Οδιαχωρισμόςτωνσχημάτωνσετρίπλευρα,τετράπλευρακλπ. οφείλεταιστονίδιοτον Ευκλείδη,αφούδεναπαντάταιούτεστονΠλάτωναούτεστονΑριστοτέλη.

Transcript

1 Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ ÛÑ ØÖ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ¾ ÒÒÓ ÓÖÞÓÒØ Ô Ö Ö ÓÒØ º Ü ôñ Ø ½ ÃÓ Ò ÒÒÓ ½ Ì Ü ôñ Ø Ó Ó Ò ÒÒÓ Ò Ø Ü ôñ Ø Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ º ÈÖÓØ ½ ¾ ÈÖÓØ ¾ ¾ ÈÖÓØ ÈÖÓØ Â Ñ ÐÛ Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ ÕÛÖ Ø Ò ÕÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒº À ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ù ôòº ÛÒ ØÖ ôòóùº À ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÛÒ ØÛÒ Ñ ôò ØÓÙº ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º ½

2 ½ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ º¾ ÇÖ ÑÓ Ü ôñ Ø Ç Ù Ð Ñ Ó Ö ØÓ ÑÓÒØ ÐÓ Ò Ñ Ñ Ø Ó Ñ ÒÓÙ Ò Ñ Ô Ö ô ØÙÔÓÔÓ Ñ ÒÓÙ ÓÖ ÑÓ Ü ôñ Ø Ø Ô Ò ÙÒ ÕÞ Ñ Û¹ Ö Ñ Ø ÔÓ Ü º Ô Ø Ò ÖÕ Ø Ö ØÓ Ô Ö ØÒÓ Ñ Ð ÔÓ ÓÙ ÓÙ Ô Ö Ö ØÛÒ ÒØ Ñ ÒÛÒ Ø ÛÑ ØÖ º ÌÓ Ò ÙØ Ñ Ø Ò ÔÖôØ ÓÑ ÓÖ ÑôÒ ½ º ÇÖ ÑÓ ½º Ë Ñ Ó Ò ÙØ ÔÓÙ Ò Õ Ñ ÖÓº ½ ¾º Ö ÑÑ Ò Ñ Ó ÕÛÖ ÔÐ ØÓº ¾ º Ì Ö Ö ÑÑ Ò Ñ º... º ÔÔ ÛÒ Ò Ð Ó Ø ÑÒ Ñ ÒÛÒ Ö ÑÑôÒ ØÓÙ Ô Ô ÓÙ ÔÓÙ Ò ÒØ Ô Ø Ù º º ³ÇØ Ò Ó Ô Ö ÕÓÙ Ø ÛÒ Ö ÑÑ Ò Ù ÛÒ Ð Ø Ù Ö ÑÑ º ³ Õ ÙÕÒ Ô Ö Ø Ö Ø Ó Ù Ð Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ ÑÓ Ø ÔÓ Ü ØÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Òº Ç ÓÖ ÑÓ ÙØÓ Ò Ü ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò Ü ÖÞÓÙÒ ØÓÒ Ò Òô Ø Ø Ò Ñ ¹ ÖÓÙ ÐÐ Ò Ô ÞÓÙÒ ÔÓ Ó Ö ÐÓ Ø Ô Ñ Ò ÙÑÔ Ö Ñ Ø º ËØÓÒ ÇÖ Ñ Ó Ö ÑÑ ÑÔÓÖ Ò Ò ÑÔÙÐ Ö ÑÑ º ËØÓ ÐÓ ³ Ó Ù¹ Ð ÕÖ ÑÓÔÓ ÛÒ Ñ Ø Ü ÐÛÒ Ù ôò ÐÐ Ò Ü Ñ Ð Ø Ö ÑÓ Ð ÛÒ ôò ÑÔ ÐÛÒ Ö ÑÑôÒ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô Ö Ø ÖÓ ØÓÙ ÔÖÓ Ù Ð ÓÙ ÕÖ ÒÓÙº Ç Ô Ö Ø ÖÓ Ô ØÓÙ ÐÓÙ ÓÙ ÓÖ ÑÓ Ò ÙÒØÓÑ Ø ØÓÒ ÕÖÓÒÓ ØÖ ÔÓ Ö³ Ô Ò ÇÖ ÑÓ ½ ΚατάτονΑριστοτέλημέροςμενουνεστίνκαιτουείδουςδηλαδή,υπάρχειμέροςακόμα καιστημορφή. (ΜετάταΦυσικά,1035 b32). ΚατάτονΠρόκλο,οπρώτοςορισμόςτου σημείουδόθηκεαπότουςπυθαγορείουςωςμονάςπροσλαβούσαθέσιν. ΚατάτονΠλάτωνα σημείοείναιαρχήγραμμής. ¾ ΚατάτονΠρόκλο,γραμμήείναιμέγεθοςεφ ενδιαστατόν,δηλαδήμονοδιάστατομέγεθος. ΕναςαρχαιότεροςορισμόςτηςγωνίαςοφείλεταιστονΑπολλώνιοτονΠεργαίο,σύμφωνα μετονοποίο,γωνίαείναισυναγωγήεπιφανείαςηστερεούπροςενίσημείωυπόκεκλασμένη γραμμήήεπιφανεία.

3 º¾º ÇÊÁËÅÇïÁ à Á ÁïÏÅ Ì ½ ½ º º º º ØÖÔÐ ÙÖ Õ Ñ Ø Ò ÙØ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÒØ ØÖ Ù º º º ¾¼º Ô Ø ØÖÔÐ ÙÖ Õ Ñ Ø ÔÐ ÙÖÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÙØ ÔÓÙ Õ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ó Ð ØÖ ÛÒÓ Ò ÙØ ÔÓÙ Õ Ñ ÒÓ Ø Ó ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ð Ò ØÖ ÛÒÓ Ò ÙØ ÔÓÙ Õ Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ò º Ã Ø ØÓÒ ÕÖÓÒÓ ÓÖÑ Ð Ñ Ò ÔÐ ÙÖÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó ¹ Ð ÐÐ Õ ØÓÒ Ù Ð º È Ö ÑÓ ØÓÒ ÇÖ Ñ ¾¾ Ò ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ð Ø Ø Ö Ñ µ Ò Ò Ø ØÖ ÛÒÓº ÈÖÓ Òô Ô Ñ ÐÓ ÔÓÝ Ò ÔÖÓØ Ñ Ø ÖÓ Ò ÙÑÔ Ö Ð ÓÙÑ Ø Ø ØÖ ÛÒ Ø ÓÖ Ó ôò º Å Ø ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ó Ù Ð ÔÖÓÕÛÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø ØÓÙ ¹ Ü ôñ Ø µº Ì ÕÖÓÒ Ü ôñ Ø Ø ÛÑ ØÖ ÓÑÓ ÞÓÙÒ Ö Ø Ñ Ø Ø Ñ Ø ÙØ º Ü ôñ Ø ½º Õ Ü Û Ø ÑÔÓÖ Ò Õ Ù Ö ÑÑ Ô Ñ Ó ÔÖÓ Ñ Óº ¾º Ã Ô Ô Ô Ö Ñ Ò Ù ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Õ Ô Ö Ù Ø ÙÒ Õ ØÖ ÔÓº º à ÑÔÓÖ Ò Ö ÐÓ Ô ÒØ ÒØÖÓÙ Ø Ñ ØÓº º Ã Ð Ó ÓÖ ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº º ÌÓ Ô ÑÔØÓ Ø Ñ ÙÞ Ø ÕÛÖ Ø Ô Ö ØÛº Ì Ø Ñ Ø ½ ¾ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ØÙÔÛ Ó Ò Ø ØÓÒ ÕÖÓÒÓ ØÖ ÔÓ Û Ü ÓÑ ÒÛÒ Ó ÓÖ Ø ôò Ñ ÛÒ ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ Ù ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ÙØ º À Ñ ØÓÙ Ù Ð Ò Ô Ö Ø ÖÓ Ø Ò Ø Ù Õ Ø Ò Ô ÖÜ ÓÖ Ð Ò ØÓÒ ØÖ ÔÓ Õ Ø Ò ÓÙ º ÓÐÓÙ Ó Ò Ó Ø ØÓÒ Ù Ð ÃÓ Ò ³ ÒÒÓ º ÙØ Ò Ü ôñ ¹ Ø Ô Ö Ø ÙÑÔ Ö ÓÖ Ò Ø ÖÛÒ Ñ ôò Õ Ñ ÒÓ ÛÑ ØÖ ôò ÒØ Ñ ÒÛÒº Οδιαχωρισμόςτωνσχημάτωνσετρίπλευρα,τετράπλευρακλπ. οφείλεταιστονίδιοτον Ευκλείδη,αφούδεναπαντάταιούτεστονΠλάτωναούτεστονΑριστοτέλη. Ηλέξησκαληνόπροέρχεταιείτεαπότοσκάζω(=κουτσαίνω)είτεαπότοσκολιός(= επικλινής,λοξός). Εδώδιάστημα=ακτίνα,ανκαιοΕυκλείδηςχρησιμοποιείτονόροδιάστημακαιγιατη διάσταση. Τοαίτημααυτόείναιισοδύναμομετηνισχύτηςισοδυναμίαςτωνσχημάτων,ήμεάλλα λόγια,τηςομογένειαςτουχώρου.

4 ½ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÃÓ Ò ÒÒÓ ½º Ì ÔÖÓ ØÓ Ó ÔÖ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ¾º Ã Ò ÔÖ Ñ Ø ÔÖÓ Ø Ó Ò ÔÖ Ñ Ø Ø ÙÒÓÐ ÔÖ ¹ Ñ Ø Ò º º Ã Ò Ô ÔÖ Ñ Ø Ö Ó Ò ÔÖ Ñ Ø Ø ÙÔÓÐ Ô Ñ Ò ÔÖ Ñ Ø Ò º º Ã Ø ÖÑ ÞÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÔÖ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº º à ØÓ ÐÓÒ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ ØÓÙ Ñ ÖÓÙº ÈÓÐÐÓ Ù Ö Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ò Ò Ô Ö ØÛÒ Ü ÛÑ ØÛÒ ØÓÙ Ù¹ Ð Ö Ñ Ø ÕÖÓÒ Ñ Ð Ø ÛÑ ØÖ º ÌÓ ÔÐ ÓÒ ÔÖÓ ¹ Ò Ñ Ó Ò ÔÓÙ ÓÔÓ ÔÓØ Ý Ø Ò Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ Ô ÒÛ Ñ Ö ÑÑ Ø ÒÒÓ ØÓÙ Ñ Ø Ü º Ç Ù Ð ÕÖ ÑÓÔÓ Ð Ø ÙÔÓ Ô Ö Ø Ò Ø Ü ØÛÒ Ñ ÛÒ Ô ÒÛ Ñ Ø ¹ º È Ö³ Ð ÙØ Ø Ò Ò ØÖ ÔÓ Ò Ñ ôò Ø ØÓ Ö Ó ØÓÙ Ù Ð ØÓ ØÓÙ Ø Ö ÛÑ ËØ Ñ Ñ Ø ÔÓ Ó ÔÖ Ô Ò Ü Ò Ô Ò ÐÙØ Ø Ñ Ò ÖÕ Ò Ô Ö Ð Ø Ô Ñ Ò ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ô Ø ÖÕ ÙØ º º ÐÓ ³ Å ÖÓ Â Ñ Ð Ì ÓÙ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ Å ÖÓÙ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ò ÔÖôØ Ø ÛÖ Ñ Ø Ø Ø ØÖ ôòûò ØÓ Õ ô Ø Ù ÔÛ ÕÓØ Ñ ¹ ÛÒ ôò Ù Ù Ö ÑÑÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ ÙØ Ö Ù ÒØÛ ÔÓ ÔÖÓØ Ô Ö Ñ Ð Ø ÖÛÒ³ Õ ÛÒ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ Ò ØÖ ôòóù ÔÓÙ ÓÒØ Ø Ò ³ ½ ÓÖÙ ôòóòø Ñ Ø Ò ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø ³ ¾¼º ΚατάτονΑριστοτέλη,κανείςπροσπαθείνααποδείξειαξιώματαμόνοναπόαδημοσύνη. Σανπαράδειγμα,οΠρόκλοςπαραθέτειτηνακόλουθη απόδειξη τουαπολλωνίου,τηςκοινής έννοιας1:αςείναι A = Bκαι B = C. Λέγωότι A = C. Διότι,εφ όσον A = B,τα A, B καταλαμβάνουντονίδιοχώρο,καιεφ όσον B = Cτα B, Cκαταλαμβάνουντονίδιοχώρο. Άρα A = C. Ηαπόδειξηαυτήεμπεριέχειτιςεπιπλέονυπόθεσειςότια) A = Bανκαιμόνοεάντα A, B καταλαμβάνουντονίδιοχώροκαιβ)πράγματαπουκαταλαμβάνουντονίδιοχώρομεκάποιο άλλοπράγμακαταλαμβάνουνκαιτονίδιοχώρομεταξύτους. Μεάλλαλόγιαπροσπαθείται ναεξηγηθείτοπροφανέςμεκάτιπερισσότεροομιχλώδες,αφούοχώροςείναιμίαποσότητα πιο δύσκολη απότακαθεαυτάπράγματατουίδιουτουχώρου. Τούτηηκοινήέννοιανομιμοποιείτηνχρησιμοποίησητηςεναπόθεσηςγιατηναπόδειξη τηςισότηταςδύοσχημάτωνπουέχουντααναγκαίαμέρηαντίστοιχαίσα.

5 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ½ Ç ÖÕ ÔÖÓØ ÕÒÓÙÒ ÔÛ Ø Ù Þ Ø Ò ÔÐ ÙÖÓ ØÖ ÛÒÓ ÔÛ ÒØ Ö ÓÙÑ ØÑ Ñ Ø ÕÛÖ Ò Ø Ñ Ø ÒÓ Ñ º Ç Ð ÔØ Ø Ù Ø ³ ¾ ÞÓÒØ Ù Û Ø Ü ôñ Ø ½ ¾ º À ÈÖ Ø ³ Ò ØÓ ÔÖôØÓ Ñ ÒØ ôö Ñ ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ø Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÛÒ º ÈÖ Ø ³ Ò Ó ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÙÔ ØÛÒ ÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÛÒ ÒØ ØÓ Õ ½¼ Ø Ø ÕÓÙÒ Ø Ø Ó ØÖ¹ ÛÒ Ò Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ Ó ÔÐ ÙÖ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ º ³ ØÛ Ó ØÖ ÛÒ Ø ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ð Ø Ò Ñ Ø Ò Ø Ò Ñ Ø Ò º à ØÛ Ø ÛÒ Ò Ñ Ø Ò º Ä Û Ø Ò Ñ Ø Ò ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Ñ Ø Ò º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÈÖ Ò Ô Ñ Ø Ò Ô Ü Ü Ø ÓÙÑ ÓÖ Ñ Ò Ø Ö Ø Ø ØÓÙ ØÖ ÔÓÙ Ö ØÓÙ Ù Ð º È ÒØ Ø Ø ÛÖ Ñ Ø ØÓÙ Ñ Ó ØÖ ÔÓÙ ÖÕ Ñ Ò Ð Ñ Ñ Ø Ö ÓÖ Ø Ò ÓÒØ Ñ Ö ÑÑ ÛÒ ºÓº º Ñ ÓÖ Ö ÑÑ Ø º ½½ ÈÓÐ ÙÕÒ ØÓ ôö Ñ ½¼ Αντίτου μίαπροςμία πουαντιστοιχείστοευκλείδειο εκατέραεκατέρα προτιμούμε στοεξήςτοαντίστοιχα. ½½ Αυτόγίνεταικαιστιςμέρεςμας: Θεώρημα: Μίασυνεχήςπραγματικήσυνάρτησηαπεικονίζεικλειστάδιαστήματασεκλειστάδιαστήματα. Εστω [a, b]ένακλειστόδιάστημακαι f : [a, b] Rμίασυνεχής...

6 ¾¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÙÒÓ Ø Ô Ø ÐÐ ÐÓ Õ Ñ º Å Ù Ö Ñ Ò Ö ÕÖ Þ Ô Ö Ø ÖÛ Ô Ü ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º ÔÐô Ñ Ò Ø Ø ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ ØÓ Ó Ñ Òº Ç Ù Ð ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ð Ü Ñ Ò Ñ ÒÓ Ô Ö Ø º ½¾ Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º Ø Ò ØÓ ØÖ ÛÒÓ ÖÑÓ Ø ½ Ô ØÓÙ ØÖ ôòóù ØÓ Ñ Ó Ø ØÓ Ñ Ó Ù Ô Ø Ò Ø Ø ØÓ Ñ Ó ÖÑ Þ Ô ØÓ Ñ Ó Ó Ò Ñ Ø Ò º ³ Ø Ô ÖÑ Þ Ô Ø Ò Ù ÖÑ Þ Ô Ô Ø Ò Ð Û ØÓÙ Ø ÛÒ Ò Ñ Ø Ò º ³Ï Ø ØÓ Ñ Ó ÖÑ Þ Ô ØÓ Ô Ø Ò Ñ Ø Ò º ÐÐ ØÓ Ñ Ó ÖÑ Þ Ô ØÓ ô Ø ÖÑ Þ Ô Ø º Ø Ò ØÓ ÖÑ Ô ØÓ ØÓ Ô ØÓ Ò ÖÑ Ô Ø Ò Ø Ø Ó Ù Ö ÑÑ Ô Ö ÕÓÙÒ Ñ Ò ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ò ØÓº ½ ³ Ö ÖÑ Ô Ø Ò Ò Ñ ÙØ Òº ³Ï Ø ÐÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ ÖÑ Ô ÐÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ÙØ Ó ÐÓ Ô ÛÒ ÖÑ ÓÙÒ Ô Ø ÐÓ Ô ÛÒ Ò Ñ ÙØ Ð Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò º Ò Ö Ó ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÙÔ ØÛÒ ÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÛÒ ÒØ ØÓ Õ Ø Ø ÕÓÙÒ Ø Ø Ó ØÖ ÛÒ Ò Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ Ó ÔÐ ÙÖ ÙÔÓØ ¹ ÒÓÒØ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ö Ü º ½ ½¾ Οι Ελληνεςήξερανπολύκαλάναμετρούντιςγαίεςτους, καιήξερανεπίσηςότιοι φοροεισπράκτορεςτουφαραώμετρούσανταχωράφιατωναιγυπτίωναγροτώνμετρόποπου δενήτανκαθόλουπροςόφελοςτωντελευταίων. Σταμαθηματικά,αποφεύγουντηνέννοια του εμβαδού προτιμώνταςφράσειςόπωςτηνπαραπάνω,δηλαδή, τοορθογώνιοείναιίσομε τοορθογώνιο κ.ο.κ. ½ εναποτεθεί. ½ ΛόγωτουΑξιώματος1. ½ =τοοποίοέπρεπενααποδειχθεί.οευκλείδηςχρησιμοποιείτηνφράσηαυτήστοτέλος όλωντωναποδείξεων.οόροςχρησιμοποιείταιαυτούσιοςωςτιςμέρεςμαςκαιστοεξήςθα γράφουμεαπλώςο.ε.δ.

7 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ¾½ ËÕ Ð Ô ÒÛ Ø Ò Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ À Ñ Ó Ó Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ Ò ÔÐ Ö ÒØ ØÓÐ Ñ Ø Ð ÔØÓÑ Ö ÔÓ Ü ØÛÒ ÔÖÓØ ÛÒ ³ ½ º Ô³ Ø Ð ÔÓÙÑ Ó Ù Ð ÔÐô Ò ÔÓ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ô ØÓÙ ØÖ ôòóù Ñ ØÖ ÔÓ ô Ø ØÓ Ò Ø Ô ØÓÙ ØÓ Ô ØÓÙ ØÓ Ô ØÓÙ Ô ÔÖÓ ÔØ ØÓ ÙÑÔ Ö Ñ º Ô Ø Ñ ÔÐ ÙÖ Ñ Ó Ó Ø Ò Ô Ò Õ ÑÑ Ø Ù Ð Ü ôñ Ø ÐÐ Ô Ø Ò ÐÐ ÔÖ Ø ØÔÓØ Ò Ò Ø ÕÛÖ Ø Ö Ø Ö Ø Ø ØÖ ôòûòº ËØ Ò ÈÖ Ø ³ ÓÐÓÙ Ø Ñ Ó¹ Óµº ÇÙ Ø ÙØ ÔÓÙ Ð ÔÓÙÑ ô Ò ÐÐÓ Ò ÜÛÑ º Ë ÕÖÓÒ Ü ÛÑ Ø Ñ Ð Ø Ô ØÓÒ ÉÐÑÔ ÖØ ÐÐÓÙ Ø Ü Ò Ø Ò ÙÔ ÖÕ ØÖ ÔÓ Ò Ü Ô Ö Ø ÙØ ØÓ ÐÐ Ñ Ø ÈÖÓØ ³ ÔÖ Ô Ò Ò ÜÛÑ ½ ÔÖ Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ø Ò Ò Ô ÔÓ ÓÕ ÔÓÙ Þ Ø Ò Ø Ñ Ô ÖÜ ÔÓ ÛÒ Ø Ö ôò Ò ÛÒ ØÓÙ Ô Ô ÓÙº ËØÓ Ô Ñ ÒÓ Þ Ó ÔÖÓØ ÛÒ ³ Ó Ù Ð ÔÓ Ò Ò Ñ ¹ Ð ô Ð ÑÑ Ô Ö Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÙÕÒ Ø Ð ³ سº ÈÖ Ø ³ ½ Ç ÔÖ Ø Ò ÛÒ ØÛÒ Ó ÐôÒ ØÖ ôòûò Ò º º º ½ ³ ØÛ Ó Ð ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÔÓÙ Õ Ø Ò ÔÐ ÙÖ Ñ Ø Ò ÔÐ ÙÖ º º º Ð Û Ø ÛÒ Ò Ñ Ø Ò º º º ÈÖ Ø ³ ½ Ò Ó ÛÒ ØÖ ôòóù Ò Ø Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ô Ø ÛÒ Ò º Ø Ò Ô Ü Ó Ù Ð Ø Ù Þ Ó ØÖ ÛÒ À ³ ØÛ ØÙÕ Ó Ñ Ó Ô ÒÛ Ø Ò ØÛ À Ò Õ Ö Ô Ø Ò Ò Ò Ñ Ø Ò º ÒôÒÓÙÑ Ø Ù À º ½ ΟπωςπροτείνειοΡάσσελστα Principia Mathematica. ½ ΣύμφωναμετονΠρόκλο,ηαπόδειξηαυτήςτηςπρότασηςοφείλεταιστονΘαλή. Μία προ Ευκλείδειααπόδειξηπουχρησιμοποιεί μεικτέσ γωνίεςκαιοφείλεταιστοναριστοτέλη παρατίθεταιστον Heath, vol. I II, p.252. ½ Παραλείπουμετοεπόμενοσυμπέρασμαπουλέειότικαιοιεξωτερικέςγωνίεςείναιίσες. ½ Είναιηαντίστροφητηςα 5.

8 ¾¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ËÕ Ñ º¾ ÈÖ Ø ³ º ËØ Ô Ñ Ò Ó Ñ Ø ÕÒ Ø ÔÖôØ Ø Ø ØÛÒ ØÖ ôòûò À ØÓÙ Ö Ø ÖÓÙ Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÛÒ Ñ Ø Ô Ð Ô ØÓ Ó Ö Ø Ö Ó Ø Ø À ½º ³ ÕÓÙÑ À À Ô Ø Ù Ö À Ø Ö À À º ¾º Ô Ø Ù ÕÓÙÑ Ø À Ô ÔÐ ÓÒ Ò Ó Ò ÔÐ ÙÖ Ô ØÓ ½µ ÕÓÙÑ À Ö Ô ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö ÕÓÑ Ò ÛÒ ÔÖÓ ÔØ À º Ã Ø Ð Ó Ù Ð Ò Ó ØÖ ÛÒ ÕÓÙÒ Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÒØ ØÓ Õ Ø Ô Ö Õ Ñ ¹ Ò Ô Ø Ù ÛÒ ÒØ ØÓ Õ Ø Ø ÕÓÙÒ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø Ó ØÖ ÛÒ Ò Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ó ÓÔÓ ÙÔÓØ ¹ ÒÓÒØ Ô Ø ÔÐ ÙÖ Ò Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ ÐÓ Ô ÛÒ Çº º º º ÜÞÓÙÒ Ò ÕÓÐ Ó Ò Ó Ó Ô Ö ØÛ ØÖ ÔÓ Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º À ÔÖôØ Ó Ð Ø ØÓÒ ÈÖ ÐÓ ÔÓÙ ÛÖ Ñ Ô ÒÛ Ø ÒØ ØÓ Õ ÒØ Ò ÔÖÓ Ø Ò Ø º Ã Ø Ø ÐÐ ÓÐÓÙ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Ù Ð º Ç È ÔÔÓ Ø Ò Ô Ö ØÛ Ò ÖÓÙ Ô Ü Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º

9 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ¾ ³ ØÛ Ò Ó Ð ØÖ ÛÒÓ ÔÓÙ Ò Ñ Ø Ò º ÛÖ ÓÙÑ ÙØ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Û Ó ØÖ ÛÒ Ô Õ Ö Ñ ØÓÐÓ Ó Ñ Û Ü Ó Ó Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø º Ô Ø Ò º ³ Ö Ð Ø ÒØ ØÓ Õ Ñ Ö ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ô Ö ô Ø Ó ÔÐ ÙÖ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ô Ø ÙØ Ø ÛÒ º ³ Ö Ó Ô Ö Ø Ò ÛÒ Ó ÐÓ ØÖ ôòóù Ò Çº º º º º½ ÈÖÓØ ³ ½ ËØ ÈÖÓØ Ó Ù Ð ÔÓ Ò ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ø ØÛÒ ØÖ ôò ÔÐ ÙÖôÒ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò Ñ Ó Ó Ø Ò Ô Ø Ö ÓÖ º Ç ÈÖÓØ ½ Ò ÖÛÑ Ò Ø Ó Ò Ø Ù ÔÖÛØ ÖÕ ÔÖÓØ Ø Ô Ô ÓÑ ØÖ ÕÓØ Ñ ÛÒ ôò Ù Ö ÑÑÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ Ø Ù Ñ Ó ØÛÒ Ô Ö ÔÐ ÖÛÑ Ø ôò ÓÖ ôò ÛÒ ôòº ÈÖ Ø ³ ½ º Ò ÔÓ Ô Ø ÔÐ ÙÖ ØÖ ôòóù ÔÖÓ Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ Ð Ø Ö Ô Ñ ØÛÒ ÛØ Ö ôò Ô Ò ÒØ ÛÒ ôòº Á ÕÙÖ Ñ º α = < δ = º Ã Ø Ù º ÕÓØÓÑÓ Ñ Ø Ò ØÓ ÖÒÓÙÑ Ø Ò Ø Ò ÔÖÓ Ø ÒÓÙÑ Ø ô Ø ÒôÒÓÙÑ ØÓ Ñ ØÓ ØÛ α = º Ô Ü ½º ÌÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ Ô ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö Õ Ñ Ò ÛÒ º ³ Ö α = α ¾º ÐÐ α Ò Ñ ÖÓ Ø δ. ³ Ö α = α < δ Ô Ø Ò Ó Ò ÒÒÓ Çº º º Ò Ó Ù Ð Õ Ø ØÓÙ Ø ÛÖ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ÙØ ØÓ Ñ Ó ÈÖ Ø ³ ½ ÔÖÓ ÙÔØ Û Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ô Ö Ñ Ø ÈÖ Ø ³ ¾ Ô Ö ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÖ ôòóù Ð ÔÓÙÑ ÑÛ Ô Ó ÔÖÓ ¹ Ø ÔÖÓÕÛÖ º ÙÞ Ø ÓÙÑ ÙØ ØÓ Ñ Ó Ø ÒÒ Ø Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ ½ Ñ Ø Ò Ó ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒº

10 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º À Ô Ü Ò ÔÖ Ñ Ø Ù Ù º à ÔÓ Ó ÑÔÓÖ Ò ÔÛ Ó Ù Ö Õ Ø Ò ÔÐ ÔÖÓ Ø Ø Ò ØÓ Õ Ñ º Ò Ð ÔÓÙÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ô Û Ô Ø Ò Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ ½ º Ë ÙØ ØÓ Ø Ó ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÕÓÙÑ α = α Ø ÑÒ Ø Ó Ô Ö ÐÐ Ð º Ô ÔÐ ÓÒ ØÓ Ò ØÓ Ñ Ó ØÓÑ ØÛÒ ÛÒÛÒº È Ö³ Ð ÙØ ÙØ Ò ÓÙ Ø Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ Ò ÙÒ Ø Ò ÔÓ ÓÙÑ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ØÓ Ö Ø Ö Ó Ø Ø ³ º ¾¼ Ô Ø Ò ÐÐ ÙÔ ÖÕ Ò Õ Ñ Ø Ò Ô Ü º Ç ÕÙÖ Ñ Ø α Ò Ñ ÖÓ Ø δ Ò ÓÐÓ Ø Ô Ø Ü ôñ Ø º Ô ÔÐ ÓÒ ÔÖ Ø Ò Õ ÐÐ ÛÑ ØÖ ÔÛ ÐºÕº Ö º ¾½ ¾¼ ΗεπιδεξιότητατουΕυκλείδηφαίνεταιαπότηνικανότητάτουνασυνδέσειτηνα 16μετο σημαντικόθεώρημαα 20,τηντριγωνικήανισότητακαιτηνα 27,τηνύπαρξητωνπαραλλήλων ¾½ ΟΜενέλαος, πουέγραψεπερίσφαιρικήςγεωμετρίαςτο100μ.χ. σίγουραήξερετο φαινόμενο.

11 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË Â Åï ÄÁ ¾ º º¾ ÈÖÓØ ³ ½ ¾¼ À ÈÖ Ø ³ ½ Ò Ô Ö Ñ Ø ³ ½ º È Ð Ò Ñ Ò ÓÕ Ø ³ ¾ Ô Ö ØÓÙ ÖÓ Ñ ØÓ ÛÒ ôò ØÖ ôòóù ÈÖ Ø ³ ½ º ÌÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÛÒ ôò ØÖ ôòóù Ò Ñ Ö Ø ÖÓ Ô Ó ÓÖ Ñ ÔÓ Ó ØÖ ÔÓ Ò ÙØ Ð Ó Òº ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º À ÈÖ Ø ³ ½ Ñ Ð Ø ØÖ ÛÒÓ Ñ Ð Ø Ö ÔÐ ÙÖ Ù¹ ÔÓØ Ò Ø Ñ Ð Ø Ö ÛÒ ³ ½ Ò ÒØ ØÖÓ Ø º ÙØ Ó ÔÖÓØ Ó Ó Ò Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø ÈÖ Ø ³ ¾¼º ÌÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÔÐ ÙÖôÒ ØÖ ôòóù Ò Ô ÒØ Ñ Ð Ø ÖÓ Ô Ø Ò ÐÐ ÔÐ ÙÖ Ñ ÔÓ Ó ØÖ ÔÓ Ò ÙØ Ð Ó Òº ËÕÓÐ Þ Ó ÈÖ ÐÓ Ç Ô Ó Ö Ó ÔÓÙ ÐÓÙÒ Ò ÐÓ ÓÔÓ ÓÙÒ ÙØ ØÓ ôö Ñ Ð Ò Ø Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÖÓ Ò ÕÖ Þ Ø Ô Ü º º º ØÓ ÙÑÔ Ö ÒÓÙÒ ÙØ Ô Ø Ò Ô Ö Ø Ö Ø Ò ØÓ Ø ÕÙ ØÓÔÓ Ø ØÓ Ò ÖÓ Ñ ÔÐ ÙÖ Ò Ô Ò Ñ ÒÓ ÖÓ ÔÓÙ Ö Ø ØÓ ÐÐÓ ÖÓ Ø ÔÐ ÙÖ Ô ÖÔ Ø Ô ÒÛ Ø Ò ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ Ö Ø Ò Ô ØÓ Ø ÕÙ Ñ Û ØÛÒ Ó ÐÐÛÒ ¾¾ ¾¾ ΟισημερινοίΕπικούρειοιθαμπορούσανίσωςναπροσθέσουνκάτιγιααυτούςπουδιασχίζουντογρασσίδιγιασυντομία,κατάτοντρόποτουγαϊδάρου...

12 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ç ÈÖ ÐÓ Ô ÒØ Û Ø Ø Ñ ÔÐ ÒØÐ Ý Ø Ð Ò ÔÓ¹ Ø Ð Ô Ø ÑÓÒ Ô Ü º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ Ø Ù Ð ÛÑ ØÖ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø ÑÔÓÖ ÔÖ Ñ Ø Ò Ô Ö Õ Ô Ø ÐÐ Ü ÓÙ ÐÓ Ü ôñ Ø º Ô Ø Ò ÐÐ Ó Ô Ó Ö Ó Ö ÞÓÙÒ Ø Ò ÕÖÓÒ ÛÖ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò ÕôÖÛÒ ÔÓÙ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø Ò ØÓ Ñ Ð ô ÜÛÑ ØÓÙ ÐÓÙ Ó Ó ÓÑ Ñ ØÓº º º ÈÖÓØ ³ ¾½ ¾ º ÌÖ Ô Ø Ò ÔÓÑ Ò ÔÖÓØ ØÓÙ Å ÖÓÙ ÓÖÓ Ò Ø ÓÐ Õ Ñ Ø Ü ÔÐ ÙÖôÒ ÛÒ ôò Ò ØÖ ôòóù ¾½ ¾ ¾ º À ÈÖ Ø ³ ¾¾ Ø Ò Ø Ù Ò ØÖ ôòóù Ô Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÙÔ Ø Ò ÙÒ Ø Õ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø º Ç Ù Ð ØÓ ÕÖ ÑÓÔÓ ÙØ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ Ò Ü ÔÛ ÒØ Ö ÓÙÑ Ñ ÛÒ º Ì ÙÔ ÐÓ Ô Ö Ø Ö Ø Ø ØÖ ôòûò ÔÖÓ ÓÐÐôÒØ Ø Ò ³ ¾ Û Ò Ó Õ Ð ÖÓ ÖÓÙº º ÐÓ ³ Å ÖÓ Â ÛÖ ØÛÒ Ô Ö Ð¹ Ð ÐÛÒ Ä Ó ÇÖ Ñ ³ ¾ ØÓÙ Ù Ð Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ù ¾ È Ö ÐÐ Ð Ò Ó Ù Ó ÓÔÓ Ò ØÓ Ó ÔÔ Ó ÔÖÓ Ø Ò ¹ Ñ Ò Ô ÖÛ ¾ Ô Ø Ó Ñ Ö ¾ Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ò Ò Ô ÙØ Ø Ñ Ö µº ËÕ Ø Ñ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò ØÓ Ô Ö ÑÓ Ó Ø Ñ ¾ ÜÛÑ º Ã Ò Ñ Ù ÑÔÔØ ¾ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ¾ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò ¾ Ò Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÛÒ ¾ ΚατάτονΑριστοτέλη,παράλληλεςευθείεςείναιαυτέςπουδεντέμνονται.Γιαδιάφορους άλλουςορισμούς,αρχαίουςκαισύγχρονους,παραπέμπουμεστον Heath, Vol I,σελ.190. ¾ ΟΕυκλείδηςλέγειεκβαλλόμεναιειςάπειρον.Δενμεταφράζουμεόμωςπροεκτεινόμενες στοάπειροδιότιτότεθαπρέπειναορίσουμετο άπειρο. Ημετάφρασήμαςαπλώςσημαίνει απεριόριστα. ¾ Δηλαδήαπόκάθεμίακατεύθυνση. ¾ ΤοΚεφάλαιο4πουακολουθείείναιαφιερωμένοστηνιστορίατου5ουΑιτήματος. ¾ =διασχίζει,τέμνει.σταεπόμεναδιατηρούμετοευκλείδειο εμπίπτει αντίτου τέμνει. ¾ ΟΕυκλείδηςδενγράφειτηνλέξη άθροισμα αλλατηνεννοείσαφώς. ¾ Αφήνουμεαμετάφραστοτπ εντόςκαιεπίτααυτάμέρηγωνιών αντίτου εσωτερικών

13 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Êï ÄÄÀÄ Ë ¾ Ó ÓÖ ôò Ø Ø Ø Ò Ô Ö ÔÖÓ Ø ØÓÙ Ó Ó Ù Ø ÑÒÓÒØ Ô ØÓ Ñ ÖÓ ÔÓÙ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÛÒ Ó ÓÖ ôòº Å Ó Ò Ñ ÓÕ ØÓÙ ÓÙ Ø Ñ ØÓ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø Ò ¹ ÕÖÓÒ ÛÑ ØÖ ÑÔÓÖ Ò ØÙÔÛ Û Ü ³ ØÛ Ù Ñ Ó Ë Ø ÙØ º ÍÔ ÖÕ ÑÓÒ Ù ³ ÔÓÙ ÖÕ Ø Ô ØÓ Ë Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º À Ò ØÓÙ Ù Ð Ò ØÓ Ó Ø Ñ Ø Ò Ò ÔÓ Ü Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ º ÈÖ Ò Ô ÙØ Ò ÔÓ Ò Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ º ¼ Ò Ñ Ù ÑÔÔØ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø Ó Ò ÐÐ Ü ½ Û¹ Ò ¾ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ó Ó Ù Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ü ØÓÙº Ø Ò Ò Ó Ù Ò ÑÔÔØÓÙ Ø Ø Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº Ä Û Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º Ô Ü Ø Ò Ò Ø Ò ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ó ÙÑÔ ÓÙÒ Ø Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ Ô ØÛÒ º ÔÖÓ Ø Ó Ò ÙÑÔ ÓÙÒ ØÓ À Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ º καιαπότοίδιομέροςγωνιών. ¼ ΗΠρότασηαυτήόπωςκαιηακόλουθηα 28ήτανγνωστέςστονΑριστοτέλη. ½ Προφανώςεννοείτιςεντόςεναλλάξ ¾ Απότηνδεύτερηεκφώνησηπουακολουθεί,φαίνεταιότιεννοείτιςεντόςεναλλάξγωνίες. ΟΝτεΜόργκανπαρατήρησεότιηΠρότασηα 27είναιλογικάισοδύναμητηςΠρότασης α 16: ΕστωΑηπρότασηευθείεςσχηματίζουντρίγωνομεμίαεμπίπτουσακαιΒηπρότασηευθείεςσχηματίζουνγωνίεςμεμίαεμπίπτουσαστοίδιομέροςπουτοάθροισματων εσωτερικώνγωνιώνείναιμικρότεροαπόδύοορθές,έχουμε τουοποίουτολογικόισοδύναμοείναι A = B όχι B = όχι A. ΛόγωτουΟρισμού23.

14 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾ º Ì Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ À ÜÛØ Ö ÛÒ ÔÖ Ô Ò Ò Ñ Ø Ò ÛØ Ö Ô Ò ÒØ ÛÒ À ÔÖ Ñ Ò ØÓº ³ Ö ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ò Ó Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ º ³ÇÑÓ ÑÔÓÖ Ò Õ Ø Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ô ØÓ Ñ ÖÓ ØÛÒ º ÐÐ Ù ÔÓÙ Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ô Ò Ò Ñ ÖÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º ³ Ö Ò Ñ Ù Ø ÑÒ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ø Ø Ó Ó Ù Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ü ØÓ٠Ǻ º º À ÈÖ Ø ³ ¾ Ò Ñ ÕÖ Ñ Ô Ö ÐÐ Ø ¾ ÈÖ Ø ³ ¾ º Ò Ñ Ù ÑÔÔØ Ó ÐÐ Ù Ø ô Ø Ó ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ø Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò Ò Ó Ñ Ó ÓÖ Ø Ø Ó Ó Ù Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ü ØÓÙº ÌÓ Ó ÜÛÑ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ØôÖ Ø Ò Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ ¾ º ÈÖ Ø ³ ¾ º À Ù ÔÓÙ ÑÔÔØ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ø Ò Ø Ñ Ø Ò ÒØ Ô Ò ÒØ Ø ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò Ó Ñ Ó ÓÖ º Ø ØÛ Ø Ù ÑÔÔØ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ð Û Ø Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ À ÀÂ Ø Ò Ø ÛÒ À ΑπότηνΠρότασηα 16.

15 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Êï ÄÄÀÄ Ë ¾ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾ º Ñ Ø Ò ÒØ Ô Ò ÒØ ÛÒ ÀÂ Ø ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò À ÀÂ Ó Ñ Ó ÓÖ º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾ º Ô Ü º Ø ØÛ ÓØ Ó ÛÒ À ÀÂ Ò Ò º Ì Ø Ñ Ô ÙØ Ò Ñ Ð Ø Ö º ³ ØÛ Ø Ñ Ð Ø Ö Ò Àº ³ ØÛ Ø À ÔÖÓ Ø Ø Ø Ó Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ ÖÓ Ñ

16 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ØÛÒ À À º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ò Ñ Ö Ø ÖÓ Ô Ó ÓÖ º Ç Ù ÔÓÙ ÔÖÓ Ø ÒÓÒØ Ô ÖÛ Ô ÛØ Ö ÛÒ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ØÓ ÖÓ Ñ Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÛÒ Ó ÓÖ ôò ÙÑÔÔØÓÙÒº ³ Ö Ó Ô Ö ÔÖÓ Ø ØÛÒ ÙÑÔ ÓÙÒ ÐÐ Ò ÙÑÔÔØÓÙÒ Ø ÙÔÓØ Ø ÙØ Ò Ô Ö ÐÐ Ð º ³ Ö Ò Ò Ò Ó À ÀÂ Ö Ò º ÐÐ ÀÂ Ò Ñ Ø Ò À À Ò Ñ Ø Ò À º ÈÖÓ Ø Ø Ø Ó ÀÂ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À Àµ Ó Ø Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÂÀ º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ó Ø Ñ Ó ÓÖ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ À ÀÂ Ó Ø Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö Ù ÔÓÙ ÑÔÔØ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ø Ò Ø Ñ Ø Ò ÒØ Ô Ò ÒØ Ø ÖÓ Ñ ØÛÒ ÒØ Ô Ø ÙØ Ñ Ö ÛÒ ôò Ó Ñ Ó ÓÖ Çº º º À ÈÖ Ø ³ ¼ ÕÒ Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÈÖ Ø ³ ½ Ü Ö ÙÒ Ø Ò Ø Ù Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ô Ò ÐÐ Ü ÛÒ º ÈÖ Ø ³ ¾º Ë ØÖ ÛÒÓ Ò Ñ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ø Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó Ô Ò ÒØ ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ ØÛ ØÖ ÛÒÓ ØÓ ØÛ Ø Ñ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ô ØÓ Ð Û Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÛØ Ö ôò Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º Ô Ü º Õ Ô ØÓ Ñ Ó Ù Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò º Ã Ô Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÑÔÔØ ÙØ Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº È Ð Ô Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÑÔÔØ ÙØ ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø Ò ÛØ Ö Ô Ò ÒØ º Λόγωτου5ουΑξιώματος. Πρότασηα 31. Πρότασηα 29. ό.π.

17 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Êï ÄÄÀÄ Ë ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ¾º ÐÐ Õ Ø Ò Ñ Ø Ò Ö Ð ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó ÛØ Ö ôò Ô Ò ÒØ ÛÒ ôò º ÈÖÓ Ø Ø ÙØ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ¼ ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö ØÖ ÛÒÓ Ò Ñ ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ÔÖÓ Ø Ø Ø ÜÛØ Ö ÛÒ Ò Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ó Ô Ò ÒØ ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ØÖ ôò ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ Ó ÓÖ Çº º º ÌÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò Ò ØÖ ôòóù Ò Ñ ÒØ Ø Ö Ñ Ð Û¹ Ø Ö Ò ÐÐÓÛØ Ø ÕÖÓÒ ÛÑ ØÖ º Ò Ü ÖØ Ø Ô ØÓ Õ Ñ ØÓÙ ØÖ ôòóù ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛÒ ôò ØÓÙ Ò Ô ÒØÓØ Ó Ñ Ó ÓÖ ½ ¼ ÑÓÖ πºµ ÌÓ ØÓ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø Ó ÙÕÒ ÔÓÙ Ø ÒÓÙÑ Ò Ð ÑÓ¹ ÒÓ Ñ Ø Ñ ØÓÙº Ç Heath Ö Ø ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÙØ Ò Ð Ø ÔÓÐ ÔÖô Ñ Ø Ø ÐÐ Ò ÛÑ ØÖ º Ø Ò ØÓÖ ØÓÙ ÕÓÙÒ Ö Ý Ó ÙØ Ó Ó ÈÖ ÐÓ Ó Ó Ò Ä ÖØ Óº ½ Å ÔÖôØ Ñ ÔÔØÛ Ò Ó Ø ÔÓ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ ÛØ Ö ôò ÛÒ ôò Ò ÙÖØÓ ÔÓÐÙ ôòóùº Ò ÙØ Õ n ÓÖÙ ÑÔÓÖ Ò ØÑ ¼ Πρότασηα 13 ½ Βλ. Heath, Vol. I, p

18 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ n 2 ØÖ ÛÒ Õ ÖÓ Ñ ÛÒ ôò Ó Ñ 2(n 2) ÓÖ = (n 2)πµº ¾ À ÈÖ Ø ³ ¾ Õ Ö Ø Ö Ô Ü Ö ÐÓ Ø ÐÓ Ó º Ò Ö Ó ÑÑ ÒÓÙ Ð Ã ÒØ Ø Ò ÃÖ Ø ØÓÙ Ã ÖÓ Ä ÓÙ Ø ÔÖ Ø ÙØ Ò Ô ÑÔØÓÙ ÙØÓ ÔÓÙ Ð ÙÒ Ø ØÛÒ ÔÖÓØ ÖÛÒ Ö Ð Ò Ò ÙÑÔ Ö Ñ Ô ÐÙØ Ø Ø Ò Ü ÖØ ØÓ Ø ÑÔ Ö ÔÓÙ ÔÖÓ Ø Ø Ò Òô Ñ º Ç ÓÑÔ ËØ Ò Ö ½ ½ µ Ö Ñ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ô ÖÖÓ Ø ÈÖ Ø ³ ¾º ÉÖ ÑÓÔÓ ØÓÒ Ø ÔÓ (n 2)π Ò ô Ñ ÔÐ Ô Ü ØÓÙ Ø ÔÓÙ ØÓÙ ³Ç ÙÐ Ö Ø ÙÖØ ÔÓÐ Ö Ò Ò Ø ØÓ Ó ÔÓÐ ÖÓ Õ K ÓÖÙ A Ñ E Ö Ø Ø K + E A = 2. ËÙÒ Ôô ÔÐ Ò ÐÐÓÛØÓ ØÛÒ ØÖ ôòûò ÔÖÓÕÛÖ Ø Ó Ñ ÖÙ Ó Ñ ¹ ÕÖ Ø Ò Ô Ü Ñ ØÛÒ ÔÐ ÓÒ Ñ ÒØ ôò Ò ÐÐÓ ôøûò Ø Ò ÕÖÓÒ Ð Ö ØÓÔÓÐÓ Ø Õ Ö Ø Ö Ø ³Ç ÙÐ Ö Ø Ò ÔÖôØ Ò Ø Ô ÖÔØÛ ØÛÒ ÙÖØôÒ ÔÓÐÙ ÖÛÒº º ÐÓ ³ Å ÖÓ È Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ñ ØÓÙ ËØÓ Å ÖÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ö ÓÙÑ Ñ Ù Ø Ñ Ø Ñ Ð Ø ØÛÒ Ù Õ Ø ¹ ÛÒ ØÛÒ ÒÒÓ ôò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ØÓÙ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ º Ç Ù Ð ÓÖÞ ÖÛÒ ôò Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ Õ Ñ Ø ØÓÒ ÇÖ Ñ ¾¾ ÐÐ Õ Ø Ô ¹ Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ô ÞÓÙÒ ÙØ ØÓ Å ÖÓº ÒØ ÙØ Ø Ñ Þ Ñ Ø ØÓÙ Ø Ø Ø ÙÑÑ ØÖ Ø ÈÖÓØ º ÈÖ Ø ³ º Ç Ù ÔÓÙ ÙÒ ÓÙÒ Ô Ø ÙØ Ñ Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ù Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ô Ö ÐÐ Ð º ¾ ΑυτόαποδεικνύεταιαπότονΠρόκλοστασχόλιάτουστηνΠρότασηα 32. Μάλιστα προσθέτει:..ηιδιότηταότιτοάθροισματωνεσωτερικώνγωνιώνισούταιμεδύοορθέςείναι μίαουσιαστικήιδιότηταγια(χαρακτηρίζει)ένατρίγωνο. Οόροςουσιαστικήιδιότηταείναι αριστοτέλειος. ΣύμφωναμετονΠρόκλο,ηπρότασηαυτήείναιοσυνδετικόςκρίκοςτηςθεωρίαςτων παραλλήλωνκαιτηςδιαπραγμάτευσηςτωνπαραλληλογράμμων. Διότι,ενώμιλάμόνογια παράλληλεςκαιίσεςευθείεςπουσυνδέονταιεπίτααυτάμέρη,δίδει,χωρίςνατοεκφράζει

19 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ ³ ØÛ Ø Ó Ò Ô Ö ÐÐ Ð ØÛ Ó Ù ÔÓÙ Ø ÙÒ ÓÙÒ Ô Ø ÙØ Ñ Ö Ð Û Ø Ó Ò Ô Ö ÐÐ Ð º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º ÙÒ º Ã Ô Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò Õ ÑÔ ÙØ Ó Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº Ã Ô Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ò Ó Ò Ñ Ø º à ÛÒ Ò Ñ Ø º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ó ÐÓ Ô ÛÒ Ô Ø ÓÔÓ ÙÔÓØ ÒÓÒØ Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÐÓ Ô ÛÒ º ³ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø º Ã Ô ÑÔÔØÓÙ Ø Ó Ù Ò Ø Ò ÐÐ Ü ÛÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º Õ Ø Ò Ñ Ø Ò º ³ Ö Ó Ù ÔÓÙ ÙÒ ÓÙÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ø ÙØ Ñ Ö Ù Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ô Ö ÐРРǺ º º ÈÖ Ø ³ º ρητά,τηνκατασκευήτουπαραλληλογράμμου. Ετσι,στηνεπόμενηακριβώςπρόταση,αναφέρει παραλληλόγραμμαχωρία χωρίςκαμμίαάλληεξήγηση.

20 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ç Ô Ò ÒØ ÔÐ ÙÖ Ó Ô Ò ÒØ ÛÒ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙ Ñ ØÖÓ Ø ÕÓØÓÑ º ³ÇÔÛ Ð ÔÓÙÑ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ó Ù Ð Ñ Ð ô ѹ ÕÛÖ Ò Ò Ö Ø Ò Ð Ü ÙØ ÙØ Ó Ø ô ÐÐ Ó Ø Ø Ô Ñ Ò ÔÖÓØ º ËØÒ Ñ Ö Ò ØÓÙ ÞÛ Ó ³ ÐÐ Ò Ñ ØÖÓ Ò Ø Ô Ö ÓÙ ØÓÙ ÐÐÛ Ø Ð Ü ÛÑ ØÖ Ñ Ò Ö ô ÙØ Ð ÔÖÓ ÖØÓ Ò Ò Ò Ö Ñ ÔÓ Ó Ù Ö Ñ ÒÓ ÔÓÐÙ ÛÒ µ Õ Ñ º ËØ Ñ Ñ Ø Ü ÖÓÙÑ Ø ÙØ Ò Ò ØÔÓØ ÐÐÓ Ô Ñ ÙÒ ÖØ ÑÓÐ ¹ Ø Ø ÒÒÓ Ø ÙÒ ÖØ Ò Ü Ò Ø ËØÓ Õ º Ç Ù Ð Ò Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ñ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ò Ò ÓÙ Ø ÔÓÙ ÔÓÙ Ö ¹ Þ Ò Ò ÕÓÑ ÒÛ ÔÓ ÙÒ ÖØ º Ä Ó Hartshorne ØÓ Ã º Áº ØÓÙ ÐÓÙ ØÓÙ The Theory of Area Ô ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ù Ð Ø Ò ÒÒÓ ØÓÙ Ñ Ó ÙÒ Ø Ø Ø Ò ÛÖ Û Ñ Õ Ó ÙÒ Ñ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ó Ò ÒÒÓ º Ø Ö ½º ³Á ÕÛÖ ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓº ¾º Ò Ó ÕÛÖ ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ñ ÔÓ Ó ØÖØÓ Ø Ø ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓº º Ò Þ ÕÛÖÛÒ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÔÖÓ Ø Ó Ò Ø ØÖ ÔÓÒ ô Ø Ò Ñ Ò Ô Ð ÔØÓÒØ Ò Õ Ñ Ø ÓÙÒ Ñ Ð Ø Ö ÕÛÖ Ø Ø Ø ÔÖÓ ÔØÓÒØ ÕÛÖ Ò ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙº º ÌÓ Ó Ø Ò Ö Õ Ñ ØÛÒº Ë Ñ ÛØ ÓÒ Ø Ø Ø Ô Ö ¹ ÕÓÑ ÒÓÙ ØÛÒ ÖÓÙÑ ÒÛÒ ÕÛÖÛÒ Ò Ü ÖØ Ø Ô ØÓ ÔÓÙ ÖÓ ÒØ Ø ÕÛÖ ÙØ º ΟΕυκλείδηςλέγει τωνπαραλληλογράμμωνχωρίων καιμετονόροαυτόεννοείχωρία φραγμένααπόπαράλληλεςευθείεςμετονεπιπλέονπεριορισμόότικάτιτέτοιομπορείναισχύει μόνογιατετράπλευρασχήματα. Οόρος παραλληλόγραμμο είναιευκλείδειος,σύμφωναμε τονπρόκλο. =διαγώνιοςτουπαραλληλογράμμου.οόρος διάμετρος χρησιμοπιήθηκεπαντοιοτρόπως απότουςμαθηματικούςτηςαρχαιότητας. ΛέγειλόγουχάρηοΑπολλώνιοςστα Κωνικά : Σεκάθεκαμφθείσακαμπύλητουεπιπέδου,ονομάζωδιάμετροκάθεευθείαπουφερόμενηαπό τηνδοθείσακαμπύλη,διχοτομείόλεςτιςευθείες(χορδές)πουφέρονταιαπότηνκαμπύλη προςδοθείσαευθεία. Εδώκαμπύληείναι,όπωςλ.χ,στονΑρχιμήδη,κάθεσύνθετηγραμμή πουαποτελείταιαπόευθείεςκαικαμπύλεςπουσυνδέονταιμεοποιοδήποτετρόπομεταξύτους.

21 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ º ÀÑ ÕÛÖ ÕÛÖÛÒ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÕÓÙÒ Ó Ô Ö Õ Ñ ÒÓº º ÌÓ ÐÓÒ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ ØÓÙ Ñ ÖÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ñ Ò Ø Ò Ò ÕÛÖÓ Ô Ö Õ Ø ÔÐ ÖÛ Ò ÐÐÓ Ø Ø Ø Ó ÕÛÖ Ò ÑÔÓÖ Ò Ò ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙº ÈÖÓ ÔØ Ø ØÓ Ñ Ó ÙØ Ó Ù Ð Ñ Ò Ñ ÓÖ Ñ Ò ÒÒÓ ÙØ ØÓÙ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ø Ø Ø ÔÛ Ð Ó Ó ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ø Û Ò Ü ôñ Ø ÔÓÙ Õ Ö Ø ÖÞÓÙÒ Ø Ò ÒÒÓ ÙØ º ÈÖ Ø ³ º Ì Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ³ ØÛ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ø Ô ÒÛ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ ØÛÒ Ð Û Ø ØÓ Ò Ó Ñ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ º ËÕ Ñ º½¼ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü º ΑυτόχρησιμοποιείταιστηναπόδειξητηςΠρότασηςα 37. ΤούτοχρησιμοποιείταιστηναπόδειξητηςΠρότασηςα 39. ΟΠρόκλοςλέγει,ότιτούτηηπρότασηείανιτοπρώτοτοπικόνθεώρηματουΕυκλείδη: δηλαδήαναφέρεταισεγεωμετρικούςτόπους.τοσχόλιοτουπρόκλουείναισημαντικό,διότι,στονίδιο,τονευτόκιοκαιτονπάππομπορούμεμόνοναβασιστούμεγιατοοτιδήποτε είναιγνωστόαπότηναρχαιότηταπερίγεωμετρικώντόπων. Αλλάαςδούμετονορισμότου Πρόκλου:Καλώτόπονγραμμήςήεπιφανείαςθέσινποιούσανένκαιτοαυτόνσύμπτωμα.

22 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ø Ô ØÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ò Ñ Ø Ò º ØÓÒ Ó Ð Ó Ò Ñ Ø Ò º ³Ï Ø Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ò Ö Ð Ò Ñ Ð Ø Ò º Ò ÑÛ Ñ Ø Ò Ö Ó Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø º à ÒØ ÛÒ Ò Ñ Ø Ò Ø ÛÒ º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º Ö Ø ØÓ Ó Ò À ØÓ ÐÓ Ô ØÖ Ô Þ Ó À Ò Ó Ñ ØÓ ÐÓ Ô ØÖ Ô Þ Ó À Ò Ó Ò ØÓ À ØÖ ÛÒÓº ³ Ö ÐÓ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ò Ó Ñ ÐÓ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ º ³ Ö Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ø Ò Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓ٠Ǻ º º È Ö ÐÐ Ø Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ò ÈÖ Ø ³ º Ì Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº Ç ÈÖ Ø ³ ¼ Ð Ò Ô Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ø ØÖ ÛÒ ÈÖ Ø ³ ½ ÙÒ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ØÖ ÛÒ º ËØÓ Ñ Ó ÙØ ÛÖ ØÓÙ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ð ôò Ø Ó Ø Ù Ò º Ç ÔÖôØÓ Ð Ó Ó Ø Ù Ò ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ ÈÖÓØ ³ µ Ó Ø ÖÓ Ð Ó Ñ Û ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ¾ ØÓ Ñ ÒØ ÔÓØ Ð Ñ Ø ÈÖ Ø ³ ½ Ò ÙÒ Ø Ò Ø Ù Ø Ø ØÖ ÛÒÓ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ñ ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ ÕÛÖÓº ³À Ñ ÐÐ Ð Ç Ó ÔÓØ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ Ø ØÖ ÛÒÞ Ø º ËØ Ö ÑÑ ØÓÙ Ù Ð ÙÞ ØÓ Ñ Ô Ö ØÛ Ø ÈÖÓØ ³ ¾ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó ÙÒ Õ Ö ÓÒØ ØÓ ÐÓ ³º ÈÖ Ø ³ ¾º ΣύμφωναμετονΠρόκλο,οιΠροτάσειςα 35και36ανήκουνσεαυτόπουοιΑρχαίοι Ελληνεςονόμαζανο παράδοξοςτόπος υπότηνέννοιαότιφαίνεταιπαράδοξοστοναρχάριο ότιτοεμβαδόντουπαραλληλογράμμουπαραμένειαναλλοίωτο,ενώκάποιαμήκηπλευρών μπορούννααυξηθούναπεριόριστα!ο παράδοξοςτόπος,ή τόποςαναλυόμενος,ή τόπος αστρονομούμενος ήτανησυλλογήτέτοιωνπροτάσεων,σεαντιστοιχίαμεταδείγματατων Στωϊκών.

23 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ Æ Ø Ù Ø Ó Ù Ö ÑÑ ÛÒ ¼ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ó Ñ Ó Ò ØÖ ÛÒÓº À Ô Ü Ò Ö Ø ÓÐ º Ø ØÓ Ô Ö ØÛ Õ Ñ ÔÓÙ Ø ØÓ ØÓ Ò ØÓ Ñ ÓÒ ØÓÙ º ËÕ Ñ º½½ ÈÖ Ø ³ ¾º ÈÖ Ø ³ º Ë Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ø Ô Ö ÔÐ ÖôÑ Ø ½ ØÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑÛÒ ÖÛ Ô Ø ôò Ó Ò Ñ Ø Ü ØÓÙº ÌÓ Ô Ö ØÛ Õ Ñ Õ Ñ ½½µÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ü Ò Ü Ò Ø ËØÓ Õ Ø Ò ÓÖ Ó ôò ØÓÙ Ó º Å Ð Ø Ö Ø ÓÖ Ó Ù Ð ØÓ Ð ¼ ΗδοθείσαγωνίαθαείναιορθήστιςεπόμενεςεφαρμογέςτουΕυκλείδη. Γιααυτότο λόγο,μπορούμεκάλλισταναπεριοριστούμεσ αυτήντηνπερίπτωσηστιςεπόμενεςπροτάσεις. ΔηλαδήστιςΠροτάσειςα 43 45μπορούμενααντικαταστήσουμετα παραλληλόγραμμο και δοθείσαγωνία μετα ορθογώνιο και ορθήγωνία,αντίστοιχα. ΤοΒιβλίοβ ασχολείται μόνομεορθογώνια. ½ Οόροςαυτόςεξηγείταιπαρακάτω.

24 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÔÐô ØÓ Õ Ñ º ÌÓ Ñ Ó Ã Ø ÛÒÓÙ ØÓÙ Ó Ù ÀÂ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø ÔÐ ÙÖ º Ç Ù Ð ÐôÒ ØÓ Àà ÔÐô Ñ Ã ØÓ Ã Â Ñ Ã º ÌÓ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ò Ø Ð Ñ Ò Ô Ö ÔÐ ÖôÑ Ø º ËÕ Ñ º½¾ ÈÖ Ø ³ º Ô Ü Ø ÈÖ Ø ³ º Ô Ø Ò ÈÖ Ø ³ º È Ö ÑÓ Àà à ÃÀ º ÖôÒØ Ø Ó Ñ Ö Ø Ö ØÖ ÛÒ Ô ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ÔÐ ÙÖ Ø ÛÒÓÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ º ÈÖ Ø ³ º Æ ÖÑÓ Ø ¾ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ó Ñ Ó Ò ØÖ ÛÒÓ Ô ÒÛ Ó Ù Ñ ÓÑ Ò ÛÒ º Ã Ø Ù º ³ ØÛ ØÓ Ù ÔÛ ØÓ Õ Ñ º½¾º à ¹ Ø Ù ÞÓÙÑ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ À ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ñ ØÓ Ñ Û Ø ÈÖ Ø ³ ¾º ÌÓ ØÓÔÓ ØÓ Ñ Ø ô Ø Ò Ò ÔÖÓ Ø Ø Ø Ù ÞÓÙÑ ØÓ À º ÈÖÓ Ø ÒÓÙÑ Ø Â Ñ ÕÖ Ò ÙÒ Ò¹ Ø Ó Ò ØÓ Ãº ËÙÑÔÐ ÖôÒÓÙÑ ØôÖ ØÓ Õ Ñ º ÌÓ Å Ä Õ ÔÐ ÙÖ Ø Ò Ð Û Ø ÈÖ Ø ³ Ò ÓÙ Ô Ö Õ ÓÑ ÒÓÙ Ñ ØÓ Àº ÈÖ Ø ³ º ¾ Λέγοντας εφαρμοστεί,οευκλείδηςεννοείνακατασκευαστείπαραλληλόγραμμομεπλευράτηδοθείσα,γωνίατηδοθείσα,καιεμβαδόίσομεαυτότουδοθέντοςτριγώνου. ΟΕυκλείδηςδείχνειότιτούτοεπιτυγχάνεψαιλόγωτου5ουαξιώματος.

25 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË È Ê ÄÄÀÄïÇ Ê ÅÅ ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º Æ Ø Ù Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ó Ñ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ ÕÛÖÓ Ñ ÓÑ Ò ÛÒ º Ç Ù Ð ÕÛÖÞ ØÓ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖÓ Ó ØÖ ÛÒ Ñ Û Ø ÈÖ ¹ Ø ³ Ø Ñ Ø Õ Ñ ØÞ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ñ Ó Ò ÔÐ ÙÖ º ËÙÒ ÓÒØ Ø Ô ÖÒ ØÓ Ô ÙÑ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓº À Ô Ü Ò Ø Ð ÔØÓÑ Öô ÓÐÓ ôòø Ø Ñ º ËÕ Ñ º½ µº º º½ Å Ö Õ Ð Ô ÒÛ Ø ÈÖÓØ ³» ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ÔÖÓ Ø Ñ ÕÖÓÒ ÓÖÓÐÓ ÙÔÓ ÓÙÑ Ø Ó ÈÖÓØ ³» Ò ÖÓÒØ ÓÖ Ó ôò º ÌÓ Ñ Ò A ØÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ Ñ ÔÐ ÙÖ Ñ ÓÙµ a, b Ø Ô Ø Ò A = abº ËØ Ò ³ ØÛ R ØÓ Ó Ò ÓÖ Ó ôò Ó a Ó ÔÐ ÙÖ º Å ÙØ Ø Ö ÓÐÓ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ø ³ Ò Ò ØÔÓØ ÐÐÓ Ô ØÓ Ò Ö Ð Ø Ö ÑÑ Ü Û R = ax ΟΕυκλείδηςλέγειευθυγράμμω,καιεννοείμεσύγχρονουςόρουςένακυρτόπλύγωνο. Είναιενδιαφέροντοότιενώηαπόδειξηασχολείταιμόνομετηνπερίπτωσητουτετραπλεύρου, περνάεύκολαστηνγενική,χρησιμοποιώνταςεπαγωγή. Εντψπωσιακόςεπίσηςείναικαιο τριγωνισμόςτουσχήματος.

26 ¼ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ÔÓÙ x Ò Ø Ö ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ô ÙÑ ØÓ Ò ÓÙ ØÖ ôòóùº  ÛÖÓ Ñ Ò ÙÔ ÙØ ØÓ ÔÖ Ñ ³ Ò Ð Ö Ñ Ø Ñ Ñ Ò ÛÑ ØÖ º Ò Ò ÓÔ ÙØôÒ ØÛÒ Ñ ô ÛÒ Ò Ô ÖÓÙÒ Ø Ò Ô Ð Ñ Õ ØÛÒ ØÓÖ ôò ÔÓÙ Ô Ø ÓÙÒ Ø ÙØ ÖÑ Ò Ò ÓÐÓ Ø Ò Ò ¹ ÕÖÓÒ Ø ÔÓ ÛÒµ Ñ Ñ Ø ôò ÔÓÙ Ô Ø ÓÙÒ Ø Ó Ð Ö Ó Ø ÔÓ ÔÛ Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ò ÓÑÓÖ Ò Ø ÛÑ ØÖ Ø Ø Ö Ò Ó Û Ø ØÖ ÔÓ Ò ÖÑ Ò ÓÙÑ ØÓÒ Ù Ð º ÌÓ Ó ÔÖ Ð Ñ Ò ÔØ ØÓ ÐÓ Ø³º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º º ÐÓ ³ Å ÖÓ ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ ËØ Ò ÈÖ Ø ³ Ó Ù Ð ÕÒ ÔÛ Ø Ù Þ Ø Ø ØÖ ÛÒÓ Ô ÒÛ Ó Ù ³ Ò ØÓ Ô Ö ÑÓ ÈÙ Ö Ó ôö Ñ ³ ØÓ ÒØ ØÖÓ ØÓÙº ÈÖ Ø ³ º Οιτελευταίοιείναιοιθιασώτεςτηςλεγόμενης ΓεωμετρικήςΆλγεβρας.

27 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÍ ïçê ÁÇ Â ïïêàå ½ ËØ ÓÖ Ó ôò ØÖ ÛÒ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÙÔÓØ ÒÓÙ Ø Ò ÓÖ ÛÒ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò ÓÖ ÛÒ º ³ ØÛ ÓÖ Ó ôò Ó ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÔÓÙ Õ ÓÖ Ø Ò ÛÒ Ð Û Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º Ô Ü º Ø ØÛ Ø Õ Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ô ÒÛ Ø Ò Ø À Â Ô ÒÛ Ø º Ã Ô ØÓ Ø Ä Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ñ Ô Ø ÙÒ ÓÒØ Ó º Ã Ô Ñ Ô Ø ÛÒ À Ò ÓÖ ÔÖ Ô Ó Ó Ù ÔÓÙ Ò Ö ÓÒØ ØÓ Ó Ñ ÖÓ Ò ÒÓÙÒ Ø Ü ÛÒ ΟλατατετράγωναμπορούννακατασκευαστούνλόγωτηςΠρότασηςα 46. Επίσης, ταηβ,θγείναιτατετράγωναηζβακαιθαγκαντίστοιχα. ΟΕυκλείδηςσυνηθίζεινα συμβολίζειταπαραλληλόγραμμαμεταάκρατηςμιαςδιαγωνίουτους.

28 ¾ à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ Ñ ÔÓ Ù ØÓ Ñ Ó Ñ Ó ÓÖ º ³ Ö Ö Ø Ø Ò Ù Àº ØÓÒ Ó Ð Ó Ö Ø Ô ÒÛ Ø Ò Ù Âº Ã Ô ÛÒ Ò Ñ Ø Ò Ò Ñ ÓÖ ØÛ Ø ÔÖÓ Ø Ø Ø Ó º ³ Ö Ð Ò Ñ Ð Ø Ò º Ã Ô Ñ Ò Ò Ñ Ø Ò Ñ Ø Ò ÔÖ Ô Ó Ò Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø ÛÒ Ñ Ø ÛÒ º ³ Ö Ò Ñ Ø ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º Ã Ò ØÓÙ Ñ Ò ØÖ ôòóù ÔÐ Ó ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ä Ø ÕÓÙÒ Ø Ò Ø Ö ÓÒØ Ø Ó ÒØ ØÛÒ ÛÒ Ô Ö Ð¹ Ð ÐÛÒ Ä ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò ÔÐ Ó ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ À Ø Ô Ð ÕÓÙÒ Ø Ò Ö ÓÒØ ÒØ ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒ À º Ì ÔÐ ÛÒ ÔÖ Ñ ØÛÒ Ò º ¼ ³ Ö ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ä Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ À º ½ ÇÑÓÛ Ò ÙÒ Ó Ò Ó Ã ÑÔÓÖ Ò Õ Ø ØÓ Ô Ö ÐÐ ¹ Ð Ö ÑÑÓ Ä Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Â º Ö ÐÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò À  º Ã Ò ØÓ Ñ Ò Ø ØÖ ÛÒÓ ÙØ ÔÓÙ Ò Ö Ø Ô Ø Ò Ø À  ÙØ ÔÓÙ Ò Ö ¹ ÓÒØ Ô Ø º Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ º ³ Ö Ø ÓÖ Ó ôò ØÖ ÛÒ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÙÔÓØ ÒÓÙ Ø Ò ÓÖ ÛÒ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò ÓÖ ÛÒ Çº º º ÍÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓ Ü ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓº ¾ Ç ÈÖ ÐÓ ΑπότηνΠρότασηα 14.Αυτόείναιτοπρώτοαποφασιστικόσημείοτηςαπόδειξης. ΖΒ,ΒΓστοαρχαίοκείμενο,κάτιπουείναιπροφανήςπαράβλεψητουαντιγραφέα. Πρότασηα 4. ¼ Εντόςπαρενθέσεωςκαιστοαρχαίοκείμενο.Πρόκειταιπερίάλληςμίαςκοινήςέννοιας. ½ Εδώβρίσκεταιτοδεύτεροαποφασιστικόσημείοτηςαπόδειξης.ΟΕυκλείδηςουσιαστικά δείχνειότιτατρίγωνααβδκαιζβγείναιαντίστοιχαίσουπεριεχομένουμετατρίγωναβζα καιβδλπουδενφαίνονταιστοσχήμα! Ομως,απότηνΠρότασηα 41,τούταείναιίσου περιεχομένουμεταζβγκαιβαδαντίστοιχα. ¾ Δείτελ.χ.τηνιστοσελίδα αποδείξειςτου Π.Θ.

29 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÍ ïçê ÁÇ Â ïïêàå ÔÓ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ü ÔÖÓ ÛÔ ØÓÒ Ù Ð º Ò ÙÔ ÖÕ Ñ ¹ ÓÐ Ø ÔÖ Ø Ô Ö Ò ÙÑ ÓÙ Ñ ØÓ Ñ Ñ Ø Ö Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ó Ø ÐÔ Ó Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÔÓ Ó Ø ÔÓº Å ÔÐ ØÖ ÔÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ À Ñ Ø Õ Ñ ØÞ Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó Ä ÐÐ Ô Ö Ð Ø Ò ÔÐ Ø Ø ØÓÙ ØÓ Ô Õ Ö Ñ ÔÓÙ ÙÔÓ Ò Ò ÐÓÙ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓº ÌÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ò Ø Ó Ñ Ð ô Ø Ñ Ñ Ø ØÓÙ ¹ Ñ Ö Ó Ø Ò Ø Ò ÔÓÕ ØÓÙ Ù Ð º Ò Ó ÔÖ ÓÒÓ ÐÛÒ ØÛÒ ÓÖ Ø ôò ôò ØÛÒ Ñ ØÖ ôò ØÛÒ Ø ØÖ ÛÒ ôò ÑÓÖ ôò ÛÖ ¹ Ñ ØÛÒ ÔÛ ØÓ sin 2 a + cos 2 a = 1º Å Û Ø Ò Ù ØÓÙ ØÓÙ Ò ÑÓÙ ØÛÒ ÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ ØÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓÙ ÛØ Ö Ó ÒÓÑ ÒÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ ØÓ ôö Ñ ØÓÙ ÈÙ Ö Ø Ñ Ñ Ø Ø Ó Ñ ÖÙ Ó Ø Ò ØÓ Ñ Ø º ÈÖ Ø º Ò ØÖ ÛÒÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ô Ö Õ Ñ Ò Ô Ø ÐÓ Ô ÔÐ ÙÖ ÛÒ Ò ÓÖ º Ø ØÛ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ÔÐ Ö ØÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ð Û Ø ÛÒ Ò ÓÖ º ËÕ Ñ º½ ÈÖ Ø ³ º ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó ØÓÙ ÈÙ Ö ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓº Ô Ü º ³ ØÛ Ø Ô ØÓ Ø ÓÖ ÛÒ Ñ Ø Ò ØÓ Ñ Ó Πρότασηα 11.

30 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ ØÛ Ø Ò Ñ Ø Ò ÙÒ Ø º Ô Ò Ñ Ø Ò Ò Ó ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ÈÖÓ Ø Ø Ø Ó ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º ÐÐ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ Ò Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ø ÛÒ Ò ÓÖ º ÌÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ø ÙÔÓØ º ³ Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ö ÔÐ ÙÖ Ò Ñ Ø Ò Ô Ò Ñ Ø Ò Ò Ó Ò Ó Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø º Ã Ò Ñ Ø Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÛÒ º ³ÇÑÛ Ò ÓÖ Ö Ò ÓÖ º Ò Ö ØÖ ÛÒÓ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ñ ÔÐ ÙÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ô Ö Õ Ñ Ò Ô Ø ÐÓ Ô ÔÐ ÙÖ ÛÒ Ò ÓÖ Çº º º Ç ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³» ÔÓØ Ð ØÓ ÔÐ Ö ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ º ÇÐÓ Ð ÖôÒÓÒØ ØÓ Ð Ó ÙØ Ô Ö ØÓÙÑ Ð Ö Ñ Ø Ö Ò ÓÒÒ ØÓ ØÓÙ ÖÑ ÒÓ ÔÓ Ø Adelbert von Chamissoº Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Ñ Ó Ó ÈÙ Ö Ù Ø Ñ Ø Ñ µ ØÓÙ Ó Ó Ò ÐÙÝ ØÓ ôö Ñ º Adelbert von Chamisso À Ð À ÄÀ Á Õ Ö Ø Ö Ø Ø ÁÏÆÁÇÌÀÌ Ô Ø Ø ÔÓÙ ØÓÒ Ò ØÓ ÑÓ ØÓ Û Ò ÒÛ Ø ØÓ ôö Ñ ØÓÙ ÈÍ ÇÊ Ñ Ö Ò Ø Ó Û Ø Ó Ø Ò Ø Ø ÔÓÙ ÔÖÛØÓ Õ Ø Ò Ä ÇÌÀÌ º Πρότασηα 3. Πρότασηα 47. Άλλημίαεπιπρόσθετηκοινήέννοια. Λίγοπαρακάτωχρησιμοποιείταικαιηαντίστροφή της. Κατάλλους,τοθεώρημαανκαλύφθηκεαπότονμαθητήτου ΙππασοτονΜεταποντίνο τονοποίοναμέσωςμετάέπνιξανοισυμμαθητέςτουγιαναμηγίνειγνωστότοθεώρημαστον υπόλοιποκόσμο,μιαςκαισήμαινετηνκατάρρευσητηςσχολήςτουπυθαγόρα.αλλάφαίνεται ότιδιαρροέςυπήρχαναπότότε...δείτεκαιτοπαρακάτωκεφάλαιο5.

31 º º Á ÄïÁÇ ï Åï ÊÇË ÈÍ ïçê ÁÇ Â ïïêàå Ç Â ÇÁ ÔÓÙ ØÓÙ Ø Ð Ò ÙØ Ø Ò ÕØ Ô Û ÙÑ ÓÐ ³ ÙØÓ Ó ÈÍ ÇÊ Ë Ù Ø Ý Ñ Ò ÓÑÑ Ò Ø Ø Ñ Õ Ö ÞÓÒØ ØÓÙ ØÓ ÙÕ Ö Øô ØÓÙ ÔÖÓ Ø ÖÝ ØÓÙ ÔÖÓ Òôº Ì Ô Ò Ø Ñ Ö Ø Ò Ó Ò Ø ÑÓÒÓÔ Ø ØÓÙ Ø Ñ ÒÓ Ö Ð ÑÔÓÖ Ò Ü ÔÖÓ ÐÐ Ô³ ØÓ Ò ÙØÓ Ø Ñ ØÖ ÕÓÙÒ Ò Ü ÓÙÒ Ñ ÑÓÒ ô ÖÙ Ñ º Ô ØÓÒ ÈÍ ÇÊ Ô ÒØ Ô Ò Ó ÐÐÓÒØ ¹ ÈÓÐ Ò Ñ Ò ÔÛ ÓÙÒ Ø Ò ÕÙÖ Ø Ø ØÛÒ ØÒÛÒ ÔÓÙ Ô ÑÔÓÒØ ØÓÙ ÏÌÇË ØÖ ÑÓÙÒ ÐÞÓÙÒ Ø Ñ Ø ØÓÙº

32 à ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï ËÁÃïÀ ÏÅ ÌÊïÁ