει γι τις γεύσεις των νετρίνων ο κόλουθος ριθµός []: n = 3.00 ± 0.06 Μί ολική προσρµογή στ δεδοµέν υτά δίνει []: n =.984 ± Οι σθενείς λληλεπιδράσεις διτηρούν τους επιµέρους λεπτονικούς ριθµούς L e, L µ, L τ κι εποµένως, κι τον ολικό λεπτονικό ριθµό L, όπου προφνώς ο τελευτίος είνι το άθροισµ των τριών πρώτων. εν υπάρχει βθύτερος φυσικός λόγος γι µηδενική µάζ των νετρίνων. Αν τ πεδί των νετρίνων εισχθούν στην Lagrangian του Κθιερωµένου Προτύπου (1.3), τότε τ νετρίν είνι άµζ κι οι τρεις λεπτονικοί ριθµοί διτηρούντι ξεχωριστά ο κθένς [4], όπως είδµε κι πιο πάνω. Η υπόθεση της µάζς των νετρίνων βσίζετι στην υπόθεση ότι στην ολική Lagrangian υπάρχει ένς όρος µάζς, ο οποίος δεν διτηρεί τον λεπτονικό ριθµό. Υπάρχουν δύο κυρίως δυντότητες στην εισγωγή όρων µάζς στην Lagrangian του Κθιερωµένου Προτύπου, νετρίν µε µάζ Dirac που είνι διφορετικά πό τ ντισωµάτιά τους κι νετρίν µε µάζ Majorana που τυτίζοντι µε τ ντισωµάτιά τους. Θ νφερθούµε όµως διεξοδικά στο θέµ υτό στη συνέχει του κεφλίου. Εδώ προλέγουµε όµως ότι, στην πρώτη περίπτωση είνι δυντές οι τλντώσεις µετξύ διφορετικών γεύσεων νετρίνων ή ντινετρίνων κι τότε δεν διτηρούντι οι επιµέρους λεπτονικοί ριθµοί, λλά διτηρείτι το άθροισµά τους, δηλδή ο ολικός λεπτονικός ριθµός. Στην δεύτερη περίπτωση, µπορούµε ν έχουµε τλντώσεις µετξύ νετρίνων κι ντινετρίνων κι τότε, προφνώς, δεν διτηρείτι ούτε ο ολικός λεπτονικός ριθµός, λλά ντίθετ έχουµε L=. Θ νφερθούµε όµως λεπτοµερέστερ στο θέµ υτό στη συνέχει του κεφλίου. 7

26 Κεφάλιο 1: Μάζ κι µίξη των νετρίνων 1.. Μάζ κι µίξη των νετρίνων Όπως είδµε στην προηγούµενη πράγρφο, τ νετρίν στο Κθιερωµένο Πρότυπο δεν έχουν µάζ. Επίσης, έγινε νφορά στους δύο τρόπους µε τους οποίους µπορεί ν εισχθεί όρος µάζς στη Lagrangian. Στην περίπτωση υτή επεκτείνουµε το Κθιερωµένο Πρότυπο κι τ νετρίν ποκτούν µάζ. Σε υτή την πράγρφο θ νφερθούµε εκτενέστερ στους δύο νωτέρω τρόπους επέκτσης του Κθιερωµένου Προτύπου. Πριν προχωρήσουµε όµως, ξίζει ν δούµε συνοπτικά την µίξη των νετρίνων, η οποί πιτεί, όπως νφέρθηκε, την µη µηδενική µάζ των νετρίνων. Ας θεωρήσουµε τη µίξη των νετρίνων τριών γεύσεων 3 ν = iν i (1.5) i= 1 όπου ν (=e,µ,τ) κι ν i (i=1,,3) είνι οι ιδοκτστάσεις σθενούς λληλεπίδρσης κι µάζς, ντίστοιχ κι είνι ο MNS πίνκς µίξης των νετρίνων. Υιοθετώντς την κθιερωµένη πρµετροποίηση του MNS πίνκ [5], µπορούµε ν γράψουµε την έκφρση: iδ c 13 0 s13e c1 s1 0 = 0 c3 s s1 c1 0 0 s iδ c3 s13e c13 (1.6) όπου c ij cosθ ij, s ij sinθ ij κι δ είνι, κτά τ γνωστά, η φάση πρβίσης της CP συµµετρίς. Έχουµε τόσο κλύτερη πληροφορί γι τον MNS πίνκ όσο κριβέστερ µπορούµε ν γνωρίζουµε τις διφορές των τετργώνων των µζών των νετρίνων ( m m j m i ) πό διάφορες πειρµτικές πρτηρήσεις. Με την πρµετροποίηση της εξίσωσης (1.6), τ πειρµτικά δεδοµέν τµοσφιρικών νετρίνων δίνουν [6]: sin θ , m 3 m 13 (1.5 4) 10 3 ev Τ πειρµτικά δεδοµέν ηλικών νετρίνων του KamLAND δίνουν [7,53]: 8

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου.

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. ) Υπόδειγµ Εντολέ - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. Έστω ότι ο εντολοδόχος ελέγχει µί επιχείρηση της οποίς ιδιοκτήτες είνι διάφοροι µέτοχοι (ο εντολές). Στην γενική περίπτωση, ο εντολοδόχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεί εισγωγής γι τη Φυσική Α Λυκείου Οι πρκάτω σημειώσεις δινέμοντι υπό την άδει: Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Πρόμοι Δινομή 4.0 Διεθνές. 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6)

V v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6) Μερικός γρµµοµορικός όγκος Ο όγκος είνι µι κύρι εκττική ιδιότητ θερµοδυνµικών συστηµάτων. Γρµµοµορικός όγκος δηλ. ο όγκος νά γρµµοµόριο είνι η ενττική ιδιότητ συστήµτος ενός συσττικού η οποί ορίζετι πό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Πέµπτη, 5 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ, που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή

1. Υποκατάσταση συντελεστών στην παραγωγή Ε9 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.Υποκτάστση συντελεστών στην πργωγή 2.Ομογενείς συνρτήσεις πργωγής 3.Ελστικότητ υποκτάστσης συντελεστών 4.Στθερή ελστικότητ υποκτάστσης 5.Πργωγή στθερής ελστικότητς υποκτάστσης

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονοµικής µεγέθυνσης θ ξεκινήσει εξετάζοντς το πιο πλό δυνµικό υπόδειγµ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

VΙΙ. ΕΤΗΣΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ

VΙΙ. ΕΤΗΣΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ VΙΙ. ΕΤΗΣΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Α. ΕΤΗΣΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ Η ρχή της ισουνµίς πιτεί την ισότητ της νλογιστικής προύσς ξίς των σφλίστρων µε την νλογιστική προύσ ξί των προχών (σφάλισης, ράντς ή οποισήποτε άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ. Γ. Αλεξίου, Α. Καλαμπούνιας, Ε. Αμανατίδης, Δ. Ματαράς ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΣΙΛΑΝΙΟΥ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΕΚΚΕΝΩΣΕΙΣ ΕΝΑΠΟΘΕΣΗΣ ΠΥΡΙΤΙΟΥ Γ. Αλεξίου, Α. Κλμπούνις, Ε. Αμντίδης, Δ. Μτράς Εργστήριο Τεχνολογίς Πλάσμτος, Τμήμ Χημικών Μηχνικών, Πνεπιστήμιο Πτρών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης

Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Αλγόριθµοι Άµεσης Απόκρισης Εγχειρίδιο Φροντιστηρικών Ασκήσεων Ιωάννης Κργιάννης Ιούνιος 008 Το πρόν εγχειρίδιο περιέχει σκήσεις κι νοιχτά προβλήµτ σχετικά µε το ντικείµενο του µθήµτος Αλγόριθµοι Άµεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πνεπιστήµιο Θεσσλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµ Πολιτικών Μηχνικών Μετπτυχικό πρόγρµµ σπουδών «Αντισεισµικός Σχεδισµός Τεχνικών Έργων» Μάθηµ: «Αντισεισµικός Σχεδισµός Θεµελιώσεων, Αντιστηρίξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα 1ο (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) (Μονάδες 5) ΔΙΓΩΝΙΣΜ Θέµ 1 ο πό τις πρκάτω πολλπλές πντήσεις ν επιλέξετε τη σωστή. 1. Ηκυττρική διφοροποίηση συνίσττι. στην πύση της λειτουργίς όλων των γονιδίων β. στην εκλεκτική λειτουργί των γονιδίων γ. σε δυνµί

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Είνι γνωστό ότι γι πολλά ορισµέν ολοκληρώµτ δεν υπάρχουν νλυτικές µέθοδοι κριβούς επίλυσής τους. Ετσι λοιπόν έχουν νπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι υπολογισµού τέτοιων

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων

3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων 3.3 Άριστο Επίπεδο Αποθεµάτων - ο λογισµός της επιχείρησης εκτείνετι σε δύο χρονικές περιόδους. - έχει την δυντότητ ν δηµιουργήσει ποθέµτ την πρώτη περίοδο τ οποί θ πουλήσει την δεύτερη. - Η πόφση πργωγής

Διαβάστε περισσότερα